Problemas británicos.3. O Bacharelato.

As dúas entrada anteriores estiveron adicadas a unha selección de problemas da UKMT  para alumnado da ESO [Primeria etapa, Segunda etapa] Rematamos a xeira cunha colección de problemas das competicións británicas para aqueles que cursan o Bacharelato.

Entendo que a dificultade deste primeiro problema pode residir en que tratamos a materia de forma demasiado compartimentada. Cando se traballa a xeometría, vai unha restra de problemas de xeometría, cando se estuda a probabilidade, veña boletíns do tema. Pero se mesturamos as dúas cousas non sabemos como meterlle o dente.

Un ángulo aleatorio. Un punto P escóllese aleatoriamente no interior dun cadrado QRST. Cal é a probabilidade de que ∠RPQ sexa agudo.

Así como practicamente a totalidade destes problemas só teñen un acollemento excepcional nas clases ordinarias para todo o alumnado, o seguinte si que se podería presentar en calquera aula de Secundaria.

O valor das letras. As letras S, M e C representan números naturais. Se S⋅M⋅C=240, S⋅C+M=46 e S+M⋅C=64, cal é o valor de S+M+C?  

O enunciado é ben curto, pero a que agardabas que a pregunta vai ser outra?

Noventa e nove noves. O enteiro m ten noventa e nove díxitos, e todos eles son noves. Cal é a suma dos díxitos de m²?

No seguinte problema a pregunta implica unha propiedade curiosa, que a área sombreada non depende de onde coloquemos o cadrado pequeno sobre o lado do grande.

Cal é a área sombreada? No diagrama vemos dous cadrados, un de lado 20 e outro de lado 10. Cal é a área da rexión sombreada?

A baldosa se Spoleto. A figura mostra un patrón encontrado nunha baldosa do chan na catedral de Spoleto, Umbría. Unha circunferencia de raio 1 rodea catro cuartos de círculo, todos de raio 1, que encerran un cadrado. O patrón ten catro eixos de simetría. Cal é a lonxitude do lado do cadrado?

Os problemas xeométricos planos usualmente poñen en xogo circunferencias, cadrados ou polígonos regulares. O seguinte ten a curiosidade de tratar sobre rectángulos.

Tres rectángulos. O diagrama mostra tres rectángulos congruentes de 5 de largo e 13 de longo. Como se ve, hai dous pares de rectángulos que comparten un vértice. Dous dos rectángulos están colocados de xeito que un vértice de cada un está no lado do terceiro. Cal é a área da rexión na que se solapan os tres?

Aínda que hai outras formas de abordar as seguinte cuestións, eu partín do coñecementos de trigonometría que se imparten no primeiro curso do Bacharelato de ciencias.

Cal é o tamaño do ángulo?. Na figura temos cinco cadrados idénticos. Canto mide o ángulo marcado?

 

A área dun triángulo equilátero. O triángulo equilátero exterior ten área 1. Os puntos A, B e C están a un cuarto de cada un dos lados, como se mostra. Cal é a área do triángulo equilátero ABC? 

Rematamos a xeira xeométrica cos dous seguintes problemas:

Tanxente a unha circunferencia. Unha circunferencia de centro A e raio 12 ten diámetro BC. Debuxamos unha segunda circunferencia de diámetro AC. A tanxente trazada desde B a esta circunferencia interseca a circunferencia centrada en A no punto D. Cal é a lonxitude BD?

Diferenza entre áreas. Na figura represéntase un círculo de raio 2 e un cadrado. O círuculo toca en dous lados ao cadrado e pasa por un dos vértices do cadrado. A área da rexión sombreada en negro (dentro do cadrado pero fóra do círculo) é X e a área sombreada en gris (dentro do círculo pero fóra do cadrado) é Y. Cal é o valor de YーX?

Velaquí de seguido o típico problema que aparece nos libros de Adrián Paenza. Con esta proposta cambiamos da xeometría aos números.

Canto mide o camiño? Raquel e Nicolás están cada un no extremo dun camiño. Entón eles andan a velocidade constante (pero diferente) cara o outro lado, e dan a volta cara o seu punto orixinal, sempre á mesma velocidade. O seu primeiro encontro prodúcese a 20 metros dun dos extremos. Cando están de volta encontranse a 10 metros do outro extremo do camiño. Canto mide o camiño?

Números desafortunados. Un número "desafortunado" é un enteiro positivo que é igual a 13 veces a suma dos seus díxitos. Acha todos os números "desafortunados".

Lista de restos. Helena divide 365 entre cada dos números 1, 2, 3,.... , 365 obtendo así unha lista de 365 restos. Entón Felipe divide 366 entre 1, , 3, ..., 366 obtendo unha lista de 366 restos. Cal das dúas listas de restos ten unha suma maior? En canto supera á outra suma? 

