GAMMA 13

Desde que se presentou a finais de setembro tiven a intención de escribir unha referencia ao número 13 de  Gamma, a revista da Asociación Galega do Profesorado de Educación Matemática (AGAPEMA). Por primeira vez esta revista publícase dixitalmente e sen restricción de acceso aos seus contidos. Un acerto desde o meu punto de vista pois é unha excelente oportunidade de achegar aos non profesionais do ensino das matemáticas os traballos e intereses destes. Artigos Seguro que a moitos lles sorprenderá que o primeiro dos artigos comence cunha referencia a Uxío Novoneyra.  Tamén teño a certeza de que será un artigo do que calquera persoa allea ás matemáticas pode gozar. Moi distinto é o que repasa algunhas das aportacións de Euler á teoría de números. O seu autor foi profesor meu de matemáticas e nas súas liñas podo achar o que para min é o seu inconfundible estilo, cargado dunha beleza precisa e núa. Posiblemente o único artigo que non recomendaría a quen non teña ansia polas materia. Hai tamén un artigo adicado ao xogo do Mancala, que eu descubrira naquelas revistas Cacumen, outro sobre os números nos billetes, no NIF, no IBAN e nos códigos de barras, un máis que relata unha experiencia educativa dentro do marco e-Twining e para rematar unha oferta ben diversa, o cuarto e último capítulo dun dicionario de matemática escolar.

 Seccións
O apartado PRENSAndo as matemáticas recolle noticias de prensa desde unha mirada matemática. A blogosfera matemática achéganos unha lista de 37 blogues con referencias matemáticas, 8 deles en galego, toda unha heroicidade. No apartado audiovisual ofrécenos unha recompilación de momentos da serie de debuxos Os Simpsons con cortes matemáticos. A arte do origami vén cun relato que nos leva a construir unha rá saltarina.

Actividades
Na caixa das actividades atopamos unha serie de concursos (Olimpíada, Rebumbio), encontros (Feira, Seminario federal, xornadas) e congresos que dan boa medida do interese do profesorado de matemáticas pola mellora profesional e o achegamento deste tantas veces deostado saber ao resto da poboación, especialmente ao alumnado. Unha das achegas "Léxico matemático galego en Secundaria" fai referencia a unhas xornadas celebradas hai case un ano na Facultade de Matemáticas na que se fixo unha primeira aproximación ao estado da cuestión.

O Chinn-Steenrod

O libro editado por Alhambra, Primeros conceptos de topología, foi o primeiro que comprei cando fixen a carreira e por iso lle teño un aquel especial. Os seus autores son W. G. Chinn e N. E. Steenrod.

O certo é que daquela non chegara a ler máis que unha pequena parte. Comenzárao coa ansia desaber ben en que consistía iso da topoloxía, unha materia que desde a súa propia denominación xa era esotérica. Por fin, trinta anos despois, desfruteino enteiro.

O libro está dividido en dúas partes, unha adicada sobre todo a desenvolver un teorema de existencia na dimensión un e outro na segunda parte para a dimensión dous.

A primeira parte

A estrutura do libro non é estándar. No canto de desenvolver conceptos e teoremas de forma ordenada (de menos a máis), comenza por un teorema e establécense as dificultades para a súa demostración para proceder a resolvelas e estudalas. O teorema principal desta primeira parte é o seguinte, referenciado en moitos manuais como teorema de Weierstrass:

Se unha función f, continua e definida nun intervalo cerrado [a,b], entón existe un valor mínimo m e un valor máximo M para a función. Ademais para cada valor y do intervalo [m,M], a ecuación f(x)=y ten polo menos unha solución no intervalo [a,b].

Con esta referencia como punto de partida pásase a facer un percorrido pola definición de distancia euclídea, a de conxunto aberto e cerrado, demostrar a completitude do conxunto dos números reais, o estudo da conexión ou a compacidade. Foi todo un gusto volver a repasar esas demostracións de propiedades nun conxunto compacto nas que xa se vía vir como ao construir unha colección, presumiblemente infinita, recubrindo o conxunto xurdía finalmente a propiedade ao escoller un subrecubrimento finito. E, por suposto, tamén aparece o teorema do punto fixo: toda aplicación continua f dun intervalo cerrado en si mesmo ten polo menos un punto no intervalo tal que f(x)=x.
Un toque de orixinalidade do libro é a inclusión deste par de teoremas:

Toda aplicación continua dunha circunferencia na recta ten algún par de puntos diametralmente opostos coa mesma imaxe

Teorema da tarta. Dados dous trozos de tarta colocados nunha bandexa é posible dividilos en dúas partes iguais con só un corte

O final da primeira parte é curioso para un libro de topoloxía pois fai referencia a un teorema puramente alxébrico: todo polinomio de grao impar ten polo menos unha raiz real. Non é un capricho, terá a súa xustificación.

