Escolma de problemas de Matemáticas na Raia

A raíz da última entrada estiven remexendo nos problemas propostos no concurso Matemáticas na Raia que organizan anualmente AGAPEMA e a APM desde o ano 2015. En cada edición propóñense 5 problemas que un grupo de alumnos de 3º da ESO (9º curso en Portugal) deben resolver durante 90 minutos. Dos 40 problemas propostos nas 8 edicións fixen unha escolla persoal que paso a compartir.

Para resolver este primeiro problema comecei a trazar segmentos sobre a imaxe para trazar unha liña de abordaxe ata que, de súpeto un aire de inspiración me trouxo de golpe a solución que presento aquí. Se queres intentar resolvelo por ti mesmo, non uses o esvarador!

2015. Problema 1. Circunferencia oprimida. Observade agora na figura seguinte a unha circunferencia "oprimida" e lede atentamente as súas lamentacións: "Son unha pobre circunferencia oprimida por 2 triángulos equiláteros. Son tanxentes a cada un dos lados do triángulo grande. E cada un dos tres vértices do triángulo máis pequeno atópase na miña circunferencia. Ás veces pregúntome cantos triángulos pequenos serían necesarios para igualar a superficie do triángulo grande. Que pensades vos Pensade e explicade o voso razoamento.

Quizais os rapaces que participaron na edición do 2016 quedaron algo despistados ao non ofrecérselle a altura dos botes de tomate. Pero a min foi outra cousa a que me chamou a atención. A ver se lle pasa o mesmo ao eventual lector desta entrada. Velaquí o enunciado:

2016. Problema 5. Fabricante de salsa de tomate listo.Un fabricante de salsa de tomate embala latas de 10 cm de diámetro en caixóns cadrados de 80 cm de lado. 

Como un estudo de mercado lle indicou que esas latas eran demasiado grandes, o fabricante decide cambialas por outras cilíndricas, como as anteriores e da mesma altura pero de 5 cm de diámetro. Para embalar as latas, o fabricante segue utilizando as mesmas caixas cadradas de 80 cm de lado, para aforrar cartos. 

A) As caixas que conteñen as novas latas pequenas, conterán máis ou menos salsa de tomate que cando estaban cheas de latas grandes? (Non se terá en conta o espesor das paredes das latas) 

B) E se as latas foran de 6 cm de diámetro. As caixas que conteñen as novas latas non tan pequenas, conterán máis ou menos salsa de tomate que cando estaban cheas de latas grandes?

 C) Cales deben ser as dimensións en valores enteiros do diámetro das latas, para que sempre usemos a mesma cantidade de salsa de tomate para encher as caixas?

Que? Nada estraño?

O problema está pensado para que se responda que podemos colocar 8×8=64 latas de 10 cm de diámetro ou 16×16=256 latas de 5 cm de diámetro para despois pasar a facer un traballo cos divisores de 80. Pero...non collerán máis latas dentro da caixa? Pénsao antes de facer scroll.

O certo é que si. Neste portal que recompilaba os mellores empaquetamentos de círculos no cadrado unidade, indica como se poden colocar 68 círculos de 10 cm e 280 círculos de 5 cm dentro do cadrado de 80×80.

Efectivamente, sen pretendelo fomos bater cun problema realmente difícil, tanto que aínda non ten solución. No libro Unsolved problems in geometry preséntase a cuestión de dúas formas distintas pois o problema do empaquetamento de círculos nun cadrado é equivalente ao do espallamento de puntos nun cadrado. Neste segundo caso trataríase de colocar n puntos nun cadrado unitario de forma que a menor distancia entre eles sexa máxima. Se unha colección de n puntos están a polo menos unha distancia d, eses puntos poden servir como centros de círculos de raio d para empaquetar n círculos nun cadrado de lado 1+d. Velaquí unha ilustración deste feito para o caso n=5.

