Un pequeno problema de optimización

Nas clases de matemáticas sucede algo que case non pasa nas outras. É moi fácil reducilas a unha lista de receitas. Co avance do curso e dos anos vanse acumulando estas receitas ata a saturación. Finalmente non temos nada de matemáticas e só fica unha lista de algoritmos sen sentido. Moitas veces o paso dunhas matemáticas sustentadas na razón, a unhas matemáticas puramente algorítmicas é moi sutil. Non creo que haxa unha forma boa de explicar as matemáticas ben, pero si que a hai de facelo mal. A mellor forma de coller o mal camiño é non reflexionar e non ter unha idea bastante clara das mensaxes que hai que transmitir.

Xa teño contado nalgunha ocasión que tiven uns profesores de matemáticas moi bos. A isto engadíseselle a alegría de que me gustaba a materia. Por iso gozaba moito das clases; tanto que teño vívidos recordos de impresións e pensamentos que tiven daquela. Todo isto axudoume moito despois. Lembro, por exemplo o seguinte problema de optimización proposto nunha clase de 3º de BUP, ano 1984. Por contextualizar, antes xa estudáramos as derivadas das funcións elementais (con demostracións incluídas). Tamén fixéramos exercicios de representación gráfica.

No 1984 había clases de matemáticas en galego

Aínda que penso que se ve na imaxe, transcribo o enunciado:

Calculade dous números que sumen 10 e o producto sexa máximo

[Nota ortográfica: "producto" é da norma RAG anterior a 2003]. Para resolvelo basta con trasladar o enunciado a unha linguaxe matemática para permitir a súa manipulación dentro do contexto do traballo que estabamos a realizar: temos que achar dous valores $x_{1}$ e $x_{2}$ tales que o seu produto $P_{2}=x_{1}\cdot x_{2}$ sexa máximo baixo a condición de que a súa suma sexa 10. Recordo perfectamente que, a pesar de que xa fixéramos unha boa colección de exercios de optimización de carácter xeométrico, non sabía como abordar este problema. De todas formas tiña a solución porque fixera o seguinte razoamento: "1 e 9 suman 10, o seu produto é 9; 2 e 8 suman 10 e o seu produto é 16; 3 e 7 suman 10 e o seu produto é 21; 4 e 6 teñen de produto 24. Finalmente $5\cdot 5=25$ é a solución.[Nese momento asaltoume a dúbida] E os decimais?... 4,5 e 5,5 teñen de produto 24,75. Entón, parece que a solución é $5\cdot 5=25$."

Con todo, non estaba contento con ese método. Sabía que non verificara máis que uns poucos casos. Por outra banda a solución dada posteriormente polo profesor deixárame algo decepcionado. Parecíame demasiada parafernalia para unha conclusión tan obvia.

A cuestión é: por que non fun quen de resolver o problema coas ferramentas que tiña na miña man e que xa aparendera noutros problemas de optimización? Incluso máis, é evidente que, dentro dos problemas de optimización, este problema era máis sinxelo que outros xa traballados. 

A resposta está no tipo de problema. Os outros problemas de optimización que tratados eran de carácter xeométrico. O bloqueo viña simplemente do aspecto do problema. Aquí aprendín que é importante afrontar problemas de tipos moi distintos. Só un entrenamento de resolución de cuestións variadas vai poder levarnos a "facer nosas" as técnicas que se están a aprender. Co tempo tamén me decatei que o basto razoamento que fixera eu non era práctica común entre a xeneralidade do alumnado. Algúns só buscan o algoritmo que hai que aplicar neste caso e non fan tentativas de casos particulares. Aquí aprendín que, aínda que explique a técnica para resolver un problema, tamén debo relatar divagacións coma se non soubese resolvelo. Como exemplo, podo contar en alto o mesmo que escribín antes, aquilo que pensaba cando intentaba resolver o problema anterior. En xeral debo preguntarme en alto: coñezo algún problema semellante?, que pasa se aquí poño estes outros números?, e que pasa nos casos extremos?, convén facer esquemas, táboas,...?, que tipo de notación debo escribir?. E sempre: que é o que sei? que é o que quero conseguir? Podo relacionar unha cousa coa outra?

Unha ensinanza máis é que debo deixar tempo na aula ao alumnado para que intente resolver os problemas. Non ten sentido que o profesor ametralle aos pobres discentes nunha restra de demostracións de habilidade en problemas que sabe facer sobradamente. 

Finalmente, tamén prodemos aprender moito reflexionando sobre a solución dada. Case sempre está na nosa man abstraer algo máis, xeneralizar.... Por exemplo convén considerar o seguinte problema:

Calcula dous números que sumen S e que teñan produto máximo

Sexa $P=x_{1}\cdot x_{2}$ o valor a maximizar. Podemos aproveitar a condición $S=x_{1}+x_{2}$ facendo $x_{2}=S-x_{1}$. Así o produto só depende dunha variable: $P_ {2}(x_{1})=x_{1}\cdot \left (  S-x_{1}\right )$ e podemos aplicar o procedemento habitual de derivación:

$$P'_{2}(x_{1})=\left (  S-x_{1}\right )-x_{1}=S-2x_{1}\\P'_{2}(x_{1})=0 \;\;\; S=2x_{1}\Rightarrow x_{1}=\frac{S}{2}\Rightarrow x_{2}=x_{1}=\frac{S}{2}\\P_{2}=\frac{S}{2}\left ( S-\frac{S}{2} \right )=\frac{S}{2}\cdot \frac{S}{2}=\left ( \frac{S}{2} \right )^{2}$$

Neste punto estamos en boa disposición para abordar un problema máis xeral.

Determina n números que sumen S e teñan produto máximo

Pensemos primeiro no caso de 3 números: $x_{1}+x_{2}+x_{3}=S$. Por  un momento supoñamos que coñecemos o primeiro valor, $x_{1}$. Entón o problema reducirías e a determinar os outros dous valores baixo a condición de que a súa suma fose $x_{2}+x_{3}=S-x_{1}$. Entón o produto:

$$P_{3}(x_{1})=x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}P_{2}\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )=x_{1}\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}$$

Derivando: $P'_{3}(x_{1})=\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )x_{1}$

Se igualamos a derivada a 0 obtemos:

$$\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}=\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )x_{1}$$

Dividindo pola expresión entre parénteses obteremos

$$\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )=x_{1}\\x_{1}=\frac{S}{3}$$

Entón $x_{2}+x_{3}=\frac{2S}{3}$, e, polo visto no caso de dous números $x_{2}=x_{3}=\frac{S}{3}$

Velaí que o produto máximo no caso de n=3 será $P_{3}=\left ( \frac{S}{3} \right )^{3}$

Xa temos todo preparado para a indución. Supoñamos que temos n-1 números que teñen unha suma dada S: $x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}=S$ e que o seu produto máximo se dá cando $x_{1}=x_{2}=...=x_{n-1}=\frac{S}{n-1}$. Entón nese caso o valor dese produto máximo será $P_{n-1}=\left ( \frac{S}{n-1} \right )^{n-1}$. Vexamos que se verifica o caso n-ésimo.

