Os logaritmos de Napier

Esta entrada do blogue é consecuencia de dúas anteriores. Na primeira delas, Os logaritmos, presentei unha introdución ao concepto tal e como o fago na clase. Na segunda o título delataba o obxectivo. Efectivamente, en Buscando unha base para os logaritmos, partíase do feito de que as progresións xeométricas crecen moi rapidamente mentres que os seus logaritmos, que seguen as leis das progresións aritméticas, teñen un crecemento moito máis lento. Isto levounos a procurar bases moi próximas a $1$ pois teñen unha evolución máis moderada. Con todo non nos atrevéramos a usar bases con números inferiores á unidade. Esta foi a proposta orixinal de John Napier (1550-1617) que dá a coñecer en dúas publicacións: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1616) e a xa póstuma Mirifici logarithmorum canonis constructio (1619).

Nesa altura eran os astrónomos os máis necesitados da nova ferramenta dos logaritmos. Había que facer os cálculos a man e a realización de produtos e divisións eran unha pesada carga. Hoxe en día utilizamos as razóns trigonométricas tomando como base unha circunferencia de raio $1$. Daquela cada autor escollía o tamaño do raio. Como para obter os valores do seno empregaban valores enteiros, canto maior fose o raio, mellores podían ser as aproximacións dos valores que tomaba, Napier decídese por un raio moi grande, $r=10^{7}$. En concordancia con isto estableceu como base para os seus logaritmos un valor moi próximo, e menor, á unidade, $k=1-\frac{1}{10^{7}}=1-\frac{1}{r}$. Cal foi o seu procedemento? Napier parte dun esquema formado por dous puntos. Un deles móvese aritmeticamente desde $O$ polo que vai alcanzando os valores $Q_{1}$, $Q_{2}$, $Q_{3}$,... $Q_{n}$ a intervalos regulares de tempo $t$. Isto é, este punto mantén unha velocidade continua $r$. Ademais, como veremos, Napier tivo o acerto de escoller un valor de $t$ moi pequeno aproximándose ao que unhas décadas máis tarde serían os infinitesimais.Con estes vimbios establecemos sen dificultade que

$$OQ_{n}=n\left( rt \right)$$

Tomemos un segmento $AB$ de medida $r$. Un segundo punto móvese xeometricamente desde $A$, aproximándose ao outro punto $B$ a velocidades proporcionais á distancia a este último. Tomamos $AB=r=10^{7}$. Sexa $k$ a constante. A intervalos regulares de tempo $t$ o punto estará en posicións $P_{1}, P_{2}, P_{3},  ...,P_{n}...$ e neses puntos terá velocidades $v_{1},v_{2}, v_{3}, ..., v_{n}...$ 

Daquela:

$$\frac{BP_{n+1}}{BP_{n}}=\frac{v_{n+1}}{v_{n}}=k\quad\quad\quad BP_{n+1}=k BP_{n}$$

$$BP_{n}=BP_{n+1}+P_{n}P_{n+1}=BP_{n+1}+v_{n}t$$

Das igualdades anteriores dedúcese que:

$$BP_{n}=kBP_{n}+v_{n}t$$ $$\left( 1-k \right)BP_{n}=v_{n}t$$ $$v_{n}=\frac{1-k}{t}BP_{n}$$

Tomando $1-k=t$ temos que $v_{n}=BP_{n}$

Agora, por recursión, imos obter este último valor:

$$BP_{n}=kBP_{n-1}=k^{2}BP_{n-2}=...=k^{n}BP_{0}=k^{n}BA=rk^{n}$$

Nótese que, como xa comentaramos, $BA=r=10^{7}$. 

Napier define o seu logaritmo, ao que chamaremos como fai Juan Havil no  libro Gamma (Pricenton 2003), $NapLog$, da seguinte maneira: $NapLog(BP_{n})=OQ_{n}$, isto é  $NapLog\left[ rk^{n} \right]=n$. Aquí é onde Napier escolle o valor infinitesimal de $t$; toma $t=\frac{1}{r}=\frac{1}{10^{7}}$. Se traducimos a definición de $NapLog$ usando que $r=10^{7}$ e que $k=1-t=1-\frac{1}{10^{7}}$ obteremos a seguinte expresión:

$$NapLog\left[ 10^{7} \left( 1-\frac{1}{10^{7}} \right)^{n}\right]=n$$

Veremos de seguido que o logaritmo de Napier verifica ao seu xeito a propiedade esencial dos logaritmos, isto é, que transforma os produtos en sumas:

$$N_{1}=rk^{n_{1}}  \quad\quad ; \quad n_{1}=NapLog\left( rk^{n_{1}} \right)$$  

$$N_{2}=rk^{n_{2}}  \quad\quad ; \quad n_{2}=NapLog\left( rk^{n_{2}} \right)$$ 

$$N_{1}\cdot N_{2}=r\cdot r \cdot k^{n_{1}} \cdot k^{n_{2}}  =r\cdot r \cdot k^{n_{1}+n_{2}}$$

$$\frac{N_{1}\cdot N_{2}}{r}=r \cdot k^{n_{1}+n_{2}}$$

$$NapLog\left( \frac{N_{1}\cdot N_{2}}{r} \right)=NapLog\left( r \cdot k^{n_{1}+n_{2}} \right)=n_{1}+n_{2}=NapLogN_{1}+NapLogN_{2}$$

O logaritmo de Napier desde un punto de vista diferencial

A principios do XVII aínda non nacera o cálculo diferencial. Por iso o achegamento de Napier desenvolveuse polo camiño antes descrito. Que pasaría se a mesma situación descrita ao principio, a dos dous puntos, $Q$ movéndose aritmeticamente e $P$ facéndoo xeometricamente, se lle presentase a un matemático do século seguinte? A súa abordaxe podería vir da man das ecuacións diferenciais. Fagámolo agora así.

Sexa $y=OQ$, verificará $\frac{dy}{dt}=r$

Integrando: $y(t)=rt+c$ con $c$ unha constante que podemos achar mediante a condición inicial: $y(0)=c=r$. Velaí que $y(t)=rt$   [1]. Lembremos esta expresión.

Consideremos agora $AP=r-x$, verificará $\frac{d\left( r-x \right)}{dt}=x$ polo que $-\frac{dx}{dt}=x$. Separando as variables: $\frac{dx}{x}=-t$ e integrando: $lnx=-t+c_{1}$ con $c_{1}$ unha constante. De aí que $x\left( t \right)=e^{c_{1}}e^{-t}$. 