A distancia d=$\frac{\sqrt2}{2}$

Como efecto colateral vou deixar proposto o seguinte problema:

Problema colateral. Determinar a máxima distancia á que se poden colocar tres puntos sobre o cadrado unidade

Na seguinte proposta explícase como calcular os arranxos de 5 elementos tomados de 4 en 4. Faise para calcular todas as posibles matrículas de catro cifras impares diferentes. O sorprendente é a pregunta. A pesar de ser un resultado de matemáticas elementais, nunca reparara nel.

2018. Problema 4. Matrículas dos automóbiles. Adriano interesábase polos números das matrículas dos automóbiles do seu país, máis concretamente por todos aqueles compostos por catro cifras impares todas diferentes, por exemplo, 3175. Adriano calculou a cantidade de tales números. En efecto, como existen cinco cifras impares 9, 7, 5, 3, e 1, existen cinco formas diferentes de escoller a cifra da dereita, catro formas de escoller a seguinte para que sexa diferente da anterior, tres para escoller a terceira e dúas para escoller a cuarta. Total: 5 x 4 x 3 x 2 = 120. Con todo, Adriano non chegou a calcular a suma destes 120 números. Non obstante, é posible facer este cálculo directamente. Como? Xustificade a vosa resposta

Na última proposta volvín a decidirme por non engadir a imaxe que ofrecían na edición de Matemáticas na Raia. Aquí ofrezo unha que dá máis pistas: que nos indican os puntos vermellos? 

Nesta ocasión esperaba que preguntaran por un punto dos eixos ou da diagonal do primeiro cuadrante como os que aparecen na ilustración. Non é o caso, así que supoño que isto despistaría a moitos dos que o abordaron. Cousas de que o ano 2018 non fose nin un cadrado, nin unha unidade menor que un cadrado, nin tan siquera a suma dun cadrado e a súa raíz. Un ano ben anódino para poñer problemas.

2018. Problema 5. Un robot circula por un plano coordenado da forma que marca o debuxo. 

Así, despois de chegar ao punto (7,0), avanzará unha unidade en horizontal ata o punto (8,0), logo subirá en vertical 8 unidades ata o punto (8,8) e retrocederá en horizontal oito unidades ata o punto (0,8), e así sucesivamente. 

Se cada unidade do plano mide 1 centímetro, en que coordenadas se atopará cando leve percorridos exactamente 2018 centímetros?

Outra vez, imaxe con axuda

Matemáticas na Raia 2022 desde o meu outeiro

Este ano por diversas circunstancias non apuntei ao alumnado de 3º ESO do IES Antón Losada ao certame de Matemáticas na Raia organizado por AGAPEMA e a APM. Así que seguín o concurso desde o meu outeiro, sen mollarme, mais sen desfrutar da súa caloriña.

Vou deixar por aquí os tres últimos problemas da edición deste ano.

3. A ferradura. Na construción dunha mesquita, coma noutras construcións árabes, empregouse moito o arco de ferradura. A súa forma está baseada no círculo, aínda que non chega a ser completo, pero si supera o semicírculo. 

O arco de feradura da figura está construído de forma que o segmento AB mide 1 metro, igual que o raio do círculo interior, e a altura das columnas que os sustentan é de 2 metros. Cal é a área da zona sombreada correspondente ao oco do arco máis o ocos entre as columnas?

No orixinal non aparecía a axuda da dereita

Como no seguinte problema aparece un triángulo de números, seguro que nos vén á cabeza un relampo do triángulo de Pascal. Claro que o alumnado de 3º da ESO non ten aínda esa referencia. De todas formas o triángulo de Pascal non ten nada que ver con este problema. Trátase dun bo exercicio de xeneralización. Non descarto usalo o vindeiro curso ao traballar o tema de progresións.

4. Camiños. O triángulo de números

Un camiño 1-2-3-4-5-6 é unha liña quebrada formada por segmentos horizontais e vertricais que pasan polos números 1, 2, 3, 4, 5, 6.

a) Cantos camiños 1-2-3-4-5-6 hai?

b) Se prolongamos ese triángulo de números da forma en que está contruído ata 20 filas, cantos camiños 1-2-3-4-...-20 hai?

c) Se procedemos desta maneira ata "n" filas, cantos camiños 1-2-3-4-...-n hai?

