Intuición esganada cunha corda

Hai algunhas cuestións que nos chaman moito a atención por daren lugar a resultados sorprendentes, e se os cualificamos de sorprendentes é porque desafían a nosa experiencia ou a nosa intuición. Ese é o caso do problema do "cinto da Terra" que xa tratamos noutra ocasión ao recoller un artigo de Jaime Poniachik na revista Cacumen. A cuestión era a seguinte:

O cinto da Terra. Imaxinemos un cordel cinguido á Terra sobre o ecuador. Se lle engadimos un metro, vai quedar algo folgado, canto? Axustemos agora outra o cordel arredor dunha laranxa e despois agregámoslle tamén un metro. O sorprendente é que agora a folgura do cinto da laranxa coincide coa da Terra.

A explicación é ben simple. A lonxitude da corda inicial é 2πr. Se lle engadimos un metro a nova lonxitude será $$2\pi r+1=2\pi \left ( r+\frac{1}{2\pi } \right )$$

polo que o raio da corda extendida supera en 1/2π unidades ao raio da circunferencia inicial independentemente do valor do raio. No caso que nos ocupa, como incrementamos a lonxitude nun metro, o raio aumentaría uns 16 cm tanto no caso da Terra como no da laranxa. Se nos pediran un valor para este problema antes de ver a solución seguramente aventurariamos unha cantidade milimétrica pois,a priori, dá a impresión de que engadir un metro a unha cantidade tan desproporcionadamente maior como a da circunferencia terrestre (uns 40 000 km) vén sendo tanto como non engadir nada. 

Tratemos agora un problema cunha fasquía moi semellante. Segundo conta Zhúkov no seu libro El omnipresente número π (Editorial URSS, 2004), o profesor Anatoli  Dimítrievich Myshkis tivo a simpática idea de propoñer o seguinte problema nunha das súas clases:

Tíralle da corda. Supoñamos que o globo arredor do globo terráqueo se cingue unha corda inextensible. Despois de alongala un metro, tómase a corda por un punto e levántase da superficie da Terra ata a maior altura posible. Determínese esa altura.

O ideal sería que o lector ofrecese unha resposta, mesmo a escribise antes de seguir lendo a solución a esta espiñenta cuestión e que recollo esencialmente do citado libro.

Sexa OA=OC=OC'=R o raio terrestre, AB=a, AC=h e α=∠AOB. De todas estas cantidades só coñecemos R. O triángulo AOB é rectángulo en A, de aí que $$tan\alpha =\frac{a}{R}\quad\quad [1]$$

Aplicando o teorema de Pitágoras:$$\left ( R+h \right )^{2}=R^{2}+a^{2}\\R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+a^{2}$$

 Operando queda esta ecuación de segundo grao en h: $$h^{2}+2Rh+-a^{2}=0\\h=\frac{-2R\pm \sqrt{4R^{2}+4a^{2}}}{2}=-R\pm \sqrt{R^{2}+a^{2}}$$

Tomando o resultado positivo e despois multiplicando e dividindo por R:  $$h=\sqrt{R^{2}+a^{2}}-R=R\left [ \sqrt{1+\left ( \frac{a}{R} \right )^{2}} -1\right ]\quad\quad [2]$$

Só nos quedaría determinar $a$, ou neste caso,$\frac{a}{R}$. A cuestión non é simple. Teremos que ir máis alá da manipulación alxébrica e botar man de resultados do cálculo diferencial.

A lonxitude, en radiáns, do  arco AOC é $\pi \alpha$ e a da semicircunferencia CC' é $\pi R$, polo tanto o a medida do arco AC'  será a súa diferenza $\pi R-\pi \alpha $. A lonxitude da corda desde B, pasando por A ata C':$$a+\pi R-\pi \alpha =\frac{2\pi R+1}{2}=\pi R+\frac{1}{2}$$

Simplificando esta expresión e dividindo por R:$$\frac{a}{R}-\frac{R\alpha }{R}=\frac{1}{2R}\\ \alpha =\frac{a}{R}-\frac{1}{2R}$$

Substituíndo en [1]:$$tan \left ( \alpha \right ) =tan\left ( \frac{a}{R}-\frac{1}{2R} \right )=\frac{a}{R}\quad\quad [3]$$

Como $\alpha$ ten un valor moi pequeno e unha boa aproximación da tanxente na veciñanza do cero é a serie de Taylor temos que $$tan \left ( \alpha \right ) = \alpha +\frac{1}{3}\alpha ^{3}++\epsilon$$

Aplicando esta relación a [3] temos que $$\frac{a}{R}-\frac{1}{2R}+\frac{1}{3}\left ( \frac{a}{R}-\frac{1}{2R} \right )^{3} +\epsilon =\frac{a}{R}$$

$$\left ( \frac{a}{R} -\frac{1}{2R}\right )^{3}=\frac{3}{2R}-3\epsilon \\\frac{a}{R} -\frac{1}{2R}=\sqrt[3]{\frac{3}{2R}-3\epsilon}$$

Como comparativamente os valores de $\frac{1}{2R}$ e $3\epsilon$ son moi pequenos podemos establecer a seguinte aproximación $$\frac{a}{R}\approx \sqrt[3]{\frac{3}{2R}}$$

Que podemos substituír en [2] para finalmente poder achar o buscado valor de h: $$h\approx R\left [ \sqrt{1+\left ( \sqrt[3]{\frac{3}{2R}} \right )^{2}}-1 \right ]$$

Como valor de R tomarei o dado pola definición de metro da Academia Francesa: o metro é a dez millonésima parte dun cuadrante de meridiano, isto é, que a circunferencia da Terra será de 40 millóns de metros. É certo que agora sabemos que a Terra non é esférica e que posteriormente aos traballos de medición do meridiano redefiniuse o metro e axustáronse as medidas reais do globo terráqueo. A suposición dun planeta perfectamente esférico e a escolla deste valor para o raio quizais sexa tan romántica como o propio enunciado do teorema. De todas formas non inflúe no resultado final. Para poder achalo na última fórmula non nos serve a calculadora, temos que botar man dunha folla de cáculo ou do Wolphram Alpha. O resultado final é o inesperado valor h≈121 m

Agora que temos destrozada a intuición quizais poidamos abordar con mellor disposición a seguinte proposta que recollo do mesmo artigo de Poniachik nomeado anteriormente e que é unha adaptación dun problema referido por Ross Honsberger no libro The Mathematical Gardner (David A. Klamer, 1981). 

