Catro resultados elegantes

Noutra ocasión troxéramos por este espazo unha fórmula que non dubidaría en cualificar de elegante:

Resultado 1. $arctan1+arctan2+arctan3=180$

A súa demostración déixanos sen palabras:

Este resultado pode promovernos unha atractiva sospeita. Como os ángulos suman 180º, quizais tamén se verifique que

Resultado 2. Existe un triángulo con ángulos que teñen tanxentes 1, 2 e 3

Bastará con amosalo

E quizais engadir unha pequena aclaración: $$tan\beta =tan\left ( \alpha '+\gamma ' \right )=\frac{tan\alpha '+tan\gamma '}{1-tan\alpha 'tan\gamma '}=\frac{1+\frac{1}{3}}{1-1\cdot \frac{1}{3}}=2$$

Como veremos, este xentil triángulo non é un triángulo máis. Ten un rasgo distintivo que destacaron nun enunciado dun problema da LXV Olimpíada Matemática de Moscú no 2002. Recollémolo do libro La matemática elegante (URSS 2005) nesta versión:

Resultado 3. Se as tanxentes dos ángulos dun triángulo son números naturais, entón serán iguais a 1, 2 e 3.

Xa sabemos que esta afirmación ten sentido porque acabamos de ver un triángulo con ángulos de tanxentes 1, 2 e 3. Quédanos por verificar a súa unicidade. Partiremos de que as tanxentes dos ángulos $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ son os números naturais $a$, $b$ e $c$. Como $180-\gamma=\alpha+\beta$

$$tan\left ( 180-\gamma  \right )=tan\left ( \alpha +\beta  \right )=\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha \cdot tan\beta }=\frac{a+b}{1-ab}=-c$$

De aí que $a+b+c=abc$

Curiosamente o resultado 3, de apariencia estritamente trigonométrica, é equivalente ao seguinte, eminentemente aritmético:

Resultado 4. Se a suma de tres naturais coincide co seu produto, serán o 1, o 2 e o 3.

Sen perda de xeneralidade consideremos que $a\leq b\leq c$

Se $a=1$: $1+b+c=bc$

$1+b=bc-c=c\left (  b-1\right ) \Rightarrow c\mid \left ( b+1 \right )$ como $c\geqslant b$ necesariamente $c=b+1$. Daquela $b-1=1$, polo que $b=2$ e $c=3$.

Consideremos agora o caso de que $a\geqslant 2$. Entón $b\geqslant 2$ 

Como $a+b+c\geqslant abc\geqslant 4c$ temos que $a+b\geqslant 3c$

Como $c+c\geqslant a+b\geqslant 3c$ temos que $2c\geqslant 3c$ entón $1\geqslant c$, o que é imposible pois $c\geqslant a\geqslant 2$. 

Xa que logo concluímos que só hai unha posibilidade, a de que $a=1$, $b=2$ e $c=3$.

Un tipo de triángulos estudados por Euler

Novi commentarii academiae scientiarum
imperialis petropolitanae Vol. XI, 1765
páx. 67-102

No ano 1767 Leonhard Euler publica o traballo Proprietates triangulorum, quorum anguli certam inter se tenent rationem   no que aborda o estudo de determinados triángulos. Trátase de identificar a relación entre os lados dun triángulo do que coñecemos dous ángulos, un deles sería o ángulo A e outro n•A, con n un número natural. 

Nun principio as características do estudo son ben simples, tanto que nun curso de 1º de bacharelato poderíase dar un primeiro paso no seu tratamento. A cuestión poderíase propoñer do seguinte xeito:

a) Determina o lugar xeomético determinado polo punto C dun triángulo ABC que teña os ángulos A e B iguais

b) Determina o lugar xeométrico do punto C dun triángulo ABC tal que ∠B=2∠A

O primeiro apartado é obvio, refírese á mediatriz do segmento AB. O segundo pódese tratar facendo uso da tanxente do ángulo dobre:

$$tanA=\frac{y}{x}\\tan\left ( 2A \right ) =\frac{y}{c-x}\\tan\left ( 2A \right )=-\frac{2tanA}{1-tan^{2}A}$$