O mercado de Ulán Bator. Onte, no mercado de Ulán Bator podías mercar un elefante branco ou 99 gansos salvaxes polo mesmo prezo. Hoxe, o prezo dun elefante branco baixou un 10% e o prezo dos gansos salvaxes subira un 10%. Cantos gansos salvaxes custa agora un elefante branco?

Votos grelados. Recentemente houbo eleccións en Grelandia. Todos os que votaron polo Partido das Nabizas comeran nabizas. Daqueles que votan por outros partidos, o 90% nunca comera nabizas. Do total de votantes, o 46% comeran nabizas. Cal é a porcentaxe de votos obtida polo Partido das Nabizas?

O prezo das tarxetas de nadal. O ano pasado Noelia comprou unha certa candidade de tarxetas de nadal, todas do mesmo prezo. O importe total foi de 15,6 €. Nun xesto de boa vontade propio desas festas, o vendedor deulle unha tarxeta máis gratis, e iso reduciu o custo medio por tarxeta nun céntimo. Co prezo orixinal, cantas tarxetas podía comprar Noelia por 5 €?

Problemas británicos.2. Segunda etapa da ESO

Na entrada anterior fixemos unha escolma de problemas recollidos no libro "The ultimate mathematical challenge", da UKMT que se adaptaban á abordaxe por alumnado dos dous primeiros cursos da ESO. A maior parte dos problemas dese libro están dirixidos a alumnos dos dous últimos cursos da ESO. Aquí  recóllense algúns deles.

Por norma xeral os problemas das competicións da  UKMT non son nos primeiros que pensamos para levar a unha aula pois normalmente precísase certo entrenamento nas cuestións que se abordan ou ben non son acaídos para a maior parte do alumnado. Non sucede isto co seguinte problema, con moi bo encaixe en calquera clase na que se traballe o uso dos radicais e que ten un sabor distinto ao habitual que se presenta nos libros de texto.

Raíces cadradas. Cantos dos seguintes números son maiores que 10?$$3\sqrt { 11 } \quad \quad 4\sqrt { 7 } \quad \quad 5\sqrt { 5 } \quad \quad 6\sqrt { 3 } \quad \quad 7\sqrt { 2 } $$

Moitas veces a fermosura dun problema está na súa simplicidade na redacción.

Unha media. A media de 16 números enteiros positivos distintos é 16. Cal é o maior valor que pode ter un deses 16 números?

De seguido algunhas cuestións de móbiles, desas de velocidades, tempos e espazos. O problema do tren é un deses clásicos que todos debemos ter gardado nalgún cartafol.

Aimee vai ao traballo. Todos os días Aimee sube nunhas escaleiras mecánicas para a súa xornada de traballo. Se fica quieta, este percorrido lévalle 60 segundos. Un día que a escaleira estaba avariada levoulle 90 segundos. Cantos segundos lle levaría subir se usa as escaleiras mecánicas mentres sube á mesma velocidade que o día da avaría?

A velocidade do tren. Un tren que viaxa a velocidade constante tarda 5 segundos en pasar completamente a través dun túnel de 85 m. de lonxitude e 8 segundos en pasar completamente a través dun segundo túnel de 160 m. Cal é a velocidade do tren?

Tamén se poden propoñer problemas de máximos e mínimos fóra do contexto do cálculo diferencial.

Unha pirámide de cubos. Katia escribe diferentes enteiros positivos na cara superior dos 14 cubos da pirámide. A suma dos nove números dos cubos da parte inferior é 50. O enteiro escrito en cada un dos cubos do medio e no superior son iguais á suma dos enteiros dos catro cubos sobre os que se asenta. Cal é o maior enteiro que se pode escribir no cubo superior?

Cantas fichas? Barbara quer colocar fichas nun taboleiro 4х4 de forma que o número de fichas en cada fila e en cada columna sexa diferente. (Pode colocar máis dunha ficha en cada cela e unha cela pode quedar baleira). Cal é o menor número de fichas que precisa?

Os seguintes son os habituais problemas de enunciado, pero cada un deles garda o seu tesouro. Por exemplo, neste primeiro non se pregunta pola cantidade de cartos que teñen os protagonistas.

Compartindo cartos. Rosalía deulle a metade dos seus cartos a Amancio. Entón Amancio deulle unha terceira parte do que tiña a Rosalía. Cada un deles acabou coa mesma cantidade de cartos. Acha a razón entre os cartos que tiñan cada un dos dous ao principio.