Partamos de n números tales que $x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}=S$. Podemos aplicar a hipótese de indución aos n-1 últimos números que suman $x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}=S-x_{1}$. Neste caso o produto máximo será:

$$P_{n}(x_{1})=x_{1}P_{n-1}\left ( S-x_{1} \right )=x_{1}\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}$$

Derivando e igualando a derivada a cero:

$$P'_{n}(x_{1})=\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}-\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-2}\cdot x_{1}\\\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}=\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-2}\cdot x_{1}\\ \frac{S-x_{1}}{n-1} =x_{1}\\S-x_{1}=nx_{1}-x_{1}\\x_{1}=\frac{S}{n}$$

Entón:

$$P_{n}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S-\frac{S}{n}}{n-1} \right )^{n-1}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S\left ( n-1 \right )}{n\left ( n-1 \right )} \right )^{n-1}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S}{n} \right )^{n-1}=\left ( \frac{S}{n} \right )^{n}$$

Recollín esta derivación do libro de Paul J. Nahin, When Least Is Best, que me gustou polo enrevesada que é pois temos a alternativa de facer outro razoamento. Volvamos ao caso de cando tiñamos dous números $x_{1}$ e $x_{2}$ e reflexionemos por que teñen que ser iguais para poder obter un produto máximo. Se fosen distintos, consideremos a súa media $x_{m}$. Entón $x_{1}=x_{m}-d$ e $x_{2}=x_{m}+d$. Ademais $x_{1}+x_{2}=x_{m}+x_{m}$. Pola contra o seu produto 

$$x_{1}\cdot x_{2}=\left ( x_{m}+d \right )\left ( x_{m}-d \right )=x_{m}^{2}-d^{2}<x_{m}^{2}$$

Polo tanto, se queremos maximizar o produto, non podemos coller números distintos. Esta mesma razón serviría para cando teñamos n números. Se un par deles fosen distintos poderiamos substituílos pola súa media, obtendo un produto maior. 

Xa sei por que me gustan as matemáticas. Porque cando me mergullo nelas síntome como un adolescente intentando resolver un pequeno problema de optimización.

Uns Bocados que abren o apetito

Foto da Libraría Paz

O pasado 23 de febreiro presentouse na Libraría Paz de Pontevedra o libro Bocados matemáticos (Xerais 2022), de Paulo González Ogando. Así foi como puiden desvirtualizar ao autor. Achei unha persoa que me dou a impresión de ser moi sistemática e ordenada e á que lle gustan os libros de divulgación das matemáticas. Todas estas cualidades son puntais fundamentais para un autor desa clase de libros.

O primeiro en intervir na presentación foi Fran Alonso, moi preocupado polos resultados dos informes da lectura, especialmente da lectura en galego. Só un 4% da poboación le na nosa lingua, todo un síntoma dun enorme problema que non recibe nin a atención nin as solucións que precisa. Fran Alonso enmarcou os Bocados matemáticos baixo dous parámetros. En primeiro lugar identificouno como pertencente á tradición anglosaxona da divulgación. En segundo lugar, é un volume máis da colección Básicos de ciencia, unha colección que todos aos que nos gusta a divulgación agradecemos infititamente e que certifica que a editorial é fiel á súas orixes. O director de Xerais lembrounos que o primeiro libro da editorial foi un libro de texto de matemáticas de 1º de BUP, o do colectivo Vacaloura. Un libro, que baixo a lexisación actual estaría prohibido publicar por ser un libro de texto de matemáticas en galego. Con esta intervención, Fran Alonso pisou o que tiña preparado eu, con todo, aproveitei para lembrar que o libro do colectivo Vacaloura publicouse a comezos do curso do ano 1979. Uns poucos meses antes publícase o "Decreto do bilingüismo", que segundo a propaganda oficial do momento era o da incorporación da lingua galega ao sistema educativo. Na realidade, se un profesor quería impartir aulas en galego, debía pedir permiso á dirección, ao claustro de profesores, aos pais do alumnado e, de ter o permiso de todos eles, podería elaborar un informe solicitando ao Ministerio de Educación a aprobación do uso da lingua galega na docencia. Para o castelán non había ningún requisito: iso era o bilingüismo. Co soporte dese decreto non se impartiu nin unha hora en galego; pola contra, serviu para fustigar a represión do uso da lingua no ensino. Basta lembrar os casos de Alfonso Castro no colexio do Foxo, na Estrada ou o de Pepa Bahamonde en Rois.

O decreto do bilingüismo do século XXI chámase "decreto de plurilingüismo". Era imprescindible falar del na presentación deste libro, aínda con máis razón se sabemos que nas primeiras páxinas faise referencia ao mesmo:

[este libro] Foi escrito nun tempo en que a materia de Matemáticas na Educación Secundaria Obrigatoria se debe impartir obrigatoriamente en castelán, o cal contribuiu notablemente a ocultarlle ao alumnado o vocabulario específico en galego e a minimizar nesta nosa lingua tanto a expresión oral das matemáticas como a produción escrita de material, tanto didáctico coma tamén divulgtivo. [o subliñado é meu]

Fálase de minimizar. Respecto aos libros de texto foise máis alá: aniquilación completa da lingua galega. Fálase de ocultar. Un verbo terrible cando estamos tratando de educación. A ocultación implica descoñecemento. O descoñecemento leva ao desleixo, ao desprezo e incluso ao dodio á lingua. Todo iso é o decreto 79/2010. 

Tamén se fala de divulgación científica. A este respecto, cal é o panorama? Cantos libros de divulgación das matemáticas en galego se publicaron no século XXI?. Como non son moitos, vou citalos todos:

• Bocados matemáticos, de Paulo González Ogando, Xerais 2022
• Apoloxía dun matemático, de G. H. Hardy, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2020
• Mate-glifos, de Nicanor Alonso e Miguel Mirás, Xerais 2019
• Un conto enleado, de Lewis Carrol, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2017
• As mulleres nas matemáticas, de Matilde Ríos Fachal, Bahía 2008
• A Estatística, ¡en caricaturas!, de Larry Gonick e Wollcott Smith, SGAPEIO 2001

Podémolo poñer nun gráfico:

Parece un número escrito en binario

Para entender mellor a situación, comparémolo co caso do castelán. Cantos libros divulgativos de matemáticas se publicaron neste século en castelán?. Isto non é fácil de responder. Por sorte hai un portal, Divulgamat,  que fai recensión de moitos deles. Se o consultamos veremos que no mesmo período teñen un rexistro dun 985 (coa data desta entrada). Isto significa que seguro que hai máis de 1000. A poboación española é unhas 17 veces a galega. 1000 dividido entre 17 dá aproximadamente 60. Para falarmos dunha situación parella (de bilingüismo?) terían que terse publicado 60 libros de divulgación das matemáticas durante este século. Publicáronse 6. Xa temos unha cifra redonda que nos aclara que vivimos 10 veces por debaixo das nosas necesidades. Esa é a a medida da exclusión do galego no ámbito da divulgación das matemáticas.

