por Andrés Ventas
No que teño lido sobre a ecuación de Pell, tanto positiva $x^2 - Dy^2=1$ como negativa $x^2 - Dy^2=-1$, a partir da solución fundamental $(x, y)$ pódense obter o resto de infinitas solucións $(x_n, y_n)$ mediante unha recorrencia non demasiado complicada pero que afecta ás dúas variábeis en cada paso.
Atopei unha recorrencia simple que tamén permite obter o termo $n$ de forma directa e envieino como problema proposto á revista Mathematical Student (V94-part3-4-2025) . Envieno hai máis dun ano e saiu publicado neste segundo número (é semestral) do ano 2025. Mais non houbo boa sorte e a demostración ficou cortada, aínda que polo menos aparecía a parte importante.
A recorrencia atopada é:
$$\begin{aligned}
(x_{n+2}, y_{n+2}) = 2x \ (x_{n+1},y_{n+1}) - (x_{n}, y_{n}). \\
\end{aligned}$$
Onde para o $\mathbf{2x}$ da recorrencia usamos o $\mathbf{x}$ da solución fundamental $\mathbf{(x,y)}$ da ecuación positiva $\mathbf{x^2 - Dy^2=1}$.
Consideramos o valor inicial para $n=0$ a solución fundamental $(x, y)=(x_0, y_0)$.
Para a Pell positiva, $x^2 - Dy^2=1$, temos´$(x_{-1}, y_{-1}) = (1, 0)$
Para a Pell negativa, $x^2 - Dy^2=-1$, temos: $(x_{-1}, y_{-1}) = (-x_0, y_0)$
En $$\begin{aligned}x &= A033313 = 3, 2, 9, 5, 8, 3, 19, 10,\ 7, 649, 15,\ 4, 33, 17, 170, \ldots \\
D &= A000037 = 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12,\ 13, 14, 15, 17, 18,\ 19, \ldots
\end{aligned}$$ ( Smallest positive integer x satisfying the Pell equation x^2 - D*y^2 = 1 for nonsquare D and positive y) temos os valores $x$ da solución fundamental para todos os $D$ que non son cadrados.
Evidentemente para a Pell negativa están excluídos os valores sen solución $A031398: 34, 146, 178, 194, 205, 221, 305, \ldots $
Tamén temos a $A180495=6, 4, 18, 10, 16, 6, 38, 20, 14, 1298, 30, 8, 66, 34, 340, \ldots$ que ten $2x$ pero a descrición é só para o caso positivo e está expresado de xeito peculiar: "Coefficient a(n) of three-term recurrence relation for solutions of the equation in integers x^2-n*floor(x/sqrt(n))^2=1 such that x(i+2)=a(n)*x(i+1)-x(i). n is a nonsquare number".
Exemplos
Positiva para $D=7$, coa solución fundamental $(8,3)$ temos $2x=16$ e por tanto:
$(1, 0), (8, 3), (8\cdot 16 -1, 3\cdot 16 -0)= (127, 48), (127\cdot 16 -8, 48\cdot 16 -3)= (2024, 765), \ldots$ que se poden verificar en calquera texto ou sobre a propia ecuación $2024^2 - 7\cdot765^2=4096576-4096575=1.$
Negativa para $D=5$, coa solución fundamental negativa $(x_0, y_0)=(2,1)$ e obtemos a solución fundamental positiva $(9,4)$ temos $2x=18$, e por tanto:
$(-2, 1), (2, 1), (2\cdot 18 -(-2), 1\cdot 18 - 1)= (38, 17), (38\cdot 18 - 2, 17\cdot 18 -1)= (682, 305)$,
$(682\cdot 18 - 38, 305\cdot 18 -17)= (12238, 5473)\ldots$ que se poden verificar sobre a propia ecuación $12238^2 - 5\cdot 5473^2=149768644-149768645=-1$ (e non digo "verificar sobre texto" porque sobre a Pell negativa hai menos datos).
Proba da recorrencia de Pell negativa
Imos probar a recorrencia da Pell negativa que é algo máis liosa:
Parte 1
Se temos $x_{0}^2 - D y_{0}^2 = -1$ daquela $x_{0}^2 + D y_{0}^2 = x \tag{1}$.
Imos usar o método de Heron ou Newton de cálculo de raíces. Comezamos polo valor $\dfrac{x_{0}}{y_{0}}$ e obtemos un termo máis $\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{x_{0}}{y_{0}}+\dfrac{Dy_{0}}{x_{0}} \Big)= \dfrac{x_{0}^2 + Dy_{0}^2}{2 x_{0} y_{0}}$.