Segunda parte
De xeito paralelo ao realizado na primeira parte vaise propoñer un teorema principal e desenvolveranse todos os pasos necesarios para poder demostralo. Velaquí o teorema:

Sexa f unha función dun disco D no plano, C a fronteira de D e y un punto do plano que non pertence a f(C).Se o número de voltas de f|C respecto de y é distinto de cero, entón y forma parte da imaxe do disco D.

Homotopía, da Wikipedia

Para abordar este teorema hai que definir estrictamente a difusa, pero intuitiva idea de "número de voltas dunha curva arredor dun punto". Tamén haberá que facer un parada no mundo das homotopías. Unha homotopía, tal e como se aprecia no gif da esquerda non é outra cousa que unha transformación continua entre dúas curvas. Resulta que o número de voltas respecto a un punto que non sexa varrido polo feixe de curvas da homotopía consérvase por esa homotopía.
Este repaso permite a demostración do teorema principal desta segunda parte do libro. Pero non remata aí. Sobre esta base chégase aos seguintes resultados:

Se f é unha aplicación continua dun disco D en sí mesmo, entón existe polo menos un punto x de D que f deixa fixo: f(x)=x.

Toda función continua da esfera sobre o plano aplica algún par de antípodas no mesmo punto.

Teorema do sándwich de xamón. Sexan A, B, C tres conxuntos limitados e coonexos do espazo. Existe un único plano que divide o volume destes tres conxuntos pola metade.

Nos últimos capítulos introdúcense os campos vectoriais e abórdase o célebre teorema da bóla cabeluda para rematar ofrecendo unha demostración orixinal do teorema fundamental da álxebra.
En definitiva, un texto ideal para mergullarse nas matemáticas nestas tardes de invernía.

O teorema de Xavier Queipo

No número 120 do Sermos Galiza o escritor Xavier Queipo escribía unha columna titulada "A política galega e o segundo teorema de Mikami-Kobayashi"
Pasaba o escritor a explicar como visualizar o teorema:

Vailles soar unha chisca excéntrico, mais pídolles que se armen de lapis e papel, contando con que se teñen unha boa visión tridimensional (non é o meu caso) non van precisar deses aparellos

Esa falta de visión espacial tampouco debería ser un problema para Xavier Queipo porque o resultado é de xeometría plana. Chéganos polo tanto cun par de dimensións. De todas formas explica moi ben o seu teorema:

Tracen un círculo e inscriban nel un cuadrilátero non regular. Si xa teñen os catros puntos e as liñas  que os unen debuxadas, daquela xa poden trazar as diagonais do cuadrilátero. Ben. Xa imos avanzando. Agora deberán inscribir un círculo en cada un dos catro triángulos que resultaron ao trazar as diagonais.[...] Agora chega o momento curcial, marquen o centro deses catro círculos inscritos en cadnseu triángulo, xunten os centros deses círculos e obterán, sen dúbida, un rectángulo.

 Así o fixen. Ou polo menos iso foi o que entendín. Pero, oh, sorpresa! non aparecía rectángulo por ningures:

Que é o que pasa? Xavier Queipo referíase ao chamado segundo teorema de Mikami-Kobayashi, que di que nun cuadrilátero cíclico os incentros dos triángulos formados ao trazar unha diagonal xunto cos incentros dos outros dous triángulos de trazar a outra diagonal, forman sempre un rectángulo. Podemos ver unha demostración aquí.

O teorema de Xavier Queipo
De todas formas é interesante saber para que usou no seu artigo Xavier Queipo o nomeado teorema de Mikami-Kobayashi. Queipo recolle unha idea xeométrica como argumento para trazar as liñas da xeometría política galega. Os catro incentros son

os puntos cardinais das catro tendencias políticas que están na mente de todos, a saber, os conservadores cirtiano-demócratas (PP), os socialistas (PS), os galeguistas (BNG, ANOVA e outros) e os partidos de esquerda ou centro esquerda estatalista (EU, Podemos ou outros) [...] O miolo da cuestión é que siginifica ese rectángulo en toda esta trama unha chisca estraña. Pois o rectángulo significa a correlación de forzas do poder: as ideas que marcan unha época.

Continuando co paralelismo, cada vez que temos eleccións muda a configuración do esquema; uns círculos vólvese máis grandes e outros minguan. Pero tal e como nos di o teorema,  os marcos referenciais fican ortogonais.

