Bombelli, máis que complexos

Rafael Bombelli (1526-1572) foi no seu tempo un coñecido enxeñeiro hidráulico. Hoxe en día faise referencia a el cando falamos dos números complexos porque foi o primeiro en en atreverse con ese refugado obxecto matemático. Curiosamente os primeiros pasos con este tipo de números non se deron onde parecería máis natural, co tratamento das ecuacións de segundo grao, senón que apareceron no contexto das de grao 3.
Efectivamente, Girolamo Cardano xa chamara a atención sobre a cuestión cando considerou o seguinte problema no capítulo XXXVII do Ars Magna:

 divide 10 en dúas partes tales que o produto de ambas sexa 30 ou 40, é claro que este caso é imposible

A ecuación cuadrática ligada a este problema (no caso de tomarmos 40 como o valor do produto), x²+40 = 10x e Cardano obtén como solucións $${ x }_{ 1 }=5+\sqrt { -15 } \quad \quad \quad \quad { x }_{ 2 }=5-\sqrt { -15 } \quad \quad \quad $$
Cualificando o resultado tan sutil como inútil, Cardano non pasou de aí. En todo caso, podía aparcar a cuestión argumentando que este tipo de problemas cuadráticos son absurdos. Pero non tardaría en bater con outra dificultade que non se podía desprezar con tanta alegría. Ao abordar a resolución da ecuación cúbica volverían a aparecerlle raíces cadradas de números negativos. No capítulo do Ars magna adicado ao caso de cubo igual a cousa máis número trata coa seguinte ecuación:
$${ x }^{ 3 }=15x+4\quad \quad \quad \quad [1]$$
Aplicando o seu método de resolución obteríase como resultado
$$x=\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  } $$
Como isto non entra dentro dos parámetros das matemáticas daquel tempo, considérase que a fórmula non era válida para este tipo de ecuacións, que se cualifican de irreducibles. Outra vez Cardano aparca o problema. Non pasaría de aí.
Quen se atrevería a cruzar esta liña había de ser Bombelli. Foi na súa obra matemática, Algebra, da que no XVI se publicaran tres tomos. Dos outros dous volumes non se tiña noticia ata que Ettore Bertolotti descubriu os manuscritos no 1923. É moi significativo o que se conta no MacTutor History of Mathematics da universidade esocesa de St Andrews sobre esta obra,  que nesta antes de mergullarse no uso de raíces cadradas de número negativos explicítanse as regras do produto dos signos que tan difíciles son de explicar ao alumnado de 1º da ESO:

+ ⋅ + = +             – ⋅  + = –            8⋅ 8 = 64                   (−4)⋅5 = –20
– ⋅ – = +             + ⋅ – =  +           (–5)⋅(–6 )= 30            5⋅ (−4) = −20

Claro que se abrísemos a  Álgebra de Bomelli polo folio 70 do Libro I, o aspecto destas regras sería moi diferente ao que acabamos de escribir aquí. Por poñer un exemplo, a última das igualdades enunciábase deste outro xeito:

Máis 5 veces menos 4 fai menos 20

Folio 70 da Álgebra (páx. 127 deste PDF)

Do anterior podemos sacar un par de leccións. A primeira,  que sen vimbios non se pode facer un cesto. Con estes saberes na faltriqueira estamos en mellores condicións de enfrentármonos ás raíces cadradas de negativos. Con todo, isto non significa Bombelli que tome en consideración as solucións negativas das ecuacións nin que admita coeficientes negativos. No estudo da resolución de ecuacións polinomiais seguirá distinguindo toda unha serie de casos co fin de que todos os coeficientes sexan sempre positivos. Os avances na selva das matemáticas, como vemos, foron construíndose aos poucos e con moito esforzo. A segunda das leccións é que unha boa notación facilita a comprensión das ideas matemáticas. Neste aspecto Bombelli tamén sería un innovador.