Chamémoslle $\rho=e^{c_{1}}$ a esta constante. Así escribiremos $x\left( t \right)=\rho e^{-t}$. Valorando esta expresión en $t=0$: $x\left( 0 \right)=\rho=r$. En conclusión:

$$x\left( t \right)=re^{-t}\quad\quad\quad [2]$$  

De [1]  obtemos $t=\frac{y}{r}$

De [2] obtemos que $\frac{x}{r}=e^{-t}$ entón $t=-ln\frac{x}{r}=log_{\frac{1}{e}}\frac{x}{r}$

Igualando 

$$\frac{y}{r}=log_{e}\frac{x}{r}$$ $$y=NapLog\left( x \right)=-r\cdot ln\left( \frac{x}{r} \right)\quad\quad\quad    [3]$$

Se agora redimensionamos os valores a unha circunferencia de raio $1$:   $X=\frac{x}{r}$ e $Y=\frac{y}{r}$ concluímos que $$\frac{y}{r}=log_{\frac{1}{e}}\frac{x}{r}$$

Equivalentemente, que o logaritmo de Napier é unha aproximación do logaritmo en base $\frac{1}{e}$:

$$Y=log_{\frac{1}{e}}X$$

Unha comparación

Querría facer un último comentario sobre todo o anterior. A expresión que obtivemos en [3] para o $NapLog$ é moi aproximada á que nos proporcionou Napier orixinalmente. Para comprobalo ímolas comparar. Lembremos a definición de Napier:

$$NapLog\left( x \right)=NapLog\left[ r\left( 1-\frac{1}{r} \right)^{n} \right]=n$$

Está claro que tomamos $ x = r\left( 1-\frac{1}{r} \right)^{n} $. Despexemos $n$ tomando logaritmos neperianos:

$$ \frac{x}{r} = \left( 1-\frac{1}{r} \right)^{n} $$ $$ln\left( \frac{x}{r} \right) = ln\left( 1-\frac{1}{r} \right)^{n} $$ $$ ln\left( \frac{x}{r} \right) = n \cdot ln\left( \frac{r-1}{r} \right)$$ $$n=NapLog\left( x \right)=\frac{1}{ln\left( \frac{r-1}{r} \right)} ln\left( \frac{x}{r} \right) \quad\quad [4]$$

Repetimos deseguido a fórmula obtida usando ecuacións diferenciais $$y=NapLog\left( x \right)=-r\cdot ln\left( \frac{x}{r} \right)\quad\quad\quad    [3]$$

En [3] e en [4] temos dúas fórmulas distintas para o $NapLog$, diferéncianse no coeficiente de $ln\left( \frac{x}{r} \right)$. Para comparalas calcularemos $q$, o cociente deses coeficientes:

$$q=-r:\frac{1}{ln\left( \frac{r-1}{r} \right)} =-r\cdot ln\left( \frac{r-1}{r} \right)=ln\left( \frac{r-1}{r} \right)^{-r}=ln\left( \frac{r}{r-1} \right)^{r}$$

Tendo en conta que $r$ é un número moi grande, para ter unha aproximación de $q$ calcularemos o límite no infinito da expresión á que se lle aplica o logaritmo neperiano. É un deses límites da forma $1^{\infty }$ que se traballan na materia de Matemáticas II, en 2º de bacharelato. $$\lim_{r \to \infty } \left( \frac{r}{r-1} \right)^{r}=e^{\lambda}$$

Con $\lambda=\lim_{r \to \infty }r\left( \frac{r}{r-1}-1 \right)=\lim_{r \to \infty }r\frac{1}{r-1}=1$

De aí que $q\simeq \lim_{r \to \infty } ln\left( \frac{r}{r-1} \right)^{r}=lne^{1}=1$

En efecto, o valor numérico de $q$ será:

$$q=ln\left( \frac{r}{r-1} \right)^{r}=ln\left( \frac{10^{7}}{10^{7}-1} \right)^{10^{7}}=1, 00000005000000333333358333335333333500000014285...$$

En conclusión, o logaritmo orixinal de Napier era case o logaritmo en base $\frac{1}{e}$

Un pequeno problema de optimización

Nas clases de matemáticas sucede algo que case non pasa nas outras. É moi fácil reducilas a unha lista de receitas. Co avance do curso e dos anos vanse acumulando estas receitas ata a saturación. Finalmente non temos nada de matemáticas e só fica unha lista de algoritmos sen sentido. Moitas veces o paso dunhas matemáticas sustentadas na razón, a unhas matemáticas puramente algorítmicas é moi sutil. Non creo que haxa unha forma boa de explicar as matemáticas ben, pero si que a hai de facelo mal. A mellor forma de coller o mal camiño é non reflexionar e non ter unha idea bastante clara das mensaxes que hai que transmitir.

Xa teño contado nalgunha ocasión que tiven uns profesores de matemáticas moi bos. A isto engadíseselle a alegría de que me gustaba a materia. Por iso gozaba moito das clases; tanto que teño vívidos recordos de impresións e pensamentos que tiven daquela. Todo isto axudoume moito despois. Lembro, por exemplo o seguinte problema de optimización proposto nunha clase de 3º de BUP, ano 1984. Por contextualizar, antes xa estudáramos as derivadas das funcións elementais (con demostracións incluídas). Tamén fixéramos exercicios de representación gráfica.

No 1984 había clases de matemáticas en galego

Aínda que penso que se ve na imaxe, transcribo o enunciado:

Calculade dous números que sumen 10 e o producto sexa máximo

[Nota ortográfica: "producto" é da norma RAG anterior a 2003]. Para resolvelo basta con trasladar o enunciado a unha linguaxe matemática para permitir a súa manipulación dentro do contexto do traballo que estabamos a realizar: temos que achar dous valores $x_{1}$ e $x_{2}$ tales que o seu produto $P_{2}=x_{1}\cdot x_{2}$ sexa máximo baixo a condición de que a súa suma sexa 10. Recordo perfectamente que, a pesar de que xa fixéramos unha boa colección de exercios de optimización de carácter xeométrico, non sabía como abordar este problema. De todas formas tiña a solución porque fixera o seguinte razoamento: "1 e 9 suman 10, o seu produto é 9; 2 e 8 suman 10 e o seu produto é 16; 3 e 7 suman 10 e o seu produto é 21; 4 e 6 teñen de produto 24. Finalmente $5\cdot 5=25$ é a solución.[Nese momento asaltoume a dúbida] E os decimais?... 4,5 e 5,5 teñen de produto 24,75. Entón, parece que a solución é $5\cdot 5=25$."

Con todo, non estaba contento con ese método. Sabía que non verificara máis que uns poucos casos. Por outra banda a solución dada posteriormente polo profesor deixárame algo decepcionado. Parecíame demasiada parafernalia para unha conclusión tan obvia.

A cuestión é: por que non fun quen de resolver o problema coas ferramentas que tiña na miña man e que xa aparendera noutros problemas de optimización? Incluso máis, é evidente que, dentro dos problemas de optimización, este problema era máis sinxelo que outros xa traballados. 

A resposta está no tipo de problema. Os outros problemas de optimización que tratados eran de carácter xeométrico. O bloqueo viña simplemente do aspecto do problema. Aquí aprendín que é importante afrontar problemas de tipos moi distintos. Só un entrenamento de resolución de cuestións variadas vai poder levarnos a "facer nosas" as técnicas que se están a aprender. Co tempo tamén me decatei que o basto razoamento que fixera eu non era práctica común entre a xeneralidade do alumnado. Algúns só buscan o algoritmo que hai que aplicar neste caso e non fan tentativas de casos particulares. Aquí aprendín que, aínda que explique a técnica para resolver un problema, tamén debo relatar divagacións coma se non soubese resolvelo. Como exemplo, podo contar en alto o mesmo que escribín antes, aquilo que pensaba cando intentaba resolver o problema anterior. En xeral debo preguntarme en alto: coñezo algún problema semellante?, que pasa se aquí poño estes outros números?, e que pasa nos casos extremos?, convén facer esquemas, táboas,...?, que tipo de notación debo escribir?. E sempre: que é o que sei? que é o que quero conseguir? Podo relacionar unha cousa coa outra?

