Percorridos entre A e B

Nada máis simple que o que podemos ver nesta imaxe, un segmento entre dous puntos A e B. Nun principio parece que tan pouca cousa non pode dar para moito. Non é así.

Comecemos polo principio. No principio foi Euclides (III a.C.). Nos seus Elementos partía de 5 postulados. Recollo os seguintes aspectos e comentarios da edición feita pola USC, con tradución de Ana Gloria Rodríguez e Celso Rodríguez. O primeiro postulado era este:

[Postúlese] 1. Trazar unha liña recta dende un punto calquera ata un punto calquera

Precisamente nesa edición coméntase que isto implica a existencia de (polo menos) dous puntos. Tamén se resalta que, nun principio, non se pode trazar unha recta arbitraria a partir dun punto. A pesar do seu evidente éxito, no transcurso dos séculos Euclides había de ser criticado en moitos aspectos. Como xa teño comentado as críticas comezaban xa co primeiro postulado que establece a existencia dunha recta entre dous puntos calquera pero non se asegura a unicidade da mesma a pesar de que Euclides tamén dou isto por certo sen postulalo previamente. Decatémonos de que aínda non se estableceu que a liña poida ser infinita. Isto último será materia do segundo postulado:

[Postúlese] 2. E prolongar en liña recta de forma continua unha recta finita.

Este principio había de revelarse fundamental ao profundizar nos fundamentos da xeometría. Cando Giovanni Gerolamo Saccheri (1667-1733) quixo establecer a xeometría euclidiana como a única posible. Para este propósito elaborou dúas xeometrías alternativas nas que non se verificaba o polémico quinto postulado co obxectivo de chegar a unha contradición. Esas xeometrías serían posteriormente denominadas elíptica e hiperbólica. Na xeometría elíptica non tardaría en demostrar a finitude das rectas, a negación directa do segundo postulado, unha contradición evidente que era o que estaba buscando Saccheri. Despois creu obter unha "falsidade manifesta" dentro da xeometría hiperbólica pero foi unha saída en falso. 

Non quero insistir na axiomática da xeometría pois a este tema xa adicara un par de entradas (Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.1 e Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.2). O segmento AB é o esquema de moitos problemas das matemáticas escolares. Pensemos só en todos aqueles que teñen como protagonistas do seu enunciado un par de trens que parten de dous puntos A e B. Como non me quero meter nesta selva, inzada de problemas de todo tipo, voume centrar nun que recollo dun libro de título ben curioso. Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, de Paul J. Nahin. De seguido presento unha versión libre da cuestión

Un paxaro vai de A a B e despois volve de B a A a unha velocidade v. Como é habitual neste tipo de propostas v é constante e o cambio de sentido é maxicamente inmediato. Sexa d a distancia entre os puntos A e B e t=2d/v o tempo que tarda en facer o percorrido de ida e volta. Introduzamos agora unha dificultade. Imos supoñer que o traxecto faise en presenza dun vento dunha velocidade constante w. Tamén consideraremos que w<v. Cando o vento sopre no mesmo sentido do corredor as velocidades súmanse : v+w. Cando o vento vai en sentido contrario ao corredor as velocidades réstanse: v-w. A cuestión é se o tempo que se tarda en facer o percorrido é menor con vento ou sen el.

Seguindo a Paenza, o mellor que poderiamos facer agora sería pensar no problema, quizais pensar nalgúns valores particulares para explorar, quizais modificar algo as condicións, pensar en casos extremos, en axudarnos doutro paxaro que parta de B mentras o primeiro parte de A, elaborar unha estratexia de abordaxe e levala a cabo,... Conviña facer algo disto antes de seguir lendo.