Álxebra con aritmética

Álgebra, tomo II, páxina 190 [347 do PDF]

Xa vimos a orixinalidade e Bombelli no relativo a explicitar as propiedades do produto de números negativos. Pasemos agora á parte puramente alxébrica.
No folio 190 do segundo tomo da Álgebra ocúpase do Capitolo di cubo eguale a tanti e numero. Para intentar captar mellor o sabor do momento ímola escribir coa notación orixinal.
$$\overset { 3 }{ \smile  } \quad Eguale \quad à \quad 6\quad \overset { 1 }{ \smile  } \quad p.40$$ $${ x }^{ 3 }\quad =\quad 6x\quad +40\quad \quad \quad [2]$$
Aínda que a notación de Bombelli non tivo éxito,  non podemos deixar de recoñecer a habilidade para trazar os camiños do futuro. A vía do establecemento dunha notación concentrada para expresar ideas matemáticas estaba comenzando a desenvolverse e el foi un dos precursores.  Pensemos que Cardano non usaba ningún tipo de símbolos.
Nunha entrada anterior xa comentaramos como Cardano resolve a cúbica sen termo en x²
 $${ x }^{ 3 }+px+q=0\quad \quad \quad \quad [3]$$
Mediante a fórmula
$$x=\sqrt [ 3 ]{ \frac {- q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } +\sqrt [ 3 ]{ \frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } $$
No caso da nosa ecuación [2] temos que tomar p=-6 e q=-40 polo que obtemos a seguinte solución :
$$R.c.\left\lfloor 20.p.R.Q.392 \right\rfloor .p.R.c.\left\lfloor 20.m.R.q.392 \right\rfloor $$ $$\sqrt [ 3 ]{ 20+\sqrt { 392 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 20-\sqrt { 392 }  }$$
Outra vez a notación de Bombelli é tan moderna que se nos fai transparente e non precisa explicación. Agora fai uso da seguinte suposición:
$$\sqrt [ 3 ]{ 20+\sqrt { 392 }  }=a+\sqrt { b}\\ \sqrt [ 3 ]{ 20-\sqrt { 392 }  }=a-\sqrt { b}$$
Como sabía que a solución da ecuación era x=4:
$$ x=\left( a+\sqrt { b }  \right) +\left( a-\sqrt { b }  \right) =2a=4$$
Entón a=2. Xa pode buscar sen ningunha dificultade o valor de b desenvolvendo o cubo do binomio:
$${ { \left( 2+\sqrt { b } \right) } }^{ 3 }=20+\sqrt { 392 } $$
É inmediato obter o valor  b=2 . De aí que:
$$R.c.\left\lfloor 20.p.R.Q.392 \right\rfloor .p.R.c.\left\lfloor 20.m.R.q.392 \right\rfloor \\ eguàle\quad 2.p.R.q.2 \quad\quad 2.m.R.q.2\quad eguàle\quad 4$$ $$\sqrt [ 3 ]{ 20+\sqrt { 392 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 20-\sqrt { 392 }  }= \left( 2+\sqrt { 2 }  \right) +\left( 2-\sqrt { 2 }  \right) = 4$$
Unha pequena anotación fóra de liña. Como poderíamos introducir nunha aula de ensino secundario esta ecuación? Desde o punto de vista da súa resolución penso que o mellor contexto sería no momento en que tratemos das funcións. Teriamos que obter o punto de corte de dúas funcións ben coñecidas. Unha pequena contextualización do comentado máis arriba pode dar lugar a comprender o poder desas ferramentas das que dispoñemos hoxe en día. Con elas un alumno da secundaria pode, sen maior dificultade, abordar problemas que estaban nos límites do coñecemento matemático a mediados do XVI.

Álxebra con xeometría
Bombelli segue os pasos de Cardano, usa os seus métodos de resolución ata tal punto que, por exemplo, no capítulo de Cubo e tanti eguale a numero, usa a mesma ecuación que el
$${ x }^{ 3 }+6x=20\quad \quad \quad \quad [4]$$
que xa resolvéramos noutra entrada, cando falamos precisamente de Cardano. Daquela tomando
 p=6 e q=-20 polo que obtivemos a sorprendente igualdade
$$y=\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  }=2 $$
que cos métodos aritméticos de Bombelli deixaría de ser tan sorprendente. Como sabemos que x=2 é solución
$$ x=\left( a+\sqrt { b }  \right) +\left( a-\sqrt { b }  \right) =2a=2$$
entón tomando como valor para a a súa metade (a=1), podemos pasar a calcular b mediante a igualdade:
$${ { \left( 1+\sqrt { b } \right) } }^{ 3 }=10+\sqrt { 108 } $$
Obtemos b=3. Velaí a seguinte conclusión:
$$\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  }=1+\sqrt { 3}\\ \sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  }=1-\sqrt { 3}$$

Para xustificar este resultado Bombelli volve a desenvolver o cubo dun binomio ao estilo da época, isto é, desmontando unha figura cúbica en pezas.