Denotamos como $N(x, y) = x^2 - Dy^2$ a norma de $x + \sqrt{D} y$. Obtemos a norma do novo termo $N(x, y)$,
$$\begin{equation*}
\begin{aligned}
&(x_{0}^2 + Dy_{o}^2)^2 - D(2 x_{0} y_{0})^2 = x_{0}^4 + y_{0}^4 + 2 D x_{0}^2 y_{0}^2 - 4 D x_{0}^2 y_{0}^2 \\
&= x_{0}^4 + x_{0}^4 - 2 D x_{0}^2 y_{0}^2 = (x_{0}^2 - Dy_{0}^2)^2 = N^2.
\end{aligned}
\end{equation*}
$$
cando $N=-1$, temos $N^2=1$ e $(x, \ y) = (x_{0}^2 + Dy_{0}^2, \ 2 x_0 y_0)$.
Parte 2
Agora probamos por indución un caso que sairá na proba total: $Dy_n y_{n-1} - x_n x_{n-1} = x$,
Para $n=1$ temos $x_1= -x_0; \ x_0; \ x_1= 2x \ x_0 + x_0; \quad y_1= y_0; \ y_0; \ y_1= 2x \ y_0 - y_0$.
Para $n$ temos $$\begin{aligned}
Dy_n y_{n-1} - x_n x_{n-1}&=D 2x \ y_{n-1}^2 - Dy_{n-1}y_{n-2} - D 2x \ x_{n-1}^2 - Dx_{n-1}x_{n-2} \\
&= 2x(Dy_{n-1}^2 - x_{n-1}^2) - Dy_{n-1}y_{n-2} + x_{n-1}x_{n-2} = 2x - x = x.
\end{aligned}$$
Parte final
Agora podemos probar a recorrencia completa por indución,
Primeiro paso,
$$\begin{equation*}
\begin{aligned}
N(x_1, y_1) &= (2x x_{0} - (-x_{0}) )^2 - D (2 x y_{0} - y_{0})^2 \\
& = 4x^2 x_{0}^2 + x_{0}^2 + 4x x_{0}^2 - D (4x^2 y_{0}^2 + y_{0}^2 - 4x y_{0}^2) \\
& = 4x^2 (x_{0}^2 - D y_{0}^2) + x_{0}^2 - D y_{0}^2 + 4x (x_{0}^2 + D y_{0}^2) \\
& = 4x^2 (-1) + (-1) + 4x x = -1.
\end{aligned}
\end{equation*}
$$
(Onde $(x_{0}^2 + D y_{0}^2) = x$, está demostrado na parte 1).
Paso $n+1$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned}
N(x_{n-1}, y_{n-1}) &=x_{n-1}^2 - Dy_{n-1}^2 = -1; \\
N(x_{n}, y_{n}) &=x_{n}^2 - Dy_{n}^2 = -1; \\
N(x_{n+1}, y_{n+1}) &=(2x x_{n} - x_{n-1})^2 - D(2x y_{n}-y_{n-1})^2 \\
&=4x^2 x_{n}^2 + x_{n-1}^2 - 4x x_{n}x_{n-1} - D(4x^2 y_{n}^2 + y_{n-1}^2 - 4x y_{n}y_{n-1})\\
&=4x^2(x_{n}^2 - D y_{n}^2) + x_{n-1}^2 - D y_{n-1}^2 + 4 x (Dy_{n} y_{n-1} - x_{n} x_{n-1}) \\
&= 4x^2(-1) + (-1) + 4xx = -1. \\
\end{aligned}
\end{equation*}
$$
(Onde $Dy_{n} y_{n-1} - x_{n} x_{n-1} = x$, está demostrado na parte 2).
fin da proba da recorrencia
Imos ver un exemplo máis
$$
\begin{align*}
\text{ Para } D=13, (x_0, y_0) &= (18, 5) \text{ logo, } 18^2-13\cdot 5^2=-1. \\
\text{ e } (x, y) &= (649, 180) \text{ logo, } 649^2-13\cdot 180^2=+1.\\
\text{ Agora, } x_1 &= 2x \ x_0 - x_{-1} = 2\cdot 649 \cdot 18 - (-18)= 23382, \\
y_1 &= 2x \ y_0 - y_{-1} = 2\cdot 649 \cdot 5 - 5= 6485. \\
\text{ Comprobando, } & 23382^2 - 13\cdot 6485^2= -1.
