Outra vez a ecuación cúbica

Cada vez que me vén á cabeza a figura de Gerolamo Cardano (1501-1576) sáeme un sorriso ao lembrarme da súa autobiografía, Mi vida (Alianza Editorial, 1991). Recoméndollo a todo o mundo pois léndoo un decátase do extravagante que foi o personaxe. 

O ano 1565 é unha desas datas clave na historia das matemáticas por ser cando Cardano publica o Ars Magna, o libro onde dá conta da resolución da ecuación cúbica e da cuártica así como do periplo para chegar a este achádego. Que Cardano nos ofrecera esas solucións non significa que as portas quedasen pechadas neste ámbito. Noutra entrada (Bombelli, máis que complexos) xa comentaramos unha idea alternativa de Bombelli para tratar o problema da cúbica. Sobre esta mesma cuestión imos comentar outra achega, neste cado de Frans van Schooten (1615-1660).

Recorte do libro de van Schooten

van Schooten foi un matemático holandés que traduciu ao latín a Xeometría de Descartes. Con este texto como piar, montou todo un equipo de investigación co que desenvolveu e difundiu a nova xeometría analítica. O seu alumno máis aventaxado sería Christiaan Huygens (1629-1695). 

No ano 1646 van Schooten publica De organica conicarum sectionum in plano descriptione, tractatus. Xa enxergamos polo seu título que se trata dun tratado sobre cónicas pero o que nos interesa a nós é que contén un apéndice sobre a resolución das ecuacións de terceiro grao. Souben disto a partir dunha revista de nome evocador, Chalkdust Magazine, nun artigo asinado por Elinor Flavel, que vou debullar de seguido. Daquela, podes ir ao artigo e pasar de ler as seguintes liñas. Con todo non vou fusilar directamente o artigo senón que o procurarei contar á miña maneira.

É ben sabido que cando se afronta a resolución dunha cúbica: $$Az^{3}+Bz^{2}+Cz+D=0$$ convén realizar o seguinte cambio $$z=x-\frac{B}{3A}$$

pois así chegamos a unha cúbica reducida, isto é, unha ecuación cúbica sen termos cuadráticos: $x^3+px+q=0$

Nos tempos de van Schooten aínda non se asumiran os números negativos como algo natural polo que a anterior expresión remitía a varios casos segundo o signo dos valores dos coeficientes da ecuación. Consideraremos o caso no que ambos son negativos, o que daquela se escribiría, con $p$ e $q$ sempre positivos, cos correspondentes monomios pasados ao segundo membro: $$x^3=px+q$$

Co fin de facer un tratamento xeométrico da ecuación imos pegar un chimpo. Soltado o aviso, solto tamén o exabrupto: sexan $a$ e $b$ tales que $p=3a^{2}$ e $q=a^{2}b$. Con $a<2b$ (xa veremos o que significa esta desigualdade). A ecuación queda da forma $$x^{3}=3a^{2}x+a^{2}b$$Tracemos unha circunferencia de raio $a$. Sexa $FK$ un diámetro. Como $b<2a$, tomando $F$ como centro, se trazamos outra circunferencia de raio $b$, esta vai cortar á anterior nun punto $G$. Daquela $FG=b$

Trisecamos o ángulo $KFG$ cos segmentos  $FL=x$ ($x$?, por que lle chamamos $x$?) e $FI=c$ . Prolongamos estes segmentos ata $S$ e $T$ de forma que$LS=x$ e $IT=c$. Con esta construción obtemos tres triángulos isósceles semellantes: $FHL$, $FLS$ e $FIT$. A semellanza dá lugar ás seguintes igualdades: $$\frac{a}{x}=\frac{x}{c+2a}=\frac{c}{x+b}$$ Por unha banda temos:

$$ac+2a^{2}=x^{2}\Longrightarrow ac=x^{2}-2a^{2}\Longrightarrow c=\frac{x^{2}}{a}-2a$$

Por outra: $$\left( x+b \right)a=xc$$

Intentemos eliminar $c$ da expresión: $$\left( x+b \right)a=x\left( \frac{x^{2}}{a} -2a\right)=\frac{x^{3}}{a}-2ax=\frac{x^{3}-2a^{2}x}{a} $$

$$(x+b)a^{2} =x^{3}-2a^{2}x$$

$$ a^{2}x+a^{2}b=x^{3}-2a^{2}x$$

$$x^{3}=3a^{2}x+a^{2}b$$

Pero se esta é a ecuación coa que comezamos! Velaí que, efectivamente, $x=FL$ é a solución.

