Un problema para alumnos, un problema para profesores

Un problema para alumnos

Sexa a parábola y=x²
Consideremos nela os puntos P=(-1,1) e Q=(2,4). Trátase de determinar o punto R entre P e Q tal que o triángulo PQR teña área máxima.











Un problema para profesores
Se este problema aparecese proposto nun libro de texto, seguramente sería pensando en procurar a solución a partir da determinación da distancia entre o punto R e a recta que pasa por P e Q.  Na seiguinte imaxe vemos outro problema (este resolto) que nos indica un camiño a seguir para resolver o noso:

Do libro de Matemáticas I de Vicens Vives, edición 2015

E non hai outra alternativa?
A pregunta é retórica: si que a hai, podemos facelo obtendo a área do triángulo mediante determinantes. O problema é que os libros de texto preséntannos os determinantes co ollo posto nun único obxectivo, o de chegar á regra de Cramer. Así tenden indefectiblemente cara a definición alxébrica do determinante.
$$\left| \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & ... & { a }_{ 1n } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & ... & { a }_{ 2n } \\ ... & ... & ... & ... \\ { a }_{ n1 } & { a }_{ n2 } & ... & { a }_{ nn } \end{matrix} \right| =\sum _{ \sigma \in { P }_{ n } }^{  }{ sgn(\sigma )\cdot { a }_{ 1\sigma (1) }{ a }_{ 2\sigma (2) }....{ a }_{ n\sigma (n) } }  $$
Como esta definición é realmente enrevesada, acabamos dando na aula un sucedáneo da mesma consistente nun listado de regras prácticas de cáculo dun determinante (determinantes de orde dúas e regra de Sarrus) como a esencia do concepto. Trátase dunha presentación autoritaria e que se pode evitar.
Mesmo na wikipedia se destaca a definición dun determinante en relación ao seu significado como medida de área de paralelogramos (determinantes de orde dúas) ou de volume de paralelepípedos (para os de orde tres). Non ten sentido discriminar esta produtiva característica dos determinantes. Máis aínda, se a usamos como caráter definitorio, a restra sen sentido das propiedades dos determinantes aparecerá agora como un listado de resultados con evidentes comprobacións xeométricas:


$$det(\vec { i } ,\vec { j } )=1$$

$$det(\vec { u } ,\lambda\vec { u } )=0$$

$$det(\lambda \vec { u },\vec { v } )=\lambda \cdot det(\vec { u } ,\vec { v } )$$

$$det(\vec { { u } } +\vec { { v } } ,\vec { w } )=det(\vec { { u } } ,\vec { w } )+det(\vec { { u } } ,\vec { w } )$$

Despois de ter explicado varias veces determinantes como un ente misterioso cunha chea de propiedades estilo fómula de Sarrus, un compañeiro de departamento prestoume o libro de Vidal Abascal, Geometría diferencial, e foi precisamente aquí onde atopei a definición xeométrica de determinante:  "Sexan a₁ e a₂ dous vectores [no libro de Abascal os vectores veñen en letra grosa] calquera de E² tomados nesa orde. Ao conxunto destes vectores correspóndelle un paralelogramo que os ten por lados e que é o lugar dos puntos P do plano tales que $$\overrightarrow { OP } ={ \lambda  }_{ 1 }{ a }_{ 1 }+{ \lambda  }_{ 2 }{ a }_{ 2\quad \quad \quad \quad  }0\le { \lambda  }_{ 1 },{ \lambda  }_{ 2 }\le 1$$

Figura 4

Chámase área alxébrica asociada a (a₁, a₂), un número alxébrico cuxo módulo é a área do paralelogramo precedente (ver figura 4) e cuxa orixe é positiva ou negativa segundo o conxunto dos dous vectores (a₁, a₂) é do mesmo sentido que o conxunto (e₁,e₂) [vectores da base canónica] ou de sentido contrario. Designaremos o número así definido pola notación D(a₁,a₂). Esta función de dúas vectores chámase determinante de orde 2" [a tradución e a cursiva son miñas]

Resolvendo o problema inicial
Chegados a este punto podemos resolver o problema inicial de (polo menos) dúas maneiras distintas. A primeira consiste en calcular a ecuación da recta PQ e despois usar a fórmula da distancia dun punto a unha recta.
A segunda, que é a que máis me gusta, consiste en calcular o determinante da matriz formada polos vectores PQ e PR, xa que, agás eventualmente o signo, ten o mesmo valor que o dobre da área do trigángulo que queremos maximizar.
Paréceme do máis interesante propoñer este problema na aula de 2º de bacharelato para ver cantos son quen de meterlle o dente ao problema, e en segundo lugar, darlle indicacións distintas a distintos alumnos para ver se poden seguir cada un dos camiños aquí indicados.

Ah! Se fixen esta entrada foi para ter unha entrada coas etiquetas de "álxebra", "xeometría" e "cálculo", non por outra cousa.