Anotacións finais.
Se no artigo do Sermos Galiza non se fixera ningunha referencia á xeometría, seguramente eu non o lería agora non tería na cabeza a idea explicada sobre o retrato do panorama político. Gustoume moito que nun artigo lonxano ao mundo das matemáticas se fixera uso das mesmas.
Vemos como unha persoa allea ao mundo das matemáticas retomou momentáneamente o seu interese polas mesmas ao escoitar unha conversa. En efecto, Queipo oe por azar como dúas persoas falan do teorema de Carnot. A curiosidade lévao a profundizar no tema e, tirando do fío chega a un grupo de resultados que teñen que ver cunha curiosa tradición xaponesa, o sangaku. Trátase neste caso dunhas tabliñas dos séculos XVIII e XIX  con problemas de carácter xeométrico onde abundan construcións con figuras tanxentes e normalmentes con cículos ou polígonos inscritos uns dentro doutros. O importante é que as matemáticas non lle producen o que a moitos, rexeitamento. Non ten medo de achegarse a elas, incluso de empregalas para facer unha análise da estrutura política galega. E isto é moi bo.
Se hai algo do que o mundo das matemáticas, especialmente o seu ensino,  está moi necesitado, é dunha relación máis fluída coa sociedade. E iso é o que fai Xavier Queipo.Cómpre romper prexuízos, sobre todo nun momento no que as liñas directrices da política educativa van por camiños pouco desexables. O papel que a LOMCE asigna á materia de matemáticas dentro co currículo é estarrecedor. Aparecen claramente como a máquina perfecta de etiquetaxe e discriminación no contexto escolar. Por iso cómpre, máis que nunca tecer liñas de reforzo doutra visión das matemáticas. Temos que potenciar un achegamento integrado, amable, próximo, útil e usable. Artigos como o de Queipo son exemplos deste labor. Por certo, esas liñas do número 120 do Sermos Galiza son as únicas impresas en papel que puden ler en galego neste ano. Significativo, non si?

O crebacabezas de Freer

Winston Freer (1910-1981) foi un mago norteamericano que argallou famosos xogos de maxia. Un deles é este que se presenta neste vídeo. Para ver a explicación do truco, que o hai, pois noutro vídeo.

ɸ, π e matemáticos nun anuncio

Os creativos (creo que así lles chaman) de McCann lanzaron unha campaña publicitaria para o organismo de loterías creando unha páxina web interactiva na que podemos introducir varios números con significado negativo (tempo gastado cada día nos atascos, anos que che faltan de pago da hipoteca,...) e prometen devolverche un número de significado positivo. Tendo en conta que a publicidade é da compañía de loterías do estado, suponse que os números positivos serán os que están asociados á túa sorte: "Todos temos números que non nos deixan ser libres, convérteos agora nos números que poden darche a liberdade... e lévaos sempre contigo". Pura numeroloxía.

O vídeo que sustenta a campaña é moi atractivo. Mantén un ambiente de princpios do século XX moi coidado en todos os seus detalles. Para redondear a promoción e darlle un aire de credibilidade puxéronse en contacto cun bo grupo de matemáticos das universidades españolas que aparecen caracterizados con aspecto pouco atractivo e dos que se destaca que son "os profesores de mátemáticas que máis suspenderon de todo o país". Está claro unha vez máis  que socialmente quedan moitos prexuízos que desmontar e o camiño para levalo a cabo ponse cada vez máis costa arriba pois a LOMCE asigna á materia un papel de macabra ferramenta discriminatoria. Entre os profesores que colaboraron co sptot temos a Clara Grima, profesora da Universiade de Sevilla e unha excelente divulgadora das matemáticas. A caracterización dalle un aspecto tan repulsivo como irrecoñecible.
No portal da campaña tamén se nos ofrece a posibilidade de consultar a fórmula máxica que eses eminentes matemáticos van utilizar para calcular os nosos números da sorte. Para iso temos que saber primeiro en que consiste a  sucesión de Fibonacci. Trátase dunha lista infinita de números que comenza con dous 1 e continúa obtendo cada termo como suma dos dous anteriores. Se lle chamamos F_n  ao n-ésimo número da sucesión teremos que a forma de construir a sucesión vén dada pola fórmula: F_n=F_n-1+F_n-2  
Os primeiros termos son os seguintes:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10947,...
Nalgunhas ocasións engádese  F₀ =0   como primeiro termo.
Chamarémoslle pares de Fibonacci aos seguintes pares de números da sucesión: (F_n-2,F_n-1) . Cada un destes pares pode identificarse coa súa suma F_n  .Así poderiamos escribir tamén a sucesión desta forma: 

(0,1) , (1,1) , (1,2) , (2,3) , (3,5) , (5,8) , (8,13) , (13,21) , (21,34) , (34,85) ......

