O círculo que mola

Hai uns meses un compañeiro, taménm profesor de matemáticas, recomendárame ver A serie clopen, o proxecto do Centro Dramático Gaglego (CDG) que se estaba representando nesa altura. A recomendación viña, en concreto, da conexión da obra coas matemáticas. Como a min me gusta tanto esa ciencia como o teatro, tiven o firme propósito de ir ver o espectáculo. Porén, unhas veces por unha cousa e outras veces por outra, non fun quen de dar co momento de acudir a unha representación. Resulta que o director escénico desta obra do CDG, Pablo Reboleiro, é o mesmo que está detrás deste vídeo que promete ser o primeiro dunha serie na que, facendo uso das artes escénicas, presentan ideas matemáticas. Para min unha doce e gorentosa sorpresa da que vou destacar sobre todo unha cousa: que está en galego. Isto non é raro no mundo do teatro pero si dentro do ámbito da transmisión das matemáticas. Esta estrañeza ten unha razón fundamental, a prohibición do uso do galego no ensino non universitario establecida no funesto decreto 79/2010. Esta prohibición afecta a este vídeo, na medida en que se pode entender como unha ferramenta para o ensino das matemáticas, en consecuencia (repárese no disparate!) é un material prohibido polo apartado 13.1 do citado decreto de exclusión da lingua galega que di que

 Os materiais e libros de texto das materias impartidas [...]  en castelán [como as matemáticas] estarán redactados na lingua en que se imparta a materia.

Diante desta evidencia vese, espido, o monstruo de radicalidade que senta nas cadeiras do goberno galego que é o menos galego dos gobernos, do que aquí damos evidencia constatable. Para colmo do disparate, a iniciativa, que ten o título de "As mates tamén molan", conta coa colaboración da propia Xunta (!) por medio do financiamento NextGenerationEU. Daqula, xa sabemos cal é a forma do monstruo, un ouróboros devorándose a si mesmo. Este é un círculo que non mola. 

Noutra orde de cousas, Pablo Reboleiro, preséntasenos aquí baixo un perfil youtubeiro, asinando como @pr2, o que nos leva directamente á área do círculo, $\pi r^{2}$ . El preséntase como actor, artista de circo, pallaso e director escénico. "As mates tamén molan" forman parte dos proxectos da compañía de teatro da que Pablo Reboleiro é fundador, Pista Catro. Se ademais sabemos que el é profesor de secundaria e licenciado en Matemáticas, a carreira por excelencia dos pallasos, vemos agora como se pecha o círculo. Este círculo si que mola.

Non deixes de visitar a canle de @pr2

Denuncia da prohibición do uso do galego no ensino das matemáticas

Coñecín a Macías López, profesor de matemáticas, a raíz dun boletín que publicara cando estaba impartindo clase no Porto do Son. Tratábase da Revista Lambda, unh publicación onde podemos achar diversos artigos divulgativos sobre esta ciencia adicados a temas tan diversos como o cubo de Rubik, a banda de Möebius ou ao autor da Carta Xeométrica, Domingo Fontán. 

Neste vídeo, a coñecida activista da lingua, Mercedes Queixas, faille unha pequena entrevista a Macías na que se denuncia a prohibición de impartir aulas de matemáticas en galego. Só un escuro radicalismo antigalego pode seguir sustentando a exclusión da nosa lingua nas aulas, pois é practicamente o único reducto normalizador con visos de efectividade que nos queda a man nun momento de grave retroceso no uso do galego.

Explícoche matemáticas 2025

O concurso Explícoche Matemáticas do SNL da Facultade de Matemáticas da USC pon en evidencia a radicalidade ultra da prohibición do ensino das matemáticas en galego. Xa vai pola súa 13ª edición.

Na edición deste ano do Explícoche Matemáticas o vídeo gañador foi o de Antía Fernández Paulos do IES Castro Alobre (Vilagarcía de Arousa) cun traballo titulado Xogando a aproximar pi:

 

 O segundo premio foi para Adrián Arnoso Bermúdez, Manuel Díaz Sánchez, Saúl López Souto do IES Díaz Pardo (Sada) cun vídeo titulado A tartaruga Fleury

 

O Círculo Anónimo

Varias das últimas entradas deste blogue tiveron como protagonista a Márta Svéd,(A curiosa xeometría de Márta Svéd. Introdución,  A curiosa xeometría de Márta Svéd. O desprazamento, e A curiosa xeometría de Márta Svéd.O V postulado e máis alá) matemática húngara nacida no 1910 que desenvolvería a maior parte do seu traballo en Australia. Isto fixo que me preguntara cales foron as circunstancias da súa vida, especialmente o caldo de cultivo no que creceu a súa afición polas matemáticas. Márta pertenceu a un grupo de estudantes universitarios de Budapest que se coñece como Círculo Anónimo porque se reunían con frecuencia ao pé dunha estatua no parque central da cidade que está adicada a un historiadior medieval anónimo húngaro. Estas reunións foron un dos principais incentivos que eles mesmos relataron como fundamentais para o seu interese polas matemáticas. Para coñecer mellor as súas orixes debemos remitirnos a unha revista, 

Número do 1900 da
revista KöMaL

a  Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (KöMaL) ou Revista de Matemáticas e Física de Secundaria. Foi fundada por un profesor de secundaria, Dániel Arany (1863-1945), en Győr (Hungría). A revista propón problemas aos estudantes e estes envíanlle as súas solucións ao editor. As solucións son cualificadas por un grupo de colaboradores e despois publícanse co nome do autor. O primeiro número de KöMaL aparece o 1 de xaneiro de 1894. Ese mesmo ano, e con problemas que apareceran na revista, tamén comeza o Concurso de Matemáticas de Eötvös que pasaría a chamarse Krürschák a partir da II Guerra Mundial. Este concurso serviría de modelo e inspiración doutros que comezaron a convocarse nas primeiras décadas do século XX, como foi o caso da de Leningrado (San Petersburgo). No 1959 Rumanía convoca a varios países da órbita da URSS (Hungría, Polonia, Checoslovaquia, RDA e URSS) na primeira edición dunha Olimpíada Matemática Internacional. Finlandia uniríase no 1965, Gran Bretaña, Francia e Italia no 1967. A partir dese momento o número de países participantes aumentou rapidamente.

Parece ser que Lipót (Weiss) Fejér (1880-1959), quen obtivera moi malos resultados na escola primaria, comezou a interesarse polas matemáticas da man de Sigismund Maskay e converteuse nun solucionador habitual dos problemas da KöMaL. Acadou o segundo posto na Eötvos de 1897. Cunha excelente capacidade narrativa, as conferencias e artigos de Fejér forxaron moitas vocacións matemáticas. Dirixiu unha escola de análise de gran éxito. Foi director de tese de John von Neumann, George Pólya, Pál Erdős ou Pál Turán. 

KöMaL deixa de editarse durante a I Guerra Mundial. A partir do 1925 cae baixo a dirección de Andor Faragó (1877-1944) e comeza a publicar as fotos dos mellores resolutores de problemas. Cando eses alumnos chegan á universidade recoñécense por esas fotografías. Isto facilita que se poñan en contacto. Así, un grupo de mozos xudeus, desafiando as leis que impedían as reunións, xúntanse nun parque no centro de Budapest, ao pé da estatua de Anónimo. A veces eran catro ou cinco, pero podían chegar a reunirse ata uns vinte. Conversaban de moitos temas, pero sobre todo da súa paixón, as matemáticas. 

