Experimento Eratóstenes 2019

O Experimento Eratóstenes é un evento mundial que consiste en reproducir o experimento realizado por Eratóstenes no século III a.C.

Eratóstenes foi un dos directores da Biblioteca de Alexandría. Cultivou toda clase de saberes pero pasou á posteridade por dous logros: a invención da “criba de Eratóstenes”, que é un método para identificar os números primos, e a sorprendentemente precisa medición do meridiano terrestre.
Nun dos papiros da Biblioteca Eratóstenes leu que o día do solsticio de verán, o sol parecía entrar ao mediodía nun pozo ubicado en Assuán; nese mesmo momento as columnas dos edificios non daban ningunha sombra. Eratóstenes agardou ao comenzo do verán e comprobou que en Alexandría iso non sucedía: ese día como todos os outros, os obxectos formaban sempre algo de sombra. Entón preguntouse a que se debía que no mesmo instante un bastón non proxectara en Assuan ningunha sombra mentras que en Alexandría, a unha gran distancia ao norte,
proxectaba unha sombra pronunciada. Se a Terra fose plana, os dous paus, un en Assuan e outro en Alexandría proxectarían sombras da mesma lonxitude. Entón Eratóstenes comprendeu que a Terra non podía ser plana porque en tal caso as sombras deberían ser iguais en todas partes. A única resposta posible era que a Terra fose redonda.
Eratóstenes sabía que a distancia entre Assuán e Alexandría era de aproximadamente 800 km. porque contratou a un home para que llos medira en pasos. Mediu o ángulo que formaba o seu pau cos raios de sol do mediodía do 21 de xuño: eran 7,2º. Un pouco de xeometría e algúns cálculos dan como resultado unha circuferencia terrestre de 40000 km

As conclusións que obtivo eran correctas e as únicas ferramentas de Eratóstenes foron paus, ollos, pes, cerebros e, ademáis, o gusto pola experimentación. Con estes elementos puido deducir a circunferencia da Terra cun mínimo erro, o que constitúe un logro notable hai 2.200 anos. Foi a primeira persoa que mediu con precisión o tamaño dun planeta.

O noso experimento
No IES Antón Losada Diéguez imos intentar reproducir o experimento de Eratóstenes en colaboración cunha rede de centros mundial mediante o portal Erathostenes Experiment. Para isto teremos que facer o mesmo que fixo Eratóstenes:

• Medir unha sombra nun momento preciso. Aínda que el o fixo no solsticio de verán, nós realizámolo no equinoccio de primavera, concretamente no mediodía solar do día 21 de marzo.
• Obter a distancia a outro centro no que realicen a mesma medición e comparar a lonxitude da súa sombra coa nosa.
• Calcular a lonxitude da circunferencia terrestre cos datos obtidos

Paso 1 O noso obxectivo será calcular o ángulo θ, que nos indica o ángulo de incidencia do sol, no mediodía solar do 21 de marzo. Farémolo mediante a medición da sombra dun pau vertical de 1 m de altura. Como a tanθ=S/H=S/1=S requlta que θ=arctanS=... xa veremos o que nos dá.
Temos que ter coidado de que o pau fique perfectamente vertical ao chan. Ademais debemos facer a medición no momento preciso, xusto cando a sombra é máis pequena, isto é, cando o Sol ese día alcanza a súa máxima altura no horizonte. Para determinar ese momento podemos facer uso desta aplicación que nos dá a hora solar na nosa posición. Para iso temos que introducir nesa aplicación as nosas coordenadas: Latitude e Lonxitude. Podemos descubrilas mediante o Google Maps. Basta buscar o noso centro, premer co botón dereito e seleccionar a opción Que hai aquí? . Deste xeito obtemos que a situación do IES Antón Losada é de 42.693170º de latitude norte e -8.505239º de lonxitude oeste (o signo menos indica que estamos ao oeste do meridiano de Greenwich). Realízanse cinco medicións. Tomaremos como valor para realizar os cálculos a media dos cinco resultados obtidos.

O material necesario para esta actividade é:

• unha construción cun pau vertical de 1 metro
• unha cinta métrica
• unha escuadra de carpintería para poder realizar a medición máis cómodamente trasladando a posición do extremo da sombra ao borde do taboleiro sobre o que se realicen as medidas
• un nivel para asegurarnos de que mediamos na horizontal
• un móbil co que consultar a hora solar local para verificar que as medicións se realizan ao mediodía

Paso 2 Unha vez que teñamos a medición do ángulo do outro centro, mediremos a distancia que hai entre os dous centros. Para iso volveremos a facer uso do Google Maps, utilizando a ferramenta Medir distancia 

Paso 3. Calcularemos dúas veces a lonxitude da circunferencia da Terra.
Primeiro, a partir da comparación da nosa lonxitude da sombra en A coa doutro centro en B
Os ángulos A e A' son iguais por seren correspondentes: A=A'
Consideremos o triángulo A'BC. A suma dos seus ángulos é 180º: 180-A+B+C=180, polo que C=B-C.
Sabendo a distancia entre os puntos de medición A e B, e sabendo que o ángulo que forman os paus alongados ata o centro da Terra é C, mediante unha regra de tres obteremos a lonxitude da circunferencia da Terra.

