tag:blogger.com,1999:blog-28654510040899442402024-03-16T19:50:03.596+01:00Retallos de matemáticasBlogue de matemáticas en galegoCibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.comBlogger278125tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-14050303005236458702024-03-11T10:10:00.004+01:002024-03-15T16:41:58.937+01:00Un regalo da xeometría inversiva<p>Nunca estudei a xeometría inversiva. O máis cerca que estiven diso foi nas clases de Álxebra II, no segundo cuso da carreira, cando traballamos a razón dobre. Aquel achegamento , facendo honra á denominación da materia, foi puramente alxébrico. Nesas clases nunca debuxamos unha circunferencia. Así, cando vexo algúns apuntes sobre ese tema ando sempre ás atoutiñadas, todo me sorprende. </p><p><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/12/a-inversion-proxectada.html">Nunha entrada anterior</a> xa se explicaba en que consistía a inversión dun plano mediante unha circunferencia. Recórdoo de seguido. Trátase dunha transformación do plano (agás un punto) en si mesmo. Dada unha circunferencia, (que chamaremos <i>circunferencia inversiva</i>) de centro O (<i>centro de inversión</i>) e raio R construiremos a inversión así:</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwqJkhSLM1D_jAIbSZ_e3DliX0g4mKXWETOV8NkAzyXX2SGKsaBPBH_kqLqtl2ISz0OpZea6RH8hicz9XjlCtV_p_e6msJ0rNiB4CN8oNBRikCaN5xDerK48HooxcCvVndTf-qZszAQs-TLKYl9M4-GoMVTWMRXMPfgFko7WVBHqHM02LTRDCfYxvvz0MY/s630/24_03_inversi%C3%B3n_de_P.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="482" data-original-width="630" height="245" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwqJkhSLM1D_jAIbSZ_e3DliX0g4mKXWETOV8NkAzyXX2SGKsaBPBH_kqLqtl2ISz0OpZea6RH8hicz9XjlCtV_p_e6msJ0rNiB4CN8oNBRikCaN5xDerK48HooxcCvVndTf-qZszAQs-TLKYl9M4-GoMVTWMRXMPfgFko7WVBHqHM02LTRDCfYxvvz0MY/s320/24_03_inversi%C3%B3n_de_P.png" width="320" /></a></div><br />Se $P$ é un punto do círculo de centro $O$ e raio $R=OT$ trazamos a semirecta $OP$ e a súa perpendicular polo punto $P$. Esta perpendicular cortará en dous puntos á circunferencia. A tanxente nun destes puntos cortará a semirecta $OP$ nun punto $P'$ que será a inversión de $P$<p></p><p>No caso de que $P$ fique fóra do círculo a obtención de $P'$ sería semellante. Desde $P$ trazamos unha das tanxentes á circunferencia $PT$. Despois trázase a perpendicular a $OP$ por $T$ e obtemos $P'$</p><p>En calquera caso o inverso dun punto $P$ respecto dunha circunferencia de centro $O$ e raio $R$ é outro punto $P'$ na semirecta $OP$ tal que $OP\cdot OP'=R^{2}$ Son bastante evidentes as seguintes propiedades:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>O inverso do inverso é o propio punto</li><li>O inverso dun punto interior á circunferencia fica fóra da mesma e viceversa.</li><li>Os únicos puntos auto-inversos son os da circunferencia</li></ul><p></p><p><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/12/a-inversion-proxectada.html">Na entrada á que facía referencia anteriormente</a> deducíranse algunhas propiedades da inversión usando un método un tanto estrafalario (mediante o uso da proxección estereográfica). Alí establecimos os seguintes resultados:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>A inversión conserva os ángulos</li><li>A inversa dunha recta que pasa por O é a propia recta (sempre que omitamos o propio punto O, que é o único que non ten imaxe)</li><li>A inversión transforma circunferencias que non pasan por O en circunferencias</li><li>A inversión transforma circunferencias que pasan por O en rectas.</li></ul><p></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="text-align: left;">Imos demostrar a última propiedade mediante un procedemento máis estándar. Recóllo do libro "Regreso a la geometría" de H.S.M Coxeter e S.L. Greitzer (La tortuga de Aquiles 1993).</span></div><p></p><p>Consideremos unha recta $a$ que non pase por $O$. Tracemos desde $O$ a perpendicular a $a$, $=OA$. Sexa $A'$ a inversa de $A$. Debuxemos a circunferencia $\alpha $ de diámetro $OA$. Desde un punto $P\in a$ trazamos o segmento $OP$ que cortará a $\alpha $ nun punto $P'$. </p><p>Os triángulos $\triangle OP'A'$ e $\triangle OPA$ son semellantes xa que comparte o ángulo en O e ambos teñen ademais un ángulo recto. De aí que tamén $$\frac{OP}{OA}=\frac{OA'}{OP'}\Rightarrow OP\cdot OP'=OA\cdot OA'=R^{2}$$</p><p>Entón $P'$ é o inverso de P. Recíprocamente calquera punto da circunferencia $\alpha$ invértese noutro da recta $a$</p><p><br /><iframe height="350px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fgrtufyk/width/600/height/350/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Inversión dunha circunferencia que pasa polo centro" width="600px"> </iframe></p><p><b>A lonxitude dun segmento invertido</b></p><p>Seguindo o libro de Coxeter e Greitzer abordaremos agora un teorema que explica como se modifica a distancia mediante a inversión. </p><p><span style="color: #666666;"><b></b></span></p><blockquote><span style="color: #666666;"><b>Fórmula da lonxitude dun segmento invertido</b>. Se unha circunferencia $\omega$ de centro $O$ e raio $R$ inverte os puntos $A$ e $B$ en $A'$ e $B'$, as distancias verifican a seguinte relación $$A'B'=\frac{R^{2}\cdot AB}{OA\cdot OB}$$</span></blockquote><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdKMROwrK2Cnfh9ShA1_jubBotQXfGlBgfL2VNZpuvnrQ2UaDhEJFoDF_BVrlXmt3EJSfYA8fFo7SM8L7s5Rf17RlCuu6YkPOThDcIPYbdjTsGY8eeUwPlWuWf3S6O4wKNDmochji73KKA3rc9CMbdJV-IKinkkd8h4DNAWeF_8tj0XF_Zz64XjDkL9XI5/s598/24_03_inversi%C3%B3n_distancia.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="582" data-original-width="598" height="248" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdKMROwrK2Cnfh9ShA1_jubBotQXfGlBgfL2VNZpuvnrQ2UaDhEJFoDF_BVrlXmt3EJSfYA8fFo7SM8L7s5Rf17RlCuu6YkPOThDcIPYbdjTsGY8eeUwPlWuWf3S6O4wKNDmochji73KKA3rc9CMbdJV-IKinkkd8h4DNAWeF_8tj0XF_Zz64XjDkL9XI5/w255-h248/24_03_inversi%C3%B3n_distancia.png" width="255" /></a></div><br />Sexa $A'$ inverso de $A$: $OA\cdot OA'=R^{2}$<p></p><p>Sexa $B'$ inverso de $B$: $OB\cdot OB'=R^{2}$</p><p>Entón $OA\cdot OA'=OB\cdot OB'$ polo que e $$\frac{OA}{OB}=\frac{OB'}{OA'}$$</p><p>Daquela os triángulos $\triangle OAB$ e $\triangle OA'B'$ son semellantes pois o ángulo en O é común e os lados que o determinan son proporcionais (aplicamos o chamado criterio LAL). Polo tanto temos tamén que $$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OB}=\frac{OA\cdot OA'}{OA\cdot OB}=\frac{R^{2}}{OA\cdot OB}$$</p><p>Despexando, obtemos a igualdade prometida: $$A'B'=\frac{R^{2}\cdot AB}{OA\cdot OB}$$</p><p><b>Un regalo: o teorema de Ptolomeo</b></p><p>Hai moitas demostracións do teorema de Ptolomeo. Algunhas teñen base trigonométrica, outras usan a semellanza de triángulos. No libro que vimos mencionando demóstrase este teorema usando a recta de Simson-Wallace (para este tema ver estas outras entradas neste mesmo blogue <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2017/06/a-recta-de-simson-pelicula1.html">[1]</a> e <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2017/06/a-recta-de-simson-pelicula2.html">[2]</a>). Resulta que tamén hai unha demostración inversiva, ademais é directa e simple.</p><p>Antes de nada lembremos que un cuadrilátero cíclico é aquel que ten os catro vértices nunha mesma circunferencia. Sabendo isto podemos enunciar o</p><p><span style="color: #666666;"><b></b></span></p><blockquote><span style="color: #666666;"><b>Teorema de Ptolomeo.</b> Se ABCD é un cuadrilátero cíclico, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das diagonais, isto é: $AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot BC$</span></blockquote><p></p><p><iframe height="350px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zwfgjnr2/width/600/height/350/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" style="border: 0px;" title="Demostración inversiva do teorema de Ptolomeo" width="600px"> </iframe></p><p>Sexa $\alpha$ a circunferencia pola que pasan os catro vértices do cuadrilátero. Tomando o vértice $A$ como centro, construímos outra circunferencia $\omega$ que conteña ao cuadrilátero. Agora, como os outros vértices, $B$, $C$ e $D$ están en $\alpha$, unha circunferencia que pasa polo centro de inversión, se os invertemos, as súas imaxes $B'$, $C'$ e $D'$ ficarán todas nunha recta. Velaí que $$B'D'=B'C'+C'D'$$</p><p>Fagamos agora uso da fórmula, dada anteriormente, que nos dá a distancia dun segmento invertido:$$\frac{R^{2}\cdot BD}{AB\cdot AD}=\frac{r^{2}\cdot BC}{AB\cdot AC}+\frac{R^{2}\cdot CD}{AC\cdot AD}$$</p><p>Eliminando $R^{2}$ e sacando denominadores facendo uso de que o seu mínimo común múltiplo é $AB\cdot AC\cdot AD$:</p><p>$$AB\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot CD$$</p><p>O recíproco do teorema de Ptolomeo tamén se verifica, isto é:</p><p><span style="color: #666666;"><b></b></span></p><blockquote><span style="color: #666666;"><b>Recíproco do teorema de Ptolomeo.</b>
Se ABCD é un cuadrilátero tal qu: $AC\cdot
BD=AD\cdot BC+AB\cdot BC$, entón ABCD é un cuadrilátero cíclico.</span></blockquote><span>Por outra banda, dados catro puntos calquera, sempre se verificaría a desigualdade, coñecida tamén como desigualdade de Ptolomeo: $$AB\cdot BD\leq AD\cdot BC+AB\cdot CD$$</span><div><span>Ademais a igualdade que nos ofrece o teorema de Ptolomeo caracteriza os cuadriláteros cíclicos.</span><span><br /></span><p></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzGOuMdGqNSJlBw2GuTtRA2ev-I8ZicIPB8M3hyphenhyphen48JMXzzB1krTrmy4YrmTmMdLQi1yjzUizbnMCLJ7cfl247SbFnQ_ul_D9cbzI1ODA1Zz_u4J4qU8U5-o6y598Wx0Vs7ahVK5-_du0tFzzNazL4NR-l7PpjKDqDu10B4zVKNNOVSvsJ-Z4nWhMgdYFgU/s467/24_03_o_pent%C3%A1gono_%C3%A1ureo.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="461" data-original-width="467" height="255" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzGOuMdGqNSJlBw2GuTtRA2ev-I8ZicIPB8M3hyphenhyphen48JMXzzB1krTrmy4YrmTmMdLQi1yjzUizbnMCLJ7cfl247SbFnQ_ul_D9cbzI1ODA1Zz_u4J4qU8U5-o6y598Wx0Vs7ahVK5-_du0tFzzNazL4NR-l7PpjKDqDu10B4zVKNNOVSvsJ-Z4nWhMgdYFgU/w258-h255/24_03_o_pent%C3%A1gono_%C3%A1ureo.png" width="258" /></a></div><br />Como colofón citaremos a seguinte aplicación do teorema de Ptolomeo. Consideremos o pentágono regular de lado unidade. As súas diagonais son evidentemente iguais (son a base de triángulos isósceles de lado 1); poñamos que miden $\varphi$ Desbotando por exemplo o vértice superior quédanos un cuadrilátero cícliclo.<p></p><p>Se lle aplicamos a este cuadrilátero o teorema de Ptolomeo teremos que $$\varphi \cdot \varphi =1\cdot \varphi +1$$</p><p>$$\varphi ^{2}=\varphi +1$$</p><p>Esta é unha ecuación doada de resolver, <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2018/06/problemas-consecutivos.html">ou de recoñecer</a>.</p></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-56818909677009329922024-02-19T10:10:00.003+01:002024-02-19T10:10:00.127+01:00Son estraños os impares?<p style="text-align: center;"> <b>por Andrés Ventas</b></p><section><h2>Os impares son diferentes</h2><p><b>(1).</b> Todo comezou estudando a función zeta de Riemann</p><p><a href="//fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann">Función zeta de Riemann</a></p><p>$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{s}}=1+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{4^s}+\cdots$. Serie dos reciprocos das potencias dos números naturais.</p><p>Resulta que Euler fixo un cálculo estupendo para resolver o valor de $\zeta(2)$, que é coñecido como o problema de Basilea (Basel Problem), no pdf <a href="https://www.math.cmu.edu/~bwsulliv/MathGradTalkZeta2.pdf">Numerous Proofs of $\zeta(2)$ </a>, móstranse numerosas probas desta igualdade, e actualmente son coñecidos os valores exactos dos valores pares de $\zeta(s)$, mais non os impares.</p><p>E somos capaces de elaborar numerosas maneiras para calcular $\zeta(2)$ e non somos capaces de conseguir $\zeta(3)$? Iso para min comeza a ser o principio dun misterio e unha curiosidade, algo que investigar.</p><p>R. Apéry conseguiu probar que $\zeta(3)$ é irracional <a href="https://pracownicy.uksw.edu.pl/mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf">A proof that Euler missed </a>, e xa conseguiu abondo, nunha proba da que eu non consigo entender nen na metade da súa extensión.</p><p>A partir daquí comecei a tomar notas sobre outros problemas con solución coñecida para números pares e non para impares.</p></section><p><b>(2).</b> Durante un par de anos dediqueime a resolver problemas da revista Fibonacci Quarterly, os meus favoritos eran as sumas de recíprocos. Nun artigo de Blagoj S. Popov de 1986, <a href="https://www.fq.math.ca/24-1.html">Summation of Reciprocal Series of Numerical Functions of Second Order</a> aparecen os valores das sumas dos produtos por parellas de recíprocos con índices pares das series de Fibonacci e Lucas, mais non de índices impares.</p><p>Por exemplo para a sucesión de Fibonacci, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$: $F_{n} = \{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots \}$, temos:</p><p>$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{F_{2n} F_{2n+2}} = \beta^2 = \dfrac{1}{\alpha^2}$, sendo $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ o número áureo.</p><p>O artigo de Popov é máis completo e dá valores para as series con polinomios de Fibonacci, Lucas e outras recurrencias de segunda orde, mais en xeral os valores conseguidos son para elementos de índices pares.</p><p><b>(3).</b> O terceiro caso que me atopei foron os números perfectos. Un número perfecto é un enteiro que é igual á suma dos divisores propios. <a href="//gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_perfecto">Número Perfecto </a>, existen para certos números pares mais conxectúrase que non existen para os impares.</p><p><a href="https://oeis.org/A000396">A000396 Enciclopedia das secuencias </a>: $\{6, \ 28, \ 496, \ 8128, \ 33550336, \ldots \}$.</p><p>Para os pares temos ata unha fórmula explícita para os números que o cumpren, debida a Euclides nada menos, e probada por Euler, $k = 2^{(p-1)}(2^p-1)$, sendo $p$ primo e $2^p-1$ primo tamén.</p><p>En binario forman unha curiosa representación: $\{110, \ 11100, \ 1111111000000, \ldots \}$.</p><p><b>(4).</b> Coberturas. Paul Erdös no 1930 introduciu o conceito de cobertura mediante un sistema completo de residuos. Trátase de obter un sistema de residuos que produzan o conxunto completo dos números enteiros.</p><p>Algo básico e evidente sería $\{0 \pmod{3}, \ 1 \pmod{2}, \ 2 \pmod{3} \}$, porque $(0+3k) \cup (1+3k) \cup (2+3k) = \mathbb{Z}$.</p><p>Temos unha conxectura sen resolver de Erdős e Selfridge de que non existe unha cobertura cuxo sistema de residuos teña todos os módulos impares. Podedes ver datos sobre este tema no documento de Michael Filaseta, Wilson Harvey <a href="https://hal.science/hal-04167632/document">Coberturas de subconxuntos dos enteiros mediante congruencias </a>.</p><p><b>(5).</b> Chegamos á álxebra e temos que un ideal é un subanel dun anel que ten que ser pechado baixo a multiplicación por calquera elemento do anel.</p><p>E resulta que nos números enteiros os pares $2\mathbb{Z}$ forman un ideal e os impares non, porque par por par ou par por impar dá un número par.</p><p><b>(6).</b> E outra máis. Temos o grupo de permutacións, que son as bixeccións de elementos do conxunto $M=\{x_1,\ x_2, \ x_3, \ldots, \ x_n \}$ no propio conxunto $M$. O conxunto $S_M$ de todas as permutacións $(\sigma)$ forma un grupo baixo a función de composición e identificámolo normalmente pola cardinalidade do conxunto $M$. Por exemplo, podemos escribir unha permutación en $S_5$ como $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$</p><p>que se pode ler como o elemento $1$ vai ao $3$, o $2$ vai ao $4$, o $3$ vai ao $5$, etc.</p><p>Ou $\sigma(1)=3, \ \sigma(2)=4, \ \sigma(3)=5, \ \sigma(4)=2, \ \sigma(5)=1$.</p><p>Existe outra notación como ciclos da permutación que son os subconxuntos de elementos que van permutando entre sí, no exemplo visto sería $\sigma= (1 \ 3 \ 5) (2 \ 4)$ porque o $1$ vai ao $3$ o $3$ vai ao $5$ e o $5$ vai ao $1$, e o outro ciclo disxunto sería o $2$ vai ao $4$ e o $4$ vai ao $2$.</p><p>Un ciclo de lonxitude $2$ chámase transposición e toda permutación pode ser escrita como un conxunto de transposicións, seguimos co noso exemplo, o ciclo $(1 \ 3 \ 5)$ pode ser expresado como $(1 \ 5)(1 \ 3)$, visto en secuencia: $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & & 1 & & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$</p><p>primeiro o $1$ vai ao $3$ e o $3$ ao $1$ e sobre ese resultado o $1$ vai ao $5$ e o $5$ ao $1$, obtendo o mesmo resultado que aplicado o ciclo directamente.</p><p>Dise que unha permutación é par cando pode ser obtida como produto dun número par de transposicións e será impar cando se obteña como produto dun número impar de transposicións.</p><p>Agora, por definición, o grupo Alterno $A_n$ de $n$ símbolos é o subgrupo de $S_n$ que consiste nas permutacións pares.</p><p>E aquí chegamos, máis unha vez, ao temiña desta entrada do blogue. O grupo alterno $A_n$ de permutacións pares ten estrutura de grupo (con cardinalidade $n!/2$). O elemento identidade (a permutación que non move ningún elemento) ten paridade par, por tanto o subconxunto de permutacións impares non ten estrutura de grupo porque non contén un elemento identidade.</p><p>Todo isto do grupo simétrico está sacado das notas do profesor Bruce Ikenaga <a href="https://sites.millersville.edu/bikenaga/abstract-algebra-1/abstract-algebra-1-notes.html">Abstract Algebra 1 </a>.</p><p>En todo o que está aquí contado quixen referirme ao conxunto completo de números impares. Se nos referimos a conxecturas ou problemas sen resolver con números primos impares (pobre $2$) eu diría que hai infinitas $(\to \infty)$, porque os números primos son o demo.</p><p>Por exemplo, a conxectura de Erdös-Straus de que toda fracción $\dfrac{4}{n}$ pode ser escrita como a suma de tres fraccións unitarias (ou exipcias) $\dfrac{4}{n} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}$, non está resolvida para certo subconxunto de números primos impares.</p><section><h2>Unha excepción para os pares</h2></section><p>Para os pares temos a Conxectura de Goldbach (versión forte), que nos dí que calquera número par pode escribirse como a suma de dous primos. Está sen demostrar.</p><p>A versión débil, todo número impar pode ser conseguido coa suma de tres primos, acaba de ser demostrada por Harald Helfgott, <a href="https://arxiv.org/pdf/1501.05438.pdf">o problema ternario de Goldbach </a>, e levou 5 aniños desde que foi presentada a demostración no 2013 ata que foi recoñecida no 2018. Un precioso documento de 317 páxinas, que reduce o valor superior estabelecido por Vinogradov. No 1937 Vinogradov demostrou que a partir de certa constante $C$ a conxectura cumpríase e posteriormente estabeleceu unha constante a partir da que se cumpría: $e^{e^{e^{41.96}}}$, mais dado que era un valor grandísimo non se podía demostrar que non fallase algún caso por debaixo dese valor, por tanto os novos traballos foron baixando ese valor ata chegar a un valor onde se puideran comprobar computacionalmente o resto de casos (os casos de valores baixos).</p><section><h2>Bibliografia</h2><ol><li id="Filaseta">Michael Filaseta, Wilson Harvey <a href="https://hal.science/hal-04167632/document">Covering subsets of the integers by congruences</a></li><li id="Helfgott">Harald Andres Helfgott <a href="https://arxiv.org/pdf/1501.05438.pdf">The ternary Goldbach problem</a></li><li id="Ikenaga">Bruce Ikenaga <a href="https://sites.millersville.edu/bikenaga/abstract-algebra-1/abstract-algebra-1-notes.html">Abstract Algebra 1</a></li><li id="Oeis">Oeis <a href="https://oeis.org/A000396">Enciclopedia das secuencias</a></li><li id="Apery">Poorten <a href="https://pracownicy.uksw.edu.pl/mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf">A proof that Euler missed</a></li><li id="Popov">Blagoj S. Popov <a href="https://www.fq.math.ca/24-1.html">Summation of Reciprocal Series of Numerical Functions of Second Order</a></li><li id="Sullivan">B.W.Sullivan <a href="https://www.math.cmu.edu/~bwsulliv/MathGradTalkZeta2.pdf">Numerous Proofs of $\zeta(2)$</a></li><li id="Riemann">Wiki <a href="//fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann">Función zeta de Riemann</a></li><li id="Riemann">Wiki <a href="//gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_perfecto">Número Perfecto</a></li></ol></section>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-11170747131920433652024-02-12T10:10:00.006+01:002024-03-08T23:29:15.093+01:00A inversión proxectada<p>Paga a pena ler as anotacións da <a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Steiner/">biografía de Jakob Steiner</a> (1796-1863) do portal MacTutor da Universidade de St. Andrews (Escocia) para enterármonos dos avatares da súa vida. Alí cóntase que non aprendeu a ler nin a escribir ata os 14 anos e que os seus pais non querían que estudase. Foi pola súa propia iniciativa que ingresou na escola de <a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Pestalozzi">Pestalozzi</a> e só despois de estar varios anos gañándose a vida como profesor particular de matemáticas, chegou a ter a atención doutros matemáticos do seu tempo como Jacobi, Abel ou Crelle. De feito xa no primeiro número do famoso Xornal de Crelle aparece un artigo de Steiner no que desenvolve a súa teoría da <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_un_punto">potencia dun punto respecto dunha circunferencia</a>. En relación con estas ideas o matemático suízo inventa no ano 1830 unha cuasi-transformación do plano (afecta a todo o plano agás a un punto). Estamos a falar da inversión. Presentaremos dous métodos equivalentes de construír unha inversión.</p><p><u>Metodo 1.</u> Dado un punto $P$ no círculo de centro $O$ e raio $R=OT$ trazamos a semirecta $OP$ e a súa perpendicular polo punto $P$. Esta perpendicular cortará en dous puntos á circunfenrencia. A tanxente nun destes puntos cortará a semirecta $OP$ nun punto $P'$ que será a inversión de $P$</p><p>No caso de que $P$ fique fóra do círculo a obtención de $P'$ sería semellante. Desde $P$ trazamos unha das tanxentes á circunferencia $PT$. Despois trázase a perpendicular a $OP$ por $T$ e obtemos $P'$</p>
<div style="text-align: center;"><iframe height="483px" scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/q5y2qxvg/width/524/height/483/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" style="border: 0px;" title="Dous métodos para obter a inversión" width="524px"> </iframe> </div><div>Nesta applet pódese comprobar que o segundo método é equivalente ao primeiro.<div style="text-align: left;"><u>Método 2.</u> Se $P$ está dentro do círculo de centro $O$ e raio $R=OU$ trazamos a semirecta $OP$ e o diámetro $RS$ ortogonal a $OP$. Desde un destes extremos do diámetro, diagamos $R$, trazamos a semirecta $RP$ que cortará á circunferencia en $V$. Trazamos entón a semirecta $SV$ que cortará a $OP$ no punto buscado $P'$.</div><div style="text-align: left;">Se $P$ está fóra do devandito círculo bastará con trazar $RP$ que corta á circunferencia en $V$. Entón $SV$ cortará a $OP$ en $P'$.</div><div style="text-align: left;">En ambos casos a inversión dun punto da circunferencia é o propio punto $P'=P$</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b>Formulación alxébrica da inversión</b></div><div style="text-align: left;">Coa finalidade de obter unha caracterización máis <i>alxébrica</i>, repasemos cada un destes métodos.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjft76CGsnjNvkcpaPjWsIPyFc392CpoIwStSig2fQ1-xhnmstK-hY19w7WHo34C1MZXRX-WEnGYMNm2UWnI1PqY2SvtTLZmuB8y4QmtUk76JtZeQG2394HYXLUVUY5OWI06GoCbdIZnaIlzWb_hThwvSodomypV67oBRGPWL1mDcow49pZjYqQ2vBa5rj0/s480/23_11_Inversi%C3%B3n_01.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="296" data-original-width="480" height="197" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjft76CGsnjNvkcpaPjWsIPyFc392CpoIwStSig2fQ1-xhnmstK-hY19w7WHo34C1MZXRX-WEnGYMNm2UWnI1PqY2SvtTLZmuB8y4QmtUk76JtZeQG2394HYXLUVUY5OWI06GoCbdIZnaIlzWb_hThwvSodomypV67oBRGPWL1mDcow49pZjYqQ2vBa5rj0/s320/23_11_Inversi%C3%B3n_01.png" width="320" /></a></div>Os triángulos $OTP$ e $OTP'$ son semellantes, de aí que $$\frac{OP}{OT}=\frac{OT}{OP'}$$ $$OP\cdot OP'=OT^{2}=R^{2}\quad\quad [1]$$</div><div><br /></div><div>Vexamos como aplicando o outro método obtemos o mesmo resultado</div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinuYK7aQzG6vejCcTggy5FqBob3ImohNERHbxNUF0M1j82Ig8sOFO9jFOvYnCZ2O_aTZ-IA4_iHbN-dfmHtJIhuQUVsAnB5jFI-H25490wi0U7MnuJaqneESIuviOMtG4QZflf181vFJ8Gx0N3F1EX2igDruBnpHaDaXoaqZ2yY1RA4JnS_vxPhfaf3Jzk/s512/23_11_Inversi%C3%B3n_02.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="326" data-original-width="512" height="204" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinuYK7aQzG6vejCcTggy5FqBob3ImohNERHbxNUF0M1j82Ig8sOFO9jFOvYnCZ2O_aTZ-IA4_iHbN-dfmHtJIhuQUVsAnB5jFI-H25490wi0U7MnuJaqneESIuviOMtG4QZflf181vFJ8Gx0N3F1EX2igDruBnpHaDaXoaqZ2yY1RA4JnS_vxPhfaf3Jzk/s320/23_11_Inversi%C3%B3n_02.png" width="320" /></a> Os triángulos $UOP$ e $VOP'$ son semellantes, de aí que $$\frac{OP}{OU}=\frac{OV}{OP'}$$ $$OP\cdot OP'=OU\cdot OV=R^{2}\quad\quad [1']$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Así podemos definir o inverso dun punto $P$ respecto dunha circunferencia de centro $O$ e raio $R$ como outro punto $P'$ na semirecta $OP$ tal que $OP\cdot OP'=R^{2}$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Con esta observación fica claro que o inverso do inverso é o propio punto.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b>A inversión proxectada</b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Curiosamente <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/12/a-proxeccion-estereografica-reencontrada.html">a proxección estereográfica, da que falamos na anterior entrada, </a> está conectada coa inversión. En concreto, podemos definir a inversión mediante a proxección estereográfica. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Consideremos o plano $\sigma$ e nel unha circunferencia de centro $S$ e raio $R=2r$, con $r$ o raio da esfera $NP_{\pi}S$ tanxente a $\sigma$ en $S$<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKPe5mklrxawxihyuKVqqk8SWTzhP6O6llyFlgt2hqnY7FzGCO_-TPT9TvvK4X4_BuGddcl3SRIgzIdpcLMCXl1zkDujhrqpJ-qYeWf6R6n8sm9xQ8wKm0zX1NN888DGsfKTJfKDPkFRFRmYwEPxj6iu1bHwtxPrTThOGTl-Fh2vvQxbewRLNXegcie6t7/s1276/23_11_proxecci%C3%B3n_inversi%C3%B3n.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="636" data-original-width="1276" height="318" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKPe5mklrxawxihyuKVqqk8SWTzhP6O6llyFlgt2hqnY7FzGCO_-TPT9TvvK4X4_BuGddcl3SRIgzIdpcLMCXl1zkDujhrqpJ-qYeWf6R6n8sm9xQ8wKm0zX1NN888DGsfKTJfKDPkFRFRmYwEPxj6iu1bHwtxPrTThOGTl-Fh2vvQxbewRLNXegcie6t7/w640-h318/23_11_proxecci%C3%B3n_inversi%C3%B3n.png" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>Dado un punto $P$ de $\sigma$, mediante a inversa da proxección esteriográfica obtemos na esfera o punto $P_{\pi }$. Sexa entón $P'_{\pi }$ o punto diametralmente oposto a $P_{\pi }$ nesa esfera. A proxección estereográfica deste punto será $\overline{P_{\pi }'}$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Como $P_{\pi }P'_{\pi }$ é un diámetro o ángulo en $N$ é recto. Velaí que o triángulo $PN\overline{P_{\pi }'}$ é rectángulo. Polo teorema da altura</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$$PS\cdot \overline{P'_{\pi }}S=NS^{2}=\left ( 2r \right )^{2}=R^{2}$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Como se verifica a condición [1] (equivalentemente [1']) dada anteriormente, o punto $\overline{P'_{\pi }}$ sería o inverso de P respecto da circunferencia de centro $S$ e raio $R$ se non fose por un pequeno detalle: que non está na semirecta $SP$. Por esta razón aínda teremos que aplicarlle unha simetría respecto de $S$ a ese punto para obter, por fin, o inverso $P'$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">En resumo, a inversión dun punto $P$ nun plano $\sigma$ respecto dunha circunferencia de centro $S$ e raio $R$ pode obterse mediante a seguinte serie de transformacións:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>A inversa da proxección estereográfica</li><li>O punto diametralmente oposto respecto do centro da esfera</li><li>A proxección estereográfica</li><li>A simetría respecto do centro na circunferencia</li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">De todo isto conclúese que as propiedades que viramos <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2024/01/a-proxeccion-estereografica-reencontrada.html">na anterior entrada</a> sobre a proxección estereográfica esténdense á inversión pois son propiedades que tamén se conservan polas simetrías aplicadas. Isto é:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>Como a proxección estreográfica leva circunferencias que pasan polo Polo Norte en rectas, a inversión transformará circunferencias que pasan polo centro $S$ da circunferencia de inversión en rectas.</li><li>Como a proxección esterográfica leva circunferencias que non pasan polo Polo Norte en circunferencias, a inversión transformará circunferencias que non pasan polo centro $S$ da circunferencia de inversión en circunferencias.</li><li>Como a proxección estereográfica conserva os ángulos, a inversión conservará os ángulos.</li></ul></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Con toda esta bagaxe de certo que a nosa visión do seguinte vídeo será máis profunda, e gozaremos máis del. Que vídeo? Pois un, en concreto o primeiro, dos do marabilloso proxecto <a href="https://www.dimensions-math.org/Dim_PT.htm">Dimensions</a>, no que as imaxes xogan coa proxección estereográfica e a inversión no plano proxectado. <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2024/01/a-proxeccion-estereografica-reencontrada.html">Sóavos de algo</a>?</div><div><div style="text-align: left;"><br /></div></div>