Estilo s.XVI vs. reinterpretación s. XX

Pero outra vez Bombelli fai un novo engadido. Achéganos outra xustificación de carácter "plano" (bidimensional). Con isto deslígase o grao da ecuación da dimensión da xustificación xeométrica. Outro pequeno avance que non culminaría ata que Leibniz, nunha carta a Huygens, no 1673, ofrece a primeira verificación puramente alxébrica da resolución da ecuación cúbica.

Resolución plana dunha ecuación cúbica
Na seguinte aplicación temos un resolutor automático baseado na idea de Bombelli [podes facer scroll coa roda do rato]





Imos intentar explicar algo as ideas que xustifican esta aplicación.
Sexa x=BC=HX
Aplicando o teorema da altura ao triángulo rectángulo BDE, e tendo en conta que tomamos CD=1, obtemos que CE=x²
Construímos un cadrado de lado HI e área 20 (ou q, en xeral). Con BO=HC=6 (ou p, en xeral), aplicando outra vez o teorema da altura ao triángulo rectángulo EIM:

$$20={ HI }^{ 2 }=EH\cdot HX=EH\cdot BC=(EC+CH)\cdot BC=\left( { x }^{ 2 }+6 \right) x={ x }^{ 3 }+6x$$

O golpe final
Volvamos ao comenzo, consideremos outra vez a ecuación
$${ x }^{ 3 }=15x+4\quad \quad \quad \quad [1]$$
Que tiña como solución:
$$x=\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  } $$
Agora as consideracións aritméticas de Bombelli volven a facer avanzar as matemáticas outro paso. Repitamos o procedemento xa comentado anteriormente:
$$\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  }=2+\sqrt { -b}\\ \sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  }=2-\sqrt {- b}$$  $${ { \left( 2+\sqrt { -b } \right) } }^{ 3 }=2+\sqrt { -121 } \\ { { \left( 2-\sqrt { -b } \right) } }^{ 3 }=2+\sqrt { -121 } $$
É case inmediato obter o valor b=1 polo que así, por fin, se xustificaría a solución:
$$x=\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  } =\left( 2+\sqrt { -1 }  \right) +\left( 2-\sqrt { -1 }  \right) =4\quad \quad \quad [5]$$
Claro que, esta notación moderna pode deturpar o espírito orixinal da Algebra de Bombelli. Por esta razón escribo con remorsos esta última igualdade. Escribir a  cadrada de -1ou o número imxainario  i levanos a caer nun anacronismo inxustificable xa que leva implícito toda a mochila do rico desenvolvemento do corpo dos números complexos. Bombelli, certamente, non tiña esa mochila.
Así e todo, escribir a raíz cadrada dun número negativo tal e como veño de facer en [5] tampouco lle fai xustiza a Bombelli. Volvendo á súa notación, el escribía así a raíz cadrada de 4: R.c.4. Xa que logo podería ter escrito:
$$2.p.R.c.m.1$$ $$ 2+\sqrt { -1 } $$
Pero non o fixo. Posiblemente foi máis alá ao expresar a anterior expresión como 2.p.d.m. Onde p.d.m tería case o significado do noso número imaxinario i. Non se trata de escribir a raíz cadrada dun negativo, Bombelli, xa a tiña calculada e usaba ese resultado como un número co que operar nas mesmas condicións que calquera outro. Tiña razón Cantor, a esencia das matemáticas son a súa liberdade.

