Preguntas inesperadas

Ao seu xeito, os problemas son relatos que rematan nunha pregunta. Poderiamos dicir que nos problemas tipo sería escusado escribir explicitamente a pregunta pois esta é tan obvia que se sobreentende cal é. Aínda cando se nos presenta un problema interesante e retador, o desenvolvemento do seu enunciado vainos levando cara a cuestión final. Pero hai algunhas ocasións nas que a pregunta é completamente inesperada. Velaquí algúns exemplos.

Vou comezar cun clásico. Recólloo da curiosa escolma feita por Vladimir Igorevich Arnold (1937-2010), Problemas para mozos de 5 a 15 anos, que se pode consultar no web do Imaginary

As dúas velliñas. Dúas velliñas partiron respectivamente desde A cara a B e desde B cara A ao amencer dirixíndose unha cara á outra (pola mesma estrada). Atopáronse ao mediodía pero non pararon, e cada unha continuou o seu camiño á mesma velocidade. A primeira señora chegou (a B) ás 4 p. m., e a segunda (a A) ás 9 p. m. A que hora amenceu aquel día?

O seguinte vai camiño de ser un clásico pois foi publicado por ese gurú arxentino da divulgación matemática, Adrián Paenza, quen non só foi o condutor de diversos programas televisivos de carácter científico (Alterados por pi,  Científicos. Industria Argentina ) senón que leva anos escribindo artigos de matemáticas nalgúns xornais como Página/12 ou Cohete a la luna. Ademais podemos acceder libremente aos seus libros de divulgación. Nun deles, Detectives, presenta esta cuestión. 

O ping-pong. Tres amigos (digamos A, B e C) pasan a tarde xogando ao ping-pong co método "o que perde vaise e entra a xogar o que está fóra". Ao acabar a tarde, a cantidade de partidos que xogou cada un foron as seguintes: A=10, B=15, C=17. A pregunta é: Quen perdeu o segundo partido?

Seguindo con Adrián Paenza, pero agora recollendo un problema doutro libro, ¡Un matemático ahí, por favor!, achamos outra proposta cun sabor semellante; tan semellante que a miña primeira intención, a de achegar problemas con preguntas sorprendentes, agora, case se ve frustrada.

Atletismo para o cerebro. Hai uns meses efectuouse unha competición de atletismo cunha curiosidade: soamente participaron tres mulleres: Alicia (á que vou chamar A), Beatriz (B) e Carme (C). Elas (e só que elas) interviñeron en todas as disciplinas e non participou ningunha outra atleta.

Os puntos que se obtiñan en cada un dos tres postos era a mesma cantidade: x por quedar de primeira, y por quedar segunda e z por quedar terceira. Os tres números (x, y, z) son números naturais (maiores ou iguais que 1), e naturalmente verifícase tamén: x > y > z.

Unha vez finalizadas todas as competición, estes son os datos que se obtiveron:

A obtivo 22 puntos en total
B gañou os 100 metros lisos e en total obtivo 9 puntos
C tamén terminou con 9 puntos.

Agora si, a pregunta: quen quedou segunda en salto de altura?

Que matemáticas debería coñecer todo cidadán?

No ano 1941 publicábase en Inglaterra What is mathematics?, un libro escrito por Richard Courant e Herbert Robins que había de ser toda unha referencia, e que aínda hoxe, a pesar do tempo transcorrido, continúa a selo. Para responder á pregunta os autores non elaboraron un discurso filosófico sobre o facer matemático. Tampouco fan un percorrido histórico desenvolvendo os feitos e personaxes máis importantes deste saber. Trátase dun libro no que se explican os principais contidos desta materia. Para saber o que son as matemáticas, hai que saber matemáticas.
Pero, que entendemos por "principais contidos"? Pois, para entendérmonos sen darlle moitas voltas, serían todos aqueles que un bo estudante debería ter na faltriqueira para enfrontarse a uns estudos universitarios. Agora ben, non todo cidadán vai pasar pola universidade; e aínda que o faga, non precisa de moitos dos contidos que se debullan nese libro para acceder a carreiras do ámbito humanístico. Velaquí onde xurde a pregunta que dá título a esta entrada. Que matemáticas debería coñecer todo cidadán? Hai alguén que se atreva a respondela?

Ignacio Zalduendo, profesor nunha universidade bonaerense,  fíxoo en Matemática para Iñaki (Fondo de Cultura Económica, 2017). Seguindo o exemplo de Courant e Robins, Zalduendo explica cales son as matemáticas das que todo cidadán culto debería ter noticia. Para entendérmonos, serían todos aqueles contidos dos que bo estudante de ensino obrigatorio tería noticia, ou polo menos, estaría en disposición de tratar con eles.
Zalduendo di na introdución que non mirou os libros de texto (e penso que fixo ben). Con todo, asegura ter certo coñecemento dos contidos que se tratan na secundaria fai unha critica bastante demoledora. Mágoa que na breve introdución non intente ofrecer tamén algunha proposta positiva. Así comenta que:

"En xeral non viron algunhas das partes máis belas da matemática, saben pouco da súa estrutura e da súa historia, cústalles moito utilizala e o que cren saber en realide non o comprenden"

Seguindo por este camiño, conviña indicar que o goberno arxentino presentou hai un ano un "plan de formación de docentes para implementar estratexias metodolóxicas que lles permitan traballar doutro xeito cos alumnos abordando o ensino dos temas relacionándoos coas necesidades dos estudantes", Trátase do Plan Nacional Aprender Matemática que lanza a mensaxe de que o profesorado está facéndoo mal, pero o estado benefactor xa ten a solución. Lembremos que boa parte da vaselina coa que se puxo en funcionamento a LOMCE pasaba polo desprestixio do labor docente. Xa que logo, aparece a estratexia repetida para intervir no sistema educativo sen importar que sexan as vítimas.
A proposta do goberno de Macri pasa por unha publicitada formación do profesorado así como a promoción de recursos de dalgúns dos gurús como Adrián Paenza, Eduardo Sáenz de Cabezón (Derivando) ou incluso dese sarillo de aulas virtuais de David Calle Padilla (Unicoos).