<div style="text-align: center;"><iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/Dzlgw2O_JoQ?si=9UC079Tqck0vzJBE" title="YouTube video player" width="560"></iframe></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-66474860157446510292024-02-05T10:10:00.001+01:002024-03-05T08:44:46.717+01:00A proxección estereográfica reencontrada<p>É curioso como hai certas cousas que se nos quedan retidas na memoria mentres que moitas outras, quizais similares, quizais nalgún sentido máis importantes, as esquecemos. Cando cursaba 1º de carreira, na materia de Topoloxía I, Xosé Masa puxéranos como exemplo de homeomorfismo (aplicación bixectiva, continua e de inversa continua) unha aplicación, \(\pi\), que identificaba a esfera \(S^{2}=\left \{ (X,Y,Z)/X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=r^{2}\right \}\) (sen o punto correspondente ao Polo Norte) co plano \(\mathbb{R}^{2}\) (sen a orixe): $$\pi \left ( X,Y,Z \right )=\left ( \frac{2rX}{r-Z},\frac{2rY}{r-Z} \right )\quad\quad [1]$$</p><p>Esta aplicación é coñecida co nome de <i>proxección esterográfica</i>. Constrúese proxectando desde o Polo Norte $N(0,0,r)$ calquera punto da esfera $(X,Y,Z)$ sobre o plano $z=-r$, tanxente á esfera no Polo Sur $S(0,0,-r)$. </p><p>Aínda que pasaron case catro décadas, lembro moi claramente un par de cousas. Unha delas foi que me chamara moito a atención a expresión [1] da función $\pi$, de onde saía?; daquela pensei que nunca chegaría a saber como xustificar esa expresión. Unha segunda cousa que retiven todo este tempo na memeoria foi que Masa déranos a entender que esa función era moi importante. Por iso eu agardaba volver a encontrala máis adiante. Con todo, nese curso non había de ser. Tampouco no resto da carreira, nin despois. Ata hoxe.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUOkWlVo3Er0N5DZiDuHn2-dNooblBdvv7xPnWAHfS-QuUlNMOo17AA-RhKST4Q7CDm9kk-KsGg9S6-nIDVGRd_dAZqHLpxuLJKQhyG9FE2h_jj12eUwotfe2_RZ5IpoUmZoO2Fb9TGZF8EY38mt1nX2hyjUkIdhZtHDyuZ1yiTeJ7xPBVF2ByeJkCeIIu/s1012/23_11_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica_ecuador.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="650" data-original-width="1012" height="274" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUOkWlVo3Er0N5DZiDuHn2-dNooblBdvv7xPnWAHfS-QuUlNMOo17AA-RhKST4Q7CDm9kk-KsGg9S6-nIDVGRd_dAZqHLpxuLJKQhyG9FE2h_jj12eUwotfe2_RZ5IpoUmZoO2Fb9TGZF8EY38mt1nX2hyjUkIdhZtHDyuZ1yiTeJ7xPBVF2ByeJkCeIIu/w425-h274/23_11_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica_ecuador.png" width="425" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Proxección do ecuador</td></tr></tbody></table><div><br /></div>Podemos xogar un pouco coa proxección estereográfica para entendela mellor. É moi sinxelo visualizar que a proxección do ecuador vai ser unha circunferencia. Ademais como o ángulo que forma o eixo terrestre $NS$ coa recta $NP$ é de 45º, se a esfera ten raio $r$ a circunferencia proxectada terá raio $R=2r$. Os paralelos tamén darán lugar a circunfencias. Os paralelos do hemisferio norte proxectaranse en circunferencias de raio maior a $R$ e os do hemisferio sur farano en circunferencias dun raio menor que $R$.<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB0oG5cNLd_u8QOVwMsWE9JsBfjAYdohi4vplj8egMSP9g82Z3JVd82zSuKTgKX7vHf5WmZSXfYc-2sqUN1f_0smmsbBV3tZ0xlKemcdoMiLmlbxfDpptKZh-Ovh-vRjsTPt7xPeYqEpVpfj_2Ty-23647YjLyXuWbDmqxGI7g76QTy50eoHDOWJQFiOwg/s818/23_11_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica_meridiano.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="636" data-original-width="818" height="306" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB0oG5cNLd_u8QOVwMsWE9JsBfjAYdohi4vplj8egMSP9g82Z3JVd82zSuKTgKX7vHf5WmZSXfYc-2sqUN1f_0smmsbBV3tZ0xlKemcdoMiLmlbxfDpptKZh-Ovh-vRjsTPt7xPeYqEpVpfj_2Ty-23647YjLyXuWbDmqxGI7g76QTy50eoHDOWJQFiOwg/w393-h306/23_11_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica_meridiano.png" width="393" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Proxección dun meridiano</td></tr></tbody></table><br /><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIGvQo77hKnZPLwPKAtPE88ZewKQPiUc3etBPKDTmkw2RsF9dF4af1Zw1LDXuGs7uAEBwGKKxu_wBuwTkBbcIWxLZ8r7-uMrWR3J-p7LKe_YipAyry0Bdzgukel0lWQhxs7KQuM-w0oDPXQtQ_SI1WNEPdMBmmWhSD3WKao0c3DAo5ueilTxaJc9C5QNsL/s748/23_11_MIR_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="748" data-original-width="457" height="201" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIGvQo77hKnZPLwPKAtPE88ZewKQPiUc3etBPKDTmkw2RsF9dF4af1Zw1LDXuGs7uAEBwGKKxu_wBuwTkBbcIWxLZ8r7-uMrWR3J-p7LKe_YipAyry0Bdzgukel0lWQhxs7KQuM-w0oDPXQtQ_SI1WNEPdMBmmWhSD3WKao0c3DAo5ueilTxaJc9C5QNsL/w123-h201/23_11_MIR_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica.png" width="123" /></a></div>Tampouco é dificil visualizar que os meridanos van proxectarse en rectas que pasen polo Polo Sur. Ata aquí os meus coñecementos sobre a cuestión naquela altura. Por algunha razón nestes días volvín sobre to tema. Atopei un deses manuais das "Leccións populares" da editorial MIR,en concreto, o titulado <i><a href="https://archive.org/details/b.-a.-rosenfeld-n.-d.-sergeeva-proyeccion-estereografica-lecciones-populares-de-matematicas">La proyección estereográfica</a></i>, de G-A. Rosenfeld e N. D. Sergeeva. A maior parte do que vén de seguido foi recollido deste texto.<div><div><br />Para profundizar un pouco máis en todo o relativo á proxección estereográfica, poñamos en práctica algúns coñecementos do currículo de 2º de Bacharelato. Fagamos uso das coordenadas dos puntos amosados nas imaxes: $N(0,0,r)$, $S(0,0,-r)$, $P(X,Y,Z)$ e $P'(x,y,-r)$ e procuremos relacionar as coordendas destes dous últimos puntos. Con ese fin, consideremos os vectores $\overrightarrow{NP}=\left ( X,Y,Z-r\right )$ e $\overrightarrow{NP'}=\left ( x,y,-2r\right )$ que marcan a mesma dirección, de aí que o cociente das súas compoñentes terá que ser unha constante $k$:</div><div>$\frac{X}{x}=\frac{Y}{y}=\frac{Z-r}{-2r}=k$, ou equivalentemente </div><div>$$\left.\begin{matrix}X=kx\\ Y=ky\\ Z=r\left ( 1-2k \right )\end{matrix}\right\}\quad \quad [2]$$<div>Da última das ecuación obtemos que $k=\frac{r-Z}{2R}$. Substituíndo nas dúas primeiras obtense o valor das coordenadas do punto proxectado:</div><div>$$x=\frac{X}{k}=\frac{2rX}{r-Z}\quad\quad e \quad\quad y=\frac{Y}{k}=\frac{2rY}{r-Z}$$</div><div>Isto é, deducimos a expresión analítica da proxección estereográfica $\pi$ dada en $[1]$. Fagamos o mesmo para obter a inversa $\pi ^{-1}$.</div><div>Sexa $P(X,Y,Z)$ un punto da esfera. Verificará a igualdade $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=r^{2}$. Substituíndo nesta expresión os valores obtidos en [2]:</div><div>$$k^{2}x^{2}+k^{2}y^{2}+r^{2}\left ( 1-2k \right )^{2}=r^{2}$$ $$k^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )+r^{2}\left ( 1-4k+4k^{2} \right )=r^{2}$$ $$k^{2} \left ( x^{2} +y^{2}+4r^{2}\right )-4kr^{2}=0$$</div><div>Se $k=0$ vemos en $[2]$ que obtemos o punto $N(0,0,r)$. Desbotando este caso podemos simplificar esta última igualdade por $k$:</div><div>$$k \left ( x^{2} +y^{2}+4r^{2}\right )-4r^{2}=0$$ $$k=\frac{4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}$$</div><div>Finalmente presentamos a prometida expresión analítica da inversa que deducimos empregando outra vez as relacións dadas en [2].</div><div>$$X=\frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad,\quad Y=\frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad,\quad Z=\frac{x^{2}+y^{2}-4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad\quad [3]$$</div><div>$$\pi ^{-1}(x,y)=\left ( \frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}},\frac{4r^{2}y}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}},\frac{x^{2}+y^{2}-4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}} \right )$$</div><div>Co obxecto de simplificar os cálculos, a partir de agora tomaremos como valor do raio da esfera $r=1$. Así, por exemplo a anterior expresión [3] reduciríase a :</div><div>$$X=\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}\quad,\quad Y=\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}\quad,\quad Z=\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+4}\quad\quad [3']$$</div><div><br /></div><div><b>Propiedades da proxección estéreográfica</b></div><div>Comezaremos lembrando como é a ecuación dunha circunferencia no plano. Se $(x_{0},y_{0})$ é o centro da circunferencia e o raio é $R$, aplicando o teorema de Pitágoras:</div><div>$$\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right)^{2}=R^{2}$$ $$x^{2}-2x_{0}x+x_{0}^{2}+y^{2}-2y_{0}y+y_{0}^{2}=R^{2}$$ </div><div>$$ x^{2}+y^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}=0$$</div><div>Tomando $a=-2x_{0}$, $b=-2y_{0}$ e $c=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}=0$ a expresión fica en</div><div>$$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \quad\quad [4]$$</div><div><br /></div><div><span style="color: #666666;"><b></b><blockquote><b>Propiedade 1. </b>A proxección estereográfica leva circunferencias en circunferencias; se a circunferencia da esfera pasa polo Polo Norte, a súa proxección será unha recta.</blockquote></span></div><div>Unha circunferencia na esfera é a intersección da esfera cun plano $\alpha :AX+BY+CZ+D=0$. Substituíndo os valores de $X$, $Y$ e $Z$ obtidos en [3'], sacando despois denominadores e reorganizando os termos teremos:</div><div>$$A\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}+B\frac{4y}{x^{2}+y^{2}+4}+C\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+4}+D=0$$ $$4Ax+4By+\left ( x^{2}+y^{2}-4 \right )C+\left ( x^{2}+y^{2}+4 \right )D=0$$ $$\left ( C+D \right )\left ( x^{2}+y^{2}\right )+4Ax+4By+4(D-C)=0$$</div><div><br /></div><div>Que o Polo Norte $P(0,0,1)$ forme parte da circunferencia que se proxecta significa que $P$ é un punto do plano $\alpha$. Substituíndo as súas coordenadas na ecuación do plano obtemos que $C+D=0$. Tal e como queriamos demostrar, neste caso a última ecuación reduciríase a unha recta:</div><div>$$4Ax+4By+4(D-C)=0$$</div><div>Consideremos agora que $P\notin \alpha $, ou equivalentemente, que $C+D\neq 0$. Dividindo por $C+D$ quedaría da forma:</div><div>$$x^{2}+y^{2}+\frac{4A}{C+D}x+\frac{4B}{C+D}y+\frac{4\left ( D-C \right )}{D+C}=0$$</div><div>Comparando con [4] vemos que é a forma xeral dunha circunferencia $\square $.</div><div><br /></div><div><span style="color: #666666;"><blockquote><b>Propiedade 2.</b> A proxección estereográfica é unha aplicación conforme, isto é, conserva os ángulos.</blockquote></span></div><div>A partir da seguinte figura imos obter as bases da demostración desta segunda propiedade.</div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEib0ZICO2BX4O4sA53NpS-0mTvyWFmbrBg9Xe6DQn9mCh551KbDUghjl0t2oD2eiYSo7V-w2oJDt-WV3XQcquGGCtyyKv_JhyIosVP5fqD_z2FhVEI5v-h7AyQI5laiGmxXkkroyTr6M3liHq1sE84XRjJKtAg9fMCCI3NlFwgbUAWKB3ImOsbC27vNhc5j/s1132/23_11_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica_conforme_1.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="626" data-original-width="1132" height="307" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEib0ZICO2BX4O4sA53NpS-0mTvyWFmbrBg9Xe6DQn9mCh551KbDUghjl0t2oD2eiYSo7V-w2oJDt-WV3XQcquGGCtyyKv_JhyIosVP5fqD_z2FhVEI5v-h7AyQI5laiGmxXkkroyTr6M3liHq1sE84XRjJKtAg9fMCCI3NlFwgbUAWKB3ImOsbC27vNhc5j/w554-h307/23_11_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica_conforme_1.png" width="554" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Figura 1</td></tr></tbody></table><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div>Consideremos unha curva $\gamma$ pasando por un punto $P$ da esfera $S^{2}$. Sexa $T_{N}$ o plano tanxente ao Polo Norte $N$ e $T_{P}$ o plano tanxente ao punto $P$. Estes planos córtansena recta $r$. Como son planos tanxentes á esfera determinan un triángulo isóscele con ángulos iguais $\beta _{1}=\beta _{2}$.</div><div>Tracemos, desde o Polo Norte a proxección do punto $P$ sobre o plano $T_{S}$ tanxente ao Polo Sur $S$. Obtemos así $\pi(P)=P'$. En $P$ determínanse ángulos da mesma medida, $\beta _{2}=\beta _{3}$, por seren opostos polo vértice. Finalmente tamén $\beta _{1}=\beta _{4}$ pois son correspondentes. En consecuencia o triángulo $PQP'$ é isóscele, de aí que os lados etiquetados con $b$ midan o mesmo (ver figura 1)</div><div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIhZ_l0Vzkul4Dj6_doqWPiURdsVM50GXXUOphUKH1Zk_Omji5VERFMw835ZJlJ_1-R-kdSfMg2NY9wWlCiw3HLgCSBZqGwmOFi44gU2aUFJ94WSWEUEcGc_oTqyZb7BveHj81uTEhOAciIihZPTONqxaO4jN136JT-QuvkpVXm1MCDskh6TAu-x7633X4/s1010/23_11_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica_conforme_2.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="383" data-original-width="1010" height="224" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIhZ_l0Vzkul4Dj6_doqWPiURdsVM50GXXUOphUKH1Zk_Omji5VERFMw835ZJlJ_1-R-kdSfMg2NY9wWlCiw3HLgCSBZqGwmOFi44gU2aUFJ94WSWEUEcGc_oTqyZb7BveHj81uTEhOAciIihZPTONqxaO4jN136JT-QuvkpVXm1MCDskh6TAu-x7633X4/w592-h224/23_11_proxecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica_conforme_2.png" width="592" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Figura 2</td></tr></tbody></table>Sexa $t$ a recta tanxente a $\gamma$ en $P$, $t$ estará en $T_{P}$. Se aplicamos a proxección estereográfica $\pi$ a $\gamma$ obteremos unha curva $\pi(\gamma)=\gamma'$ no plano $T_{S}$ que terá como tanxente en $P'$ a recta $\pi(t)=t'$, unha recta no plano $T_{S}$. Os segmentos $PQ=P'Q=b$ son ortogonais a $QL$. Fórmanse así dous triángulos rectángulos congruentes $PQL$ e $P'QL$. En consecuencia os ángulos $\theta $ que forman as rectas $t$ e $t'$ cos segmentos $PQ$ e $P'Q$ son iguais.</div><div>Como corolario disto ultimo, se por $P$ pasase outra curva $\lambda$, a súa tanxente en $P$ formaría con $PQ$ o mesmo ángulo que a tanxente en $P'$ a $\pi(\lambda)=\lambda'$ con $P'Q$, de aí que o ángulo determinado por dúas curvas $\gamma$ e $\lambda$ se conservaría mediante a proxección.de por que regresar á proxección estereográfica</div><div><br /></div><div>Con toda esta bagaxe de certo que a nosa visión do seguinte vídeo será máis profunda, e gozaremos máis del. Que vídeo? Pois un, en concreto o último, dos do marabilloso proxecto <a href="https://www.dimensions-math.org/Dim_PT.htm">Dimensions</a>, no que se demostra como a proxección estéreográfica leva as circunferencias da esfera que non pasan polo Polo Norte en circunferencias. Sóavos de algo?</div><div><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/wQTxVUIguwA?si=yz_-0dhN0aN7p-XI" title="YouTube video player" width="560"></iframe></div></div></div></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-1286389148493775082024-01-22T10:10:00.001+01:002024-01-22T10:10:00.224+01:00Erros na aula de matemáticas<p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_v59lgeJVnOLgUIPnStTgTrqX4eiXbyp2JXJ3QFdjMV37rXUtBm88ahw32VGlnS1uxRixMFYxccUJ7VLENRtlr8OwQ0OK_2WzIE8oRnHb-C43QF9IaBChP2o2clc4cr1HuIyNS-4F2CmpCheYJZj_4EsbYBnoAyRdxKq88Jc8V0t2ID5WLMM91lRGSI-g/s907/23_12_Errores_did%C3%A1cticos_libro.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="907" data-original-width="670" height="250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_v59lgeJVnOLgUIPnStTgTrqX4eiXbyp2JXJ3QFdjMV37rXUtBm88ahw32VGlnS1uxRixMFYxccUJ7VLENRtlr8OwQ0OK_2WzIE8oRnHb-C43QF9IaBChP2o2clc4cr1HuIyNS-4F2CmpCheYJZj_4EsbYBnoAyRdxKq88Jc8V0t2ID5WLMM91lRGSI-g/w184-h250/23_12_Errores_did%C3%A1cticos_libro.jpg" width="184" /></a></div>Hai unha razón fundamental pola que recomendaría o libro de Tomás Ortega del Rincón titulado <i><a href="https://www.sintesis.com/did%C3%A1cticas%2C%20recursos%20y%20aprendizaje-223/errores%20did%C3%A1cticos%20en%20matem%C3%A1ticas-ebook-2987.html">Errores en didáctica de las matemáticas</a></i> (Editorial Síntesis 2022); porque é un libro sobre didáctica que se entende. Efectivamente, se un é profesor de matemáticas pódese recoñecer nestas páxinas. Presenta unha ampla clasificación de 41 tipos de erro que se poden cometer nas aulas de matemáticas co obxectivo de que o profesorado os recoñeza, reflexione sobre eles e mellore a súa práctica docente.<p></p><p>Aínda que non se explicita vese ao longo do texto que moitas das achegas xurden dentro do contexto das aulas do Máster de Profesorado na Universidade de Valladolid. Por todo o libro hai unha insistencia obsesiva no rigor e na procura de evitar ambigüidades. Se dentro do ámbito das matemáticas e do seu ensino estas son cualidades desexables, a miña impresión foi que chega a un radicalismo extremo na súa esixencia. </p><p>Un dos erros que trata, o denominado "erro de univocidade simbólica", é exemplificado co caso da función inversa. Tomás Ortega razoa, e razoa ben, que a denominación de función inversa dunha función $f$ é a que se lle debe asignar a $\frac{1}{f}$ pois é coherente coa mesma denominación cando tratamos o produto de números pois dicimos, por exemplo, que o inverso de 3 é $\frac{1}{3}$. Que sucede entón coa función inversa $f^{-1}$, a relacionada coa composición de funcións? Está claro que chamarlle do mesmo xeito a dúas cousas distintas dá lugar a equívocos, a erros, e a problemas de comprensión na aula. A proposta de Tomás Ortega é que cando falamos de composición non deberiamos darlle a denominación de "función inversa", senón de "función recíproca"; incluso fai a proposta de denotala como $f^{r}$ e emprega esta notación en todo o libro.</p><p>O colmo deste tipo de erro dase cando aparecen xuntos os dous conceptos que denominamos igual pero que significan cousas distintas. Quen non tivo dificultades para explicar a derivada da función inversa? Se $f^{-1}$ é derivable e a súa derivada é distinta de cero entón: $$\left (f^{-1} \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$</p><p>Como se le isto? Tomás sinala malévolamente que os libros de texto evitan a transcripción verbal, limitándos a dar a fórmula anterior. Eu enunciaríao así: "<i>a derivada da inversa<sub>1</sub> é a inversa<sub>2</sub> da derivada na inversa<sub>1</sub></i>", onde <i>inversa<sub>1 </sub></i>significa "$f^{-1}$" e <i> inversa<sub>2</sub></i> significa "$\frac{1}{f}$". Cando o declamamos na aula podemos darlle máis énfase á pronuncia de <i>inversa</i><sub><i>1</i> </sub>que á de<span style="vertical-align: sub;"> </span><i>inversa<sub>2. </sub></i>A min particularmente, gústame o trabalinguas. Ao alumnado, é normal, suponlle unha barreira desagradable. Con todo, isto forma parte da inculturación matemática. Nalgún momento eses mesmos alumnos tiveron que aprender a ler fórmulas que enunciamos como "a potencia dun produto é o produto das potencias". Sorprendentemente o autor do libro indica que "son frecuentes as delcaracións de profesores de matemáticas de Educación Secundaria nas que manifestan que non entenderon este teorema"</p><p>A proposta de Tomás Ortega é máis radical. A súa coherencia lévao a trasladar esta cuestión ao que usualmente se lle chama produto de matrices. El propón falar de "composición" de matrices e, en consecuencia de "matriz recíproca" no canto de "matriz inversa". O uso de palabras distintas, "inversa" e "recíproca", nun principio, é unha vantaxe. Porén vai en contra de toda a tradición. Entre outras cousas ten que enfrontarse coa simboloxía dos libros e das calculadoras, pois a "recíproca" dunha matriz $A$ debería aparecer como $A^{r}$ e nas calculadoras temos a función $sen^{-1}$. Sería unha batalla a moi longo prazo convencer a practicamente toda a humanidade (a humanidade son os USA) que debería aparecer $sen^{r}$</p><p>Por falarmos doutro erro, miremos o que no libro se denomina "erro de aplicación" e que consiste en repetir a proba dun teorema nun exercicio en lugar de aplicar directamente o teorema. Critica un libro de texto no que, despois de ter dado o teorema da derivada da función inversa, non o aplique directamente para obter a derivada das inversas das funcións trigonométricas. Nese libro aparece unha dedución moi semellante á que conto eu na aula (antes de dar o teorema da derivada da inversa), que é a seguinte:</p><p>Sexa $y=arc sen x$, tomando senos nos dous membros:</p><p>$seny=sen(arc senx)=x$ . Agora derivamos. Para derivar o primeiro membro temos que aplicar a regra da cadea pois temos a seguinte composición $x\rightarrow y\rightarrow seny$</p><p>$y'\cdot cosy=1$ despexo:</p><p>$y'=\frac{1}{cosy}$ e finalmente lembro que $y=arcsenx$</p><p>$\left ( arc sen x \right )'=\frac{1}{cos\left ( arcsenx \right )}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOyPt1zjBBCZsj62o_FfXSV9unP285fdWBHMscpQKXJuiZVERaYnR7T0bkX7lQt4-t5_UmaFCi-iF5pjrn78dx9RTQFJsgEpB63MJVtFvxmiYHyq_PACqVgLARnb8y2V77BZaKPeVIBfN07hkAVo0W_uYXzCFigd1uouE32Nlos5lqrB_e0Jf9ezmdBovQ/s487/23_12_demostraci%C3%B3n_arcsen.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="465" data-original-width="487" height="168" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOyPt1zjBBCZsj62o_FfXSV9unP285fdWBHMscpQKXJuiZVERaYnR7T0bkX7lQt4-t5_UmaFCi-iF5pjrn78dx9RTQFJsgEpB63MJVtFvxmiYHyq_PACqVgLARnb8y2V77BZaKPeVIBfN07hkAVo0W_uYXzCFigd1uouE32Nlos5lqrB_e0Jf9ezmdBovQ/w175-h168/23_12_demostraci%C3%B3n_arcsen.png" width="175" /></a></div><br />A última igualdade precisa dunha explicación. Teñamos en conta a imaxe na que lle chamamos $\alpha$ ao ángulo que ten de seno $x$: $sen(\alpha)=x$. Denominemos $z=cos(\alpha)=cos(arc sen x)$. Polo teorema de Pitágoras:<p></p><p>$z^2+x^2=1$</p><p>$z=\sqrt{1-x^{2}}$</p><p>Tomás Ortega considera que a anterior demostración deberíase facer aplicando directamente o teorema da derivada da función inversa:</p><p>$$(arcsenx)'=\frac{1}{sen'\left ( arcsenx \right )}=\frac{1}{cos\left [ arcsenx \right ]}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$</p><p>Eu non lle vexo problema a facelo das dúas maneiras por varias razóns. Unha delas é que obtemos o mesmo resultado por dous camiños distintos, e isto sempre é gratificante pois pon de relevo a bela coherencia das matemáticas. A outra é que a comprensión desta segunda demostración faise máis costa arriba que a primeira e se temos dúas demostracións distintas e só entendemos unha aínda temos algo ao que agarrarnos. Ademais hai unha dificultade engadida (outro tipo de erro): que denominamos $arcsenx$ á inversa de $senx$ no canto de poñer $sen^{-1}x$. De aí que haxa que ter moi interiorizados todos os conceptos en xogo pois non é visualmente evidente que esteamos aplicando o resultado que anteriomente escribimos como $$\left (f^{-1} \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$</p><p><b>Algúns erros</b></p><p>A modo de ilustración, vou citar algúns outros erros que me chamaron a atención.</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li>Un profesor novel sorprenderase do erro que cometen algúns alumnos ao identificar o número $\pi$ como racional a pesar de que na aula se destacara precisamente ese número como paradigma da irracionalidade. Normalmente pasamos por alto que definimos $\pi$ como a razón entre a lonxitude da circunferencia, $L$, e o seu diámetro,$d$. O razoamento está claro: se $\pi =\frac{L}{d}$, damos pé a pensar que $\pi$ é unha fracción. O erro é difícil de desmontar, por iso hai que telo en conta. Por outra banda este erro crea unha tensión que determina o corte entre unha boa e unha mala compresión do concepto de "número racional" vs. "número irracional".</li></ul><ul style="text-align: left;"><li>"Na actualidade, no desenvolvemento actual do currículo procédese a facer innumerables exercicios de cálculo de límites e de derivadas, sen que os alumnos comprenderan os conceptos de límite, por unha parte, nin de derivada pola outra. A exercitación no cáculo rutineiro de límites e derivadas en detrimento da docencia e aprendizaxe dos conceptos que os soportan impide que os alumnos os comprendan". Deste caso non culpa só ao profesorado de secundaria pois afirma que "deste erro didáctico en boa parte son responsables as universidades, xa que nas PAU optouse por unha proposta exclusiva de exercicios de aplicación en detrimento de desenvolvementos teóricos"</li></ul><ul style="text-align: left;"><li>A pesar de que no libro aparecen bastantes exemplos para ilustrar os distintos tipos de erro non aparece o seguinte, que entendo que caería dentro dos do tipo "erro de notación" que é o que se produce ao usar notacións inadecuadas. Todos escribimos así a fórmula fundamental da trigonometría: $sen^{2}A+cos^{2}A=1$, claro que sabemos que cando escribimos $sen^{2}A$ queremos dicir $\left ( senA \right )^{2}$. A notación habitual pode levar ao alumnado a pensar que unha expresión como $sen^{2}$ ten sentido en si mesma. </li></ul><ul style="text-align: left;"><li>O "erro de interdisciplinariedade" prodúcese cando un contido que forma parte doutra disciplina se presenta de forma moi distinta. Aquí Tomás Ortega ofrece un exemplo da materia de debuxo linear. A min o primeiro que se me pasou pola mente foi o concepto de derivada e o seu uso e notación en física. Cando se presenta o difícil concepto de derivada creo que cómpre facelo sen restrixirse ao ámbito puro das matemáticas. É o suficientemente complexo e importante como para que teñamos que ofrecer o marco histórico da súa xestación. Como mostra da súa versatilidade penso que debemos ilustrar con algún exemplo de aplicación na física. Introducir tamén a notación para as derivadas que se usa nas aulas de física pode sobresaturar ao alumnado cando se teña que enfrontar a este concepto pero este risco ten, en compesación outras vantaxes obvias. Unha delas, a xa citada de que eses exemplos físicos ilustran a capacidade desta nova ferramenta. Outra é a do recoñecemento nas clases de física do xa adiantado nas de matemáticas.</li></ul><p></p><p><br /></p>
Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com11tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-36721957905506344222024-01-08T16:34:00.006+01:002024-01-08T17:32:06.158+01:00Retallos do 2023<p>Durante o ano 2023 este blogue tivo unhas 9600 visitas repartidas entre as 26 entradas publicadas. Quixera destacar algunhas series delas. Explícome.</p><p>A característica esencial deste blogue é que vou deixando por aquí o rastro dalgunhas cousas que me van interesando. De aí que o normal é que unha entrada pouco ou nada teña que ver coa seguinte. Os temas varían e van saltando nunha sucesión sen máis lóxica que un listado de asuntos que me chaman a atención. Pero sucede algunha vez que un asunto en particular me vai atrapando e así, o que había de ser unha entrada dunhas poucas liñas, vai estendéndose de tal forma que me vexo na obriga de dividir a entrada en varios capítulos. Foi este o caso este ano en varias ocasións, especialmente nunha que acabou nun total de 8 entradas. Todo comezou <a href="https://praza.gal/opinion/foi-escrito-por-un-galego-o-primeiro-libro-de-matematicas-publicado-en-america-1556">cun artigo, moi interesante, de Xosé A. Fraga</a> no dixital Praza Pública no que se trataba a cuestión de se o primeiro libro de matemáticas publicado en América no 1556 tiña como autor a un galego. Para contextualizar esta cuestión, tanto desde o punto de vista histórico como do contido matemático, así como para profundizar no asunto, acabei redactando toda esta serie:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/03/notas-sobre-ternas-pitagoricas.html">Notas sobre ternas pitagóricas</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/03/a-unica-demostracion-de-fermat.html">A única demostración de Fermat</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/04/un-problema-que-deu-lugar-un-libro.html">Un problema que deu lugar a un libro</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/04/un-par-de-problemas-do-liber-quadratorum.html">Un par de problemas do "Liber quadratorum"</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/05/juan-diez-quizais-o-primeiro-matematico.html">Juan Díez, quizais o primeiro matemático galego</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/05/os-problemas-alxebricos-do-sumario.html">Os problemas alxébricos do "Sumario compendioso" de Juan Díez</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/06/cuestions-diofantinas-do-sumario.html">Cuestións diofantinas do "Sumario compendioso" de Juan Díez</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/06/algoritmo-do-produto-do-seculo-xvi.html">Algoritmo do produto do século XVI</a></li></ul><p></p><p>Unha segunda serie de entradas estivo motivada polo libro de David Linker e Alan Sultan Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond (Wordl Scientific 2016)</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/09/tipos-de-problemas-tipos-de-ensino.html">Tipos de problemas, tipos de ensino</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/09/desafios-aritmeticos-e-alxebricos-para.html">Desafíos aritméticos e alxébricos para Secundaria</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/10/desafios-trigonometricos-e-logaritmicos.html">Desafíos trigonométricos e logarítmicos para Secundaria</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/10/desafios-numericos-e-probabilisticos.html">Desafíos numéricos e probabilísticos para Secundaria</a></li></ul><p></p><p>Como a sucesión de listados vai en progresión xeométrica, se a primeira constaba de 8 elementos e esta segunda de 4, a terceira (e a cuarta) só constará(n) de dous. No mes de xuño presentouse a publicación da tradución feita por Felipe Gago, do marabilloso libro de Rózsa Peter, <i><a href="https://consellodacultura.gal/publicacion.php?id=4476">Xogando co infinito</a></i>. Velaquí a crónica desa presentación:</p><p></p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/06/duas-fendas-de-luz-o-libro-de-rozsa.html">Dúas fendas de luz: o libro de Rózsa Péter e as matemáticas en galego.1</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/07/duas-fendas-de-luz-o-libro-de-rozsa.html">Dúas fendas de luz: o libro de Rózsa Péter e as matemáticas en galego.2</a></li></ul><p></p><p>Debido á atolondrada optatividade da LOMCE no meu centro non se ofertaba a materia de Métodos Estatísticos e Numéricos de 2º de Bacharelato. Coa chegada da LOMLOE abriuse esa porta, e con ela a posibilidade de tratar a combinatoria con algo máis de profundidade. Isto derivou nun par de entradas dentro deste ámbito, ademais, entradas que están relacionadas entre si e cun libro dos xemelgos Yaglom:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/11/a-identidade-do-pau-de-hockey-e-outros.html">A identidade o pau de hóckey e outros diagramas sobre números combinatorios</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/11/as-entradas-do-cine-e-outras-cuestions.html">As entradas do cine e outras cuestións difíciles</a></li></ul><p></p><p>Finalmente voume ocupar das entradas únicas. Algunhas teñen o sabor da crónica xornalística xa que tratan de eventos da pequena sociedade matemática. En<a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/02/matematicas-proximas-e-numeros-maxicos.html"> Matemáticas próximas e números máxicos</a> faise referencia ás xornadas protagonizadas por Elena Vázquez Cendón e Elena Vázquez Abal en Pontevedra no mes de febreiro. No mes de xullo resolveuse a edición 2023 do concurso Explícoche Matemáticas 2.0 e <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/07/explicoche-matematicas-20-edicion-2023.html">aquí recollín os vídeos gañadores.</a> Finalmente no mes de novembro <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/10/mais-mates.html">dábase conta dunha nova publicación, Máis Mates,</a> unha revista feita por estudantes da Facultade de Matemáticas da USC.</p><p>Houbo outras entradas únicas, <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/01/unha-anotacion-xeometrica-sobre-as.html">Unha anotación xeométrica sobre as progresións xeométricas</a> (o título xa o explica todo), <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/02/reloxos-triangulares-cadrados-e-redondos.html">Reloxos triangulares, cadrados e redondos</a> que se enmarca nas matemáticas recreativas ou <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/07/craps.html">Craps</a>, que trata sobre un xogo de dados e, polo tanto, de probabilidades.</p><p><b>Dous casos especiais</b></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://sites.google.com/view/retallos-de-matematicas/inicio?authuser=0" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="325" data-original-width="1651" height="63" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOTCbuWovgHcspgzYjywJWehxcAra5kgLelL5-YJa9Dql_J-sy4Dfrv_xATUi-nGNKhlWe6ashU852Wkx1oHmX_wcYBTWRIp43GygWJ-J2qIAlmDr02PZYvKovN4MYlYyhDdrvReJmQ2r3wV15fFNoHEbSULZ40KVpJNvu2w3FD_1F2K_oTm-M5h4EWfhU/s320/Retallos_web.png" width="320" /></a></div><br />O 2023 tivo tamén oco para un par de casos especiais, cadanseu pola súa razón. Un deles é o da entrada que máis visitas tivo, aínda que o caso é ben triste, pois trátase do asunto da <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/05/a-consellaria-de-educacion-elimina-169.html">eliminación de 169 unidades didácticas de Matemáticas do repositorio da Consellaría de Educación</a>. Elimináronse moitas outras, pero estas, as de Matemáticas, eran as que tiña recompiladas no <a href="https://sites.google.com/view/retallos-de-matematicas/material-did%C3%A1ctico/secundaria?authuser=0">portal dos Retallos</a>. Pola contra, o outro caso vén da man dunha circunstancia feliz e que relatei como introdución á última entrada do ano, <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/12/o-problema-bovino-de-arquimedes-o.html">O problema bovino de Arquímedes. O problema histórico das vacas de Galicia</a> que é obra de Andrés Ventas, un colaborador que lle xurdeu por vez primeira a este blogue, e que, xa o veremos, será só o comezo dunha nova serie de achegas. <p></p>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-49045955703009195872023-12-01T10:10:00.017+01:002023-12-12T17:33:28.297+01:00O problema bovino de Arquímedes. O problema histórico das vacas de Galicia<div>Hai uns días chegoume unha petición á que, como se verá, non me puiden resistir. Un enxeñeiro retirado, Andrés Ventas, solicitoume publicar neste blogue un artigo seu. Aproveito a ocasión para agradecerlle que arranxara algunhas cuestións técnicas deste blogue que desbaratara coa miña torpeza pero que el co seu bo facer foi quen de arranxar.</div><div>Velaquí tedes a súa colaboración. Agardo que só sexa a primeira dunha longa serie.</div><div><br /></div><h2 style="text-align: center;">O problema bovino de Arquímedes. O problema histórico das vacas de Galicia</h2><h3 style="text-align: left;"><div style="text-align: center;">Andrés Ventas</div><div style="text-align: center;">Santiago de Compostela</div></h3><div><br /></div>
<section><div style="text-align: left;"><b>O problema bovino de Arquímedes. Ecuación de Pell positiva</b></div><p>O <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes%27s_cattle_problem">Problema bovino</a> debido a Arquimedes <a href="#Wiki"> [Wiki]</a> é un problema complicado cun enunciado moi simple.</p><p>Os problemas de sistemas de ecuacións con solucións enteiras son chamados <a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diofantiana">diofantinos</a> <a href="#Wikigl"> [Wiki]</a> e usualmente teñen esa característica, un enunciado simple e unha solución complicada.