Das igualdades anteriores tense que

$$\frac{y}{c-x}=\frac{\frac{2y}{x}}{1-\frac{x^{2}}{y^{2}}}$$

Finalmente obtemos a cónica que soluciona o problema

$$3x^{2}-2cx-y^{2}=0$$ 

Esta é a versión moderna
da foto de máis arriba

Euler non trata o problema desde esta perspectiva, senón que o enfoca desde un punto de vista máis sintético. Dado o triángulo ABC, biseca o ángulo ∠ABC e obtén o punto D. 

Coa notación usual consistente en nomear os lados opostos coa mesma letra que os ángulos, pero en minúscula, teremos, a partir da semellanza de ABC con BCD as seguintes relacións:

$$\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{CD}\quad\quad; \quad \frac{b}{a}=\frac{c} {BD}=\frac{a}{CD}$$

 $$BD=\frac{ac}{b}\quad\quad\quad CD=\frac{a^{2}}{b}$$

Como o triángulo ABD é isóscele,  temos a igualdade entre os lados AD=BD. Xa obtivemos unha expresión de BD en función dos lados do triángulo orixinal. Fagamos o mesmo para AD e igualemos:

$$AD=AC-DC=b-\frac{a^{2}}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{b}$$

$$AD=BD\Rightarrow \frac{b^{2}-a^{2}}{b}=\frac{a^{2}}{b}\Rightarrow b^{2}-a(a+c)=0$$

Euler non parou aquí. Tratou o caso de que o ángulo B fose o triplo, o cuádruplo, o quíntuplo de A.... Na seguinte applet de geogebra temos unha solución analítica a estes problemas. Pódese obter a partir das fórmulas das tanxentes do ángulo triplo, do ángulo cuádruplo e do ángulo quíntuplo. Aínda que nos aparecen curvas por todo o plano, para a solución deste problema só nos interesa a rama da dereita.

Pola súa banda, Euler obtén as seguintes relacións entre os lados para B=n•A

$$n=1:\quad\quad b-a=0$$

$$n=2:\quad\quad b^{2}-\left ( a+c \right )=0$$

$$n=3:\quad\quad b^{3}-ab^{2}-a \left(c^{2}-a^{2} \right )=0$$

$$ n=4 : \quad\quad b^{4}-a\left(c+2a \right )b^{2}-a \left(c+a \right )\left(c^{2}-a^{2} \right )=0$$

$$n=5 : \quad\quad b^{5}-ab^{4}-2a^{2}b^{3}-a \left(c^{2}-2a^{2}b^{2} \right )-a^{2}\left(c^{2}-a^{2} \right )b-a \left(c^{2}-a^{2} \right )^{2}=0$$

Pero o cíclope matemático non parou aquí, continuou ata n=8. Inlcuso máis, unha vez chegado a este punto establece unha fórmula recursiva tanto para os valores pares de n como para os impares. Quen quixera seguir todos estes razoamentos, pode botarlle un ollo ao artigo de Vicente Meavilla Seguí no v.8 n.15 (2008) da Revista Brasileira de História da Matemática. Todo un exemplo de traballo,  perseverancia, xeneralización e precisión dun dos máis grandes matemáticos da historia. Ata nun resultado menor se enxerga o xenio euleriano.

A recta de Simson: a película.2

Na anterior entrada comenzáramos a comentar esta subxugante película de Trevor Fletcher do ano 1953. Continuemos.

O triángulo de Morley fóra de escena
Jakob Steiner (1796-1873) dálle o seu nome á deltoide pois foi el que demostrou que é a envolvente das rectas de Wallace-Simson dun triángulo dado ABC. A circunferencia de Feuerbach é tanxente en tres puntos á deltoide.
Na seguinte applet de geogebra quería que se puidera ver dinámicamente a deltoide de Steiner ao ir modificando os vértices do triángulo. Para elaborala foime fundamental un resultado que non aparece na película de Fletcher, xa que o achou Miguel de Guzmán no ano 2001. Estoume referindo ao seguinte teorema:

O triángulo de Morley e o que forman os vértices da deltoide de Steiner están xirados 180º. En particular os lados deses dous triángulos son paralelos.