Paxaro indo de A a B

As condicións do problema dan  a impresión de que a pregunta garda unha trampa pois non se ten en conta unha terceira posibilidade, que ademais parece a máis lóxica, a de que o paxaro tarde o mesmo tempo con vento e sen el. Sorprendentemente a resposta non é esta. Poñamos por caso que a velocidade do paxaro é de 10 km/h e que a distancia entre A e B é de 10 km. Neste caso o tempo empregado no traxecto de ida e volta é de 2 horas. Cun vento soprando a 2 km/h o tempo empregado será:

$$\frac{10}{12}+\frac{10}{8}=\frac{200}{96}=\frac{25}{12}>2$$

Se xeneralizamos veremos que o tempo do percorrido é maior con vento que sen el:

$$\frac{d}{v+w}+\frac{d}{v-w}=\frac{d\left ( v-w \right )+d\left ( v+w \right )}{\left ( v+w \right )\left ( v-w \right )}=\\= \frac{dv-dw+dv+dw}{v^{2}-w^{2}}=\frac{2dv}{v^{2}-w^{2}}=\frac{2dv/v^{2}}{\left (v ^{2} -w^{2}\right )/v^{2}}=\\=\frac{2d/v}{1-\left ( w/v \right )^{2}}=\frac{t}{1-\left ( w/v \right )^{2}}\geq t$$

O vento non ten por que soprar na dirección marcada polo segmento AB pois se o fai noutra dirección só nos interesará a proxección do vector que indica a velocidade do vento sobre AB. Isto lévanos a sospeitar que se facemos un percorrido co mesmo punto de inicio e fin, o resultado vaia ser o mesmo. A sospeita é acertada, e quen a queira ver desenvolta pode consultar o libro de Paul Nahin. Isto ten unha consecuencia práctica importante no mundo do atletismo. En presenza de ventos de certa intensidade non se recoñecen determinadas marcas deportivas. Polo que acabamos de contar, nas carreiras nas que se dá un número enteiro de voltas á pista as marcas veríanse sempre perxudicadas polo vento, en consecuencia neste tipo de probas non ten sendido anular as marcas obtidas en presenza de vento. Pode que este resultado lle interese ao compañeiro Paulo González Ogando, que acaba de publicar un libro titulado Matemáticas y deporte (Catarata 2022)

Uns Bocados que abren o apetito

Foto da Libraría Paz

O pasado 23 de febreiro presentouse na Libraría Paz de Pontevedra o libro Bocados matemáticos (Xerais 2022), de Paulo González Ogando. Así foi como puiden desvirtualizar ao autor. Achei unha persoa que me dou a impresión de ser moi sistemática e ordenada e á que lle gustan os libros de divulgación das matemáticas. Todas estas cualidades son puntais fundamentais para un autor desa clase de libros.

O primeiro en intervir na presentación foi Fran Alonso, moi preocupado polos resultados dos informes da lectura, especialmente da lectura en galego. Só un 4% da poboación le na nosa lingua, todo un síntoma dun enorme problema que non recibe nin a atención nin as solucións que precisa. Fran Alonso enmarcou os Bocados matemáticos baixo dous parámetros. En primeiro lugar identificouno como pertencente á tradición anglosaxona da divulgación. En segundo lugar, é un volume máis da colección Básicos de ciencia, unha colección que todos aos que nos gusta a divulgación agradecemos infititamente e que certifica que a editorial é fiel á súas orixes. O director de Xerais lembrounos que o primeiro libro da editorial foi un libro de texto de matemáticas de 1º de BUP, o do colectivo Vacaloura. Un libro, que baixo a lexisación actual estaría prohibido publicar por ser un libro de texto de matemáticas en galego. Con esta intervención, Fran Alonso pisou o que tiña preparado eu, con todo, aproveitei para lembrar que o libro do colectivo Vacaloura publicouse a comezos do curso do ano 1979. Uns poucos meses antes publícase o "Decreto do bilingüismo", que segundo a propaganda oficial do momento era o da incorporación da lingua galega ao sistema educativo. Na realidade, se un profesor quería impartir aulas en galego, debía pedir permiso á dirección, ao claustro de profesores, aos pais do alumnado e, de ter o permiso de todos eles, podería elaborar un informe solicitando ao Ministerio de Educación a aprobación do uso da lingua galega na docencia. Para o castelán non había ningún requisito: iso era o bilingüismo. Co soporte dese decreto non se impartiu nin unha hora en galego; pola contra, serviu para fustigar a represión do uso da lingua no ensino. Basta lembrar os casos de Alfonso Castro no colexio do Foxo, na Estrada ou o de Pepa Bahamonde en Rois.