Centrémonos agora algo nos Bocados matemáticos. Non vou facer spoiler, pero si dar trazas dos sabores que nos deixan eses petiscos, pois tal e como explicou Paulo, trátase dunha colección de 36 relatos independentes sobre curiosidades matemáticas que lle interesaron. Ao seren independentes podémolas ler en calquera orde. 

Nun dos capítulos contrapóñense as matemáticas centradas nos algoritmos fronte a outras máis profundas, asentadas nos por que, nas ideas, as razóns. Por exemplo, todos sabemos que non se pode dividir por 0, pero por que? Se facemos memoria da época escolar recordaremos que $a^{0}=1$, pero cal é a razón? Velaquí onde residen as matemáticas fermosas, nesta indagación.

Outro lugar onde esperariamos achar beleza matemática sería na xeometría. No libro hai un capítulo adicado a ela, pero non se falará dunha xeometría con listados de fórmulas de áreas, perímetros ou volumes. Falarase, por exemplo da forma dos folios como os DIN A3 ou A4. Por que esa esa proporción entre os lados e non outra? A seguinte figura suxírenos algunha resposta

Un dos problemas a afrontar para achegar as matemáticas á xente é o da utilidade. Cando se presenta un tema de carácter matemático é habitual escoitar a acusación de que non serve para nada: "cando vou eu usar un espazo vectorial?, se vou á compra non necesito polinomios.... " Fronte a isto, podemos retrucar co xa tratado asunto do tamaño das follas de papel da norma DIN, ou incluso co contido dun capítulo completo dos Bocados adicado ás chamadas matemáticas do reloxo, a aritmética modular que trata os segredos do NIF, o IBAN, o ISBN ou os sistemas de encriptación.

O propio Paulo repasaría os aspectos máis importantes de moitos dos bocados do seu libro. Tamén comentaría que todo comezara da lectura doutros libros divulgativos, dos que foi tomando notas para uso persoal. Só cando tivo unha boa cantidade acumulada decidiu dar o paso de expurgar, organizar e reelaborar o que acabaría sendo o contido dos Bocados matemáticos.

Para finalizar non resisto comentar unha impresión persoal que me asaltou cando lin o libro. Un dos capítulos está adicado aos paradoxos. Alegroume moito esta escolla porque o primeiro libro de divulgación científica que lin foi precisamente ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar, de Martin Gardner nesa marabillosa edición de Labor do ano 1983. E por que paradoxos? Unha das características máis ligadas á esencia das matemáticas é o ben construídas que están. Na matemática todo funciona de forma excepcionalmente coherente. É o que en lóxica se chama consistencia. Ata onde Gödel nos permite, as matemáticas conforman unha excepcional maquinaria perfectamente engraxada, sen contradicións. Por iso mostrar un paradoxo dentro do ámbito das matemáticas chama moito máis a atención que en calquera outro campo. Os paradoxos matemáticos enganchan porque sentimos unha necesidade perentoria de desfacernos deles. Aí reside o acerto de Paulo en escoller este tema como o fío condutor dun dos capítulos dos Bocados. 

Ademais das miñas teimas, comentei catro aspectos dun libro que agardo lle abran o apetito a quen pase os ollos por estas liñas. O bo é que quen lea o libro non vai empachar, quedará con gañas de máis bocados de matemáticas. 

Continúa a liña de Sid Sackson

Sabendo que un é de natural calado e aburrido, o normal é que este blogue herde dalgunha maneira estas características. Por dar algunha pista, non son quen de manter a atención máis duns poucos segundos nun videoxogo. Para non resultar absolutamente pesado, por veces considero que debo procurar aquel aire de ludismo que non teño aínda completamente morto. De facto, a etiqueta xogo deste blogue non está completamente baleira. Efectiva e sorprendentemente hai certos aspectos lúdicos aos que aínda non son refractario. Por exemplo, encantábanme as entradas do blogue Xogos de lingua, e supoño que, como todos, sempre gocei das matemáticas recreativas de Martin Gardner. 

No seu libro Circo matemático Gardner presenta un xogo de cartas, Patterns, creado por enxeñeiro de Nova York chamado Sidney Sackson. En Comunicación extraterestre y otros pasatiempos matemáticos recolle outro xogo de Sidney Sackson, nesta ocasión un xogo de taboleiro chamado Focus. Sackson volve aparecer nomeado en Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas por ser o autor dun xogo baseado no tangram; en Ruedas, Vida y otras diversiones matemáticas Gardner comenta a suxerencia de Sackson para mellorar o xogo de Halma. 

Resulta que Sid Sackson (1920-2002) foi un afortunado inventor e coleccionista de xogos. Creou máis de 500 xogos e tiña unha colección de máis de 15.000. Moitos deles recolleunos no libro A Gamut of Games , un clásico entre os afeccionados aos xogos.  Unha boa escolla deses xogos encontrámola no artigo do profesor do centro de ensino feminino Smith College,  Jim Henle, que aparece na recompilación anual de artigos sobre matemáticas The Best Writing in Matematics 2020 . De entre todos os xogos dos que se fala nese ensaio o que máis me chamou a atención foi "hold that line". Para practicalo precisamos dunha grella de puntos e dous bolígrafos de distinta cor, un para cada un dos participantes. Consideremos o seguinte taboleiro 4⨯4

Xógase por turnos. Unha xogada consiste en trazar un segmento entre dous puntos calquera. Neste trazo podemos pasar (ou non) por enriba doutros puntos da grella.

O Xogador II debe volver a trazar outro segmento comezando dos dous extremos. O xogo debe continuar así sen cortar a liña e sen volver a pasar por ningún punto usado. O xogador que se ve forzado a trazar a última liña é o perdedor. Velaquí unha partida na que perde o Xogador I (azul):

Quizais o que primeiro nos chama a atención é que se estableza que o perdedor é o que pode debuxar a última liña. Este tipo de regras, de "xogar para perder" dan lugar aos denominados xogos misère. Neste caso a norma está pensada para evitar unha estratexia gañadora moi simple. Efectivamente, se o que trazara o último segmento fose o gañador (non misére) o Xogador I podería gañar comezando cunha diagonal

Despois basta con que trace segmentos simétricos aos do Xogador II respecto desa diagonal.

Está claro que podemos xogar nun taboleiro doutras dimensións, incluso non cadradas. Aquí pode comezar un estudo de posibles estratexias. Non está mal comezar con taboleiros 2⨯2, 2⨯3, 2⨯4,....

Hai outro xogo que se desenvolve no mesmo taboleiro pero que en certos aspectos é dual deste, o Square it!. En cada turno un xogador pinta un dos puntos da grella. Agora o obxectivo é pintar catro puntos formando os vértices dun cadrado. Na seguinte imaxe o Xogador I (azul) é o gañador

Como vemos, o cadrado non ten por que ser horizontal. O xogo pode practicarse nesta aplicación de NRICH. 