O riel dilatado. Consideremos un riel recto AB de 500 metros de lonxitude fixado nos extremos. A calor do verán prodúcelle unha dilatación de 2 metros, observándose unha xoroba de altura x. Estímese este valor se a dilatación é simétrica.

Como na cuestión anterior pídese unha resposta baseada na intuición antes de ter a tentación de botarlle un ollo á resposta. Comprobaremos ademais que esta proposta resulta moi acaída para ser tratada nun curso da ESO.

Xa que nos piden unha estimación imos considerar que a dilatación está formada por rectas. Así teremos dous triángulos rectángulos de catetos 250 e x cunha hipotenusa de 251 metros. Apliquemos o teorema de Pitágoras (e de paso, repasemos as chamadas identidades notables).$$x=\sqrt{251^{2}-250^{2}}=\sqrt{\left ( 251+250 \right )\left ( 251-250 \right )}=\sqrt{501}$$

Creo que nin cómpre unha calculadora para decatarse de que o riel alcanzou unha altura de case 71 m.

Un cadrado sen adubos

Con esta entrada remato unha pequena serie de tres que adiquei aos problemas de Dudeney. As outras dúas foron "O enigma do mercader" e "Tres enigmas de Dudeney". Nesta ocasión  recollo un problema do capítulo "Aventuras do Club dos Enigmas" titulado "O tesouro enterrado" no que se relata a historia de Dawkins, un mozo que buscaba facer fortuna en Australia e que tivo a sorte de escoitar unha conversa na que se describía onde estaba enterrado un tesouro. O lugar estaba nun terreo cadrado, e o que se precisaba era obter as dimensións do mesmo, pois esta foi a clave para atopalo. Vou prescindir dos detalles do relato pois o problema pareceume o suficientemente interesante como para poder prentalo nunha versión limpa,  sen ningún adubo. 

Acha as dimensións dun cadrado sabendo que un punto do seu interior está a 2, 3 e 4 unidades de tres vértices consecutivos.

Antes de seguir conviña facer un intento de resolución, así que, estimado lector,  non sigas lendo ata despois de traballar co problema por un pouco.

ç

É certo que despois de velo resolto, non parece gran cousa, pero a min levoume ben de tempo dar coa resposta a pesar de que a súa abordaxe é bastante obvia. 

Sexa x o valor do lado que temos que determinar. Despois de colocar os datos sobre o cadrado trazamos un par de segmentos a e b, perpendiculares aos lados.

Xa que logo, temos tres incógnitas (x, a e b) e tamén tres triángulos rectángulos, os de hipotenusas 2, 3 e 4. De aí obtemos as ecuacións:

$\left.\begin{matrix}4=\left ( x-b \right )^{2}+a^{2}\\ 16=\left ( x-a \right )^{2}+b^{2} \\9=a^{2}+b^{2}\end{matrix}\right\}$

Desenvolvendo as dúas primeiras e facendo uso da terceira obtemos:

$\left.\begin{matrix}4=x^{2}-2bx+b^{2}+a^{2}\\ 16=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}\end{matrix}\right\}\left.\begin{matrix}4=x^{2}-2bx+9\\16=x^{2}-2ax+a^{2}+9\end{matrix}\right\}\left.\begin{matrix}2bx=x^{2}+5\\ 2ax=x^{2}-7\end{matrix}\right\}$

Despexando a e b e substituíndo eses valores na terceira ecuación:

$$ \left.\begin{matrix}b=\frac{x^{2}+5}{2x} \\ a=\frac{x^{2}-7}{2x}\end{matrix}\right\}\quad \left (  \frac{x^{2}+5}{2x}\right )^{^{2}}+\left (\frac{x^{2}-7}{2x}  \right )^{2}=9$$

Obtemos finalmente unha ecuación bicadrada: $$x^{4}+10x^{2}+25+x^{4}-14x^{2}+49=36x^{2}\\2x^{4}-40x^{2}+74=0\\x^{4}-20x^{2}+37=0$$

$$x=\sqrt{\frac{20\pm \sqrt{262}}{2}}=\left\{\begin{matrix} 4,2536& \\ 1,3809\end{matrix}\right.$$

Desbotamos a segunda das solucións porque nun cadrado desas dimensións non poderiamos situar un punto interior a distancia de 2 unidades de ningún vértice e, con máis razón, tampouco podería estar a 3 ou 4 unidades dos vértices. Entón a solución é 4,2536

Tres enigmas de Dudeney

O inglés Henry Dudeney (1857-1930) é un dos máis recoñecidos precursores da matemática recreativa. Volvemos sobre el para compartir algunha das súas propostas do seu libro Os enigmas de Canterbury, Trátase dun libro con 110 propostas relatadas con diversos recursos narrativos. O primeiro deles consiste nunha xuntanza de varios peregrinos camiño de Canterbury na que acordan pasar o tempo popoñéndose diversos retos. O que recollo de seguido podería ser proposto nos primeiros cursos da ESO. Case seguro que a primeira resposta que nos ofrezan vai ser errada pois o reparto xusto non será de cinco moedas para o Muiñeiro e tres para o Tecelán.

O enigma do Mordomo. O Muiñeiro e o Tecelán sentaron a tomar unha pequena merenda. O Muiñeiro sacou cinco fogazas de pan e o Tecelán tres. O Mordomo achegouse e pediulles permiso para comer con eles, ao que accederon. Cando o Mordomo rematou, depositou oito moedas e dixo sorrindo con retranca: "arranxade entre vós como debe dividirse o diñeiro en forma xusta"

Outro dos capítulos ten como pretexto para propoñer unha restra de enigmas a presunta recuperación de varias cuestións de Sir Hugh, o señor do Castelo de Solvamhall, un amante das adiviñas e dos problemas de enxeño. O que escollín vai coa imaxe que acompaña o texto, que serve para despistar un pouco ao lector. Como pista adianto que se debe ler a cuestión con moita atención co fin de contestar ao que se require, e non a outra cousa.