O decreto do bilingüismo do século XXI chámase "decreto de plurilingüismo". Era imprescindible falar del na presentación deste libro, aínda con máis razón se sabemos que nas primeiras páxinas faise referencia ao mesmo:

[este libro] Foi escrito nun tempo en que a materia de Matemáticas na Educación Secundaria Obrigatoria se debe impartir obrigatoriamente en castelán, o cal contribuiu notablemente a ocultarlle ao alumnado o vocabulario específico en galego e a minimizar nesta nosa lingua tanto a expresión oral das matemáticas como a produción escrita de material, tanto didáctico coma tamén divulgtivo. [o subliñado é meu]

Fálase de minimizar. Respecto aos libros de texto foise máis alá: aniquilación completa da lingua galega. Fálase de ocultar. Un verbo terrible cando estamos tratando de educación. A ocultación implica descoñecemento. O descoñecemento leva ao desleixo, ao desprezo e incluso ao dodio á lingua. Todo iso é o decreto 79/2010. 

Tamén se fala de divulgación científica. A este respecto, cal é o panorama? Cantos libros de divulgación das matemáticas en galego se publicaron no século XXI?. Como non son moitos, vou citalos todos:

• Bocados matemáticos, de Paulo González Ogando, Xerais 2022
• Apoloxía dun matemático, de G. H. Hardy, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2020
• Mate-glifos, de Nicanor Alonso e Miguel Mirás, Xerais 2019
• Un conto enleado, de Lewis Carrol, traducido por Xosé Díaz Díaz, Toxosoutos 2017
• As mulleres nas matemáticas, de Matilde Ríos Fachal, Bahía 2008
• A Estatística, ¡en caricaturas!, de Larry Gonick e Wollcott Smith, SGAPEIO 2001

Podémolo poñer nun gráfico:

Parece un número escrito en binario

Para entender mellor a situación, comparémolo co caso do castelán. Cantos libros divulgativos de matemáticas se publicaron neste século en castelán?. Isto non é fácil de responder. Por sorte hai un portal, Divulgamat,  que fai recensión de moitos deles. Se o consultamos veremos que no mesmo período teñen un rexistro dun 985 (coa data desta entrada). Isto significa que seguro que hai máis de 1000. A poboación española é unhas 17 veces a galega. 1000 dividido entre 17 dá aproximadamente 60. Para falarmos dunha situación parella (de bilingüismo?) terían que terse publicado 60 libros de divulgación das matemáticas durante este século. Publicáronse 6. Xa temos unha cifra redonda que nos aclara que vivimos 10 veces por debaixo das nosas necesidades. Esa é a a medida da exclusión do galego no ámbito da divulgación das matemáticas.

Centrémonos agora algo nos Bocados matemáticos. Non vou facer spoiler, pero si dar trazas dos sabores que nos deixan eses petiscos, pois tal e como explicou Paulo, trátase dunha colección de 36 relatos independentes sobre curiosidades matemáticas que lle interesaron. Ao seren independentes podémolas ler en calquera orde. 

Nun dos capítulos contrapóñense as matemáticas centradas nos algoritmos fronte a outras máis profundas, asentadas nos por que, nas ideas, as razóns. Por exemplo, todos sabemos que non se pode dividir por 0, pero por que? Se facemos memoria da época escolar recordaremos que $a^{0}=1$, pero cal é a razón? Velaquí onde residen as matemáticas fermosas, nesta indagación.

Outro lugar onde esperariamos achar beleza matemática sería na xeometría. No libro hai un capítulo adicado a ela, pero non se falará dunha xeometría con listados de fórmulas de áreas, perímetros ou volumes. Falarase, por exemplo da forma dos folios como os DIN A3 ou A4. Por que esa esa proporción entre os lados e non outra? A seguinte figura suxírenos algunha resposta

Un dos problemas a afrontar para achegar as matemáticas á xente é o da utilidade. Cando se presenta un tema de carácter matemático é habitual escoitar a acusación de que non serve para nada: "cando vou eu usar un espazo vectorial?, se vou á compra non necesito polinomios.... " Fronte a isto, podemos retrucar co xa tratado asunto do tamaño das follas de papel da norma DIN, ou incluso co contido dun capítulo completo dos Bocados adicado ás chamadas matemáticas do reloxo, a aritmética modular que trata os segredos do NIF, o IBAN, o ISBN ou os sistemas de encriptación.