O Sqare it! dános pé a distintas análises. Ademais de intentar establecer estratexias gañadoras, a estrutura do taboleiro é especialmente acaída para a práctica do teorema de Pitágoras co cálculo de áreas e perímetros. Tamén se pode intentar o reconto da cantidade de cadrados posibles para un taboleiro determinado. Se os cadrados non horizontais complican demasiado o reconto podemos restrinxir o problema aos horizontais. Outra posibilidade é o reconto de rectángulos. Estas dúas últimas actividades téñoas realizado moitas veces na aula, con resultados moi dispares. 

Seguindo coa mesma forma de base temos outro xogo, o Tac Tix, debido ao dinamarqués Piet Hein (1905-1996), o creador do cubo-soma e do Hex . Por certo, un grupo de profesores da USC crearon unha versión do Hex, o Mathex. Así mesmo o Tac Tix non é outra cousa que unha versión bidimensional dos xogos tipo Nim. A forma máis simple do Nim consiste en ir retirando 1, 2 ou 3 pedras dunha fila na que hai 21. No xogo normal o obxectivo consiste en coller a última pedra, na versión misère hai que forzar ao contrario a que sexa el quen a teña que coller. Establecer unha estratexia gañadora é bastante facil. No Tac Tix, dado un grupo de 4⨯4 obxectos, en cada turno pódense retirar todos os que se queiran dunha fila ou dunha columna.

Na versión normal gaña quen retire a última peza, na misère preténdese que o último obxecto sexa retirado polo contrario. Outra vez non temos por que quedarnos coa versión 4⨯4, de feito o xogo naceu cun taboleiro de fichas de 6⨯6. No caso do xogo non misére, cando o cadrado ten un número par de fichas, xogando simétricamente ao adversario gaña o Xogador II. Se o número de fichas é impar gañará o Xogador I se retira a peza central e despois aplica a estratexia da simetría. De aí que sexa preferible xogar coas regras non misère. En  Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific American Book of Puzzles and Games. Gardner comenta que se conxecturou que o Xogador II tería unha estratexia gañadora no caso par e o Xogador I no caso impar.

Pregúntome polas complicacións que traería un Tac Tix tridimensional, e un n-dimensional?

Post scriptum

Ao darlle algunhas voltas a esta entrada, remexendo nalgo do que xa me esqucín, fun dar con algunhas ideas Ben Orlin, quen tamén tratou o xogo de Sid Sackson no seu blogue Math whit Bad Drawings. El fíxoo cunha pequena diferenza. Segundo a súa versión, ademais dos segmentos verticais e horizontais, só están permitidas as diagonais formando ángulos de 45º. Ben Orlin rebautizou este entretemento co nome de "xogo da serpe"

A cousa non remata aquí pois aínda introduce unha nova variante que donomina "xogo das serpes". Neste caso cada unn dos dous xogadores só pode continuar aumentando a súa propia serpe (ou liña, como queirades chamala). Cando non poida continuar, non hai problema, comeza con outra serpe. O xogo segue  así ata que ningún poida realizar máis trazos. Gañará quen debuxara unha maior cantidade de serpes. No caso de empate decárase gañadar o que utilizara menos puntos. Vexamos un par de exemplos. Nesta primeira partida o Xogador I (azul) gaña porque consegue trazar 3 serpes fronte ás dúas do Xogador II (vermello).

Na segunda partida o vencedor é o Xogador II pois, aínda que empatan no número de serpes, o Xogador I acaba trazando segmentos por 9 puntos mentres que o outro só utiliza 7.

Para comprobalo mellor, velaquí o resultado final destas dúas partidas:

Á esquerda, a primeira partida;
á dereita, en liñas contínuas, a segunda

Ben Orlin aínda nos propón un novo reto, un solitario. Trátase de conseguir o maior número de serpes nun taboleiro de mхn puntos. Por exemplo, nun taboleiro 4x4 non poderemos trazar máis de 4 serpes, tal e como sucede na segunda partida anterior adicionando o segmento descontínuo. A primeira partida non nos serviría como exemplo do solitario porque non poderemos dar comezo a unha nova serpe ata que sexamos incapaces de ampliar a anterior. 

A influencia de Vidal Abascal

Enrique Vidal Abascal foi o encargado de impartir o discurso inaugural do curso 1973-74 da Universidade de Santiago de Compostela. Agora, a USC tivo un duplo acerto ao publicalo, devolvéndolle así nesta edición unha parte do agradecemento que o primeiro decano da Facultade de Matemáticas merece. Se digo que o acerto é dobre é, por unha banda, polos propios méritos de Vidal Abascal, dos que falaremos despois, e pola outra, por realizarse a edición en galego. Calquera que lea a publicación, entenderá o porqué. Como xustificación recollo aquí un pequeno parágrafo desta obra que, como se verá, non só está escrito, tamén está pensado na nosa lingua. Os exemplos poderían multiplicarse:

En Galicia, a deserción da nobreza arrastrou as clases burguesas e acomodadas a arremedar o de fóra, aprendendo a falar castelán para se diferenciar do pobo

En moitas ocasións o profesor Vidal xogou o papel de defensor da lingua. Certifícano moitos artigos publicados na prensa nos ultimos anos da súa vida. Pero esta defensa non aparece neste momento vital, mantívoa de sempre. Teñamos presente que foi presidente do Partido Galeguista de Lalín desde 1935 ata o golpe de estado do ano seguinte. Moi significativo é un artigo en El Pueblo Gallego (03/06/1935), escrito durante a súa estancia en Zúrich onde estaba becado pola Junta de Ampliación de Estudios. Nese artigo relata as súas impresións da visita a unha escola infantil na que seguían os métodos pedagóxicos de Pestalozi para o ensino da lecto-escritura. Comenta que sufriu "a tristeza de comprender que estas novas formas non poderán implantarse en Galicia mentres siga dándose a ensinanza en castelán" pois o método consistía en escribir o nome debaixo dun debuxo de obxectos familiares. Claro que o nome debería ser o que lle dá o cativo (fento, feixe,...) non outro estraño que faría fracasar o procedemento. Outro aspecto que abrolla neste artigo é a súa sensibilidade coa atención á diversidade e a focalización do ensino no alumno, aspectos do ensino que eran sumamente inhabituais nesta época. 

O título do discurso, Influencia dalgúns matemáticos e universitarios no renacemento cultural de Galicia, indícanos as liñas principais polas que se vai desenvolver. De sempre Vidal Abascal tivo un vivo interese pola relación entre a investigación, o ensino e a sociedade. No ano 1945 ao ser nomeado director do Instituto Nacional "Arzobispo Gelmírez" preséntalle ao claustro as súas ideas sobre o ensino medio. Pensa que debe quedar atrás aquel profesor inasequible que exercía de xuiz en todo momento e que na práctica deixaba de ser profesor para converterse en exclusiva en examinador. Tratábase dun modelo elitista no que o instituto se adicaba en exclusiva á formación intelectual e deixaba a educación na man das familias. Cada profesor, illado dos demais, era rei exclusivo da súa materia. Unha materia puramente académica, sen ningún tipo de formación social. Isto non é do seu agrado, así el móstrase favorable aos encontros deportivos, ás prácticas de laboratorio, excursións, celebración de festividades e organización de actividades. Tamén criticaba duramente as reválidas nas que un auxiliar que non tiña por que ser licenciado na materia, daba o seu ditame cun exame oral de ¡¡7minutos!!. Vidal Abascal confrontaba isto cos 7 anos de clases de secundaria dadas por un catedrático "privado dunha función da que non se ve privado ningún outro profesor e isto é pouco xusto".