Unha ensinanza máis é que debo deixar tempo na aula ao alumnado para que intente resolver os problemas. Non ten sentido que o profesor ametralle aos pobres discentes nunha restra de demostracións de habilidade en problemas que sabe facer sobradamente. 

Finalmente, tamén prodemos aprender moito reflexionando sobre a solución dada. Case sempre está na nosa man abstraer algo máis, xeneralizar.... Por exemplo convén considerar o seguinte problema:

Calcula dous números que sumen S e que teñan produto máximo

Sexa $P=x_{1}\cdot x_{2}$ o valor a maximizar. Podemos aproveitar a condición $S=x_{1}+x_{2}$ facendo $x_{2}=S-x_{1}$. Así o produto só depende dunha variable: $P_ {2}(x_{1})=x_{1}\cdot \left (  S-x_{1}\right )$ e podemos aplicar o procedemento habitual de derivación:

$$P'_{2}(x_{1})=\left (  S-x_{1}\right )-x_{1}=S-2x_{1}\\P'_{2}(x_{1})=0 \;\;\; S=2x_{1}\Rightarrow x_{1}=\frac{S}{2}\Rightarrow x_{2}=x_{1}=\frac{S}{2}\\P_{2}=\frac{S}{2}\left ( S-\frac{S}{2} \right )=\frac{S}{2}\cdot \frac{S}{2}=\left ( \frac{S}{2} \right )^{2}$$

Neste punto estamos en boa disposición para abordar un problema máis xeral.

Determina n números que sumen S e teñan produto máximo

Pensemos primeiro no caso de 3 números: $x_{1}+x_{2}+x_{3}=S$. Por  un momento supoñamos que coñecemos o primeiro valor, $x_{1}$. Entón o problema reducirías e a determinar os outros dous valores baixo a condición de que a súa suma fose $x_{2}+x_{3}=S-x_{1}$. Entón o produto:

$$P_{3}(x_{1})=x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}P_{2}\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )=x_{1}\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}$$

Derivando: $P'_{3}(x_{1})=\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )x_{1}$

Se igualamos a derivada a 0 obtemos:

$$\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )^{2}=\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )x_{1}$$

Dividindo pola expresión entre parénteses obteremos

$$\left ( \frac{S-x_{1}}{2} \right )=x_{1}\\x_{1}=\frac{S}{3}$$

Entón $x_{2}+x_{3}=\frac{2S}{3}$, e, polo visto no caso de dous números $x_{2}=x_{3}=\frac{S}{3}$

Velaí que o produto máximo no caso de n=3 será $P_{3}=\left ( \frac{S}{3} \right )^{3}$

Xa temos todo preparado para a indución. Supoñamos que temos n-1 números que teñen unha suma dada S: $x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}=S$ e que o seu produto máximo se dá cando $x_{1}=x_{2}=...=x_{n-1}=\frac{S}{n-1}$. Entón nese caso o valor dese produto máximo será $P_{n-1}=\left ( \frac{S}{n-1} \right )^{n-1}$. Vexamos que se verifica o caso n-ésimo.

Partamos de n números tales que $x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}=S$. Podemos aplicar a hipótese de indución aos n-1 últimos números que suman $x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}=S-x_{1}$. Neste caso o produto máximo será:

$$P_{n}(x_{1})=x_{1}P_{n-1}\left ( S-x_{1} \right )=x_{1}\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}$$

Derivando e igualando a derivada a cero:

$$P'_{n}(x_{1})=\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}-\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-2}\cdot x_{1}\\\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-1}=\left ( \frac{S-x_{1}}{n-1} \right )^{n-2}\cdot x_{1}\\ \frac{S-x_{1}}{n-1} =x_{1}\\S-x_{1}=nx_{1}-x_{1}\\x_{1}=\frac{S}{n}$$

Entón:

$$P_{n}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S-\frac{S}{n}}{n-1} \right )^{n-1}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S\left ( n-1 \right )}{n\left ( n-1 \right )} \right )^{n-1}=\frac{S}{n}\left ( \frac{S}{n} \right )^{n-1}=\left ( \frac{S}{n} \right )^{n}$$

Recollín esta derivación do libro de Paul J. Nahin, When Least Is Best, que me gustou polo enrevesada que é pois temos a alternativa de facer outro razoamento. Volvamos ao caso de cando tiñamos dous números $x_{1}$ e $x_{2}$ e reflexionemos por que teñen que ser iguais para poder obter un produto máximo. Se fosen distintos, consideremos a súa media $x_{m}$. Entón $x_{1}=x_{m}-d$ e $x_{2}=x_{m}+d$. Ademais $x_{1}+x_{2}=x_{m}+x_{m}$. Pola contra o seu produto 

$$x_{1}\cdot x_{2}=\left ( x_{m}+d \right )\left ( x_{m}-d \right )=x_{m}^{2}-d^{2}<x_{m}^{2}$$

Polo tanto, se queremos maximizar o produto, non podemos coller números distintos. Esta mesma razón serviría para cando teñamos n números. Se un par deles fosen distintos poderiamos substituílos pola súa media, obtendo un produto maior. 

Xa sei por que me gustan as matemáticas. Porque cando me mergullo nelas síntome como un adolescente intentando resolver un pequeno problema de optimización.

Exemplos de contraexemplos

Nesta entrada de Matemáticas na Rúa sobre un concepto esencial nas matemáticas, o da continuidade, faise un repaso do mesmo e de como se presenta nas aulas do ensino secundario. Isto levoume a poñer o foco na relación que hai entre a continuidade e a continuidade secuencial. Lembremos brevemente o significado de cada unha destas nocións nun contexto bastante xeral, no dos espazos topolóxicos.

Diremos que unha función $f: X\rightarrow Y$ é continua cando para todo U aberto en Y, $f^{-1}\left ( U \right )$ é aberto en X

Diremos que unha función $f: X\rightarrow Y$ é secuencialmente continua cando para toda sucesión converxente $\left \{x _{n} \right \}\rightarrow x_{0}$ en X, a sucesión das imaxes converxe á imaxe do límite: $\left \{f\left ( x _{n}  \right )\right \}\rightarrow f\left (x_{0}  \right )$

A seguinte implicación está clara:

Teorema 1. Se f é continua $\Rightarrow $ f é secuencialmente continua

E aínda que o recíproco tamén é certo en espazos métricos (incluso nos espazos primeiro numerables), non o será para calquera espazo topolóxico. A forma máis directa de establecer que unha implicación non se verifica consiste en dar un contraexemplo. Para este caso consideremos a función identidade $f=id: X\rightarrow Y$ onde X é o conxunto $\mathbb{R}$ coa topoloxía conumerable (os conxuntos abertos son aqueles que teñen o complementario numerable). Neste espazo as sucesións converxentes son constantes (agás un número finito de termos). Pensemos que se na cola dunha sucesión $\left \{x _{n} \right \}\rightarrow x_{0}$ non pode haber infinitos termos distintos de $x_{0}$ xa que o complementario destes infinitos termos sería un entorno aberto de $x_{0}$, feito que resulta incompatible coa converxencia da sucesión. En consecuencia f=id será secuencialmente continua.Por outra banda Y será o conxunto $\mathbb{R}$ coa topoloxía discreta (todos os subconxuntos son abertos). f non é continua xa que, dado calquera punto $\left \{ y \right \}\subset  Y$, que é un conxunto aberto en Y,  a súa imaxe recíproca $f^{-1}\left ( \left \{ y \right \}\right )=\left \{ y \right \}$ non é un aberto en X.