A miña experiencia dime que o último dos problema propostos debeu ser o que máis dificultades e bloqueos lles debeu producir aos participantes no concurso deste ano. Así tamén foi o caso do certame de Matemáticas na Raia do 2020. Daquela puidera comprobar que nin os meus alumnos nin os do IES que fóra vixiar eran quen de atacar outro problema de lóxica que se propuxera aquel ano (se seguides a ligazón iredes a unha entrada deste blogue publicada o "día do papel hixiénico", é dicir, o día en que comezou o confinamento)

5. Tarxetas lóxicas. Cantas frases falsas hai en cada tarxeta?

Tarxeta 1:

A. Nesta tarxeta, hai exactamente unha frase falsa       

B. Nesta tarxeta, hai exactamente dúas frases falsas.

C. Nesta tarxeta, hai exactamente tres frases falsas.

D. Nesta tarxeta, hai exactamente catro frases falsas.

E. Nesta tarxeta, hai exactamente cinco frases falsas.

F. Nesta tarxeta, hai exactamente seis frases falsas.

Tarxeta 2:

A. Nesta tarxeta, ningunha frase é falsa.

B. Nesta tarxeta, polo menos unha frase é falsa.

C. Nesta tarxeta, polo menos dúas frases son falsas.

D. Nesta tarxeta, polo menos tres frases son falsas.

E. Nesta tarxeta, polo menos catro frases son falsas.

F. Nesta tarxeta, todas as frases son falsas.

Lembrando o Rallye

Nunha serie de entradas anteriores ([1], [2], [3]) trouxéramos por aquí unha serie de problemas da United Kingdom Mathematics Trust (UKMT). Vou acrecentar esa lista cunha proposta máis. Ten a salientable característica de que, aínda que se pide unha solución numérica,  non ofrece ningún dato numérico.

Dous cadrados. ABCD é un cadrado. P e Q son cadrados debuxados nos triángulos ADC e ABC, tal e como se ve na figura. Cal é a razón da área do cadrado P entre a do cadrado Q?

Cando un intenta resolver un problema procura buscar na memoria se hai algún problema semellante a este que lle poida achegar algunha pista. No intento que fixen para abordalo eu tiña a seguridade de que xa o atacara algunha outra vez. Incluso máis, creía lembrar que fora un deses problemas daquel concurso sustentado moitos anos por AGAPEMA chamado Rallye Matemático sen fronteiras. Cando fun á procura daqueles papeis non só me decatei de que estaba equivocado, senón que puiden comprobar que a mente humana, incluso a miña, percorre uns camiños realmente curiosos. Velaquí o problema do que tiña un impreciso recordo, que aparecera no Rallye Matemático do ano 2002:

Do cadrado grande ao pequeno. A área de un dos cinco cadrados da figura adxunta esta indicado en cm² . Cal é a área do cadrado negro?

Completamente distinto, non?

Un problema das Olimpíadas de Singapur nas "Matemáticas na Raia"

Había xa varios anos que non tiña que impartir clase en 3º da ESO, así que cando me tocou este ano, o primeiro que pensei foi en participar en "Matemáticas na Raia", unha actividade de resolución de problemas co-organizada entre AGAPEMA (Asociación Galega de Profesorado de Educación Matemática) e a APM (Associação de Professores de Matemática). Meu dito, meu feito. Alá fomos.
A proba consiste na resolución de 5 problemas en 90 minutos. Na actividade participa toda unha clase que pode ter todo tipo de material, agás ordenadores, móbiles ou calquera tipo de conexión co exterior.