A fiestra do calabozo. Sir Hugh levou ao mestre de obras ao calabozo e sinaloulle unha fiestra. "Creo -dixo- que a vosa fiestra é cadrada e mide no seu interior un pé por cada lado, e está dividida polas estreitas barras en catro luces, que miden medio pé por cada lado. [...] Desexo que faga outra fiesta, a maior altura, cuxos catro lados tamén midan un pé, pero que estea dividida en oito luces de lados tamén iguais"

Noutro dos apartados do libro Dudeney di que recupera algunhas cuestións da Abadía de Riddlewell pois os seus monxes "eran famosos na súa época polos curiosos enigmas e adiviñas que adoitaban propoñer". Nun dos retos retátase o doloroso caso de Xan, o Despenseiro, que fora pillado roubando no bocoi do mellor viño de malvasía, o que se gardaba para as ocasións especiais. A pesar da falta, o relato do problema fai que nos poñamos de parte do Despenseiro:

A adiviña do Despenseiro. "Había cen pintas no bocoi ao principio e eu tomei unha pinta cada día deste mes de xuño -sendo hoxe o trixésimo día do mes-, e se o meu Lord Abade establece coa maior precisión canto bo viño tomei en total, entón que me castigue como merezo". O Abade contestoulle que eran 30 pintas, ao que lle respondeu o Despenseiro: "Non, non, pois cada vez que eu tomaba unha pinta do bocoi, verquía nel unha pinta de auga no seu lugar"

O enigma do mercader

Os enigmas de Canterbury (1907) é o título dun libro de Henry Dudeney (1857-1930), un gran creador de xogos e retos matemáticos. O macguffin do relato consiste en que un grupo de preregrinos camiño de Canterbury coinciden nunha pousada e comezan a propoñerse enigmas. Cada un leva o nome de quen o presenta, aínda que normalmente a característica ou oficio do propoñente non garda relación co contido do problema. 

Posiblemente un dos máis versionados e coñecidos sexa o enigma do pousadeiro. 

O enigma do pousadeiro. O pousadeiro falou así: "Velaquí unha cuba de boa cervexa de Londres, e nas miñas mans sosteño dúas mediddas: unha de cinco pintas e a outra de tres pintas. Prégovos que me mostredes como é poible que poida poñer unha pinta en cada unha das medidas". Por suposto, non pode empregarse ningún outro recipiente ou elemento e non está permitido marcar as medidas.

Hai outra proposta na que me quería parar pois,a pesar de que Dudeney se estende demasiado na explicación, a pregunta é moi bonita.

O enigma do mercader. Eramos trinta en total cabalgando esta mañá. Certamente podemos ir un xunta o outro, no que é dado en chamar liña única, o u de dous en dous, ou de tres en tres, ou de cinco en cino, ou de seis en seis, ou de dez en dez, ou de quince en quince ou os trinta en columna. De ningunha outra forma podemos andar de modo que non existan números desiguais nas liñas. Agora,  un número de peregrirnos podían cabalgar así de 64 formas difrerentes. Prégovos que  me digades cantos peregrinos deberon consecuentetemente integrar a compañía. O mercader claramente pediu a menor cantidade de persoas que poideran cabalgar de sesenta e catro maneiras.

A cuestión non é outra que achar o menor número que teña 64 divisores. Para iso botamos man do resultado que nos di que se a descomposición factorial dun número é $$m=q_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdot q_{2}^{\alpha _{2}-1} ... \quad q_{k}^{\alpha _{k}-1} $$ o seu número de divisores será $$\alpha _{1}  \cdot      \alpha _{2}    ... \:  \cdot   \alpha _{k} $$

Como no noso caso o número de divisores é 64,  $\alpha _{i} \in \left \{ 2,4,8,16,32,64 \right \} $ de aí que os expoñentes da descomposición factorial do número buscado deben estar entre os valores $ \alpha _{i} -1\in \left \{ 1,3,7,15,31,63 \right \}  $

Unha posible resposta é $m=2^{63}=99\,223\,372\,036\,854\,780\,000  $. Este número ten 64 divisores, pero teñamos presente que estamos buscando o menor número verificando esta propiedade. Este sería un caso extremo, o correspondente ao expoñente 63. Se partimos do outro caso extremo, se todos os expoñentes fosen 1, o resultado estaría formado polo produto dos seis primeiros primos $m=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30\ 030$. Ben, este xa é algo menor. Podémolo mellorar?

A resposta é afirmativa. O último factor é 13. É preferible colocar no seu lugar $2^{3}$. Nese caso a solución sería  $m=2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=9\ 240$, que evidentemente é menor pois, aínda que multiplicamos o anterior valor por $2^{2}$, dividímolo por 13. 

Podemos seguir por este camiño. Unha alternativa sería pensar nunha potencia maior para o factor 2. O seguinte valor das potencias é 7. Isto significaría ter que multiplicar por $2^{4}=16$ e a cambio só conseguiriamos eliminar o factor 11. O resultado sería $m=2^{7}\cdot 3\cdot 5\cdot 7=13\ 440$, evidentemente un valor peor que o obtido anteriormente. De aí que debamos considerar incrementar a potencia de 3. Como [3³ =9 ] $3^{2}=9$ é, agora si, menor que 11, obtemos unha vantaxe ao multiplicar por 9. Neste caso o número obtido sería $m=2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7=7\ 560$. Non parece que poidamos mellorar este resultado pois para iso deberiamos incrementar a potencia do factor 5 a $5^{3}=125$, isto é, multiplicar m por 25 e a cambio só eliminariamos o factor 7. Finalmente denotaremos a solución como $A(64)= 7\ 560$ tal e como o fixo M. E. Grost no American Mathemathical Monthly nun artigo do ano 1968.

Acabamos de ver que obter o menor número con n divisores, A(n), non parece unha pescuda que se poida facer directamente. Con todo hai un caso simple. Se p é primo tense que $A(p)=2^{p-1}$.

A sucesión do menor número con n divisores (OEIS A005179) ten este desconcertante comezo (están marcados en letra grosa os valores dos lugares primos):

 1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48, 1024, 60, 4096, 192, 144, 120, 65536, 180, 262144, 240, 576, 3072, 4194304, 360, 1296, 12288, 900, 960, 268435456, 720, 1073741824, 840, 9216, 196608, 5184, 1260, 68719476736, 786432, 36864, 1680, 1099511627776, 2880,...

Consideremos agora un número que sexa produto de dous primos, como o $6=3\cdot 2$. Non é dificil de ver que $A(6)=12=2^{2}\cdot 3$. Para $4=2\cdot2$, pois non dixemos que os primos tiñan que ser distintos, temos $A(4)=6=2\cdot 3$ e analogamente para $9=3\cdot3$ temos $A(9)=2^{2}\cdot 3^{2}=36$. No artigo referido Grost demostra que para todo número que sexa produto de dous primos $n=p\cdot q$ con $p\geq q$, o menor enteiro con n divisores será $A(n)=2^{p-1}3^{q-1}$. Nesta altura todos estariamos tentados a xeneralizar o resultado:

Xeneralización. Se $n=q_{1}\cdot q_{2}...q_{k}$ con $q_{1}\geq q_{2}\geq ...\geq q_{k}$ factores primos, entón $A(n)=p_{1}^{q_{2}}\cdot p_{1}^{q_{1}}...p_{k}^{q_{k}}$ onde $p_{i}$ é o i-ésimo número primo.