Quédanos por comentar o significado alxébrico da expresión $b<2a$ pois o xeométrico xa o sabemos: é o que nos permite trazar todo o debuxo anterior. Multipliquemos por $a^{2}$:

$$a^{2}b\lt 2a^{3}\Longrightarrow \frac{a^{2}b}{2}\lt a^{3}$$

Elevando ao cadrado: 

$$\left( \frac{a^{2}b}{2} \right)^{2}\lt a^{6}=\left( a^{2} \right)^{3}=\left( \frac{3a^{2}}{3} \right)^{3}$$

Escribimos agora o primeiro e o último termo en función de $p=3a^{2}$ e $q=a^{2}b$:

$$\left( \frac{p}{2} \right)^{2}\lt \left( \frac{q}{3} \right)^{3}\Longrightarrow \left( \frac{q}{3} \right)^{3}-\left( \frac{p}{2} \right)^{2}\gt 0$$

Isto é o discriminante da fórmula de Cardano!; ten que ser positivo para que poidamos obter unha solución (non complexa). Para comprobarmos esta afirmación en todo o seu esplendor lembraremos a fórmula de Cardano para as ecuacións da forma $x^{3}=px+q$

$$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^{2}-\left( \frac{p}{2} \right)^{3}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^{2}-\left( \frac{p}{2} \right)^{3}}}$$

Todo funcionaría marabillosamente se non fose por un pequeno detalle. Lembremos que un dos primeiros pasos consistía en trisecar o ángulo $KFG$. Iso mesmo, a trisección dun ángulo, un deses problemas clásicos que son clásicos porque non hai que lle meta o dente.

O Círculo Anónimo

Varias das últimas entradas deste blogue tiveron como protagonista a Márta Svéd,(A curiosa xeometría de Márta Svéd. Introdución,  A curiosa xeometría de Márta Svéd. O desprazamento, e A curiosa xeometría de Márta Svéd.O V postulado e máis alá) matemática húngara nacida no 1910 que desenvolvería a maior parte do seu traballo en Australia. Isto fixo que me preguntara cales foron as circunstancias da súa vida, especialmente o caldo de cultivo no que creceu a súa afición polas matemáticas. Márta pertenceu a un grupo de estudantes universitarios de Budapest que se coñece como Círculo Anónimo porque se reunían con frecuencia ao pé dunha estatua no parque central da cidade que está adicada a un historiadior medieval anónimo húngaro. Estas reunións foron un dos principais incentivos que eles mesmos relataron como fundamentais para o seu interese polas matemáticas. Para coñecer mellor as súas orixes debemos remitirnos a unha revista, 

Número do 1900 da
revista KöMaL

a  Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (KöMaL) ou Revista de Matemáticas e Física de Secundaria. Foi fundada por un profesor de secundaria, Dániel Arany (1863-1945), en Győr (Hungría). A revista propón problemas aos estudantes e estes envíanlle as súas solucións ao editor. As solucións son cualificadas por un grupo de colaboradores e despois publícanse co nome do autor. O primeiro número de KöMaL aparece o 1 de xaneiro de 1894. Ese mesmo ano, e con problemas que apareceran na revista, tamén comeza o Concurso de Matemáticas de Eötvös que pasaría a chamarse Krürschák a partir da II Guerra Mundial. Este concurso serviría de modelo e inspiración doutros que comezaron a convocarse nas primeiras décadas do século XX, como foi o caso da de Leningrado (San Petersburgo). No 1959 Rumanía convoca a varios países da órbita da URSS (Hungría, Polonia, Checoslovaquia, RDA e URSS) na primeira edición dunha Olimpíada Matemática Internacional. Finlandia uniríase no 1965, Gran Bretaña, Francia e Italia no 1967. A partir dese momento o número de países participantes aumentou rapidamente.

Parece ser que Lipót (Weiss) Fejér (1880-1959), quen obtivera moi malos resultados na escola primaria, comezou a interesarse polas matemáticas da man de Sigismund Maskay e converteuse nun solucionador habitual dos problemas da KöMaL. Acadou o segundo posto na Eötvos de 1897. Cunha excelente capacidade narrativa, as conferencias e artigos de Fejér forxaron moitas vocacións matemáticas. Dirixiu unha escola de análise de gran éxito. Foi director de tese de John von Neumann, George Pólya, Pál Erdős ou Pál Turán. 

KöMaL deixa de editarse durante a I Guerra Mundial. A partir do 1925 cae baixo a dirección de Andor Faragó (1877-1944) e comeza a publicar as fotos dos mellores resolutores de problemas. Cando eses alumnos chegan á universidade recoñécense por esas fotografías. Isto facilita que se poñan en contacto. Así, un grupo de mozos xudeus, desafiando as leis que impedían as reunións, xúntanse nun parque no centro de Budapest, ao pé da estatua de Anónimo. A veces eran catro ou cinco, pero podían chegar a reunirse ata uns vinte. Conversaban de moitos temas, pero sobre todo da súa paixón, as matemáticas. 

