O horror lingüístico dos exames de Matemáticas na Selectividade

Hai uns días aparecía  por aquí unha entrevista a Ramón Lorenzo feita por Yolanda Castaño na que relataba como cando foi coordinador de COU (Curso de Orientación Universitaria) durante os cursos 1983-84 e 1984-85 tivo que enfrontarse ao rector e ao profesorado de secundaria que se opoñían á introdución do galego nos exames da selectividade. Por certo, a Consellaría parecía que nesa altura non tiña nada que ver co asunto pois só accedeu a permitir o uso do galego baixo presión. Sabémolo porque o relatou así Ramón Lorenzo. Este capítulo merecía estar incluído no Libro negro da lingua galega, de Carlos Callón

Xa que logo, o proceso de normalización das Probas de Acceso á Universidade estivo cargado de dificultades. Nos últimos tempos, baixo a héxira do decreto de prohibición e exclusión da lingua galega do ensino (decreto 79/2010), as circunstancias son propicias a cometer todo tipo de abusos coa lingua de noso. Chegou o momento de dar pasos cara atrás, a ver se ao ir a recú caemos no abismo da aniquilación da lingua. Tal parece ser o obxectivo.

Os exames da selectividade son obxecto de comentario público, os xornais están cheos de ttitulares comentando os feitos máis destacables. Que eu saiba, ningún dixo nada sobre a restra de barbaridades lingüísticas que aparecen, un ano tras outro, nos exames de Matemáticas. Céntrome nesta materia porque é a que coñezo ben, non revisei os exames doutras materias. Velaquí unha escolma do desleixo e desprezo ao galego cometido desde as Comisións de Matemáticas. Comezamos mesmo polo exame de Matemáticas aplicadas ás CCSS da convocatoria extraordinaria do ano pasado.exame de Matemáticas aplicadas ás CCSS da convocatoria extraordinaria do ano pasado. Xa aviso, custa traballo ler estes enunciados (os asteriscos son meus)

(Extraordinaria 2023) Nunha furna A hai 8 bolas verdes e 6 vermellas e noutra furna B hai 4 verdes e 5 vermellas. Lánzase un dado e se sae un número menor que 3 sácase unha bola da urna A e se sae un número maior ou igual a 3 sácase a bola da furna B. Extraese unha bola o chou,

a) Calcule a probabilidade de que a bola extraída sexa vermella. b) Sabendo que se extraeu unha bola verde, cal é a probabilidade de que saíra da furna A? c) Son independentes os sucesos “extraer bola vermella” e “a bola procede da furna A “?

Poño foto do horror porque é difícil de crer

 Se aínda non che sangran os ollos, non te preocupes, hai máis casos irritantes:  

(Extraordinaria 2021) O 40% das persoas que visitan o Pórtico da Gloria da Catedral de Santiago son españolas. Sábese ademais que 4 de cada 5 españoles están satisfeitos coa visita, mentres que, entre os non españois, non están satisfeitos coa visita o 10%.

a) Calcule a porcentaxe de persoas satisfeitas coa visita.b) Cal é a probabilidade de que unha persoa este satisfeita coa visita e non sexa española? c) ¿Son independentes os sucesos “non ser español” y “estar satisfeito ca visita”? Razoe a resposta.

(Xuño 2019) . Logo de anos de utilizalo sábese que a puntuación dun test de uso habitual en certa rama industrial segue unha distribución normal de media 74 e desviación típica 16. Nunha empresa decídese realizalo a 100 dos seus empregados. 

a) Cal é a probabilidade de que se obteña unha media muestral superior a 78 puntos, de seguirse a pauta xeral? b) E a probabilidade de que a media muestral sexa inferior a 74 puntos?

Podemos continuar coa materia de Matemáticas:

(Extraordinaria 2021) Despois de t horas de funcionamento o rendemento de unha máquina (en unha escala de 0 a 100) ven dado por a función $r\left ( t \right )=\frac{kt}{t^{2}+4}$

a) Calcule K sabendo que o rendemento as 4 horas e de 76.

b) Calcule os intervalos de crecemento e decrecemento do rendemento durante las 7 primeiras horas de funcionamento.

c) ¿En que momento se consigue o rendemento máximo?, ¿Cal e o seu valor?

