Exemplos de contraexemplos

Nesta entrada de Matemáticas na Rúa sobre un concepto esencial nas matemáticas, o da continuidade, faise un repaso do mesmo e de como se presenta nas aulas do ensino secundario. Isto levoume a poñer o foco na relación que hai entre a continuidade e a continuidade secuencial. Lembremos brevemente o significado de cada unha destas nocións nun contexto bastante xeral, no dos espazos topolóxicos.

Diremos que unha función $f: X\rightarrow Y$ é continua cando para todo U aberto en Y, $f^{-1}\left ( U \right )$ é aberto en X

Diremos que unha función $f: X\rightarrow Y$ é secuencialmente continua cando para toda sucesión converxente $\left \{x _{n} \right \}\rightarrow x_{0}$ en X, a sucesión das imaxes converxe á imaxe do límite: $\left \{f\left ( x _{n}  \right )\right \}\rightarrow f\left (x_{0}  \right )$

A seguinte implicación está clara:

Teorema 1. Se f é continua $\Rightarrow $ f é secuencialmente continua

E aínda que o recíproco tamén é certo en espazos métricos (incluso nos espazos primeiro numerables), non o será para calquera espazo topolóxico. A forma máis directa de establecer que unha implicación non se verifica consiste en dar un contraexemplo. Para este caso consideremos a función identidade $f=id: X\rightarrow Y$ onde X é o conxunto $\mathbb{R}$ coa topoloxía conumerable (os conxuntos abertos son aqueles que teñen o complementario numerable). Neste espazo as sucesións converxentes son constantes (agás un número finito de termos). Pensemos que se na cola dunha sucesión $\left \{x _{n} \right \}\rightarrow x_{0}$ non pode haber infinitos termos distintos de $x_{0}$ xa que o complementario destes infinitos termos sería un entorno aberto de $x_{0}$, feito que resulta incompatible coa converxencia da sucesión. En consecuencia f=id será secuencialmente continua.Por outra banda Y será o conxunto $\mathbb{R}$ coa topoloxía discreta (todos os subconxuntos son abertos). f non é continua xa que, dado calquera punto $\left \{ y \right \}\subset  Y$, que é un conxunto aberto en Y,  a súa imaxe recíproca $f^{-1}\left ( \left \{ y \right \}\right )=\left \{ y \right \}$ non é un aberto en X.

Os parágrafos anteriores sobre a continuidade e a continuidade secuencial tratan sobre conceptos moi elaborados. Cando os lemos estamos xa moi lonxe dun concepto inxenuo ou intuitivo da continuidade. Hai detrás un enorme traballo que foi depurando todas esas ideas. De feito, a continuidade ofrécenos unha ampla historia de clarificacións cos seus respectivos contraexemplos. Houbo un momento no que unha función como a do valor absoluto:

$$f\left ( x \right )=\left | x \right |=\begin{cases}-x & \text{ se}\,  x< 0 \\  x& \text{ se } x\geqslant 0\end{cases}$$

podía ser considerada como descontinua. A razón non residiría na súa gráfica, que evidentemente "pode trazarse sen levantar o lápiz do papel", senón pola forma da súa fórmula. A identificación entre a función e a súa expresión analítica podía dar lugar a este tipo de tentacións.

Claro que, se introducimos esta outra expresión analítica, xa temos o lío armado: $\left | x \right |=\sqrt{x^{2}}$ 

Se profundizamos un pouco máis os problemas xurdirán da locución "non levantar o lapis do papel" que, para determinados casos, é demasiado burda

Tanto neste exemplo, como nas cuestións que veñen de seguido, tomei como guía un delicioso libro de William Dunham, The Calculus Gallery  (ben, todos os libros de William Dunham o son). 