O propio Paulo repasaría os aspectos máis importantes de moitos dos bocados do seu libro. Tamén comentaría que todo comezara da lectura doutros libros divulgativos, dos que foi tomando notas para uso persoal. Só cando tivo unha boa cantidade acumulada decidiu dar o paso de expurgar, organizar e reelaborar o que acabaría sendo o contido dos Bocados matemáticos.

Para finalizar non resisto comentar unha impresión persoal que me asaltou cando lin o libro. Un dos capítulos está adicado aos paradoxos. Alegroume moito esta escolla porque o primeiro libro de divulgación científica que lin foi precisamente ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar, de Martin Gardner nesa marabillosa edición de Labor do ano 1983. E por que paradoxos? Unha das características máis ligadas á esencia das matemáticas é o ben construídas que están. Na matemática todo funciona de forma excepcionalmente coherente. É o que en lóxica se chama consistencia. Ata onde Gödel nos permite, as matemáticas conforman unha excepcional maquinaria perfectamente engraxada, sen contradicións. Por iso mostrar un paradoxo dentro do ámbito das matemáticas chama moito máis a atención que en calquera outro campo. Os paradoxos matemáticos enganchan porque sentimos unha necesidade perentoria de desfacernos deles. Aí reside o acerto de Paulo en escoller este tema como o fío condutor dun dos capítulos dos Bocados. 

Ademais das miñas teimas, comentei catro aspectos dun libro que agardo lle abran o apetito a quen pase os ollos por estas liñas. O bo é que quen lea o libro non vai empachar, quedará con gañas de máis bocados de matemáticas. 

Neuse anónima

Nunca reparara nas construcións neuse ata que comecei a remexer no recomendable blogue Regra e compás de Paulo González Ogando. Polas súas máis de 200 entradas podemos navegar por un sistemático estudo das construcións da xeometría plana que son factibles segundo diversos procedementos. Facendo honra ao nome do blogue, moitas delas poden realizarse con regra e compás. Lembremos que neste caso suponse que o compás colapsa nada máis se fixo uso del, polo que non nos serve como transportador de lonxitudes. Tampouco podemos trasladar lonxitudes coa regra pois enténdese que non ten marcas; a súa utilidade consistirá en trazar rectas entre dous puntos calquera do plano. A xeometría euclidiana clásica só facía uso destas ferramentas. Baixo estes supostos moitas construcións non serían posibles. Porén, se no canto da regra clásica permitimos usar unha regra con dúas marcas Q e R a unha distancia QR=a (diastema), seremos quen de trisecar ángulos (seguindo ben a Arquímedes, ben a Conway), duplicar o cubo, construir un heptágono  un eneágono e moitos outros polígonos regulares. O uso da regra marcada tamén é coñecido como neuse, segundo a súa denominación clásica. Vexamos en que consiste.

Os seguintes parágrafos describen o que se pode ver na applet de Geogebra.

Supoñamos que temos un punto P, dúas rectas r e s e unha distancia Q'R'=a. Imaxinemos que cravamos en P unha punta. Agora colocamos a regra marcada pasando por P e xirámola mantendo o punto Q' na recta s ata que o outro extremo do segmento, R', fique sobre r. Así obtemos a recta buscada que pasa por A, B (distantes a unidades) e P.

Se partimos dun punto P e dúas circunferencias c e d, volvemos a colocar a punta en P e sobre ela xiramos a regra marcada mantendo o punto Q na circunferencia c ata que o outro extremo, R, fique en d. Así achamos os segmentos AB e CD, ambos aliñados con P e de lonxitude igual á do diastema QR.

Finalmente dado P, unha circunferencia c e unha recta r, colocando a punta en P e movendo sobre ela a recta marcada co punto Q na circunferencia, obteremos AB e CD, ambos aliñados con P e de lonxitude igual á do diastema QR.