(Extraordinaria 2021)Unha empresa pode vender x unidades ao mes de un determinado produto ao prezo de $518-x^{2}$ euros por unidade. Por outra parte, o fabricante ten gastos mensuais: unhos fixos de 225 euros e outros de $275x$ euros que dependen del número x de unidades.

a) Determine as funcións I(x) e B(x) que expresan os ingresos e beneficios obtidos pola produción e venda de x unidades, respectivamente. Que beneficio se obtén se se producen e se venden 10 unidades? 

b) Calcule o número de unidades que hai que producir para obter o máximo beneficio. ¿A canto ascenderían os ditos beneficios? ¿Cal sería o prezo de venda de unha unidade nese caso?

Anotación final

Se alguén tivo o valor de ler estes enunciados comprobaría que marquei como erro a expresión "desviación típica". Nalgunha ocasión xa me dixeron que era eu que era o único que usaba a forma recollida pola RAG, a saber, "desvío padrón".  Pois non estaría mal, que como desagravio, as Comisións de Matemáticas fixeran caso e comezasen a estender a expresión "desvío padrón"

Fórmulas ou non

Hai varias razóns polas que intento que ofrecer nas clases o menor número de fórmulas posibles. Posiblemente unha delas sexa que eu, nas clases de matemáticas, recibín a mesma educación. Retrospectivamente, ao reflexionar sobre isto, acabei agradecendo que os meus profesores o fixeran así. En coherencia procuro facer agora o mesmo. Concretamente, na materia de Matemáticas II, de 2º de bacharelato, hai que estudar xeometria tridimensional linear desde un punto de vista esencialmente alxébrico. Ademais da caracterización das rectas e os planos, estúdanse os produtos escalar, vectorial e mixto. Isto, xunto coa fórmula que nos dá a distancia entre un punto en un plano, é o único que se necesita para superar os contidos esixidos neste bloque da materia.
Claro que un pode multiplicar o número de fórmulas ou dar múltiples pautas de resolución dependendo do tipo de problema que teñamos que resolver. Coas ferramentas comentadas no primeiro parágrafo espero que ante un problema como o seguinte:

Calcula a distancia entre as rectas r  e s: $$r:\frac { x }{ 3 } =\frac { y }{ 6 } =\frac { z }{ 2 } \quad \quad \quad \quad s:x-1=\frac { y-1 }{ -1 } =\frac { z }{ 2 } $$

a forma de proceder sexa máis ou menos esta:
Os datos que temos son: un punto e un vector de cada unha das rectas. Se obtivéramos o plano π paralelo a r que contén á recta s, a solución virá de calcular a distancia dun punto calquera de r (como P_r) a ese plano π.

Este era un dos exercicios dun exame. A miña sorpresa foi ver que non poucos o resolvían (correctamente) usando este outro método:
Calculaban primeiro a área do paralelepípedo determinado polos vectores $$ { \vec { { u }_{ r } }  },\vec { { u }_{ s } } ,\overrightarrow { { P }_{ r }{ P }_{ s } } $$
Despois obtíñan a área da base mediante o produto vectorial dos dous primeiros vectores. Dividindo as dúas cantidades anteriores achaban a altura do paralelepípedo, isto é, a distancia entre as rectas.
Ben, en realidade o que facían era aplicar esta fórmula:
$$d(r,s)=\frac { \left| \left[ { \overrightarrow { u }  }_{ r },{ \overrightarrow { u }  }_{ s },\vec { { P }_{ r }{ P }_{ s } }  \right]  \right|  }{ \left| { \vec { u }  }_{ r }\times { \vec { u }  }_{ s } \right|  } $$
O problema é que, ao preguntarlles por este método de resolución ninguén me falou nin de volumes, nin de alturas, era simplemente a fórmula que aprenderan nas clases particulares para aplicar a este tipo de exercicios. E por que digo que é un problema, se finalmente daban a solución correcta? Polo seguinte: no mesmo exame tiñan outra pregunta, quizais menos estándar:

Dado o plano α: x+2y+3z-5=0 , calcula a ecuación dun plano paralelo a α que diste 3 unidades da orixe de coordenadas.

Os mesmos alumnos que me deron a resposta que me disgustou no primeiro problema, fixeron mal este segundo. Ningún contestou o que se lle pedía. Usando outra fórmula inédita nas (miñas) clases, calculaban os planos paralelos e distantes 3 unidades de α. Parece que o asunto non era resolver problemas, senón usar fórmulas.


Hai máis razóns para non cargar a clase de matemáticas con fórmulas pero quizais a máis importante sexa a de procurar o traballo na resolución de problemas. A alternativa consiste no relato de algoritmos sen xustificación.
Lembro que as clases de física do bacharelato me resultaban especialmente pesadas e triviais. Os problemas consistían nunha serie de datos. Bastaba con saber unha lista de fórmulas e, á vista dos datos, tiñamos unha na que aparecían todas as variables, agás unha (ou dúas fórmulas das que non coñeciamos dúas incógnitas). Resolver este tipo de problemas facíase moi pesado.