Estatua de Anónimo no
parque central de Budapest

A figura máis destacada do Círculo Anónimo foi 

Pál Erdős (1913-1996). Xa desde pequeno dou mostras de interese polas matemáticas. Canto tiña un ano as tropas rusas tomaron prisioneiro ao seu pai, Lajos (Engländer) Erdős, quen permaneceria nun cárcere en Siberia durante seis anos. 

A pesar do antisemitismo obtén praza na universidade de Budapést e doctórase aos 21 anos. Marcha ao Reino Unido e posteriormente aos Estados Unidos. Foi tremendamente prolífico pois chegou a publicar uns 1500 artigos, moitos deles en colaboración con outros 500 coautores. 

Na seguinte película documental do ano 1993, N is a Number, a Portrait of Paul Erdős, relátanse algúns dos seus principais aspectos biográficos. Recomendo ver sobre todo a parte que vai entre o minuto 8:50 e 12:20 pois é o que máis relación ten con esta entrada.

No intervalo indicado entrevístase a Márta Svéd, amiga de Pál Erdős

Márta (Wachberger) Svéd. Márta e o seu marido George Svéd marcharon de Hungría no ano 1939. O seu país de acollida foi Australia. Ela converteuse na directora do departamento de matemáticas da Wilderness School, unha escola de ensino secundario privada para nenas en Adelaida. Traballou alí ata1958, ano no que pasou a ser docente na Universidade de Adelaida tras completar a súa formación matemática. Entre as súas contribucións matemáticas, Márta desenvolveu un algoritmo para, a partir de tomografías computarizadas, recrear modelos de nylon en 3D de cranios de pacientes. Estes modelos usáronse durante anos na Unidade Craneofacial Australiana (en Adelaida) para planificar cirurxías complicadas en nenas e nenos desfigurados por anomalías craneofaciais. Con 75 anos defendeu a súa tese de doutoramento na Universidade de Adelaida. A Australian Maths Trust homenaxeouna no ano 1994 e entre outros aspectos destacaban que foi a creadora da primeira revista para estudantes de secundaria en Australia. Márta quixo levar ao estudantado australiano a exitosa experiencia que ela mesma vivira grazas á KöMaL.

Márta é a autora de Journey into Geometries (AMM 1991) unha curiosa obra dialogada con tres personaxes principais, Alicia, unha muller con gran capacidade de razoamento matemático, Lewis Carroll, que representa as matemáticas decimonónicas e o curioso Dr. Whatif, que sempre está buscando novas hipóteses e reivindica o papel das matemáticas do século XX ao estilo hilbertiano. Todos eles interactúan con outros personaxes recollidos de Alicia no país das marabillas.

Para comprender mellor o ambiente universitario no que se desenvolveron Márta e Erdős continuaremos reseñando as biografías dos compoñentes do Círculo Anónimo. As fotos que aparecen nesta entrada foron todas sacadas da revista KöMaL.

Deső Lázár (1913-1943). Debido á lei do númerus clausus non puido ingresar na universidade en Budapest e tivo que marchar a estudar á de Szeged, xunto a Géza Gründwald. Só publicou un artigo na súa vida, precisamente sobre a xeneralización dun problema de Géza. Traballou de carpinteiro e despois conseguiu un posto de profesor. Ferido nunha perna morreu desangrado. No 1974 Rózsa Péter pídelle ás escolas secundarias adicar un premio á memoria dun matemático falecido na II Guerra. A noticia chégalle a Erdős e el é quen propón homenaxear a Deső Lázár.

Géza Gründwald (1910-1943). Alumno de Lajos Erdős. Era un gran xogador de xadrez. Compañeiro de clase de Pál Erdős, xuntos xogaban ao xadrez no parque de Várolisget. Procedía dunha familia con poucos recursos así que cando enfermou de tuberculose, enfermidade grave nesa altura, non tiña posibilidades dun bo tratamento. Sería Lajos quen acudiría na súa axuda para pagarlle o ingreso nun sanatorio durante un ano. Debido á enfermidade, e tamén á lei racista de números clausus, non obtén praza universitaria en Bucarest. Por mediación de Lajos consigue ir á universidade do sur de Hungría en Szeged. Publica varios artigos sobre os polinomios de interpolación de Lagrange.

Durante a II Guerra Mundial ingresou nun servizo de traballos forzados. Un dos vixiantes era matemático e lera algún dos seus artigos.Debido a isto procuroulle un traballo mellor. Finalmente sería fusilado con case todos os membros do seu grupo como represalia por un acto de sabotaxe en Gyor.

Pál Turan (1910-1976). Escibiría uns 150 artigos. Traballou na teoría de números. Foi fundador da teoría de grafos exrtremais. Fixo a tese baixo a dirección de Féjer. Durante a II Guerra Mundial estivo en varios campos de traballo. Posiblemente isto salvoulle a vida xa que os xudeos que non estaban nos campos foron traslados aos campos de exterminio. Continuou facendo matemáticas neste campos, incluso dixo que moitas das mellores ideas que tivo foron nesta penosa situación. Morreu de leucemia, sen sabelo, xa que a súa familia, en concreto a súa muller, a matemática Vera Sós, ocultoullo.

Tibor (Gründwald) Gallai (1912-1942)  Traballou en combinatoria e teoría de grafos. O mellor amigo de  Erdős ao que coñeceu no instituto. Os seus profesores non lle permitiron participar no Eötvos, e como no exame de ingreso do seu ano quedou en 5º lugar (George Svéd quedara de 1º e Marta (Wachberger) Svéd de 3ª), debido ao númerus clausus non puido ingresar na universidade. Preséntase á seguinte edición do Eötvos (1930) e queda primeiro, co que pode ingresar directamente nos estudos superiores. Ao finalizar a II Guerra Mundial comeza a dar clases nun centro de Secundaria. Era un profesor excelente. Tivo entre as súas alumnas a Vera Sós. Tiña un grao de integridade esaxerado. Deixou o instituto no que estaba traballando para coidar á súa muller sen cobrar pois consideraba que non debía facelo se non aportaba nada. Chegou a vivir practicamente na indixencia. Moitos dos seus resultados recibiron o nome doutros matemáticos porque a el non lle importaba, incluso o fomentaba. Cando na revista KöMaL publican un artigo laudatorio sobre el, como acto de protesta, abandona a Sociedade J. Bolyai, a responsable da publicación.

Lázsló Alpár (1914-1991) Membro do Partido Comunista, ilegal, foi detido no ano 1932 e encarcerado. Foi expulsado da Universidade polo seu activismo no movemento estudantil comunista. Marcha a Francia e estuda na Sorbona. Alí é detido por "sospeitoso comunista" e permanece prisioneiro durante a II Guerra Mundial ata que escapa e organiza un grupo partisano da resistencia francesa, participando en varias accións con éxito como a voadura da ponte do río Durance. Regresa a Hungría e participa en actvidades sindicais. No 1949 é depurado no proceso de Rajk e volveu a prisión (1949-1953). Anos despois sería rehabilitado. 

Fixo contribucións na teoría de funcións complexas. Nos últimos anos da súa vida escribiu textos divulgativos e de historia das matemáticas. Suicidouse.

Endre (Weisfeld) Vazsónyi (1916-2003). O pai tiña unha zaparería moi próspera en Bucarest. Tería uns 13 anos cando coñece a Erdős. Segundo un relato do propio Vazsónyi, Pál pídelle un número de catro cifras. Cando llo di, Erdős devólvelle inmediatamente o seu cadrado. De seguido pregúntalle cantas demostracións coñece do teorema de Pitágoras. Vazsónyi só coñecía unha. Erdős sabía de 37. Endre aña o Eötvos de 1931.Fai a tese, dirixido por Féjer, sobre superficies de dimensión superior. Fronte á terrible discriminación dos xudeus, fuxe a Francia e despos aos EEUU. Alí traballaría para a industria militar e na informatización dunha gran compañía. Tamén participou en estudos de investigación operativa. 