Cada vez que nos dan un par de Fibonacci podemos reconstruír a sucesión completa, tanto para adiante como para atrás. Se partimos de (21, 34), sabemos que os seguintes termos son 21+34=55, 34+55=89,... Pero tamén sabemos que os anteriores son: 34-21=13, 21-13=8, 13-8=5,...
A sucesión de Fibonacci está íntimamente relacionada co chamado número áureo e que dese que o propuxo o matemático Mark Barr a principios do XX, represéntase coa letra ɸ na honra do escultor Fidias. Se dividimos  entre sí os números de cada un dos pares de Fibonacci cada vez aproximarémonos máis ɸ=1,61803...
$$\underset { n\longrightarrow \infty  }{ lim } \frac { F_{ n } }{ { F }_{ n-1 } } =\phi =\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }$$
Os distintos termos da sucesión pódense obter mediante a fórmula atribuída Binet (XIX):
$${ F }_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left[ { \left( \frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ n }-{ \left( \frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ n } \right] =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left[ { \phi  }^{ n }-{ \left( \frac { -1 }{ \phi  }  \right)  }^{ n } \right] $$

 π ou ɸ?
A páxina da campaña das loterías vainos pedir que introuzamos 7 números de significado negativo (anos que nos quedan de hipoteca, minutos diarios nos atascos,...). Con eles, non sabemos como, van xenerar un número x que se transformará, mediante a fórmula que daremos de seguido, nun par de números que serán os nosos números da sorte. A fórmula, sen sentido ningún, que supoño só ten o obxectivo de impresionar ao público, é a seguinte:
Dado x,chamémoslle Fn(x)F_n(x)  ao número da sucesión de Fibonacci máis próximo a x. Entón xeneramos o número y da seguinte forma: y(x)=x+F_n(x)+n 
Finalmente dividimos y entre 50 e obtemos un resto, e se o dividimos entre 11 obtemos outro resto. Eses restos serán os presuntos números da sorte. 
Por exemplo, se o número de entrada x=1011 a aplicación da campaña calculará:  y(1011)=1011+987+16=2014. 

Agora dividimos 2014 por 11 e obtemos de resto 1 $$2014\equiv 1mod11$$. 
Ao dividir 2014 por 50 obtemos de resto 14. Escríbese $$2014\equiv 14mod50$$

O resultado é que nos enviarán unha tarxeta cos números cos que gañaremos á lotería: 1 e 14 neste caso. Pero como os creativos non teñen idea de matemáticas en diversas imaxes da campaña aparece destacado o número π. Incluso ofrecen darnos unha tarxeta cos nosos números e adornada con este símbolo. Todo apunta a que deberon confundir o número ɸ (phi) que se emprega nos cálculos da sucesión de Fibonacci con outro máis coñecido, π (pi), pero que non ten nada que ver con esa sucesión. Ou si?


Un teorema de Lagrange.

Imaxe de Modular Arithmetic

Acabamos de escribir un par de fómulas da aritmética modular que é a aritmética dos reloxos. Normalmente, no canto de dicir que son as 13 horas ou as 17 horas, dicimos que é a unha ou que son as 5. O que facemos é usar os restos de dividir 13 e 17 entre 12. A esta utilización dos restos da división entre 12 chámase aritmética módulo 12. Traballar con este tipo de artimética é moi fácil; por exemplo podemos facer sumas:
$$13\equiv 1mod12\\ 17\equiv 5mod12\\ 30=13+17\equiv 1+5=6mod12$$
Unha boa forma de iniciarse na práctica da aritmética modular é probar a construir a sucesión de Fibonacci módulo k. Cal sería, por exemplo, a sucesión módulo 12?. Pois a seguinte: 1, 1, 2, 3, 5, 8,  ...
O seguinte termo é $$8+5=13\equiv 1mod12$$
E continuarímos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 1, 9, 10, 7, 5, 0,...pois $$7+5=12\equiv 0mod12$$
Este exercicio podería facerse cos restos das divisións por dous (aritmética mod2), restos das divisións por 3 (aritmética mod3), por 4 (aritmética mod4), ...., en xeral por un número k (aritmética modk). As sucesións de Fibonacci módulo k resultantes serían as seguintes:

Está claro que a sucesión de Fibonacci estará formada por números cada vez maiores, pero isto non sucede para as sucesións módulo k. Se miramos a táboa anterior podemos comprobar que no módulo 2 a sucesión é periódica, repítese sucesivamente a pauta 1, 1, 0. Se o pensamos un pouco non é sorprendentente pois o que estamos dicindo é que a pauta da sucesión de Fibonacci (sen módulo) é impar, impar, par.
Revisando a táboa anterior vemos que a sucesión módulo 3 ou a módulo 4 tamén son periódicas. Sucederá o mesmo con calquera das sucesións de Fibonacci módulo k? A resposta, afirmativa,  dóunola Lagrange no 1774 nuns comentarios á Álxebra de Euler.
De aquí en diante, consideremos a sucesión de Fibonacci módulo k. Escribiremos $${ F }_{ n }\equiv { u }_{ n }modk$$
Tomando u₀=0 escribiremos a sucesión módulo k:

u₀ , u_1, u₂ , u₃ , u₄ , u₅ , u₆  ……..

Tal e como fixemos máis arriba, considerando que cada número da sucesión é suma dos dous termos inmediatamente anteriores, podemos escribir a sucesión como unha colección de pares de Fibonacci:

(u₀,u₁) , (u_1,u₂) , (u₂,u₃) , (u_3,u4) , (u₄,u₅) , (u_5,u₆)……..

Como estamos escribindo números módulo k temos unha cantidade limitada de k² posibilidades:

(0,0) , (0,1), (0,2) , …., (0,k-1)

(1,0) , (1,1), (1,2) , …., (1,k-1)

……………………………….

(k-1,0) , (k-1,1) , (k-1,2 ), …, (k-1,k-1)

Polo tanto, ao construirmos a sucesión de Fibonacci módulo k chegará un momento en que se repetirá un destes pares. Como xa vimos anteriormente, ao quedar a sucesión completamente determinada cando temos un par, a sucesión módulo k será necesariamente periódica.

Sexa r o lugar do primeiro elemento da parte periódica da sucesión:

u₁ , u₂, ….., u_r-1 , u_r , u_r+1, …., u_r+s , u_r, u_r+1,…., u_r+s, ….

Agora ben, o primeiro elemento da sucesión que se repite ten que ser u₁ ,por que? Razoaremos por redución ao absurdo. Supoñamos que isto non fose certo e tivéramos u₁ , u₂, ….., u_r-1  como termos non periódicos. Nese caso teriamos que: $${ u }_{ r+1 }={ u }_{ r }+{ u }_{ r-1 }$$
$${ u }_{ r+1 }={ u }_{ r }+{ u }_{ r+s }$$
Polo que  u_r-1=u_r+s    e así o primeiro elemento do período sería u_r-1,  en contra do suposto.    

Podemos, xa que logo, definir π(k) como o período da sucesión de Fibonacci módulo k, e velaquí por fin a aparición do símbolo π, aínda que non do número π . 

Nas táboas anteriores podemos comprobar que π(2)=3, π(3)=8, π(4)=6,....

No transcurso das anteriores liñas víramos ademais que  π(k)=k² ,pois como moito podiamos construir k²  pares de Fibonacci módulo k. Ademais o par (0,0) nunca se pode dar xa que nese caso teriamos este retallo na sucesión:...., u, v, 0, 0, ....e por construción: 
u+v= 0
v+0=0
Entón u=v=0
Tal e como xa comentaramos poderiamos ir reconstruindo a sucesión "cara atrás" e así concluiríamos que todos os termos anteriores terían que ser tamén ceros, o cal é imposible. Polo tanto podemos diminuir a cota superior para π(k) : π(k)=k² -1   

Hai moitos máis resultados curiosos sobre o período da sucesión de Fibonacci módulo k, tamén chamado período pisano. 
Os primeiros termos da sucesión π(k): 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, 24, 18, 60, 16, 30, 48, 24, 100, 84, 72, 48, 14, 120, 30, 48, 40, 36, 80, 24, 76, 18, 56, 60, 40, 48, 88, 30, 120, 48, 32, 24, 112, 300, 72, 84, 108, 72, 20, 48, 72, 42, 58, 120, 60, 30, 48, 96, 140, 120, 136

Aquí accedemos a unha aplicación que nos calcula o valor do perído pisano para calquera valor de k
Entre os resultados máis interesantes temos que
$$\pi \left[ mcm\left( k,n \right)  \right] =mcm\left[ \pi \left( k \right) ,\pi \left( n \right)  \right]$$