Un vigoroso intento de dominar, non xa a continuidade, senón as funcións no seu conxunto foi a Théorie des fonctions analytiques (1797) de Joseph Louis Lagrange (1726-1813) . Neste texto as funcións veñen dadas polo seu desenvolvemento en serie de potencias a partir das n-ésimas derivadas da función  $$f(x+i)=\sum_{n=0}^{\infty }i^{n}f^{(n)}(x)$$ Con este recurso Lagrange pretendía evitar os problemáticos e evanescentes infinitesimais. Desafortunadamente este intento non pasou a revisión de Agustin Louis Cauchy (1789-1857), pois achegou unha función intratable cos métodos lagrangianos: $$f\left ( x \right )=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^{2}}} & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$

Efectivamente, Cauchy demostrou que esta función e todas as súas derivadas en x=0 toman o valor cero, de aí que o desenvolvemento en serie de potencias escollido por Lagrange para presentala daría lugar a que esta función fose indistinguible da función constante igual a cero:$$f(x)=0+0\cdot x+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{3}+....=0$$

A alternativa de Cauchy fronte aos infinitesimais foi a de usar un concepto de límite no que se fala de aproximación sucesiva evitando abordar o momento en que se alcanza o límite. Estaba dado un paso maís nun proceso que daquela non se podía enxergar, o da aritmetización do cálculo. Para evitar caer nas trampas da intución Cauchy insistía en demostrar incluso o aparentemente obvio mediante unha lóxica estricta. Así Cauchy ofrece unha demostración dese resultado tan inequívoco coñecido como

Da Ptpedia

Teorema de Bolzano. Se $f$ , definida nun intervalo $[a.b]$ é continua e toma valores de distinto signo no extremos, entón existe polo menos un punto $c\:\epsilon \left ( a,b \right )$ tal que $f(c)=0$

Este teorema forma parte dos contidos do bacharelato para sorpresa do alumnado. Parece un resultado demasiado evidente como para ser tratado explícitamente. Incluso ninguén recusaría este outro teorema emparentado co anterior:

Teorema dos valores intermedios. Se $f$ , definida nun intervalo $[a.b]$ é continua e $u$ é un valor entre $f(a)$ e $f(b)$ entón existe polo menos un punto $c\:\epsilon \left ( a,b \right )$ tal que $f(c)=u$

A este ultimo resultad acáelle tan ben á continuidade que estamos tentados a escollelo como caracterización da mesma. Será que se unha función toma todos os valores intermedios para calquer intervalo do seu dominio, podemos asegurar que é continua? Estámonos preguntando pola veracidade do 

Recíproco do teorma dos valores intermedios. Se $f$ , definida nun intervalo $[a.b]$ verifica que para todo $u$, valor entre $f(a)$ e $f(b)$  existe polo menos un punto $c\:\epsilon \left ( a,b \right )$ tal que $f(c)=u$  entón $f$ é continua.

Parece que si, pero non. O seguinte contraexemplo vén na nosa axuda:

$$S(x)=\begin{cases}cos(\frac{1}{x}) & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$

A gráfica da función S

S é descontinua en x=0 a pesar de verificar as condicións do recíproco do teorema dos valores intermedios.

Xa metidos en fariña, unha función relacionada coa anterior é mostra dunha función derivable que non ten derivada continua. $$U\left ( x \right )=\begin{cases}x^{2}sen(\frac{1}{x}) & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$Efectivamente $$U'\left ( x \right )=\begin{cases}2x\cdot sen(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$contén na súa expresión a anterior función S que lle  transmite a súa descontinuidade a U'. Pensemos que houbera tempos nos que se consideraban só funcións que admitían ser derivadas indefinidamente, ou mellor, o concepto de función non se estendera máis alá destas.

Con todo, as cousas aínda poden ir a peor. Jonh H. Conway (1937-2020) non quedou contento coa función S e levou o caso a extremos inimaxinables mediante o contraexemplo da función de Conway en base 13. Esta función é tan descontinua que en calquera intervalo do dominio, por pequeno que este for, toma todos os valores reais!. De aí que sexa descontinua en todos os puntos. Non nos aporta máis sensación de coñecemento da continuidade este contraexemplo que o propio teorema dos valores intermedios?