Os parágrafos anteriores sobre a continuidade e a continuidade secuencial tratan sobre conceptos moi elaborados. Cando os lemos estamos xa moi lonxe dun concepto inxenuo ou intuitivo da continuidade. Hai detrás un enorme traballo que foi depurando todas esas ideas. De feito, a continuidade ofrécenos unha ampla historia de clarificacións cos seus respectivos contraexemplos. Houbo un momento no que unha función como a do valor absoluto:

$$f\left ( x \right )=\left | x \right |=\begin{cases}-x & \text{ se}\,  x< 0 \\  x& \text{ se } x\geqslant 0\end{cases}$$

podía ser considerada como descontinua. A razón non residiría na súa gráfica, que evidentemente "pode trazarse sen levantar o lápiz do papel", senón pola forma da súa fórmula. A identificación entre a función e a súa expresión analítica podía dar lugar a este tipo de tentacións.

Claro que, se introducimos esta outra expresión analítica, xa temos o lío armado: $\left | x \right |=\sqrt{x^{2}}$ 

Se profundizamos un pouco máis os problemas xurdirán da locución "non levantar o lapis do papel" que, para determinados casos, é demasiado burda

Tanto neste exemplo, como nas cuestións que veñen de seguido, tomei como guía un delicioso libro de William Dunham, The Calculus Gallery  (ben, todos os libros de William Dunham o son). 

Un vigoroso intento de dominar, non xa a continuidade, senón as funcións no seu conxunto foi a Théorie des fonctions analytiques (1797) de Joseph Louis Lagrange (1726-1813) . Neste texto as funcións veñen dadas polo seu desenvolvemento en serie de potencias a partir das n-ésimas derivadas da función  $$f(x+i)=\sum_{n=0}^{\infty }i^{n}f^{(n)}(x)$$ Con este recurso Lagrange pretendía evitar os problemáticos e evanescentes infinitesimais. Desafortunadamente este intento non pasou a revisión de Agustin Louis Cauchy (1789-1857), pois achegou unha función intratable cos métodos lagrangianos: $$f\left ( x \right )=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^{2}}} & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$

Efectivamente, Cauchy demostrou que esta función e todas as súas derivadas en x=0 toman o valor cero, de aí que o desenvolvemento en serie de potencias escollido por Lagrange para presentala daría lugar a que esta función fose indistinguible da función constante igual a cero:$$f(x)=0+0\cdot x+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{3}+....=0$$

A alternativa de Cauchy fronte aos infinitesimais foi a de usar un concepto de límite no que se fala de aproximación sucesiva evitando abordar o momento en que se alcanza o límite. Estaba dado un paso maís nun proceso que daquela non se podía enxergar, o da aritmetización do cálculo. Para evitar caer nas trampas da intución Cauchy insistía en demostrar incluso o aparentemente obvio mediante unha lóxica estricta. Así Cauchy ofrece unha demostración dese resultado tan inequívoco coñecido como

Da Ptpedia

Teorema de Bolzano. Se $f$ , definida nun intervalo $[a.b]$ é continua e toma valores de distinto signo no extremos, entón existe polo menos un punto $c\:\epsilon \left ( a,b \right )$ tal que $f(c)=0$

Este teorema forma parte dos contidos do bacharelato para sorpresa do alumnado. Parece un resultado demasiado evidente como para ser tratado explícitamente. Incluso ninguén recusaría este outro teorema emparentado co anterior:

Teorema dos valores intermedios. Se $f$ , definida nun intervalo $[a.b]$ é continua e $u$ é un valor entre $f(a)$ e $f(b)$ entón existe polo menos un punto $c\:\epsilon \left ( a,b \right )$ tal que $f(c)=u$

A este ultimo resultad acáelle tan ben á continuidade que estamos tentados a escollelo como caracterización da mesma. Será que se unha función toma todos os valores intermedios para calquer intervalo do seu dominio, podemos asegurar que é continua? Estámonos preguntando pola veracidade do 

Recíproco do teorma dos valores intermedios. Se $f$ , definida nun intervalo $[a.b]$ verifica que para todo $u$, valor entre $f(a)$ e $f(b)$  existe polo menos un punto $c\:\epsilon \left ( a,b \right )$ tal que $f(c)=u$  entón $f$ é continua.

Parece que si, pero non. O seguinte contraexemplo vén na nosa axuda:

$$S(x)=\begin{cases}cos(\frac{1}{x}) & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$

A gráfica da función S

S é descontinua en x=0 a pesar de verificar as condicións do recíproco do teorema dos valores intermedios.

Xa metidos en fariña, unha función relacionada coa anterior é mostra dunha función derivable que non ten derivada continua. $$U\left ( x \right )=\begin{cases}x^{2}sen(\frac{1}{x}) & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$Efectivamente $$U'\left ( x \right )=\begin{cases}2x\cdot sen(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$contén na súa expresión a anterior función S que lle  transmite a súa descontinuidade a U'. Pensemos que houbera tempos nos que se consideraban só funcións que admitían ser derivadas indefinidamente, ou mellor, o concepto de función non se estendera máis alá destas.

Con todo, as cousas aínda poden ir a peor. Jonh H. Conway (1937-2020) non quedou contento coa función S e levou o caso a extremos inimaxinables mediante o contraexemplo da función de Conway en base 13. Esta función é tan descontinua que en calquera intervalo do dominio, por pequeno que este for, toma todos os valores reais!. De aí que sexa descontinua en todos os puntos. Non nos aporta máis sensación de coñecemento da continuidade este contraexemplo que o propio teorema dos valores intermedios?

Karl Weierstrass (1815-1897) sería quen refinaría o concepto de función continua ata unha redacción en termos lóxicos:

f é continua nun punto a se e só se para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta  > 0$ tal que se $\left | x-a \right |< \delta $, entón $\left | f(x)-f(a)\right |< \varepsilon $

Esta versión requintada da definición de continuidade permitiría aclarar a difereza entre continuidade e continuidade uniforme. En xeral o valor de $\delta $ vai depender tanto de $\varepsilon$ como de a. No caso de podermos ofrecer un $\delta $ independentemente do punto escollido, estaremos ante unha función uniformemente continua:

f é uniformemente continua nun dominio D se e só se para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta  > 0$ tal que para todo $x, y \in D$ se $\left | x-y \right |< \delta $, entón $\left | f(x)-f(y)\right |< \varepsilon $

Tense entón o seguinte

Teorema 2. Se f é uniformemente continua en D $\Rightarrow$ f é continua en D

O recíproco non se verifica. Basta con considerar o contraexemplo dado pola función f(x)=1/x no intervalo (0,1), que sendo continua neste intervalo, non é uniformemente continua. En xeral, para asegurar a implicación no outro sentido requerirase dunha hipótese adicional: que D sexa un conxunto compacto. Na recta real a compacidade é sinónimo de cerrado e limitado. A compacidade vai da man da continuidade xa que a imaxe continua dun compacto tamén será compacta.