George Szekeres (1911-2005). Mostrou interese e capacidades nas matemáticas integrándose no Círculo Anónimo, porén cando iniciou os estudos universitarios, fíxoo no campo da química na Universidade Técnica de Budapest, seguindo os desexos dos seus pais que necesitaban químicos para o negocio familiar. Mentres estudaba, a firma familiar crebou e, cando ao graduarse en 1933, traballou ata 1939 para unha empresa de peles en Simontornya, un centenar de quilómetros ao norte de Budapest. 

Ao agravarse o antisemitismo baixo a influencia nazi , emigrou coa súa muller Ester (Klein) Szekeres (1910-2005) a Shanghái (China), onde xa se marchou o seu irmán, Imre, anteriormente. A empresa na que traballaba en Shanghái tamén crebou e atopáronse cun recentemente nado no medio da Segunda Guerra chinojaponesa e da revolución comunista chinesa . Despois de anos de penurias extremas, en 1945, ao terminar a Segunda Guerra Mundial , traballou de administrativo nunha base aérea estadounidense. En 1948, a familia trasladouse a Adelaida (Australia) , aceptando unha invitación como profesor na universidade desta cidade. Alí vivirían no apartamento de Márta Svéd durante tres anos. En 1964 trasladáronse a Sydney para ser profesor da universidade de Nova Gales do Sur . Retirouse en 1976, pero durante vinte e cinco anos máis estivo a ir á universidade case todos os días.  En 2004, volveu vivir a Adelaida, cos seus fillos, pero a súa muller sufriu un ictus e tivo que ser ingresada nunha residencia. Uns meses despois, el tamén ingresou na mesma residencia, na que faleceron ambos o mesmo día de agosto de 2005.

En 1984, cofundou coa súa muller unha reunión semanal de enriquecemento das matemáticas que desde entón ampliouse ata converterse nun programa duns 30 grupos que seguen reuníndose semanalmente e inspirando a estudantes de secundaria en toda Australia e Nova Zelandia.

No ano 1995 a Australian Maths Trust homenaxeou ao matrimonio. Entre outras cousas destacaban que George foi precursor doutra revista para o alumnado de secundaria, Parabola, que aínda se publica actualmente.

Szekeres é autor ou coautor de máis dun centenar de artigos publicados en revistas científicas. Os seus campos de traballo máis notables son a teoría de grafos, a álxebra e teoría de grupos , a teoría de números , a análise matemática  e a física matemática 

Explícoche matemáticas 2024

A Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC resolveu o concurso Explícoche Matemáticas 2.0 da edición deste ano. Outra vez este concurso tráeme novas que me alegran inmensamente porque o traballo presentado desde o meu centro recibiu o 2º premio. As alumnas de 4º da ESO Alba Albarellos Pose, Noa Otero Calviño e Carla Prieto Loureiro do IES Antón Losada Diéguez (A Estrada), axudadas polos profesores María Paz e Emilio Villanueva tiveron a feliz idea de crear un vídeo musical co título "A trigonometría non é un tostón". Desde que vin o vídeo hai un par de meses, estaba agardando a que saíra a resolución do premio, tiña a certeza de que estas rapazas recibirían un recoñecemento.

O primeiro premio foi para o traballo de Julia Rama González co traballo "Por que a raíz cadrada de 2 é irracional?" no que, mediante o uso de recursos de animación desenvolve unha fermosa demostración da irracionalidade de $\sqrt{2}$ que publicara o portal Gaussianos o ano pasado, recollida á súa vez da canle de Michael Penn, quen dicía tela recollido dun artigo de Theodor Stermann (1902-1991) publicado no 1961. Parece ser que esta demostración "fascinou a moitos matemáticos". Paga a pena coñecela.

O último traballo premiado é o deste vídeo de Teo Calo Suárez, "As matemáticas de Google Maps e máis alá". Magníficamente editado, Teo explícanos algunhas das características máis interesantes dos grafos.

Os premios "Explícoche Matemáticas 2.0" [ver en Retallos Webl] unha exitosa iniciativa da CNL da Facultade de Matemáticas da USC, tiveron a súa primeira edición no 2012. Desde aquela, e coa salvedade do ano 2020 (o da pandemia COVID) veñen outorgándose todos os anos polo que esta é a súa 12ª edición.

A inversión proxectada

Paga a pena ler as anotacións da biografía de Jakob Steiner (1796-1863) do portal MacTutor da Universidade de St. Andrews (Escocia) para enterármonos dos avatares da súa vida. Alí cóntase que non aprendeu a ler nin a escribir ata os 14 anos e que os seus pais non querían que estudase. Foi pola súa propia iniciativa que ingresou na escola de Pestalozzi e só despois de estar varios anos gañándose a vida como profesor particular de matemáticas, chegou a ter a atención doutros matemáticos do seu tempo como Jacobi, Abel ou Crelle. De feito xa no primeiro número do famoso Xornal de Crelle aparece un artigo de Steiner no que desenvolve a súa teoría da potencia dun punto respecto dunha circunferencia. En relación con estas ideas o matemático suízo inventa no ano 1830 unha cuasi-transformación do plano (afecta a todo o plano agás a un punto). Estamos a falar da inversión. Presentaremos dous métodos equivalentes de construír unha inversión.

Metodo 1. Dado un punto $P$ no círculo de centro $O$ e raio $R=OT$ trazamos a semirecta $OP$ e a súa perpendicular polo punto $P$. Esta perpendicular cortará en dous puntos á circunfenrencia. A tanxente nun destes puntos cortará a semirecta $OP$ nun punto $P'$ que será a inversión de $P$

No caso de que $P$ fique fóra do círculo a obtención de $P'$ sería semellante. Desde $P$ trazamos unha das tanxentes á circunferencia $PT$. Despois trázase a perpendicular a $OP$ por $T$ e obtemos $P'$

 

Nesta applet pódese comprobar que o segundo método é equivalente ao primeiro.

Método 2. Se $P$ está dentro do círculo de centro $O$ e raio $R=OU$ trazamos a semirecta $OP$ e o diámetro $RS$ ortogonal a $OP$. Desde un destes extremos do diámetro, diagamos $R$, trazamos a semirecta $RP$ que cortará á circunferencia en $V$. Trazamos entón a semirecta $SV$ que cortará a $OP$ no punto buscado $P'$.

Se $P$ está fóra do devandito círculo bastará con trazar $RP$ que corta á circunferencia en $V$. Entón $SV$ cortará a $OP$ en $P'$.

En ambos casos a inversión dun punto da circunferencia é o propio punto $P'=P$

Formulación alxébrica da inversión

Coa finalidade de obter unha caracterización máis alxébrica, repasemos cada un destes métodos.

Os triángulos $OTP$ e $OTP'$ son semellantes, de aí que $$\frac{OP}{OT}=\frac{OT}{OP'}$$ $$OP\cdot OP'=OT^{2}=R^{2}\quad\quad [1]$$

Vexamos como aplicando o outro método obtemos o mesmo resultado

 Os triángulos $UOP$ e $VOP'$ son semellantes, de aí que $$\frac{OP}{OU}=\frac{OV}{OP'}$$ $$OP\cdot OP'=OU\cdot OV=R^{2}\quad\quad [1']$$

Así podemos definir o inverso dun punto $P$ respecto dunha circunferencia de centro $O$ e raio $R$ como outro punto $P'$ na semirecta $OP$ tal que $OP\cdot OP'=R^{2}$

Con esta observación fica claro que o inverso do inverso é o propio punto.