Desafortunadamente esta xeneralización non é certa, nin tan siquera para os números que son factores de tres primos. Por exemplo non se verifica para n=8 pois $A(8)=24=2^{3}\cdot 3\neq 2\cdot 3\cdot 5=30$. Tampouco se verifica para 16, 24, 32, 48,... Podemos lembrar que xa vimos que o 64 tampouco está entre os valores caracterizados pola xeneralización xa que $A(64)= 7\ 560\neq 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$. Grost chamoulle a estes números extraordinarios e, consecuentemente denominaría ordinarios a aqueles enteiros para os que si é certa a xeneralización. Resulta que hai unha infinidade de números extraordinarios pero en certo sentido os números ordinarios son máis abundantes entre os naturais. Resulta que os números ordinarios son densos nos naturais. Chamándolle $\alpha (n)$ á cantidade de números ordinarios menores ou iguais que n, o que se está afirmando é que $$\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha (n)}{n}=1$$

Uns Bocados que abren o apetito

Foto da Libraría Paz

O pasado 23 de febreiro presentouse na Libraría Paz de Pontevedra o libro Bocados matemáticos (Xerais 2022), de Paulo González Ogando. Así foi como puiden desvirtualizar ao autor. Achei unha persoa que me dou a impresión de ser moi sistemática e ordenada e á que lle gustan os libros de divulgación das matemáticas. Todas estas cualidades son puntais fundamentais para un autor desa clase de libros.

O primeiro en intervir na presentación foi Fran Alonso, moi preocupado polos resultados dos informes da lectura, especialmente da lectura en galego. Só un 4% da poboación le na nosa lingua, todo un síntoma dun enorme problema que non recibe nin a atención nin as solucións que precisa. Fran Alonso enmarcou os Bocados matemáticos baixo dous parámetros. En primeiro lugar identificouno como pertencente á tradición anglosaxona da divulgación. En segundo lugar, é un volume máis da colección Básicos de ciencia, unha colección que todos aos que nos gusta a divulgación agradecemos infititamente e que certifica que a editorial é fiel á súas orixes. O director de Xerais lembrounos que o primeiro libro da editorial foi un libro de texto de matemáticas de 1º de BUP, o do colectivo Vacaloura. Un libro, que baixo a lexisación actual estaría prohibido publicar por ser un libro de texto de matemáticas en galego. Con esta intervención, Fran Alonso pisou o que tiña preparado eu, con todo, aproveitei para lembrar que o libro do colectivo Vacaloura publicouse a comezos do curso do ano 1979. Uns poucos meses antes publícase o "Decreto do bilingüismo", que segundo a propaganda oficial do momento era o da incorporación da lingua galega ao sistema educativo. Na realidade, se un profesor quería impartir aulas en galego, debía pedir permiso á dirección, ao claustro de profesores, aos pais do alumnado e, de ter o permiso de todos eles, podería elaborar un informe solicitando ao Ministerio de Educación a aprobación do uso da lingua galega na docencia. Para o castelán non había ningún requisito: iso era o bilingüismo. Co soporte dese decreto non se impartiu nin unha hora en galego; pola contra, serviu para fustigar a represión do uso da lingua no ensino. Basta lembrar os casos de Alfonso Castro no colexio do Foxo, na Estrada ou o de Pepa Bahamonde en Rois.

O decreto do bilingüismo do século XXI chámase "decreto de plurilingüismo". Era imprescindible falar del na presentación deste libro, aínda con máis razón se sabemos que nas primeiras páxinas faise referencia ao mesmo:

[este libro] Foi escrito nun tempo en que a materia de Matemáticas na Educación Secundaria Obrigatoria se debe impartir obrigatoriamente en castelán, o cal contribuiu notablemente a ocultarlle ao alumnado o vocabulario específico en galego e a minimizar nesta nosa lingua tanto a expresión oral das matemáticas como a produción escrita de material, tanto didáctico coma tamén divulgtivo. [o subliñado é meu]

Fálase de minimizar. Respecto aos libros de texto foise máis alá: aniquilación completa da lingua galega. Fálase de ocultar. Un verbo terrible cando estamos tratando de educación. A ocultación implica descoñecemento. O descoñecemento leva ao desleixo, ao desprezo e incluso ao dodio á lingua. Todo iso é o decreto 79/2010. 

Tamén se fala de divulgación científica. A este respecto, cal é o panorama? Cantos libros de divulgación das matemáticas en galego se publicaron no século XXI?. Como non son moitos, vou citalos todos:

• Bocados matemáticos, de Paulo González Ogando, Xerais 2022
• Apoloxía dun matemático, de G. H. Hardy, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2020
• Mate-glifos, de Nicanor Alonso e Miguel Mirás, Xerais 2019
• Un conto enleado, de Lewis Carrol, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2017
• As mulleres nas matemáticas, de Matilde Ríos Fachal, Bahía 2008
• A Estatística, ¡en caricaturas!, de Larry Gonick e Wollcott Smith, SGAPEIO 2001

Podémolo poñer nun gráfico:

Parece un número escrito en binario

Para entender mellor a situación, comparémolo co caso do castelán. Cantos libros divulgativos de matemáticas se publicaron neste século en castelán?. Isto non é fácil de responder. Por sorte hai un portal, Divulgamat,  que fai recensión de moitos deles. Se o consultamos veremos que no mesmo período teñen un rexistro dun 985 (coa data desta entrada). Isto significa que seguro que hai máis de 1000. A poboación española é unhas 17 veces a galega. 1000 dividido entre 17 dá aproximadamente 60. Para falarmos dunha situación parella (de bilingüismo?) terían que terse publicado 60 libros de divulgación das matemáticas durante este século. Publicáronse 6. Xa temos unha cifra redonda que nos aclara que vivimos 10 veces por debaixo das nosas necesidades. Esa é a a medida da exclusión do galego no ámbito da divulgación das matemáticas.

Centrémonos agora algo nos Bocados matemáticos. Non vou facer spoiler, pero si dar trazas dos sabores que nos deixan eses petiscos, pois tal e como explicou Paulo, trátase dunha colección de 36 relatos independentes sobre curiosidades matemáticas que lle interesaron. Ao seren independentes podémolas ler en calquera orde. 