FDE é o triángulo de Morley
de ABC

Claro que quizais haxa que explicar o resultado de Frank Morley (1860-1937),  que é o que nos dá a definición do triángulo que leva o seu nome:

Teorema de Morley. Dado un trigángulo calquera ABC, o triángulo formado pola intersección dos trisectores adxacentes dos ángulos de ABC é equilátero.

Tendo en conta este teorema e que o centro da deltoide coincide co do círculo de Feuerbach (de raio r) queda ben determinada a posición da deltoide. Ademais a deltoide pode inscribirse nunha circunferencia de raio 3r. A circunferencia circunscrita ao triángulo terá raio 2r. Ter presente que na seguinte aplicación podemos mover os vértices do triángulo.
[minuto 1:22]
A deltoide de Steiner
Steiner non só descubriu a deltoide senón que tamén demostrou que esta curva era unha hipocicloide que se xenera ao rodar unha circunferencia de raio r dentro doutra de raio 3r. Tamén se pode xenerar da mesma maneira facendo rodar unha circunferencia de raio 2r. O valor de r é o do raio da circunferencia de Feuerbach. Todo isto podémolo ver na seguinte aplicación.
[minuto 2:08]
As ecuacións paramétricas da deltoide serán:

$$\begin{cases} x=r\left( 2cost+cos2t \right) \\ y=r\left( 2sent-2sen2t \right) \end{cases}$$


Escena final
Por simetría é fácil de ver que o simétrico dun punto P nunha circunferencia de raio R respecto dunha corda AB, estará noutra circunferencia do mesmo raio e coa mesma corda. Ademais se a circunferencia de partida é a exinscrita ao triángulo ABC e tomamos como corda un dos lados do triángulo, poñamos AB, a circunferencia simétrica á exinscrita respecto de AB pasará polo ortocentro. De aí que as circunferencias que pasan polo ortocentro e por dous puntos do triángulo, sexan congruentes á exinscrita.
Na escena final veremos ao punto P como ortocentro dun triángulo congruente con ABC, xirado 180º: A'B'C'. Cando P coincide cun dos vértices de ABC, poñamos que sexa A, a recta de Wallace-Simson coincidirá coa altura que parte de A no triángulo ABC (e de A' no triángulo A'B'C'). Cando P é diametralmente oposto na circunferencia circunscrita a un dos vértices, poñamos A, a recta de Wallace-Simson coincidirá co lado BC (=B'C' por ser tamén diametralmente oposto na circunferencia cincunscrita de A'B'C'). Tamén podemos ver como o triángulo así construído A'B'C' mantén os seus puntos sobre as tres circunferencias congruentes á exinscrita. Mareante.
[minuto 5:58]
E xa que estamos metidos en fariña, dado un punto P na circunferencia exinscrita a un triángulo ABC, acabamos de falar do simétrico respecto dun dos lados AB. Chamémoslle P₁ . Consideremos os simétricos de P respecto de BC e AC: P₂ e P₃ . Resulta que estes tres puntos son colineares co ortocentro.
A ATM (Association of Teachers of Mathematics) non só puxo á nosa disposición pola arañeira o filme Simson line do que tratamos aquí, pois podemos ver outros dous: The Cardioid e Four point conics Non estaría mal que alguén recollera a luva e perdera o tempo en comentalos. Eu disfrutei moito con este par de entradas xa que tiven a ocasión de facer referencia a unha boa restra de matemáticos: Robert Simson, William Wallace, Karl Feuerbach, Frank Morley, Jakob Steiner e Miguel de Guzmán.