Os mesmos fundamentos e as mesmas preocupacións subxacen no seu discurso de ingreso na RAG no ano 1971, agora centrados na universidade. Se nos anos 40 E. Vidal Abascal detectaba unha crise no ensino medio debido ao acceso de cada vez máis estudantes e de clases máis populares, o mesmo diagnóstico aparece en A crisis da universidade europea . A vella universidade europea estaba pensada para minorías intelectuais. Esa universidade "non corresponde aos anceios a que é preciso dar paso para atopar unha sociedade sen privilexios frente á cultura e coa posibilidade de que todos poidan alcanzar os másimos coñecementos que o seu talento, vontade e discipliña merezan pra ser útiles á sociedade". Destaca como eiva a falta dun criterio para seleccionar acaídamente ao estudantado pois o único criterio existente reside na capacidade económica familiar. Con todo, afirma que o 80% do importe do ensino do univesitario é soportado polo estado; en conclusión as clases sociais máis modestas sosteñen a formación universitaria da burguesía. Neste marco, dunha "Universidade desfasada e anacrónica" é  lóxico que xurdan "mozos idealistas e audaces que desexan unha sociedade mellor" organizados nos movementos estudantís. 

O certo é que os intereses de Vidal Abascal sempre se mantiveron nos mesmos parámetros. Sabémolo porque dentro no amplo intervalo temporal que van entre os documentos que acabamos de citar publicou un libro no que volve outra vez sobre eses eixos: ensino, investigación e sociedade. Trátase de La nueva matemática (Editorial Dossat, 1961), un texto en boa medida divulgativo, no que intenta establecer as ideas básicas que orientan as matemáticas dese momento: o bourbakismo, o formalismo e o intuicionismo, a topoloxía, a xeometría diferencial, teoría de conxuntos, nocións da escola  matemática francesa,... Mais tamén recolle un capítulo no que reflexiona sobre o estado das matemáticas en España. A partir da idea de que nunha sociedade tan complexa e tecnificada como a de principios dos 60, defende a necesidade do incremento da formación de persoas con estudos especializados e fai un repaso histórico na procura do atraso científico español. Acaba concluíndo que así como Castela impuxo o seu idioma, tamén o fixo o caracter castelán, valente, decidido, pero dogmático, individualista e intraxisente e, sobre todo pouco propicio para a reflexión. Fronte a iso pon a súa esperanza en Galicia pois o caracter colaborativo das súas xentes é especialmente propicio para o cultivo da ciencia. Case 20 anos despois repite estas ideas nunha biografía de Ramón Mª Aller da serie Hombres que hicieron Galicia.

Entende que para cambiar as cousas cumpriría, por exemplo, multiplicar por dez o número de matemáticos, en consecuencia, bota en falta unha política que aposte pola educación. Cómpre unha  ampliación da universidade onde se formen profesionais pero engade que a ampliación debe ser tal que permita extraer un número suficiente de investigadores. Ademais a investigación non pode ser obra duns quixotes que teñan que enfrontarse a toda clase de penalidades; isto é, a investigación debe estar ben dotada. 

Vidal Abascal non só se preocupa polos estudos superiores pois atribúe á mala ordenación do ensino medio a causa que máis desfavorablemente contribúe ao mal estado do ambiente científico. Xustifícao botando man dalgunhas cifras. Para facer fronte a un total de 500.000 alumnos de secundaria hai só 117 catedráticos de matemáticas. Estaba claro que se necesitaba moito máis profesorado, pero non a calquera prezo. Vidal Abascal critica moi duramente o decreto 1723/1960 do 7 de setembro que permitía acceder ao ensino medio a persoas sen titulación especializada.

O discurso

Ao expoñer os principios baixo os que se movía o pensamento de Enrique Vidal poderemos centrar moito mellor o seu discurso de inauguración do curso 1973-74. Este ensaio está impregnado de moitas ideas que aparecerían posteriormente en artigos da prensa. Fálanos dunha Galicia espendorosa nos séculos iniciais do milenio recollendo o primeiro exemplo de parlamentarismo europeo co rei Alfonso IX nunhas cortes nas que a lingua era o galego. Porén ese esplendor decae e apágase desde o XIV chegando a extremos humillantes como o de estar representada nas Cortes Castelás por Zamora. Os séculos de prostración deron lugar á lenda de inferioridade do galego. Vidal Abascal fica perplexo ao debullar a nomina de desprezadores dos galegos. Fronte a isto considera que é preciso reforzar a dignidade a todo un país ofendido como pobo e cómpre facelo colectivamente. A consciencia da nosa personalidade como pobo débese a un conxunto excepcional de persoas nas que a universidade xoga un papel decisivo. Para demostralo cita a toda unha nómina de escritores e personalidades do XIX e principios do XX consignando a ligazón que tiveron coa universidade. 

O punto culminante do discurso é o adicado ao Seminario de Estudos Galegos que representa para Vidal Abascal "o expoñente máximo da longa historia da Universidade, o seu esforzo por contribuír ao acervo cultural autóctono e, ao mesmo tempo, a proba fidedigna do valor dunha obra impulsada por un espíritu xuvenil de amor á terra, cheo de fervor pola nosa cultura e de entusiasmo por este pobo". Non se poden ler estas liñas sen sentir a profunda amargura do profesor pola aniquilación do proxecto que representaba o seu ideal de universidade. Aínda quer destacar outro fito, o da creación de dous organismos universitarios. Un deles é a cátedra de galego detentada por Carballo Calero  (1965), e a outra a do ILG (1971).

Remata o seu discurso cunha breve biografía de catro matemáticos galegos:  o matemático de Bermés José Rodríguez (1770-1824), o autor da Carta Xeométrica de Galicia Domingo Fontán (1778-1836), o militar coruñés Juan Jacobo Durán Loriga (1854-1911), e o seu mestre e amigo D. Ramón Mª Aller Ulloa (1878-1966)

O legado de Vidal Abascal

Cando pronunciou este discurso estaba embarcado nun proxecto daquela incerto, o da creación dunha Academia Galega de Ciencias. El foi o primeiro primeiro promotor e xunto con Isidro Parga Pondal, Luís Iglesias Iglesias, Domingo García Sabell, Antonio Fraguas Fraguas e Eugenio Torre Enciso, comezaron os trámites co Ministerio de Educación que foron lentos e cheos de atrancos. Finalmente, despois de máis de cinco anos de espera, pode constituirse. Este foi un fito máis do que sería unha constante durante toda a vida de Vidal Abascal, a procura material da mellora do sistema educativo. Niso inverteu moito tempo e esforzos. Foron as súas xestións ante o rector Carlos Ruiz del Castillo as que levaron á chamada a Aller para impartir clases de matemáticas nunha universidade minguada despois da Guerra Civil. Foi tamén iniciativa de Vidal Abascal a creación no 1945 da Sección de Astronomía Teórica e Matemática "Durán Loriga", que intentaba recuperar a enerxía do Seminario Matemático do mesmo nome impulsado por José Rodríguez Sanz dez anos antes e que tivera unha impresionante produtividade nos escasos meses que estivo en funcionamento (outubro do 1935- xullo do 1936).