Traslademos agora estas consideracións ao tratamento das sucecións de funcións. Parece natural definir $f$, a función límite de $f_{1}, f_{2},f_{3}, f_{4},,,,$ a partir do límite en cada punto: $lim f_{n}(x)=f(x)$. Esta é a definición de converxencia puntual da sucesión $f_{n}$. Este concepto ten un problema: aínda que todas as funcións da sucesión sexan continuas, non se pode garantir a continuidade do límite. O contraexemplo clásico é o da sucesión $f_{n}(x)=sen^{n}(x)$ definida no intervalo [0, π]. Como $f_{n}(\pi /2)=sen^{n}(\pi /2)=1$ o límite tamén será $f(\pi/2)=1$. Pero para o resto dos valores $f_{n}(x)=sen^{n}(x)=r^{n}$ con $\left | r \right |< 1$, de aí que $f(x)=0$.

No límite a función esgazará
en $\frac{\pi }{2}$

A función límite é claramente descontinua en п/2: $$f(x)=\begin{cases}  1& \text{ se } x=\pi/2 \\  0& \text{ se } x\neq \pi/2 \end{cases}$$

Para garantir a continuidade da función límite temos que esixirlle á sucesión o que se denomina unha converxencia uniforme. Sexa $f_{n}$ unha sucesión de funcións definidas nun dominio $D$,

$f_{n}$ converxe uniformemente a $f$ se e só se para todo $\varepsilon > 0$ existe $N\epsilon \mathbb{N}$ tales que se $k\geq N$ e $x,y\epsilon D$ entón $\left | f_{k}(x)-f(x) \right |< \varepsilon $

A converxencia uniforme tamén garante o intercambio entre o límite e a integral:$$lim\left [ \int_{a}^{b}f_{n}(x) \right ]=\int_{a}^{b}\left [ lim f_{n} (x)\right ]=\int_{a}^{b}f(x)$$

Como vemos, diferentes contribucións foron ampliando o concepto de función e modelando o de continuidade. Un deles, a función patolóxica de Dirichlet, é un extraordinario exemplo de función que non é continua en ningún punto:$$\phi (x)=\begin{cases}1 & \text{ se}\,  x\epsilon \mathbb{Q} \\  0& \text{ se } x\epsilon \mathbb{I}\end{cases}$$

Unha xeneralización desta función é a de Thomae, que nos dá un resultado que atenta contra as ideas previas que poidamos ter sobre a continuidade. A función de Thomae é continua nos irracionais e descontinua nos racionais:

$r(x)=\begin{cases}\frac{1}{q} & \text{ se}\,  x=\frac{p}{q}  \: con \:mcd\left ( p,q \right )=1\\  0& \text{ se } x\epsilon \mathbb{I}\end{cases}$

A función de Thomae, versión Wikipedia

A pesar da función de Thomae, ningunha función pode ser continua exclusivamente nos racionais. Deste xeito abrimos a cuestión de que conxuntos poden sustentar o dominio de continuidade dunha función real, un campo aberto por Baire (1874-1932).

Outro caso destacable é a función patolóxica de Weierstrass. Trátase dunha función continua que non é diferenciable en ningún punto, polo tanto un contraexemplo que aniquila toda esperanza de que a continuidade ofreza algunha garantía para diferenciabilidade. Lembro perfectamente que me falaran dela en Análise Matemática I, no primeiro curso da carreira. Só nos deran a súa expresión analítica:

$f(x)=\sum_{n=0 }^{\infty}b^{n}cos\left (a^{n} \pi x\right )$ con $a\geqslant 3$ enteiro impar, $0<  b< 1$ de forma que  $ab> 1+\frac{3\pi }{2}$

Unha mágoa que nesa altura non houbese Geogebra, porque a seguinte applet xa o explica todo. Para $a=21$ e $b=\frac{1}{3}$ podemos ver a intimidante apariencia do sumatorio para os primeiros valores de $n$

Quizais isto sexa unha refencia subxectiva, pero a idea que eu teño da continuidade está moito máis explicada mediante os contraexemplos que por ningunha outra cousa. Cada un deles ten algo de sorprendente e cada un informa sobre o significado do que é, ou incluso mellor, do que non é a continuidade. Cando Maimónides quixo explicar o que era Deus, enfrontouse ao que consideraba que era unha propiedade intrínseca de Deus, a súa incognoscibilidade. Entendeu entón que o mellor que podía facer era aproximarse ao concepto de Deus dando conta do que non era. O coñecemento da continuidade tamén aparenta ser teoloxía negativa.

Exemplos de problemas para suspender ao alumnado en matemáticas

Se es profesor de matemáticas e aínda che aproban os alumnos, aquí tes unha entrada na que se dan algúns exemplos prácticos de como elaborar preguntas para un exame que ninguén sexa quen de aprobar.
Hai moito que non miro un libro de texto. Quizais sexa por iso que un problema como o seguinte o teña practicamente esquecido, non o sei, e non vou mirar libros de texto para comprobalo porque senón tería que cambiar a redacción deste mesmo parágrafo, incluso a desta mesma frase. Para ser máis exactos, conservo un difuso recordo de que cuestións coma a seguinte trateinas cando estudaba en 2º de BUP segundo a Lei Villar Palasí. Está claro que se algunha vez se abordou algún semellante a este na aula, non debería haber dificultade en resolvelo nun exame. Partimos de que llo propoñemos a un grupo de 4º da ESO, segundo a Lei Wert.

Problema 1A.Determina o ángulo que forman as agullas dun reloxo ás 12:15. (Nota: non son 90º)

Agora ben, se non se trata de traballar con ángulos e coa proporcionalidade, senón que o que pretendemos é suspender ao alumnado, basta un pequeno cambio:

Problema 1B. Que hora, minuto e segundo serán cando se encontren outra vez as dúas agullas dun reloxo despois das 12:00?

Simple, e demoledor para un rapaz de 4º da ESO. Que máis podemos pedir?

Vai agora un problema dun nivel de 3º da ESO, alguén diría que aínda dun curso inferior. Poderíase poñer nun exame coa condición de que algunha vez traballaran na aula con este tipo de medidas, pois se sempre se realizaron problemas con quilómetros, seguro que vai haber bastantes que se bloqueen coa novidade das unidades. Os bloqueos é mellor tratalos na aula, e non deixalos para os exames.

Problema 2A. Dous barcos, A e B, que fan o mesmo percorrido de 18.000 millas de ida e outras tantas de volta, saen a un tempo do porto de Vigo. O barco A viaxa a unha velocidade de 25 nós e o B a 24,5 nós. Cando B chegue de volta, canto tempo levará A no porto? (1 nó= 1 milla / hora)

Hai unha moi boa alternativa para evitar as interferencias ás que facía mención. Basta substituír "millas" por "quilómetros" e "nós" por "quilómetros / hora". En todo caso, se do que se trata é de suspender, outra vez chega cunha mínima variación no enunciado, pero noutro sentido diametralmente oposto, e teremos o fracaso absolutamente asegurado.