Captura do portal do Ministerio de Educación arxentino

Claro, que esta solución máxica xa foi criticada desde un principio. Esa confusión entre educación e divulgación só nos pode levar á certeza de que hoxe o panorama en canto á educación matemática na Arxentina ten que ser peor hoxe que o de hai un ano.
Alén das reviravoltas da política arxentina, é de agradecer que Paenza elabore materiais espallando a cultura matemática. Tamén é de agradecer que profesores universitarios como Zalduendo se preocupen polas outras etapas do ensino e intente ofrecer un perfil da matemática básica.
Volvendo ao rego, para ter unha mellor idea dos contidos de "Matemática para Iñaki", de cales son esas matemáticas das que todos deberiamos ter un certo coñecemento, Ignacio Zalduendo non pode deixar de incluir algunhas pezas de matemáticas fermosas, aínda que poidan parecer algo difíciles. En primeiro lugar, nunca deixa de ofrecer demostracións, como a da irracionalidade da raíz cadrada de 2,  a do teorema de Ptolomeo ou do pequeno teorema de Fermat. Tamén trata unha resolución de ecuacións polinomiais cargada de referencias históricas, o que é moi do meu gusto. Incluso chega a tratar a cuestión da recta de Simson, que tamén tiveron o seu espazo neste blogue. Certamente non fuxe do simbolismo matemático; un medo que nunca entendín. Así explícasenos como calquera número real pode escribirse da forma:$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { { d }_{ k } }{ { 2 }^{ k } }  } \quad \quad k\in \left\{ 0,1 \right\} $$
Quizais non se poida dicir máis con menos símbolos. Neste caso concreto faise referencia a un experimento que me encanta contar en 4º da ESO. Se lanzamos unha moeda infinitas veces apuntando un 1 se sae cara e un 0 se sae cruz, estamos construído un número real completamente ao chou. Ademais, indefectiblemente este número será irracional. De aí podemos deducir que "a gran maioría" dos números reais son irracionais.
Finalmente, en cada unha das seccións do libro hai unha pequena lista de problemas. Dous deles, que tratan sobre a esfera,  son os que deixei na anterior entrada.

Conway en Vila de Cruces

É enorme a cantidade de vídeos de matemáticas subidos á canle de You Tube Tales no Camballón Films, do IES Marco do Camballón (Vila de Cruces). Había tempo que tiña ganas de falar dela e este vídeo que comparto aquí ofreceume a escusa perfecta. Aproveito para felicitar con verdadeira ansia aos autores da canle polo seu fantástico traballo e voume a atrever a engadir unha recomendación e unha petición. A recomendación é a de que fagan uso dunha lingua de calidade, como por exemplo o uso da denominación xe no canto da incorrección *equis. A petición é a de que continúen o seu labor.
Para quen non saiba do tema que se trata no vídeo quizais lle conveña, antes de darlle ao play, ler antes esta entrada.

Un libriño de Miguel de Guzmán

O problema dos soldados no deserto coñecíao dun libriño de Miguel de Guzmán, Cuentos con cuentas (Labor bolsillo Juvenil, 1984). Custárame 520 pesetas. Con bastante optimismo, penso eu, o texto estaba recomendado "a partir de 12 anos". Tempo despois foi reeditado en Nivola.
Neste texto  preséntase a cuestión como a do xogo da "ra saltadora". Unha excelente explicación do xogo tamén a temos nun artigo de Adrián Paenza.
Partimos dun taboleiro cuadriculado todo o grande que queiramos, cunha liña horizontal destacada ou fronteira que divide a rexión superior da rexión inferior. En cada cela da rexión inferior podemos colocar unha ficha. Os movementos permitidos recordan ao xogo das damas cando se come: saltamos por enriba dunha ficha e movémonos ata a seguinte cela baleira. Só podemos movernos en horizontal ou vertical.

movementos

O reto consiste en colocar todas as fichas que queiramos por debaixo da fronteira co obxectivo de alcanzar a fila máis alta posible por enriba da fronteira realizando os movementos permitidos. Vemos de seguido un exemplo cunha disposición inicial de 4 fichas, coa cal o resultado final dos movementos pode ser a cela marcada cunha ficha clara.

Con 4 fichas podemos
alcanzar a segunda fila

Cantas fichas necesitamos (e como debemos colocalas) para alcanzar a fila 1 da rexión superior?
E para a fila 2? e para a 3? e para a 4? e para a n-ésima?
Un bo exercicio consiste en desentrañar estas cuestións. Para obter a resposta a algunha delas podes premer aquí abaixo, aínda que, como é habitual nestes casos, antes recoméndase reflexionar un pouco.