Vidal conta na súa biografía de Aller que ambos tiñan o proxecto de conseguir a dotación da cátedra de astronomía para a universidade santiaguesa pero "don Ramón non era doutor en ciencias, polo que pensamos na ceseidade de que conseguira ese tíduo". Entón Vidal toma de novo a iniciativa e ponse en contacto con D. Esteban Terradas para que lle apadriñara a tese. Así Aller obtén o doctorado no ano 1943, cando contaba con 65 anos. 

Uns anos máis tarde créase na Facultade de Ciencias a Sección de Matemáticas. Outra vez o mérito principal deste avance debémosllo a Vidal Abascal e ás súas moitas viaxes a Madrid. No libro A universidade, a cultura galega e outros ensaios (Edicións do Castro 1990) lembra orgulloso que "me corresponde a satisfacción  de inicia-la petición da sección de matemáticas de Santiago, falando directamente co ministro don Xesús Rubio". A de Santiago sería a primeira despois das históricas de Madrid, Barcelona e Zaragoza. Velaquí que grazas ao seu labor Galicia contou anticipadamente con estudos superiores de matemáticas. A primeira promoción de licenciados desta Sección é do curso 1962-63; estaba formada por cinco mulleres e un home. Nese curso tamén se celebra o Coloquio Internacional de Xeometría Diferencial, o primeiro destas características en España. O seu organizador foi Enrique Vidal Abascal e volvería a organizalos nos anos 1967 e 1972. Entre os 1966 e 1978 dirixe quince teses de doutoramento e aínda é quen de impartir cursos e conferencias no estranxeiro, esencialmente en Francia. Foi un pioneiro na xestión de profesores visitantes estranxeiros e na confianza do traballo en grupo. Así Xosé Masa atribúelle esta frase: "un máis un non son dous, fan once". Inesperadamente esta defensa do espírito colaborativo había de costarlle un disgusto. En abril do 1966 escribe un artigo no

xornal  La Noche,  "La Coruña en guerra contra Galicia" no que defende facer forza común para conseguir máis centros universitarios en Galicia e critica as actitudes localistas como as do diario La Voz de Galicia, que uns días antes reivindicaba a facultade de económicas para A Coruña. A resposta deste xornal á crítica de Vidal foi insultante tanto co contido do artigo como co propio autor. Contiña cualificacións tales como que o escrito era "una sentina de resentimientos y complejos del más torpe estilo" ou que Vidal "ni siquiera era gallego". Neses días, nunha praza de Santiago os estudantes queimaron  exemplares de La Voz nun acto simbólico de rexeitamento da actitude do diario que se negou a publicar unha queixa do propio Vidal Abascal.

Poderiamos dicir que ao profesor Vidal tería honra de ser o primeiro decano da Facultade de Matemáticas desde xaneiro do 1978 ata a súa xubilación en outubro dese mesmo ano pero máis preciso sería afirmar que a honra sería da da Facultade por telo a el como director. Fica claro, xa que logo, que a súa obra e os seus esforzos tiveron sempre como centro a universidade galega, da que di o seguinte no seu discurso de ingreso na Real Academia Galega (1971), cando ocupa a vacante deixada por Aller:

"Nela estudiéi e néla enseño hai trinta anos. As miñas ledicias e zozobras están en gran parte ligadas ás espranzas, ésitos e tristuras polas que nestes difíciles anos pasa a Universidade, néla paséi as máis das miñas horas, néla estudo, soño e enseño modestamente todo o que poido; a miña executoria pra merecer ser considerado galego no esprito, o mes escudo e o meu orgullo, é que nestes trinta anos, penséi, traballéi e loitéi pola Universidade, polo seu sentido da vida, motor e sublimación dos méritos e defeutos deste pobo galego [...]. A Universidade galega, será o refrexo consciente e  científico do impulso deste pobo que mansiñamamente vai tomando consciencia da rica e luminosa cultura que latexa no fondo das tradiciós e no esprito de estas xentes cheas de inquedanzas, pechadas ao desalento,..."

Bibliografía

Fernández Pérez, Iván et al, (2011) As Matemáticas e a Astronomía en Galicia, USC

García González, A. (2009) Historia de la empresa de La Voz de Galicia, Libros en Red

Souto Salorio, M.J. e Tarrío Tobar A.D.,(2016) Enrique Vidal Abascal (1908-1996). Un renacentista en el siglo XX, La Gaceta de la RSME. Vol. 19

Vidal Abascal, Enrique, (1945) Programa expuesto por el Sr. Director D. Enrique Vidal Abascal, con motivo de su toma de posesión

Vidal Abascal, Enrique,(1961) La nueva matemática, Editorial Dossat S.A. 

Vidal Abascal, Enrique,  Otero Pedrayo, Ramón, (1971)  A crisis da universidade europea, RAG 

Vidal Abascal, Enrique,(1979)  Hombes que hicieron Galicia. Ramón M. Aller Ulloa, Banco del Noroeste

Vidal Abascal, Enrique, (1990)  A universidade, a cultura galega e outros ensaios, Ediciós do Castro

Vidal Abascal, Enrique, Vidal Costa, E., Masa Vázquez, X., (1999) Dous matemáticos galegos, Consellería de Educación Universitaria, Lugo

 VV.AA.,(1982) Boletín da Academia Galega de Ciencias. Volumen I, 

VV.AA. (2008) D. Enrique Vidal Abascal. Sembrador de inteligencia colectiva. Discursos do Día do Científico Galego 2008 da RAGC.

Matemáticas: habelas hainas. 2021

 O pasado 24 de novembro do 2021 celebrouse unha nova xornada de Matemáticas: habelas, hainas. 

As presentacións dos intervientes correron a cargo da decana Mª Elena Vázquez Cendón. O primeiro turno foi para o profesor Xosé Masa que glosou a figura de Enrique Vidal Abascal. A razón foi que se estaba a presentar a publicación da USC do discurso inaugural do curos 1973-74 realizado por quen foi o primeiro decano da facultade titulado Influcencia dalgúns matemáticos e universitarios no renacemento cultural de Galicia. Mágoa que esta intervención case sexa inaudible. De seguido o técnico do SNL Manuel Bermúdez Castro destaca a valentía de Vidal Abascal pois lembra que a lectura do discurso fíxose sendo presidente Carrero Blanco e detentando a xefatura do estado Francisco Franco. Juan José Nieto Roig, director do IMAT tamén tivo unha breve intervención

  

M. Pilar Páez Guillán tróuxonos Matemáticas a través do espello Todos os nenos, a primeira vez que se miran nun espello, quedan abraiados. Algúns destes nenos, ao medraren, deciden estudar Matemáticas, e experimentan un proceso similar ao do espello cando lles explican o espazo dual. 