En segundo lugar, no punto E, situado no ecuador e no noso mesmo meridiano, ao mediodía non se formará sombra ningunha. Ademais o ángulo ACE é igual ao ángulo medido no noso centro, o ángulo A. Isto significa que coa medición da sombra deberíamos obter a nosa latitude.
Outra vez, sabendo a distancia entre E e A e o ángulo A, mediante outra regra de tres, podemos volver a determinar a lonxitude da Terra. Obteremos valores semellantes nestas dúas determinacións?


Resultados de 4ºA
O grupo de alumnos de 4º A obtivo un valor da sombra de 0,8968 m. Isto dá unha medida o ángulo
A=arctan0,8968=41,89º

Alumnos de 4ºA

O alumnado de 4ºA tiña que comparar os seus resultados coa Escola Secundaria Serafim Leite, João da Madeira, Portugal, con coordenadas xeográficas de 40.892452º de latitude norte e -8.496855º de lonxitude oeste, que obtivo un valor para o ángulo B de 40,93º.
De aí que C=41,89-40,93= 0,97º
Como a distancia entre os centros é de 200,21 km, obtívose un valor para a lonxitude terrestre de 74575,35 km

Traballando os datos na aula

Na comparación co ecuador determinouse unha distancia de 4747,4 km. Como o ángulo A=41,89º, esta segunda determinación deu un valor de 40798,85 km para a circunferencia terrestre. Queda claro que o primiero dos valores foi moi errado debido á pouca distancia entre os puntos de medición, apenas 200 km. Neste caso se a obtención do ángulo C (no noso caso de 0,97º) estaba sometida a algún erro, non podería ser compensado, obténdose un resultado final moi lonxe do verdadeiro.

Resultados de 4ºB
O grupo de alumnos de 4º B obtivo un valor para a sombra de 0,8984 m polo que o ángulo  A=41,94º.

Alumnas de 4ºB

Outra medición de 4ºB

Neste caso compararon os seus datos co Al-laymoune College de Mechra Belksiri, en Marrocos. As súas coordenadas xeográficas son Latitude: 34.57775519 e Lonxitude: -5.9509468.

Medición en Mechra Belksiri

Eles tamén usaron un pau de 1 m de altura que formou unha sombra de 0,69 m. Cómpre salientar a diferenza das sombras en dous puntos do mesmo meridiano (aproximadamente) e no mesmo momento.
Desa medición temos que o ángulo B=arctan 0,69= 34,61º e a diferenza C=A-B=7,33º.
Como a distancia entre os centros é de 929 km, obtense para a circunferencia terrestre un valor de 45626,19 km.
Na comparación co ecuador determinouse unha distancia de 4747,25 km. Como o ángulo A=41,94º, esta segunda determinación deu un valor de 40798,93 km para a circunferencia terrestre.

Así foi o desenvolvemento desta actividade neste curso. Deixamos aquí as ligazóns ás participacións do IES Antón Losada nos anos 2017 e 2018

Experimento Eratóstenes 2018

O IES Antón Losada (A Estrada) volveu a participar no Experimento Eratóstenes. A primeira parte do proceso consiste en medir a sombra dun pau de 1 metro colocado perpendicular á horizontal. Desta vez contamos coa axuda do Ciclo Medio de fabricación a medida e instalación de carpintería e moble, que nos fixo o obelisco que se pode ver nas fotos para intentar unha medida o máis precisa posible. A ferramenta utilizada neste apartado foi a seguinte:

Material

• unha construción cun pau vertical de 1 metro
• unha cinta métrica
• unha escuadra de carpintería para poder realizar a medición máis cómodamente trasladando a posición do extremo da sombra ao borde do taboleiro sobre o que se realizaban as medidas
• un nivel para asegurarnos de que mediamos na horizontal. Pódese ver nas fotografías que o chan das pistas deportivas está inclinado pois tivemos que calzar a mesa cun libro (para algo teñen que servir estes obxectos). Cómpre comentar que o ano pasado realizaramos as medicións sobre esta pista.
• un móbil co que consultar a hora solar local para verificar que as medicións se realizaban ao mediodía

Desenvolvemento do experimento

Os libros son útiles
serven para nivelar o instrumental

O día estivo despexado, ata que comenzou a encherse de nubes xusto no momento de realizar as medicións. Tivemos bastantes problemas para realizalas. Había que esperar a que o sol aparecese entre as nubes e aproveitar a toda présa ese momento para efectuar a medición. Tiñamos feitos varios grupos de 3 ou 4 alumnos. Cada grupo realizaba a súa propia medición. Posteriormente, na segunda parte da experiencia cada grupo debía localizar outro centro escolar que participara no experimento Eratóstenes 2018 e, utilizando o google maps, medir a distancia entre ese centro e o noso e xa con eses datos calcular a lonxitude da circunferencia da Terra.