Camões e as permutacións con repetición

Cada vez que explico un tema de combinatoria, non me dá o corpo para tratar os casos con repetición porque, agás o problema do reconto de número de formas de cubrir unha quiniela (arranxos con repetición), non tiña de man ningún problema para abordar o seu tratamento na clase.
Agora xa non vai ser o caso grazas a un chío que soltou J. J. Rodríguez na arañeira anunciando a publicación dixital do segundo número da revist
a Ludus.
Entre outros artigos desta publicación fun dar con un redactado por dous profesores da Universidade de Coimbra,Carlota Simões, e Nuno Coelho O seu título é Camões, Pimenta and the improbable sonnet e estuda a transformación-creación que o poeta Alberto Pimenta realiza cun soneto de Luís de Camões.
A técnica consiste en permutar as letras de cada verso do poema de Camões

 Transforma-se o amador na cousa amada  

para construir outro completamente distinto (pero coas mesmas letras!):

Ousa a forma cantor! Mas se da namorada 

A mellor forma de entender en que consistiu a lúdica intervención de Alberto Pimenta creo que é este vídeo

Metástase I from Joana Rodrigues on Vimeo.

No artigo de Ludus pregúntanse cantas posibilidades distintas hai de construción dun novo verso mediante permutacións das letras do orixinal. Pensemos no citado primeiro verso:
Transforma-se o amador na cousa amada    pasa a ser    Ousa a forma cantor! Mas se da namorada 
....
Teremos que estudalo aos poucos. Consideremos só unha palabra do verso de Camões : cousa. Cantas ordenacións distintas podemos facer coas letras desta palabra?
Para facer un reconto podemos facer uso deste applet da plataforma e-learning do profesor J. Jesús Cendán Verdes, da UdcC

Introducindo como dato: cousa, e escollendo as 5 letras da palabra para permutar, a aplicación devólvenos as 5!=120 permutacións distintas, das que na imaxe da esquerda só aparecen unhas poucas. Explícome.
Para facer o reconto, teñamos presente que as cinco letras de cousa son distintas, polo que para a primeira posición temos 5 posibilidades de escolla. Unha vez elixida esta letra (poñamos por exemplo, que é o c), teriamos catro formas distintas de escolla da segunda letra (o, u, s, a). Supoñamos fixada a segunda letra, entón quedarían tres posibilidades de escolla para a terceira, e así sucesivamente:
Tal e como adiantamos teremos un total de

$${ P }_{ 5 }^{ }=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$

Se agora collemos a palabra amada e a introducimos no  applet para permutar as súas letras todos veremos que só nos aparecen estes 20 casos diferentes. Moitos menos que no exemplo anterior.
A razón, como se pode supoñer, vén de que agora hai unha letra que se repite. Tanto dá escribir
$${ a }_{ 1 }^{ }m{ a }_{ 2 }^{ }d{ a }_{ 3 }^{ }$$ como
$${ a }_{ 2 }^{ }m{ a }_{ 1 }^{ }d{ a }_{ 3 }^{ }$$
pois ao non distinguirmos os aes, os dous casos non se contabilizan como distintos. Cantos máis casos hai equivalentes aos dous anteriores? Pois os que resultan de permutar eses tres aes:
$${ P }_{ 3 }^{  }=3!=6$$
Polo que de cada 6 casos só contabilizaremos 1. Así que dos 120 dunha permutación de 5 elementos agora quedarémonos con
$$\frac { 120 }{ 6 } =20$$ En xeral a fórmula das permutacións de n elementos nas que o primeiro elemento, o segundo,...., o k-ésimo se repiten:
$${ n }_{ 1 },{ n }_{ 2 },{ n }_{ 3 }{ ....n }_{ k }{ veces }{ / }_{ }{ n }_{ 1 }{ +n }_{ 2 }{ +....+n }_{ k }=n$$ Será a seguinte:
$${ PR }_{ n }^{ { n }_{ 1 }{ n }_{ 2 }{ ... }{ n }_{ k } }=\frac { n! }{ { n }_{ 1 }!{ n }_{ 2 }!{ ... }{ n }_{ k } }$$
Sabendo que no primeiro verso o número de veces que aparece cada letra é:
$$\begin{matrix} a & 9 \\ o & 4 \\ m,r,s & 3 \\ d,t & 2 \\ t,f,c,e,u & 1 \end{matrix}$$
o reconto final de formas de ordenar esas 31 letras será:
$${ P }_{ 31 }^{ 9,4,3,3,3,2,2,1,1,1,1,1 }=\frac { 31! }{ 9!4!3!3!3!2!2! } =1_{ 4 }092.782_{ 3 }550.735_{ 2 }491.616_{ 1 }000.000$$
Xa só nos quedan outros 13 versos. E teñamos presente que por cada unha das escollas feita no primeiro verso teriamos unha composición distinta polo que para obter o número de sonetos distintos teriramo que multiplicar as cifras obtidos do reconto de cada un dos versos. O resultado final dá un número da orde do seguinte:
$$5,3\cdot { 10 }^{ 312 }$$

Nunha última reviravolta, a Alberto Pimenta sóbranlle no último verso dúas letras: L e C, que veñen sendo as iniciais que nun bucle infernal nos devolven ao autor do soneto orixinal.