</p><p>Para máis marabilla, o enunciado está escrito en forma de poesía e o texto foi descuberto en 1773 nunha biblioteca da Alemaña.</p><p>A cuestión trata de resolver cantas unidades de gando tiñan Faetusa e Lampetia, fillas do Deus Helios,na illa de Trinacia (actual Sicilia), relato que aparece na Odisea.</p><p>Para iso propón 7 ecuacións simples con 8 incógnitas. E dous enunciados con dúas relacións a maiores que debe satisfacer a nosa solución.
</p><p>Isto levaranos a un conxunto infinito de solucións, pero a que nos interesa é a solución fundamental, a máis pequena. O resto de solucións saen mediante unha simple recorrencia.</p><p></p><p>E como aperitivo cómpre dicir que a solución fundamental, a pequeniña de todo, ten \(206545\) díxitos, mais ou menos un número que ocupa \(30\) follas.</p><p>O texto orixinal non contiña a solución, subpoño que Arquímedes era capaz de coñecela, aínda que fose en forma compacta. </p><p>Na era moderna, o primeiro en dar unha solución parcial foi A. Amthor en 1880 , sabendo o número de díxitos e os tres primeiros: \(7.76 \cdot 10^{206544}\).
</p><p>A primeira solución completa foi obtida por dous computadores en 1965 , porque como digo eu cando me consultan, que teño que verificar contas de díxitos unha chea de veces, quen se atreve a obter unha solución manual? e cando levas escritas 20 follas poñerte a repasar!!.</p><p></p><p>As ecuacións expresadas na poesía pódense resumir do seguinte xeito:
</p><p>Os bois brancos (b) son \(\dfrac{1}{2}\) máis \(\dfrac{1}{3}\) dos negros (n) e a sumar cos amarelos (a).
</p><p>Os bois negros son \(\dfrac{1}{4}\) máis \(\dfrac{1}{5}\) dos pintos (p) e a sumar cos amarelos.</p><p>Os bois pintos son \(\dfrac{1}{6}\) máis \(\dfrac{1}{7}\) parte dos brancos e a sumar os amarelos.
</p><p>As vacas brancas (B) son \(\dfrac{1}{3}\) máis \(\dfrac{1}{4}\) da suma dos bois negros e as vacas negras (N).</p><p>As vacas negras son \(\dfrac{1}{4}\)máis \(\dfrac{1}{5}\) da suma dos bois pintos máis as vacas pintas (P).
</p><p>As vacas pintas son\(\dfrac{1}{5}\) máis \(\dfrac{1}{6}\) da suma dos bois amarelos máis as vacas amarelas (A).
</p><p>As vacas amarelas son \(\dfrac{1}{6}\) parte máis \(\dfrac{1}{7}\) da suma dos bois brancos máis as vacas brancas.
</p><p>E para a segunda parte os enunciados son:
</p><p>(1) Cando se xuntan no campo os bois brancos e os negros forman un cadrado.
</p><p>(2) Ao choer os bois amarelos e os pintos, primeiro un, despois dous, despois tres e así sucesivamente de modo que no final forman un triangulo.</p><p><br />
</p><p>
Escribamos as \(7\) primeiras ecuacións:</p><p>\(eq1: b =\Big(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\Big) n + a.\)</p><p>\(eq2: n = \Big(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}\Big) p + a.\)</p><p>\(eq3: p =\Big(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7}\Big) b + a.\)</p><p>\(eq4: B = \Big(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\Big) (n + N).\)</p><p>\(eq5: N = \Big(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}\Big) (p + P).\)</p><p>\(eq6: P = \Big(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\Big) (a + A).\)</p><p>\(eq7: A = \Big(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7}\Big)(b + B).\)</p><p><br />
</p>Para o primeiro sistema de \(7\) ecuacións, propoño usar <a href="https://maxima.sourceforge.io/download.html">Maxima</a> <a href="#Maxima"> [Maxima]</a> , un sistema gratuíto de computación alxébrica moi cómodo, aquí vos poño o código
<p></p><code><p></p><p>alias(k, \%r1);</p><p>declare( b, integer, n, integer, p, integer, a, integer, B, integer, N, integer, P, integer, A, integer);</p><p>define(solucion(k), linsolve ([ eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7], [ b, n, p, a, B, N, P, A]) ); </p> solucion(k);</code> <p><br /></p><p>e con este código conseguimos,
</p><p>\(b = 10366482 k. \) </p><p> \( n = 7460514 k. \) </p><p> \( a = 4149387 k. \)</p><p> \( p = 7358060 k. \) </p><p> \( B = 7206360 k. \) </p><p> \( N = 4893246 k. \) </p><p> \( A = 5439213 k. \) </p><p> \( P = 3515820 k. \) </p><p><br /></p>
<p>Na segunda parte temos:</p><p>(1) \(10366482 k + 7460514 k = \text{un cadrado}\), que factorizado obtemos \(2^2(3)(11)(29)(4657) k = \text{un cadrado}\), por tanto \(k\) debe ser da forma \(k = (3)(11)(29)(4657) y^2\)(seguimos tendo unha variable \(y\) enteira que dá infinitas solucións).
</p><p>(2) \(a + p = \text{número triangular}\). Os números triangulares son súper célebres, na <a href:https:="" oeis.org=""> enciclopedia das secuencias </a><a href="#Oeis"> [A000217, Oeis]</a> podedes consultar unha chea das súas propiedades e artigos sobre eles: \(\{0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \ldots\}\)</p><p><br /></p><p> Unha das súas propiedades é que verifican a fórmula \(\dfrac{t(t+1)}{2}\) e por tanto a nosa ecuación convértese en \(a + p = (3)(11)(29)(4657) y^2 = \dfrac{t(t+1)}{2}\).</p><p><br /></p>
<p>Agora temos \(t= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 8 a p} }{2}\).</p><p><br /></p>
<p>E para que esta ecuación sexa un número enteiro, que é o que son as vacas, números enteiros, temos que o discriminante da raíz debe ser un cadrado perfecto \(x^2\) e por tanto temos \((3)(11)(29)(4657) y^2 + 1 = x^2\).</p><p><br /></p>
<p>As <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Pell">ecuacións de Pell</a> <a href="#Wikipt"></a> son do tipo \(x^2 - Dy^2 = 1\), e teñen solución para todo \(D\). Por tanto ao final o noso problema redúcese a solucionar unha ecuación de Pell:</p><p><br /></p>
<p>\(x^2 - (3)(11)(29)(4657) y^2 = 1\).</p><p></p><p>Ata mediados do século pasado estas ecuacións resolvíanse mediante os converxentes da <a href="https://www.alpertron.com.ar/CONTFRAC.HTM">fracción continua</a> <a href="#alpertron"></a>, (\(\textit{fc}\) para abreviar) de \(\sqrt{D}\), (onde a solución fundamental, \((x_0, y_0)\), serían o numerador e denominador do converxente anterior ao período da \(fc\)) , mais resulta que para un número tan grande a \(fc\) ten centos de miles de coeficientes.</p>
<p>Amthor descubriu un xeito de simplificar a \(fc\) correspondente a este problema e deixou unha \(fc\) de só \(92\) termos. A simplificación do Amthor baséase na relación entre unha \(fc\) de \(D\) e a \(fc\) reducindo os factores de \(D\) maiores a \(1\).</p>
<p>Hoxe en día hai máis técnicas para resolver a ecuación de Pell <a href="#Lenstra"></a>: infraestrutura, números suaves, cónicas e números p-adicos.</p><p><br /></p>
<p>Co sistema de fraccións continuas de Amthor conseguimos unha solución fundamental desta ecuación de Pell con valor</p><p>\(x_0 = 185892 \ldots 663490 \text{ (con \(103265\) díxitos)} \)</p>
<p>Se imos para atrás e substituímos este valor de \(y_0=y\) na ecuación de \(a + p\) conseguimos o \(k\) mínimo. </p><p>Substituímos ese \(k\) nos oito tipos de gando e sumando temos un valor de</p>
<p>\(77602714 \ldots 55081800, (\text{con \(206545\) díxitos} )\).</p>
<p></p><p></p><p></p><p></p><p></p></section>
<p></p>
<section><h2><span style="font-size: small;"> O problema histórico das vacas de Galicia. Ecuación de Pell negativa</span></h2>
<p>Agora temos que no \(2019\) a Xunta de Galicia fixo unha estimación estatística sobre o número de vacas nacidas en Galicia desde a época do reino suevo, pero resulta que o cálculo require a solución de unha ecuación de Pell negativa.</p>
<p>A ecuación de Pell negativa ten a forma \(x^2 - Dy^2 = -1\) tendo a propiedade de que que non calquera \(D\) ten solución. E isto dificulta a súa resolución.</p>
<p>Segue a ser un problema aberto das matemáticas saber que \(D\) teñen solución na Pell negativa, mais os achegamentos a esa solución ou son inefectivos ou son incompletos:</p><p><br /></p><ol>
<p></p><li>Condición necesaria e suficiente é que o período da \(fc\) da raíz de D sexa impar (inefectiva porque ten a mesma dificultade que calcular a propia solución). (As \(fc\) de raíces cadradas cuxo resultado non é un racional son infinitas mais periódicas).</li><p></p>
<p></p><li> A norma do converxente da posición central da \(fc\) de Pell positiva é \(\pm 2\) ou divide a \(D\), pero estamos nas mesmas, hai que calcular a \(fc\). De feito ese valor central da norma debe ser \(-1\).</li>
<p></p><li> Condición necesaria que os factores de \(D\) sexan primos de tipo \(4k+1\) e ao máximo un único \(2\). Non é condición suficiente porque hai factorizacións con factores \(4k+1\) sen solución \(-1\). Por exemplo \(D= 5\cdot 13\) ten solución negativa e \(D= 5\cdot 61\) non a ten.</li><p></p><p></p></ol>
<p><br /></p><p>Os resultados da estimación estatística eran os seguintes:</p>
<p><br /></p><p>Estimación sobre explotacións na Fonsagrada (F), Lalín(L), Mazaricos(M), Arzúa(A), A Pastoriza(P), Negreira(N), A Veiga(V), Cospeito(C).</p><p>As vacas da Fonsagrada son \(\dfrac{24}{53}\) veces as de Lalin e sumamos as de Arzúa.</p><p>As vacas de Lalín son \(\dfrac{16}{41}\) veces as de Mazaricos e sumamos as de Arzúa.</p><p>As vacas de Mazaricos son \(\dfrac{4}{61}\) veces as da Fonsagrada e sumamos as de Arzúa.</p><p>As vacas da Pastoriza son \(\dfrac{29}{154}\) veces a suma das de Lalín e Negreira.</p><p>As vacas de Negreira son \(\dfrac{101}{154}\) veces a suma das de Mazaricos e A Veiga.</p><p>As vacas da Veiga son \(\dfrac{113}{650}\) veces a suma das de Arzúa e Cospeito.</p><p>As vacas de Cospeito son \(\dfrac{613}{90}\) veces a suma das da Fonsagrada e A Pastoriza.</p>
<p>(1) As vacas de Negreira son un cadrado.</p>
<p>(2) As vacas da Fonsagrada son un cadrado máis 1.</p><p>As fraccións das \(3\) primeiras ecuacións multiplican a un termo e despois suman outro, mentres que as \(4\) últimas multiplican a suma dos dous termos.</p><p><br /></p>
<p>E aquí vos deixamos para que o intentedes resolver con unha pista, a solución da Pell negativa (as vacas da Fonsagrada) \(y_0=3051285636318642680675457304373\) con \(31\) díxitos. </p><p>A suma total das vacas de Galicia son \(985481295353643722960698590096411004549094540270653746267983358392\) con \(67\) díxitos.</p>
<p>Tendo en conta que o número de átomos da Terra ven sendo un número de 50 díxitos, non temos tantas vacas coma Faetusa e Lampetia mais chégalle ben.</p>
</section>
<section>
<h2>Bibliografia</h2>
<ol>
<li id="Alpertron"> Alpertron, <a href="https://www.alpertron.com.ar/CONTFRAC.HTM"> Continued Fraction calculator </a></li>
<li id="Amthor"> Amthor, A., Krumbiegel, B. Das Problema Bovinum des Archimedes, Historischliterarische Abteilung der Zeitschrift fur Mathematik und Physik 25 (1880), 121–136, 153–171. </li>
<li id="Wikigl"> <a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diofantiana"> Ecuación diofantina </a> </li>
<li id="Lenstra"> Lenstra, H. W. Jr. (2002), "Solving the Pell Equation" Notices of the American Mathematical Society, 49 (2): 182–192, MR 1875156</li>
<li id="Maxima"> A Computer Algebra System <a href="https://maxima.sourceforge.io/download.html"> Maxima </a> </li>
<li id="Oeis"> Enciclopedia online dos números enteiros <a href="https://oeis.org"> Oeis </a> </li>
<li id="Wiki"> Wiki <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes%27s_cattle_problem">Archimedes's cattle problem </a> </li>
<li id="Wikipt"> Wiki <cite><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Pell"> Ecuação de Pell</a></cite></li>
</ol>
</section>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-72312337254954411142023-11-13T10:10:00.446+01:002023-11-30T16:22:18.991+01:00As entradas do cine e outras cuestións difíciles<p>Presentamos un problema de apariencia anódina. Así como é facil de comprender o enunciado, a súa resolución non é nada simple. Agora ben, que non sexa simple non significa que non sexa marabillosa, que o é.</p><p><b style="color: #999999;"></b></p><blockquote><b style="color: #999999;">As entradas do cine.</b><span style="color: #999999;"> n+m persoas están nunha cola do despacho do cine; m teñen un billete de 5 € e as outras n só teñen billetes de 10 €. Cada entrada custa 5 €. Na billeteira non teñen ningún tipo de cambio. Se cada cliente compra só unha entrada, cal é a probabilidade de que ningún cliente teña que agardar polo cambio?</span></blockquote><span style="color: #999999;"></span><p></p><p><span style="color: #999999;"><b></b></span></p><blockquote><br /></blockquote><p></p><p>Para responder cómpre que teñamos presente a regra da probabilidade de Laplace que nos di que no caso de termos un experimento aleatorio no que todos os sucesos elementais teñen a mesma probabilidade, a probabilidade dun suceso A virá dada polo cociente entre o número de casos favorables a A e o de casos posibles:</p><p>$$P(A)=\frac{número\quad de\quad casos \quad favorables\quad a \quad A }{número\quad de\quad casos\quad posibles}$$</p><p>O noso propósito é determinar os dous elementos deste cociente. Para facelo colleremos un camiño encantador que recollo do mesmo lugar do que recollín o enunciado do problema, o libro dos irmáns Yaglom, <i><a href="https://www.google.es/books/edition/Challenging_Mathematical_Problems_with_E/VkHDAgAAQBAJ?hl=gl&gbpv=1&dq=challenging+mathematical+problems+with+elementary+solutions&pg=PA247&printsec=frontcover">Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, Vol. I: Combinational Analysis and Probability Theory</a>. </i></p><p>Podemos pensar o problema mediante unha rede de dimensións $m\times n$ colocada sobre un sistema de coordenadas cartesiano. Se lle imos preguntando a cada un dos clientes que tipo de billetes ten, por orde e comezando desde o primeiro da cola, podemos ir elaborando un camiño sobre esta rede cartesiana, partindo do $(0,0)$ e trazando un segmento horizontal dunha unidade por cada persoa que teña 5 € e un segmento unitario vertical por cada unha que teña 10 €. Ao final teremos un segmento poligonal que unirá o $(0,0)$ co punto $(m,n)$. </p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5SUUQxje4WFlk4j0kevo_O0mywsydOeh18YHows4i8QBVTSttkX37q4gg9pCtLTs0wGG0m3LV6eOVxwMMvI2emyK5epiCgJeYFck1K982lRJnQew3u-H4BpJdzV5l8FxwuqgR6uG1G9SSOwXN1wlUIRH9-AY2hptkhvUps0c99YYyIJsWbTU1gxpVgW5A/s697/23_12_grella_01.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="413" data-original-width="697" height="210" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5SUUQxje4WFlk4j0kevo_O0mywsydOeh18YHows4i8QBVTSttkX37q4gg9pCtLTs0wGG0m3LV6eOVxwMMvI2emyK5epiCgJeYFck1K982lRJnQew3u-H4BpJdzV5l8FxwuqgR6uG1G9SSOwXN1wlUIRH9-AY2hptkhvUps0c99YYyIJsWbTU1gxpVgW5A/w354-h210/23_12_grella_01.png" width="354" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">figura 1</td></tr></tbody></table><p></p><p>Recomendo consultar a <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/11/a-identidade-do-pau-de-hockey-e-outros.html">entrada anterior</a> porque utilizaremos técnicas semellantes ás traballadas alí. En particular, nela víramos que o número total de camiños entre os puntos $(0,0)$ e$(m,n)$ era $\binom{m+n}{n}$, o que nos dá o número de colas posibles. Máis dificultoso será determinar os casos favorables. </p><p>Se trazamos a recta $r$ de ecuación $y=x$, está claro que os camiños favorables serán aqueles, como o trazado na figura 1, que van por debaixo desa recta; son os que representan os casos nos que os clientes non teñen que agardar polo cambio.</p><p>Designemos $A_{0},A_{1},A_{2},...,A_{n+m}$ aos vértices consecutivos dun destes camiños, onde $A_{0}=(0,0)$ é sempre o punto inicial e $A_{n+m}=(m.n)$ o final. Que pasa se $m<n$? A figura 2 explícao claramente.</p><p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio8FI4H3desGHMl-8SRU-2yFlMzF5BNYxWWseprRiQWyiT-s16AFuFA-2_jnoGaXPppu7zNsSMiItwNnLZ3wHK8euyY3CK_wf-U0rkwM3xUTVqOYd1ZYUFp8Rz2cXZmvliTmU-ddSSNwWjlx0qXC-vAdGCcT0i_kLKk6tasrgSFyj8VfALbvUOgmPbZR31/s1012/23_12_comparaci%C3%B3n_grellas.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="532" data-original-width="1012" height="264" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio8FI4H3desGHMl-8SRU-2yFlMzF5BNYxWWseprRiQWyiT-s16AFuFA-2_jnoGaXPppu7zNsSMiItwNnLZ3wHK8euyY3CK_wf-U0rkwM3xUTVqOYd1ZYUFp8Rz2cXZmvliTmU-ddSSNwWjlx0qXC-vAdGCcT0i_kLKk6tasrgSFyj8VfALbvUOgmPbZR31/w502-h264/23_12_comparaci%C3%B3n_grellas.png" width="502" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">figura 2</td></tr></tbody></table><br />Efectivamente, se $m<n$, como no rectángulo da dereita, será imposible alcanzar o punto final mediante un camiño que transcorra por debaixo de $r$. Nese caso a probabilidade será nula. Pasemos a considerar o outro caso, no que $m>n$.<p></p><p>Agora, no canto de facer o reconto dos camiños favorables, contabilizaremos os desfavorables. Para iso vainos ser de axuda a recta $r':y=x+1$. Calquera camiño desfavorable debe ter un punto sobre esa recta. Sexa $A_{k}$ o primeiro punto dun deses camiños. Centrémonos agora no primeiro tramo do camiño, o que vai desde a orixe ata $A_{k}$, isto é, o tramo $A_{0},A_{1},...,A_{k-1},A_{k}$ e construamos o seu simétrico respecto de $r'$. Será $A'_{0},A'_{1},...,A'_{k-1},A_{k}$, onde $A'_{0}=(-1,1)$.</p><p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfbx-h3BDcJAhmUef_uaZeJxf-w1cE_iwHbdhVqtx9qunaKiCslPt3IglUhRu-5J5E_8-b7bUBZpaLxyOa7m7E18Ili5Q0XzCd3M7GIkf4nujuLOWZAwHgdyNyP-qmh-u2QJUj4NSBUioaS87iQucoExe0D6t8KIILTWzKdH2zawWp-TmFO0ZIMHnUlATd/s912/23_12_grella_03.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="492" data-original-width="912" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfbx-h3BDcJAhmUef_uaZeJxf-w1cE_iwHbdhVqtx9qunaKiCslPt3IglUhRu-5J5E_8-b7bUBZpaLxyOa7m7E18Ili5Q0XzCd3M7GIkf4nujuLOWZAwHgdyNyP-qmh-u2QJUj4NSBUioaS87iQucoExe0D6t8KIILTWzKdH2zawWp-TmFO0ZIMHnUlATd/w443-h240/23_12_grella_03.png" width="443" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">figura 3</td></tr></tbody></table><br />Mediante esta construción, para cada camiño desfavorable $A_{0},A_{1},...,A_{k-1},A_{k},...A_{n+m}$ podemos construir un novo camiño $A'_{0},A'_{1},...,A'_{k-1},A_{k},...A_{n+m}$ que comeza en $A'_{0}=(-1,1)$. De aí que contabilizar todos os camiños desfavorables equivale a contabilizar todos os que teñen a súa orixe en $A'_{0}$. Estes terán $m+1$ segmentos horizontais e $n-1$ segmentos verticais que son $\binom{m+n}{n-1}$. Polo tanto o número de casos favorables obterase mediante a resta<p></p><p>$$\binom{m+n}{n}-\binom{m+n}{n-1}=\frac{\left ( m+n \right )!}{n!\cdot m!}-\frac{\left ( m+n \right )!}{\left ( n-1 \right )!\cdot \left ( m+1 \right )!}=\\=\frac{\left ( m+n\right )!\left ( m+1-n \right )}{n!\cdot \left ( m+1 \right )!}$$</p><p>Para obter a probabilidade pedida no problema teremos que dividir este valor polo número de casos posibles:</p><p>$$\frac{\left ( m+n\right )!\left ( m+1-n \right )}{n!\cdot \left ( m+1 \right )!}:\binom{m+n}{n}=\frac{\left ( m+n\right )!\left ( m+1-n \right )}{n!\cdot \left ( m+1 \right )!}:\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}=$$ $$=\frac{\left ( m+n\right )!\left ( m+1-n \right )m!\cdot n!}{n!\cdot \left ( m+1 \right )!\left ( m+n \right )!}=\frac{m+n-1}{m+1}$$</p><p>Pode que haxa obras de arte que nos ofrezan tanta beleza como a que se transmite nestas liñas, pero non serán moitas.</p><p><b>Máis alá.</b></p><p>No mencionado libro dos xemelgos Yalgom van maís alá. Dan unha demostración deste mesmo resultado por indución e outra usando os mesmos camiños que os trazados na que se presentou aquí, pero imaxinando agora que son esqueiras e que incide sobre elas a luz do sol cunha inclinación de 45º. </p><p>Ademais os Yaglom propoñen outras variantes deste mesmo problema. Nunha delas piden que supoñamos que no despacho do cine teñen p billetes de 5€. Noutra piden que resolvamos un problema semellante ao ofrecido aquí pero partindo do suposto de que houbese billetes de 3 €:</p><p><b style="color: #999999;"></b></p><blockquote><b style="color: #999999;">As entradas do cine con billetes de 3 €.</b><span style="color: #999999;"> n+m persoas están nunha cola do despacho do cine; m teñen un billete de 1 € e as outras n só teñen billetes de 3 €. Cada entrada custa 1 €. Na billeteira non teñen ningún tipo de cambio. Se cada cliente compra só unha entrada, cal é a probabilidade de que ningún cliente teña que agardar a que na billeteira teñan cambio?</span></blockquote><span style="color: #999999;"></span><p></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">E aínda máis. Explícase como a solución do problema pode aplicarse para resolver este outro, ben complexo:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #999999;"><b></b><blockquote><b>Cordas sen interseción.</b> Márcanse 2n puntos sobre unha circunferencia. De cantas formas poden unirse en n pares de tal xeito que as cordas de formadas non se intersequen entre si?</blockquote></span></div>A partir disto Yaglom e Yaglom explican como se pode obter a solución á seguinte e difícil cuestión, discutida por Euler no 1751 nunha carta a Golbach:<div><span style="color: #999999;"><b></b><blockquote><b>Triangulacións</b>. De cantas formas se pode triangular un n-ágono convexo?</blockquote></span></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-60015570364986277052023-11-06T10:10:00.009+01:002023-11-13T18:05:19.249+01:00A identidade do pau de hóckey e outros diagramas sobre números combinatorios<p>Posiblemente a mellor forma de introducir un novo tema na aula, nun libro ou nun blogue coma este sexa mediante un problema. Neste caso trátase dun problema moi coñecido pero que a un alumno de secundaria lle pode supoñer todo un reto.</p><p><span style="color: #999999;"><b></b></span></p><blockquote><p><span style="color: #999999;"><b>Paseos por unha cidade ortogonal. </b>Nunha cidade as rúas son todas perpendiculares entre si formando unha rede de 5х3 bloques. Pídese obter todos os camiños que conectan os puntos A e B.</span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhypsz1QlZfDmPNhCWEnJ9QZkcxdsUfE_Sg3-T7lONkUbPipUE6fqOxnX4t79ljasBG2gKQ9hFPpE3PL0idvSwFEc5UGqbrdGRO-5BtlFzkmpMbumtk7P-LA1TGSq5ginpWtGHM9WO9C4O-rcQfvOBMSn6hdaJ6abeJos8rANTxwaT6OTyNc3UAdOUaj0yJ/s647/23_11_cuadr%C3%ADcula_A_B.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a></div></blockquote><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhypsz1QlZfDmPNhCWEnJ9QZkcxdsUfE_Sg3-T7lONkUbPipUE6fqOxnX4t79ljasBG2gKQ9hFPpE3PL0idvSwFEc5UGqbrdGRO-5BtlFzkmpMbumtk7P-LA1TGSq5ginpWtGHM9WO9C4O-rcQfvOBMSn6hdaJ6abeJos8rANTxwaT6OTyNc3UAdOUaj0yJ/s647/23_11_cuadr%C3%ADcula_A_B.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="377" data-original-width="647" height="186" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhypsz1QlZfDmPNhCWEnJ9QZkcxdsUfE_Sg3-T7lONkUbPipUE6fqOxnX4t79ljasBG2gKQ9hFPpE3PL0idvSwFEc5UGqbrdGRO-5BtlFzkmpMbumtk7P-LA1TGSq5ginpWtGHM9WO9C4O-rcQfvOBMSn6hdaJ6abeJos8rANTxwaT6OTyNc3UAdOUaj0yJ/s320/23_11_cuadr%C3%ADcula_A_B.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Para mergullarse no problema cómpre experimentar algo con el trazando distintos camiños. Na seguinte imaxe podemos ver dous deles, un en negro e outro en azul. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijsP4a-NNnyJJjgPzQ8LChyy2IThsmq7fnJzFBKU4vjdOLlcVFQlamQvvEtNAQW03c-rZX2EyBVeHtBOwlqPARpTmzBtrfDgzN8pZffDK6pZMscbRPe7bahL_g7PtlgxWF-h2URofQzlRoq2xxB8YBpnPCfAQbS05xwiy1c7UjtuEn5HLki4g4cBW__zs2/s500/23_11_cuadr%C3%ADcula_5_3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="323" data-original-width="500" height="207" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijsP4a-NNnyJJjgPzQ8LChyy2IThsmq7fnJzFBKU4vjdOLlcVFQlamQvvEtNAQW03c-rZX2EyBVeHtBOwlqPARpTmzBtrfDgzN8pZffDK6pZMscbRPe7bahL_g7PtlgxWF-h2URofQzlRoq2xxB8YBpnPCfAQbS05xwiy1c7UjtuEn5HLki4g4cBW__zs2/s320/23_11_cuadr%C3%ADcula_5_3.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div>Só nos podemos mover en dúas direccións, ou ben en horizontal (que identificaremos coa letra $x$), ou ben en vertical (que designaremos por $y$). Así o camiño negro poderíase nomear coa 8-tupla $(x,x,x,x,x,y,y,y)$ e o camiño azul mediante a 8-tupla $(y,x,y,x,x,x,y,x)$. Por pouco que continuemos xogando con este reto non tardaremos en decatarnos que calquera camiño constará de 5 $x$ e 3 $y$. <div>Se sabemos algo de combinatoria recoñeceremos que o problema do reconto dos camiños como un caso típico das permutacións con repetición. Quen queira repasar en que consisten pode consultar outra entrada deste blogue dedicada a esta cuestión, <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2014/10/camoes-e-as-permutacions-con-repeticion.html"><i>Camões e as permutacións con repetición</i></a>. <div>Nesta ocasión trátase de obter todas as 8-tuplas formadas por dous elementos nas que o primeiro, $x$ se repite 5 veces e o segundo, $y$, repítese 3 veces. En termos combinatorios estamos diante dunha permutación con repetición:</div><div>$$PR_{8}^{5,3}=\frac{8!}{5!\cdot 3!}=56$$</div><div><br /></div><div><b>Outro camiño e xeneralización</b></div><div>Aínda se podería abordar o problema desde outra perspectiva. Fagamos o reconto do número de camiños que hai ata chegar a un determinado vértice. Obsérvase claramente que tanto pola base horizontal como pola altura esquerda vertical do rectángulo só pode haber un camiño que nos leve a cada un dos vértices da rede. Ademais, para obter o número de camiños dun vértice calquera bastará sumar os que nos levan aos vértices inmediatamente anteriores (o situado á esquerda e o situado abaixo) tal e como se indica na seguinte imaxe.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">c</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Pero este é o mesmo procedemento polo que obtemos os elementos do triángulo de Pascal!, de aí que se continuamos calculando o número de camiños que hai a cada vértice obteremos os números combinatorios, onde cada fila do triángulo de Pascal agora aparece como unha diagonal.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhU-8D5MH6Y5hopB97h3uCpsF703deG0O2lGJa4VDbwhbPKOZC5_v3yGc5E7yLUXQjFpua81gPuTmbWMIC2endb5LSZv_-4CQAGCOsEqDGgj8j4jF10vpuy-OhvzBr2fEfuwocVIpvrSjSfeFI07BUKVCLajYWTO184iJveFDCsieaE16yUw8CxJcdYEpDQ/s1198/23_11_d%C3%BAas_cuadr%C3%ADculas.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="564" data-original-width="1198" height="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhU-8D5MH6Y5hopB97h3uCpsF703deG0O2lGJa4VDbwhbPKOZC5_v3yGc5E7yLUXQjFpua81gPuTmbWMIC2endb5LSZv_-4CQAGCOsEqDGgj8j4jF10vpuy-OhvzBr2fEfuwocVIpvrSjSfeFI07BUKVCLajYWTO184iJveFDCsieaE16yUw8CxJcdYEpDQ/w519-h244/23_11_d%C3%BAas_cuadr%C3%ADculas.png" width="519" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>Se identificamos os puntos da rede mediante as súas coordenadas cartesianas $(m,n)$ os elementos de cada diagonal son aqueles que teñen a mesma suma. Por exemplo, os vértices da última diagonal representada na anterior imaxe teñen coordenadas que suman 5. Ademais o número de camiños ata ese vértice vén dado polo número combinatorio $$\binom{m+n}{n}=\frac{\left ( m+n \right )!}{m!\cdot n!}=PR_{m+n}^{m,n}$$<div><br /></div><div><b>Por fin a identidade do pau de hóckey</b></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirwDPdKkyQwbMD1QXL7wk2KgIcLLZBWZ2DzNPiUSXYu8Dv6_ntl-5Z-ng5eJ9OPhpXg5pMTJXkXOeM8xL3wSVmLJ-YkJwWfjHE0HuipVMDtlLFT1K1CmWBymn6_XckZNdEoiO2t2jWYE-v8usT6Sx0vGEnXVf0PnAnqtlwxV4p9enRWKbPSjZQ_1o_cy4W/s466/23_11_libro_Yaglom.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="466" data-original-width="302" height="170" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirwDPdKkyQwbMD1QXL7wk2KgIcLLZBWZ2DzNPiUSXYu8Dv6_ntl-5Z-ng5eJ9OPhpXg5pMTJXkXOeM8xL3wSVmLJ-YkJwWfjHE0HuipVMDtlLFT1K1CmWBymn6_XckZNdEoiO2t2jWYE-v8usT6Sx0vGEnXVf0PnAnqtlwxV4p9enRWKbPSjZQ_1o_cy4W/w110-h170/23_11_libro_Yaglom.jpg" width="110" /></a></div><br />Por fin chegamos ao que motivou esta entrada, que non foi outra cousa que un resultado que recollo do libro dos xemelgos Akiva M. Yaglom e Isaak M. Yaglom, <i><a href="https://www.google.es/books/edition/Challenging_Mathematical_Problems_with_E/VkHDAgAAQBAJ?hl=gl&gbpv=1&dq=challenging+mathematical+problems+with+elementary+solutions&pg=PA247&printsec=frontcover">Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, Vol. I: Combinational Analysis and Probability Theory</a>. </i>Demostraremos unha fórmula usando o mesmo tipo de diagramas que os que estivemos usando ata o momento.</div><div>Consideremos unha rede de dimensións $m-n+1\times n$ e poñámonos a contar camiños desde a orixe</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4MK2sweY-whf_q8NMu7AYT6h7FhUTTvomL42Wi5Toxw9tT0Zh8mkwDlSYtUh4sDcA8dPrAPCEHK35ngFmZ7elORLr1TANEbDM47JSnoDU-hcWSsnu05mLF8QroKOhqy1DqOBP92PeEXhnIVWcIs0DxiX1ogR7L8V77t8WgjCzzgyrqWDCuxs0tLQumuap/s628/23_11_cuadr%C3%ADcula_para_demostraci%C3%B3n.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="343" data-original-width="628" height="196" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4MK2sweY-whf_q8NMu7AYT6h7FhUTTvomL42Wi5Toxw9tT0Zh8mkwDlSYtUh4sDcA8dPrAPCEHK35ngFmZ7elORLr1TANEbDM47JSnoDU-hcWSsnu05mLF8QroKOhqy1DqOBP92PeEXhnIVWcIs0DxiX1ogR7L8V77t8WgjCzzgyrqWDCuxs0tLQumuap/w358-h196/23_11_cuadr%C3%ADcula_para_demostraci%C3%B3n.png" width="358" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div>Polo explicado anteriormente sabemos que hai un total de $\binom{m+1}{n}$ camiños distintos. Fagamos agora o reconto doutro xeito. Primeiro movámonos un paso en horizontal e consideremos todos os camiños que parten de $(1,0)$ e chegan a $(m-n+1,n)$. Aplicando a fórmula coñecida vemos que hai un total de $\binom{m}{n}$. Despracémonos agora un paso en vertical ata o $(0,1)$ e despois outro en horizontal ata o $(1,1)$ e desde aquí contabilizaremos ata $(m-n+1,n)$ un total de $\binom{m-1}{n-1}$. Continuemos subindo ata o punto $(1,2)$ e, despois de volver a desprazarnos en horizontal chegaremos ao punto $(2,2)$. Desde aquí ata o extremo superior haberá un total de $\binom{m-2}{n-2}$. Creo xa se está vendo o procedemento para facer este segundo reconto.</div><div>Continuaremos deste xeito ata alcanzar o punto $(1,n)$, lugar desde o que hai un total de $\binom{m-n}{0}$ camiños. Finalmente, a suma de todos estes recontos debe coincidir co total de camiños que hai desde o $(0,0)$, de aí a fórmula:</div><div>$$\binom{m+1}{n}=\binom{m}{n}+\binom{m-1}{n-1}+\binom{m-2}{n-2}+,,,+\binom{m-n}{0}\quad \quad [1]$$</div><div>Fagamos o exercicio de aplicala ao caso $m=7$ e $n=3$.</div><div>$$\binom{8}{3}=\binom{7}{3}+\binom{5}{2}+\binom{4}{1}+\binom{3}{0}$$</div><div>En números: $56=35+15+5+1$ ten unha curiosa representación sobre o triángulo de Pascal</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_dpR9giqGyFzSgXu5pgOp4oq_IigyF7s4Rbz6ZbubN-lmwQGxfFhm__nB5Bpln-A7b0oHr-RDN-RlsyRuf7xr4LP2WiP-knMNhmG0EeZ0l0jSmwPxEX47D78iupSKsogbf8lxo-Z9LjTFdq_lts4jkVfoQzwqCeC_5UONR9jfL5XEPO5issfwK3iaa60K/s697/23_11_hockey_esquerda.