Nun dos capítulos contrapóñense as matemáticas centradas nos algoritmos fronte a outras máis profundas, asentadas nos por que, nas ideas, as razóns. Por exemplo, todos sabemos que non se pode dividir por 0, pero por que? Se facemos memoria da época escolar recordaremos que $a^{0}=1$, pero cal é a razón? Velaquí onde residen as matemáticas fermosas, nesta indagación.

Outro lugar onde esperariamos achar beleza matemática sería na xeometría. No libro hai un capítulo adicado a ela, pero non se falará dunha xeometría con listados de fórmulas de áreas, perímetros ou volumes. Falarase, por exemplo da forma dos folios como os DIN A3 ou A4. Por que esa esa proporción entre os lados e non outra? A seguinte figura suxírenos algunha resposta

Un dos problemas a afrontar para achegar as matemáticas á xente é o da utilidade. Cando se presenta un tema de carácter matemático é habitual escoitar a acusación de que non serve para nada: "cando vou eu usar un espazo vectorial?, se vou á compra non necesito polinomios.... " Fronte a isto, podemos retrucar co xa tratado asunto do tamaño das follas de papel da norma DIN, ou incluso co contido dun capítulo completo dos Bocados adicado ás chamadas matemáticas do reloxo, a aritmética modular que trata os segredos do NIF, o IBAN, o ISBN ou os sistemas de encriptación.

O propio Paulo repasaría os aspectos máis importantes de moitos dos bocados do seu libro. Tamén comentaría que todo comezara da lectura doutros libros divulgativos, dos que foi tomando notas para uso persoal. Só cando tivo unha boa cantidade acumulada decidiu dar o paso de expurgar, organizar e reelaborar o que acabaría sendo o contido dos Bocados matemáticos.

Para finalizar non resisto comentar unha impresión persoal que me asaltou cando lin o libro. Un dos capítulos está adicado aos paradoxos. Alegroume moito esta escolla porque o primeiro libro de divulgación científica que lin foi precisamente ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar, de Martin Gardner nesa marabillosa edición de Labor do ano 1983. E por que paradoxos? Unha das características máis ligadas á esencia das matemáticas é o ben construídas que están. Na matemática todo funciona de forma excepcionalmente coherente. É o que en lóxica se chama consistencia. Ata onde Gödel nos permite, as matemáticas conforman unha excepcional maquinaria perfectamente engraxada, sen contradicións. Por iso mostrar un paradoxo dentro do ámbito das matemáticas chama moito máis a atención que en calquera outro campo. Os paradoxos matemáticos enganchan porque sentimos unha necesidade perentoria de desfacernos deles. Aí reside o acerto de Paulo en escoller este tema como o fío condutor dun dos capítulos dos Bocados. 

Ademais das miñas teimas, comentei catro aspectos dun libro que agardo lle abran o apetito a quen pase os ollos por estas liñas. O bo é que quen lea o libro non vai empachar, quedará con gañas de máis bocados de matemáticas. 

Grazas Poniachick!

Hai uns días, limpando o faiado atopei un pequeno fateixo de revistas que comprara cando era novo. Eran exemplares de Cacumen, unha revista mensual publicada por Zugarto,  editorial madrileña especializada en crucigramas e pasatempos. Sacáronse un total de 47 números entre os anos 1983 e 1986. 

Para os meus petos era moi cara. Con todo chegara a comprar algúns números.  A revista estaba adicada aos xogos. Nela podías encontrar relatos breves con algunha conexión lúdica, retos, curiosidades, cuestións, bandas deseñadas e tamén artigos sobre matemáticas recreativas e xogos. Moitas tardes teño pasado cun xogo de cartas recollido do nº 31 ! O xogo, chamado noventa e nove é facilmente adaptable á baralla española. Como curiosidade, nese mesmo número había un artigo sobre o "extravagante" libro das sucesións de números enteiros de Sloane. Daquela non existía internet.

Practicamente en todos os números había algún artigo e varias referencias ás matemáticas. Por exemplo no nº 34 explícase en poucas palabras a demostración mediante conos do teorema de Monge que foi obxecto doutra entrada neste blogue.

No nº 16 lera por primeira vez a demostración de Euclides da existencia de infinitos números primos. Só por estas poucas liñas xa pagaba a pena a revista. A extraordinaria demostración é unha referencia central das matematicas. Supoñamos, segundo nos indica Euclides, que só hai unha cantidade finita de números primos: 2, 3, 5, 7,...., p, onde lle chamamos p ao maior deles. Consideremos agora o número N=2・3・5・7・....・p + 1. N pode ser primo ou non selo. Se o é xa achamos un primo maior que p. Se non o é terá que ter algún divisor primo pero nin 2, nin 3, nin 5, nin 7,...., nin p son divisores de N xa que o resto da división de N por calquera deses números será 1. De aí que ese eventual divisor primo de N ten que outro maior que p que non estea na relación dada. En calquera caso ten que haber algún primo máis que os supostos, isto é, ten que haber infinitos.

Entre as páxinas de Cacumen tamén se poden achar xogos de Sam Loyd ou artigos de Henry Dudeney, mais cando se fala de xogos e de matemáticas ten que aparecer indefectiblemente Martin Gardner. Apareceron artigos seus nos exemplares nº 24,  nº 26, nº 27 e do nº 32. Neste último trata sobre a cicloide e no primeiro sobre o número π. En moitos outros hai referencias a contribucións súas. En concreto no nº 33 un tal Tadeo Monevin expón e resolve o seguinte problema do divulgador norteamericano:

Un número fantasmal. Unha dama, interrogada polo seu número de teléfono contestou de forma ben curiosa: "o número termina en 4, e se vostede corre o 4 cara adiante de forma que se converta no primeiro díxito, o novo número resulta ser 4 veces o orixinal". Cal é o número telefónico da dama?

Tadeo Monevín é o pseudónimo de Jaime Poniachick (1943-2011), un matemático nacido en Uruguai moi destacado no mundo das matemáticas recreativas. En Arxentina editou da Revista del Snark, que tivo unha curta vida entre os anos 1976 e 1978. Uns anos despois sería o responsable da publicación doutra revista, El Acertijo. Poniachick era un colaborador habitual de Cacumen. El é o autor dun artigo publicado no nº 39 que me quedou gravado a lume. Presentaba o seguinte problema:

O cinto da Terra. Imaxinemos un cordel cinguido á Terra sobre o ecuador. Se lle engadimos un metro, vai quedar algo folgado, canto? Axustemos agora outra o cordel arredor dunha laranxa e despois agregámoslle tamén un metro. O sorprendente é que agora a folgura do cinto da laranxa coincide coa da Terra.