Estatua de Anónimo no
parque central de Budapest

A figura máis destacada do Círculo Anónimo foi 

Pál Erdős (1913-1996). Xa desde pequeno dou mostras de interese polas matemáticas. Canto tiña un ano as tropas rusas tomaron prisioneiro ao seu pai, Lajos (Engländer) Erdős, quen permaneceria nun cárcere en Siberia durante seis anos. 

A pesar do antisemitismo obtén praza na universidade de Budapést e doctórase aos 21 anos. Marcha ao Reino Unido e posteriormente aos Estados Unidos. Foi tremendamente prolífico pois chegou a publicar uns 1500 artigos, moitos deles en colaboración con outros 500 coautores. 

Na seguinte película documental do ano 1993, N is a Number, a Portrait of Paul Erdős, relátanse algúns dos seus principais aspectos biográficos. Recomendo ver sobre todo a parte que vai entre o minuto 8:50 e 12:20 pois é o que máis relación ten con esta entrada.

No intervalo indicado entrevístase a Márta Svéd, amiga de Pál Erdős

Márta (Wachberger) Svéd. Márta e o seu marido George Svéd marcharon de Hungría no ano 1939. O seu país de acollida foi Australia. Ela converteuse na directora do departamento de matemáticas da Wilderness School, unha escola de ensino secundario privada para nenas en Adelaida. Traballou alí ata1958, ano no que pasou a ser docente na Universidade de Adelaida tras completar a súa formación matemática. Entre as súas contribucións matemáticas, Márta desenvolveu un algoritmo para, a partir de tomografías computarizadas, recrear modelos de nylon en 3D de cranios de pacientes. Estes modelos usáronse durante anos na Unidade Craneofacial Australiana (en Adelaida) para planificar cirurxías complicadas en nenas e nenos desfigurados por anomalías craneofaciais. Con 75 anos defendeu a súa tese de doutoramento na Universidade de Adelaida. A Australian Maths Trust homenaxeouna no ano 1994 e entre outros aspectos destacaban que foi a creadora da primeira revista para estudantes de secundaria en Australia. Márta quixo levar ao estudantado australiano a exitosa experiencia que ela mesma vivira grazas á KöMaL.

Márta é a autora de Journey into Geometries (AMM 1991) unha curiosa obra dialogada con tres personaxes principais, Alicia, unha muller con gran capacidade de razoamento matemático, Lewis Carroll, que representa as matemáticas decimonónicas e o curioso Dr. Whatif, que sempre está buscando novas hipóteses e reivindica o papel das matemáticas do século XX ao estilo hilbertiano. Todos eles interactúan con outros personaxes recollidos de Alicia no país das marabillas.

Para comprender mellor o ambiente universitario no que se desenvolveron Márta e Erdős continuaremos reseñando as biografías dos compoñentes do Círculo Anónimo. As fotos que aparecen nesta entrada foron todas sacadas da revista KöMaL.

Deső Lázár (1913-1943). Debido á lei do númerus clausus non puido ingresar na universidade en Budapest e tivo que marchar a estudar á de Szeged, xunto a Géza Gründwald. Só publicou un artigo na súa vida, precisamente sobre a xeneralización dun problema de Géza. Traballou de carpinteiro e despois conseguiu un posto de profesor. Ferido nunha perna morreu desangrado. No 1974 Rózsa Péter pídelle ás escolas secundarias adicar un premio á memoria dun matemático falecido na II Guerra. A noticia chégalle a Erdős e el é quen propón homenaxear a Deső Lázár.

Géza Gründwald (1910-1943). Alumno de Lajos Erdős. Era un gran xogador de xadrez. Compañeiro de clase de Pál Erdős, xuntos xogaban ao xadrez no parque de Várolisget. Procedía dunha familia con poucos recursos así que cando enfermou de tuberculose, enfermidade grave nesa altura, non tiña posibilidades dun bo tratamento. Sería Lajos quen acudiría na súa axuda para pagarlle o ingreso nun sanatorio durante un ano. Debido á enfermidade, e tamén á lei racista de números clausus, non obtén praza universitaria en Bucarest. Por mediación de Lajos consigue ir á universidade do sur de Hungría en Szeged. Publica varios artigos sobre os polinomios de interpolación de Lagrange.

Durante a II Guerra Mundial ingresou nun servizo de traballos forzados. Un dos vixiantes era matemático e lera algún dos seus artigos.Debido a isto procuroulle un traballo mellor. Finalmente sería fusilado con case todos os membros do seu grupo como represalia por un acto de sabotaxe en Gyor.