A inversión proxectada

Curiosamente a proxección estereográfica, da que falamos na anterior entrada,  está conectada coa inversión. En concreto, podemos definir a inversión mediante a proxección estereográfica. 

Consideremos o plano $\sigma$ e nel unha circunferencia de centro $S$ e raio $R=2r$, con $r$ o raio da esfera $NP_{\pi}S$ tanxente a $\sigma$ en $S$

Dado un punto $P$ de $\sigma$, mediante a inversa da proxección esteriográfica obtemos na esfera o punto $P_{\pi }$. Sexa entón $P'_{\pi }$ o punto diametralmente oposto a $P_{\pi }$ nesa esfera. A proxección estereográfica deste punto será $\overline{P_{\pi }'}$.

Como $P_{\pi }P'_{\pi }$ é un diámetro o ángulo en $N$ é recto. Velaí que o triángulo $PN\overline{P_{\pi }'}$ é rectángulo. Polo teorema da altura

$$PS\cdot \overline{P'_{\pi }}S=NS^{2}=\left ( 2r \right )^{2}=R^{2}$$

Como se verifica a condición [1] (equivalentemente [1']) dada anteriormente, o punto $\overline{P'_{\pi }}$ sería o inverso de P respecto da circunferencia de centro $S$ e raio $R$ se non fose por un pequeno detalle: que non está na semirecta $SP$. Por esta razón aínda teremos que aplicarlle unha simetría respecto de $S$ a ese punto para obter, por fin, o inverso $P'$.

En resumo, a inversión dun punto $P$ nun plano $\sigma$ respecto dunha circunferencia de centro $S$ e raio $R$ pode obterse mediante a seguinte serie de transformacións:

• A inversa da proxección estereográfica
• O punto diametralmente oposto respecto do centro da esfera
• A proxección estereográfica
• A simetría respecto do centro na circunferencia

De todo isto conclúese que as propiedades que viramos na anterior entrada sobre a proxección estereográfica esténdense á inversión pois son propiedades que tamén se conservan polas simetrías aplicadas. Isto é:

• Como a proxección estreográfica leva circunferencias que pasan polo Polo Norte en rectas, a inversión transformará circunferencias que pasan polo centro $S$ da circunferencia de inversión en rectas.
• Como a proxección esterográfica leva circunferencias que non pasan polo Polo Norte en circunferencias, a inversión transformará circunferencias que non pasan polo centro $S$ da circunferencia de inversión en circunferencias.
• Como a proxección estereográfica conserva os ángulos, a inversión conservará os ángulos.

Con toda esta bagaxe de certo que a nosa visión do seguinte vídeo será máis profunda, e gozaremos máis del. Que vídeo? Pois un, en concreto o primeiro, dos do marabilloso proxecto Dimensions, no que as imaxes xogan coa proxección estereográfica e a inversión no plano proxectado. Sóavos de algo?

A proxección estereográfica reencontrada

É curioso como hai certas cousas que se nos quedan retidas na memoria mentres que moitas outras, quizais similares, quizais nalgún sentido máis importantes,  as esquecemos. Cando cursaba 1º de carreira, na materia de Topoloxía I, Xosé Masa puxéranos como exemplo de homeomorfismo (aplicación bixectiva, continua e de inversa continua) unha aplicación, \(\pi\), que identificaba a esfera \(S^{2}=\left \{ (X,Y,Z)/X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=r^{2}\right \}\) (sen o punto correspondente ao Polo Norte) co plano \(\mathbb{R}^{2}\) (sen a orixe): $$\pi \left ( X,Y,Z \right )=\left ( \frac{2rX}{r-Z},\frac{2rY}{r-Z} \right )\quad\quad [1]$$

Esta aplicación é coñecida co nome de proxección esterográfica. Constrúese proxectando desde o Polo Norte $N(0,0,r)$  calquera punto da esfera $(X,Y,Z)$ sobre o plano $z=-r$, tanxente á esfera no Polo Sur $S(0,0,-r)$. 

Aínda que pasaron case catro décadas, lembro moi claramente un par de cousas. Unha delas foi que me chamara moito a atención a expresión [1] da función $\pi$, de onde saía?; daquela pensei que nunca chegaría a saber como xustificar esa expresión. Unha segunda cousa que retiven todo este tempo na memeoria foi que Masa déranos a entender que esa función era moi importante. Por iso eu agardaba volver a encontrala máis adiante. Con todo, nese curso non había de ser. Tampouco no resto da carreira, nin despois. Ata hoxe.

Proxección do ecuador

Podemos xogar un pouco coa proxección estereográfica para entendela mellor. É moi sinxelo visualizar que a proxección do ecuador vai ser unha circunferencia. Ademais como o ángulo que forma o eixo terrestre $NS$ coa recta $NP$ é de 45º, se a esfera ten raio $r$ a circunferencia proxectada terá raio $R=2r$. Os paralelos tamén darán lugar a circunfencias. Os paralelos do hemisferio norte proxectaranse en circunferencias de raio maior a $R$ e os do hemisferio sur farano en circunferencias dun raio menor que $R$.

Proxección dun meridiano

Tampouco é dificil visualizar que os meridanos van proxectarse en rectas que pasen polo Polo Sur. Ata aquí os meus coñecementos sobre a cuestión naquela altura. Por algunha razón nestes días volvín sobre to tema. Atopei un deses manuais das "Leccións populares" da editorial MIR,en concreto, o titulado La proyección estereográfica, de G-A. Rosenfeld e N. D. Sergeeva. A maior parte do que vén de seguido foi recollido deste texto.

Para profundizar un pouco máis en todo o relativo á proxección estereográfica, poñamos en práctica algúns coñecementos do currículo de 2º de Bacharelato. Fagamos uso das coordenadas dos puntos amosados nas imaxes: $N(0,0,r)$, $S(0,0,-r)$, $P(X,Y,Z)$ e $P'(x,y,-r)$ e procuremos relacionar as coordendas destes dous últimos puntos. Con ese fin, consideremos os vectores $\overrightarrow{NP}=\left (  X,Y,Z-r\right )$ e $\overrightarrow{NP'}=\left (  x,y,-2r\right )$ que marcan a mesma dirección, de aí que o cociente das súas compoñentes terá que ser unha constante $k$:

$\frac{X}{x}=\frac{Y}{y}=\frac{Z-r}{-2r}=k$, ou equivalentemente 

$$\left.\begin{matrix}X=kx\\ Y=ky\\ Z=r\left ( 1-2k \right )\end{matrix}\right\}\quad \quad [2]$$

Da última das ecuación obtemos que $k=\frac{r-Z}{2R}$. Substituíndo nas dúas primeiras obtense o valor das coordenadas do punto proxectado:

$$x=\frac{X}{k}=\frac{2rX}{r-Z}\quad\quad e \quad\quad y=\frac{Y}{k}=\frac{2rY}{r-Z}$$

Isto é, deducimos a expresión analítica da proxección estereográfica $\pi$ dada en $[1]$. Fagamos o mesmo para obter a inversa $\pi ^{-1}$.