A explicación é ben simple. A lonxitude da corda inicial é 2πr. Se lle engadimos un metro será $$2\pi r+1=2\pi \left ( r+\frac{1}{2\pi } \right )$$

polo que o raio da circunferencia corda extendida supera en 1/2π unidades ao raio da circunferencia inicial independentemente do valor do raio. No caso que nos ocupa, como incrementamos a lonxitude nun metro, o raio aumentaría uns 16 cm tanto no caso da Terra como no da laranxa.

A alma de Poniachick era profundamente matemática. Este artigo continúa preguntándose que pasaría se o cordel ata cadrados de distinto tamaño, ou trigángulos, ou hexágonos,.... Remata con outra perla:

O raíl dilatado. Consideremos un raíl recto de 500 m. de lonxitude fixado nos seus extremos. Coa calor do verán expándese 2 m formando unha xiba no seu centro. Se o arqueamento que se produce é simétrico, que altura estimarías que acadará? 

A resposta, como no caso anterior da Terra e a laranxa, é sumamente antiintuitivo. Poniachick indícanos que unha boa estimación desa altura poderiamos obtela supoñendo que no canto dunha curva temos dúas rectas. 

Quizais o lector coñeza xa a métrica do taxi, atribuída a Minkowski. Para obter a distancia entre dous puntos debemos desprazarnos polas horizontais ou verticais determinadas por eses puntos. A distancia entre os puntos A e B da seguinte figura será 5+3=8. Sobre isto escribe Poniachick no nº 35

A combinatoria dinos que podemos emparellar 4 puntos de 6 formas distintas. Na imaxe que se mostra a continuación están colocados 4 puntos de forma que as distancias entre eles sexan 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 

Sabemos que podemos emparellar 5 puntos de 10 formas distintas. Poderemos colocar 5 puntos sobre o plano de forma que coa métrica do taxi as súas distancias cubran todos os valores enteiros entre 1 e 10? A resposta é que non e a razón ten que ver coa paridade. Fagamos un esquema conectando 5 puntos entre si. O resultado é un pentágono coas súas 5 diagonais. Cada conexión entre dous puntos terá unha medida ben par, ben impar. Fixemos uns valores de paridade para as conexións co punto A: p indica par e i indica impar. No seguinte esquema aparecen en laranxa e a escolla aos puntos B, C, D e E foi p, i, i, i. Isto determina todas as demais pois cada vez que tracemos un triángulo ten que verificarse a "regra dos signos" pois, por exemplo, se entre B e A hai unha distancia par e entre A e C hai unha impar, A distancia entre B e C será impar.

Se facemos o reconto veremos que hai un total de 4 conexións pares e 6 impares cando o número de pares e impares entre os números 1 e o 10 distribúense equitativamente 5 a 5. Con outras escollas iniciais de paridade para o punto A volve a suceder o mesmo, de aí que sexa imposible resolver o problema con 5 puntos. Tamén é imposible facelo con 7 pero sí é posible con 6. Neste caso verás que se obterán todas as distancias entre 1 e 15 colocando eses 6 puntos sobre un rectángulo de dimensións 7🇽8.

No seu artigo do nº 40 Poniachick propón a seguinte cuestión:

Triangulación. Dentro dun triángulo grande distribuímos 5 puntos que, xunto cos 3 vértices do triángulo utilizamos para dividilo en 11 trianguliños. Cantos triganguliños conseguiremos distribuíndo 1000 puntos dentro do triángulo grande?

As ideas aquí recollidas non o foron cun criterio sistemático. Centreime nas revistas que aínda conservo e noutras que coñecía polas portadas. Poden consultarse todos os números de Cacumen nesta entrada do blogue Espejo lúdico. 

Ah! Unha última anotación. Os artigos aos que se fixo referencia ao principio que trataban sobre o libro das sucesións de Sloane, o teorema de Monge e a demostración euclidiana da existencia de infitnitos primos tamén eran da autoría de Poniachick. Ata que nestes días revisei estas revistas e me decatei disto non sabía que el foi unha das persoas que máis me influiu en que quixera estudar matemáticas. Grazas Poniachick!

Cerrando o círculo con Martin Gardner

Polo meu ben, non debería escribir estes parágrafos porque o primeiro que se vai destacar é a miña falta de cultura matemática. Hai unhas poucas semanas redactaba outra entrada, "Recuncando en Alcuíno" na que recollía un grupo de problemas semellantes nos que entraban en xogo un medio de transporte e o combustible para o seu funcionamento. Pedíase optimizar os recursos para chegar con ese transporte a un determinado obxectivo. Os problemas aparecen copiados ao final desta entrada.

Ben sei que non se pode pretender ser perfectamente sistemático. Con todo, a miña intención era recoller a familia máis ampla de problemas que se puideran agrupar baixo un mesmo paraugas. Non podía imaxinar que pouco tempo despois había de bater cun novo problema desta clase, e nada menos que nun libro de Martin Gardner que, está claro, tiña sen ler, The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. 

Despois desta lección, dubido que poida cerrar o círculo deste tipo de problemas; posiblemente haxa algún outro semellante á espreita en calquera volta de folla. Polo momento recollo de seguido o de M. Gardner:

O voo arredor do mundo. Un grupo de aeroplanos teñen base nunha pequena illa. O tanque de cada aeroplano ten o combustible xusto para media viaxe arredor do mundo. Calquera cantidade de combustible pode transferirse do tanque de calquera aeroplano ao doutro durante o voo. A única fonte de combustible está na illa e asumimos que o trasvases son instantáneos.

Cal é o menor número de aeroplanos deben sair en voo para que un consiga dar unha volta completa arredor do mundo nunha traxectoria círcular. Suponse que tanto as velocidades como os consumos son sempre os mesmos e que todos os aeroplanos regresan a salvo á illa base.

Despois de lelo cómpre un momento de repouso e o intento da súa resolución. Paga a pena. Máis abaixo recollo tamén a solución de Martin Gardner. Fágoo sobre todo por unha razón, pola simplicidade e fermosura do esquema que nos proporciona esa solución.

Para darlle tempo ao enventual solucionador do problema, meto polo medio os enunciados mencionados anteriormente.