 

Xabier Pérez Couto (@astroxabi), como era de esperar, trouxo un tema astronómico. Baixo o título Catálogos, anuarios e bases de datos astronómicos aborda o tema da orixe e evolución dos diferentes catálogos astronómicos ao longo da historia,  unha das primeiras publicacións científicas da antigüidade. Nesta intervención, nada que envexar da súa canle de vídeos AstroXabi

 

Vide ver a Terra xirar  é o título da presentación de María Ferreiro Subrido. Esa foi o convite que Jean Bernard León Foucault fixo ao pobo francés para presenciar a súa famosa demostración da rotación do noso planeta no ano 1851. Cunha presentación coidadísima fixo unha intervención que é todo un exemplo de divulgación científica e claridade de ideas. 

 

Lorena Saavedra López presentou Sexamos positivas! Comeza preguntándose pola utillidade das matemáticas. Despois pasa ao tema. A positividade é unha característica moi importante dalgunhas funcións usadas en modelizacións sobre situacións da vida real. Nesta charla centrarémonos na importancia de garantir que as solucións de certos problemas sexan positivas. 

 

David Mosquera Lois interveu con Todos os camiños levan á topoloxía Nesta charla, partindo dun problema do deseño de algoritmos chegaremos de forma natural ao ámbito da topoloxía. Curiosa presentación, escrita con bolígrafos e con cartolinas de cores.

Sara Recondo Estévez chegou co relatorio As matemáticas nas bucinas de Nacho Porto. Nun dos TFMs propostos no Mestrado de Matemática Industrial embarcámonos co ceramista galego Nacho Porto na aventura de caracterizar o comportamento acústico das súas  bucinas cerámicas mediante o modelado matemático e a simulación numérica. 

Axudando a Pepa A Loba é o título da intervención de Andrea Vilar Álvarez. Pepa A Loba foi unha bandoleira galega de finais do século XIX, arquetipo do denominado ‘bandoleirismo xeneroso’, que lles roubaba ós caciques para logo repartir o botín entre as clases sociais máis desfavorecidas. Neste 2021, Pepa actualizou o seu modus operandi. Remata a súa intervención cunha fermoso e moi acaído parágrafo de Ángel Carracedo.

 

Retallos do 2021

Nos aniversarios é habitual facer un repaso do acontecido no último ano. Como este blogue tivo un nacemento un tanto peculiar nin eu mesmo sei datar o seu comezo. Cando quixen botar a andar cun bloque de matemáticas estaba a punto de publicarse o funesto decreto que reduce e prohíbe o uso do galego no ensino non universitario (dificilmente se podería reducir no ensino universitario) así que a urxencia do momento me levou a traballar nun bloque sobre a lingua: a Carta Xeométrica. Alí, de cando en vez introducía algunha anotación de carácter matemático. A isto hai que sumarlle que non sabía como escribir fórmulas no blogger e que nunca oíra falar do LaTeX. Co tempo, un blogue que tiña para practicar acabou sendo no que recollía aquelas entradas específicamente matemáticas. Finalmente, aquelas cousas de matemáticas que escribira na Carta Xeométrica tempo atrás, acabeinas recollendo neste outro blogue. Paso a facer un repaso do ano 2021.

Non teño a menor dúbida de que a entrada coa que quedei máis satisfeito é a das Anotacións á "Variabel sombra do sol" de Antón Otero porque alí obtense a ecuación da traxectoria da sombra dun pau de 1 m. en función da latitude φ do lugar no que colocamos o pau, e a declinación do sol δ. 

$$tan^{2}\delta \cdot y^{2}=\left ( cos^{2}\varphi-sen^{2}\varphi \cdot tan^{2}\delta  \right )x^{2}-\left ( 2sen\varphi \cdot cos\varphi +2sen\varphi \cdot cos\varphi\cdot  tan^{2}\delta  \right )x+sen^{2}\varphi -cos^{2}\varphi\cdot  tan^{2}\delta $$

En realidade, a entrada completa era demasiado grande, así que a dividín en tres. Na primeira dábase conta dalgúns resultados de trigonometría esférica e na segunda explicábanse os sistemas de coordenadas astronómicos. Tiña a ventaxa de recuperar algúns apuntes que fixera hai uns 20 anos para preparar unha materia das que se denominan "propia do centro" sobre introdución á astronomía. Aviso tamén que nesa materia, de 3º da ESO, non explicaba nada do aquí referenciado. O meu motivo de orgullo por estas entradas débese a que me custou ducias de folios de cálculos e semanas de insistir e fracasar, O resultado final, non se pode negar que é ben bonito. Por exemplo aquí volvo a recoller a traxectoria da sombra dun gnomon nas nosas latitudes (uns 43º): será unha rama de hipérbole que corta á liña leste-oeste durante a primavera e o verán (δ>0): e que fica no semiplano OLN durante o outono e o inverno. No GIF aparece o valor da lonxitude da sombra ao mediodía para todos os días do ano.

A seguinte tríada de entradas que me levou bastante traballo escribir foi coa que rematei o ano. Neste caso o obxectivo consistía en resolver unha ecuación de grao 45. Quen o fixo foi Viète, fronte a un reto do seu contemporáne van Roomen. As entradas son O paraíso trigonométrico de Viéte, Viéte e a ecuación de van Roomen: segundo membro, e finalmente Viète e a ecuación de van Roomen: primeiro membro e solución.. Por certo, na primeira delas úsase o método da neuse ou da regra marcada que foi obxecto doutra entrada, Neuse anónima. Isto para min foi moi curioso pois se por unha banda ata ese momento non tiña idea deste tipo de construcións, de súpeto parecía que se me aparecían por todas partes. 

Outro momento íntimo de euforia foi o da resolución do problema presentado en Cotanxentes e arcotanxentes, onde puiden comprobar que fórmulas que un pensa que son practicamente inútiles e que nunca vai utilizar, acaban tendo unha aplicación. E aínda destacaría esta entrada por unha razón máis. Non podo imaxinar un título menos atractivo que o que lle din. 

Neste blogue vou colocando algunhas das cousas que leo e que me atraen. De aí, por exemplo a entrada titulada Cerrando o círculo con Martin Gardner é resultado da lectura do libro The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. a titulada A serie harmónica e a dos inversos dos primos deriva do libro Demostraciones con encanto e Exemplos de contraexemplos é consecuencia do libro The Calculus Gallery

Un caso realmente curioso é o da entrada Grazas Poniachik! A súa orixe tivo lugar na limpeza do faiado. Alí fun dar con algúns exemplares da revista Cacumen que comprara a principios dos anos 90 do século pasado. Despois de todo este tempo decateime de que os artigos que máis me interesaban eran os dun tal Jaime Poniachik (1943-2011), creador de xogos e entretementos e divulgador das matemáticas. O interese que me despertaban os seus artigos foi un dos impulsos que me levaron a estudar matemáticas e ata este achado no faiado non souben que eran da autoría de Poniachik.