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="512" data-original-width="697" height="235" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_dpR9giqGyFzSgXu5pgOp4oq_IigyF7s4Rbz6ZbubN-lmwQGxfFhm__nB5Bpln-A7b0oHr-RDN-RlsyRuf7xr4LP2WiP-knMNhmG0EeZ0l0jSmwPxEX47D78iupSKsogbf8lxo-Z9LjTFdq_lts4jkVfoQzwqCeC_5UONR9jfL5XEPO5issfwK3iaa60K/s320/23_11_hockey_esquerda.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Identidade do stick de hóckey levóxira</td></tr></tbody></table><div><br /></div>O diagrama que se forma aseméllase a un stick de hóckey.<div>Xa que temos un triángulo de Pascal á vista, é fácil de recoñecer a súa simetría. Podemos percorrer cada unha das súas filas de esquerda a dereita ou de dereita a esquerda, o resultado é o mesmo. Esta propiedade descríbese coa fórmula</div><div>$$\binom{m}{n}=\binom{m}{m-n}$$</div><div>Apliquémoslle este resultado a todos e cada un dos números combinatorios da fórmula [1]:</div><div>$$\binom{m+1}{m+1-n}=\binom{m}{m-n}+\binom{m-1}{m-n}+\binom{m-2}{m-n}+...+\binom{m-n}{m-n}$$</div><div>Substituíndo $m-n=k$ teremos:</div><div>$$\binom{m+1}{k+1}=\binom{m}{k}+\binom{m-1}{k}+\binom{m-2}{k}+...+\binom{k+1}{k}+\binom{k}{k}\quad\quad [2]$$</div><div>Esta fórmula, [2], que se coñece domo <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hockey-stick_identity">identidade do pau de hóckey</a>, aínda que [1] merece tamén este nome. Para ilustrala imos considerar o caso $m=7$ e $k=2$:</div><div>$$\binom{8}{3}=\binom{7}{2}+\binom{6}{2}+\binom{5}{2}+\binom{4}{4}+\binom{3}{2}+\binom{2}{2}$$</div><div>Calculando os valores deses números combinatorios a identidade viría sendo $56=21+15+10+6+3+1$</div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-KhuJLTkYf9B7_IMEKpjVODGZdBgvq1G1HHNujMvG_d-XMqUJV-eUwXqPtDAVeaw3hLuyPYPzTN8JHBcKnwUygqyR_nYE7_1shUlmN03nZIbmgf8YaYxNifh2Mj2XBahckRqwPjhvIQvSxcDn0lA3u_KmkEfucGLxfOFHFhenhpGMa_cUMmpCarkyNR9G/s710/23_11_hockey_dereita.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="517" data-original-width="710" height="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-KhuJLTkYf9B7_IMEKpjVODGZdBgvq1G1HHNujMvG_d-XMqUJV-eUwXqPtDAVeaw3hLuyPYPzTN8JHBcKnwUygqyR_nYE7_1shUlmN03nZIbmgf8YaYxNifh2Mj2XBahckRqwPjhvIQvSxcDn0lA3u_KmkEfucGLxfOFHFhenhpGMa_cUMmpCarkyNR9G/s320/23_11_hockey_dereita.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Identidade do stick de hóckey destróxira</td></tr></tbody></table><br /><div><b>Epílogo</b></div><div>Non é esta a primeira vez que aparece a identidade do pau de hóckey neste blogue, <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2019/07/como-euler-arranxou-un-desarranxo.html">xa se usara noutra ocasión </a>para eludir o paso máis complicado da solución dada por Euler ao problema do xogo do <i>recontre.</i></div><div><span style="color: #999999;"><b></b><blockquote><b>Problema do <i>recontre.</i> </b>Dúas persoas, A e B, cunha baralla completa cada unha, sacan a un tempo cada súa carta. Se extraen a mesma carta gana A. Se repiten a operación ata esgotar todas as cartas e nunca coinciden, ganará B. Pídese a probabilidade de que gane cada un dos xogadores.</blockquote></span></div><div>Daquela a identidade aparecía baixo a seguinte expresión:</div><div> $$\sum_{i=k}^{n-1}\binom{k}{i}=\binom{n}{k+1}$$</div><div>O que menos me interesa de todo isto son as fórmulas obtidas. Se pasei o traballo de recoller e ordenar todas estas ideas foi por dúas razóns. Unha delas, xa comentada de pasada, é a de traballar con debuxiños para abordar cuestións que, nun principio, son puramente aritméticas. A outra é que usando o mesmo tipo de metodoloxía poderemos abordar un problema en aparencia (só en aparencia) moi simple, e cunha resolución realmente fermosa. Pero iso será <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/11/as-entradas-do-cine.html">na vindeira ocasión</a>.</div></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-29539206894272122142023-10-27T10:10:00.023+02:002024-01-08T17:34:56.172+01:00Máis Mates<div><a href="https://www.usc.gal/gl/centro/facultade-matematicas/novas/primeiro-numero-revista-estudiantil-mates"></a><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://www.usc.gal/gl/centro/facultade-matematicas/novas/primeiro-numero-revista-estudiantil-mates"></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilOyvvKnY3cRiUzmdh-9xzSj0ps4qTM6-4mw6g7zlcMZfTLI91o83MVyqapTnTLSiUn90RW9sy-MxdzweMyCX5qlcj4DA4di12zI3kGSI4o7Y1MfgL3G9E-gcPto5ueSAObfrJ_KzOtNoq78S5QYG9VpuQv2bxtU3fKxDHQZ2f4eFSF15Ykny405AOqlvL/s702/23_10_m%C3%A1is_mates.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="702" data-original-width="486" height="254" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilOyvvKnY3cRiUzmdh-9xzSj0ps4qTM6-4mw6g7zlcMZfTLI91o83MVyqapTnTLSiUn90RW9sy-MxdzweMyCX5qlcj4DA4di12zI3kGSI4o7Y1MfgL3G9E-gcPto5ueSAObfrJ_KzOtNoq78S5QYG9VpuQv2bxtU3fKxDHQZ2f4eFSF15Ykny405AOqlvL/w176-h254/23_10_m%C3%A1is_mates.png" width="176" /></a></div><a href="https://www.usc.gal/gl/centro/facultade-matematicas/revista-estudiantil-mates">Acaba de publicarse o primeiro número de <i>Máis Mates</i></a>, unha revista estudantil que xurde no seo da Facultade de Matemáticas da USC. Trátase dun proxecto editado e producido por un alumno do Grao en Matemáticas, Francisco Estévez Lengua. O obxectivo é publicar un número cada mes durante o presente curso 2023-24. Os artigos ocupan unha extensión dunha páxina. Esta iniciativa pode enmarcarse en toda unha serie de r<a href="https://sites.google.com/view/retallos-de-matematicas/publicaci%C3%B3ns/revistas">evistas escolares ou de agrupacións profesionais que pode consultarse no portal de Retallos de Matemáticas</a>.</div><div>A publicación ten cinco seccións: historia, actualidade, sociedade, teoría e retos. Esta última está mantida polo <a href="https://www.usc.gal/gl/xornal/novas/nace-sementeira-club-olimpico-mates-usc">club olímpico Sementeira</a>, un grupo de apaixonados pola resolución de problemas. </div><div>Neste primeiro número Santiago González Gómez escribe sobre os problemas do papiro de Ahmes e Ignacio Garbajo Fernández trata a importancia da abstracción no desenvolvemento da xeometría. As perspectivas que abre a IA dentro das matemáticas conta cun artigo da autoría de Carlos Cao López. Outro artigo da sección de actualidade é o de Guillermo Arcos Salgado, que examina <a href="https://www.quantamagazine.org/the-biggest-smallest-triangle-just-got-smaller-20230908/">un problema divulgado na revista Quanta Magazine</a> no que se pregunta polo triángulo que maximice o menor triángulo que se pode elaborar con n puntos distribuídos nun cadrado.</div><div>Tamén contamos con dous artigos que tratan aspectos puramente matemáticos. Un deles, de Pedro Vidal Villalba, trasládanos á teoría de funtores; o outro, de Francisco Estévez Lengua ocúpase dos sistemas caóticos. Finalmente hai dúas breves entrevistas, unha á profesora Rosa Mª Trinchet Soria e outra a Catalina Lavandeira Gippini, unha alumna que relata a súa experiencia nun voluntariado en Mozambique.</div><div>Velaquí unha gorentosa iniciativa que valoriza a comunidade matemática e presenta un novo escaparate para o labor das matemáticas no noso país e na nosa lingua, elementos, todos eles, dos que estamos moi necesitados. </div><div> </div><iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="360" scrolling="no" src="https://nubeusc.sharepoint.com/sites/centro-matematicas/_layouts/15/embed.aspx?UniqueId=00a0b926-99a6-4049-bfb8-faf3b0558045" title="MaisMatesN1.pdf" width="640"></iframe>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-53625487303442932282023-10-22T10:10:00.004+02:002023-11-03T20:18:57.933+01:00Desafíos numéricos e probabilísticos para Secundaria<p>Na última remesa de problemas para a Secundaria extraídos do libro de David Linker e Alan Sultan <a href="https://books.google.es/books/about/Mathematics_Problem_Solving_Challenges_f.html?id=f12KjgEACAAJ&redir_esc=y">Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond</a> (Wordl Scientific 2016) recollemos ducia e media de cuestións numéricas e probabilísticas.</p><p><span style="color: #666666;"><b></b></span></p><blockquote><p><span style="color: #666666;"><b>1.</b> Cantos pares ordenados de enteiros positivos $(a,b)$ verifican $a^{2}-b^{2}=105$?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>2.</b> Cantos números naturais $n$ verifican que $\frac{2}{5}< \frac{n}{17}<\frac{11}{13}$?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>3. </b>Dous lados dun triángulo de área non nula miden $6$ e $11$. Cantos diferentes valores enteiros pode ter o terceiro lado?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>4.</b> Unha pizzería ofrece 5 ingredientes diferentes: pementos, champiñóns, cebola, albóndegas e bonito. As pizzas poden levar con calquera número de ingredientes, incluso sen ningún. Un cliente compra cada día un tipo de pizza diferente. Cantos días pode realizar estes pedidos?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>5.</b> Un reloxo dixital dá horas tales como 6:15 ou 12:34. Se ignoramos os puntos, as horas representan 3 ou 4 díxitos. Cantos múltiplos de 3 pode presentar durante o período de 12 horas que vai do medio día ata a media noite?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>6.</b> $X$ é un positivo de dous díxitos e $Y$ é o resultado de cambiar de posición os díxitos de $X$. Cantos valores de $X$ hai tales que $X+Y$ é un cadrado perfecto? E para que valores de $X$ a diferenza $X-Y$ é un cadrado perfecto?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>7. </b>Os 25 equipos dunha liga escolar están divididos en dúas divisións, A e B. Cada equipo xoga contra todos os outros da súa división exactamente unha vez e non xoga cos equipos da outra división. Se na división A se xogaron 36 partidos máis que na B, cantos equipos hai en cada unha delas?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>8.</b> Cantos conxuntos de dous ou máis números consecutivos teñen unha suma de 100?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>9.</b> Para cantos valores de $n$ é $1155+n^{2}$ un cadrado perfecto.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>10. </b>Determina o número de triángulos non congruentes de lados enteiros, área positiva e de perímetro 15.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>11.</b> Acha un número de 4 díxitos tales que os dous da esquerda son iguais entre si, os dous da dereita tamén son iguais entre si e o número é un cadrado perfecto.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>12.</b> $k=1!+2!+3!+...+n!$ e $k$ é un cadrado perfecto. Determina todos os posibles valores de $n$.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>13.</b> A probabilidade de que chova é o cadrado da probabilidade de que non chova. Acha a probabilidade de que chova.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>14.</b> Dez cartas numeradas 1, 2,...,10 colócanse boca abaixo sobre unha mesa. Extráese unha carta e apúntase o seu valor. Devolvemos a carta e barallamos. Extráese unha segunda carta. Acha a probabilidade de que o número da segunda carta sexa maior que o da primeira.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>15.</b> Despois de lanzar dous dados fican visibles 10 caras. Calcula a probabilidade de que a suma dos puntos das caras visibles sexa divisible por 7.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>16.</b> Alberte, Belén e Celso tiran, por esta orde, un par de dados. O primeiro que obteña un 9 gaña. O xogo continúa ata que alguén gañe. Calcula a probabilidade de que gañe Belén.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>17.</b> Xián lanza un dado e Zeltia lanza dous dados. Acha a probabilidade de que a suma dos puntos de Zeltia coincida co resultado de Xián.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>18.</b> Lánzase un dado reiteradamente ata que apareza un 6. Acha a probabilidade de que se necesiten un número par de lanzamentos.</span></p></blockquote><p><span style="color: #666666;"></span></p>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-55279711353306853482023-10-19T10:10:00.002+02:002023-11-10T22:20:28.206+01:00Desafíos trigonométricos e logarítmicos para secundaria<p>Velaquí unha terceira entrega da recompilación de problemas do David Linker e Alan Sultan <i><a href="https://books.google.es/books/about/Mathematics_Problem_Solving_Challenges_f.html?id=f12KjgEACAAJ&redir_esc=y">Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond</a></i> (Wordl Scientific 2016). </p><p><span style="color: #666666;"></span></p><blockquote><p><span style="color: #666666;"><br /></span></p><p><span style="color: #666666;"><b>1.</b> Nun triángulo $\triangle ABC$, $\angle C=90$. Obtén o valor de $cotA\cdot cotB$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>2.</b> O cadrado ABMN constrúese sobre a hipotenusa do triángulo rectángulo $\triangle ABC$. Se $AC=1$ e $BC=20$, determina MC.</span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpC6pbeJ8o9FvFkVhvUmsV_LYrdxRkbanzCkBWh5txMw-zI97F_xx-dnnqPzEnXV3Hn9A1dveXxnAnex-TmwFQAY2G78NHEGFhTQlk8Y1QaeyrdsPY5wep7CTO6KyCVDsy6kuxNmI9fSVhL_BsslCtBpDUgLgmNeh4KhJSncxljpBrgb3pchkb11ErFkHb/s445/23_10_triangulo_cadrado.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #666666;"><img border="0" data-original-height="443" data-original-width="445" height="239" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpC6pbeJ8o9FvFkVhvUmsV_LYrdxRkbanzCkBWh5txMw-zI97F_xx-dnnqPzEnXV3Hn9A1dveXxnAnex-TmwFQAY2G78NHEGFhTQlk8Y1QaeyrdsPY5wep7CTO6KyCVDsy6kuxNmI9fSVhL_BsslCtBpDUgLgmNeh4KhJSncxljpBrgb3pchkb11ErFkHb/w240-h239/23_10_triangulo_cadrado.png" width="240" /></span></a></div><span style="color: #666666;"><br /></span><p><span style="color: #666666;"><b>3. </b>Acha o valor de $sen\frac{\pi }{7}+sen\frac{4\pi }{7}+sen\frac{7\pi }{7}+sen\frac{10\pi }{7}+sen\frac{13\pi }{7}$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>4. </b>Acha todos os $x$ tales $x\epsilon \left [ 0,360 \right ]$ e $\frac{1-cos2x}{sen2x}=1$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>5.</b> Se $tan^{2}\left ( 180-x \right )+sec\left ( 180+x \right )=11$ determina todos os posibles valores de $cosx$.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>6.</b> Calcula $x$ tal que $x\epsilon \left [ 0,90 \right ]$ e $cos^{4}x+sen^{4}x=\frac{3}{4}$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>7. </b>Calcula $\frac{sen75+cos75}{sen75-cos75}$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>8.</b> En $\triangle ABC$, $AB=20$, $BC=13$ e $AC=21$. Se $cosA+cosB+cosC=\frac{p}{q}$, onde $p$ e $q$ son enteiros positivos e coprimos, acha $p+q$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>9.</b> Os ángulos dun triángulo con lados 3, 4 e x forman unha progresión aritmética. Determina todos os valores de x.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>10.</b> Se $sen^{6}x+cos^{6}x=\frac{2}{3}$ e $x\epsilon \left [ 0,90 \right ]$, calcula $sen2x$.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>11.</b> Inscribimos un polígono regular de $n$ lados nunha circunferencia de raio $r$. Acha todos os $n$ tales que a área do polígono é un múltiplo enteiro de $r^{2}$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>12.</b> Acha o valor de $y$ se $\left ( log_{3} x\right )\left ( log_{x} 2x\right )\left ( log_{2x} y\right )=log_{x}x^{2}$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>13.</b> Se $log_{5}\left ( senx \right )=-\frac{1}{2}$ determina o valor numérico do $cos^{2}x$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>14. </b>Calcula o $log_{\frac{1}{8}}sen4350$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>15.</b> Acha todos os números reais $x$ tales que $log_{x}2+log_{2}x=\frac{5}{2}$</span></p><p><b style="color: #666666;">16.</b><span style="color: #666666;"> Se $log_{2}3^{4}\cdot log_{3}4^{5}\cdot log_{4}5^{6}\cdot ...\cdot log_{63}64^{65}=x!$, acha $x$.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>17.</b> Calcula o valor numérico de $log_{10}\frac{1}{2}+log_{10}\frac{2}{3}+log_{10}\frac{3}{4}+...+log_{10}\frac{99}{100}$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>18.</b> Acha o valor de $log\left ( tan1^{\circ} \right )+log\left ( tan2^{\circ} \right )+log\left ( tan3^{\circ} \right )+...+log\left ( tan90^{\circ} \right )$</span></p></blockquote>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-84113566611842853712023-10-16T10:10:00.001+02:002023-10-16T17:50:11.120+02:00Desafíos xeométricos para secundaria<p>Seguro que se outra persoa tivera a encomenda de escoller ducia e media de cuestións xeométricas do libro de David Linker e Alan Sultan <a href="https://books.google.es/books/about/Mathematics_Problem_Solving_Challenges_f.html?id=f12KjgEACAAJ&redir_esc=y">Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond</a> (Wordl Scientific 2016) faría outra escolla distinta. Incluso eu mesmo, noutro momento, tamén me decantaría por outra elección. </p><p>Na anterior entrada fixera unha <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/09/desafios-aritmeticos-e-alxebricos-para.html">recompilación de problemas aritméticos e alxébricos</a> así que podemos considerar esta entrada como unha continuación.</p><p><span style="color: #666666;"><b></b></span></p><blockquote><p><span style="color: #666666;"><b>1.</b> Determina o raio dunha esfera tal que o seu volume coincida numericamente coa súa superficie</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>2. </b>A lonxitude da tanxente a unha ciercunferencia desde un punto exterior P é 7. Se o raio da circunferencia é 3, calcula a mínima distancia de P á circunferencia.</span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN7MUC0FNDEPJWKD9gDmOYQzC2d6WqS85F-CThLLts-VgmMS3kwunnsAMCp96Lc36J3Pk190aL7qJLtyARueEGMntKKiYTr826hpX9evYE4WXDbpOYomjCBvrnWrnsob_LvpnRs6-qaqEJtkj4tju6NTEyI15jW83Lpggc89kPVY4kCI3yp_OfCdpkAqKM/s594/23_10_sermento_tanxente_circunferencia.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #666666;"><img border="0" data-original-height="322" data-original-width="594" height="140" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN7MUC0FNDEPJWKD9gDmOYQzC2d6WqS85F-CThLLts-VgmMS3kwunnsAMCp96Lc36J3Pk190aL7qJLtyARueEGMntKKiYTr826hpX9evYE4WXDbpOYomjCBvrnWrnsob_LvpnRs6-qaqEJtkj4tju6NTEyI15jW83Lpggc89kPVY4kCI3yp_OfCdpkAqKM/w260-h140/23_10_sermento_tanxente_circunferencia.png" width="260" /></span></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><b>3.</b> Fórmase un octógono regular cortando triángulos rectángulos isósceles nas esquinas dun cadrado de lado 4. Determina a lonxitude de cada un dos lados do octógono.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_ngQGvFiBTJmxR_TyporKcuVswUYczrQzYQFKvBoPFcC1bWZzTrybTxqnTljbjueJbR-PY5wOSEf_BwIHNbQz1QWtPraU2FQ32LexposjdSjMY_bt9-K3GyLpx0dYZj5OzzWcE5LXkgqQxJgBQNOiOwJN_PHCMDGnh3yW1_azsY4sUsrCazq5pJKfW_J4/s441/23_10_oct%C3%B3gono.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #666666;"><img border="0" data-original-height="428" data-original-width="441" height="199" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_ngQGvFiBTJmxR_TyporKcuVswUYczrQzYQFKvBoPFcC1bWZzTrybTxqnTljbjueJbR-PY5wOSEf_BwIHNbQz1QWtPraU2FQ32LexposjdSjMY_bt9-K3GyLpx0dYZj5OzzWcE5LXkgqQxJgBQNOiOwJN_PHCMDGnh3yW1_azsY4sUsrCazq5pJKfW_J4/w205-h199/23_10_oct%C3%B3gono.png" width="205" /></span></a></div><span style="color: #666666;"><br /></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><b>4.</b> Sexan os puntos $A(21,0)$, $B(0,20)$ e $P(a,b)$. Se $\angle APB$ é un ángulo recto, determina o mínimo valor que pode ter $a$.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><b>5.</b> Dúas cordas nunha circunferencia son perpendiculares. Unha ten segmentos de 4 e 3 unidades e a outra de 2 e 6. Acha o raio da circunferencia.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXRSWN6XKKj6U1ll4maH9P4XvMqNd6RV5Q24oppuOTedwwb_8LzOxuhW1DensacNk1z3gn6YnA0acuPtOuTSWau9dE94Sr66ShDH4okI-A68FcIsZYJWh2cv7hhl9QIVwbuko-DFDL4VDwnY9g3Y-BI6hNq1PQ1_eYV2ILHHxtpIp9aJRgj1H7CXd_Y30L/s472/23_10_circunferncia=con_cordas.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #666666;"><img border="0" data-original-height="442" data-original-width="472" height="232" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXRSWN6XKKj6U1ll4maH9P4XvMqNd6RV5Q24oppuOTedwwb_8LzOxuhW1DensacNk1z3gn6YnA0acuPtOuTSWau9dE94Sr66ShDH4okI-A68FcIsZYJWh2cv7hhl9QIVwbuko-DFDL4VDwnY9g3Y-BI6hNq1PQ1_eYV2ILHHxtpIp9aJRgj1H7CXd_Y30L/w247-h232/23_10_circunferncia=con_cordas.png" width="247" /></span></a></div><span style="color: #666666;"><br /></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><b>6.</b> Nunha circunferencia de raio 10 trazamos dúas cordas paralelas a lados opostos do centro e que distan deste 5 unidades. Acha a área da rexión deliminada pola circunferencia e as paralelas.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><b>7.</b> Acha a área do hexágono ABCDEF que se formou unindo os puntos medios de lados adxacentes dun cubo unidade tal e como se amosa na imaxe</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSwRMapECH93FElvNJVryfCA9pDT36YdSR_s4Mq7VNKl6KX1nDazuflNMJBLWBivaUlB4Smzj7X1UDqXL0I6dDuZ-Or-5twsl_7HWMTBXGhAhLTHbvlDhfxPCMLCxLKN6d4bAoaZ03r_emgcLXJVCWT7VsJNqjsPWFP7C3MbA5L6jG_3FfyYtM0cTedtLL/s498/23_10_cubo_hex%C3%A1gono.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #666666;"><img border="0" data-original-height="477" data-original-width="498" height="242" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSwRMapECH93FElvNJVryfCA9pDT36YdSR_s4Mq7VNKl6KX1nDazuflNMJBLWBivaUlB4Smzj7X1UDqXL0I6dDuZ-Or-5twsl_7HWMTBXGhAhLTHbvlDhfxPCMLCxLKN6d4bAoaZ03r_emgcLXJVCWT7VsJNqjsPWFP7C3MbA5L6jG_3FfyYtM0cTedtLL/w252-h242/23_10_cubo_hex%C3%A1gono.png" width="252" /></span></a></div><span style="color: #666666;"><br /></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><b>8.</b> Dous triángulos congruentes de ángulos 30-60-90 con hipotenusa 6 son colocados de forma que as súas hipotenusas coincidan e se superpoñan nunha rexión de área non nula pero que non coincide con ningún dos dous triángulos. Determina a área de superposición.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNGvnVfCmZomgrV5qkKxqp6L73dxPo6SG2qyUrjPv4KDROKtnBjUE-Xybxe4aGIYrj9j2xf182YeaTr5-gCweN2yWnZYYMkaj81-4xzNXtrAl1xxwFP_cWDs27bjKAOak4K9pjF2rgvQLL5rLszLJ1bF6T8R6XtbK4-UTdtiicilXtJRVRJ_u-SshX86Hb/s517/23_10_tri%C3%A1ngulos_solapados.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #666666;"><img border="0" data-original-height="245" data-original-width="517" height="137" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNGvnVfCmZomgrV5qkKxqp6L73dxPo6SG2qyUrjPv4KDROKtnBjUE-Xybxe4aGIYrj9j2xf182YeaTr5-gCweN2yWnZYYMkaj81-4xzNXtrAl1xxwFP_cWDs27bjKAOak4K9pjF2rgvQLL5rLszLJ1bF6T8R6XtbK4-UTdtiicilXtJRVRJ_u-SshX86Hb/w288-h137/23_10_tri%C3%A1ngulos_solapados.png" width="288" /></span></a></div><span style="color: #666666;"><br /></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><b>9.</b> Desde un punto $P$ exterior á circunferencia de centro $O$, trázanse as tanxentes de $P$ á circunferencia aos puntos $X$ e $Y$. Se $PO=PX+PY$. Determina o ángulo $\angle XPY$.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUFBxwlfxfl17El7Qy0QNejrVIjOkxqmjI38voIgyws7VtghA1VJf0fwoFm9iO4C5s_JfQgWkTJ13eTIaPeQuV18HwuEGAmR1bw6sgk5SkruQ-UmfGCQm_1OhppmaIkIixdisgZVpvUBXdA1z9vnvMEyWTV9czEwr8AkrVV-aYjVpTRlE43HsuMTByxhIa/s445/23_10_circunferencia_con_tanxentes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #666666;"><img border="0" data-original-height="391" data-original-width="445" height="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUFBxwlfxfl17El7Qy0QNejrVIjOkxqmjI38voIgyws7VtghA1VJf0fwoFm9iO4C5s_JfQgWkTJ13eTIaPeQuV18HwuEGAmR1bw6sgk5SkruQ-UmfGCQm_1OhppmaIkIixdisgZVpvUBXdA1z9vnvMEyWTV9czEwr8AkrVV-aYjVpTRlE43HsuMTByxhIa/w256-h225/23_10_circunferencia_con_tanxentes.png" width="256" /></span></a></div><div><span style="color: #666666;"><br /></span></div><span style="color: #666666;"><b>10.</b> Determina o raio da circunferencia centrada no (0,0) e que é tanxente á recta $x+2y=10$</span><div><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div><span style="color: #666666;"><b>11.</b> Nun triángulo $triangle ABC$, $AB=AC$, o punto $D$ está en $AC$ e $AD=DB=BC$. Determina o ángulo $\angle A$</span></div><div><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div><span style="color: #666666;"><b>12.</b> Dados dous círculos concéntricos e unha corda do maior que é tanxente ao menor, sabendo que a corda mide 12 unidades, determina a área da coroa circular.</span></div><div><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div><span style="color: #666666;"><b>13.</b> Nun triángulo $triangle ABC$, $AB=AC$. Hai puntos $D$ en $AB$, $E$ en $CA$ e $F$ en $AD$ tales que $CB=CD=ED=EF=FA$. Determina ángulo $\angle A$.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilXac2Qb1pvNDdu0oop4lfW-btCqZGDC5r7jM6VJN9KI66EvjMPIk8YQUK03f2teuRWV8HOWMzxMd2ACTSgbJS_o15oMlKz6u8NNg5UI2gVeFHkMqgoF9pHwJsW7oqCHaIpzLGwJ4Q75Hgt19wg057UN4bwgouflTbJITk2C1isQ3PHmNOZur2R3tkEqhL/s772/23_10_tri%C3%A1ngulo_con_segmentos_iguais.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #666666;"><img border="0" data-original-height="317" data-original-width="772" height="131" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilXac2Qb1pvNDdu0oop4lfW-btCqZGDC5r7jM6VJN9KI66EvjMPIk8YQUK03f2teuRWV8HOWMzxMd2ACTSgbJS_o15oMlKz6u8NNg5UI2gVeFHkMqgoF9pHwJsW7oqCHaIpzLGwJ4Q75Hgt19wg057UN4bwgouflTbJITk2C1isQ3PHmNOZur2R3tkEqhL/s320/23_10_tri%C3%A1ngulo_con_segmentos_iguais.png" width="320" /></span></a></div><span style="color: #666666;"><br /></span><div><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div><span style="color: #666666;"><b>14.</b> Nun triángulo $\triangle ABC$ $AB=AC=17$. O punto $E$ triseca o segmento $BC$ e $AE=15$. Calcula $BC$</span></div><div><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div><span style="color: #666666;"><b>15.</b> Nun sistema de coordenadas cartesiano hai dúas circunferencias pasando polo punto (3,2) que son tanxentes a ambos eixos de coordenadas. Determina a suma dos raios desas circunferencias.</span></div><div><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div><span style="color: #666666;"><b>16.</b> A suma das lonxitudes das diagonais dun rombo é de 14 unidades e a súa área é de 13 unidades cadradas. Determina a lonxitude do lado do rombo.</span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><b>17.</b> Inscríbese un hexágono ABCDEF dentro dunha circunferencia con $AB=CD=EF=2$ e $BC=DE=FA=10$. Calcula a área dun triángulo equilátero inscrito na circunferencia.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-xcPH9igDffoP24rAHnftUd08z9Tf-Yw_thYDTlG_otYh4wo2BFdZZwUAOoGIaDBaFVFWBmHuKeedKC70SLfQspbT0pb2TD5BU7MhOYQe_Iyk8aflxpyIlKqtwN7Q_ukuf87z0U-u3rfusoQv61fLmsGVSHpGzy8RoK2ZHirOcIJ1KbjA7T4C9NCgi_Pc/s532/23_10_hex%C3%A1gono_irregular.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #666666;"><img border="0" data-original-height="462" data-original-width="532" height="237" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-xcPH9igDffoP24rAHnftUd08z9Tf-Yw_thYDTlG_otYh4wo2BFdZZwUAOoGIaDBaFVFWBmHuKeedKC70SLfQspbT0pb2TD5BU7MhOYQe_Iyk8aflxpyIlKqtwN7Q_ukuf87z0U-u3rfusoQv61fLmsGVSHpGzy8RoK2ZHirOcIJ1KbjA7T4C9NCgi_Pc/w273-h237/23_10_hex%C3%A1gono_irregular.png" width="273" /></span></a></div><span style="color: #666666;"><br /></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #666666;"><b>18.</b> Dobramos un papel rectangular de $10\times 24$ de forma que coincidan os vértices opostos $A$ e $C$. Calcula a lonxitude da dobrez.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div></div></blockquote><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgk_Vym5YY97tJPFwEEhBh8__BTJHTw13NBtrSdKzDJiC_G5GA4e0zemgkWgyIgB2Bu_O3EM7DxMs5uezQyqizNeLIPWKKY0nEr66KxF8IdPft-EtcZU4n8Uhvov048TSk71qHU5bCRJzHuRueqLLlh29bX-_0AYV-jP8cj7V0pDb0GtNf0JdY05_BIPfQE/s552/23_10_rect%C3%A1ngulo_dobrado.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="262" data-original-width="552" height="152" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgk_Vym5YY97tJPFwEEhBh8__BTJHTw13NBtrSdKzDJiC_G5GA4e0zemgkWgyIgB2Bu_O3EM7DxMs5uezQyqizNeLIPWKKY0nEr66KxF8IdPft-EtcZU4n8Uhvov048TSk71qHU5bCRJzHuRueqLLlh29bX-_0AYV-jP8cj7V0pDb0GtNf0JdY05_BIPfQE/s320/23_10_rect%C3%A1ngulo_dobrado.png" width="320" /></a></div></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-42457796979192923312023-09-20T10:10:00.001+02:002023-09-20T17:16:14.078+02:00Desafíos aritméticos e alxébricos para secundaria<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8ePO0O1fG7VRWVS1WTWfLZbkfs68V_90CwWPaFn1ZHYW6UOekcTw4vB0nQeydMMzH_Ap5EGJSp8FeTcztvuRvstA3PB9yQy4327FjvHzy22X55AERaaRaIxugPDSM0vMP9JssdYY3fR3SpA2FXpqwXAM16vJW8FQ07FWu8GiDTOGDVKJUljVrT7Pdke-d/s178/23_09_desaf%C3%ADos_matem%C3%A1ticos_libro.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="178" data-original-width="128" height="178" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8ePO0O1fG7VRWVS1WTWfLZbkfs68V_90CwWPaFn1ZHYW6UOekcTw4vB0nQeydMMzH_Ap5EGJSp8FeTcztvuRvstA3PB9yQy4327FjvHzy22X55AERaaRaIxugPDSM0vMP9JssdYY3fR3SpA2FXpqwXAM16vJW8FQ07FWu8GiDTOGDVKJUljVrT7Pdke-d/s1600/23_09_desaf%C3%ADos_matem%C3%A1ticos_libro.jpg" width="128" /></a></div><br />Na <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/09/tipos-de-problemas-tipos-de-ensino.html">entrada anterior</a> achegaba unha serie de problemas relacionados coa resolución de ecuacións cuadráticas. Algúns deles recollinos do libro de David Linker e Alan Sultan <a href="https://books.google.es/books/about/Mathematics_Problem_Solving_Challenges_f.html?id=f12KjgEACAAJ&redir_esc=y">Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond (</a>Wordl Scientific 2016). Como moitas das propostas que fan estes autores son problemas que teñen o seu atractivo, vou compartir unha pequena escolma. Aínda que no citado libro tamén os hai doutras áreas das matemáticas, nesta entrada só recollo os de carácter aritmético ou alxébrico. <p><span style="color: #666666;"><b></b></span></p><blockquote><p><span style="color: #666666;"><b>1.</b> Cando unha cantidade de auga se conxela incrementa o seu volume nun $\frac{1}{12}$. Cando unha cantidade de xeo se derrete, en que fracción decrece o seu volume?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>2. </b>O dez por cento de 9 é o 9 por cento de que cantidade?