Pál Turan (1910-1976). Escibiría uns 150 artigos. Traballou na teoría de números. Foi fundador da teoría de grafos exrtremais. Fixo a tese baixo a dirección de Féjer. Durante a II Guerra Mundial estivo en varios campos de traballo. Posiblemente isto salvoulle a vida xa que os xudeos que non estaban nos campos foron traslados aos campos de exterminio. Continuou facendo matemáticas neste campos, incluso dixo que moitas das mellores ideas que tivo foron nesta penosa situación. Morreu de leucemia, sen sabelo, xa que a súa familia, en concreto a súa muller, a matemática Vera Sós, ocultoullo.

Tibor (Gründwald) Gallai (1912-1942)  Traballou en combinatoria e teoría de grafos. O mellor amigo de  Erdős ao que coñeceu no instituto. Os seus profesores non lle permitiron participar no Eötvos, e como no exame de ingreso do seu ano quedou en 5º lugar (George Svéd quedara de 1º e Marta (Wachberger) Svéd de 3ª), debido ao númerus clausus non puido ingresar na universidade. Preséntase á seguinte edición do Eötvos (1930) e queda primeiro, co que pode ingresar directamente nos estudos superiores. Ao finalizar a II Guerra Mundial comeza a dar clases nun centro de Secundaria. Era un profesor excelente. Tivo entre as súas alumnas a Vera Sós. Tiña un grao de integridade esaxerado. Deixou o instituto no que estaba traballando para coidar á súa muller sen cobrar pois consideraba que non debía facelo se non aportaba nada. Chegou a vivir practicamente na indixencia. Moitos dos seus resultados recibiron o nome doutros matemáticos porque a el non lle importaba, incluso o fomentaba. Cando na revista KöMaL publican un artigo laudatorio sobre el, como acto de protesta, abandona a Sociedade J. Bolyai, a responsable da publicación.

Lázsló Alpár (1914-1991) Membro do Partido Comunista, ilegal, foi detido no ano 1932 e encarcerado. Foi expulsado da Universidade polo seu activismo no movemento estudantil comunista. Marcha a Francia e estuda na Sorbona. Alí é detido por "sospeitoso comunista" e permanece prisioneiro durante a II Guerra Mundial ata que escapa e organiza un grupo partisano da resistencia francesa, participando en varias accións con éxito como a voadura da ponte do río Durance. Regresa a Hungría e participa en actvidades sindicais. No 1949 é depurado no proceso de Rajk e volveu a prisión (1949-1953). Anos despois sería rehabilitado. 

Fixo contribucións na teoría de funcións complexas. Nos últimos anos da súa vida escribiu textos divulgativos e de historia das matemáticas. Suicidouse.

Endre (Weisfeld) Vazsónyi (1916-2003). O pai tiña unha zaparería moi próspera en Bucarest. Tería uns 13 anos cando coñece a Erdős. Segundo un relato do propio Vazsónyi, Pál pídelle un número de catro cifras. Cando llo di, Erdős devólvelle inmediatamente o seu cadrado. De seguido pregúntalle cantas demostracións coñece do teorema de Pitágoras. Vazsónyi só coñecía unha. Erdős sabía de 37. Endre aña o Eötvos de 1931.Fai a tese, dirixido por Féjer, sobre superficies de dimensión superior. Fronte á terrible discriminación dos xudeus, fuxe a Francia e despos aos EEUU. Alí traballaría para a industria militar e na informatización dunha gran compañía. Tamén participou en estudos de investigación operativa. 

George Szekeres (1911-2005). Mostrou interese e capacidades nas matemáticas integrándose no Círculo Anónimo, porén cando iniciou os estudos universitarios, fíxoo no campo da química na Universidade Técnica de Budapest, seguindo os desexos dos seus pais que necesitaban químicos para o negocio familiar. Mentres estudaba, a firma familiar crebou e, cando ao graduarse en 1933, traballou ata 1939 para unha empresa de peles en Simontornya, un centenar de quilómetros ao norte de Budapest. 

Ao agravarse o antisemitismo baixo a influencia nazi , emigrou coa súa muller Ester (Klein) Szekeres (1910-2005) a Shanghái (China), onde xa se marchou o seu irmán, Imre, anteriormente. A empresa na que traballaba en Shanghái tamén crebou e atopáronse cun recentemente nado no medio da Segunda Guerra chinojaponesa e da revolución comunista chinesa . Despois de anos de penurias extremas, en 1945, ao terminar a Segunda Guerra Mundial , traballou de administrativo nunha base aérea estadounidense. En 1948, a familia trasladouse a Adelaida (Australia) , aceptando unha invitación como profesor na universidade desta cidade. Alí vivirían no apartamento de Márta Svéd durante tres anos. En 1964 trasladáronse a Sydney para ser profesor da universidade de Nova Gales do Sur . Retirouse en 1976, pero durante vinte e cinco anos máis estivo a ir á universidade case todos os días.  En 2004, volveu vivir a Adelaida, cos seus fillos, pero a súa muller sufriu un ictus e tivo que ser ingresada nunha residencia. Uns meses despois, el tamén ingresou na mesma residencia, na que faleceron ambos o mesmo día de agosto de 2005.