Problema 2B. Dous barcos, A e B, que fan o mesmo percorrido de 18.000 millas de ida e outras tantas de volta, saen a un tempo do porto de Vigo. O barco A fai unha media de 30 nós na viaxe de ida e de 20 na de volta. O barco B vai a 24'5 nós nos dous traxectos. Cal do dous chegará antes? ( 1 nó = 1 milla / hora)

Pegamos agora o salto ao bacharelato, poñamos a 2º, cun problema de máximos e mínimos. Creo que o seguinte enunciado xa ten unha dificultade considerable xa que hai que saber manexar con soltura as ecuacións da recta no plano (pero non estamos con cálculo?, pero iso non era de 1º?) e comprender que a variable non vai ser o habitual x, nin tan sequera y, senón que será a pendente. Ademais determinar a función área que se quere maximizar require dunha considerable sucesión de pasos.

Problema 3A. Considera o triángulo determinado polos eixos de coordenadas do primeiro cuadrante e unha recta que pasa polo punto A(4,2). Calcula as dimensións do triángulo de maior menor área

Con todo, pode ser que haxa algúns que consigan meterlle o dente, asi que se o que pretendemos é que ninguén o faga, propoñámoslle este outro, moi semellante (roubado de aquí):

Problema 3B. Considera os cuadriláteros determinado polos eixos de coordenadas do primeiro cuadrante  que ten ángulos rectos nos vértices O(0,0) e A(4,2).  Calcula as dimensións do triángulo rectángulo de maior área que contén o vértice O.

Se non incluímos o gráfico, mellor

Agora en serio
Sei que son un pouco (desafortunadamente, só un pouco) esaxerado, pero teño a convicción de que segue habendo profesorado que procura poñer paus nas rodas dos exames introducindo todas as dificultades que teña na súa man. Chega con introducir calquera pequena dificultade adicional para ir expulsando ao alumnado da aula. Velaí unha extravagante forma de adquirir prestixio profesional: aí vai o profesor que carga a todo o mundo (vs. velaí o que ensina a todo o mundo). Ademais é moi doado proceder deste xeito e sempre hai xustificación pois o profesor ofreceu todas as ferramentas para poder abordar o problema.
Actuar de modo contrario si que ten sentido. En determinados casos pode ser moi produtivo abordar os problemas B anteriores, pero sempre que se faga na aula normal, e non nas probas de avaliación. Pola contra, convén avaliar positivamente resolver ou dar pasos cara a resolución deste tipo de problemas.  De apostar por esta vía temos do noso lado a metodoloxía da "resolución de problemas". Cómpre formar grupos (reducidos) para discutir o problema. O profesor nunca debe dar a solución; a súa misión é outra, a de axudar con preguntas do estilo "cales son os datos?", "cal é o obxectivo?",  "coñeces algún problema semellante?", "e se cambiamos os datos ou simplificamos o problema?", ou a frase máis típica do que fora meu profesor de matemáticas: "iso é como matar un mosquito a canonazos, pensa por que". Nunca digas: "fai isto ou isto outro". Pode ser que non cheguen a resolvelo. Non importa demasiado, se ademais fixeron os problemas tipo A, están nas mellores condicións para enfrontarse a un exame... tipo A.
O alumnado que presenta maiores dificultades de aprendizaxe debería ser quen de acometer a proba porque non só fixo os problemas tipo A, senón que traballou nos do tipo B. Aqueles outros que teñan maiores capacidades, levarán consigo ademais a vantaxe de que as puideron exercitar e desenvolver. Saberán, xa que logo, ben máis que o que poidan mostrar no exame. Só aqueles que non traballaron nin os mínimos, ou que na etapa post-obrigatoria non teñan a capacidade suficiente,  serán os que recollerán suspensos.
E o profesor sae da aula cuns resultados excelentes e un sorriso de orella a orella.

Si, sei que nesta estrada son moi (desafortunadamente, moito) optimista. Pero, cal é a alternativa?

O rectángulo de Brügner e outros problemas áureos

Cando un bota a vista atrás e se coloca como espectador mirando para cousas que fixo anteriormente, moitas veces ten que torcer o bico. Iso foi o que me pasou cando volvín a repasar unha entrada anterior, Problemas consecutivos, na que quixen ofrecer unha lista de cuestións que tivesen que ver ben co número áureo, ben coa sucesión de Fibonacci. Ao que agora non lle vexo moito sentido é a ocultar de que trataba a entrada, dándolle incluso un título bastante escuro e anódino.
A razón de que volvese a reparar naquela entrada é que no espazo dun par de días fun bater con tres novos (para min) problemas sobre os mesmos tópicos. Así que decidín ampliar a lista de problemas alí comenzada.

Problema 7. Resolve $${ 4 }^{ x }+{ 6 }^{ x }={ 9 }^{ x }$$


Problema 8. Acha x

Problema 9. No seguinte rectángulo calcula cal é a razón a/b
Considera agora que a diagonal mide 1. Demostra entón que a²=b, a³=c, a⁴=d, a⁵=e

Se un se para a pensar un pouco neste último problema verá que, en esencia, é o mesmo que o Problema 8, só que agora os datos serían os seguintes:

 Efectivamente, este triángulo é o da parte superior do rectángulo do Problema 9, e que ten de lados a, b e b+d=1. Así x e b coincidirían. Unha outra curiosidade relacionada con ese rectángulo é que as tres pezas máis grandes dan lugar ao chamado tangram de Brügner, estudado no 1984 por Georg Brügner, matemático da Universidade de Friburgo.

Tangram de Brügner

Con estas tres pezas é posible obter l6 figuras convexas:

Esta última imaxe está sacada do Blog de Calaix +ie, no que lle adicaron dúas entradas ben completas a este tangram: [1] e [2]
Xogando con ese rectángulo ocorréuseme a seguinte cuestión, que nun principio, co xa comentado ata aquí, xa estaría practicamente resolta.
Problema 10. Trataríase de medir a lonxitude do zig-zag confeccionado a partir do rectángulo de Brügner. Sería o debuxado en azul:

A denominación de zig-zag recollina do libro Uses of infinity, de Leo Zippin. Neste texto trátanse e resólvense problemas moi semellantes a este. Un deles consiste na determinación da lonxitude do zig-zag en espiral nun rectángulo áureo. Aquí chameille Problema 11:

Problema 11. Determina a lonxitude da espiral zig-zag construída sobre un rectángulo áureo. 

Unha outra cuestión que non viña no libro de Zippin consistiría en determinar as coordenadas do punto ao que converxe o zig-zag tomando como orixe de coordenadas o vértice inferior esquerdo do rectángulo.

Debo confesar que isto do mundo do número áureo crea adicción. Mentres estaba escribindo esta entrada xa encontrara outra boa colección de curiosidades áureas que ben poderían sumarse a esta que estiven recollendo aquí. Xa será para outra ocasión, se hai folgos.