Cando lle preguntei aos meus alumnos sobre como lles fóra a proba, destacaron sobre todo a dificultade do 3º problema, o titulado "Aniversario".
Despois da proba buscaron en internet unha posible solución (quen dixo que o alumnado de secundaria non ten ningún tipo de interese?) e explicáronme que se trataba dun problema da Olimpíada Matemática de Singapur. Efectivamente, acabou sendo coñecido como o problema do aniversario de Cheryl e se hoxe incluso ten unha entrada na Wikipedia é porque no seu día se fixo viral (14/04/2015) . Aventuro que foi utilizado para debater sobre o ensino das matemáticas e comentar as diferenzas entre o dos países orientais, o dos occidentais, e máis concretamente o de cada país.
Entendo que algúns presupoñían que se era un problema proposto para rapaces de 14 anos, quizais debería poder ser abordado por calquera que teña os estudos básicos. Aquí estariamos obviando que non se trataba dunha proba ordinaria, senón dunha olimpíada matemática. Agora achámolo recollido nunha actividade galego-portuguesa, non nunha proba de avaliación regrada nin nunha reválida.
Imos ao conto. Velaquí o problema. Veremos que nesta versión Cheryl acabou sendo Helena:

Problema do aniversario de Cheryl. Versión AGPEMA-APM. Alberte e Carlos acábanse de facer amigos de Helena e queren saber cando é o seu aniversario. Helena dálles unha lista de 10 posibles días: 
15 de maio, 16 de maio, 19 de maio, 
17 de xuño, 18 de xuño, 
14 de xullo, 16 de xullo, 
14 de agosto, 15 de agosto e 17 de agosto. 
Helena entón dilles por separado a Alberte o día e a Carlos o mes do seu aniversario. Segue o diálogo: 
Alberte: Non sei cando é o aniversario de Helena, pero sei que Carlos tampouco o sabe. 
Carlos: Ao principio non sabía cando era o aniversario de Helena, pero agora seino 
Alberte: Entón eu tamén sei cando é o aniversario de Helena. 
Cando é o aniversario de Helena? 

Cando se propón un problema, antes de continuar, sempre convén un tempo de reflexión e traballo para resolvelo.

---------------------------------------------------------------------------------

Ao principio supuxen que, agás os nomes dos protagonistas do problema, o resto era unha tradución  do problema proposto en Singapur. Mais a cousa non era así. Finalmente fun dar con outra versión, anterior no tempo á de Singapur, que nun sentido moi preciso é máis semellante á de "Matemáticas na Raia" que a que tivo unha difusión masiva nas redes. Non atraso máis a exposición do problema orixinal que, agás os nomes propios, era o seguinte:

Problema do aniversario de Cheryl. Versión Singapur. Alberte e Carlos acábanse de facer amigos de Helena e queren saber cando é o seu aniversario. Helena dálles unha lista de 10 posibles días: 
15 de maio, 16 de maio, 19 de maio, 
17 de xuño, 18 de xuño, 
14 de xullo, 16 de xullo, 
14 de agosto, 15 de agosto e 17 de agosto. 
Helena entón dilles por separado a Alberte o mes e a Carlos o día do seu aniversario. Segue o diálogo: 
Alberte: Non sei cando é o aniversario de Helena, pero sei que Carlos tampouco o sabe. 
Carlos: Ao principio non sabía cando era o aniversario de Helena, pero agora seino 
Alberte: Entón eu tamén sei cando é o aniversario de Helena. 
Cando é o aniversario de Helena?

 Xa que logo, temos dous problemas. O primeiro é achar a diferenza co anterior, e o segundo resolvelo con esta nova redacción. Cal é máis difícil? Incluso sen ler os enunciados ou sen decatarme da diferenza, eu tería a resposta clara.
Por certo, as solucións das distintas versións tamén son distintas.

Como regalo, un par de problemas da Olimpíada de Singapur para o mesmo nivel (3ºESO):

🔘 Os números de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... onde cada termo despois do segundo obtense sumando os dous termos anteriores. Cantos dos 2014 primeiros números de Fibonacci son impares?

🔘 Sexa x un número tal que $${ x }+\frac { 1 }{ { x } } =5$$. Acha o valor de $${ x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } $$

O feito de participar na actividade de "Matemáticas na Raia" a min deume para escribir esta entrada. Teño a certeza de que aos meus alumnos de 3º lles deu para aprender e interesarse máis polas matemáticas.