Problema do camelo. Un camelo debe transportar 90 modios de trigo dunha casa a outra que queda a 30 leguas. O camelo nunca pode levar unha carga superior a 30 modios. Ademais o camelo come un modio por cada legua. Con cantos modios pode chegar á segunda casa?

Problema do jeep. Nunha base fixa hai n unidades de combustible. Dispoñemos dun jeep que pode levar ata 1 unidade de combustible, e nunca máis. Cun consumo constante o jeep gasta 1 unidade de combustible por unidade de distancia. En calquera punto do camiño pode deixar calquera cantidade de combustible ou recoller calquera cantidade deixada nunha viaxe anterior. combustible. Cal é a máxima distancia que se pode alcanzar?

O problema da motocicleta. Unha pista circular nun deserto debe ser patrullada. Un explorador e unha motocicleta serán transportados en helicóptero a algún punto da pista, e o explorador debe facer un circuíto completo no sentido das agullas do reloxo  na motocicleta, que ten un tanque de 1 litro. O piloto do helicóptero dille ao explorador: "Teño boas e malas noticias". "Cales son as malas noticias?" "O tanque desta motocicleta está baleiro". "Oh ! E cales son as boas noticias? “A boa noticia é que hai latas de gasolina colocadas ao longo da pista, e xuntas conteñen 1 litro de gasolina, que é suficiente gasolina para que vostede e esta motocicleta circulen pola pista unha vez. Aquí hai un mapa que mostra onde están as latas e canta gasolina contén cada unha. Onde queres que che deixe?"

Agora a solución. Como o esquema é tan claro, non cómpre engadir ningunha aclaración. 

Onde outros ven un cadrado,
un matemático ve un cilindro

Problema sen palabras

Non é a primeira vez que deixo por aquí un problema sen palabras.
Este, do libro Resuélvelo! de James S. Tanton, da estupenda colección da Biblioteca Estímulos Matemáticos da RSME-SM, é unha perla que dá mostra do tesouro que esconde a obra.

Dous problemas sobre a esfera

Para dar a impresión de que non teño o blogue abandonado, vou recoller un par de problemas coa esfera de protagonista que recollo dun libro do que, se teño folgos, comentarei algún día.

1. Faise un anel para panos de mesa (dunha altura fixa h) furando verticalmente un cilindro dunha esfera de madeira (ver figura). Proba que o volume do anel non depende do tamaño da esfera.

2. Unha esfera de plastilina pártese en varios anacos para formar outras esferas de menor tamaño (todas iguais). A superficie de todas as esferas pequenas (sumadas) resulta ser o triplo da superficie da esfera orixinal. Cantas pequenas esferas se formaron?

Aquí simplemente recollín os enunciados dos problemas. Con todo, non quería deixar de comentar que preferiría unha versión distinta para o enunciado do primeiro problema para non dar pistas sobre o seu sorprendente resultado. Preferiría unha redación semellante á seguinte:

1. Para facer un anel para panos de mesa, nunha esfera de raio R realizamos un furado cilíndrico de altura h. Determina o volume do anel. 
Decátate de que neste enunciado non falamos do raio da base do cilindro, por que?

Mate-glifos, un libro para recomendar

Ano tras ano observaba con envexa como o profesorado de lingua galega recomendaba lecturas ao alumnado. Eu, non podía facer o mesmo se non era traizoando a miña lingua. Por fin, aínda que mínimamente, como lle corresponde a unha lingua minorizada, podo comenzar a facelo.
Ao contrario do que sucede coa contaminación luminosa, que está apagando as estrelas, a colección de Xerais Básicos Ciencia é a única luz nesta escuridade que afecta á normalización dentro divulgación científica.
Nesa colección vén de publicarse Mate-glifos (Xerais 2019), da autoría dos profesores do Departamento de Matemáticas da Universidade de Vigo Nicanor Alonso e Miguel Mirás. O primeiro deles é o autor doutro libro publicado este ano, A lista de Hilbert (UVigo, 2019), un texto que na súa parte principal podía consultarse na Biblioteca Virtual de Literatura Universal en Galego e que agora publicou a Universidade de Vigo con algunha engádega como os Problemas Clay. Nesta mesma biblioteca virtual atopamos unha tradución da que Nicanor Alonso é co-autor, a do Libro I dos Elmentos de Euclides. Por outra banda Miguel Mirás é un dos partícipes nun texto pensado para a docencia universitaria, Matemáticas á Boloñesa (UVigo, 2014) que tivo que ser ser reestruturado para adaptalo ás novas normas e esixencias, dando lugar a, Un mar de matemáticas (UVigo, 2016). Non é Mate-glifos a única colaboración destes dous autores pois xa se xuntaron para ofrecernos Arenarius, a tradución ao galego da obra de Arquímedes. Estamos, polo tanto, fronte a dous autores experimentados e cun aval no ámbito da escritura sobre o coñecemento matemático máis que certificado. Aínda máis, como demostran todas estas referencias anteriores ambos os dous están interesados e comprometidos coa normalización da lingua, valor que os fai merecedores de todo o noso agarimo.
 Pero, que son os mate-glifos? Se como resposta ofrecésemos unha outra pregunta: "que son os petróglifos?", de certo que colleríamos o fío de por onde van as cousas. Un glifo, RAG dixit, é "un signo ou debuxo de carácter simbólico empregado en diferentes sistemas de escritura". Velaí que este libro está adicado á escritura dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0), mais tamén doutros símbolos matemáticos como o punto ou a coma decimais, as parénteses, corchetes ou chaves como glifos de agrupamento,  +, ー, ✕ ou ⋅, ÷ ou a/b, √, a^b, r॥ s (r paralela a s), r丄s (r perpendicular a s), ＞, ＜, =, x como incógnita, as abreviaturas trigonométricas sen, cos e tan, log como abreviatura de logaritmo, ∑, Π,  f ', ∫, ou os números e, π, i.
Quen propuxo toda esta simboloxía?, cando? cales son as razóns da escolla actual? Nicanor Alonso e Miguel Mirás intentan responder a estas cuestións.Teñamos presente que a resposta nunca é inmediata. Todas as ideas que gardan estes glifos escribíronse de distintas maneiras dependendo da época e incluso do autor. Consideremos por exemplo o símbolo da igualdade (=). Escollino porque, segundo a miña experiencia,  o creativo alumnado de secundaria está empeñado en substituílo por frechas (➝). Cada vez que o fan preséntolles a Robert Recorde, quen no 1557 expresou o seu argumento para introducir o símbolo = e que viaña sendo que el non era que de imaxinar dúas cousas máis iguais que dúas paralelas. En Mate-glifos faise referencia a outras escrituras para representar a igualdade tales como Ч (copistas do III e IV), pha, aeq., ae, ...
Aínda hai outra característica deste libro que o fai máis atractivo. Tomando como desculpa os tópicos que vai tratando, introdúcense a modo de pílulas, cuestións de carácter divulgativo. Esta estratexia de elaboración do libro faino moito máis dinámico para o lector que busca algo máis que unha restra de explicacións sistemáticas sobre a escritura matemática. Ao falarnos dos símbolos da división explícase en que consiste a proba do 9 (teño que confesar que é a primeira vez que a vexo nun texto impreso). A carón do sistema de numeración binario detállase un truco de maxia que utiliza este sistema. Os logaritmos van acompañados do problema do coleccionista de cromos: cantos cromos se espera que teña que comprar para completar unha colección de 200? A resposta, que recollo do libro, é de 1176. Noutro capítulo, a raíz da demostración do teorema de Pitágoras coñecida como a cadeira da noiva, preséntasenos un quebracabezas de Henry Dudeney consistente en cortar un triángulo equilátero en 4 pezas de forma que ao volver a xuntalas poidamos formar un cadrado.