Cantos campistas? Na cea dunha xornada de acampada, cada lata de sopa foi compartida entre dous campistas, cada lata de albóndegas foi compartida entre 3 campistas e cada lata de mexillóns foi compartida entre 4 campistas. Todos e cada un dos campistas comeu das tres viandas e tomaron todas as latas. O monitor do cámping abriu un total de 156 latas. Cantos campistas participaban na xornada?

Cans e gatos. Na miña vila o10% dos cans pensan que son gatos e o 10% dos gatos pensan que son cans. Todos os outros cans e gatos son conscientes da súa identidade. Cando todos os gatos e cans foron sometidos a un rigoroso test, o 20% deles pensaban que eran gatos. Cal é a verdadeira porcentaxe de gatos de entre todos eles?

Cartas a Newton. Un luns na vila de Newton o carteiro deixa unha, dúas, tres ou catro cartas en cada unha das casas. O número de casas que recibiron catro cartas é sete veces o das que recibiron unha, e o número das que recibiron dúas é cinco veces o das que recibiron unha. Cal foi a media do número de cartas que recibiu cada casa?

Un par de problemas nos que os protagonistas son os números.

Dous cadrados. Un cadrado ten catro díxitos. Cando cada díxito se incrementa en 1 fórmase outro cadrado. Cales son os dous cadrados?

Un produto enteiro. Para que naturais n o seguinte produto é enteiro? $$\left( 1+\frac { 1 }{ 2 }  \right) \left( 1+\frac { 1 }{ 3 }  \right) \left( 1+\frac { 1 }{ 4 }  \right) ...\left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right) $$

Finalmente, unha colección de problemas xeométricos.

Unha área cadrada. Un octógono regular está inscrito nun cadrado, como se mostra na figura. O cadrado sombreado conecta os puntos medios de catro lados do octógono. Que fracción do cadrado exterior está sombreada? 

Un ángulo nun cadrado.O diagrama mostra un cadrado ABCD e un triángulo equilátero ABE. O punto F está en BC e verifica que EC=EF. Calcula o ángulo BEF.

 Estrañamente o título que lle dan na UKMT ao seguinte problema é "unha área sombreada".

Unha razón entre áreas. Un círculo está inscrito nun cadrado e un rectángulo está dentro do cadrado pero fóra do círculo. Dous dos lados do rectángulo están sobre dous lados do cadrado e un dos seus vértices toca á circunferencia, tal e como se ve na imaxe. A altura do rectángulo é o dobre da súa base.

Cal é a razón entre a área do cadrado e a do rectángulo?

 

Un círculo en Salt's Mill. O marco dunha fiestra en Salt's Mill consiste en dúas semicircunferencias iguais e nunha circunferencia inscrita nunha gran semicircunferencia tanxente ás outras tres tal e como se mostra. A lonxitude do marco é de 4 metros. Cal é o raio exacto da circunferencia?

O derradeiro encantoume. Usualmente nos problemas xeométricos pregúntase polo valor da área sombreada. Aquí é este precisamente o dato.

 A lonxitude dunha corda. A área sombreada é 2π. Cal é a lonxitude de AB?

Ben sei que nesta escolma están máis ben as miñas preferencias e prexuízos. Pero iso sucede con todas. A pesar disto, vou seguir insistindo no tema e na na seguinte entrega tócalle a quenda aos problemas para o Bacharelato.

Problemas británicos.1. Primeira etapa da ESO

A United Kingdom Mathematics Trust (UKMT) é unha asociación que mantén as diversas competicións escolares de matemáticas. Tamén publican libros sobre as mesmas. Un deles, The ultimate mathematical challenge (Harper-Collins 2018) é unha recompilación de 366  problemas pensados para rapaces do ensino secundario. O que vou facer aquí é unha escolma desa recompilación. Nesta entrada centrareime nos problemas para a primeira etapa da ESO (se a alguén lle renxe esta denominación por non ser oficial ou non corresponderse coa actual lei educativa, que pense que estamos a falar de 1º e 2º da ESO). A adscrición dos problemas a cada etapa foi feita atendendo á que fan os propios organizadores das competicións. Cada unha delas está pensada para alumnado de determinada idade, aínda que esta clasificación nunca pode ser estricta pois cabe a posibilidade de solapamento entre as distintas etapas etarias. Ademais cómpre ter en conta que o nivel de dificultade de distintas probas pode variar.  
Aínda que o libro nos fornece moito material, moi diverso, e moi agradecido, tampouco faltan uns poucos exemplos de problemas decepcionantes. Estou a falar de problemas "de libro de texto" pero que un nunca esperaría ver nun libro coma este. Van un par de exemplos.