Matemáticas na rúa, en Ourense

Este pasado sábado 06/04/19 celebrouse na Praza Maior de Ourense un acto divulgativo das matemáticas organizado polas asociacións de profesores AGAPEMA e ENCIGA. 
Como tiña que ir a Ourense algunha destas fins de semanas, aproveitei a ocasión e acudín a ver o que montaran os compañeiros nesa fría mañán do mes de abril.
O día era moi desapacible: chuvia e baixas temperaturas durante toda a mañán así que a montaxe tivo que resgardarse nos soportais da praza. Pola contra arredor dos obradoiros había unha enorme calor humana. Ducias de rapaces remexían interesados entre as mesas expositoras.
Había toda clase artefactos como os clásicos cubos de Rubik, as torres de Hanoi, labirintos, tangramas, actividades de papiroflexia ou algún tipo de tres en raia (ou pai-nai-fillo, como lle chamaba eu de cativo). Deixo por aquí algunhas imaxes que dan algo de idea das sensacións da xornada.

Cónicas enfiadas

Superficies regradas

Rosalía anamórfica

Nas seguintes imaxes veremos como se supera a falta de medios con imaxinación. Para presentar os poliedros utilízanse escarvadentes e gominolas. Cantos escarvadentes e cantas gominolas precisamos para construir un tetraedro?
Veremos os cadrados máxicos elaborados con fotocopias e tapóns de plástico ou xogos elaborados con mistos.

Poliedros con gominolas

Cadrados máxicos

Xogos con mistos

Finalmente, velaquí na parte inferior o que máis me chamou a atención por ser descoñecido para min. Temos un taboleiro 4x4 e un total de 16 pezas de distintas alturas: 4 amarelas (de altura 4), 4 vermellas (de altura 3), 4 verdes (de altura 2) e as 4 máis baixas, as azuis (de altura 1). Colocalas todas no taboleiro de forma que non haxa na mesma fila nin na mesma columna dúas da mesma cor/altura non é nada difícil. Pero a cuestión complícase porque hai que fixarse no modelo que rodea o taboleiro; alí vemos uns números que neste caso son, comenzando pola parte superior esquerda e, movéndonos no sentido contrario ao das agullas dun reloxo: 3-1-2-2--3-1-3-2--2-1-3-2--3-1-2-2. Pois ben, situémonos agora coa vista á altura da mesa, entón desde cada un dos lugares indicados por cada número debemos ver, tantos bloques como indica cada un deses números.
O modelo da restra de números pódese variar, polo que para cada cada unha desas restras, teremos un reto distinto. A min divirtiume moito. Mágoa non ter un destes para esta semana de avaliacións!