A recta de Simson: a película.1

Trevor Fletcher foi un profesor de matemáticas londinense que se atreveu a realizar varias películas matemáticas na década dos 50 e 60 do pasado século. Fletcher foi un defensor deste tipo de materiais, chegando a afirmar que se estas películas eran da calidade suficiente, cambiarían os temarios de matemáticas que se ensinarían no futuro. Aquí presento unha desas obras de Fletcher,  "A recta de Simson", un filme subxugante. A miña intención nesta entrada é intentar explicalo. Comencemos cun resultado que xustifica a definición do que será o noso obxecto de estudo:

Teorema de Wallace-Simson. Dado un triángulo ABC, se desde un punto P trazamos perpendiculares aos lados, obteremos o triángulo pedal formado polos tres puntos de corte desas perpendiculares cos lados. Estes tres puntos serán colineares se e só se P está na circunferencia circunscrita ao triángulo ABC.

Na aplicación visulizamos o teorema. Pódense mover os vértices do triángulo. [minuto 0:00]


Na honra do matemático escocés Robert Simson (1687-1768), á recta que contén eses tres pés das perpendiculares chámaselle recta de Simson. A pesar da denominación parece ser que Simson non ten nada que ver coa recta que leva o seu nome e quen realmente publicou (no ano 1799) o primeiro artigo sobre este tópico foi William Wallace (1768-1843), tamén escocés e tamén matemático. Por esta razón, no canto de aludir á devandita recta como atribuída únicamente a Simson, faise referencia a ela normalmente como a recta de Wallace-Simson. Velaquí un primeiro teorema:

As rectas de Wallace-Simson de dous puntos P e P' sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC forman un ángulo igual á metade do arco determnado por P e P'

[min 0:40]
A circunferencia dos 9 puntos

Imaxe do libro de Feuerbach
que ilustra o teorema  máis
fermoso da xeometría elemental

Á vista do anterior resultado temos o seguinte corolario:

Se P e P' son dous puntos diametralmente opostos sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, as súas rectas de Wallace-Simson serán perpendiculares. 

Pero o máis curiososo de todo é que o punto de corte destas rectas, M, estará nunha circunferencia moi particular: a circunferencia dos 9 puntos. Esta circunferencia tamén recibe o nome de circunferencia de Feuerbach, en referencia a Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), irmán do filósofo Ludwing Feuerbach. Aínda que o historiador Morris Kline se refire a el como un mestre, Karl Feuerbach, despois de obter o doctorado exerce como profesor nos Gymnasium alemáns. Foi detido na campaña represiva dos Demagogenverfolgung. Durante a súa estadía na prisión intentou suicidarse dúas veces con graves consecuencias, pois quedou eivado de por vida. Unha vida corta, pero tamén desgraciada, pois padeceu serios transtornos mentais que o incapacitaron para a impartición de clases. Un día acudiu ao Gymnasium coa espada en alto ameazando con cortarlle a cabeza a todos aqueles que non fosen quen de resolver as ecuacións que escribira no encerado. Este terrorífico episodio determinaría a súa retirada definitiva do ensino e a reclusión nos últimos seis anos da súa vida completamente asolado pola enfermidade mental.
Se a crcunferencia dos 9 puntos se identifica con Feuerbach é debido (en palabras de J. Cooldige (1873-1954)) ao "teorema máis fermoso da xeometría elemental que se descubriu desde a época de Euclides". Feuerbach no ano 1822 publicou un traballo que contiña o ese fermoso resultado:

A circunferencia que pasa polos tres pés das alturas dun triángulo tamén é tanxente ás  tres circunferencias exinscritas e á circunferencia inscrita.

Este mesmo resultado foi publicado no 1820 nun traballo de Brianchon (1783-1864) e Poncelet (1788-1867), aínda que parece demostrada a prioridade de Feuerbach no descubrimento do resultado. En todo caso, teñamos en conta que no relativo á denominación de teoremas e obxetos matemáticas, cada caso ten a súa historia particular. En Francia a circunferencia dos 9 puntos coñécese como circunferencia de Euler. Neste caso seguramente a desculpa é que o centro desa circunferencia é o punto medio do ortocentro e o circuncentro e polo tanto está na recta de Euler. Outra propiedade máis que se pode ver na película de Fletcher é que o raio da circunferencia de Feuerbach é a metade do da circunferencia circunscrita.