Karl Weierstrass (1815-1897) sería quen refinaría o concepto de función continua ata unha redacción en termos lóxicos:

f é continua nun punto a se e só se para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta  > 0$ tal que se $\left | x-a \right |< \delta $, entón $\left | f(x)-f(a)\right |< \varepsilon $

Esta versión requintada da definición de continuidade permitiría aclarar a difereza entre continuidade e continuidade uniforme. En xeral o valor de $\delta $ vai depender tanto de $\varepsilon$ como de a. No caso de podermos ofrecer un $\delta $ independentemente do punto escollido, estaremos ante unha función uniformemente continua:

f é uniformemente continua nun dominio D se e só se para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta  > 0$ tal que para todo $x, y \in D$ se $\left | x-y \right |< \delta $, entón $\left | f(x)-f(y)\right |< \varepsilon $

Tense entón o seguinte

Teorema 2. Se f é uniformemente continua en D $\Rightarrow$ f é continua en D

O recíproco non se verifica. Basta con considerar o contraexemplo dado pola función f(x)=1/x no intervalo (0,1), que sendo continua neste intervalo, non é uniformemente continua. En xeral, para asegurar a implicación no outro sentido requerirase dunha hipótese adicional: que D sexa un conxunto compacto. Na recta real a compacidade é sinónimo de cerrado e limitado. A compacidade vai da man da continuidade xa que a imaxe continua dun compacto tamén será compacta.

Traslademos agora estas consideracións ao tratamento das sucecións de funcións. Parece natural definir $f$, a función límite de $f_{1}, f_{2},f_{3}, f_{4},,,,$ a partir do límite en cada punto: $lim f_{n}(x)=f(x)$. Esta é a definición de converxencia puntual da sucesión $f_{n}$. Este concepto ten un problema: aínda que todas as funcións da sucesión sexan continuas, non se pode garantir a continuidade do límite. O contraexemplo clásico é o da sucesión $f_{n}(x)=sen^{n}(x)$ definida no intervalo [0, π]. Como $f_{n}(\pi /2)=sen^{n}(\pi /2)=1$ o límite tamén será $f(\pi/2)=1$. Pero para o resto dos valores $f_{n}(x)=sen^{n}(x)=r^{n}$ con $\left | r \right |< 1$, de aí que $f(x)=0$.

No límite a función esgazará
en $\frac{\pi }{2}$

A función límite é claramente descontinua en п/2: $$f(x)=\begin{cases}  1& \text{ se } x=\pi/2 \\  0& \text{ se } x\neq \pi/2 \end{cases}$$

Para garantir a continuidade da función límite temos que esixirlle á sucesión o que se denomina unha converxencia uniforme. Sexa $f_{n}$ unha sucesión de funcións definidas nun dominio $D$,

$f_{n}$ converxe uniformemente a $f$ se e só se para todo $\varepsilon > 0$ existe $N\epsilon \mathbb{N}$ tales que se $k\geq N$ e $x,y\epsilon D$ entón $\left | f_{k}(x)-f(x) \right |< \varepsilon $

A converxencia uniforme tamén garante o intercambio entre o límite e a integral:$$lim\left [ \int_{a}^{b}f_{n}(x) \right ]=\int_{a}^{b}\left [ lim f_{n} (x)\right ]=\int_{a}^{b}f(x)$$

Como vemos, diferentes contribucións foron ampliando o concepto de función e modelando o de continuidade. Un deles, a función patolóxica de Dirichlet, é un extraordinario exemplo de función que non é continua en ningún punto:$$\phi (x)=\begin{cases}1 & \text{ se}\,  x\epsilon \mathbb{Q} \\  0& \text{ se } x\epsilon \mathbb{I}\end{cases}$$

Unha xeneralización desta función é a de Thomae, que nos dá un resultado que atenta contra as ideas previas que poidamos ter sobre a continuidade. A función de Thomae é continua nos irracionais e descontinua nos racionais:

$r(x)=\begin{cases}\frac{1}{q} & \text{ se}\,  x=\frac{p}{q}  \: con \:mcd\left ( p,q \right )=1\\  0& \text{ se } x\epsilon \mathbb{I}\end{cases}$

A función de Thomae, versión Wikipedia

A pesar da función de Thomae, ningunha función pode ser continua exclusivamente nos racionais. Deste xeito abrimos a cuestión de que conxuntos poden sustentar o dominio de continuidade dunha función real, un campo aberto por Baire (1874-1932).