En 1984, cofundou coa súa muller unha reunión semanal de enriquecemento das matemáticas que desde entón ampliouse ata converterse nun programa duns 30 grupos que seguen reuníndose semanalmente e inspirando a estudantes de secundaria en toda Australia e Nova Zelandia.

No ano 1995 a Australian Maths Trust homenaxeou ao matrimonio. Entre outras cousas destacaban que George foi precursor doutra revista para o alumnado de secundaria, Parabola, que aínda se publica actualmente.

Szekeres é autor ou coautor de máis dun centenar de artigos publicados en revistas científicas. Os seus campos de traballo máis notables son a teoría de grafos, a álxebra e teoría de grupos , a teoría de números , a análise matemática  e a física matemática 

Máis Mates

Acaba de publicarse o primeiro número de Máis Mates, unha revista estudantil que xurde no seo da Facultade de Matemáticas da USC. Trátase dun proxecto editado e producido por un alumno do Grao en Matemáticas, Francisco Estévez Lengua. O obxectivo é publicar un número cada mes durante o presente curso 2023-24. Os artigos ocupan unha extensión dunha páxina. Esta iniciativa pode enmarcarse en toda unha serie de revistas escolares ou de agrupacións profesionais que pode consultarse no portal de Retallos de Matemáticas.

A publicación ten cinco seccións: historia, actualidade, sociedade, teoría e retos. Esta última está mantida polo club olímpico Sementeira, un grupo de apaixonados pola resolución de problemas. 

Neste primeiro número Santiago González Gómez escribe sobre os problemas do papiro de Ahmes e Ignacio Garbajo Fernández trata a importancia da abstracción no desenvolvemento da xeometría. As perspectivas que abre a IA dentro das matemáticas conta cun artigo da autoría de Carlos Cao López. Outro artigo da sección de actualidade é o de Guillermo Arcos Salgado, que examina un problema divulgado na revista Quanta Magazine no que se pregunta polo triángulo que maximice o menor triángulo que se pode elaborar con n puntos distribuídos nun cadrado.

Tamén contamos con dous artigos que tratan aspectos puramente matemáticos. Un deles, de Pedro Vidal Villalba, trasládanos á teoría de funtores; o outro, de Francisco Estévez Lengua ocúpase dos sistemas caóticos. Finalmente  hai dúas breves entrevistas, unha á profesora Rosa Mª Trinchet Soria e outra a Catalina Lavandeira Gippini,  unha alumna que relata a súa experiencia nun voluntariado en Mozambique.

Velaquí unha gorentosa iniciativa que valoriza a comunidade matemática e presenta un novo escaparate para o labor das matemáticas no noso país e na nosa lingua, elementos, todos eles, dos que estamos moi necesitados. 

 

As perlas de Jorge Nuno Silva na Gazeta de Matemática

 A Gazeta da Matemática é unha  das publicacións a cargo da Sociedade Portuguesa da Matemática. Ten unha periodicidade cuadrimestral e despois de pasado un ano pódese descargar libremente. Un dos apartados máis gorentosos é o artigo de Jorge Nuno Silva, profesor da Universidade de Lisboa, moi interesado na matemática recreativa, polo que os seus artigos na Gazeta son fulgurantes perlas deste aspecto das matemáticas. Van de seguido algunhas alfaias deste colar. O primeiro, un problema que ten unha moi boa inserción no currículo da secundaria e que apareceu no nº 187 desa publicación:

O casino das diferenzas.Un xogador paga 2 € para lanzar dous dados cúbicos normais e gaña, en euros, o valor absoluto da diferenza entre os valores que saian no lanzamento, agás se sae dobre, pois neste caso lanza de novo. Este xogo é bo para a casa ou para o apostador?

Jorge Nuno participa nas actividades anuais de homenaxe a Martin Gardner. No número 186 recolle este sorprendente problema do mestre da divulgación:

División entre irmáns.  Dous irmáns acordan vender un rabaño de ovellas, propiedade común de ambos. Curiosamente, cada ovella rende un número de euros igual ao número de ovellas do rabaño. O comprador paga en billetes de 10 € máis voltas (as voltas corresponden a un valor inferior a 10 €).

Para efectuar unha división equitativa do diñeiro, os irmáns comezan por, alternativamente, retirar un billete de 10 €, comezando polo máis vello. Resulta que o último billete tamén lle toca ao irmán máis vello, polo que o máis novo se queixa. O máis vello doulle todas as voltas, mais con todo o outro continúa a súa protesta. Entón, o maior dille: "Voute dar un cheque co que che debo para ficarmos iguais"

De canto era o cheque?