Velaquí o triángulo equilátero, recórtao e forma un cadrado

Como regalo final, ofrécesenos un pequeno dicionario etimolóxico dalgúns termos matemáticos e unha táboa (ou glifoteca) con símbolos, ano de aparición e autor. Non sei que esperades para ler e, xa que logo, recomendar.

Isto son matemáticas (en galego)

Isto son matemáticas
no IES Antón Losada

Tal e como se anunciaba nunha entrada anterior, no IES Antón Losada programouse unha extensa cantidade de actividades reivindicando a ciencia en galego. Unha delas consistiu na presentación por parte de alumnos de 1º de bacharalato, de seis temas de corte matemático a alumnos de 2º da ESO.

Os primeiros en ofrecer o seu relato foron Ibai Fernández e Samuel Martíns, que baixo o título "O número de Deus" explicaron como facer o reconto de posibles configuracións dun Cubo de Rubik, resolveron un en directo e, como non!, falaron do curioso número de Deus. Uxía Rodríguez e Andrea Porto abordaron distintos crebacabezas xeométricos nos que cunhas poucas pezas simples, ao estilo Tangram, podemos formar distintas figuras xeométricas de distintas áreas... a pesar de que usamos as mesmas pezas!

 

Laura Picallos e Carla Villaverde abordaron a cuestión de "Para que serven os polinomios?" Para iso presentaron o seguinte xogo do Proxecto ed@ad   no que se trata de adiviñar unha das 32 figuras por medio de 5 preguntas de resposta si/non. Entón desviaron a cuestión ás notacións decimal e binaria dos números. A representación dos números en calquera base faise mediante unha estrutura polinómica. Precisamente, estudando o sistema binario podemos desvelar o segredo deste xogo. Como en moitas ocasións, a esencia da resposta está no coñecemento dos polinomios.

Facendo uso da técnica anterior, pero implicando agora o control das ordenacións ao barallar as cartas, Julio Tarrío e Andrea Fraiz fixeron un espectacular truco de cartas matemático.

Falando de xogos, coñecedes o xogo do nim? Dada unha disposición en filas de 1-3-5-7 paus, cada xogador (son 2) retira por quendas a cantidade de paus que queira de cada fila. Perde o que se vexa obrigado a retirar o derradeiro pau.
Pablo Pena e Mauro Moimenta non só xogaron e explicaron en que consiste, senón que, facendo uso da descomposición de calquera número como suma de potencias de dous, deron conta dunha estratexia gañadora. Ademais esa estratexia podían aplicala a calquera outra disposición de paus en filas. En particular, serviría para xogar con filas de 1-2-4-7-8 paus en cada unha.


O xogo do calendario
Finalmente Seraina Barros e Iria Ferreiro presentaron outro xogo, o "Xogo do calendario". Tomaron como punto de partida o calendario que fixera o Equipo de Normalización a comenzos de curso. Poderían ter collido outro mes pero escolleron o mes de maio por ser cando se celebra o Día das Letras. Nel recortaron unha matriz de 4x4 números e mediante un proceso consistente en escoller un número e despois tachar o resto dos números da fila e a columna no que está o elixido para pasar despois a escoller outro número non tachado, foron guiando aos alumnos de 2º da ESO para que fixeran o mesmo. A pesar de que tiñan todos táboas diferentes, de que cada un escolleu os números como lle petou, e, en definitiva, de que cada un dos presentes tiña unha colección de 4 números distinta, ao final por esas cousas misteriosas que teñen as matemáticas, a suma deses grupos de 4 números escollidos por todos e cada un dos asistentes coincidía!

 

Cando andaba na procura de temas para que o alumnado preparara para expoñer, atopei varios xogos que tiñan que ver cos calendarios.  Non me acababa de gustar ningún, ata que remexendo neles lembrei un que me encantara e que presentara Coque nun congreso de Agapema, así que, dalgunha maneira en homenaxe a el foi o que lle propuxen aos alumnos para que o levaran a cabo. Paso a explicar os seus fundamentos.
Se recortamos unha matriz 4x4 nun calendario (cando isto é posible), e o primeiro número é a, o resto da matriz distribuirase da seguinte maneira: $$\begin{matrix} a & a+1 & a+2 & a+3 \\ a+7 & a+8 & a+9 & a+10 \\ a+14 & a+15 & a+16 & a+17 \\ a+21 & a+22 & a+23 & a+24 \end{matrix}$$
(Nota: quen queira pode pensar en escoller unha matriz 3x3 e ver o que sucede nese caso). Polo procedemento indicado máis arriba (escoller un número, tachar fila e columna, escoller número non tachado, tachar fila e columna....) determínanse 4 números que sumarán o mesmo que os 4 da diagonal principal: 4・a + 48. Na escolla que fixeron Iria e Seraina: 4・7 + 48 = 76.
Finalmente, elaborar matrices que den lugar a esas cifras non é nada complicado. Basta considerar a seguinte matriz $$\begin{matrix} a & a+k & a+2k & a+3k \\ b & b+k & b+2k & b+3k \\ c & c+k & c+2k & c+3k \\ d & d+2k & d+3k & d+4k \end{matrix}$$ Dándolle valores a catro das variables en xogo, por exemplo ás variables k, a, b e c, podemos deducir o valor de

 d=76 ㄧa ㄧbㄧcㄧ6k.