Moito máis que un taboleiro 4x4

Congreso, xeometria e finalmente cine

Elena V. A. antes de cortar o cogombro

Comentaba estes días cunha compañeira que había moito que non asistía aos congresos de AGAPEMA e notaba como se estaba oxidando. Pola contra, cada vez que acudía, chegaba con algo novo para levar á aula.
Xa vai alá máis dun mes desde que se celebrou o VII congreso polo que conviña non tardar máis en facer referencia del, aínda que só sexa, como é o caso, de comentar únicamente ás conferencias plenarias.
O congreso botou a andar coa conferencia de Elena Vázquez Abal, "A xeometría de verdade ten curvatura". Polo menos unha charla semellante xa a escoitara noutra ocasión, pero desta vez estaba mellorada. O seu obxectivo, plenamente conseguido, era o de explicar ao non versado nas matemáticas, os fundamentos da xeometría diferencial. O momento culminante foi o do corte do cogombro. Concluín que era fundamental o uso desta planta para introducir o teorema egrexio de Gauss. Supoño que a partir de agora os departamentos de xeometría farán coincidir a explicación deste teorema co da recollida do cogombro.
Se estes foron os comenzos, debo confesar que non estaba moi convencido de ter un final á mesma altura. Eu son moi desconfiado cando vexo as matemáticas emparelladas con outras artes (matemáticas e literatura, matemáticas e música, ou como era o caso, matemátcas e cine) porque é moi fácil deixarse levar polo obvio e acabar vendendo unha trapallada con envoltura de ouro. Non foi o caso. A conferencia de clausura "Cine e teleseries en clase de Matemáticas" foi realmente entretida e divertida. Os aspectos que destacaría é a orde e claridade con que a levou o autor, José María Sorando, así como a súa grandiosa declaración de humildade. As súas palabras foron algo así como que os cortes cinematográficos que tanto traballo lle levou recompilar  pode que lle sirvan a alguén para darlle unha picelada a algunha aula.
No portal de José María Sorando podemos acceder a unha enorme colección de películas reseñadas. Fálasenos do argumento da película pero tamén dos aspectos matemáticos da mesma, e en moitos casos achamos entradas que van máis alá.
Hai outras formas de ligar as matemáticas co cine. Jack Nugent ten unha canle, Now you see it, na que sube vídeos nos que analiza algún tópico cinematográfico. Ten un adicado á análise de como as figuras xeométricas teñen un significado dentro da narrativa audiovisual. Os personaxes malvados reforzan esta característica cando se  nos presentan con narices e orellas puntiagudos e dedos longos; os triángulos acutángulos son as formas predominantes. Os círculos e as formas redondeadas consolidan as características de bondade. Un caso paradigmático é o de Mickey Mouse. Os cadrados e rectángulos indican rixidez, lentitude ou fortaleza e cando un personaxe aparece enmarcado nun rectángulo o director está transmitindo que está preso. O encuadramento circular indica vixiancia ou espionaxe. E se a imaxe está determinada por paralelas ou por liñas converxentes,... o mellor é ver o vídeo no que se explica todo isto.

Aproveito para darlle os parabéns aos organizadores do congreso de AGAPEMA. 

GAMMA 13

Desde que se presentou a finais de setembro tiven a intención de escribir unha referencia ao número 13 de  Gamma, a revista da Asociación Galega do Profesorado de Educación Matemática (AGAPEMA). Por primeira vez esta revista publícase dixitalmente e sen restricción de acceso aos seus contidos. Un acerto desde o meu punto de vista pois é unha excelente oportunidade de achegar aos non profesionais do ensino das matemáticas os traballos e intereses destes. Artigos Seguro que a moitos lles sorprenderá que o primeiro dos artigos comence cunha referencia a Uxío Novoneyra.  Tamén teño a certeza de que será un artigo do que calquera persoa allea ás matemáticas pode gozar. Moi distinto é o que repasa algunhas das aportacións de Euler á teoría de números. O seu autor foi profesor meu de matemáticas e nas súas liñas podo achar o que para min é o seu inconfundible estilo, cargado dunha beleza precisa e núa. Posiblemente o único artigo que non recomendaría a quen non teña ansia polas materia. Hai tamén un artigo adicado ao xogo do Mancala, que eu descubrira naquelas revistas Cacumen, outro sobre os números nos billetes, no NIF, no IBAN e nos códigos de barras, un máis que relata unha experiencia educativa dentro do marco e-Twining e para rematar unha oferta ben diversa, o cuarto e último capítulo dun dicionario de matemática escolar.

 Seccións
O apartado PRENSAndo as matemáticas recolle noticias de prensa desde unha mirada matemática. A blogosfera matemática achéganos unha lista de 37 blogues con referencias matemáticas, 8 deles en galego, toda unha heroicidade. No apartado audiovisual ofrécenos unha recompilación de momentos da serie de debuxos Os Simpsons con cortes matemáticos. A arte do origami vén cun relato que nos leva a construir unha rá saltarina.

Actividades
Na caixa das actividades atopamos unha serie de concursos (Olimpíada, Rebumbio), encontros (Feira, Seminario federal, xornadas) e congresos que dan boa medida do interese do profesorado de matemáticas pola mellora profesional e o achegamento deste tantas veces deostado saber ao resto da poboación, especialmente ao alumnado. Unha das achegas "Léxico matemático galego en Secundaria" fai referencia a unhas xornadas celebradas hai case un ano na Facultade de Matemáticas na que se fixo unha primeira aproximación ao estado da cuestión.