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>3.</b> Un comerciante compra un coche á fábrica por un 20% menos que o prezo de venda recomendado. Se vende o coche polo prezo recomendado, que porcentaxe obtén de ganancia?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>4.</b> Un vestido branco custaba inicialmente 50€. Nas rebaixas reduciuse o prezo un 10%. Despois de incrementalo nun 10%, un vestido azul foi vendido polo mesmo prezo que o branco nas rebaixas. Calcula o prezo orixinal do vestido azul.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>5. </b>Sen calcular ningún cadrado, expresa $\sqrt{313^{2}-312^{2}}$ como un enteiro positivo</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>6.</b> Acha a lonxitude da aresta dun cubo se o seu volume en unidades cúbicas é o mesmo número que a súa área superficial en unidades cadradas.</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>7.</b> Cantos litros de auga pura deberemos engadir a 20 litros dunha solución ácida do 45% para transfomala nunha solución do 30%?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>8.</b> Se $a$ e $b$ son enteiros positivos tales que $a^{2}+24=b^{2}$, acha o maior valor posible de $a+b$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>9.</b> Se $i=\sqrt{-1}$, acha $i^{1}+i^{2}+i^{3}+...+i^{100}$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>10.</b> $n$ é o menor de $n$ enteiros consecutivos que teñen de media 94. Acha $n$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>11.</b> Se dúas das raíces de $x^{3}+px+q=0$ son $-1$ e $3$, acha a terceira raíz así como os valores de $p$ e $q$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>12.</b> Para que base $b$ se verifica o seguinte produto escrito nesa base: $21_{b}\cdot54_{b}=1354_{b}$</span></p><p><b style="color: #666666;">13.</b><span style="color: #666666;"> Xurxo conduce ata unha cidade distante e volve polo mesmo camiño. Debe facelo a unha media de 80 km/h co fin de chegar a unha cita na cidade de partida. Retrásase e fai unha media de 60 km/h na viaxe de ida. Acha a velocidade media de volta para que poida chegar á súa cita. </span></p><p><span style="color: #666666;"><b>14.</b> Acha o produto de todos os $x$ que verifican $\frac{4}{x}-\frac{5}{x^{3}}+\frac{1}{x^{5}}=0$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>15.</b> Pedro corre o dobre de rápido do que anda. Un día, no camiño á escola anda durante o dobre de tempo do que vai correndo e lévalle 20 minutos. Unha semana máis tarde corre durante o dobre de tempo que anda. Cantos minutos lle leva chegar desta vez ao colexio?</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>17.</b> Se $A=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}+...$ e $B=1+\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}+...$, acha todos os pares de enteiros positivos $(a,b)$ tales que $a>b>1$ e $A+B=\frac{15}{7}$</span></p><p><span style="color: #666666;"><b>18.</b> Xenerosa ten unha carteira máxica que duplica os cartos que lle metes dentro e cobra 1'20 € por cada vez que alguén a usa. Alexandre comeza cunha certa cantidade de cartos que introduce na carteira e que así duplica. Despois de pagar polo seu uso volve a colocar todo o seu capital na carteira, volvendo a dobralo e a pagar por segunda vez a Xenerosa. Finalmente volve a colocar todo na carteira e a facer o terceiro pago. Alexandre decátase entón de que non lle quedou nada. Canto tiña ao principio?</span></p></blockquote><p><span style="color: #666666;"></span></p>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-57437497682241546442023-09-08T10:10:00.005+02:002023-09-08T10:10:00.179+02:00Tipos de problemas, tipos de ensino<p>A importancia da educación está nos detalles. Todos os profesores de Matemáticas de Secundaria explicamos temas como o da resolución das ecuacións de segundo grao. Pero non todos o facemos igual. </p><p>Unha das cousas que temos que facer é propoñer problemas/exercicios. Podémonos achegar a distintos estilos de aprendizaxe en función do tipo de problemas que propoñemos.</p><p><b>Problemas tipo I</b></p><p><b>1.</b> $x^{2}+x-6=0$</p><p><b>2. </b>$x^{2}-8x+15=0$</p><p><b>3. </b>$10x^{2}+8x+12=0$</p><p><b>4.</b> $8x^{2}-22x-21=0$</p><p>Haberá quen teña un enfoque meramente algorítmico das matemáticas. Ese profesor só tratará con este tipo de problemas. </p><p><b>Problemas tipo II</b></p><p><b>5.</b> En cada un das ecuacións anteriores identifica os valores dos coeficientes $a$, $b$, $c$; indica tamén en cada caso o valor das solucións $x_{1}$ e $x_{2}$. Determina en cada caso canto vale a suma das solucións $S=x_{1}+x_{2}$ e o seu produto $P=x_{1}\cdot x_{2}$. Compara os coeficientes coa suma e o produto das solucións. Observas algo?</p><p><b>6. </b>Calcula o discriminante das ecuacións seguintes e despois resólveas. Que observas?</p><p>a) $x^{2}-6x+5=0$<span> </span><span> b) </span>$x^{2}-6x+9=0$ <span> </span><span> c) </span>$x^{2}-10x+40=0$<span> </span></p><p>Estas son actividades dirixidas cun obxectivo de aprendizaxe específico. A resposta non está determinada como nos problemas de tipo I pero oriéntase ao alumnado a que centren a súa atención nun aspecto para que "descubran" determinadas propiedades. Neste caso preténdese que obteñan as fórmulas de Viéta para ecuacións de segundo grado con $a=1$ ou que relacionen o número de solucións co signo do discriminante.</p><p><b>Problemas tipo III</b></p><p><b>7.</b> $\frac{5}{x}+2x=6$</p><p><b>8.</b>$\frac{\left ( x+3 \right )\left ( x-3 \right )-4}{2}-\frac{x-2}{3}=\frac{\left ( x-2 \right )^{2}+1}{6}$</p><p>Estas non son ecuacións de segundo grao reducidas á forma $ax^{2}+bx+c=0$. Traballar unicamente coas dun tipo pode levar á falsa conclusión de que esa é a única forma que teñen. </p><p><b>Probemas tipo IV</b></p><p><b>9.</b> Se $a$ e $b$ son as raíces de $5x^{2}+6x+7=0$, acha $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$</p><p><b>10.</b> Se $a$ e $b$ son as raíces de $3x^{2}+4x+5=0$, acha $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$</p><p><b>11. </b>Se $a$ e $b$ son as raíces de $2x^{2}+3x+4=0$, acha $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}$</p><p>Aquí estase pedindo máis que nos casos anteriores. Requírese non só coñecemento dos tópicos da resolución das ecuacións de segundo grao, senón que se precisa habilidade na manipulación alxébrica e capacidade e enfrontarse a novos problemas. Non todo o alumnado está en disposición de tratalos aínda que a abordaxe destes problemas pode ser un bo entrenamento para a seguinte remesa.</p><p><b>Problemas tipo V</b></p><p><b>12.</b> Acha todos os $a$ tales que a suma dos cubos e a suma dos cadrados das raíces de $ax^{2}+4x+3=0$ sexan iguais.</p><p><b>13.</b> Acha todos os pares ordenados $(a,b)$ tales que as raíces de $x^{2}+ax+b=0$ son os cadrados das raíces de $5x^{2}-6x+10=0$</p>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-69436172191487859342023-07-18T10:10:00.003+02:002023-12-22T17:51:51.580+01:00Craps <p>Sei que teño moi descoidada a etiqueta de probabilidade do blogue así que con esta entrada vou intentar remediar esta eiva tan siquera nunha mínima parte estudando un xogo con dados que, de seguro verías nalgunha película da factoria de Holywood. Trátase do <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Craps">craps</a>, un xogo de apostas sobre o lanzamento de dous dados.</p><p>Cada vez que falamos de xogos, cómpre dar un aviso. Os casinos, as empresas de lotarías, tragaperras e xogos, nunca perden. Quen perde é o incauto que pensa que pode sacar algún beneficio do xogo. Hai un aspecto do xogo que non é nocivo, cando o seu obxectivo é que sexa utilizado como elemento socializador. Se un grupo de amigos se xunta coa desculpa de botar unhas partidas de tute ou dominó, o xogo non ten mal ningún. Se incluso apostan unha rolda de cafés ou de viños, a cuestión segue sen ser patolóxica. Cando alguén compra un boleto da lotería de nadal, aínda sabendo que a ganancia vai ser para os organismos estatais, podemos falar de que estamos en zona segura. Agora ben, basta con dar un par de pasos máis no mundo do xogo e xa caímos no abismo. </p><p>Neste ámbito tamén se impoñen as regras da globalización. Cando nos referimos a globalización estamos falando da americanización, o que nos leva a unha cultura do xogo esencialmente patolóxica. Esta visión presenta o xogo como unha oportunidade de enriquecerse súbitamente e ten como consecuencia fatal a ludopatía. Teño por certo que todos os profesores temos visto casos de rapaces que caen nas garras desta droga, sobre todo nos últimos tempos, nos que a deglución do imperialismo se xuntou con políticas de alfrombra vermella para a industria do xogo coa proliferación de máquinas de apostas e tragacartos en calquera local de ocio ou as facilidades de apetura de negocios de apostas.</p><p>Feita esta necesaria paréntese, metámonos nas matemáticas.</p><p>O xogo do <i>craps</i> xurde na Luisiana do século XIX como modificación dun antigo xogo de dados inglés, o<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hazard_(game)"> hazarz</a>. Como se pode ver na mesa de xogos dun casino, hai moitos tipos de aposta. Nós ímonos centrar nas dúas máis importantes, que tamén son as máis interesantes deste o punto de vista do cálculo probabilístico. Estámonos a referir ás apostas de "liña de pase" e "barra de non pase".</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDkVo8Ns31Nktn8WVAmV_B-4tqBxqIFiL9KjY0mZYCadR30_c43Q_4J-IeJtlIfg28CFzErCAQPt2xEy2LHzd_Tka-uqP2qHcJTlM5pYsDUJj2AvYEmNzZMYQS58KXZkPfbY1-6P9giDoFlifc-yqR8T9ijJ3XU57Qp2e9SdcX_9tKlFl89LjS6k-gIg/s994/23_06_taboleiro_craps.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="508" data-original-width="994" height="236" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDkVo8Ns31Nktn8WVAmV_B-4tqBxqIFiL9KjY0mZYCadR30_c43Q_4J-IeJtlIfg28CFzErCAQPt2xEy2LHzd_Tka-uqP2qHcJTlM5pYsDUJj2AvYEmNzZMYQS58KXZkPfbY1-6P9giDoFlifc-yqR8T9ijJ3XU57Qp2e9SdcX_9tKlFl89LjS6k-gIg/w460-h236/23_06_taboleiro_craps.png" width="460" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><p>Primeiro explicarei en que consiste o xogo na súa versión de rúa. Máis adiante comentarei a adaptación que fan os casinos. O xogo consiste en que unha persoa lanza dous dados. O que nos interesa é a suma dos puntos. Quen aposta pola "liña de pase" gañará se a citada suma é de 7 ou 11. Perderá se sae o que se denomina <i>craps</i>, un total de 2, 3 ou 12. No resto dos casos apúntase o resultado (4, 5, 6, 8, 9 ou 10) e vólvense a lanzar os dados todas as veces que se precise ata que volva a aparecer o número apuntado (e daquela gañaríase) ou apareza un 7 (e daquela perderíase). Cal é a probabilidade de gañar se facemos esta aposta?</p><p>Non vou realatar todas as voltas que lle dei ata obter a resposta. Seguín varios camiños sen saída ata ir achegándome a un proceso viable e, por fin, á solución. Cando estaba escribindo esta entrada achei, na <a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Craps">sorprendente entrada en eúscaro da wikipedia</a> sobre este xogo, un resultado que usara neste proceso pero que non coñecía e que vai facilitar a presentación da resolución. O resultado é o seguinte:</p><p><b><span style="color: #666666;"></span></b></p><blockquote><span style="color: #666666;"><b>Proposición.</b> Nun experimento aleatorio consideremos dous sucesos incompatibles A e B. Repetimos o experimento reiteradamente. Sexa Z o suceso consistente en que A suceda antes que B. Daquela $$P\left ( Z \right )=\frac{P(A)}{P\left ( A \right )+P\left ( B\right )}$$</span></blockquote><p></p><p>Centrémonos agora na resolución do problema. Para iso fixemos primeiro a denominación dos sucesos:</p><p>G="gañar a aposta da liña de pase"</p><p>i="obter i puntos" con $i\epsilon \left \{ 2,4,6,7,8,9,10,11,12 \right \}$</p><p>Consecuentemente a probabilidade pedida será</p><p>$$P\left ( G \right )=P\left ( 7 \right )+P\left ( 11 \right )+P\left ( 4 \right )P\left ( G/4 \right )+P\left ( 5 \right )P\left ( G/5 \right )+P\left ( 6 \right )P\left ( G/6 \right )+\\+P\left ( 8 \right )P\left ( G/8 \right )+P\left ( 9 \right )P\left ( G/9 \right )+P\left ( 10 \right )P\left ( G/10 \right )$$</p><p>Axudarémonos dunha táboa na que, colocando os resultados dun dado na primeira fila e os do outro na primeira columna, obteremos todas as posibles sumas de puntos. Isto permítenos calcular a probabilidade de obter calquera suma</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJyj37cbitOghCxGZqRCfpo4kcqZRdRTj4tVL8MpO6kXw19WSc6kC2MrL7ZUJ9Pvd_XSPuEcGRXUJODTDTcfVuBYkCY8en2M52_SaaRktZ_6cdRLRfcIGx98wTtyJgVDNQ_AdPDmrcbttNk_Oip4D1d0Oj_luI_te8GlE229NN4msx0TEbt5xayoGVhw/s339/23_06_lanzamento_dous_dados.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="208" data-original-width="339" height="196" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJyj37cbitOghCxGZqRCfpo4kcqZRdRTj4tVL8MpO6kXw19WSc6kC2MrL7ZUJ9Pvd_XSPuEcGRXUJODTDTcfVuBYkCY8en2M52_SaaRktZ_6cdRLRfcIGx98wTtyJgVDNQ_AdPDmrcbttNk_Oip4D1d0Oj_luI_te8GlE229NN4msx0TEbt5xayoGVhw/s320/23_06_lanzamento_dous_dados.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$P\left ( 7 \right )=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$, $P\left ( 11 \right )=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$ P\left ( 4 \right )=\frac{3}{36}=P\left ( 10 \right )$; $P\left ( 5 \right )=\frac{4}{36}=P\left ( 9 \right )$ e $P\left ( 6 \right )=\frac{5}{36}=P\left ( 8 \right )$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Para obter as probabilidades que faltan usaremos a proposición anterior pois está claro que obter un 7 é incompatible con obter calquera outro resultado distinto:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$$P\left ( G/4 \right )=\frac{P(4)}{P(4)+P(7)}=\frac{\frac{3}{36}}{\frac{3}{36}+\frac{6}{36}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=P\left ( G/10 \right )$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$$P\left ( G/5 \right )=\frac{P(5)}{P(5)+P(7)}=\frac{\frac{4}{36}}{\frac{4}{36}+\frac{6}{36}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=P\left ( G/9 \right )$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$$P\left ( G/6 \right )=\frac{P(6)}{P(6)+P(7)}=\frac{\frac{5}{36}}{\frac{5}{36}+\frac{6}{36}}=\frac{5}{11}=P\left ( G/8 \right )$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Substituíndo todos os valores obtemos:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$$P\left ( G\right )=\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\frac{3}{36}\frac{1}{3}+\frac{4}{36}\frac{2}{5}+\frac{5}{36}\frac{5}{11}+\frac{5}{36}\frac{5}{11}+\frac{4}{36}\frac{2}{5}+\frac{3}{36}\frac{1}{3}=\frac{244}{495}=0'49292...$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A probabilidade de gañar a aposta de "liña de pase" é algo menor do 50%. Velaí que non nos convén. Aínda que resultemos algo pesados, volveremos a dicir o mesmo desde outra perspectiva. A esperanza das ganancias ao realizar esta aposta virá dado por $$\frac{244}{495}-\frac{251}{495}=\frac{-7}{495}=-0'01414...$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Isto é, por cada 10€ que apostemos espérase que perdamos uns 14'14 céntimos. Por esta razón, no caso do xogo popular é recomendable apostar ao "non pase" pois ten unha probabilidade un pouco superior a 0'5. Isto non é negocio para os casinos, así que adaptaron o xogo cunha modificación que os beneficiaba e que explicamos a seguir.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A aposta á "barra de non pase" <i>case</i> é o contrario da de "pase de liña", a única excepción é que se sae un 12 no primeiro lanzamento, o apostante de "barra de non pase" nin gana nin perde. Velaí que a probabilidade de ganar nesta aposta vese reducida en $\frac{1}{36}$ ficando finalmente en $$\frac{251}{496}-\frac{1}{36}=\frac{949}{1980}=0'479292...$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">As expectativas da aposta á "barra de non pase" son un pouco mellores: $\frac{949}{1980}-\frac{976}{1980}=\frac{-27}{1980}=\frac{-3}{220}=-0'013636...$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">De cada 10 € apostados esperamos perder uns 13'67 céntimos. Como se ve, continuamos perdendo (se apostamos).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">O resto das apostas do craps dan lugar a maiores perdas para o xogador. Por exemplo, a aposta a "calquera 7" págase 4:1 se sae un 7 no primeiro lanzamento. A esperanza de obter ganancias será $$4\cdot \frac{6}{36}-\frac{30}{36}=\frac{-6}{36}=-\frac{1}{6}=-0'1666...$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Por cada 10 € apostados perderíamos 1'67 €. Mal negocio.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b>A demostración da proposición</b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Para completar a entrada daremos a demostración da proposición. Co fin de simplificar a escritura chamaremos $P(A)=a$ e $P(B)=b$. Entón teremos que demostrar que se $A$ e $B$ son incompatibles $$P(Z)=\frac{a}{a+b}$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">onde $Z$ identifica o suceso "$A$ sucede antes que $B$" cando realizamos reiteradamente o experimento asociado a este espazo mostral.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Como $A\cap B=\varnothing $ temos que $P\left ( A\cap B \right )=P\left ( \varnothing \right )=0$, de aí que </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$$P\left ( \overline{A} \cap \overline{B}\right )=P\left ( \overline{A\cup B} \right )=1-P\left ( A\cup B \right )=$$ $$=1-\left ( P(A)+P(B)-P(A\cap B) \right )=1-\left ( a+b-0 \right )=1-a-b=r$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Podería darse o caso de obter $A$ xa a primeira vez que realizamos o experimento; pero de non ser ese o caso (que non suceda $A$), tampouco debería suceder $B$ para garantir que suceda $Z$. Entón estariamos en disposición de repetir o experimento.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Se obtemos $A$ no segundo experimento remataría o proceso. No caso de que non suceda $A$ tampouco podería suceder $B$ nesta segunda volta pola mesma razón que antes. Entón estariamos en disposición de repetir oe experimento unha terceira vez... e así sucesivamente. De aí que </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$$P(Z)=a+ra+r^{2}a+...+r^{n}a+...=a\left ( 1+r+r^{2}+...\right )=a\frac{1}{1-r}=\frac{a}{1-\left ( 1-a-b \right )}=\frac{a}{a+b}$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">E aquí remata o conto.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-80742569493665112292023-07-11T10:10:00.001+02:002023-07-11T10:10:00.140+02:00Explícoche Matemáticas 2.0. Edición 2023<p>Xa choveu desde aquela <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2012/05/explicoche-matematicas-20.html">1ª edición do concurso no ano 2012.</a> A proba do acerto deste certame é que foi copiado por outros SNL ( <a href="https://www.usc.es/gl/servizos/snl/dinamizacion/videoenxenos.html">ETSE</a>, <a href="https://www.usc.gal/gl/servizos/snl/dinamizacion/quimica_sostible.html">Facultade de Química</a>, <a href="https://www.usc.gal/gl/servizos/snl/dinamizacion/videos_vemolos_nos">SNL da USC</a>) e que 11 anos despois continúa na fura de diante. </p><p>Resulta que a Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas r<a href="https://www.usc.gal/gl/xornal/novas/resolto-certame-audiovisual-promocion-galego-explicoche-matematicas-20">esolveu o concurso Explícoche Matemáticas 2.0 na edición do presente ano 2023</a>. De seguido presentamos os gañadores:</p>
<div style="text-align: center;"><iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/RcS9rSr40Ic" title="YouTube video player" width="560"></iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;">
Carmen Castelo Monteagudo, Inés Prado Justo e Noa Salinas González do IES Isaac Díaz Pardo, titorizadas pola profesora Beatriz Máquez Villamarín, proclamáronse vencedoras do certame ‘Explícoche Matemáticas 2.0’ cun vídeo de animación moi orixinal titulado ‘Cero e os infinitos’</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;">
<iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/7px4w7mXWp0" title="YouTube video player" width="560"></iframe> </div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"> O segundo galardón foi para Carla Dopazo Pavón, que amosou moita desenvoltura diante da cámara rexida por Santiago Vilas Subirán. Ambos son do IES Eusebio da Guarda e presentaron o vídeo ‘Teoría de grafos en 2 minutos’. A titora foi Beatriz Sixto Rodríguez</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b>Dous terceiros premios</b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;">
<iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/E2HN24vaUDo" title="YouTube video player" width="560"></iframe> </div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"> Un dos terceiros premios foi para Rocío Rodicio González polo vídeo que leva por título ‘Domingo Fontán’do Colexio Santa Teresa de Jesús (Ourense)</div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: center;">
<iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/8qn6dEcXBlg" title="YouTube video player" width="560"></iframe> </div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;">‘Teoría de grafos’, titorizado por Rosa Mª Álvarez Nogueiras, é o título do traballo de Lucía Yáñez Carrasco, Mónica Diz Rodríguez e Mª José Dosil Villavicencio, do IES Otero Pedrayo (Ourense)</div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-61031173246212502862023-07-01T10:10:00.001+02:002023-07-01T10:58:09.871+02:00Dúas fendas de luz: o libro de Rózsa Péter e as matemáticas en galego.2<p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMHt4OEAhlSwhaQmtOTfh2wgMNVsKvk6SNH-BRMcjNWdk7TMvrLrB3bPic8gW0lRB2CTk5zTbQ3SX9vc-AmPSsDC8GIzMR4G2xWxNEiaB4omuMlDsjn13xZ8F_gfbsC4pNzOSrl6zvIe4VVx2UPmWm-W7ON-xNlKzx__7R_SOvcmO0yYDGiRg_xdU9MqQq/s4000/23_06_xogando_co_infinito.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="4000" data-original-width="3000" height="197" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMHt4OEAhlSwhaQmtOTfh2wgMNVsKvk6SNH-BRMcjNWdk7TMvrLrB3bPic8gW0lRB2CTk5zTbQ3SX9vc-AmPSsDC8GIzMR4G2xWxNEiaB4omuMlDsjn13xZ8F_gfbsC4pNzOSrl6zvIe4VVx2UPmWm-W7ON-xNlKzx__7R_SOvcmO0yYDGiRg_xdU9MqQq/w148-h197/23_06_xogando_co_infinito.jpg" width="148" /></a></div>Isto é a continuación das notas que recollín da presentación que fixo Felipe Gago o pasado 22/06/2023 da tradución que fixo do libro <a href="http://consellodacultura.gal/publicacion.php?id=4476">"Xogando co infinito"</a> (CCG, 2023) de Rózsa Péter. Para unha boa comprensión do que vén de seguido convén seguir a recomendación da propia matemática húngara e non saltar <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/06/duas-fendas-de-luz-o-libro-de-rozsa.html">a primeira parte deste relato</a>.<p></p><p>Felipe Gago comentou que estaba encantando con que lle encargaran este traballo e lembrounos como el mesmo traballara cun libro doutro matemático húngaro, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya">Geoge Pólya</a> (1887-1985), "Matemáticas y razonamiento plausible" (Tecnos,1966) nas súas clases da materia de Metodoloxía.</p><p>Como introdución recollo a explicación da famosa fórmula de Euler doutro húngaro, <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Imre_Lakatos">Imre Lakatos</a> (1922-1974), en concreto das primeiras páxinas do seu libro "Pruebas y refutaciones" (Alianza Editorial 1986). </p><p>Consideremos un poliedro convexo calquera. Se $C$ representa o número de caras, $A$ o número de arestas e $V$ o número de vértices, a fórmula euleriana á que nos estamos a referir é $$C+V-A=2$$</p><p>Lakatos indícanos que a demostración que imos dar desta igualdade debémoslla a Cauchy. Faremos de topólogos, isto significa que imaxinaremos que temos un poliedro de goma. Se lle recortamos unha das caras poderemos estirar e estender a superficie restante sobre un plano que, de ser certa a fórmula por ter agora unha cara menos, debería verificar a fórmula $C+V-A=1$. Para seguir mellor a argumentación, na figura 1 temos ilustrado o caso de que o poliedro fose un cubo. O seguinte paso consistiría en triangular os polígonos trazando diagonais entre os vértices do mapa plano (ver figura 2). Cada vez que debuxamos unha diagonal estamos aumentando nunha unidade o valor de A pero tamén aumenta da mesma maneira o valor de C polo que o valor de $C+V-A$ non variará neste proceso.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQQBlHP298TKib2zpiQ77KHC_-TpeW1NcD3C3GCSl19cbSKAwkyudgw46WmNZTYlzJIaVt69ZYvRJByvypiNYQVse4masQhyVPsV0h5VtWhzyiw_qIm-vjHZ2MSul-UdULX7D39NMmYkErg7RHuBO2wFAY66eUR05-hOZ_bf7fZT8QwebPJV-mewRxv3Ur/s1050/23_06_demostraci%C3%B3n_Cauchy_1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="1050" height="170" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQQBlHP298TKib2zpiQ77KHC_-TpeW1NcD3C3GCSl19cbSKAwkyudgw46WmNZTYlzJIaVt69ZYvRJByvypiNYQVse4masQhyVPsV0h5VtWhzyiw_qIm-vjHZ2MSul-UdULX7D39NMmYkErg7RHuBO2wFAY66eUR05-hOZ_bf7fZT8QwebPJV-mewRxv3Ur/w359-h170/23_06_demostraci%C3%B3n_Cauchy_1.png" width="359" /></a></div>Agora eliminaremos os triángulos un a un. Poden darsenos dúas situacións. Tal e como vemos no triángulo marcado para eliminar na figura 3, se sacamos unha aresta, eliminaremos unha cara. Para eliminar a cara marcada da figura 4 teremos que sacar dúas arestas polo que tamén eliminaremos un punto. En calquera dos dous casos o valor de $C+V-A$ non se modifica. Repetiremos o proceso unha e outra vez ata quedarmos unicamente cun triángulo que terá 1 cara, 3 vértices e 3 arestas, de aí que o valor de $C+V-A$ será $1$, tal e como queríamos demostrar.<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoTd-xa4Pk7cTlKphJTD8lETLcW_VibHzxGPcFlx0-WqakfnriywqukGBS1a7qsUftf_l3SxzD3PGCvLEj-GnIaFTj86pYKN8X5qiYCIQWrtR1QMVVQlpf5qH_hbz9HTm5QkWYgJeNJfC_9Gwsl603uZKdbnScvY8gYIkZk-shDc45ZuGd3hRnYsG2d8H-/s1055/23_06_demostraci%C3%B3n_Cauchy_2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="509" data-original-width="1055" height="165" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoTd-xa4Pk7cTlKphJTD8lETLcW_VibHzxGPcFlx0-WqakfnriywqukGBS1a7qsUftf_l3SxzD3PGCvLEj-GnIaFTj86pYKN8X5qiYCIQWrtR1QMVVQlpf5qH_hbz9HTm5QkWYgJeNJfC_9Gwsl603uZKdbnScvY8gYIkZk-shDc45ZuGd3hRnYsG2d8H-/w343-h165/23_06_demostraci%C3%B3n_Cauchy_2.png" width="343" /></a></div><div><div><br /></div><div><b>Aprendiz de meiga (segunda parte)</b></div><div>Os polígonos regulares son figuras planas delimitadas por segmentos iguais e que determinan ángulos interiores iguais. Hai infinidade deles, un para cada número a partir do 3.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnOi4J7so2SqPtr0lDJxgBGn_dGWAt1naMuB0BrfZmwc8NTTWB47jlirPcgV4yhU6qfVF1PWVv9DE9EdEtSqoanqlgwS9U3ym_mn-99GnZ-e6IoNUcObolJbLPXboJPmtiYS0caMK9YJkglQ5tZoZ-efFmJ_2MHyhWTs6jYaZmV9B7c5Dt0nOXFwsPTGjC/s959/23_06_pol%C3%ADgonos_regulares.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="160" data-original-width="959" height="68" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnOi4J7so2SqPtr0lDJxgBGn_dGWAt1naMuB0BrfZmwc8NTTWB47jlirPcgV4yhU6qfVF1PWVv9DE9EdEtSqoanqlgwS9U3ym_mn-99GnZ-e6IoNUcObolJbLPXboJPmtiYS0caMK9YJkglQ5tZoZ-efFmJ_2MHyhWTs6jYaZmV9B7c5Dt0nOXFwsPTGjC/w411-h68/23_06_pol%C3%ADgonos_regulares.png" width="411" /></a></div><div><p>Un poliedro convexo é regular se está delimitado por polígonos regulares, sendo todas estas figuras congruentes entre si e dispostas de tal forma que en cada vértice se xuntan o mesmo número delas. Se cada unha das caras ten $n$ lados, o produto $n\cdot C$ daranos $2A$ pois cada aresta está compartida por dúas caras. Acabamos de realizar o mesmo proceso que aprendimos <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/06/duas-fendas-de-luz-o-libro-de-rozsa.html">na entrada anterior</a>: para obter o número de arestas preferimos realizar un reconto do seu dobre. Volvamos a aplicar esta idea, pero agora tendo en conta que en cada vértice se interceptan $m$ arestas. De aí o produto $m\cdot V$ vai darnos $2A$ pois cada aresta ten dous vértices. Aplicando estes resultados ($n\cdot C=2A$ e $m\cdot V=2A$ á fórmula de Euler teremos:$$\frac{2A}{n}+\frac{2A}{m}-A=2$$</p><p>Dividindo por $2A$ e pasando o último termo do primeiro ao segundo membro:$$\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2}+\frac{1}{A}\quad\quad [1]$$</p><p>Polo tanto o primeiro membro de [1] será sempre maior que $\frac{1}{2}$. Supoñamos que $n\geq 4$ e que $m\geq 4$. Nese caso $$\frac{1}{2}< \frac{1}{n}+\frac{1}{m}\leqslant \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$ Chegamos a unha contradición. Polo tanto polo menos un dos valores, $n$ ou $m$, debe ser $3$ pois tampouco ten sentido que sexa menor (os polígonos deben ter polo menos 3 lados e nun vértice deben coincidir polo menos 3 arestas).</p><p>Se $n=3$ a igualdade [1] convértese en $$\frac{1}{m}-\frac{1}{6}=\frac{1}{A}$$ Polo que $m$ só poderá tomar os valores 3, 4 ou 5 (para 6 ou valores superiores $\frac{1}{A}$ daría negativo, un absurdo). Para estes valores A sería 6, 12 ou 30, o que se correspondería cun tetraedro, octaedro e icosaedro respectivamente. </p><p>Se $m=3$ a ecuación [1] transfórmase en $$\frac{1}{n}-\frac{1}{6}=\frac{1}{A}$$Analogamente $n$ só poderá tomar os valores 3, 4 ou 5 para os que A=6, 12 ou 30 respectivamente, dando lugar a un tetraedro, un cubo e un dodecaedro. Para verificalo basta con que usemos a as fórmulas $n\cdot C=2A$, $m\cdot V=2A$ e $C+V-A=2$. Aplicándoas a cada caso obteremos os seguintes resultados:</p><p>$$\begin{matrix}\,n&m&\,C&V&A&\,\,poliedro\\3&3&4&4&6&tetraedro\\3&4&8&6&12&octaedro\\3&5&20&12&30&icosaedro\\4&3&6&8&12&cubo\\5&3&12&20&30&dodecaedro\end{matrix}$$</p><p>Se revisamos todos os datos veremos que unicamente son posibles 5 poliedros regulares. En comparación co que sucedía cos polígonos é un resultado sorprendente. O máis curioso é que se chegue a esta conclusión utilizando as mesmas técnicas que as empregadas para calcular a suma $1+2+3+...+n$. Acabamos de abrir unha fenda luminosa entre a aritmética e a topoloxía.