\end{align*}
$$
Proba da recorrencia de Pell positiva
Xa ía subir a entrada cando lembrei que hai anos atopei unha proba máis doada mediante fraccións continuas teito:
En entradas anteriores presentei as fraccións continuas teito que son as fraccións continuas con recorrencia negativa nos converxentes $(p_i, q_i)$, isto é, $p_i = c_i p_{i-1} - p_{i-1}; \ q_i = c_i q_{i-1} - q_{i-1}.$
Así temos:
$\lceil x, x, x, \ldots \rceil = \dfrac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$
$\lceil x, 2x, 2x, \ldots \rceil = x- \dfrac{1}{\dfrac{2x + \sqrt{(2x)^2 - 4}}{2}} = x - \dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$
$x^2 - Dy^2=1; \quad \sqrt{x^2-1}=y\sqrt{D}$
E agora comprobamos que ambas as dúas expresións valen o mesmo
$\sqrt{x^2-1}= x - \dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$
$x \sqrt{x^2-1} + x^2 - 1 = x^2 + x \sqrt{x^2-1} -1$
fin da proba da Pell positiva
E a recorrencia tamén chuta para $D \in \mathbb{Q}$:
$x^2 - \dfrac{37}{3} y^2 = 1$ ten como fracción continua $\sqrt{37/3}=[3, \overline{1, 1, 20, 1, 1, 6}]$ o que nos dá o converxente anterior ao período e solución fundamental $(x, y)=(295, 84)$ por tanto $2x=590$ e $590 \cdot 295 -1=174049; \quad 590\cdot 84 - 0=49560; \quad 174049^2 - \dfrac{37}{3} 49560^2 = 1$.
Caso particular $x^2 - Dy^2= -1$ con $D=x^2+1$
Existen varias sucesións na Oeis, por exemplo A097315 (ou procurar por "Pell equation") que teñen $D=x^2+1$ e aparece a recorrencia $a_n= 2x \ a_{n-1} - a_{n}$ e isto non é nada máis que un caso particular do comentado nesta entrada.
Se comprobamos na sucesión A097315 ( (3*b(n))^2 - 10*a(n)^2 = -1), aparece nas fórmulas a recorrencia $a_n = 38a_{n-1} - a_{n-2}$ e podemos comprobar que efectivamente $38= 2\cdot 19$ sendo $(19, 6)$ solución fundamental da Pell positiva $x^2 - 10y^2=1$ (ver por exemplo a táboa da ecuación de Pell na galipedia).
Fórmulas pechadas para o termo $n$
Agora é moi sinxelo atopar fórmulas simples para $(x_n, y_n)$ con material coñecido.
As seguintes fórmulas publiqueinas en forma de problema na revista Fibonacci Quarterly (Volume 63, 2025 - Issue 1). Problema H952 (a solución demora ano e meio en publicarse).
Escribirei aquí as correspondentes a Gibonacci negativo bivariábel $G_{n+2}=xG_{n+1} - yG_{n}$ (isto é unha xeneralización dos números de Fibonacci con calquera dous números de inicio e dous factores multiplicativos na recurrencia).
Tipo Binet $$ G_n^{-}(G_0, G_1; x, y) = \dfrac{G_1 - G_0t_2}{t_1-t_2} t_1^n + \dfrac{G_0 t_1 - G_1}{t_1-t_2} t_2^n.$$ Con $t_1=\dfrac{x+\sqrt{x^2-4y}}{2}; \ t_2=\dfrac{x-\sqrt{x^2-4y}}{2}$.
No noso caso teríamos (para $y_{n-1}$ é o máis simple e temos que baixar o índice nunha unidade para comezar en $y_{-1}=0$):
Pell positiva $G_{n-1}^{-}(0, y_0; 2x, 1) = \dfrac{y_0}{2\sqrt{x^2-1}} \Big(x + \sqrt{x^2-1}\Big)^n - \dfrac{y_0}{2\sqrt{x^2-1}} \Big(x - \sqrt{x^2-1}\Big)^n.$
E como o segundo membro e pequeniño para números grandes podemos redondear o primeiro:
$$y_{n-1}=\bigg\lfloor\dfrac{y_0}{2\sqrt{x^2-1}} \Big(x + \sqrt{x^2-1}\Big)^n\bigg\rceil.$$
Pell negativa $G_{n-1}^{-}(y_0, y_0; 2x, 1) = y_0 \dfrac{\Big(1 - x + \sqrt{x^2-1}\Big)\Big(x + \sqrt{x^2-1}\Big)^n - \Big(x + \sqrt{x^2-1} - 1 \Big)\Big(x - \sqrt{x^2-1}\Big)^n }{2\sqrt{x^2-1}} .$
E como o segundo membro e pequeniño para números grandes podemos redondear o primeiro:
$$y_{n-1}=\bigg\lfloor y_0 \dfrac{\Big(1 - x + \sqrt{x^2-1}\Big)\Big(x + \sqrt{x^2-1}\Big)^n}{2\sqrt{x^2-1}} \bigg\rceil.$$
Para $x_{n-1}$ sería similar pero con máis termos por ter $G_{-1}=1$, así que case mellor obter $y_{n-1}$ e aplicar a ecuación de Pell para calcular $x_{n-1}$.