Pepa fai unha visita aos avós. Pasa a metade do tempo xogando, un terzo durmindo e os 35 minutos restantes comendo. De canto tempo foi a visita?

Se un imaxina o seguinte problema non pode deixar de ver algo de estraño na situación. Menos mal que Benxamín se sube aos ombros e non se coloca directamente no curuto da testa do irmán. 

A sombra de Benxamín. Á tardiña Benxamín, que ten un metro de altura, proxecta unha sombra de 3 metros. Se Benxamín se sube sobre os ombros do seu irmán, que están a 1,5 metros sobre o chan, canto medirá a sombra que Benxamín e o seu irmán proxectan?

Primeira etapa da ESO 

De seguido recollo algúns problemas aparecidos en convocatorias para rapaces que estarían estudando nos dous primeiros cursos da ESO. 

Sumas de díxitos. Cantos números de tres díxitos hai tales que a suma deses díxitos sexa 25?

Tanto o anterior coma o seguinte teñen a enorme vantaxe de ofrecernos unha porta aberta a moitas outras pesquisas.

Cantos lados? Un polígono simple faise unindo os puntos do xeoplano con segmentos que só coinciden nos vértices. Ningún punto está en máis de unha esquina. O diagrama mostra un exemplo dun polígono de 5 lados. Cal é o maior número de lados dun polígono que se pode formar unindo os puntos deste xeoplano 4х4 con esas regras?

O reloxo da profesora Fungueiriño. O reloxo da profesora Fungueiriño adianta 16 minutos cada día. Despois de que ela poña o reloxo en hora, cantos días pasarán ata que volva a ter a hora correcta?

O valor de n. Sábese que n é un enteiro positivo tal que se lle engadimos n á suma dos seus díxitos, o resultado é 313. Cales son os posibles valores de n?

O seguinte é un exemplo de como dándolle a volta a un problema estándar, podemos chegar a un enunciado moi enriquecido 

O perímetro dun cadrado.O diagrama mostra un cadrado que foi dividido en cinco rectángulos congruentes. O perímetro de cada rectángulo é de 51 cm. Acha o perímetro do cadrado.

Hai varios exemplos de problemas do mesmo estilo que o seguinte, nos que se ofrece unha operación con símbolos que hai que pescudar. Non é un tipo de cuestións que me agraden, pero este tiña o seu punto.

Unha suma poligonal. Na seguinte suma, polígonos diferentes representan cifras diferentes. Acha o valor do cadrado. 

 Creo que nunca vin un problema protagonizado por un nonágono. Só por esta razón merecía ser recollido.

O problema do nonágono. O diagrama mostra un polígono regular de nove lados (un nonágono ou eneágono) con dous dos lados prolongados ata cortarse no punto X. Canto mide o ángulo agudo en X?

 

Cantos números-V? Un natural de tres díxitos dise que é un "número-V" se os seus díxitos son "alto-baixo-alto", isto é, se o díxito das decenas é menor que o das centenas e o das unidades. Cantos números-V de tres díxitos existen?

Pegando cubos. Un cubo está feito pegando as caras de cubiños unidade. O número de cubiños unidade pegados exactamente a outros catro cubiños é 96. Cantos cubiños unidade están pegados exactamente a outros cinco?

Un problema de porcentaxes que merece a pena? Fixémonos que o contexto está nas propias matemáticas. Moitas veces procúranse contextos artificiosos que son realmente horribles.

Incrementado nun 75%. Acha todos os números de dous díxitos e de tres díxitos que se incrementan nun 75% cando os seus díxitos se inverten.

Pola contra o contexto do seguinte remite a unha completa fabulación. Perdería moito se se propuxera un contexto presumiblemente real. Ademais ten o plus de ser un novo exemplo de problema desa gorentosa colección dos que nos ofrecen preguntas inesperadas.

A Xornada Deportiva no País das Marabillas. Alicia, o Coello Branco e a Tartaruga Falsa foron os tres únicos competidores na Xornada Deportiva, e os tres completaron todas as competicións. O sistema de puntuación foi sempre o mesmo en cada unha: os puntos recibidos polo primeiro, segundo e terceiro foron enteiros positivos e (incluso no País das Marabillas) concedíaselle máis puntos ao primeiro que ao segundo e máis puntos ao segundo que ao terceiro.

Como era de esperar o Coello Branco gañou a carreira de sacos. Ao rematar a Xornada Alicia acadou os 18 puntos mentres que a Tartaruga Falsa ficou con 9 e o Coello Branco con 8. Podes dicirme cantas competicións houbo? E quen quedou de último no campionato de billarda?

Nunha próxima entrega ofreceremos unha escolma para os dous últimos cursos da ESO.