Pillados no Photomath

A principios de curso non tiña noticia da existencia desta aplicación para móbiles, Photomath. Mirando o vídeo ou indo ao portal oficial decontado veremos en que consiste. Basta con premer un botón e sacarlle unha foto a un exercicio de matemáticas (ecuación, operación, cáculo integral ou diferencial...) e o programa recoñece a escritura e devolve a solución. Incluso nos pode dar os pasos intermedios para chegar ao resultado.  A súa utilidade é innegable. Se temos dominado un determinado tipo de exercicios matemáticos, como moitas outras ferramentas dixitais, pode aliviarnos do traballo pesado de ter que realizar cálculos que xa repetiramos en múltiples ocasións. Pero tamén se pode facer un uso fraudulento da aplicación. Esa foi a maneira en que eu me enterei da súa existencia.
O escenario era un exame de matemáticas de 2º de bacharelato. Tratábase de que o alumnado demostrase que dominaba as técnicas do cálculo de primitivas que se pide nese curso. Unha das preguntas era a seguinte: $$\int { { cos }^{ 2 } } x\quad dx$$.
Clásica e simple. Moito máis se sabemos que un par de días antes na aula calcularamos esta outra primitiva: $$\int { { sen }^{ 2 } } x\quad dx$$
Polo tanto ben poderiamos dicir que o exercicio era un regalo pero acabou sendo un regalo envelenado. Para a miña sorpresa, varias (e non poucas) respostas desenvolvíanse da seguinte maneira:

 $$\int { { cos }^{ 2 } } x\quad dx\quad =\quad \int { { \left( \sqrt { \frac { 1+cos(2x) }{ 2 } } \right) }^{ 2 } } dx=\int { \frac { 1+cos(2x) }{ 2 } } dx\quad =\quad $$ $$= \int { \frac { 1 }{ 2 } } dx\quad +\quad \int { \frac { cos(2x) }{ 2 } } dx=\frac { x }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \frac { sen(2x) }{ 2 } +C\quad =\frac { x }{ 2 } +\frac { sen(2x) }{ 4 } +C$$

A solución era correcta, pero demasiado rebuscada no sentido de que se fai uso dunha fórmula do coseno do ángulo dobre e, aínda que se traballaran fórmulas deste tipo (o curso pasado!), nunca este alumnado vira na aula a fórmula da que se fai uso no primeiro paso da resolución do exercicio. Estaba claro que fixeran trampa, ... pero como?
Comentando o caso cos compañeiros do departamento foi cando me informaron da existencia do Photomat. Nese mesmo momento fixemos a proba co exercicio en cuestión. A solución que nos dou o Photomat era exactamente a que aparece aquí.
Ademais do disgusto por verme enganado e a consecuente perda de confianza nun grupo de alumnos aos que levaba dando clase dous anos, tiven que cargar co traballo de elaborar e corrixirlles outro exame. Desta vez asegurándome ben de que ninguén facía uso do móbil en ningún momento.

Un problema para alumnos, un problema para profesores

Un problema para alumnos

Sexa a parábola y=x²
Consideremos nela os puntos P=(-1,1) e Q=(2,4). Trátase de determinar o punto R entre P e Q tal que o triángulo PQR teña área máxima.











Un problema para profesores
Se este problema aparecese proposto nun libro de texto, seguramente sería pensando en procurar a solución a partir da determinación da distancia entre o punto R e a recta que pasa por P e Q.  Na seiguinte imaxe vemos outro problema (este resolto) que nos indica un camiño a seguir para resolver o noso:

Do libro de Matemáticas I de Vicens Vives, edición 2015

E non hai outra alternativa?
A pregunta é retórica: si que a hai, podemos facelo obtendo a área do triángulo mediante determinantes. O problema é que os libros de texto preséntannos os determinantes co ollo posto nun único obxectivo, o de chegar á regra de Cramer. Así tenden indefectiblemente cara a definición alxébrica do determinante.
$$\left| \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & ... & { a }_{ 1n } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & ... & { a }_{ 2n } \\ ... & ... & ... & ... \\ { a }_{ n1 } & { a }_{ n2 } & ... & { a }_{ nn } \end{matrix} \right| =\sum _{ \sigma \in { P }_{ n } }^{  }{ sgn(\sigma )\cdot { a }_{ 1\sigma (1) }{ a }_{ 2\sigma (2) }....{ a }_{ n\sigma (n) } }  $$
Como esta definición é realmente enrevesada, acabamos dando na aula un sucedáneo da mesma consistente nun listado de regras prácticas de cáculo dun determinante (determinantes de orde dúas e regra de Sarrus) como a esencia do concepto. Trátase dunha presentación autoritaria e que se pode evitar.
Mesmo na wikipedia se destaca a definición dun determinante en relación ao seu significado como medida de área de paralelogramos (determinantes de orde dúas) ou de volume de paralelepípedos (para os de orde tres). Non ten sentido discriminar esta produtiva característica dos determinantes. Máis aínda, se a usamos como caráter definitorio, a restra sen sentido das propiedades dos determinantes aparecerá agora como un listado de resultados con evidentes comprobacións xeométricas:


$$det(\vec { i } ,\vec { j } )=1$$

$$det(\vec { u } ,\lambda\vec { u } )=0$$

$$det(\lambda \vec { u },\vec { v } )=\lambda \cdot det(\vec { u } ,\vec { v } )$$

$$det(\vec { { u } } +\vec { { v } } ,\vec { w } )=det(\vec { { u } } ,\vec { w } )+det(\vec { { u } } ,\vec { w } )$$

Despois de ter explicado varias veces determinantes como un ente misterioso cunha chea de propiedades estilo fómula de Sarrus, un compañeiro de departamento prestoume o libro de Vidal Abascal, Geometría diferencial, e foi precisamente aquí onde atopei a definición xeométrica de determinante:  "Sexan a₁ e a₂ dous vectores [no libro de Abascal os vectores veñen en letra grosa] calquera de E² tomados nesa orde. Ao conxunto destes vectores correspóndelle un paralelogramo que os ten por lados e que é o lugar dos puntos P do plano tales que $$\overrightarrow { OP } ={ \lambda  }_{ 1 }{ a }_{ 1 }+{ \lambda  }_{ 2 }{ a }_{ 2\quad \quad \quad \quad  }0\le { \lambda  }_{ 1 },{ \lambda  }_{ 2 }\le 1$$

Figura 4

Chámase área alxébrica asociada a (a₁, a₂), un número alxébrico cuxo módulo é a área do paralelogramo precedente (ver figura 4) e cuxa orixe é positiva ou negativa segundo o conxunto dos dous vectores (a₁, a₂) é do mesmo sentido que o conxunto (e₁,e₂) [vectores da base canónica] ou de sentido contrario. Designaremos o número así definido pola notación D(a₁,a₂). Esta función de dúas vectores chámase determinante de orde 2" [a tradución e a cursiva son miñas]

Resolvendo o problema inicial
Chegados a este punto podemos resolver o problema inicial de (polo menos) dúas maneiras distintas. A primeira consiste en calcular a ecuación da recta PQ e despois usar a fórmula da distancia dun punto a unha recta.
A segunda, que é a que máis me gusta, consiste en calcular o determinante da matriz formada polos vectores PQ e PR, xa que, agás eventualmente o signo, ten o mesmo valor que o dobre da área do trigángulo que queremos maximizar.
Paréceme do máis interesante propoñer este problema na aula de 2º de bacharelato para ver cantos son quen de meterlle o dente ao problema, e en segundo lugar, darlle indicacións distintas a distintos alumnos para ver se poden seguir cada un dos camiños aquí indicados.

Ah! Se fixen esta entrada foi para ter unha entrada coas etiquetas de "álxebra", "xeometría" e "cálculo", non por outra cousa.

Cóncavo ou convexo?