</p></div></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-85892475537021133672023-06-28T10:10:00.004+02:002023-06-28T13:47:06.723+02:00Dúas fendas de luz: o libro de Rózsa Péter e as matemáticas en galego.1<p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZt4U1iu0xwuPcpxS9htlh6ObnXsj43rF29W8Erq6cbsWoEnEaU0mR-cv44JdikGom4hDSPCG3rKuFl4RsbxXVQ4rzN2zTA_QrSaPxgsExn2h_HNyu1mMOFaiXtf6drS5GrPAa3pWNsWLUEA3o30JORu_FCbTBHJqsV8252u3jwzIscYkw71CBy7DsMSc9/s2048/23_06_presentaci%C3%B3n_Rozsa.jpg" style="clear: left; display: inline; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1536" data-original-width="2048" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZt4U1iu0xwuPcpxS9htlh6ObnXsj43rF29W8Erq6cbsWoEnEaU0mR-cv44JdikGom4hDSPCG3rKuFl4RsbxXVQ4rzN2zTA_QrSaPxgsExn2h_HNyu1mMOFaiXtf6drS5GrPAa3pWNsWLUEA3o30JORu_FCbTBHJqsV8252u3jwzIscYkw71CBy7DsMSc9/s320/23_06_presentaci%C3%B3n_Rozsa.jpg" width="320" /></a></div>Ao rematar a carreira, para enfrontarme ao que osmaba que sería o meu destino profesional, a docencia, procurei en diversos libros un punto no que agarrarme coa esperanza de que me desen algunha indicación de como asumir o reto baixo unhas directrices minimamente dignas. Non me estou referindo a libros texto, no único que podía achar era "o que", estaba á procura do "como". Daquela a oferta non era moi abondosa, pero percorrín moitos libros de divulgación, outros específicos de educación das matemáticas, dos que trataban da resolución de problemas, moitos sobre a historia e tamén algúns sobre filosofía da ciencia ou sobre a cultura matemática en xeral. Pero buscaba algo que, con todo, non daba atopado. Quizais porque tampouco sabía moito o que estaba a pescudar. Cando estou vendo o final do meu labor docente, por fin achei ese libro: "Xogando co infinito" de<a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3zsa_P%C3%A9ter"> Rózsa Péter</a> (1905-1977). Felizmente este texto <a href="http://consellodacultura.gal/publicacion.php?id=4476"></a><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>foi publicado polo Consello da Cultura Galega (CCG), con tradución do profesor da Facultade de Matemáticias, Felipe Gago.<p></p><p><a href="https://www.usc.gal/gl/xornal/novas/profesor-felipe-gago-traduce-galego-obra-rozsa-peter-xogando-infinito"></a></p>O pasado xoves 22/06/2023 presentouse a edición deste libro na aula magna da Facultade de Matemáticas. O primeiro que chama a atención é que no acto estivera presente Valentín García, o Secretario Xeral de Política Lingüística, <a href="https://www.nosdiario.gal/articulo/social/clasico-das-matematicas-xogando-co-infinito-traducido-ao-galego-idioma-que-prohiben-aulas-da-materia/20230622172253171619.html">o mesmo que defende o decreto que prohíbe o ensino das matemáticas en galego</a>. Por isto tanto a decana da Facultade de Matemáticas, Elena V. Cendón, como a presidenta do CCG, Rosario Álvarez, comezaron as súas intervencións cunha frase de Julio Rodríguez, presidente de AGAPEMA: "xa é hora de abrir unha fenda de luz e deixar de prohibir o galego no ensino das matemáticas". Valentín viuse na obriga de responder pero só conseguiu farfallar unha desculpa falsa, nun intento, imposible, de querer quedar ben. <p></p><p>Elena Vázquez Cendón explicou que o proxecto xurdira cando o premio Abel de 2005, Peter Lax, visitou Santiago de Compostela dentro do programa <a href="https://www.usc.gal/gl/programa-conciencia/peter-lax">ConCiencia do 2007</a>. <a href="https://www.lavozdegalicia.es/noticia/sociedad/2007/11/03/unica-fuente-energia-capacidad-razonable-nuclear/0003_6284603.htm">Lax foi entrevistado pola periodista Elisa Álvarez</a> quen, ante a idea de que todo matemático tivo alguén que o inspirou, inquiriulle sobre o seu caso. Peter Lax contestou que a súa inspiradora foi unha muller, Rózsa Péter, que escribira o mellor libro popular de matemáticas, "Xogando co infinito". Ao pouco Elena encargoulle o traballo de tradución a Felipe Gago. Hoxe, ademais da publicación física o CCG permite <a href="http://consellodacultura.gal/publicacion.php?id=4476">o acceso virtual a esta publicación</a>. </p><p>Na súa intervención, Felipe Gago debullou, cunha fermosa presentación dixital, parte do contido do libro. Vou intentar reproducilo, quizais con algunhas modificacións.</p><p><b>Aprendiz de meiga</b></p><p>Todo comeza nunha aula. Susana, unha alumna que rebordaba curiosidade, Susana, comprobara que efectuar a suma de todos os naturais ata un impar, por exemplo 7, daba o mesmo resultado que multiplicar por 7 o número do medio.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgo5s5xuOLm1-vFOJ2bQs5r2OAzk2bBKl05wTzQaLhoMCeqHAm_pkJgDN30XiVKzn5yR2k6asw59lcEGYvevxTJ5qNHQtz57ZTE-UYpvZ2e3df7DVHqvzx5sCQ5nr8MPNgb12JFNX7TrZwZqvM6ftsWoixND7aUd00yHtxGeU-L_icgVf63J3ucdf_nSmTm/s418/23_06_suma_ata_7.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="40" data-original-width="418" height="28" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgo5s5xuOLm1-vFOJ2bQs5r2OAzk2bBKl05wTzQaLhoMCeqHAm_pkJgDN30XiVKzn5yR2k6asw59lcEGYvevxTJ5qNHQtz57ZTE-UYpvZ2e3df7DVHqvzx5sCQ5nr8MPNgb12JFNX7TrZwZqvM6ftsWoixND7aUd00yHtxGeU-L_icgVf63J3ucdf_nSmTm/w275-h28/23_06_suma_ata_7.png" width="275" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Eva, unha compañeira da clase, deu coa chave do asunto. $4\cdot7$ non é outra cousa que sumar $4$ sete veces. Se comparamos as dúas sumas</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOvSsF7j7eXXZdI-OuVxKmsSV9NlTGSdiFmjdFUf0qW8uUrORs6G9-1ek08XPMvCYdSe1hf5eBro_DGEsoyNgiazXGREf2_LAvNgRaDUGI3e25OTjw1OxLopPGTfL11KxrwsEqiQUeLDd9A91W9UypHcrjkFXP6kLR_NVqLxLhcFvUmu9Iqs25OGEnv6F5/s418/23_06_suma_ata_7_d%C3%BAas_veces.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="183" data-original-width="418" height="99" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOvSsF7j7eXXZdI-OuVxKmsSV9NlTGSdiFmjdFUf0qW8uUrORs6G9-1ek08XPMvCYdSe1hf5eBro_DGEsoyNgiazXGREf2_LAvNgRaDUGI3e25OTjw1OxLopPGTfL11KxrwsEqiQUeLDd9A91W9UypHcrjkFXP6kLR_NVqLxLhcFvUmu9Iqs25OGEnv6F5/w226-h99/23_06_suma_ata_7_d%C3%BAas_veces.png" width="226" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>Veremos que o primeiro $4$ é $3$ unidades superior a $1$, pero isto compénsase co último $4$, que é $3$ unidades inferior a $7$. Da mesma maneira o segundo $4$ é $2$ unidades máis que $2$, pero isto compénsase con que o penúltimo $4$ sexa $2$ unidades inferior a $6$. Finalmente o terceiro e o antepenúltimo $4$ son respectivamente $1$ unidadade máis e $1$ unidade menos que $3$ e $5$. Velaí que as dúas sumas teñan que dar o mesmo.<div>Neste punto Rózsa introduce a famosa lenda de como Gauss de neno, conseguira realizar a suma dos 100 primeiros números naturais: $1+2+3+4+....+96+97+98+99+100$. O proceso é esencialmente o mesmo que o que pasamos a describir para a suma dos 4 primeiros números. Coloquemos a suma tamén en orde inversa e despois sumemos o primeiro número co último, o segundo co penúltimo, e así sucesivamente. Así obtemos sempre $5$ como resultado</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjz1KvDTfRmytrncOVQWMGkTyrtg2ddFH09sQTRsmDO9yctquCN-eeye2ak3dgJFYYKq2V-Ml5OB-OV0jqZSDfUQ6Sc_eiO6_nfm6EC0sqwPEpj8QunLhclcPYh2SBQxdpORK69aJyex7hQlvxhliaOMYTZBz1bAG1czk0gJr3V3blBdehkimr8f5t9-ncX/s272/23_06_suma_de_5.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="170" data-original-width="272" height="85" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjz1KvDTfRmytrncOVQWMGkTyrtg2ddFH09sQTRsmDO9yctquCN-eeye2ak3dgJFYYKq2V-Ml5OB-OV0jqZSDfUQ6Sc_eiO6_nfm6EC0sqwPEpj8QunLhclcPYh2SBQxdpORK69aJyex7hQlvxhliaOMYTZBz1bAG1czk0gJr3V3blBdehkimr8f5t9-ncX/w135-h85/23_06_suma_de_5.png" width="135" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">De aí que o dobre da suma buscada é igual a $5+5+5+5+5=4\cdot5=20$ polo que a suma será a súa metade $1+2+3+4+5=10$. Ademais este proceso, como vemos, non ten por que restrinxirse a sumas ata un número impar, como sucedía antes. Conviña repetir este proceso para outros casos como a suma dos 5 ou dos 7 primeiros números. Incluso podemos ver que podemos aplicalo a unha progresión aritmética calquera.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEsLoNJFmodnMkO6pqq9W05Cu349ALw63KLMhki93DIcEdv4C5a63PEE3Hp1ZPjvktZfOaQHyQEH2Jc4QTmyIZQ4eIYfR8m11qT8uFAj0Ow6FwIaSkv84yoXSrUvDbPWbex_Rhj7dDSg76Smzd3jD-aXXjze0SsJLbxoW42cbpWpIJlHlDCpQJBNzZgfbn/s392/23_06_suma_progresi%C3%B3n.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="152" data-original-width="392" height="67" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEsLoNJFmodnMkO6pqq9W05Cu349ALw63KLMhki93DIcEdv4C5a63PEE3Hp1ZPjvktZfOaQHyQEH2Jc4QTmyIZQ4eIYfR8m11qT8uFAj0Ow6FwIaSkv84yoXSrUvDbPWbex_Rhj7dDSg76Smzd3jD-aXXjze0SsJLbxoW42cbpWpIJlHlDCpQJBNzZgfbn/w173-h67/23_06_suma_progresi%C3%B3n.png" width="173" /></a></div>Neste caso a suma será a metade de $18\cdot5=90$, isto é $5+7+9+11+13=45$<br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Rózsa Péter non lles dá aos alumnos a fórmula para obter a suma dos termos duna progresión aritmética. Ofrécelle problemas que poden abordar e fainos protagonistas do seu descubrimento, ademais conecta ese achádego co mito gausiano facéndoos partícipes da historia das matemáticas. Isto xa sería suficiente, pero aínda hai máis. O método que vimos de presentar aparece noutros ámbitos das matemáticas. Todos sabemos como medir áreas de rectángulos.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4hgaY_LDUvXnRdemfn1-EMnNTP09JwTdLyQLjQM5tKPIzQEG1RSmjGBvsVAOAiTT2JbMaj36X1DQLqPmMuyNycezWFLRUWEhKUYhp2clQcOlEXHA0AteHtINt_nl1a-5VhN6Q8moVomwQyjGcl3ycJtrYouwznJ6dqiQRX6JdZbdVG7xu7J9yOSJShq21/s540/23_06_rect%C3%A1ngulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="226" data-original-width="540" height="110" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4hgaY_LDUvXnRdemfn1-EMnNTP09JwTdLyQLjQM5tKPIzQEG1RSmjGBvsVAOAiTT2JbMaj36X1DQLqPmMuyNycezWFLRUWEhKUYhp2clQcOlEXHA0AteHtINt_nl1a-5VhN6Q8moVomwQyjGcl3ycJtrYouwznJ6dqiQRX6JdZbdVG7xu7J9yOSJShq21/w262-h110/23_06_rect%C3%A1ngulo.png" width="262" /></a></div>Se tomamos como unidade o cadrado sombreado enseguida vemos que a área deste rectángulo é de $3\cdot8$, basta multiplicar a base pola altura para obtela. Pero enseguida xurde un problema. Se pretendemos obter a área dun triángulo como o seguinte<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi627-3EbVHkz7RAP1fo1yKK0t7LK1H3man1lqg_l2PqV8_PbAKoXid-ts4oGj-UmXYPlyTgUmYsc9vpbMPoyCtwGHYUgPolFrhf4VK1A0aO7GARNMrs5G5XVR7o7XOzdlbdCQZpak8VprCuP1HzqCWFSV2bKI347dMmtw7qYPX_fOG5ToULaLreEW0k9LX/s342/23_06_tri%C3%A1ngulo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="183" data-original-width="342" height="90" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi627-3EbVHkz7RAP1fo1yKK0t7LK1H3man1lqg_l2PqV8_PbAKoXid-ts4oGj-UmXYPlyTgUmYsc9vpbMPoyCtwGHYUgPolFrhf4VK1A0aO7GARNMrs5G5XVR7o7XOzdlbdCQZpak8VprCuP1HzqCWFSV2bKI347dMmtw7qYPX_fOG5ToULaLreEW0k9LX/w170-h90/23_06_tri%C3%A1ngulo.png" width="170" /></a></div><div>temos dificultades en completar a área sombreada. A solución vén de aplicar a mesma metodoloxía que a usada para achar as anteriores sumas. No canto dun triángulo, collamos dous, agora formarán un rectángulo</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnI8SLE9zkDiwUknXkzYh7v-fNGTdZO1LF02Hflk54XRZbTgiL3kk44u2uGkU3XSm28EdlYOs-ZzTyWPqqufbaqsavQJcMm-KtOBRbh_ZclxUHa30VuV3-Du-NkVUDYOYLkbrOKfX8RdWnY-AhoyMvOi7n504QQtWxv79P_WNrw9UqjmTLSp_SVc9Wn8Pv/s434/23_06_dous_tri%C3%A1ngulos.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="254" data-original-width="434" height="96" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnI8SLE9zkDiwUknXkzYh7v-fNGTdZO1LF02Hflk54XRZbTgiL3kk44u2uGkU3XSm28EdlYOs-ZzTyWPqqufbaqsavQJcMm-KtOBRbh_ZclxUHa30VuV3-Du-NkVUDYOYLkbrOKfX8RdWnY-AhoyMvOi7n504QQtWxv79P_WNrw9UqjmTLSp_SVc9Wn8Pv/w165-h96/23_06_dous_tri%C3%A1ngulos.png" width="165" /></a></div>polo que para determinar a área do triángulo bastará con partir pola metade a deste novo rectángulo.<div>Se continuamos pola senda xeométrica, as anteriores sumas poderían representarse formando unha escaleira</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQuDUgshHAwelktt0IJVStFSFYs8IPvvdmLi9SN1564sZNcEXxUdES5U1W0W4uPCNfxpxcVS9UQk-pB_JNrEWd3aN-0LYHsXuS1DpLbKyz4vWhkEoegJMEsFYMNcCRTs8yXDuW7oatM1B4cNq-rHtuYXfwEefvWSuUJjAjV49QTAYKRHi8Jb3vFTblsPO7/s345/23_06_escaleira.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="335" data-original-width="345" height="116" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQuDUgshHAwelktt0IJVStFSFYs8IPvvdmLi9SN1564sZNcEXxUdES5U1W0W4uPCNfxpxcVS9UQk-pB_JNrEWd3aN-0LYHsXuS1DpLbKyz4vWhkEoegJMEsFYMNcCRTs8yXDuW7oatM1B4cNq-rHtuYXfwEefvWSuUJjAjV49QTAYKRHi8Jb3vFTblsPO7/w120-h116/23_06_escaleira.png" width="120" /></a></div>Nesta figura temos representada a suma $1+2+3+4$. Volvamos a aplicar o mesmo procedemento, dupliquemos a figura e rotémola 180º, temos...<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguz1ihY3dKZ7obq8yejV7FjqEwghAfT5JEvg9rdOPqARhFatRxqQhi9nleVAb9JoqL2Jztzty3ct_U1ukwIgc96Xkr4NFdIlkBD3prum2cRkCb1_AACc7Jm9-kDx9ktAwdeN0Exnku5nTt3oScJZMje_V-nSqxeTl9Z8BG-63wDBpr7C-Zoe4-H_kxzxiy/s450/23_06_escaleira_dobre.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="450" data-original-width="379" height="151" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguz1ihY3dKZ7obq8yejV7FjqEwghAfT5JEvg9rdOPqARhFatRxqQhi9nleVAb9JoqL2Jztzty3ct_U1ukwIgc96Xkr4NFdIlkBD3prum2cRkCb1_AACc7Jm9-kDx9ktAwdeN0Exnku5nTt3oScJZMje_V-nSqxeTl9Z8BG-63wDBpr7C-Zoe4-H_kxzxiy/w128-h151/23_06_escaleira_dobre.png" width="128" /></a></div>... un rectángulo de área $4\cdot5=20$ de aí que a suma buscada sexa, coma antes, 10.<div>En que circunstancias temos que sumar desde 1 ata un determinado número? Velaquí un problema que responde a esta cuestión</div><div><span style="color: #666666;"><blockquote><b>Problema.</b> Determina o número de diagonais dun octógono</blockquote></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNSWlxATlFCHXMtsJhBRUAqX31ytJNFi4l9TK0T2WaXnlXzbH2vTwgSxEO5sRE9PmZZPG7RNSVN4yIg_goPeCgEFJa4Tnwz6kCvonR1J-6oAuQepVjcT_4lcDVxZIkDQN7x9fEUSqgqmbusg7JL4JRzcl9EjkZhlcdGnD6dheybrI4lSqxoTMhfsE-UIVj/s476/23_06_todas_as_diagonais.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="326" data-original-width="476" height="147" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNSWlxATlFCHXMtsJhBRUAqX31ytJNFi4l9TK0T2WaXnlXzbH2vTwgSxEO5sRE9PmZZPG7RNSVN4yIg_goPeCgEFJa4Tnwz6kCvonR1J-6oAuQepVjcT_4lcDVxZIkDQN7x9fEUSqgqmbusg7JL4JRzcl9EjkZhlcdGnD6dheybrI4lSqxoTMhfsE-UIVj/w214-h147/23_06_todas_as_diagonais.png" width="214" /></a></div><div>Unha boa maneira de abordalo é considerar unicamente os vértices do octógono e comezar a trazar todos os segmentos posibles entre eles. Se conseguimos facelo ao final só teriamos que restarlle os 8 lados do octógono. Comecemos polo vértice $1$, desde el podemos trazar sete segmentos ata os outros sete puntos; se continuamos co vértice $2$ veremos que agora xa só temos seis vértices aos que conectar con algún segmento</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuKxoxQQQwGInJBE5Z06C-Shiz_XTpq2_oA6hIa1580XjeId-GFW_oHHHVMQgamU5yLYG4q9jdWD2tywokO--y9qqrswUpuX2-D0fAFmVc0L_y9PpwZzW--A5flIep5XQ4QFngNMuZzcdAnPW5TZhiAbCG2rULecRPyfDmK3FqGVUrnPPdLosRBYIhg25B/s486/23_06_algunhas_diagonais.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="322" data-original-width="486" height="158" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuKxoxQQQwGInJBE5Z06C-Shiz_XTpq2_oA6hIa1580XjeId-GFW_oHHHVMQgamU5yLYG4q9jdWD2tywokO--y9qqrswUpuX2-D0fAFmVc0L_y9PpwZzW--A5flIep5XQ4QFngNMuZzcdAnPW5TZhiAbCG2rULecRPyfDmK3FqGVUrnPPdLosRBYIhg25B/w238-h158/23_06_algunhas_diagonais.png" width="238" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">De continuarmos así, é evidente que o número total de segmentos que podemos trazar entre eses 8 puntos é $1+2+3+4+5+6+7=28$ polo que o número de diagonais serían $28-8=20$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ao decatármonos de que cada segmento une dous puntos, veremos que estamos tratando co problema de como escoller dous elementos de entre 8. A este tipo de recontos chámaselle combinacións. Todas as posibles combinacións de dous elementos escollidos dentro dun conxunto de 8 pódense enumerar sistematicamente </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$$\begin{matrix} & & & & & &12 \\ & & & & &23 &13 \\ & & & &34 &24 & 14\\ & & &45 &35 & 25 &15 \\ & & 56 &46 & 36 &26 &16 \\ &67 & 57 &47 & 37 &27 &17 \\ 78 &68 & 58 &48 &38 &28 &18 \end{matrix}$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Cantas parellas vemos? Contando de esquerda a dereita $1+2+3+4+5+6+7$, ademais esta disposición forma unha escaleira, como a que repesentamos antes. Tamén poderiamos argumentar que cada un dos elementos pode emparellarse cos outros sete, co cal teriamos $8\cdot7$ parellas pero aparecerían duplicadas, de aí que o resultado teremos que dividilo por dous. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Vemos repetido, unha e outra vez o mesmo argumento e en distintos contextos. Velaquí a condensación de todo o que estivemos estudando</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$$1+2+3+...+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ademais, en todo este proceso aprendimos que é moito mellor deixar esta fórmula para o final. Así é como se aprenden, e como se deberían ensinar, as matemáticas. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A luz inúndao todo. (<a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/07/duas-fendas-de-luz-o-libro-de-rozsa.html">Continuará</a>)</div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-82601497981444360512023-06-19T10:10:00.004+02:002023-06-19T10:10:00.136+02:00Algoritmo do produto do século XVI<p>Esta pretende ser a última entrada adicada ao <i>Sumario Compendioso</i> de Juan Díez, que foi identificado polo matemático e historiador David E. Smith como de orixe galega. Pódense seguir aquí todas as publicacións sobre este tema neste blogue:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/05/juan-diez-quizais-o-primeiro-matematico.html">Juan Díez, quizais o primeiro matemático galego</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/05/os-problemas-alxebricos-do-sumario.html">Os problemas alxébricos do "Sumario Compendioso" de Juan Díez</a></li><li><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/06/cuestions-diofantinas-do-sumario.html">Cuestións diofantinas do "Sumario Compendioso" de Juan Díez</a></li></ul><p></p><p>Unha das "Regras comúns" que se explican nese libro é a adicada ao algortimo da multiplicación. Estamos moi afeitos a realizar os produtos tal e como aprendimos na escola e o habitual é que non nos cuestionemos esa serie de regras. Juan Díez explica como facer o produto de dous números. Faino recorrendo a un exemplo, o de $875\cdot 978$. O método consiste en ir multiplicando, de esquerda a dereita, cada unha das cifras do primeiro número, $875$, por todas e cada unha das cifras do segundo número, $978$. Iremos colocando os resultados de cada un destes produtos en columnas, correndo un lugar á dereita de cada vez. Isto é lóxico debido á notación posicional que usamos. Finalmente realizaremos a suma de todos os resultados. O mellor é ver en acción como se realiza este produto.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNUZgAZCoOPKmJnMPSFyYlTSLISUYs-hdijqCMhaljcPwXZ6AYxBsxjxVx1KrWR9ufl_VAmVtAi1FF1HOCU3hmWOPu7V7_386McRCO435kWrbKwWmqGJLXOz_Hs9ZKalYll8CaicFqTHhQ9pvQxrtCxsLlMieah9gbwTXFLLEnxJXXfqkgHG8bNPxlBA/s719/sumario_compendioso_produto3.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="406" data-original-width="719" height="278" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNUZgAZCoOPKmJnMPSFyYlTSLISUYs-hdijqCMhaljcPwXZ6AYxBsxjxVx1KrWR9ufl_VAmVtAi1FF1HOCU3hmWOPu7V7_386McRCO435kWrbKwWmqGJLXOz_Hs9ZKalYll8CaicFqTHhQ9pvQxrtCxsLlMieah9gbwTXFLLEnxJXXfqkgHG8bNPxlBA/w492-h278/sumario_compendioso_produto3.gif" width="492" /></a></div><br /><p>Hai que ter coidado cun aspecto que non está tratado neste exemplo. Pode darse o caso que un dos produtos parciais sexa de só unha cifra. Neste suposto debemos colocar o resultado como se tivese dúas. Por exemplo se un produto fose $2\cdot3=6$, para colocar ese $6$ obraríamos como se fose $06$.</p><p>Despois de visto este algoritmo, parecería máis lóxico que fose este o que se ensinara nas aulas de primaria pois permite unha xustificación máis clara do algoritmo.</p>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-75475560978985083442023-06-13T10:10:00.009+02:002023-06-13T10:10:00.141+02:00Cuestións diofantinas do "Sumario Compendioso" de Juan Díez<p>Tal e como prometera <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/05/juan-diez-quizais-o-primeiro-matematico.html">na primeira entrada adicada ao <i>Sumario Compendioso</i> de Juan Díez</a>, vou continuar debullando algúns aspectos dese libro. Neste caso abórdanse as páxinas tituladas <i>Cadrados</i>, que tratan sobre problemas diofantinos.</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><p><span style="color: #999999;"><b>Primeira cuestión.</b> Dáme un número que xuntándolle 15 faga un cadrado e restándolle 4 tamén sexa cadrado.</span></p><p><span style="color: #999999;">Regra. Suma 15 e 4, son 19. Engádelle 1, son 20. Toma a metade, que é 10. O seu cadrado, 10 veces 10 son 100. Disto resta 15 que son 85, e este é o número demandado do cal resta 4, que dá 81, cuxa raíz é 9.</span></p></blockquote><p><span style="color: #999999;"></span></p><p>No <i>Liber quadratorum</i> de Leonardo de Pisa, a segunda proposición di que calquera cadrado excede ao inmediatamente anterior na suma das súas raíces. En efecto, $n^{}-\left ( n-1 \right )^{2}=2n-1=\left ( n-1 \right )+n$.</p><p>Se aplicamos este resultado á primeira cuestión, temos que buscar un número intermedio entre dous cadrados consecutivos que diste 15 e 4 dos mesmos. A suma das distancias será a diferenza dos cadrados: $15+4=9=2n-1$. Se, como di Juan Díez, lle engadimos 1, obtemos $2n$.</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><p><span style="color: #999999;"><b>Segunda cuestión.</b> Dáme un número que xuntándolle 8 sexa cadrado e restándolle 8 fique cadrado. En maior cantidade dáme un número que xuntándolle 20 sexa un cadrado e restándolle 20 fique cadrado.</span></p><p><span style="color: #999999;">Regra. Toma a metade de 8, que é 4. Eleva ao cadrado, é 16, xúntalle 1, é 17 e este é o número demandado.[...] Toma a metade de 20, que é 10. Eleva ao cadrado, é 100, xúntalle 1 e fai 101 e este é o número demandado.</span></p></blockquote><p><span style="color: #999999;"></span></p><p>Os cadrados son $17-8=9=3^{2}$ e $17+8=25=5^{2}$ no primeiro caso e $101-20=81=9^{2}$ e $101+20=11^{2}$ no segundo. Nos dous os cadrados son da forma $\left ( n-1 \right )^{2}$ e $\left ( n+1 \right )^{2}$, de aí que a solución veña dada pola media $$x=\frac{\left ( n-1 \right )^{2}+\left ( n+1 \right )^{2}}{2}=n^{2}+1$$ Se lle chamamos $d$ á distancia entre o número buscado e calquera dos cadrados $\left ( n-1 \right )^{2}+2d=\left ( n+1 \right )^{2}$, de aí que $n=n=\frac{d}{2}$ e, polo tanto $x=\left ( \frac{d}{2} \right )^{2}+1$, que é a regra que dá Juan Díez.</p><div><span style="color: #999999;"><blockquote><b>Terceira cuestión.</b> Unha persoa ten dúas cordas moi boas, danlle por elas 8 pesos, non as quere dar. Vén outro a compralas por varas de forma que por cada vara lle dá tantos tomíns como varas teña a corda. Despois de botar contas observa que este non lle dá máis que o primeiro. Demando cantas varas tiña cada corda.</blockquote></span></div><div>David Eugene Smith explica a solución que se dá no Sumario compendioso da seguinte maneira. Sexan $x$, $y$, as lonxitudes (que neste problema son iguais aos prezos) de cada unha das cordas. Tendo en conta que 8 tomíns equivalen a un peso, o que se paga por elas son 64 tomíns. Se damos todos os valores en tomíns, o prezo das dúas cordas será $x^{2}+y^{2}=64=8^{2}$. Entón Díez emprega un método que non aceptariamos hoxe. Partindo de que $3^{2}+4^{2}=5^{2}$. aplica unha regra de 3 (!) entre estas expresións obtendo $\frac{x}{3}=\frac{8}{5}$, de aí que $x=4\frac{4}{5}$ e despois $y=64\frac{2}{5}$</div><div><br /></div><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Cuarta cuestión. </b>Se che fose pedida esta cuestión: dáme un cadrado tal que restándolle unha certa candidade fique un cadrado e engadíndolla sexa tamén cadrado.</span></blockquote><p></p><p>Lembremos que este é esencialmente <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/04/un-problema-que-deu-lugar-un-libro.html">o problema que Xoán de Palermo lle propuxo a Leonardo de Pisa</a> e que sería o que daría lugar a que este escribira o <i>Liber quadratorum. </i>Do que se trata é de achar tres cadrados en progresión xeométrica. Na ligazón vese como o resolveu Fibonacci, a partir da definición dos <i>congruum</i> e os números congruentes con eles. Juan Díez dá un listrado destes valores e resolve o problema a partir deles. Aquí volvemos a ver a un Juan Díez coñecedor da terminoloxía e dos estudos dos cadrados feitos por Leonardo de Pisa.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOd1vQW3Kx0m21muex-QSpjd6JSLjbUZ-6kD_iMbCZ_eSa-aFAJApvj5a6sdX3hgdI9vKMe4ZadCzJImHTJtGCfJs9UqrziErGdW2bGX8mYTf9VvoVrbT4SsTCbad8T0QTkm8pXqgZljDTVoN7Ag0rzmll-P3ztCmYUl-AGH9Q5P8ncCLcbauOfzhP3A/s596/23_04_congruum_sumario.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="509" data-original-width="596" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOd1vQW3Kx0m21muex-QSpjd6JSLjbUZ-6kD_iMbCZ_eSa-aFAJApvj5a6sdX3hgdI9vKMe4ZadCzJImHTJtGCfJs9UqrziErGdW2bGX8mYTf9VvoVrbT4SsTCbad8T0QTkm8pXqgZljDTVoN7Ag0rzmll-P3ztCmYUl-AGH9Q5P8ncCLcbauOfzhP3A/w347-h296/23_04_congruum_sumario.png" width="347" /></a></div><br /><p>Se aos congruos lle sumamos e restamos os congruentes, obtemos a terna de cadrados en progresión aritmética. No primeiro caso $25-24=1$, $25-24=49$. Resulta que $(1=1^{2},25=5^{2},49=7^{2})$ é unha das ternas buscadas. No segundo caso $100-96=4$ e $100+96=196$. Outra terna de cadrados en progresión xeométrica será $(4=2^{2},100=10^{2},196=14^{2})$</p><p>Curiosamente, así como podemos dar moitos exemplos de tres cadrados en progresión aritmética non é posible achar catro cadrados en progresión aritmética. Parece ser que Fermat estableceu este resultado nunha carta a Frenicle en 1640 pero que, como era o seu costume, non ofreceu ningunha demostración. Euler había de daría un resultado que levaría directamente á demostración, pero ata ben entrado o século XX non se ten coñecemento de que ninguén se volvera a preocupar deste teorema co fin de ofrecer unha demostración explícita. </p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Quinta cuestión. </b>Achar tres cadrados ou máis tales que sumados fagan un cadrado.</span></blockquote><p></p><p><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/04/un-par-de-problemas-do-liber-quadratorum.html">Nesta outra entrada</a> explicamos como Fibonacci podía dar unha suma de $n$ cadrados que fose tamén un cadrado. Para is0 non tiña máis que aplicar recursivamente esta identidade para calqura número impar $x$: $$x^{2}=\left (\frac{x^{2}+1}{2} \right )^{2}-\left (\frac{x^{2}-1}{2} \right )^{2}$$</p><p>A resposta de Juan Díez é a mesma que a que acabamos de indicar, polo que volvemos a ver que coñecía os tópicos matemáticos desa altura.</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;">Tomo o primeiro número cadrado impar, que é 9, ao cal resta un, quedan 8, toma a metade e cádrao, son 16 e isto é o segundo, axunta 9 e 16, son 25, [e agora repite o proceso], quita un, quedan 24, toma a metade, é 12, cádrao, son 144 e este é o terceiro. Se o queres ver suma 9 e 16 e 144, son 169, raíz dos cales é 13: e nota que por esta vía poderalo facer in infinitum.</span></blockquote><p></p><p>O seguinte problema está relacionado con este.</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Sexta cuestión.</b> Digo que me deas un cadrado que quitándolle ou xuntándolle tres veces a súa raíz fagan un número cadrado.</span></blockquote><p></p><p>Para resolvelo Díez aproveita a súa lista de números congruos. De feito el usa o primeiro da lista, aquel que nos dá $25-24=1$ e $25+24=49$. Teñamos presente que $24=3\cdot 8$, de aí que $5^{2}-3\cdot 8=1^{2}$. O problema estaría resolto se nesta igualdade, no canto dun $5^{2}$ tivese un $8^{2}$. Para aproveitar este feito multiplico a igualdade por $\frac{5^{2}}{8^{2}}$:</p><p>$$\frac{5^{2}}{8^{2}}\cdot 5^{2}-3\cdot 8\cdot \frac{5^{2}}{8^{2}}=\frac{5^{2}}{8^{2}}$$</p><p>$$\left (\frac{25}{8} \right )^{2}-3\cdot \frac{25}{8}=\left ( \frac{5}{8} \right )^{2}$$</p><p>De aí que $\frac{25}{8}$ sexa a solución do problema proposto que se dá no <i>Sumario Compendioso.</i></p><p>Os dous últimos problemas teñen unha redacción moi parecida. Por iso xa os damos xuntos.</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><p><span style="color: #999999;"><b>Sétima cuestión.</b> Anota isto, o cadrado de 2 é 4, o cadrado de 3 é 9, e a súa suma fai 13. Dáme outros dous números que non sexan nin 2 nin 3, tal que a suma dos seus cadrados sexa 13.</span></p><p><span style="color: #999999;"><b>Oitava cuestión.</b> O cadrado de 3 é 9, o cadrado de 4 é 16, e sumados, 25. Dáme outros números que non sexan nin 3 nin 4, tal que a suma dos seus cadrados sexa 25.</span></p></blockquote><p><span style="color: #999999;"></span></p><p>Está claro que as solucións terán que ser racionais.... e como a lonxitude a entrada xa vai sendo suficente, deixamos o comentario neste punto.</p>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-11667651090336666452023-05-25T10:10:00.003+02:002023-06-07T19:04:58.562+02:00A Consellaría de Educación elimina 169 unidades didácticas de Matemáticas en galego<p><a href="https://twitter.com/cartaxeometrica/status/1659857696357601280">Hai pouco recordabamos unha funesta efeméride</a>, o 20/05/2023 o decreto de prohibición do galego no ensino non universitario cumpría 13 anos. A pesar de todo moitos profesores continuamos a traballar na docencia en galego. A punta do iceberg desta resistencia podíase ver no <a href="https://recursos.edu.xunta.gal/">repositorio de contidos educativos da Consellaría de Educación</a>. Facéndolle fronte ás prohibicións supremacistas moitos profesores continuaron elaborando materiais en galego de materias sobre as que, increíblemente, pesa a prohibición de traballalas en lingua galega, non así en inglés. Estámonos a referir ás materias científicas no ensino non universitario, e máis especificamente <a href="https://sites.google.com/view/retallos-de-matematicas/inicio?authuser=0">ás Matemáticas.