A maior parte do traballo
 realizouse na aula

Para simplificar o traballo ofrecinlles o resultado obtido o ano pasado por un centro que está no noso mesmo meridiano, o GDSR Youssoufia, en Marrocos. Alí a sombra era de 0,63 m polo que o ángulo de incidencia do sol sería de α_Y =arctan(0,63)= 32,21º. Hai unha alternativa consistente en escoller o punto do ecuador que teña a mesma lonxitude ca nós. Neste caso a ventaxa é que no ecuador non hai sombra ao mediodía, isto é, o ángulo de incidencia do sol é de 0º e así a explicación do experimento vólvese máis sinxela ao asemellarse ao relato que se fai do experimento realizado por Eratóstenes.
Con esta opción non temos que xustificar que para obter o ángulo no centro da Terra teñamos que restar os ángulos obtidos nas medicións dos dous institutos.
O alumnado estraba distribuído en grupos de 3 ou 4 alumnos. Cada un obtivo os seus propios datos e, consecuentemente os seus propios resultados. Estes foron todos distintos e distribuíronse entre os 21.201 km (!) e os 41.430 km. A maioría deron resultados na veciñanza dos 40.190 km, o cal non está nada mal tendo en conta que a medida do meridiano é de 40.013 km.

P.S.: Alumnos estradenses emulan a Eratóstenes medindo a Terra, (12/04/18) La Voz de Galicia

O experimento de Eratóstenes

Web do experimento

O Experimento Eratóstenes é un proxecto colaborativo e aberto a todos os centros que queiran participar. Ten como fin  reproducir,  na medida do posible, a medición da Terra feita polo que fóra director da Biblioteca de Alexandría no III a.C. En concreto, tratábase de medir a sombra dun pau vertical de 1 m. no momento en que alcanzaba a súa lonxitude mínima (mediodía local) o día 21 de marzo, un despois do equinoccio de primavera.
Ao apuntarse no portal como centro participante, recibíase un correo con aqueles centros que tiñan aproximadamente o mesmo meridiano. O alumnado de 4º da ESO do IES Antón Losada (A Estrada) participou na actividade. Tivemos a fortuna de que outro dos inscritos, un centro de Youssoufia (Marrocos) estivese prácticamente no noso mesmo meridiano.
Para saber a hora solar usamos esta aplicación. Cando o Sol estaba no punto máis alto saímos ao patio do centro, e medimos a sombra dun pau de 1 m. de altura que nos proporcionaron desde o cliclo de madeira. Fixemos varias medicións. Por suposto,  ningunha daba o mesmo.
Con todo, obtivemos un valor: 0,92 m de sombra. A esa mesma hora, a mesma medición do GDGSR Youssoufia foi de 0,63 m. Estes resultados permitían determinar o ángulo de incidencia do Sol nese momento sobre as dúas cidades.

Como se ve, suponse que os raios do Sol inciden paralelos sobre a Terra

Pensando un pouco, acharemos o ángulo α, que determinan as dúas vilas vistas desde o centro da Terra. Teñamos presente que o ángulo α_Y é igual ao ángulo YAB e que o α_E é igual ao EAB. Polo tanto α= α_Yーα_E=arctan(0,92)ーarctan(0,62)=42,61ºー32,21º=10,4º

Agora temos que determinar a distancia entre A Estrada e Youssoufia. Seguro que Eratóstenes tivo máis problemas; nós fixémolo coa aplicación maps de google.
O resto xa é un simple problema de proporcionalidade directa.





Cosmos

A principios dos anos 80 emitiuse pola canle UHF da televisión a serie Cosmos, dirixida por Carl Sagan. O seguinte recorte do primeiro dos 13 capítulos da serie explica de forma maxistral o "experimento de Eratóstenes". Téñoo usado na clase unha chea de veces.

Un apunte personal
Xunto coa serie publicárase un libro do mesmo título. Nese libro é onde vin por primeira vez unha demostración matemática. Mellor dito, dúas.
No apéndice incluíase a demostración da irracionalidade da √2 e da existencia de únicamente 5 poliedros regulares. Leínas con moito interese, pero resultáranme realmente decepcionantes.
Para demostrar a irracionalidade da √2 partíase de suposición de que era un racional p/q irreducible para finalmente chegar a unha contradición. Teño que confesar que non entendía por que p/q tiña que ser irreducible. En consecuencia, nunca o expliquei na aula.
A outra demostración era directa, non se empregaba o método de redución ao absurdo, pero partía dunha fórmula completamente misteriosa para min, a fórmula de Descartes-Euler que relaciona o nº de caras (C), o nº de vértices (V) e o de arestas (A), dun poliedro (homeomorfo a unha esfera, diría hoxe):

C+V-A=2

No libro indicábase que había unha bonita demostración no libro de Courant e Robins, Que é a matemática?, (páx. 248), mais daquela non tiña posibilidade algunha de consultar ese libro, nin imaxinaba que algún día chegaría a lelo.
En conclusión, acabei convencido de que as matemáticas non eran para min.

Alumnado do IES Losada
tomando a medida da terra (literal)