Sexa $P(X,Y,Z)$ un punto da esfera. Verificará a igualdade $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=r^{2}$. Substituíndo nesta expresión os valores obtidos en [2]:

$$k^{2}x^{2}+k^{2}y^{2}+r^{2}\left ( 1-2k \right )^{2}=r^{2}$$ $$k^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )+r^{2}\left ( 1-4k+4k^{2} \right )=r^{2}$$ $$k^{2} \left ( x^{2} +y^{2}+4r^{2}\right )-4kr^{2}=0$$

Se $k=0$ vemos en $[2]$ que obtemos o punto $N(0,0,r)$. Desbotando este caso podemos simplificar esta última igualdade por $k$:

$$k \left ( x^{2} +y^{2}+4r^{2}\right )-4r^{2}=0$$ $$k=\frac{4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}$$

Finalmente presentamos a prometida expresión analítica da inversa que deducimos empregando outra vez as relacións dadas en [2].

$$X=\frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad,\quad Y=\frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad,\quad Z=\frac{x^{2}+y^{2}-4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad\quad [3]$$

$$\pi ^{-1}(x,y)=\left ( \frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}},\frac{4r^{2}y}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}},\frac{x^{2}+y^{2}-4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}} \right )$$

Co obxecto de simplificar os cálculos, a partir de agora tomaremos como valor do raio da esfera $r=1$. Así, por exemplo a anterior expresión [3] reduciríase a :

$$X=\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}\quad,\quad Y=\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}\quad,\quad Z=\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+4}\quad\quad [3']$$

Propiedades da proxección estéreográfica

Comezaremos lembrando como é a ecuación dunha circunferencia no plano. Se $(x_{0},y_{0})$ é o centro da circunferencia e o raio é $R$, aplicando o teorema de Pitágoras:

$$\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right)^{2}=R^{2}$$ $$x^{2}-2x_{0}x+x_{0}^{2}+y^{2}-2y_{0}y+y_{0}^{2}=R^{2}$$ 

$$ x^{2}+y^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}=0$$

Tomando $a=-2x_{0}$, $b=-2y_{0}$ e $c=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}=0$ a expresión fica en

$$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \quad\quad  [4]$$

Propiedade 1. A proxección estereográfica leva circunferencias en circunferencias; se a circunferencia da esfera pasa polo Polo Norte, a súa proxección será unha recta.

Unha circunferencia na esfera é a intersección da esfera cun plano $\alpha :AX+BY+CZ+D=0$. Substituíndo os valores de $X$, $Y$ e $Z$ obtidos en [3'], sacando despois denominadores e reorganizando os termos teremos:

$$A\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}+B\frac{4y}{x^{2}+y^{2}+4}+C\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+4}+D=0$$ $$4Ax+4By+\left ( x^{2}+y^{2}-4 \right )C+\left ( x^{2}+y^{2}+4 \right )D=0$$ $$\left ( C+D \right )\left ( x^{2}+y^{2}\right )+4Ax+4By+4(D-C)=0$$

Que o Polo Norte $P(0,0,1)$ forme parte da circunferencia que se proxecta significa que $P$ é un punto do plano $\alpha$. Substituíndo as súas coordenadas na ecuación do plano obtemos que $C+D=0$. Tal e como queriamos demostrar, neste caso a última ecuación reduciríase a unha recta:

$$4Ax+4By+4(D-C)=0$$

Consideremos agora que $P\notin \alpha $, ou equivalentemente, que $C+D\neq 0$. Dividindo por $C+D$ quedaría da forma:

$$x^{2}+y^{2}+\frac{4A}{C+D}x+\frac{4B}{C+D}y+\frac{4\left ( D-C \right )}{D+C}=0$$

Comparando con [4] vemos que é a forma xeral dunha circunferencia $\square $.

Propiedade 2. A proxección estereográfica é unha aplicación conforme, isto é, conserva os ángulos.

A partir da seguinte figura imos obter as bases da demostración desta segunda propiedade.

Figura 1

Consideremos unha curva $\gamma$ pasando por un punto $P$ da esfera $S^{2}$. Sexa $T_{N}$ o plano tanxente ao Polo Norte $N$ e $T_{P}$ o plano tanxente ao punto $P$. Estes planos córtansena recta $r$. Como son planos tanxentes á esfera determinan un triángulo isóscele con ángulos iguais $\beta _{1}=\beta _{2}$.

Tracemos, desde o Polo Norte a proxección do punto $P$ sobre o plano $T_{S}$ tanxente ao Polo Sur $S$. Obtemos así $\pi(P)=P'$. En $P$ determínanse ángulos  da mesma medida, $\beta _{2}=\beta _{3}$, por seren opostos polo vértice. Finalmente tamén $\beta _{1}=\beta _{4}$ pois son correspondentes. En consecuencia o triángulo $PQP'$ é isóscele, de aí que os lados etiquetados con $b$ midan o mesmo (ver figura 1)

Figura 2

Sexa $t$ a recta tanxente a $\gamma$ en $P$, $t$ estará en $T_{P}$. Se aplicamos a proxección estereográfica $\pi$ a $\gamma$ obteremos unha curva $\pi(\gamma)=\gamma'$ no plano $T_{S}$ que terá como tanxente en $P'$ a recta $\pi(t)=t'$, unha recta no plano $T_{S}$. Os segmentos $PQ=P'Q=b$ son ortogonais a $QL$. Fórmanse así dous triángulos rectángulos congruentes $PQL$ e $P'QL$. En consecuencia os ángulos $\theta $ que forman as rectas $t$ e $t'$ cos segmentos $PQ$ e $P'Q$ son iguais.

Como corolario disto ultimo, se por $P$ pasase outra curva $\lambda$, a súa tanxente en $P$ formaría con $PQ$ o mesmo ángulo que a tanxente en $P'$ a $\pi(\lambda)=\lambda'$ con $P'Q$, de aí que o ángulo determinado por dúas curvas $\gamma$ e $\lambda$ se conservaría mediante a proxección.de por que regresar á proxección estereográfica

Con toda esta bagaxe de certo que a nosa visión do seguinte vídeo será máis profunda, e gozaremos máis del. Que vídeo? Pois un, en concreto o último,  dos do marabilloso proxecto Dimensions, no que se demostra como a proxección estéreográfica leva as circunferencias da esfera que non pasan polo Polo Norte en circunferencias. Sóavos de algo?

Explícoche Matemáticas 2.0. Edición 2023

Xa choveu desde aquela 1ª edición do concurso no ano 2012. A proba do acerto deste certame é que foi copiado por outros SNL ( ETSE, Facultade de Química, SNL da USC)  e que 11 anos despois continúa na fura de diante. 

Resulta que a Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas  resolveu o concurso Explícoche Matemáticas 2.0 na edición do presente ano 2023. De seguido presentamos os gañadores:

Carmen Castelo Monteagudo, Inés Prado Justo e Noa Salinas González do IES Isaac Díaz Pardo, titorizadas pola profesora Beatriz Máquez Villamarín, proclamáronse vencedoras do certame ‘Explícoche Matemáticas 2.0’ cun vídeo de animación moi orixinal titulado ‘Cero e os infinitos’

   

 O segundo galardón foi para Carla Dopazo Pavón, que amosou moita desenvoltura diante da cámara rexida por Santiago Vilas Subirán. Ambos son do IES Eusebio da Guarda e presentaron o vídeo ‘Teoría de grafos en 2 minutos’. A titora foi Beatriz Sixto Rodríguez

Dous terceiros premios

   

 Un dos terceiros premios foi para Rocío Rodicio González polo vídeo que leva por título ‘Domingo Fontán’do Colexio Santa Teresa de Jesús (Ourense)

   

‘Teoría de grafos’, titorizado por Rosa Mª Álvarez Nogueiras, é o título do traballo de Lucía Yáñez Carrasco, Mónica Diz Rodríguez e Mª José Dosil Villavicencio, do IES Otero Pedrayo (Ourense)

Matemáticas próximas e números máxicos

"O saber e o sabor das matemáticas de proximidade" é o título da conferencia inaugural das xornadas "A Foto 51" impartida o pasado 10 de febreiro pola decana da Facultade de Matemáticas Elena Vázquez Cendón. Falou de Péter Lax e Rózsa Peter, anunciando a próxima publicación do famoso libro de Rózsa, "Xogando co infinito", con tradución de Felipe Gago.