No nº 184 recolle un problema do Liber Abaci, de Leonardo de Pisa, un clásico:

Herdanza do Liber Abaci. Un pai divide  a súa herdanza entre os fillos da seguinte maneira. O primeiro recibe un euro e un sétimo do restante; o segundo ten dereito a dous euros e un sétimo do restante, e así sucesivamente. Acontece que todos reciben cantidades iguais. Cantos son os fillos? A canto lle toca a cada un e canto era a herdanza?

Jorge Nuno aínda se pregunta que pasaría se no canto de termos 1/7 no enunciado tivésemos 1/9, e se fose 1/n?

No número 180, nun artigo titulado Comunicação invisibel informa sobre un problema da Olimpíada Matemática de Moscú. Ao tratarse dun problema con cartas dunha baralla non é de estrañar que tamén fose tratado por ese matemago chamado Pedro Alegría nun artigo titulado Magia olímpica.  :

Comunicación invisible. Repártense as  cartas do 1 ao 7 dun mesmo pau. Hai tres xogadores, Andrey, Boris e Sergey. Tres cartas para cada dun dos dous primeiros e a que queda para Sergey. Ningún deles sabe das cartas que recibiron os outros. Será posible que Andrey e Boris teñan unha conversa, en voz alta e diante de Sergey, de forma que coñezan a distribución das cartas e que Sergey continúa a saber só cal é a súa?

Jorge Nuno explícanos que o problema estaba pensado para que se resolvera usado a artimética modular. Supoñamos que o reparto foi 2, 4 e 6 para Andrey, 3, 5 e 7 para Boris e 1 para Sergey. Se Andrey suma a súas cartas módulo 7 : 2+4+6=12 ≡ 5 (mód.7) e di este último resultado en alto, Boris pode engadir este número á suma das súas: 5+(3+5+7)=20=1 (mód.7). Tendo en conta que  a suma dos valores de todas as cartas 1+2+...+7=0 (mód.7) Boris sabe que Sergey ten que ter un 6,  a diferenza entre 7 e a suma módulo 7 obtida por el. Entón Boris podería anunciar en alto a carta que ten Sergey co que inmediatamente Andrey sabería tamén as que teñen todos.

O mellor de todo é que se nos informa doutra solución realmente orixinal na que se usa... o plano de Fano! 

O plano de Fano é o plano con menos puntos (e rectas) que podemos atopar na xeometría proxectiva: un total de 7 puntos (e polo tanto de 7 rectas).  Cada recta ten 3 puntos, de aí que en cada punto converxan 3 rectas. Da mesma maneira que en dúas rectas hai un total de 5 puntos (un deles pertence ás dúas), dous puntos pertencen a un total de 5 rectas. Tamén diremos que 3 rectas non converxentes nun punto conteñen un total de 6 puntos, ou reciprocamente que 3 puntos non colineares están nun total de 6 rectas. Todo isto vese inmediatamente na imaxe do plano de Fano.

O plano de Fano... útil?

Pero deixemos de dar voltas e centrémonos no problema. Basta con que Audrey mostre o plano de Fano etiquetando os puntos cos números do 1 ao 7, anunciando que as súas cartas se corresponden cunha das rectas. Quedan 4 puntos correspondentes aos outros dous xogadores. Os tres puntos de Boris non poden estar aliñados xa que, nese caso a súa recta cortaría á recta de Audrey e, polo tanto terían unha carta en común, o que é imposible. Xa que logo, eses tres puntos de Boris determinan 6 rectas que conteñen a algún deles. A recta que falta é a de Audrey, polo que Boris xa pode anunciar o valor da carta do incauto Sergey.

O nº 3 do "Marco Numérico"

Marco Numérico é a revista de matemáticas que publica o IES do Marco do Camballón (Vila de Cruces) desde hai tres anos. O primeiro número publicouse en xuño do 2018 e a súa novidosa proposta fixo que fose noticia en varios medios como GCiencia ou Praza Pública. Neste último destacaban que a publicación nacía nun marco e prohibicións establecido polo funesto decreto 79/2010 segundo o que nin se pode impartir docencia de matemáticas en galego nin usar materiais desta materia nesa lingua. O proxecto partira das aulas dunha materia optativa de 2º de bacharelato, Métodos Estatísticos e Numéricos.