Interpretación da programación linear en 3D

Non comparto para nada a filosofía que hai detrás do deseño da materia de 2º de bacharelato Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais II. Está elaborada como unha materia puramente instrumental, o seu obxectivo fundamental é dotar de ferramentas matemáticas ao alumnado pero sen informar (e polo tanto, sen formar) sobre as razóns matemáticas que hai detrás de cada fórmula ou cada método que se pretende aprender. Deste xeito o que se nos está a pedir implicitamente ao profesorado é que impartirmos aulas de matemáticas como se fosen de relixión. Efectivamente, a metodoloxía subxacente ao currículo consiste nalgo así: "cando atopedes un problema deste tipo, hai que aplicar esta outra receita; amén". Os contidos son tan vastos que na práctica están coutadas outras metodoloxías que non sexan as de practicar acríticamente algoritmos. Un caso típico podémolo exemplificar co tema da programación linear.
Nos libros de texto preséntase o tema mediante un problema típico con dúas variables. De seguido resólvese. A todos os problemas que teñan unha estrutura similar aplicarémoslle o mesmo método. O Geogebra é, sen dúbida un moi bo aliado para relatar como funcionan estes procedementos. Xa que Aldán Santamarina, o matemático-normalizador de Moaña, fixo o traballo de nolo explicar, isto é o que ten que saber  o alumnado de 2º de bacharelato sobre a programación linear:

Para introducir a cuestión podemos partir dun exemplo simple. Consideremos a seguinte serie de restriccións:

$$x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 4 $$

Coa función obxectivo $$f(x,y)=2x+y$$

Para resolver o problema establecemos primeiro a rexión factible, T, determinada polas restriccións dadas.

Do que se trata é de determinar, de entre todos os puntos da rexión factible T cal é (cales son) aquel para o que a función obxectivo toma o maior valor. (Noutros problemas interesa o valor mínimo).
A solución do problema pódese consultar na seguinte aplicación. Ao resolver o problema aparécenos unha misteriosa familia de rectas paralelas (en vermello na aplicación). Para cada unha desas rectas a función obxectivo toma un valor. Movendo o esvarador veremos que o máximo dáse no punto B1=(4,0).

Pero o realmente interesante, a explicación de por que o método funciona, pode vir de engadir unha nova dimensión. Se consideramos a mesma serie de restriccións no espazo tridimensional, no canto de termos o triángulo T que forma a nosa rexión factible, obteremos unha rexión 3D, $$T\times \Re $$. Se no plano cada unha das ecuacións asociadas ás restricción daban lugar a recta, no espazo teremos planos.

A introdución dunha nova dimensión cobra todo o seu sentido ao estudar a función obxectivo como unha nova variable: z=f(x,y)=2x+y. Neste caso temos un novo plano que corta oblícuamente á rexión $$T\times \Re $$
Do que se trata é de determinar o punto que alcanza a maior altura. O punto é B=(4,0,8). A súa proxección sobre o plano XY é a solución que xa obtivemos e está formada polas dúas primeiras coordenadas, (4,0). A terceira coordenada é a que nos dá a altura.

Para cada valor de z temos un plano paralelo ao plano XY. Consideremos por exemplo o plano z=4 (en azul na seguinte aplicación), que cortará ao plano z=2x+y nunha recta. A proxección desta recta sobre o plano XY é esa misteriosa recta na que todos os puntos da función obxectivo valen 4; trátase da recta 2x+y=4. Non é por casualidade que a estas rectas tamén se lles chame rectas de nivel. Con todo, de entre todos os libros de texto que consultei, só nun facían referencia a esta denominación, aínda que non explicaban a razón da mesma.

O malo desta explicación é que quen mellor a pode entender é o alumnado da materia Matemáticas II, máis habituado ao traballo coa xeometría tridimensional. Pero precisamente no seu currículo non aparece a programación linear, xa que é un tema exclusivo do de Matemáticas Aplicadas ás CC.SS. II. No temario desta última materia non hai referencias á xeometría tridimensional, aínda que é moi recomendable facelo cando se trata a resolución de sistemas de ecuacións lineares. Claro que se un perde o tempo en todas estas referencias á xeometría terá moitas dificultades en tratar todo o temario. Cousas dos currículos.