Outro caso destacable é a función patolóxica de Weierstrass. Trátase dunha función continua que non é diferenciable en ningún punto, polo tanto un contraexemplo que aniquila toda esperanza de que a continuidade ofreza algunha garantía para diferenciabilidade. Lembro perfectamente que me falaran dela en Análise Matemática I, no primeiro curso da carreira. Só nos deran a súa expresión analítica:

$f(x)=\sum_{n=0 }^{\infty}b^{n}cos\left (a^{n} \pi x\right )$ con $a\geqslant 3$ enteiro impar, $0<  b< 1$ de forma que  $ab> 1+\frac{3\pi }{2}$

Unha mágoa que nesa altura non houbese Geogebra, porque a seguinte applet xa o explica todo. Para $a=21$ e $b=\frac{1}{3}$ podemos ver a intimidante apariencia do sumatorio para os primeiros valores de $n$

Quizais isto sexa unha refencia subxectiva, pero a idea que eu teño da continuidade está moito máis explicada mediante os contraexemplos que por ningunha outra cousa. Cada un deles ten algo de sorprendente e cada un informa sobre o significado do que é, ou incluso mellor, do que non é a continuidade. Cando Maimónides quixo explicar o que era Deus, enfrontouse ao que consideraba que era unha propiedade intrínseca de Deus, a súa incognoscibilidade. Entendeu entón que o mellor que podía facer era aproximarse ao concepto de Deus dando conta do que non era. O coñecemento da continuidade tamén aparenta ser teoloxía negativa.

Nunca lle digas nunca máis a Alcuíno

Hai un par de meses traía por aquí unha referencia a Alcuíno de York. Aínda que non o explicitaba tiña a seguridade de que nunca máis volvería a remexer sobre tal personaxe. Velaquí a proba de que estaba completamente equivocado. Non só iso, senón que agora que volvo a escribir unha entrada sobre Alcuíno, fágoo cun problema ao que xa fixen referencia, (xa contarei a razón). Velaquí o seu enunciado:

12. Problema dun pai e o os seus tres fillos. Un certo pai de familia, ao morrer, deixou aos seus tres fillos unha herdanza de 30 botellas de vidro, dez delas estaban completamente cheas de aceite. Outras dez mediadas. As últimas dez baleiras. Divida quen poida, aceite e botellas, de tal modo que cada un dos tres fillos obteña o mesmo, tanto de vidro como de aceite.

Se nos poñemos á obra, podémoslle chamar x_i ás incógnitas que nos indican o número de botellas cheas, y_i ao número de botellas mediadas e finalmente z_i ao de botellas baleiras; onde i pode tomar os valores 1, 2 ou 3 e identificar a cada un dos fillos. Deste xeito podemos establecer os seguintes conxuntos de ecuacións:
I. Hai 10 botellas de cada clase:
$$(I)\begin{cases} { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }=10 \\ { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }+{ y }_{ 3 }=10 \\ { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 }=10 \end{cases}$$
II. Cada un dos fillos leva 10 botellas:
$$(II)\begin{cases} { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }+{ z }_{ 1 }=10 \\ { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 }+{ z }_{ 2 }=10 \\ { x }_{ 3 }+{ y }_{ 3 }+{ z }_{ 3 }=10 \end{cases}$$
III. En total hai 15 litros de aceite, polo que cada fillo levará 5 litros.
Por exemplo, o primeiro levará x₁+½ y₁ =5, ou o que é o mesmo 2x₁ +y₁ =10. Polo que teremos:
$$(III)\begin{cases} { 2x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }=10 \\ { 2x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 }=10 \\ { 2x }_{ 3 }+{ y }_{ 3 }=10 \end{cases}$$
Restando ecuación a ecuación as de II e III obtemos as igualdades: x_i=z_i, isto é, cada un dos fillos leva tantas botellas cheas como baleiras.
Todo isto, aínda que non o escribira,  xa o fixera na anterior entrada. Daquela, neste punto adicárame a estudar o sistema de 6 ecuacións que quedara para obter todas as posibles solucións (enteiras positivas) do problema. A novidade, e a razón de traer outra vez por aquí o problema, nun principio pode parecer algo anódina. Comparemos a 1ª ecuación de I coa 1ª de III. Obteremos que
$${ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }={ x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }$$
Como y₁ ≥ 0 temos que x₂ +x₃ ≥ x_1. Análogamente chegamos a este grupo de desigualdades:
$$\begin{cases} { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }\ge { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 1 }+{ x }_{ 3 }\ge { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }\ge { x }_{ 3 } \end{cases}$$
que é característica defintitoria dun triángulo (x₁, x₂, x₃) que pode ser dexenerado. Si! as solucións do problema de Alcuíno son triángulos!. Con esta nova idea na faltriqueira é máis fácil chegar a todas as solucións do problema. Basta con ir escribindo ordenadamente todas as formas de construír eses triángulos:

Neste caso o número de solucións é 5. Ademais vese claramente que unha vez establecida a repartición das botellas cheas, o resto das incógnitas quedan perfectamente determinadas. Polo tanto chega con estudar os valores dos triángulos (x₁, x₂, x₃).
Xeneralicemos, consideremos o problema de Alcuíno con n botellas de aceite de cada clase. Se lle chamamos T(n) ao número de solucións do problema de Alcuíno con n botellas, acabamos de ver que T(10)=5. A canto ascenderá o seguinte valor T(11)? De construirmos unha táboa coma a anterior:

Veremos que T(11)= 4.

Podemos calcular  cal será o valor xeral de T(n)? A resposta é si, e a solución é realmente sorprendente. Obterémola precisamente da caracterización como triángulo das solucións do problema. Na última táboa obtivemos os valores dos triángulos (x₁, x₂, x₃) de perímetro 11. Ademais neste caso non había triángulos dexenerados. Chamémoslle t(n) ao número de triángulos non dexenerados de perímetro n. Pódese determinar t(n)?

Noutras palabras, chegamos a un novo problema con entidade propia, a de determinar o número de triángulos (non dexenerados) de perímetro n. E outra cousa, este problema pode abrirnos algunha porta para determinar T(n)? A resposta a ambas cuestións é afirmativa. Primero explicitaremos o valor de t(n), xa indicaremos máis adiante de onde o sacamos.

$$t(n)=\begin{cases} \left\{ \frac { { n }^{ 2 } }{ 48 }  \right\} \quad \quad \quad \quad se\quad n\quad par \\ \left\{ \frac { { \left( n+3 \right)  }^{ 2 } }{ 48 }  \right\} \quad \quad se\quad n\quad impar \end{cases}$$

onde {x} indica o enteiro máis próximo a x.
Se n é impar vai suceder como no caso n=11, será imposible obter triángulos dexenerados dese perímetro. Efectivamente, se temos un triángulo dexenerado: x₁₊x₂=x_3, polo que n=x₁+x₂+x₃=2x₃ (n ten que ser par). Entón T(n)=t(n) para os valores impares de n.
Que pasa cos valores pares? Sexa (x₁, x₂, x₃) un triángulo eventualmente dexenerado de perímetro par n, entón (1+x₁, 1+x₂, 1+x₃) é un triángulo non dexenerado de perímetro n+3. Ademáis, valores distintos do primeiro, dan lugar a valores distintos do segundo e todos os triángulos de perímetro n+3 proceden, mediante esta correspondencia, dalgún dos eventualmente dexenerados de perímetro n. En conclusión, para os valores pares T(n)=t(n+3). Por fin temos determinada a función T(n):

$$T(n)=\begin{cases} \left\{ \frac { \left( n+6 \right) ^{ 2 } }{ 48 }  \right\} \quad \quad se\quad n\quad par \\ \left\{ \frac { { \left( n+3 \right)  }^{ 2 } }{ 48 }  \right\} \quad \quad se\quad n\quad impar \end{cases}$$