Camões - Soneto 96
Transforma-se o amador na cousa amada,
Por virtude do muito imaginar;
Não tenho, logo, mais que desejar,
Pois em mi[m] tenho a parte desejada.
Se nela est· minha alma transformada,
Que mais deseja o corpo de alcançar?
Em si somente pode descansar,
Pois consigo tal alma est· liada.
Mas esta linda e pura semidéia,
Que, como o acidente em seu sujeito,
Assi[m] coa alma minha se conforma,
Est· no pensamento como idéia;
[E] o vivo e puro amor de que sou feito
Como a matéria simples busca a forma.


Alberto Pimenta [Camões por interposta pessoa]
Ousa a forma cantor! Mas se da namorada
Nua d´imagem, tido rio por vir tu
Não tens, oh joga, sem que ide
Ia e mente passem, admito, d´harpejo,
Nada, terno mar, falsamente ilhas. Amas
Desejando amor que cale cio, parcas
Rimas, e os desencantos pedem
Odi et amo, caos, sigla. Ali plantas
Setas em idÈia, ainda mel, puras,
Semente que caÌdo sujeito como eu,
A lama minha informam. Com acessos
Te penso e cato o mÌnimo. Se nada
Muda, vê que frio e pó e riso e voto ou
Ímpio amor mata o ser e busca famas.
L. C.

Cadenos de matemáticas da ESO

Quedei encantado de ver publicados na plataforma Isuu os caderniños de traballo de matemáticas da ESO, unha pequena parte do material ED@D do Proxecto educativo Descartes. Pegándolle un repaso a calquera destas publicacións podemos enxergar o enorme esforzo e compromiso do profesorado para integrar as novas tecnoloxías na aula de matemáticas para diversificar e mellorar as posibilidades dos procesos de ensino-aprendizaxe. Para quen non coñeza estes materiais, pode comprobar as posibilidades que nos ofrece navegando por unha das 60 unidades didácticas, consultando os apuntes desa unidade en PDF e finalmente traballando co caderno correspondente a esa mesma unidade.

Ligazón aos caderniños de 2º ESO
Ligazón aos caderniños de 3º ESO
Ligazón aos caderniños de 4º ESO Matemáticas A
Ligazón aos caderniños de 4º ESO. Matemáticas B

A altura da torre de bombeiros de Silleda

O que máis me gusta poñer neste blogue son aquelas entradas que, facendo sempre referencia á normalización, tratan algún aspecto das matemáticas.
Con completo acerto desde a Comisión de Normalización da Facultade de Matemáticas da USC convocaron hai 3 anos o primeiro concurso de vídeos 'explícoche matemáticas 2.0" (o de 2.0 fai referencia a que deben durar 2 minutos). Este ano volve a dar na diana pois ampliaron a participación aos centros de ensino non universitario. Velaquí os vídeos finalistas.
Con todo, o vídeo que presento aquí non é ningún deses pero como foi o relizado por tres alumnos meus de 1º de bacharelato (Alberto Fariña, Isidro Gil e Román Estévez), fago referencia a el. Nesta peza audiovisual quixeron mostrar unha aplicación práctica das matemáticas que coñecen xa de cursos anteriores para actuar sobre o entorno. Escolleron unha construcción moi visible desde a N-540 situada na estrada de Silleda a Lalín, no polígono industrial de Silleda. Trátase da torre de bombeiros da localidade.
Aplicando a semellanza de triángulos e tendo en conta a propiedade que determina que o ángulo de incidencia coincide co de reflexión, bastábanos un espello e un observador .Marcaron sobre o espello o punto no que o observador vía o punto máis alto da torre. Medimos:

• A distancia dos ollos do observador ao chan.
•  A distancia do observador o punto do espello
•  A distancia da torre ao punto do espello

A partir disto, calcular a altura da torre é ben simple, basta con aplicar o concepto de semellanza de triángulos. Finalmente, non deixedes de botarlle un ollo aos vídeos escollidos, especialmente o gañador da edición deste ano, "O xadrez, as progresións e a rapaciña de Friol", realizado polo alumnado do IES do Camiño (Palas de Rei), seguro que cos bos consellos de Manuel Vilariño, o seu profesor de matemáticas.