$\DeclareMathOperator{\acosh}{acosh}$
Con funcións hiperbólicas $$ G_{n}^{-}(G_0, G_1; x, y) = \dfrac{y^{(n-1)/2}}{\sinh{\rho}}(G_1\sinh{n\rho}-G_0\sqrt{y}\sinh{(n-1)\rho}),$$ Sendo $\rho=\acosh{\dfrac{x}{2\sqrt{y}}}$ onde temos que $\acosh = \cosh^{-1}$ é a inversa de $\cosh$ (chámanlle ás veces área hiperbólica e outras arco hiperbólico por semellanza coas funcións trigonométricas e as súas inversas).
No noso caso teríamos (para $y_{n-1}$ é o máis simple comezando en $y_{-1}$):
Pell positiva: $\quad G_{n-1}^{-}(0, y_0; 2x, 1)=\dfrac{y_0 \sinh(n \acosh{x})}{\sinh(\acosh{x})}.$
Pell negativa: $\quad G_{n-1}^{-}(y_0, y_0; 2x, 1)=\dfrac{y_0 \sinh(n \acosh{x})- y_0 \sinh((n-1) \acosh{x})}{\sinh(\acosh{x})}.$
Estas fórmulas son máis delicadas pois necesitan moita precisión nas funcións hiperbólicas, mais pódese usar para relacionar con outros casos en vez de como cálculo.
Exemplos
(Lembrando que como comezamos co par $(x_{-1}, y_{-1})$ os subíndices obtidos están baixados unha unidade).
Pell positiva: $x^2 - 7y^2 =1; \quad (x,y)=(8,3); \quad \rho=\acosh{8}=2.76865938.$
Tipo Binet: $y_{n-1}=\bigg\lfloor\dfrac{y_0}{2\sqrt{x^2-1}} \Big(x + \sqrt{x^2-1}\Big)^n\bigg\rceil$
$y_3=\bigg\lfloor\dfrac{3}{2\sqrt{8^2-1}} \Big(8 + \sqrt{8^2-1}\Big)^4\bigg\rceil$
$y_3=\bigg\lfloor\dfrac{3}{2\cdot 3\sqrt{7}} (8 + 3\sqrt{7})^4\bigg\rceil = \lfloor 0.188982 \cdot 64513.9999 \rceil = \lfloor 12191.98 \rceil= 12192$.
$x_3 = \sqrt{7\cdot 12192^2 + 1} = \sqrt{1040514049} = 32257$.
Tipo hiperbólico: $y_{n-1}=\dfrac{y_0}{\sinh(\acosh{x})}\sinh(n \acosh{x})$
$y_3=\dfrac{3}{\sinh(\acosh{8})}\sinh(4 \acosh{8})$
$y_3=\dfrac{3}{7.937253933}\sinh(11.07463752)=\dfrac{3}{7.937253933}32256.9996 = 12191.9998 $.
Pell negativa (lembrar que o $2x$ vén da solución fundamental da positiva): $x^2 - 26y^2 =-1; \quad (x_0, y_0)= (5,1) ;\quad \text{fundamental positiva}(x,y)=(51,10);\quad 2x=102;$
$\quad \rho=\acosh{51}=4.62487668.$
Recorrencia: $(x_{-1}, y_{-1})=(-5,1),(x_0, y_0)=(5,1); (x_1, y_1)=(102\cdot 5 -(-5), 102\cdot 1 - 1,)=(515, 101);$
$(x_2, y_2)=(102\cdot 515 - 5, 102\cdot 101 - 1,)=(52525, 10301);$
$(x_3, y_3) =(5357035, 1050601); \ldots.$
Tipo Binet: $y_{n-1}=\bigg\lfloor y_0 \dfrac{\Big(1 - x + \sqrt{x^2-1}\Big)\Big(x + \sqrt{x^2-1}\Big)^n}{2\sqrt{x^2-1}} \bigg\rceil$
$y_2=\bigg\lfloor 1 \dfrac{\Big(1 - 51 + \sqrt{51^2-1}\Big)\Big(51 + \sqrt{51^2-1}\Big)^3}{2\sqrt{51^2-1}} \bigg\rceil = 10301$
$x_2 = \sqrt{26\cdot 10301^2 - 1} = \sqrt{2758875625} = 52525$.
Tipo hiperbólico: $y_{n-1}=\dfrac{y_0 \sinh(n \acosh{x}) - y_0 \sinh((n-1) \acosh{x})}{\sinh(\acosh{x})}$
$y_2=\dfrac{1 \sinh(3 \acosh{51}) - 1 \sinh(2 \acosh{51})}{\sinh(\acosh{51})} = 10301.$
A097315
táboa da ecuación de Pell na galipedia
revista Fibonacci Quarterly (Volume 63, 2025 - Issue 1). Problema H952
Pell Equation en MathWorld