</a></p><p>A Consellaría de Educación non debía estar moi contenta con esta mostra de resistencia, así que, aproveitando unha reestruturación do repositorio de materiais didácticos, dá un paso máis na súa aniquilación da lingua galega. Así, silandeiramente, eliminou do seu portal todas as unidades didácticas de ciencias en galego que se compartían no citado repositorio. No caso das Matemáticas só deixou unha en pé que contén material para a materia de Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais II:</p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://recursos.edu.xunta.gal/recurso/mostraxe-e-estimacion" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Mostraxe e estimación</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> (Abalar) </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span></p></li></ul><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><br /></span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiarYuO3Av1xs2Sqp1JIAcNmeC4nO83KEnJaNhxg_3rxwG5itJIDmh2dHFlLOT7FNOM0Q4EXEMEpoYqjJ3A0RaPtz-MUYKw-9aKQDcSNsPzsyXrd644r8vxGlrgGOtJ8oaVyFxqn5MrY3QQ7VA_xDqtM2bfQOAfmwBFKdv1UQ26XbLxppIjnJ4RW7eu7Q/s638/edad.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="357" data-original-width="638" height="179" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiarYuO3Av1xs2Sqp1JIAcNmeC4nO83KEnJaNhxg_3rxwG5itJIDmh2dHFlLOT7FNOM0Q4EXEMEpoYqjJ3A0RaPtz-MUYKw-9aKQDcSNsPzsyXrd644r8vxGlrgGOtJ8oaVyFxqn5MrY3QQ7VA_xDqtM2bfQOAfmwBFKdv1UQ26XbLxppIjnJ4RW7eu7Q/s320/edad.png" width="320" /></a></div><br />Aínda bo é que, por depender dun organismo non gubernamental, podemos usar e consultar as <a href="https://proyectodescartes.org/EDAD/mat_galego_LOMCE.htm">60 unidades didácticas do Proxecto EDAD</a> para as Matemáticas da ESO. É unha vergoña que o pobo galego teña que recurrir a organismos externos á Administración para poder acceder a material educativo en galego. </span></span></div><p>Como mostra da desfeita operada pola Consellaría de Educación vou dar a lista das 169 unidades didácticas de Matemáticas eliminadas das que eu tivera coñecemento (pode haber máis). Comezo polas que acabo de nomear, as do<a href="https://proyectodescartes.org/EDAD/mat_galego_LOMCE.htm"> Proxecto EDAD</a>, ás que anteriormente si se podía acceder desde o repositorio da Consellaría de Educación. Continúo co seguinte listado que é un recoñecemento a todas estas persoas que se nomean e traballaron por mellorar a educación galega mais tamén é unha lista da vergoña que bate nos fuciños deses inimigos da lingua galega que para oprobio da sociedade que gobernan aínda sentan nas caderias da Xunta.</p><p><b>Infantil</b></p><p><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xogamos-cos-numeros" style="box-sizing: border-box; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px; font-variant-ligatures: none; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Xogamos cos números</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px; font-variant-ligatures: none;"> de Vanesa Sobrino Busto </span><span style="background-color: cyan; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p><b><br /></b></p><p><b>1º de Primaria</b></p><p><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xogo-matematico-para-o-1o-ciclo-de-ep" style="box-sizing: border-box; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px; font-variant-ligatures: none; outline: 0px; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Xogo matemático para o 1º Ciclo de EP</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px; font-variant-ligatures: none;"> de Fran Macías, Felo Couto e Xosé Antón Vicente </span><span style="background-color: cyan; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p><b><br /></b></p><p><b>2º de Primaria</b></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.qlwd8hgiu7qh" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/taboas-de-multiplicar" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">As táboas de multiplicar</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Xosé Antón Vicente Rodríguez (coa aplicación Fórmula20 de Fran Macías) </span><span style="background-color: cyan;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.mtk7qhpo4bi1" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xogo-matematico-para-o-1o-ciclo-da-eso" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Xogo matemático para o 1º Ciclo da ESO</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Fran Macías, Felo Couto e Xosé Antón Vicente </span><span style="background-color: cyan;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p><b><br /></b></p><p><b>3º de Primaria</b></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/problematicos" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Problemáticos</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> realizada por Xosé Antón Vicente Rodríguez </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span style="background-color: cyan;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.l1cia18uzvuc" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/de-luns-domingo" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">De luns a domingo</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Ana Isabel Álvarez Vázquez </span><span style="background-color: cyan;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.txq6u44t85q9" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/produto-cartesiano" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Produto cartesiano</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Fran Macías, Felo Couto e Xosé Antón Vicente </span><span style="background-color: cyan;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p><b><br /></b></p><p><b>4º de Primaria</b></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.sa9bkyt2ag51" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/os-numeros-romanos" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Os números romanos</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> realizada por José Carlos Sever Valverde </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.5mb9uwh4vuk7" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/webquest-unha-tarde-divertida" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Webquest: Unha tarde divertida</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Mª del Mar Lorenzo Núñez </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.5gf1q3q5dyx0" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/os-euros" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Os euros</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Olimpia Alcaraz Ladrero </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.cvnrih3zko0c" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/eurobingo" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Eurobingo</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Toni Miquel Moyá </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.ef9c5nusj9c" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.lulu.com/shop/lourdes-porto-porto-and-natalia-gonz%C3%A1lez-varela-and-patricia-del-r%C3%ADo-iglesias/a-cultura-maia-aplicada-na-aula-para-a-%C3%A1rea-de-matem%C3%A1ticas/paperback/product-145py65w.html?page=1&pageSize=4" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">A cultura maia aplicada na aula na área de matemática</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">s, Patricia del Río Iglesias e Natalia González Varela, Lulu 2009 </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p><b><br /></b></p><p><b>5º de Primaria</b></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/medidas-de-capacidade" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Medidas de capacidade</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> realizada por Concepción Arias Neira </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px; outline: none; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/brisca" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">A brisca</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> realizada por Xosé Antón Vicente Rodríguez </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.6sa7il7ybk3y" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/criba-de-eratostenes-ou-como-atopar-numeros-primos" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">A criba de Eratóstenes ou como atopar números primos.</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Javier Rodríguez Fernández, Tradución: Xosé Antón Vicente Rodríguez </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.r7pe7pthtkr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/oca-matematica" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">A oca matemática</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Toni Miquel Mollà, Tradución: Xosé Antón Vicente Rodríguez </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.hvetqoeg9eon" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/encrucillados-de-calculo-mental" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Encrucillados de cálculo mental</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Toni Miquel Mollà, Tradución: Xosé Antón Vicente </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.1ezzocn6tpj0" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/o-algoritmo-da-division" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">O algoritmo da división</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Ferran Estruch Mascarell, Tradución: Xosé Antón Vicente Rodríguez </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.ng61i8u4omyp" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/pesa-pensando" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Pesa Pensando</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Toni Miquel Mollà, Tradución:Xosé Antón Vicente Rodríguez </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.oxaolj5qdml" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/aventuras-matematicas" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Aventuras matemáticas</span></a><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">de Xosé Antón Vicente Rodríguez </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.vjzjigkpocyl" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/actividades-de-matematicas-para-pdi" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Actividades de matemáticas para a PDI</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Manuel Rico Taboada </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.1s659jss4ux2" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/entrenamento-mental" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Entrenamento mental</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Xosé Antón Vicente Rodríguez (coa aplicación Brincaletras de Fran Macías) </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.2xv5ah164xts" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xerador-de-operacions-matematicas-online-numeros-naturais" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Xerador de operacións matemáticas online (números naturais)</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Fran Macías Puente </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.v5o8icvql8xk" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/bingo-matematico" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Bingo matemático</span></a><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">de Toni Miquel Moyá </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.x56z0g6rvrsn" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xeroglificos-matematicos" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Xeroglíficos matemáticos</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Toni Miquel Mollà </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.qugf33d21brl" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/tipos-de-sucesos-aleatorios-moi-probable-igual-de-probable-ou-pouco-probable" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Tipos de sucesos aleatorios: moi probable, igual de probable ou pouco probable</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.p6pgu69l1ao9" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xogos-de-azar" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Xogos de azar</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.a82xph6xjn02" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/tobor" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Tobor</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.u786sv2whoes" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xeoclic" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">XeoClic</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Jaume Bartrolí Brugués, Tradución: Benedicto García Villar </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.pjiry5gw73xt" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0pt 0px; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/loga" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Loga</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> de Francisco Javier Macías Puente </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px; outline: none; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">U. D. realizadas por Francisco Sánchez Sánchez e Nuria Garabal González </span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.1f99k0ug0xvx" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-2-ruta-das-rias-baiona-vigo-e-pontevedra" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 2: Ruta das Rías. Baiona, Vigo e Pontevedra</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.tcg9gg7lkd3z" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-3-ruta-do-salnes-e-barbanza-vilagarcia-cambados-e" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 3: Ruta do Salnés e Barbanza. Vilagarcía, Cambados e Corrubedo</span></a><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.6xewtf1aokxc" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-4-costa-da-morte" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 4: Costa da Morte</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.ahtch9xlx7j2" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-5-ruta-corunesa-coruna" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 5: Ruta coruñesa: A Coruña</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.1ytdjp5tkjfr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-6-ruta-dos-mexillons-betanzos-pontedeume-e-ares" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 6: Ruta dos mexillóns: Betanzos, Pontedeume e Ares</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.h8cogzz19b47" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-7-ruta-da-marina-lucense-viveiro-e-ribadeo" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 7: Ruta da Mariña Lucense: Viveiro e Ribadeo</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.vbqpo7yi6jnd" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-8-ruta-da-terra-cha-mondonedo-lugo-e-portomarin" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 8: Ruta da Terra Chá: Mondonedo, Lugo e Portomarín</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.i7590oz8gq9u" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-9-ruta-da-ribeira-sacra-canons-do-sil" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 9: Ruta da Ribeira Sacra: Cañóns do Sil</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.919g97yz50rl" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-10-ruta-de-valdeorras-o-barco" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 10: Ruta de Valdeorras: O Barco</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.b84wwvadioou" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-11-ruta-do-triangulo-maxico-do-entroido-laza-verin-xinzo" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 11: Ruta do Triángulo máxico do Entroido: Laza, Verín, Xinzo</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.aer9ciehehes" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-12-ruta-ouresa-allariz-ourense-e-ribadavia" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 12: Ruta Ouresá: Allariz, Ourense e Ribadavia</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" id="h.5mj9rctvyosj" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/galiza-express-ruta-13-ruta-de-mondariz-mondariz" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">GaLiZa ExPréSS. Ruta 13: Ruta de Mondariz: Mondariz</span></a><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"><br /></span></li></ul><p><b><br /></b></p><p><b>6º de Primaria</b></p><p><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xerador-de-operacions-matematicas-online-numeros-decimais-0" style="box-sizing: border-box; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px; font-variant-ligatures: none; outline: 0px; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; text-decoration-line: underline; vertical-align: baseline;">Xerador de operacións matemáticas online (números decimais)</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px; font-variant-ligatures: none;"> de Fran Macías Puente </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p><span style="background-color: white;"><b><br /></b></span></p><p><span style="background-color: white;"><b>1º da ESO</b></span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">6 U.D. para 1º da ESO sobre xeometría elaboradas por Pila García Agra</span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/es/espazo/repositorio/cont/xeometria-plana-no-mobiliario-urbano-aula-virtual" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Xeometría plana no mobiliario urbano (aula virtual)</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/es/espazo/repositorio/cont/areas-e-perimetros" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Áreas e perímetros</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/es/espazo/repositorio/cont/circunferencia-e-circulo" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Circunferencia e círculo</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/es/espazo/repositorio/cont/triangulos-2" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Triángulos</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/es/espazo/repositorio/cont/poligonos-0" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Polígonos </span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/es/espazo/repositorio/cont/xeometria-plana-no-mobiliario-urbano" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Xeometría plana no mobiliario urbano</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">1 U.D. de X. Paulo Rendo Martínez e M. Sonia Fernández Casal</span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/funcions-1o-eso" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Funcións</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p><span style="background-color: white;"><br /></span></p><p><span style="background-color: white;"><b>2º da ESO</b></span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">Aula virtual para a resolución de problemas, elaborada por Avelino Igleisas Fernández</span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.gal/centros/espazoAbalar/aulavirtual/course/view.php?id=28" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Os problemas: o motor das matemáticas</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px; outline: none; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">6 U.D. de Teresa Otero Suárez e Alicia Pedreiro Mengotti </span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/es/espazo/repositorio/cont/poligonos" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Polígonos</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/es/espazo/repositorio/cont/puntos-e-rectas-notables" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Puntos e rectas notables</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/puzzles-matematicos" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Puzzles matemáticos</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/semellanza-teorema-de-thales" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Semellanza. Teorema de Tales</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/teorema-de-pitagoras-0" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Teorema de Pitágoras</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/triangulos-1" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Triángulos</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px; outline: none; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">Un portal para a xeometría de 2º de José Ramón Navares Rodríguez e Miguel Ángel Álvarez García</span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/es/espazo/repositorio/cont/aprende-xeometria" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Aprende xeometría</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">1 U.D. de Milagros Diéguez Taboada</span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/estatistica-por-proxectos" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">A estatística por proxectos</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-left: 0pt; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">1 U.D. de X. Paulo Rendo Martínez e M. Sonia Fernández Casal</span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/funcions-2o-eso" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Funcións</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p><b><br /></b></p><p><b>3º da ESO</b></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit; text-indent: 0pt;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">2</span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> U.D. de X. Paulo Rendo Martínez e M. Sonia Fernández Casal mediante applets do Geogebra </span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/funcions-3o-eso-parte-i" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Funcións (parte I)</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/funcions-3o-eso-parte-ii" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Funcións (parte II)</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p><b>4º da ESO</b></p><p>Non teño constancia de ningunha, agás as noemadas do <a href="https://proyectodescartes.org/EDAD/mat_galego_LOMCE.htm">Proxecto EDAD</a></p><p><b><br /></b></p><p><b>1º de Bacharelato. Matemáticas I</b></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/matematicas-1o-de-bacharelato" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Matemáticas-1º bacharelato </span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">Aula Moodle do IES San Clemente </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px; outline: none; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">U. D. do IES San Clemente:</span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/os-numeros-reais" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Os números reais</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/polinomios-e-fraccions-alxebricas" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Polinomios e funcións alxébricas</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/ecuacions-inecuacions-e-sistemas" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Ecuacións, inecuacións e sistemas</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/trigonometria" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Trigonometría</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xeometria-vectorial-afin" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Xeometría vectorial afín</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xeometria-metrica" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Xeometría métrica</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/funcions" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Funcións</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/operacions-con-funcions-funcions-trancesdentais" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Operacións con funcións. Funcións trascendentes</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/limite-e-continuidade-dunha-funcion" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Límites e continuidade dunha función</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/derivada-dunha-funcion" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Derivada dunha función</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/aplicacions-da-derivada" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Aplicacións das derivadas</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/distribucions-de-probabilidade" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Distribucións de probabilidade</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/distribucions-estatisticas" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Distribucións estatísticas</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/distribucions-estatisticas-dobres" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Distribucións estatísticas dobres</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p><br /></p><p><b>1º de Bacharelato. Matemáticas Aplicadas ás CCSS I</b></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/matematicas-aplicadas-ciencias-sociais-1o-bacharelato" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Matemáticas Aplicadas ás CCSS- 1º bacharelato</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> Aula virtual Moodle do IES San Clemente </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px; outline: none; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">U. D. do IES San Clemente</span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/os-numeros-reais-0" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Os números reais</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/matematica-financiera" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Matemática financieira</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/funcions-elementais" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Funcións elementais</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/funcions-0" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Funcións</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/calculo-diferencial" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Cálculo diferencial</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/probabilidade" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Probabilidade</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/estatistica" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Estatística</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/regresion" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Regresión</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/variables-aleatorias" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Variables aleatorias</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p><br /></p><p><b>2º de Bacharelato. Matemáticas II</b></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/matematicas-2o-bacharelato" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Matemáticas- 2º bacharelato</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> Aula virtual Moodle do IES San Clemente</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px; outline: none; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">U. D. do IES San Clemente: </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/matrices" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Matrices</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/sistemas-de-ecuacions-lineais-0" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Sistemas de ecuacións lineares</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xeometria-afin-do-espazo" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Xeometría afín do espazo</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xeometria-metrica-do-espazo-i" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Xeometría métrica do espazo</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/xeometria-metrica-do-espazo-ii" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Xeometría do espazo II</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/continuidade" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Continuidade</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/calculo-diferencial-0" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Cálculo diferencial</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/graficas-e-funcions" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Gráficas e funcións</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/integral-definida" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Integral definida</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-bottom: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/calculo-de-primitivas" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Cálculo de primitivas</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><p><b><br /></b></p><p><b>2º de Bacharelato. Matemáticas Aplicadas ás CCSSII</b></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 0px; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/matematicas-aplicadas-ccss-2o-de-bacharelato" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Matemáticas Aplicadas ás CCSS</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> Aula virtual de Moodle do IES San Clemente </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-variant-ligatures: none; line-height: 1.6; margin: 15px 0px 0px; outline: none; position: relative; text-decoration-line: inherit;"><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;">U. D. do IES San Clemente</span></p><p><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 17.3333px; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal;"></span></p><ul class="n8H08c UVNKR" style="box-sizing: border-box; font-family: sans-serif; font-size: 16px; list-style-type: square; margin: 6px 0px 0px; padding: 0px;"><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 0px 0px 0px 15pt; outline: none; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/matrices-0" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Matrices</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/matrices-e-determinantes" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Matrices e determinantes</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/determinantes-sistemas-de-ecuacions" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Determinantes. Sistemas de