P.S.: como exercicio para o alumnado do ensino secundario, estaría ben estudar as solucións das cúbicas sen termos en x² mediante os puntos de corte entre as gráficas das función y=x³ e a dunha unha recta y=mx+n. Nesta entrada xa hai unha pequena colección de propostas en [1], [2] e [4]

Recursos:
Álgebra, Bombelli
Rafael Bombelli, MacTutor History of Mathematics archive
Una historia de las matemáticas para jóvenes III. La historia de las ecuaciones, Ricardo Moreno Castillo, Editorial Nivola
Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano, Francisco Martín Casalderrey, Editorial Nivola
El universo de las matemáticas, William Dunham, Editorial Pirámide
Bombelli's Algebra (1572) and a new mathematical object , Giorgio T. Bagni

O plano de Minkowski

Supoño que sucede algo semellante noutras materias, pero voume referir únicamente ás matemáticas. Se o currículo xa era dunhas dimensións inabarcables, coa LOMCE foise moito máis alá. Durante uns anos, na materia de Matemáticas I de 1º de bacharelato, desapareceran os números complexos. Sempre me pareceu unha mágoa non estudalos, tan siquera mínimamente, para abordar algunhas das cuestións máis interesantes do desenvolvemento das matemáticas, como a de presentar un corpo completo ou dar resposta á cuestión da resolución das ecuacións polinomiais de calquera grao. A cuestión é que agora os complexos volven a estar dentro do currículo.
O que sempre se mantiveron as autoridades educativas nesa mesma materia foron os contidos da xeometría plana (o espazo vectorial R², o espazo afín coas ecuacións da recta,e o espazo euclidiano coa introdución do produto escalar e a corresponte métrica asociada...). Este curso, ao tratar este tema na aula quixen que polo menos enxergaran as razóns de por que lles explicaba cal era a idea abstracta de espazo vectorial. Como o asunto vai moi forzado, introducín a cuestión falándolle dun dos máis grandes matemáticos do XX: Nicolás Bourbaki. Unha das súas teimas máis coñecidas era a concebir as matemáticas a partir dunha idea fundamental, a de estrutura. Con algo de sorna pedinlle ao alumnado que me trouxeran ao día seguinte algunha intmidade de Bourbaki (como a da data de nacemento, morte, se casara, tivera fillos... ). Non imaxinaba eu que moitos deles xa tiñan a resposta moito antes de rematar a clase...Malditos móbiles!

MIR, mágoa de editorial

A culpa desta entrada tena a pregunta dunha alumna. Despois de levar uns poucos días remexendo na xeometría analítica á rapaza ocorréuselle que os dous temas tratados podían ter algunha relación. Razoaba que se os complexos formaban un plano e na xeometría analítica estabamos a estudar un plano, algo debían ter en común,  Isto fixo que me viñera á memoria a xeometría de Minkowski, que dalgunha forma daba resposta á cuestión.
O que segue débese esencialmente a este libro, El universo tetradimensional de Minkowski, de A. A. Sazánov, daquela marabillosa (e barata) editorial, a MIR.


Xeometría de Minkowski
Dado o espazo vecvtorial R², definimos a seguinte especie de produto escalar:
$$\left< \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) ,\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right)  \right> ={ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }$$
Segundo esta definición o produto escalar é bilinear, simétrico, pero non está definido positivo.
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> \ge 0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }\ge { y }^{ 2 }$$
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> =0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }={ y }^{ 2 }\quad \Longleftrightarrow \quad x=\pm y$$
As rectas x=±y chámanse rectas isótropas. Estas rectas dividen o plano en catro sectores (esquerdo, dereito, superior e inferior).
A cónica unidade non será a circunferencia, senón as hipérbolas que teñen por asíntotas as rectas isótropas.
O produto escalar danos a condición de perpendicularidade:
$$Sexa\quad \vec { { u }_{ i } } =\left( { x }_{ i },{ y }_{ i } \right) \quad para\quad i\in \left\{ 1,2 \right\} $$
$$\vec { { u }_{ 1 } } \bot \vec { { u }_{ 2 } } :\Longleftrightarrow \left< { \vec { { u }_{ 1 } }  },{ \vec { { u }_{ 2 } }  } \right> =0\Longleftrightarrow { x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }=0\Longleftrightarrow { m }_{ 1 }:=\frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } =\frac { { x }_{ 2 } }{ { y }_{ 2 } } :=\frac { 1 }{ { m }_{ 2 } } $$
Se lle chamamos m₁ á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x₁ ,y₁) e m₂ á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x₂ ,y₂) non sería mal exercicio para este nivel (1º de bacharelato) preguntar polo significado xeométrico da relación que se estabelece na liña anterior entre m₁ e m₂. Xa o adianto: as rectas de pendente m₁ e m₂ serán simétricas respecto de y=x pois son funcións inversas a unha da outra. Velaí que no plano de Minkowski a ortogonalidade tradúcese en simetría respecto da gráfica da función identidade.
Con todo, o máis divertido está por chegar e resulta do cáculo de módulos a partir da definición do produto escalar minkowskiano.