A sucesión de Alcuíno
Curiosamente os matemáticos deron en chamarlle sucesión de Alcuíno a t(n), e non a T(n). Queda por ver de onde sacamos a expresión da sucesión de Alcuíno (OEIS A005044)  cuxos primeiros termos son os seguintes:

En primeiro lugar poñemos cada triángulo (x₁, x₂, x₃) como suma de (1,1,1) e unha combinación linear dos triángulos (0,1,1), (1,1,1) e (1,1,2) :
$$({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 })=(1,1,1)+\alpha(0,1,1)+\beta(1,1,1)+\gamma(1,1,2) \quad$$
É fácil demostrar a partir da igualdade
$$\begin{cases} { x }_{ 1 }=1+\beta +\gamma  \\ { x }_{ 2 }=1+\alpha +\beta +\gamma  \\ { x }_{ 3 }=1+\alpha +\beta +2\gamma  \end{cases}$$
que para cada triángulo  (x₁, x₂, x₃) existe unha única solución (𝜶,𝜷,𝜸). Sumando obtemos:
$$n={ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }=3+2\alpha +3\beta +4\gamma $$
De aí que t(n) sexa o número de formas de obter n-3 como sumas nas que os sumandos sexan os números 2, 3 ou 4. Por exemplo, no caso n=10: n-3=7. As únicas dúas formas de obter un 7 como sumas dos elementos 2, 3 e 4 son:

7=2+2+3=4+3

No caso de n=11: n-3=8

8=2+2+2+2=2+2+4=2+3+3=4+4

Do que se trataría sería de estudar a función racional seguinte, xa que o seu desenvolvemento en serie de potencias ten como coeficientes precisamente os elementos da sucesión t(n).
$$\sum_{n=0}^{\infty}t(n)x^n=\frac{x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}$$
As liñas xerais desta demostración poden consultarse nesta páxina do (prodixioso) portal de Martin Erickson.
Quizais o método demostrativo poida parecer rebuscado, pero non fai máis que seguir unha tradición que vén dunha xenialide de Leonhard Euler que se explica neste libro de William Dunham.
En liñas xerais a cuestión que estudou  Euler e a forma de tratala, foi o seguinte:
Sexa D(n) o número de formas de escribir n como suma de naturais diferentes
Sexa $$P\left( x \right) =\left( 1{ +x } \right) \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) \left( 1+{ x }^{ 3 } \right) ......=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ D\left( n \right)  } { x }^{ n }$$
onde tomamos D(0)=1
Sexa I(n) o número de formas de escribir n como suma de naturais impares
Sexa $$Q\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1-x } \frac { 1 }{ 1-{ x }^{ 3 } } \frac { 1 }{ 1-{ x }^{ 5 } } .....=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ I\left( n \right)  } { x }^{ n }$$
onde tomamos I(0)=1.
Entón Euler explica como P(x)=Q(x), do que deduce a igualdade de todos e cada un dos termos do desenvolvemento en serie de potencias de cada unha destas funcións: D(n)=I(n) ∀n∊N. Isto é, que o número de formas de escribir un número como suma de diferentes enteiros coincide co número de fomas de escribilo como suma de impares, cuestión, por certo, nada obvia.
Para collerlle o pulso do que estamos falando cómpre ter a man algún caso particular. Velaquí as 12 formas de obter o número 11:

Poderíamos formar dous grupos na aula que xogaran a quen é quen de formar máis sumas. Un dos grupos usaría sumandos distintos e o outro sumandos impares. Non se pode dicir que o reto non é equitativo. Con esta proposta podemos destacar a importancia de ser ordenados e sistemáticos na análise dun problema.

Visto todo o anterior, agora xa non me atrevo nin a pensar que nunca volverei a atoparme con Alcuíno. Ademais temos a mostra de como profundizando un pouco nun problema de apariencia bastante banal, podemos, como neste caso, atoparnos coa sorpresa dunhas matemáticas realmente gorentosas. E como premio, chegamos a un lugar para cheo de matemáticas fermosas, o portal de Martin Erickson. Que máis se pode pedir?