Un ano despois aparecía o segundo número, no que se lle abriu a porta a que colaborasen outros centros de ensino. Finalmente, e con puntualidade britática, temos acceso ao terceiro volume, que saiu do prelo a pesar das dificuldades derivadas da pandemia da COVID-19. Na súa presentación destácase que esta revista

quere recoller traballos de investigación realizados por alumnado de secundaria e bacharelato de centros de ensino galegos que teñan as matemáticas como eixo central

Velaquí o seu carácter distintivo entre a curta, pero gorentosa, tradición de revistas de matemáticas dos centros de ensino, (por certo, todas elas en galego; boa mostra do compromiso social do mundo do ensino fronte ao radicalismo dunha Xunta racista coa lingua de noso e os seus utentes)

Neste terceiro número, entre outros artigos, volveremos a encontrar un traballo que contribúe ao proxecto MARUMASAT, hai unha nova achega sobre a lei de Bendford, e varios estudos estatísticos sobre a distribución dos números primos.

Non quería finalizar sen darlle as grazas ao promotor deste proxecto, Xosé Díaz, non só por poñelo en pé e mantelo, senón por unha razón máis persoal que non é outra que a de que me invitara a prologar o terceiro volume do Marco Numérico.

Problemas de congruencia e semellanza

A congruencia e a semellanza de figuras planas, moi especialmente a de triángulos,  trátanse na ESO polo que poderíamos pesar (erróneamente) que son temas triviais e nos que non se pode profundizar gran cousa. Van de seguido seis problemas de enunciado ben simple:

1. Corta un cadrado en tres figuras congruentes
2. Corta un cadrado en tres figuras semellantes tales que dúas delas sexan congruentes.
3. Corta un cadrado en tres figuras semellantes tales que non haxa dúas congruentes.
4. Corta un triángulo equilátero en tres figuras congruentes.
5. Corta un triángulo equilátero en tres figuras semellantes tales que dúas delas sexan congruentes.
6. Corta un triángulo equilátero en tres figuras semellantes tales que non haxa dúas congruentes.

Estas cuestións teñen a característica de seren moi abertas e, aínda que teñen un enunciado moi semellante (que non congruente), son de dificultade moi diversa: unha desas particularidades marabillosas nada infrecuentes nas matemáticas. Tamén dan lugar a outras cuestións tales como a existencia, unicidade ou contabilización das solucións de cada un deles. Os enunciados incluso invitan a continuar a serie partindo dun polígono regular calquera ou facendo divisións cun maior número de pezas.

Portada de Quantum

Por último toca explicar de onde saquei os enunciados. Antes de nada aviso que o artigo ofrece solucións ás cuestións, polo que é recomendable darlle algunhas voltas antes de consultalo. Trátase dunha colaboración de Martin Gardner (1914-2010) publicada no número de maio/xuño de 1994 da revista Quantum.
Quantum, editada pola National Science Teachers Association entre os anos 1990 e 2001 foi unha revista de ciencia dirixida tanto ao alumnado de secundaria e universitario como ao profesorado. As súas orixes remóntanse a outra publicación, neste caso rusa, Kvant, que tivo entre os seus fundadores ao destacado matemático Adrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987). Kvant aínda se publica na actualidade. Se a consultamos, de certo que nos dará mágoa non saber ler os caracteres cirílicos.

GAMMA 13

Desde que se presentou a finais de setembro tiven a intención de escribir unha referencia ao número 13 de  Gamma, a revista da Asociación Galega do Profesorado de Educación Matemática (AGAPEMA). Por primeira vez esta revista publícase dixitalmente e sen restricción de acceso aos seus contidos. Un acerto desde o meu punto de vista pois é unha excelente oportunidade de achegar aos non profesionais do ensino das matemáticas os traballos e intereses destes. Artigos Seguro que a moitos lles sorprenderá que o primeiro dos artigos comence cunha referencia a Uxío Novoneyra.  Tamén teño a certeza de que será un artigo do que calquera persoa allea ás matemáticas pode gozar. Moi distinto é o que repasa algunhas das aportacións de Euler á teoría de números. O seu autor foi profesor meu de matemáticas e nas súas liñas podo achar o que para min é o seu inconfundible estilo, cargado dunha beleza precisa e núa. Posiblemente o único artigo que non recomendaría a quen non teña ansia polas materia. Hai tamén un artigo adicado ao xogo do Mancala, que eu descubrira naquelas revistas Cacumen, outro sobre os números nos billetes, no NIF, no IBAN e nos códigos de barras, un máis que relata unha experiencia educativa dentro do marco e-Twining e para rematar unha oferta ben diversa, o cuarto e último capítulo dun dicionario de matemática escolar.

 Seccións
O apartado PRENSAndo as matemáticas recolle noticias de prensa desde unha mirada matemática. A blogosfera matemática achéganos unha lista de 37 blogues con referencias matemáticas, 8 deles en galego, toda unha heroicidade. No apartado audiovisual ofrécenos unha recompilación de momentos da serie de debuxos Os Simpsons con cortes matemáticos. A arte do origami vén cun relato que nos leva a construir unha rá saltarina.