Imase 1. Os catro sectores do plano de Minkowski

$$Sexa\quad \overrightarrow { u } =(x,y)\quad \left| \overrightarrow { u }  \right| =\sqrt { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { u }  \right>  } =\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } $$
Polo tanto o módulo dos vectores situados nos sectores esquerdo e dereito será un número real e o dos outros sectores será un imaxinario puro. Así o primeiro par de sectores recibe o cualificativo de reais e o segundo par o de imaxinario.
E que sucede cos ángulos? Partamos da coñecida fórmula:
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right) =\frac { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right>  }{ \left| \overrightarrow { u }  \right| \left| \overrightarrow { v }  \right|  } $$

Imaxe2. Ángulos

Calculemos o ángulo que forma un vector de compoñentes (x,y) do sector real positivo co vector unitario (1,0)
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,(1,0) \right) =\frac { \left< (x,y),(1,0) \right>  }{ \left| (x,y) \right| \left| (1,0 \right|  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ - }{ y }^{ 2 } } \sqrt { 1-0 }  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }  } \ge 1$$
Idem co sector superior. Velaquí o coseno do ángulo dun vector (x,y) deste sector co vector (0,1):
$$cos\left( \overrightarrow { v } ,\left( 0,1 \right)  \right) =\frac { \left< \left( x,y \right) ,\left( 0,1 \right)  \right>  }{ \left| \left( x,y \right)  \right| \left| \left( 0,1 \right)  \right|  } =\frac { -y }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \sqrt { -1 }  } =\frac { -y }{ i\sqrt { -1\left( { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right)  }  } =\frac { -y }{ { i }^{ 2 }\sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } =\frac { y }{ \sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } $$
Este valor é tamén un número real maior ou igual que 1.
Ao tomar límites cando o vector ū se aproxima ás isótropas (x=y ou x=-y), os cosenos anteriores tenden a +∞ ou - ∞. Este panorama ten o seu desenvolvemento natural coa extensión complexa da función coseno:
$$cosz=\frac { { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz } }{ 2 } $$
Como os valores dos cosenos obtidos anteriormente son sempre reais, os ángulos anteriores serán da forma iφ, con φ∈R. Así
$$cos\left( i\varphi  \right) =\frac { { e }^{ i(i\varphi ) }+{ e }^{ -i(i\varphi ) } }{ 2 } =\frac { { e }^{ -\varphi  }+{ e }^{ \varphi  } }{ 2 } =cosh\varphi  $$
En consecuencia teremos as seguintes fórmulas:
$$sen\left( i\varphi  \right) =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\left( i\varphi  \right)  } =\sqrt { 1-{ cosh }^{ 2 }{ \varphi  } } =\sqrt { -{ senh }^{ 2 }{ \varphi  } } =isenh\varphi $$
$$tan\left( i\varphi  \right) =\frac { sen\left( i\varphi  \right)  }{ cos\left( i\varphi  \right)  } =\frac { isenh\varphi  }{ icosh\varphi  } =itanh\varphi $$
Só por ver estas fórmulas merecía que se desenvolvese a idea do plano de Minkowski.

Cambio de base ortonormal
Consideraremos un cambio entre unha base {e₁, e₂} e outra {e'₁, e'₂}. Onde os vectores que comparten o mesmo índice estean no mesmo sector e de forma que cada base estea formada por un par de vectores ortonormais.Visto o anterior, a ninguén lle extrañará que a matriz de cambio de entre bases teña a seguinte expresión:
$$\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}$$
Polo tanto o cambio de coordenadas entre dous sistemas de referencia ortornormais verificarán a igualdade:
$$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $$
Unhas poucas contas máis:
$$x'=x\cdot cosh\varphi +y\cdot senh\varphi =x\cdot cosh\varphi +y\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi =cosh\varphi \left( x+y\cdot tanh\varphi  \right) =\frac { x+y\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
$$y'=x\cdot senh\varphi +y\cdot cosh\varphi =x\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi +y\cdot cosh\varphi =cosh\varphi \left( x\cdot tanh\varphi +y \right) =\frac { x\cdot tanh\varphi +y }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
Ben, xa temos unha chea de fórmulas, e agora que?