Ao ver en El espejo lúdico este vídeo, non resistín a tentación de compartilo. Aínda máis cando, clase tras clase, comprobaba que o alumnado de 2º de bacharelato non acababa de aprender a relación entre a segunda derivada dunha función e que ésta sexa cóncava ou convexa nun determinado intervalo. Ao ver o vídeo de Kokichi Sugihara creo que puiden comprendelos algo mellor.
E se a curvatura dunha función pode chegar a ser un concepto difuso, non digamos a apreciación do tempo. Así que vai de corolario outro artefacto do mesmo autor, que só dura un minuto, se é que vai ben o reloxo:

O péndulo de Huygens

Desafortunadamente xa estamos celebrando a VI edición do Día da Ciencia en Galego, data instaurada para denunciar a exclusión do galego que a Consellería de Educación quer impoñer nas aulas de ciencias e tecnoloxía. Un dos personaxes que se toman como desculpa para centrar os actos desta sexta convocatoria é Christiaan Huygens (1629-1695), coñecido normalmente por ser quen determinou a forma dos aneis de Saturno ou pola teoría ondulatoria da luz quixera destacar algunha das súas aportacións en relación cunha curva moi famosa no desenvolvento das matemáticas: a cicloide. Para explicar en que consiste unha cicloide quizais o mellor sexa ver este gif

Efectivamente, a cicloide describe a traxectoria dun punto situado nunha circunferencia de radio a que xira sobre unha recta. Neste caso, se consideramos que o punto que nos debuxa a cicloide comenza a súa andaina na orixe dun sistema cartesiano e a circunferencia roda sobre o eixo de abscisas, as súas ecuacións paramétricas virán dadas por: 

$$\left\{ \begin{matrix} x=a\left( t-sent \right)  \\ y=a\left( 1-cost \right)  \end{matrix} \right \\ \\ \\ $$

Onde t mide o ángulo que forma o radio que une o punto co centro da cricunferencia e o radio perpendicular ao eixo de abscisas.$$x=OA-OQ=a\cdot t-a\cdot sent$$

$$y=AC-AB=t-a\cdot cost$$ Parece ser que a primeira referencia da que se ten coñecemento foi obra de Nicolás de Cusa cando estaba estudando o problema da cuadratura do círculo. A primeira sociedade científica da historia non era exactamente unha sociedade. Tiña nome e apelidos e chamábase Marin Mersenne (1588-1648). Con moitos coñecementos e contactos, e con boa relación cos científicos do momento sabía a quen informar e sobre que. Foi un dinamizador da ciencia da primeria metade do XVII. El tamén se ocuparía da cicloide. Proporíalle a Roverbal o cácula da área determinada por un arco de cicloide, que é o triplo da área do círculo que a xenera: $$3\pi { a }^{ 2 }$$ Galileo tamén se había de ocupar da cicloide e transmitirá o interese por esta curva a discípulos seus como Evangelista Torricelli ou Vincenzo Viviani. Será Blaise Pascal quen descubriría múltiples propiedades da curva. A cicloide é a braquistócrona. Todos sabemos que a traxectoria máis curta entre dous puntos é unha liña recta, pero cal é a curva que  isto é, a curva pola que un peso caería en menos tempo desde calquer altura ata un punto máis baixo a certa distancia da vertical. O problema de achar a curva braquistócrona foi proposto por Johann Bernouilli no 1696. El mesmo dou a solución, como Leibniz, Newton, Jacob Bernouilli e L´Hôpital. Huygens tamén fixo a súa aportación ao estudo desta curva cando resolveu o problema da curva tautócrona. Se deixamos caer unha bóla pola curva, o tempo que tarda en chegar ao punto máis baixo é o mesmo independentemente da altura á que deixamos caer a bóla. Así, un péndulo que describira unha traxectoria cicloidal tería un período de oscilación independente da amplitude. Huygens demostrará tamén que a evoluta dunha cicloide sería outra cicloide igual. Pero que é a evoluta dunha cicloide?, máis en xeral, que é a evoluta dunha curva? Para responder precisamos antes saber o que é o círculo osculador dunha curva, concepto introducido por Descartes no 1637 na súa Xeometría. Dado un punto dunha curva chamaremos círculo osculador (círculo que bica á curva) a aquel círculo que é tanxente á curva pola súa parte cóncava. O radio do círculo osculador é o chamado radio de curvatura. O seu módulo dános información de como é a curvatura da curva. Non me resisto a dar a fórmula do radio de curvatura: $$R=\frac { { \left( 1+{ y }^{ { ´ }^{ 2 } } \right)  }^{ \cfrac { 3 }{ 2 }  } }{ \left| { y }^{ ´´ } \right|  } $$ Pensemos que os radios de curvatura son todos perpendiculares á curva. O centro do círculo osculador chámase centro de curvatura. A evoluta dunha curva é outra curva formada polos centros de curvatura. Como xa comentamos anteriormente, a evoluta dunha cicloide é outra cicloide igual. Curioso, non? Podémolo comprobar na seguinte aplicación movendo con coidado o punto P activarase o rastro dos centros de curvatura e veremos como se vai debuxando a súa evoluta:  (Coa roda do rato podemos cambiar o tamaño do esquema así velo todo)
 

Isto permitiríalle a Huygens a construción dun péndulo cicloidal. Bastaba con colocar unhas guías cicloidais co fin de que a barra do péndulo sempre fose tanxente a esas guías. Consecuentemente a bóla do péndulo describiría a un tempo unha traxectoria ciloidal. Se lle dámos a volta, cabeza abaixo á anterior aplicación obteriamos o esquema que aparece na seguinte, onde se reproduce o péndulo imaxinado por Huygens. (Coa roda do rato podemos cambiar o tamaño do péndulo e así velo todo)
 

Despois do comentado pode dar a impresión de que Huygens fixo uso do cálculo diferencial, pero non foi ese o caso xa que usou únicamente métodos xeométricos. Desafortunadamente non podemos dicir que Christiaan Huygens participara das matemáticas dos bicos. Podemos comprobalo no libro no que publicou os resultados que vimos de comentar.  Paradoxalmente os resultados máis importantes deste libro tómanse como o punto referencial da primeira aplicación da xeometría diferencial. Isto é unha carácterística moi común no desenvolvemento científico xa que en non poucas ocasións acharemos tratados, mesmo resoltos problemas que hoxe caen dentro dunha rama específica, pero que foron estudados con métodos doutra rama xa que ésta aínda non estaba desenvolvida. Lembremos que Isaac Barrow establecera nin máis nin menos que o teorema fundamental do cálculo aplicando tamén únicamente métodos xeométricos. Todo isto dá lugar a pensar que nesa altura, ben andado o século XVII, dalgunha maneira estaba determinada a futura elaboración do cálculo infinitesimal. Huygens publicou estes resultados no seu Horologium Oscillatorium (Péndulo Oscilatorio) no 1673, época na que Newton estaba dando os primeiros pasos no cálculo. Unha marabilla que nos permite a tecnoloxía desde hai ben pouco é a de podermos consultar libros coma este sen máis que prender o ordenador:

Un novo valor para pi

 

Clara vídeo-demostración do matemático Kevin Houston de que

I will derive

Estes días estamos a repasar o concepto de derivada, como se foi xestando esta idea no transcurso de todo o século XVII, os problemas que resolvía e as principais regras de cálculo diferencial. Como me parece que na aula non hai ninguén moi emocionado co tema, a ver se esta versión do tema alguén se anima máis.