ecuacións</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/metodo-de-gauss" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Método de Gauss</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/sistemas-de-ecuacions-lineais" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Sistemas de ecuacións lineares</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/programacion-lineal" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Programación linear</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/limite-continuidade-e-asintotas-dunha-funcion" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Límite, continuidade e asíntotas dunha función</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/derivadas-tecnicas-de-derivacion" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Técnicas de derivación</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/aplicacions-da-derivada-0" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Aplicacións da derivada</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/representacion-de-funcions" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Representación de funcións</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/integral" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">A integral</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/probabilidade-0" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Probabilidade</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/inferencia-estatistica-mostraxe-distribucions-mostrais" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Inferencia estatística. Mostraxe. Distribucións mostrais</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li><li class="zfr3Q TYR86d eD0Rn" dir="ltr" style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans"; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-variant-ligatures: none; font-weight: inherit; line-height: 0; margin: 6px 0px 0px 15pt; outline: none; position: relative; text-decoration: inherit;"><p class="zfr3Q CDt4Ke" dir="ltr" role="presentation" style="box-sizing: border-box; font-size: 13pt; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 0px 0pt; outline: none; padding-bottom: 0px; padding-left: 0pt; padding-top: 0px; position: relative; text-decoration: inherit; text-indent: 0pt;"><a class="XqQF9c" href="https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/espazo/repositorio/cont/inferencia-estatistica-intervalo-de-confianza-e-contraste-de-hipotese" style="box-sizing: border-box; pointer-events: all; text-decoration-line: none;" target="_blank"><span class="C9DxTc aw5Odc" color="inherit" style="box-sizing: border-box; text-decoration-line: underline;">Inferencia estatística. Intervalo de confianza e contraste de hipóteses</span></a><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box;"> </span><span class="C9DxTc" style="box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;"> </span><span class="C9DxTc" style="background-color: cyan; box-sizing: border-box; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-numeric: normal;">Eliminado pola Consellaría</span></p></li></ul><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><br /></span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><br /></span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><b>Na prensa</b></span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;">Teño que agradecer que a <a href="https://www.cig-ensino.gal/nova/cig-ensino-denuncia-o-borrado-de-materiais-didacticos-de-matematicas-en-galego-da-web-da-consellaria.html">CIG-ensino</a> recollera esta denuncia (06/06/2023). Isto fixo que o asunto aparecese en varios medios (e clamorosamente, noutros non)</span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><a href="https://www.nosdiario.gal/articulo/lingua/cig-ensino-denuncia-borrado-materiais-didacticos-matematicas-galego-da-web-da-xunta/20230606181224170412.html">Novo "ataque" da Xunta á lingua galega no ensino</a>, Nós Diario (06/06/2023)</span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><a href="https://praza.gal/ciencia-e-tecnoloxia/cig-ensino-denuncia-o-borrado-de-169-unidades-didacticas-de-matematicas-en-galego-da-web-da-consellaria">CIG-Ensino denuncia o borrado de 169 unidades didácticas de Matemáticas en galego da web da Consellaría,</a> Praza Pública (06/06/2023)</span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><a href="https://www.diariodepontevedra.es/articulo/galicia/cig-denuncia-que-xunta-volve-eleminar-contido-matematicas-galego/202306062050381256814.html">A CIG denuncia que a Xunta volve a eliminar contido de matemáticas en galego</a>. Diario de Pontevedra, (06/06/2023)</span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><a href="http://www.galiciaconfidencial.com/noticia/232701-denuncian-borrado-materiais-didacticos-matematicas-galego-web-xunta">Denuncian o "borrado" de materiais didácticos de Matemáticas en galego da web da Xunta, Galicia Confidencial</a>, (06/06/2023)</span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><br /></span></span></div><div><span style="color: #212121; font-family: Open Sans;"><span style="font-size: 17.3333px;"><br /></span></span></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-11150805372846114442023-05-15T10:10:00.002+02:002023-05-15T11:16:03.048+02:00Os problemas alxébricos do "Sumario Compendioso" de Juan Díez<p><b>Cuestións de arte maior, tocantes á álxebra</b></p><p>Este mesmo título é co que se abre o capítulo de 6 páxinas de contido alxébrico do <i>Sumario compendioso </i>de Juan Díez<i>.</i>(se non sabes do que estou falando, mira <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/05/juan-diez-quizais-o-primeiro-matematico.html">a entrada anterior</a>)<i> </i> Podemos enmarcar a redacción dentro da habitual na súa época. Estamos diante dunha álxebra retórica, que usa a terminoloxía propia dos tratados alxébricos do XVI. Ao que nós denominariamos<i> $x$</i>, a incógnita, Díez denomináa <i>cousa</i>, ao seu cadrado, <i>$x^{2}$</i>, chámalle <i>censo</i> e finalmente para referise a <i>$x^{3}$ </i>fala de <i>cubo</i>, neste último caso, tal e como o facemos tamén na actualidade.</p><p>O apartado alxébrico do<i> Sumario </i>está formado por 10 problemas coas súas respectivas solucións. De entre todos eles os máis interesantes son os dous primeiros. Estudémolos con algo de vagar.</p><p></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Primeira cuestión.</b> Acha un cadrado tal que restando del $15\frac{3}{4}$ quede a súa raíz.</span></blockquote><p></p><p>Hoxe estableceríamos a ecuación $x^{2}-15\frac{3}{4}=x$ que dá como solución (positiva) $x=4\frac{1}{2}$. Como se verá estamos utilizando a notación mixta para a escritura dos números aínda que non sexa habitual facelo por estas latitudes. Facémolo para respectar a forma orixinal en que viñan presentados estes números. Como o resolve Díez? Poderiamos recoller <a href="https://archive.org/details/sumariocompendio00dieziala/page/n9/mode/2up">a tradución de D. E. Smith</a>, pero prefiro dar unha versión máis próxima ao orixinal. A razón é que Smith, o que pretendía era presentar <i>o que fixera</i> Díez, e coa súa versión conseguía este obxectivo. Dar unha tradución máis literal por unha parte dificulta a lectura do texto pero por outra permite achegarnos á cuestión de <i>como</i> traballaba Díez e quizais nos dea algún indicio de <i>quen</i> era. Velaquí o comentario de Juan Díez á primeira cuestión:</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Regra.</b> Digo que o número sexa unha cousa, demediaa, é media cousa, multiplícaa por si mesma e fai $\frac{1}{4}$ de censo, xúntalle 15 e $\frac{3}{4}$, fai 16, cuxa raíz cadrada e máis o medio da cousa é raíz do número demandado.</span></blockquote><p></p><p>Nos libros de álxebra do XVI a resolución de ecuacións cadráticas clasificábase en varios casos para evitar o tratamento con números negativos. Por poñer un exemplo dun texto de certa importancia e da mesma época, no <i><a href="http://alfama.sim.ucm.es/dioscorides/consulta_libro.asp?ref=B22138456&idioma=0">Libro del Algebra en Artihmetica y Geometría</a> </i>(1567) de <a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Pedro_Nunes_(matem%C3%A1tico)">Pedro Nunes</a> (1502-1578) hai dous tipos e ecuacións: simples e compostas. As primeiras serían as ecuacións cuadráticas incompletas; </p><p>(i) $ax^{2}=bx$ censos iguais a cousa </p><p>(ii) $ax^{2}=c$ censos iguais a número </p><p>(iii) $bx=c$ cousas iguais a número </p><p>as segundas representarían os casos completos. En todos, os valores dos coeficientes son positivos.</p><p>(iv) $x^{2}+bx=c$ censos máis cousas iguais a números</p><p>(v) $x^{2}=bx+c$ censos iguais a cousas máis números </p><p>(vi) $x^{2}+c=bx$ censos máis números iguais a cousas</p><p>Así, para evitar os negativos, o primeiro problema alxébrico do <i>Sumario</i> presentaríase en notación actual como: $$x^{2}=x+15\frac{3}{4}$$que unha ecuación do tipo (v) e asúa solución: $$x=\frac{b}{2}+\sqrt{\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}+c}$$ que é compatible coa regra que nos dá Díez polo que dá a impresión de que coñecía o algoritmo que resolve esta clase de ecuacións. Non só iso, senón que se enxerga que para obter o exemplo partiu da resolución. Podémolo imaxinar razoando así: "como nesta debemos realizar unha raíz cadrada, presentaremos unha que teña solución enteira, de aí que o radicando deba ser un cadrado, por exemplo 16. Como ese cadrado se obtén sumando o número, <i>c</i>, co cadrado da metade da cousa, <i>$\left (\frac{b}{2} \right )^{2}$</i>, e se no problema só temos unha cousa, <i>b=1</i>, temos que <i>$\left (\frac{b}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}$</i>, polo que o número debe ser o que falta para completar 16, isto é, o número será<i>$15\frac{3}{4}$</i>. Se analizamos os outros nove problemas reforzarase a idea de que a elaboración dos problemas foi no estilo que acabamos de describir. </p><p>Chama a atención que no enunciado apareza un número negativo. Non é caso único. <a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Abraham/">Abraham bar Hiia</a> (ca. 1070-1136), tamén coñecido como Savasorda, presentou varias cuadráticas nas que aparecían restas. Isto dá indicio que máis que un avance, a aparición de negativos identifique unha característica retrógrada no sentido de que isto sería impensable dentro dun estudo sistemático do estilo de Pedro Nunes.</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Segunda cuestión.</b> Un home compra unha pasaxe nun barco e pregunta ao patrón que debe pagar. Respóndelle que non ten que pagar máis que os outros. Cando llo pregunta outra vez o patrón respóndelle que será o número de pesos que multiplicados por si mesmo e engadidos ao número dará 1260. Demando canto demanda o patrón.</span></blockquote><p></p><p>A resolución actual presentaríase así: $x^{2}+x=1260$, que é do tipo (iv) "censos máis cousas igual a números". Se escribimos a súa forma xeral, (iv) $x^{2}+bx=c$, a solución dada polos contemporáneos sería equivalente á fórmula $$x=-\frac{b}{2}+\sqrt{\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}+c}$$</p><p> No <i>Sumario</i> podemos ver como, efectivamente, segue este procedemento:</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;">Digo que a pasaxe sexa unha cousa de pesos, a metade é media cousa, cádraa, fai $\frac{1}{4}$ de censo, xúntao a 1260, fai 1260 e un cuarto. A raíz disto menos medio da cousa é o número demandado da pasaxe: reduce 1260 e $\frac{1}{4}$ a cuartos, son $\frac{5041}{4}$, a súa raíz é 71 medios, resta o medio da cousa que é medio, quedan 70 medios, que son 35 pesos, e tanto é o que demanda a pasaxe.</span></blockquote><p></p><p>É significativo que Juan Díez non trate o outro tipo das que Nunes chamaría ecuacións completas. No resto dos exercicios non aparecen ecuacións do tipo (vi). Tampouco veremos as simples dos tipos (i) e (iii). Digámolo doutro xeito, Díez non é sistemático. En en fecto, no resto dos problemas refirese esencialmente a ecuacións tipo (ii). De aí que o perfil do autor do <i>Sumario</i> se presente como dun home que coñecía a literatura matemática da época pero que non quixo presentar completa e ordenadamente os coñecementos alxébricos; preferiu centrarse en problemas tipo especial, procurando, iso si, ofrecer unha variedade orixinal de presentacións xogando coas proporcións ou os produtos de proporcións. Así nalgúns casos dá potencias superiores para incógnita.</p><p>Para certificar algunhas das afirmacións xa realizadas, daremos o enunciado do resto dos problemas xunto coa presentación e resolución en notación actual recollida do libro de Smith.</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><p><span style="color: #999999;"><span><b>Terceira cuestión.</b> Hai unha cantidade de cabras que multiplicando o seu </span><i>zenso</i><span> ($x^{2}$) por 4 dá 90000.</span></span></p></blockquote><p>$4x^{2}=9000; \quad x=150$</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Cuarta cuestión. </b>Un home que vai por un camiño pregunta a outro cantas leguas hai ata un certo lugar e o outro respóndelle que hai tantas leguas que se as multiplicas por si mesmas e divides o produto por cinco, o resultado será 80. Demándase o número de leguas.</span></blockquote><p></p><p>$\frac{1}{5}x^{2}=80; \quad x=20$</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Quinta cuestión.</b> Un home compra pezas de roupa de tal xeito que se multiplicando o triplo pola súa cuarta parte o produto será 48. Demando o número de prezas que comprou.</span></blockquote><p></p><p>$3x\cdot \frac{1}{4}x=48; \quad x=8$</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Sexta cuestión. </b>Un home ten eguas e vacas en quíntuple proporción [5 veces máis vacas que eguas]. Se calculas o cadrado das vacas e das eguas e sumas os resultados terás 1694. Demando o número de eguas e de vacas.</span></blockquote><p></p><p>$x^{2}+25x^{2}=1664; \quad x=8$</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Sétima cuestión.</b> Un home ten tres xoias en cuádruple proporción de valor de tal forma que o produto dos seus valores é 1748. Demando o valor de cada xoia.</span></blockquote><p></p><p>$x\cdot 4x\cdot 16x=1728; \quad x=3$</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Oitava cuestión.</b>Un home ten fillos e fillas en <i>altera</i> proporción de forma que a metade do produto dos fillos polas fillas é 162. Demándase o número de fillos e de fillas.</span></blockquote><p></p><p>Dous números están en <i>altera </i>proporción se o seu cociente é $\frac{3}{2}$.</p><p>$x\cdot \frac{3}{2}x\cdot \frac{1}{2}x=162; \quad x=6$</p><p><span style="color: #999999;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Novena cuestión.</b> Un home ten que facer dous pagos en cuádruple proporción de meses, de tal forma que o cadrado do primeiro polo cuádruplo, e levado ao cubo este produto resulta 32768. Demando cantos pagos debe facer.</span></blockquote><p></p><p>$\left ( x^{2}\cdot 4x \right )^{3}=32478;\quad x=2$</p><p><span style="color: #666666;"></span></p><blockquote><span style="color: #999999;"><b>Décima cuestión. </b>Un home ten dous fillos en <i>quarta </i>proporción de idade de xeito que multiplicando un cuarto da idade do máis novo por un quinto da idade do máis vello e cuadriplicando o resultado e do producido facendo a súa raíz e elevando ao cubo a metade do último dá 125 anos. Demando a idade que ten cada un.</span></blockquote><p></p><p>Dúas cantidades están en <i>quarta</i> proporción se a razón e é de $\frac{5}{4}$.</p><p>Tense que $\frac{x}{4}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{5x}{4}=\frac{x^{2}}{16}$, entón $4 \cdot \frac{x^{2}}{16}=\frac{x^{2}}{4}$ e de aí $\sqrt{\frac{x^{2}}{4}}=\frac{x}{2}$ polo que $\left ( \frac{x^{2}}{4} \right )^{3}=125;\quad x=20$</p>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-27378813286514705132023-05-08T10:10:00.012+02:002023-05-11T12:01:17.269+02:00Juan Díez, quizais o primeiro matemático galego<p><a href="https://praza.gal/opinion/foi-escrito-por-un-galego-o-primeiro-libro-de-matematicas-publicado-en-america-1556">Nun artigo moi revelador, Xosé A. Fraga Vázquez </a>daba conta da posibilidade de que o primeiro texto de matemáticas publicado en América fose da autoría dun galego, un tal Juan Díez. Para unha información máis amplia remítome ao artigo, con todo vou debullar parte do seu contido e intentarei ampliar o tema con algunha aportación de carácter máis matemático.</p><p>A nova chega a Galicia no ano 1922 nas páxinas do <i>Boletín da Real Academia Galega</i>, concretamente nos números <a href="https://2012.academia.gal/boletins#paxinas.do?id=1773&d-447263-p=2">143-144</a> e no <a href="https://2012.academia.gal/boletins#paxinas.do?id=1450">145</a>, baixo a sinatura de <a href="http://consellodacultura.gal/album-de-galicia/detalle.php?persoa=1375">David Fernández Diéguez</a> (1875-1936), catedrático de Matemáticas no Instituto Nacional da Coruña, o actual Eusebio da Guarda. As referencias consultadas por Fernández Diéguez son secundarias, pois veñen da <i>Revue des Questions Scientifiques</i>, de Lovaina, onde se dá conta doutro artigo que erróneamente atribúe ao número XXVII da <i>American Mathematical Monthly</i> (en realidade é do número XXVIII), escrito por <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/David_Eugene_Smith">David Eugene Smith</a> (1860-1944), da Universidade de Columbia, quen na altura, ano 1921, era pesidente da <a href="https://www.maa.org/">Mathematical Association of America</a>.<br /></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcBxX3Vs_bE8034EJwBXmmsp5EIv3NcM1ojCFwCBioi8IvPhP7d2BMysk1gUuU8tACCqBRvz3kPVSakINOa86ih457UIJogRdAdkF9HtAQnGZf9Apl3KnhDZmybgcpV8-qfmThIglsS7i4BfR9TClWjVQ-cnfGEfpBbDFupH2Fvhm4b50kuk0rM4q_yA/s769/23_03_sumario_Compendioso_portada.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="769" data-original-width="551" height="273" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcBxX3Vs_bE8034EJwBXmmsp5EIv3NcM1ojCFwCBioi8IvPhP7d2BMysk1gUuU8tACCqBRvz3kPVSakINOa86ih457UIJogRdAdkF9HtAQnGZf9Apl3KnhDZmybgcpV8-qfmThIglsS7i4BfR9TClWjVQ-cnfGEfpBbDFupH2Fvhm4b50kuk0rM4q_yA/w195-h273/23_03_sumario_Compendioso_portada.png" width="195" /></a></div><br />No artigo de Smith, <i><a href="https://www.jstor.org/stable/2974202?origin=JSTOR-pdf">O primeiro traballo de matemáticas impreso no Novo Mundo</a></i>, establécese que o <i>Sumario compendioso de las cuentas de plata y oro que en los reinos del Perú son necesarias a los mercaderes y todo género de tratantes. Con algunas reglas tocantes a la Arithmética</i>. "Fecho por Juan Díez, freyle.", editado en 1556 en México, foi a primeira publicación de matemáticas americana. Isto contradecía o que se supoñía ata aquel momento, que outorgaba o título de obra primixenia a unha publicada en Boston no 1729. Smith tamén afirma que "Juan Díez un natural da provincia española de Galicia, acompañante de Cortés na conquista de Nova España" era tamén editor de varios traballos, entre eles <i>Itinerario de la armada</i>, que describe a travesía das tropas españolas por terras mexicanas no 1518, que foi escrita por <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Juan_D%C3%ADaz_(capell%C3%A1n)">Juan Díaz</a>, un capelán que morre no 1549, sete anos antes da publicación do <i>Sumario compendioso</i>. David E. Smith xa advirte da posibilidade de confusión entre o autor do <i>Sumario</i> e a dun teólogo contemporáneo del.<p></p><p>No ensaio do historiador norteamericano descríbese brevemente o contido do <i>Sumario compendioso</i>. A maior parte das 206 páxinas do libro están ocupadas por táboas para o comercio do ouro e da prata. Hai 18 páxinas adicadas a algunhas cuestións aritméticas que estarían ao nivel do que se publicaba en Europa. Neste sentido recóllense algunhas cuestións diofantinas sobre os cadrados perfectos que nos fan ver que Díez coñecía o <i>Liber quadratorum</i> de Leonardo de Pisa. Normalmente o que máis se destaca serían as 6 páxinas finais, páxinas sobre problemas alxébricos "principalmente relacionados coa ecuación cuadrática". Posiblemente esta referencia sería o que impeliría a David Fernández Diéguez a facer o comentario de que nesta ultima parte do libro se necesitaba a fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$. Veremos que esta anotación non só é anacrónica senón que está bastante alonxada do contido alxébrico que revisaremos <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/05/os-problemas-alxebricos-do-sumario.html">nunha entrada posterior.</a></p><p>Smith non se limitou a escribir o nomeado artigo. Nese mesmo ano publica unha <a href="https://archive.org/details/sumariocompendio00dieziala/page/n7/mode/2up">tradución ao inglés do <i>Sumario compendioso</i></a>. Ata ese momento só era accesible nalgunha das catro copias que aínda se conservan, unha delas está na <a href="https://primeroslibros.org/spotlight/primeros-libros-de-las-americas/catalog/b7953ebb6391ee101f96ac823f583ec1?locale=es">Biblioteca de Salamanca</a>.</p><p></p>Outras curiosidades do Sumario son que as táboas aparecen en números romanos pero na parte final adicada á aritmética e álxebra úsase a notación hindo-arábiga. <p></p><p></p><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic9sTXyVCUJUu0EEVk2L7vZ1PcxqrNb9yGspss6zpdiNEpdMApT5Ngckh5rSwy0Nf3ezPUMJ7zJVidCWK3bwoTtZ_uMm21pA5Oh89emzeFN73avJqSkr1a_ZbuWKqpy6EHmvpclVY5az1hRUPoYXvFz1YeR3U-flXUM_5JV4UYufsh9QOyY-ORCu58FA/s579/23_03_sumario_moedas.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="379" data-original-width="579" height="179" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic9sTXyVCUJUu0EEVk2L7vZ1PcxqrNb9yGspss6zpdiNEpdMApT5Ngckh5rSwy0Nf3ezPUMJ7zJVidCWK3bwoTtZ_uMm21pA5Oh89emzeFN73avJqSkr1a_ZbuWKqpy6EHmvpclVY5az1hRUPoYXvFz1YeR3U-flXUM_5JV4UYufsh9QOyY-ORCu58FA/w274-h179/23_03_sumario_moedas.png" width="274" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><div><span style="font-size: x-small;">Os números romanos no Sumario</span></div></td></tr></tbody></table>Aquí podemos ver unha reprodución dun anaco dunha táboa na que se dá a conversión de onzas a pesos, tomíns e maravedís. Para comprendela seguiremos as indicacións de D. E. Smith. 1 peso equivale a 8 tomíns; 1 tomín será igual a 12 grans ou a $56\frac{1}{4}$ maravedís.De seguido presentamos a transcripción deste fragmento en notación moderna.<p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEw10xP9Lf5s3lG2cZ-ItC1RQbxKNcYBtT7t3M3XosWVGH431A7zahIJUE-EyxByx_FpXHFEapj_Mhd5ZwEsujtMFRrPab_CdKXQ1KkvIp162lmwuC2-QYT0G3oYkd7QAJu0WqvngIsQ9nYJtujJ1izvUWUDSBEQVO1cLS122WD97hpi-0Blqwyn8TUA/s666/23_03_sumario_moedas_word.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="467" data-original-width="666" height="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEw10xP9Lf5s3lG2cZ-ItC1RQbxKNcYBtT7t3M3XosWVGH431A7zahIJUE-EyxByx_FpXHFEapj_Mhd5ZwEsujtMFRrPab_CdKXQ1KkvIp162lmwuC2-QYT0G3oYkd7QAJu0WqvngIsQ9nYJtujJ1izvUWUDSBEQVO1cLS122WD97hpi-0Blqwyn8TUA/w366-h256/23_03_sumario_moedas_word.png" width="366" /></a></div>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2865451004089944240.post-53721092843930165722023-04-17T10:10:00.005+02:002023-04-17T10:10:00.230+02:00Un par de problemas do "Liber quadratorum"<p><a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/04/un-problema-que-deu-lugar-un-libro.html"></a></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_EspfpbpiRuu3fUGmuQ-zcxS-Gn29LElfI7J4Ot22H5YchRg1yg8lD5e_M0c30I85Q8EzPGfBbSmK3J42h_JPQfsUeEbd0Rr76Hgb0o8h-T9BnWS7m559nMdONuqrZNbUi_ertS-Kii7ytLiiXx5BG3gzwmEATAeKJuZOtqdqlfInPGGn34h7KH3hKg/s447/fibonacci3.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="377" data-original-width="447" height="108" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_EspfpbpiRuu3fUGmuQ-zcxS-Gn29LElfI7J4Ot22H5YchRg1yg8lD5e_M0c30I85Q8EzPGfBbSmK3J42h_JPQfsUeEbd0Rr76Hgb0o8h-T9BnWS7m559nMdONuqrZNbUi_ertS-Kii7ytLiiXx5BG3gzwmEATAeKJuZOtqdqlfInPGGn34h7KH3hKg/w128-h108/fibonacci3.png" width="128" /></a></div>Na entrada anterior describiamos como un problema proposto por un tradutor da corte do Sacro Imperio foi o que incentivou a Leonardo de Pisa a redactar o <i>Liber quadratorum</i>, un libro que comeza coa coñecida fórmula da suma dos níumeros impares:$$1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}$$<p></p><p>Este resultado é aproveitado por Leonardo para resolver o seguinte problema:</p><p><span style="color: #666666;"></span></p><blockquote><span style="color: #666666;"><b>Problema. </b>Achar dous cadrados que teñan como suma un cadrado</span></blockquote><p></p><p>Está claro que do que se trata é de obter unha terna pitagórica, cuestión da que xa <a href="https://retallosdematematicas.blogspot.com/2023/03/notas-sobre-ternas-pitagoricas.html">nos ocupamos noutra ocasión</a>. O curioso do asunto é como Fibonacci fai uso do resultado anterior para resolver o problema.</p><p>Considérese $x$ un impar, sexa $x^{2}=2n+1$ tamén impar, que será un dos cadrados que ofreceremos como parte da terna. Outro será a suma de todos os impares menor que $x^{2}$, de aí que</p><p>$$1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n^{2}+x^{2}=n^{2}+2n+1=\left ( n+1 \right )^{2}$$</p><p>A terna é $\left ( n,x,n+1 \right )$. Ademais $n=\frac{x^{2}-1}{2}$ polo que a anterior igualdade pode escribirse;</p><p>$$\left (\frac{x^{2}-1}{2} \right )^{2}+x^{2}=\left (\frac{x^{2}+1}{2} \right )^{2}\quad\quad [F1]$$</p><p>Esta igualdade non é ningunha novidade, xa era coñecida desde a antiguidade. Para $x=3$ obtemos a famosa terna pitagórica:</p><p>$$4^{2}+3^{2}=5^{2}\quad\quad[1]$$</p><p>Agora ben, considerando que 5 tamén é impar, e substituíndo outra vez na anterior fórmula [F1], da que agora damos unha versión que nos vai interesar máis:</p><p>$$x^{2}=\left (\frac{x^{2}+1}{2} \right )^{2}-\left (\frac{x^{2}-1}{2} \right )^{2}\quad\quad [F2]$$</p><p>temos que</p><p>$$5^{2}=\left ( \frac{5^{2}+1}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{5^{2}-1}{2} \right )^{2}=13^{2}-12^{2}$$</p><p>De aí que substituíndo en [1]:</p><p>$$3^{2}+4^{2}=13^{2}-12^{2}\\3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}\quad\quad [2]$$</p><p>Así obtivemos un cadrado como suma de tres cadrados... pero resulta que 13 volve a ser impar, entón</p><p>$$13^{2}=\left ( \frac{13^{2}+1}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{13^{2}-1}{2} \right )^{2}=85^{2}-84^{2}$$</p><p>Así que, substituíndo en [2]:</p><p>$$3^{2}+4^{2}+12^{2}+13^{2}+84^{2}=85^{2}\quad\quad [3]$$</p><p>Aínda que isto non é ningunha sorpresa, pois todo natural é suma de catro cadrados (Liouville dixit), creo que xa está claro por onde vou tirar. No seguinte paso teremos un cadrado como suma de 5 cadrados:</p><p>$$3^{2}+4^{2}+12^{2}+13^{2}+84^{2}+3612^{2}=3613^{2}\quad\quad [4]$$</p><p>Utilizando [F2] podemos establecer a seguinte sucesión, definida recursivamente:$a_{n+1}=\frac{\left (a_{n}+1 \right )^{2}-1}{2}$ con $a_{1}=3$ ou calquera outro impar. Esta sucesión verificará</p><p>$$a_{n+1}^{2}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}$$</p><p>En definitiva, é posible achar <i>n</i> cadrados que teñan como suma outro cadrado. Unha sucesión que resolve esta cuestión é a <a href="https://oeis.org/A127690">A127690 - OEIS</a>: </p><p>$$3, 4, 12, 84, 3612, 6526884, 21300113901612, 226847426110843688722000884,...$$</p><p><b>Un par de problemas</b></p><p>O manuscrito do <i>Liber quadratorum</i>, que foi recuperado no século XIX polo prínciupe Boncompagni, non está completo. Veremos en que consisten os últimos problemas que aparecían nel.</p><p><span style="color: #666666;"></span></p><blockquote><p><span style="color: #666666;"><b>Problema.</b> Achar enteiros $x$, $y$, $z$, $u$ e $v$ tales que </span></p></blockquote><p><span style="color: #666666;"></span></p><p><span style="color: #666666;">$$\left.\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=u^{2}\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=v^{2}\end{matrix}\right\}$$</span></p><p>A partir da análise feita anteriormente a resolución deste problema é inmediata. Unha posible solución podería ser $x=3$, $y=4$, $z=12$ con $u=5$ e $v=13$. Basta ver que [1] e [2] verifican as dúas igualdades pedidas.</p><p>O último problema do manuscrito foi proposto por un filósofo do emperador chamado Teodoro.</p><p><span style="color: #666666;"></span></p><blockquote><p><span style="color: #666666;"><b>Problema de Teodoro. </b>Achar enteiros $x, y, z, u, v$ e $w$ tales que </span></p><p><span style="color: #666666;">$$x+y+z+x^{2}=u^{2}\\x+y+z+x^{2}+y^{2}=v^{2}\\x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}=w^{2}$$</span></p></blockquote><p><span style="color: #666666;"></span></p><p>Decatémonos de que a expresión do primeiro membro da primeira ecuación aparece na segunda e que a expresión do primeiro membro da segunda ecuación aparece na terceira. De aí que poidamos reducir a anterior expresión á seguinte:$$\left.\begin{matrix}x+y+z+x^{2}=u^{}\\ u^{2}+y^{2}=v^{2}\\ v^{2}+z^{2}=w^{2}\end{matrix}\right\}$$</p><p>Leonardo fai varias tentativas para resolver este problema. Céntrase nas dúas últimas ecuacións e parte dun par de ternas pitagóricas: $$\left.\begin{matrix} (6k)^{2}+(8k)^{2}=(10k)^{2}\\ (10k)^{2}+(24k)^{2}=(26k)^{2}\end{matrix}\right\}$$</p><p>Neste caso $y=8k$, $z=24k$, $u=10k$, $v=26k$; para calcular $x$ substituiriamos eses valores na primeira ecuación. Obténdose como solución $x=\frac{16}{5}$, $y=\frac{48}{5}$, $ z=\frac{144}{5}$, como se ve, unha solución con números fraccionarios. Para dar cunha de números naturais terá que facer outro intento. Consideremos este outro par de ternas pitagóricas $$\left.\begin{matrix}(7k)^{2}+(24k)^{2}=(25k)^{2}\\ (25k)^{2}+(60k)^{2}=(65k)^{2}\end{matrix}\right\}$$</p><p>Agora $y=24k$, $z=60k$, e $u=v=25k$, substituíndo estes valores na primeira ecuación temos $$x^{2}+x+24k+60k=(7k)^{2}$$</p><p>Para eliminar o termo en $k^{2}$ realizamos a substitución $x=7k-a$</p><p>$$(7k-a)^{2}+7k-a+84k=(7k)^{2}$$</p><p>Operando e despexando $k$, obtense $k=\frac{a(a-1)}{7(2a-13)}$</p><p>Como $a$ debe ser un número enteiro positivo, ten que ser maior que 1. Para que $k$ sexa positivo, entón $2a-13>0$ polo que podemos tomar $a=7$, entón $k=6$. </p><p>Isto danos a solución $x=7\cdot 6-7=35$, $y=24\cdot6=144$ e $y=60\cdot6=360$. Para estes valores $u=42$, $v=150$ e $w=390$ completan a solución en números naturais que se buscaba.</p>Cibránhttp://www.blogger.com/profile/05434153873163086551noreply@blogger.com2