Para pechar a revisión, algúns números. O total de visualizacións no 2021 andivo polas 16.000. Do total das 28 entradas, as máis vistas son as seguintes. Só a primeira supera as 100 visualizacións. Recollín as que están no rango de 80-100 visualizacións.

1. A demostración topolóxica da existencia de infinitos números primos
2. A serie harmónica e a dos inversos dos primos
3. Grazas Poniachik!
4. Exemplos de contraexemplos
5. Cotanxentes e arcotanxentes
6. Os premios de Explícoche Matemáticas 2.0, edición 2021
7. O oficio de ser profesor de matemáticas. O vértice da parábola
8. O paraíso trigonométrico de Viéte
9. Anotacións á "Variábel sombra do sol" de Antón Otero

Finalmente recollo a tríada das que menos visualizacións tiveron (a última é a menos visitada). Todas elas no rango de 30 a 40.

1. Cerrando o círculo con Martin Gardner
2. Matemaxia no IES de Chapela
3. Viète e a ecuaciòn de van Roomen: primeiro membro e solución

Post scriptum

Unha mención aparte para o portal web do mesmo nome que este blogue: Retallos de matemáticas (web)  que seguín mantendo durante todo este ano. 

Viète e a ecuación de van Roomen: primeiro membro e solución

Na anterior entrada xa expuxéramos o reto que Adriaan van Roomen propuxera aos matemáticos de finais do XVI. Tratábase de resolver a seguinte ecuación:$$x^{45}-45x^{43}+945x^{41}-12300x^{39}+111150x^{37}-740259x^{35}+3764565x^{33}$$ $$-14945040x^{31}+46955700x^{29}-117679100x^{27}+236030652x^{25}-378658800x^{23}$$ $$+483841800x^{21}-488494125^{19}+384942375x^{17}-232676280x^{15}+105306075x^{13}$$ $$-34512075x^{11}+7811375x^{9}-1138500x^{7}+95634x^{5}-3795x^{3}+45x=K$$

Con $K=\sqrt{\frac{7}{4}-\sqrt{\frac{5}{16}-\sqrt{\frac{15}{8}-\sqrt{\frac{45}{64}}}}}$

Tamén sabemos que $K=2\cdot sen12$ (outra vez entrada anterior) O noso propósito será traballar o primeiro membro da ecuación e resolvela seguindo as liñas mestras trazadas por Viéte. Eli Maor explica que Viéte foi o precursor dos métodos alxébricos na trigonometría. Con procedementos recursivos foi quen de obter as razóns trigonométricas para un ángulo $n\,\theta$ en función do $sen\theta$ e o $cos\theta$. Consideremos as seguintes fórmulas.

$$sen\;n\alpha =2cos\alpha \cdot sen(n-1)\alpha -sen(n-2)\alpha \;\;\;[1]$$

$$cos\;n\alpha =2cos\alpha \cdot cos(n-1)\alpha -cos(n-2)\alpha \;\;\;[1']$$

Delas demostraremos a primeira. A segunda derivaríase de forma semellante.

Partimos das fórmulas do seno dunha suma e dunha resta e despois sumámolas:

$$sen(A+B)=senA \cdot cosB+cosA\cdot senB\\sen(A-B)=senA \cdot cosB-cosA\cdot senB$$

$$sen(A+B)+sen(A-B)=2\cdot senA\cdot cosB$$

Fagamos $A=(n-1)\alpha$   e $B=\alpha$. Substituíndo na identidade anterior:

$$sen\,n\alpha+sen(n-2)\alpha =2\cdot sen(n-1)\alpha \cdot cos\,\alpha $$

E inmediatamente tense [1]

Viète obtén as fórmulas das razóns trigonométricas ata n=10, resultado do que di sentirse moi orgulloso. Velaquí as primeiras:

$$sen2\theta  =2\,cos\,\theta \cdot sen\theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[2]$$ $$sen3\theta  =3\,sen\,\theta -4sen^{3}\theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[3]$$ $$sen4\theta  =4\,sen\,\theta\cdot cos\theta -8sen^{3}\theta\cdot cos\theta \;\;\;\;\;[4]$$ $$sen5\theta  =5\,sen\,\theta-20\,sen^{3}\theta + 16\,sen^{5}\theta\;\;\;\;[5]$$

Pasemos agora a repasar o método, xa explicado noutra ocasión, usado por Viète para obter a solución de ecuacións polinomiais por medio da trigonometría. Sexa a ecuación:

$x^{3}-3x+1=0$  

 $1=3x-x^{3}$           con $x=2y$

$1=6y-8y^{3}$ 

$\frac{1}{2}=3y-4y^{3}$        comparando con [3]

$sen3\,\theta=\frac{1}{2}$   e   $x=2y=2\cdot sen\,\theta$

$3\,\theta _{k}=30+360k\;\;\;\; k=0,1,2\\ \theta _{k}=10+120k\;\;\;\; k=0,1,2$$ 

$$x_{0}=2\cdot sen(10)=0,3472...$$ $$x_{1}=2\cdot sen(130)=1,5320...$$ $$x_{3}=2\cdot sen(250)=-1,8793...$$

Resolución da ecuación de van Roomen

Se miramos o primeiro membro da ecuación de van Roomen observamos que só aparecen as potencias impares con signos alternados. O mesmo sucede nas fórmulas de $sen\,n\theta$ para valores impares de $n$. Miremos por exemplo as fórmulas [3] e [5]. Viète debeu sospeitar que ese polinomio de grao 45 era o desenvolvemento do $sen\,45\theta$. Escribamos pois así a ecuación:

$K=2\cdot sen\,45\theta$     se  $\alpha=15\theta$  e usando [3]:

$K=2 sen\,45\theta= 2 sen\,15\alpha= 6sen\alpha -8sen^{3}\alpha =$ 

$=6sen 15\theta -8sen^{3} 15\theta=3y-3y^{3}$      sendo $y=2sen 15\theta$

Agora tomando $\beta =5\theta$ e usando outra vez [3]

$y=2 sen\,15\theta= 2 sen\,3\beta= 6sen\beta -8sen^{3}\beta =$ 

$=6sen 5\theta -8sen^{3} 5\theta=3z-3z^{3}$    sendo $z=2\,sen5\theta$. Se agora usamos [5]:

$z=2\,sen5\theta=10sen\theta -4sen^{3}\theta +32sen^{5}\theta =$

$=5x-5x^{3}+x^{5}$ onde $x=2sen\theta$

Agora temos $K=2sen45\theta=2sen12$    polo que    $sen45\theta=sen12$

$45\theta _{k}=12+360k\;\;\;\;k=0, 1,2,....,44$  

$\theta _{k}=\theta _{0}+4k\;\;\;\;k=0, 1,2,....,44$  con $\theta _{0}=\frac{12}{45}=0^{^{\circ}}4'$ 

$x_{k}=2sen \theta _{0}+8k\;\;\;\;k=0, 1,2,....,44$

Por suposto Viète só considerou as solucións positivas, aquelas para as que $\theta _{0}+8k< 180$, isto é, as 23 primeiras.