Por suposto, Elena tamén falou de de Domingo Fontán e o seu mapa, a Carta Xeométrica de Galicia. Despois abordou unha chea de referentes en Matemáticas Industriais con elementos e lugares próximos: a ría de Pontevedra, os saltos para os peixes nos ríos galegos, ou a mina das Pontes. Finalmente podemos asistir a unha ampla rolda de preguntas. 

Ao día seguinte, 11 de frebreio, estaban programadas unha chea de charlas de divulgación científica. Entre elas unha de matemáticas, impartida pola máis destacada divulgadora desta ciencia, Elena  Vázquez Abal. O título da súa intervención foi "Números máxicos!" e tratou sobre os sistemas de numeración, incidindo nas vantaxes do sistema posicional. Para isto fixo uso dun xogo do repositorio NRICH, o Numbler Jumbler, co que se pode xogar nesta ligazón e que nos explica por que se a un número de dúas cifras lle restamos a suma desas cifras, o resultado sempre será múltiplo de 9.

Deixo aquí estas dúas perlas dunhas xornadas realmente extraordinarias, que ademais foron moi ben gravadas e editadas nunha serie de vídeos que agora podemos gozar e compartir.

Explícoche matemáticas 2022

Os premios

Van alá xa 10 edicións da convocatoria "Explícoche matemáticas 2.0". Dez veces dous minutos de matemáticas en galego. Un oasis no deserto xerado polo cambio climático que opera no ensino desde o ano 2010 co funesto decreto de prohibición de uso do galego nas matemáticas (e noutras materias). Gocemos con estes refachos de aire fresco que nos trae cada ano o SNL da Facultade de Matemáticas.

Este vídeo sobre os número de Mersenne, elaborado por Cristina Correa Segade, da facultade de Bioloxía, foi o gañador da edición 2022 do concurso convocado polo SNL da Facultade de Matemáticas "Explícoche matemáticas 2.0". 

Na modalidade de ensino secundario os gañadores foron dous vídeos do IES Punta Candieira (Cedeira), un centro que tamén foi protagonista deste comezo de curso 2022-23 por ser onde se visibilizaron con máis forza os recortes sofridos polo ensino público.

Este vídeo sobre a medición do tempo foi realizado por Gema López Sixto, do citado IES de Cedeira foi o que recibiu o primeiro premio de Secundaria.

É unha mágoa que nesta ocasión non se recolleran todos estes vídeos nunha lista de reprodución da canle de You Tube da facultade.

Os accésits

Este segundo vídeo do IES de Cedeira acadou un dos accéits. A súa autora é Ema Lourido Ponde.

O segundo accésit foi para Noa Ferreiro Bellas e Laura Vispalia Díaz, estudantes do IES Castro da Uz (As Pontes) por tratar este tema clásico da trigonometría: como medir alturas usando un espello.

As mencións especiais.

Finalmente o xurado concedeu mencións aos vídeos ‘As matemáticas non serven para nada’ de Iván Rodríguez Vázquez, alumno do Colexio Marista Cristo Rey da Coruña; ‘Arte ou matemáticas’ de Irene González Calvo e Raquel González Calvo, estudante do IES Adormideras (A Coruña); e ‘É 4,99... igual a 5?’ de Alba Casás Fuentes e Nadia Suárez Martínez, estudantes do IES Manuel Murguía (Arteixo)

Parabéns a todos. Un agarimoso agradecemento polo esforzo realizado.

Matemáticas: habelas hainas. 2021

 O pasado 24 de novembro do 2021 celebrouse unha nova xornada de Matemáticas: habelas, hainas. 

As presentacións dos intervientes correron a cargo da decana Mª Elena Vázquez Cendón. O primeiro turno foi para o profesor Xosé Masa que glosou a figura de Enrique Vidal Abascal. A razón foi que se estaba a presentar a publicación da USC do discurso inaugural do curos 1973-74 realizado por quen foi o primeiro decano da facultade titulado Influcencia dalgúns matemáticos e universitarios no renacemento cultural de Galicia. Mágoa que esta intervención case sexa inaudible. De seguido o técnico do SNL Manuel Bermúdez Castro destaca a valentía de Vidal Abascal pois lembra que a lectura do discurso fíxose sendo presidente Carrero Blanco e detentando a xefatura do estado Francisco Franco. Juan José Nieto Roig, director do IMAT tamén tivo unha breve intervención

  

M. Pilar Páez Guillán tróuxonos Matemáticas a través do espello Todos os nenos, a primeira vez que se miran nun espello, quedan abraiados. Algúns destes nenos, ao medraren, deciden estudar Matemáticas, e experimentan un proceso similar ao do espello cando lles explican o espazo dual. 

 

Xabier Pérez Couto (@astroxabi), como era de esperar, trouxo un tema astronómico. Baixo o título Catálogos, anuarios e bases de datos astronómicos aborda o tema da orixe e evolución dos diferentes catálogos astronómicos ao longo da historia,  unha das primeiras publicacións científicas da antigüidade. Nesta intervención, nada que envexar da súa canle de vídeos AstroXabi

 

Vide ver a Terra xirar  é o título da presentación de María Ferreiro Subrido. Esa foi o convite que Jean Bernard León Foucault fixo ao pobo francés para presenciar a súa famosa demostración da rotación do noso planeta no ano 1851. Cunha presentación coidadísima fixo unha intervención que é todo un exemplo de divulgación científica e claridade de ideas. 

 

Lorena Saavedra López presentou Sexamos positivas! Comeza preguntándose pola utillidade das matemáticas. Despois pasa ao tema. A positividade é unha característica moi importante dalgunhas funcións usadas en modelizacións sobre situacións da vida real. Nesta charla centrarémonos na importancia de garantir que as solucións de certos problemas sexan positivas. 

 

David Mosquera Lois interveu con Todos os camiños levan á topoloxía Nesta charla, partindo dun problema do deseño de algoritmos chegaremos de forma natural ao ámbito da topoloxía. Curiosa presentación, escrita con bolígrafos e con cartolinas de cores.

Sara Recondo Estévez chegou co relatorio As matemáticas nas bucinas de Nacho Porto. Nun dos TFMs propostos no Mestrado de Matemática Industrial embarcámonos co ceramista galego Nacho Porto na aventura de caracterizar o comportamento acústico das súas  bucinas cerámicas mediante o modelado matemático e a simulación numérica. 

Axudando a Pepa A Loba é o título da intervención de Andrea Vilar Álvarez. Pepa A Loba foi unha bandoleira galega de finais do século XIX, arquetipo do denominado ‘bandoleirismo xeneroso’, que lles roubaba ós caciques para logo repartir o botín entre as clases sociais máis desfavorecidas. Neste 2021, Pepa actualizou o seu modus operandi. Remata a súa intervención cunha fermoso e moi acaído parágrafo de Ángel Carracedo.

 

Os premios de Explícoche Matemáticas 2.0, edición 2021

 "Explícoche matemáticas 2.0" chega á súa novena edición. Trátase dun concurso convocado pola Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC no que se promove o galego como lingua de transmisión de coñecementos matemáticos fronte ao deostado decreto 79/2010 que prohíbe os materais didácticos na nosa lingua para materias de carácter científico no ensino non universitario. 