A neuse para resolver a duplicación do cubo

Os libros de historia das matemáticas afirman que nesta ciencia houbo un cambio substancial na época da Grecia clásica. Anteriormente, en Exipto e Babilonia as matemáticas aparecían sempre como técnica aplicadas para a resolución de determinados problemas prácticos. Non hai constancia dunhas matemáticas entendidas como un saber dedutivo que trata sobre teorías abstractas. Consideremos, por exemplo, un dos problemas clásicos, o 

Problema da duplicación do cubo. Dado un cubo de aresta AB, achar (con regra e compás) a aresta CD doutro cubo que duplique o volume do de aresta AB.

Parece ser que Eratóstenes de Cirene (276 a.C - 194 a.C.) é o autor dunha carta que contén, non unha, senón dúas versións do problema. Aquí xa comezamos a enxergar que pouco importa o contexto do problema. Un dos enunciados ten como protagonista ao mítico rei Minos ao que as dimensións da tumba do seu fillo Glauco lle parecían demasiado pequenas e ordenaba construir unha co dobre de capacidade. A outra versión relata que os atenienses consultaron como facerlle fronte a unha devastadora epidemia ao  oráculo de Apolo en Delos. A resposta foi que debían duplicar o altar de Apolo, de forma cúbica. Velaquí que este problema tamén recibe o nome de problema délico.

A restricción das ferramentas a usar, en exclusiva a regra e o compás, é o que fan imposible a resolución do problema tal e como demostrou en termos alxébricos Pierre Wantzel no 1837. Porén, se permitimos outros métodos de construción si podemos resolver o problema. En particular, podémolo facer empregando a neuse 

Paulo R. Ogando reproduce a construción do clásico de Henrich Dörrie (1873-1955), 100 Great Problems of Elementary Mathematics que é esencialmente unha versión simplificada da de Nicomedes (ca. 280 a.C- ca 210 a.C)  debida a Newton (1642/3-1727). Velaquí a ligazón a esa entrada en Regra e compás.

A neuse anónima

Vou presentar outra construción con regra marcada para a duplicación do cubo, coa particularidade de que non sei de onde a saquei. Tíñaa entre as notas da lectura do libro Tales of impossibility de David S. Richeson, que trata, en boa medida os mesmos temas que o blogue Regra e compás. Pero despois dunha rápida revisión comprobei que non estaba nese libro e non podo dicir a quen se lle debe atribuir esta neuse anónima. 

Partimos dun segmento AB de lonxitude 1. O noso obxectivo será determinar outro segmento AE que mida $\sqrt[3]{2}$. Para iso comezamos prolongando a recta AB e despois trazamos unha circunferencia de centro B e raio AB que corta á recta en C. Tomando este novo punto como centro trazamos outra circunferencia do mesmo raio que cortará a outra en D. A recta BD formará un ángulo de 60º coa outra. Trazamos tamén a perpendicular a AB polo punto B.

Agora aplicamos a construción coa regra marcada en dous puntos que disten 1. Colocando a punta en A movemos a marca da regra pola perpendicular BE ata que o outro extremo da marca se encontre sobre a recta BD no punto F. Temos pois a recta AEF onde EF mide 1 e AE será a solución buscada. Para comprobalo trazamos finalmente desde F a perpendicular á recta AB.

Chamémoslle α ao ángulo comprendido entre AF e AB. O seu coseno nos triángulos rectángulos ABE e AGF dan lugar a que $$cos\alpha =\frac{1}{x}=\frac{1+BG}{1+x} \Rightarrow BG=\frac{1}{x}$$

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo ABE temos que $BE=\sqrt{x^{2}-1}$

Agora, calculando o coseno de 60º: $$cos60=\frac{BG}{BF}=\frac{1/x}{BF} \Rightarrow BF=\frac{2}{x}$$

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo BGF obtemos $FG=\frac{\sqrt{3}}{x}$

Como as rectas EB e FG son paralelas podemos aplicar o teorema de Tales:$$\frac{AE}{AF}=\frac{EB}{FG}\Rightarrow \frac{x}{1+x}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{3}/x}$$

Unhas poucas contas transforman esta última igualdade na ecuación: $$x^{4}+2x^{3}-2x-4=0\\\left ( x^{3}-2 \right )\left ( x+2 \right )=0$$

Descartamos a solución negativa x=-2 e quedámonos con que o valor de $x=\sqrt[3]{2}$