Number

Number from Skill Lab on Vimeo.

22 esopías

Podían ser moitas máis, pero estas 22 foron as que máis nos gustaron aos membros do xurado do IES Pintor Colmeiro (Silleda).
En primeiro lugar, que é unha esopía? Unha esopía é un relato, comentario ou poema cun máximo de 140 caracteres (tweet), onde cada palabra leva un número de letras igual ás sucesivas cifras do número pi: 3,14159265.... Por primeira vez, e en vista do éxito que tivera noutros centros o concurso de esopías, decidímonos a mergullarnos nel colaborando conxuntamente o Equipo de Normalización Lingüística e o Departamento de Matemáticas co fin de demostrar, unha vez máis, que a lingua galega e os números fan boa compañía. O resultado foi sorprendente. Tanto que nos animamos a editar esta escolma coas 22 esopías ( unha pequena parte do total das entregadas neste concurso) que máis nos chamaron a atención e que son unha boa mostra das dificultades que tivo o xurado para escoller aos premiados. Calquera das creacións que se poden ver aquí é merecedora do noso recoñecemento.

O noso alumno David Cabaleiro (3ºB),  foi o gañador do concurso de esopías convocado pola Fundación Educabarrié en colaboración con AGAPEMA na categoría de ESO e Bacharelato. David tamén foi o gañador do concurso co convocado no centro e co que o ENDL e o Departamento de Matemáticas promovían a elaboración deste curioso tipo de creación escrita. Dáse o caso curioso de que a esopía coa que David Cabaleiro gañou o concurso convocado por Educabarrié e AGAPEMA era distinta daqueloutra pola que recibiu o premio no noso centro. Primeiro achegámosvos a esopía coa que gañou o certame do centro:

Son o mito, o fogar acolledor, os berros feros; voz veraz, palabras olvidadas, romance enmeigado, son de Lúa, inmortal soño: lingua de utopía pura

E a obra pola que recibiu o premio esta fin de semana no transcurso da VII Feira Matemática nas instalacións de Palexco (A Coruña):

Vou á cama e durmo, tranquila. Os ventos calan sen razón, silencio alarmante. Síntome esquecida, soa na Lúa. Fantasía, soño, engano de agonía cega.

“Carta a un professor novell”

“Carta a un professor novell” por Anton Aubanell Vía feemcat. Nesta mesma ligazón pode consultarse o contido da mensaxe e Aubanell.

Matemáticas en pé de igualdade

Matemáticas en pé de igualdade é título do material elaborado por Amelia Verdejo Rodríguez, profesora Titular de Análise Matemática, do que tiven noticia grazas a este chío. Este traballo foi premiado co accésit do Primeiro Premio Antonia Ferrín Moreiras, un galardón coa finalidade de promocionar creación de materiais e recursos docentes con perspectiva de xénero. Matemáticas en pé de igualdade tamén é un portal da Universidade de Vigo ao que podemos acceder desde o pasado 16 de xaneiro. O fundamental do proxecto está contido na páxina Biografías desde a que podemos acceder a breves minibiografías de máis de 60 matemáticos, a maioría mulleres. Premendo na ligazón  titulada Memoria accedemos a un pdf onde se fai unha reflexión sobre o papel das Matemáticas na reprodución dos valores sexistas e se relata  a metodoloxía didáctica e a implantación deste material na práctica docente. A este respecto, hai todo un capítulo adicado a informar sobre a aplicación práctica en aulas de Primaria Tendo en conta a exclusión do galego das aulas de matemáticas que a Xunta propugna desde o seu funesto decreto 79/2010, é unha enorme alegría poder contar con este material para achegar ao noso alumnado á coñecida como ciencia dos números. E esta alegría multiplícase por establecer novas ligazóns coas matemáticas precisamente desde un punto do que gosto especialmente, o do desenvolvemento histórico deste saber. Unha das características que está presente por todo este traballo é a de expoñer a utilidade dos avances matemáticos na nosa vida e na nosa historia, e isto é un gran acerto por seren estes aspectos dos máis dificultosos de facer ver ao alumnado cando están sentados nos seus pupitres. Que se vexa un interese comprometido por divulgar o coñecemento e a utillidade das matemáticas é unha actitude merecedora dos máis sentidos parabéns da comunidade educativa. O portal conta cun apartado de Novas desde o que se pretende informar das novidades e actualizacións do proxecto. Deséxolle longa e próspera vida a esta iniciativa.