Outra vez o concurso foi todo un éxito de participación pois recibiron un total de 60 propostas. O traballo que recibiu o primeiro premio consiste nun vídeo sobre Ada Lovelace, realizado por Sara Ramos López e Uxía Varela Castro do IES Afonso X O Sabio (Cambre)

Dous foron os vídeos premiados cun accésit. Seguramente é casualidade, pero os dous tratan as progresións xeométricas. Son ‘Explícoche matemáticas cociñando e xogando’ de Aroa Blanco Guerreiro do IES Castro da Uz (As Pontes) e ‘Pódese chegar á lúa dobrando un papel?’ de Alba Casás Fuentes IES Manuel Murguía (Arteixo)

 

   

O xurado tamén outorgou mencións aos vídeos ‘As inecuacións’ de Andrea Freire Valiño do IES Pontepedriña (Santiago)e ‘Miúdo traxecto as matemáticas orientais: Bashkara II’ de Alexandre Lago Pereira e Pablo Savino Real do IES Mendiño (Redondela)

   

   

O traballo máis popular foi ‘Coñeces a banda de Möbius?’ de Hada Galán Lamas daEscola Waldorf Meniñeiros (Friol).  A categoría B dedicada a alumnado universitario ficou deserta.

 

Pola miña banda eu tamén faría referencia a un vídeo do Colexio San José de Cluny (Santiago) por estar técnicamente moi ben realizado, "Os corpos de revolución"

Penso que tanto os organizadores como os premiados merecen os parabéns. O que boto en falta é un portal que recolla todas as edicións e premios outorgados, pero polo menos temos unha escolma dos vídeos de varias edicións na canle de Youtube da Facultade de Matemáticas. Á correspondente á edición 2021 pódese acceder desde aquí.

Coma sempre o aspecto negativo foi a presenza na persoa da subdirectora da Secretaría Xeral de Política Lingüística deste organismo na entrega de premios. Supoño que agardaba que a ela tamén lle darían un, o da hipocrisía. Teno ben gañado.

Matemáticas, linguas e outros asuntos. Unha conferencia de Victoria Otero

A catástrofe da pandemia da COVID 19 obrigou a que a programación de conferencias presenciais, reservadas para o público da localidade, multiplicase un tipo de charlas paradoxalmente máis próximas, máis cara a cara e máis preparadas para poder ver en vídeo. Presento aquí a conferencia que M. Victoria Otero Espinar impartiu telemáticamente para o Ateneo de Santiago baixo o título "Matemáticas, linguas e outros asuntos"

Na conferencia explícanse varios modelos matemáticos que desenvolven a dinámica entre dúas linguas en conflito. Botei en falta unha perspectiva normalizadora. Fálase da morte de tal forma que parece natural e non se incide en que o declive dunha lingua vén dado pola implantación dunha política lingüística co obxectivo do asasinato lingüístico. 

As matemáticas poden sintetizar a evolución lingüística nun territorio? O problema consiste en cuantificar a dinámica lingüística

Pártese das seguintes hipóteses: o uso da lingua aumenta cando aumenta o número de falantes e tamén cando aumenta o seu prestixio.

Establécese o cambio lingüístico dunha lingua X a outra lingua Y en función das hipóteses anteriores. A partir de aquí establécese unha ecuación diferencial

$$\frac{dx}{dt}=c\cdot {\left ( 1-x \right )}^a s - cx{\left ( 1-x \right )}^a \left ( 1-s \right )$$

onde tanto  s coma o resto dos parámetros, toma valores no intervalo [0,1] e mide o estatus da lingua X  fronte a 1-s que nos daría o estatus da outra lingua. O parámetro a pondera a fracción de membros dun grupo para atraer novos falantes. Demostrouse que este parámetro a é prácticamente igual independentemente das linguas que estean en competición.O primeiro sumando representa os falantes de Y que cambian a X e o segundo o dos falantes de X que pasan a falar en Y.

Este modelo, publicado por Daniel M. Abrahams e Steven H. Strogatz en Nature no 2003 predice a morte dunha das linguas. O problema deste modelo é que considera linguas  moi diferentes como o éuscaro e castelán e considera unha dinámica entre grupos estrictamente monolingües. Por iso introduciuse outro parámetro, k, que cuantifica a proximidade entre dúas linguas e tamén se introduce un grupo B de bilingües.

$$\frac{dx}{dt}=c\left [\left ( 1-x \right )\left ( 1-k \right )\left ( \left ( 1-s \right ) \right ) {\left ( 1-y \right )}^a  -x\left ( 1-s \right )\left ( 1-x \right )^{a} \right ]\\\frac{dy}{dt}=c\left [ \left ( 1-y  \right )\left ( 1-k \right ) \left ( 1-s \right )\left ( 1-x \right )^{a}-ys\left ( 1-y \right )^{a}\right ]$$

Este novo modelo, de Otero Espinar, Seoane, Nieto e Mira,  axustouse para Galicia atendendo á evolución do galego e o castelán entre os anos 1875 a 1975. O seguinte paso consistiría en empregar este modelo para predecir a evolución da dinámica lingüística no futuro e establecer simulacións segundo cambien as condicións iniciais.

Partindo dunha alta similaridade entre galego e castelán: k=0.8 (o 1 sería a coincidencia), e dunha medida para o estatus do galego s=0.26 (versus un prestixio do castelán de 1-s=0.74) situariamonos onde está marcado o punto vermello. Como vemos está na zona verde, isto indica que as dúas linguas coexistirían pero cun claro declive do uso do galego. Como referencia, ao final do vídeo coméntase que os valores do éuscaro eran k=0,22 e s=0,4.

Este modelo de Otero Espinar et al  é máis elaborado que o de Abrahams-Strogatz, pero desde o meu punto de vista ten aínda aspectos cuestionables. Introdúcese mediante o parámetro k o concepto de "similaridade lingüística" pero isto pode ocultar un fenómeno cada vez máis presente en casos como o galego e o catalán. Resulta que a lingua minorizada, por ser semellante á dominante e tamén por esa minorización, vai recollendo como propias as estruturas da lingua A. Así temos un galego cada vez máis inzado de castelanismos, pero tamén, e isto é moito máis perigoso para a supervivencia da nosa lingua,  a sintaxe galega está perdendo forza e converxendo cada vez máis cara a española. Neste sentido a similaridade entre linguas ten un efecto de dilución da lingua B que non vexo tratado neste modelo e que aceleraría a súa decadencia nun aspecto aínda máis preocupante que a da simple perda de falantes. Como se ve, hai campo para seguir elaborando modelos. O que teño claro é que en todos eles, unha perspectiva social normalizadora de defensa sen ataduras da lingua minorizada dará prediccións con perspectivas de crecemento e afianzamento da lingua ameazada nas condicións iniciais.

Pero, pódese medir a similitude entre linguas? Como se fai? Neste artigo do GCiencia divúlgase o traballo do Atlas Lingüístico Galego (ALGa) e, entre outras cousas coméntase un estudo de Xulio Sousa no que se mide mediante un índice a proximidade da fala de cada lugar co estándar. Entre outras cousas desmóntase o mito da enorme diferenza entre o galego falado e o normativo. Este tipo de estudos dialectolóxicos inclúen mapas tan fermososos como o seguinte, elaborado con diagramas de Voronoi ,como o deste chío do ILG sobre a denominación do derradeiro día do ano

Día tras día, chegamos hoxe ao 31 de decembro, o último día do ano.
Despedímonos do 2018 e desexámosvos o mellor para o 2019! pic.twitter.com/xUo4o0Zg1t

— Instituto da Lingua Galega (@ILG_USC) December 30, 2018

Na última parte da conferencia Victoria Otero toca fala do uso do big-data, supuxo un cambio moi importante na análise da evolución das linguas. Están a crearse mundos virtuais no que o sofware pode crear linguas novas. Conta o caso duns investigadores de facebook que deixaron a dúas máquinas manter unha conversa entre elas. O resultado foi que crearon unha nova lingua, máis eficiente que o inglés.