A transformación de Lorentz
Na mecánica clásica, se consideramos dous sistemas de referencia que se moven, un respecto ao outro, cunha velocidade v, a tranformación de coordenadas (chamada de Galileo) é a seguinte:
$$\begin{cases} x'=x \\ y'=y-vt \end{cases}$$
Esta transformación permítenos estudar o movento nun sistema de referencia que se mova con velocidade constante a respecto doutro. Este cambio de coordenadas caracterízase porque a medida do tempo é independente do sistema de referencia e  na invariancia da lonxitude dunha barra OP respecto do sistema de referencia. Se falamos de relatividade galileana estamos indicando que podemos intercambiar o que se move con velocidade constante e o que está en repouso.
A teoría da relatividade einsteniana introdúcese coa transformación de Lorentz. O movemento relativa de dous sistemas de refencia virá dado polas fórmulas:
$$\begin{cases} x'=\frac { x-vt }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \\ t'=\frac { t-x\cdot \left( \frac { v }{ { c }^{ 2 } }  \right)  }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \end{cases}$$
Que son esencialmente as mesmas fórmulas do cambio de coordenadas ás que chegaramos anteriormente. Basta con considerar:
$$y=ct\\ tanh\varphi =-\frac { v }{ c } $$


Contraccións e simultaneidade

Imaxe 3

Consideremos un suceso P(x_P, y_P) sobre a recta y'
$$\begin{cases} tan\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| NP \right|  }{ \left| ON \right|  } =\frac { { x }_{ P } }{ i{ y }_{ P } } =-i\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } }  \\ tan\left( i\varphi  \right) =itanh\varphi  \end{cases}polo\quad que\quad tanh\varphi =-\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } } $$
$${ x }_{ P }=-{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi $$
$${ x' }_{ P }=\frac { { x }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { -y }_{ P }\cdot tanh\varphi +{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } =0$$
$${ y' }_{ P }=\frac { { y }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { { y }_{ P }-y }_{ P }\cdot tanh\varphi \cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } ={ y }_{ P }\sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } $$
E así deducimos a coñecida contración do tempo na dirección do movemento:
$$ { t' }_{ P }=\frac { { y' }_{ P } }{ c } =\frac { { y }_{ P }\sqrt { 1-{ tan }^{ 2 }\varphi  }  }{ c } =\frac { { y }_{ P } }{ c } \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } ={ t }_{ P }\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  $$

Imaxe 4

Isto ten que ver coas sorpresas que descubriu a teoria da relatividade respecto da simultaneidade. Dise que dous sucesos son simultáneos respecto dun sistema de referencia se a súa segunda coordenada é a mesma nese sistema. Na imaxe 4 temos que  P e N son simultáneos no sistema XY; P e Q son simultáneos nun sistema X'Y' dun móbil con velocidade v respecto do considerado no sistema XY.

Imaxe 5

Unha consecuencia adicional desta nova perspectiva da simultaneidade de sucesos afecta ás medidas das lonxitudes xa que éstas variarán segundo a velocidade á que se movan os sistemas de  referencia.
Efectivamente, cando medimos a lonxitude dunha barra estamos considerando que calculamos a diferenza entre os seus extremos simultáneamente.
Dada unha barra de lonxitude l=|OL| respècto do sistema XY, se a medimos respecto de X'Y', debemos facelo simultáneamente respecto este sistema, entón a súa lonxitude será l'=|OL'|.
$$\begin{cases} cos\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| OL \right|  }{ \left| OL' \right|  } =\frac { l }{ l' }  \\ cos\left( i\varphi  \right) =cosh\varphi =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  }  \end{cases}$$
Entón podemos explicar así a contracción dunha barra de lonxitude l en movemento
$$l'=l\cdot \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } =l\cdot \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } $$

Relatividade visual
Quen queira seguir remexendo nos aspectos xeométricos da teoría da relatividade, ademais de recomendarlle o libro de Sazánov, pode botarlle un ollo ao portal de Xabier Prado Orbán, Relatividade visual