Finalmente tamén se fala do problema da escaseza de licenciados en matemáticas que teñan como perspectiva profesional o ensino. 

Matemaxia no IES Chapela

No IES de Chapela programaron o pasado mes de novembro unha completa serie de actividades para denunciar a exclusión do galego nas materias científicas (ver funesto decreto 79/2010) e para dar a coñecer algunhas das actividades de ensino-aprendizaxe na nosa lingua.  De entre todas elas  recollo aquí as realizadas no ámbito das matemáticas como un exemplo visible do que facemos os profesores da materia, neste caso en 1º da ESO. Neste curso hai que abordar o uso e tratamento das expresións alxébricas, é un paso enorme fronte ao uso exclusivo dos números. Un recurso típico consiste en presentar o xogo de adiviñar un número despois de realizar diversas operacións. O "truco" do xogo desvélase co coñecemento dos primeiros principios de manipulación das expresións alxébricas. Isto é o que podemos ver nestes vídeos. Isto e a enorme dificultade que teñen os nenos en expresarse cun mínimo de fluidez en galego.

Unha nova versión da mesma estratexia. Agora escolle a que prefiras.

 

 

Habelas hainas, edición 2020

Desde o 2017  a Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas celebra unha xornada  no mes de novembro destinada a estudantes de grao/máster co fin de divulgar a investigación matemática. É Habelas Hainas. Trátase dunha serie de presentacións curtas, duns 20 minutos, ao estilo das Ted talks.

Sempre tiveron a boa idea de gravar as sesións en vídeo, pero a mala decisión de colgar os resultados nunha plataforma de vídeos da USC sustentada co fenecido Flash Player. De aí que, cando menos polo momento, as dúas primeiras xornadas fiquen tras o muro da obsolescencia dixital. 

Agora a edición do pasado 26 de novembro 2020 témola na canle de You Tube da Facultade de Matemáticas. Dalgunhas conferencias hai dúas versións, procurei recoller aquí a que ofrece unha mellor visualización e son.

A xornada comezou con Existimos e... somos únicos?, por Jorge Rodríguez López . Seguro que algunha vez oíches falar do teorema do punto fixo

De seguido Ana Suárez Gamarra trata unha teima miña: a Carta Xeométrica de Domingo Fontán coa conferencia Seguindo os pasos de Fontán. na que presenta un traballo sobre o cálculo da altitude no famoso mapa.

Rodrigo Mariño Villar, baixo o título Rebozarse na lama . A súa intervención dou pé a algunha intervención sobre as posibilidades do traballo de investigación e as oportunidades dos programas de doutoramento, se as houbera.

 

Co título Un complemento ortogonal, Daniel Cao Labora tratou da relación entre as matemáticas e a música

Maribel Borrajo García falou sobre a validez e fiabilidade das probas diagnósticas con E se patentamos unha moeda como proba diagnóstica? 

 

 

 

 

A xornada rematou con Bourbaki, o matemático poldavo, por Jesús Conde Lago quen, como é evidente polo título, tratou sobre ese gran matemático, existira ou non.

1, 2, 3, 4, 5, parábola!.(e 2)

Na entrada anterior estivemos vendo, baixo as circunstancias acaídas a cada caso, como determinar as parábolas que pasan por un, dous ou tres puntos. Continuaremos nesa liña.

Tres, por fin
O obxectivo será o de resolver o problema seguinte:

Determinar a parábola que pasa por tres puntos  P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), P₃(x₃, y₃) calquera do plano

Xa o temos feito para un caso particular. Precisamente cando os tres puntos dados son os do triángulo equilátero da imaxe.

Estaba xogando co Geogebra que creara para a anterior entrada cando, de súpeto, diante miña se debuxou unha figura coñecida. Foi unha sorpresa agradable e inesperada. Resulta que os eixos de simetría das parábolas tiñan como envolvente a deltoide de Steiner. Como hai algún tempo estivera xogando con esta idea ([1] e [2]) sabía que iso significaba que os eixos da familia de parábolas determinadas por tes puntos eran as rectas de Wallace-Simson dun triángulo. Do triángulo determinado polos puntos P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), P₃(x₃, y₃)? Non, pero ándalle cerca. Explico, e xeneralizo.
Dados tres puntos teremos un triángulo T. Consideremos o triángulo T' determinado polos tres puntos medios. Sobre este último construímos a circunferencia dos nove puntos e, desde cada punto da mesma tiramos as perpendiculares aos tres lados de T'. Os pés destas perpendiculares son colineares; determinan a chamada recta de Wallace-Simson. Esta recta será o eixo da parábola que pasa polos tres puntos de T. Estamos xa nas mesmas condicións que na entrada anterior e que xa temos resolta: trátase de determinar unha parábola sabendo tres puntos e máis o eixo. Todo isto pódese ver de seguida: (podes mover tanto os puntos etiquetados como o punto azul da circunferencia dos 9 puntos)


 
Cando deixamos ver o rastro dos eixos das parábolas irá aparecendo a deltoide de Steiner.

Catro
Trátase, xa se pode adiviñar, de obter a(s) parábola(s) que pasan por catro puntos dados.
A partir da ecuación xeral dunha cónica establecéramos mediante un cambio a dunha parábola calquera:
$$A{ x }^{ 2 }+Bxy+C{ y }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [2]\\\begin{matrix} { a }^{ 2 }=A \\ { c }^{ 2 }=C \end{matrix}\quad entón\quad { B }^{ 2 }=4AC={ \left( 2ac \right)  }^{ 2 }\\ { \left( ax+cy \right)  }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [3]\\ $$
Incluso nun determinado momento, dividindo todo por a² e substituíndo t=c/a, d=D/a², e=E/a², f=F/a²:
$${ \left( x+ty \right)  }^{ 2 }+dx+ey+f=0\\ { x }^{ 2 }+2xyt+y{ t }^{ 2 }+dx+ey+f=0$$
Se nos dan catro puntos P₁, P₂ P₃ e P₄ teriamos un sistema linear de 4 ecuacións con 5 incógnitas (t, t², d, e, f)$${ y }_{ i }^{ 2 }{ t }^{ 2 }+2{ x }_{ i }{ y }_{ i }t+{ x }_{ i }d+{ y }_{ i }e+f=-{ x }_{ i }^{ 2 }\quad \quad i\in \left\{ 1,2,3,4 \right\} $$
Xeométricamente a solución deste sistema será unha recta. Pero resulta que dúas das incóginas están relacionadas (t, t²) por medio da parábola estándar. Como recta e parábola se cortan en, como moito, dous puntos, o sistema linear terá, en todo caso, dúas solucións. Neste caso teremos dúas parábolas pasando por eses catro puntos dados.
Se ben a resolución alxébrica deste problema é conceptualmente simple, a súa traslación a unha fórmula xeral sería tremendamente encerellada. Non será máis doada a súa resolución xeométrica, por iso, coas miñas poucas luces coa aparataxe informática, pensei que non ía ser quen de poder ofrecela. Finalmente, despois de elaborar unha applet que parecía unha arañeira de liñas, acabei por construír a seguinte aplicación



Cinco
Cinco? Imposible. Cinco puntos determinan unha cónica, pero ésta pode ser unha hipérbole ou unha elipse, non ten por que ser unha parábola.
Certo. Pero este apartado só está para explicar o ben que o pasei resolvendo todas as cuestións que estiven presentando aquí. Se hai algo realmente bonito é divertido, son as matemáticas. Velaí que, un, dous, tres, catro, cinco... (pégalle ao play)