Actividades
Na caixa das actividades atopamos unha serie de concursos (Olimpíada, Rebumbio), encontros (Feira, Seminario federal, xornadas) e congresos que dan boa medida do interese do profesorado de matemáticas pola mellora profesional e o achegamento deste tantas veces deostado saber ao resto da poboación, especialmente ao alumnado. Unha das achegas "Léxico matemático galego en Secundaria" fai referencia a unhas xornadas celebradas hai case un ano na Facultade de Matemáticas na que se fixo unha primeira aproximación ao estado da cuestión.

Camões e as permutacións con repetición

Cada vez que explico un tema de combinatoria, non me dá o corpo para tratar os casos con repetición porque, agás o problema do reconto de número de formas de cubrir unha quiniela (arranxos con repetición), non tiña de man ningún problema para abordar o seu tratamento na clase.
Agora xa non vai ser o caso grazas a un chío que soltou J. J. Rodríguez na arañeira anunciando a publicación dixital do segundo número da revist
a Ludus.
Entre outros artigos desta publicación fun dar con un redactado por dous profesores da Universidade de Coimbra,Carlota Simões, e Nuno Coelho O seu título é Camões, Pimenta and the improbable sonnet e estuda a transformación-creación que o poeta Alberto Pimenta realiza cun soneto de Luís de Camões.
A técnica consiste en permutar as letras de cada verso do poema de Camões

 Transforma-se o amador na cousa amada  

para construir outro completamente distinto (pero coas mesmas letras!):

Ousa a forma cantor! Mas se da namorada 

A mellor forma de entender en que consistiu a lúdica intervención de Alberto Pimenta creo que é este vídeo

Metástase I from Joana Rodrigues on Vimeo.

No artigo de Ludus pregúntanse cantas posibilidades distintas hai de construción dun novo verso mediante permutacións das letras do orixinal. Pensemos no citado primeiro verso:
Transforma-se o amador na cousa amada    pasa a ser    Ousa a forma cantor! Mas se da namorada 
....
Teremos que estudalo aos poucos. Consideremos só unha palabra do verso de Camões : cousa. Cantas ordenacións distintas podemos facer coas letras desta palabra?
Para facer un reconto podemos facer uso deste applet da plataforma e-learning do profesor J. Jesús Cendán Verdes, da UdcC

Introducindo como dato: cousa, e escollendo as 5 letras da palabra para permutar, a aplicación devólvenos as 5!=120 permutacións distintas, das que na imaxe da esquerda só aparecen unhas poucas. Explícome.
Para facer o reconto, teñamos presente que as cinco letras de cousa son distintas, polo que para a primeira posición temos 5 posibilidades de escolla. Unha vez elixida esta letra (poñamos por exemplo, que é o c), teriamos catro formas distintas de escolla da segunda letra (o, u, s, a). Supoñamos fixada a segunda letra, entón quedarían tres posibilidades de escolla para a terceira, e así sucesivamente:
Tal e como adiantamos teremos un total de

$${ P }_{ 5 }^{ }=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$

Se agora collemos a palabra amada e a introducimos no  applet para permutar as súas letras todos veremos que só nos aparecen estes 20 casos diferentes. Moitos menos que no exemplo anterior.
A razón, como se pode supoñer, vén de que agora hai unha letra que se repite. Tanto dá escribir
$${ a }_{ 1 }^{ }m{ a }_{ 2 }^{ }d{ a }_{ 3 }^{ }$$ como
$${ a }_{ 2 }^{ }m{ a }_{ 1 }^{ }d{ a }_{ 3 }^{ }$$
pois ao non distinguirmos os aes, os dous casos non se contabilizan como distintos. Cantos máis casos hai equivalentes aos dous anteriores? Pois os que resultan de permutar eses tres aes:
$${ P }_{ 3 }^{  }=3!=6$$
Polo que de cada 6 casos só contabilizaremos 1. Así que dos 120 dunha permutación de 5 elementos agora quedarémonos con
$$\frac { 120 }{ 6 } =20$$ En xeral a fórmula das permutacións de n elementos nas que o primeiro elemento, o segundo,...., o k-ésimo se repiten:
$${ n }_{ 1 },{ n }_{ 2 },{ n }_{ 3 }{ ....n }_{ k }{ veces }{ / }_{ }{ n }_{ 1 }{ +n }_{ 2 }{ +....+n }_{ k }=n$$ Será a seguinte:
$${ PR }_{ n }^{ { n }_{ 1 }{ n }_{ 2 }{ ... }{ n }_{ k } }=\frac { n! }{ { n }_{ 1 }!{ n }_{ 2 }!{ ... }{ n }_{ k } }$$
Sabendo que no primeiro verso o número de veces que aparece cada letra é:
$$\begin{matrix} a & 9 \\ o & 4 \\ m,r,s & 3 \\ d,t & 2 \\ t,f,c,e,u & 1 \end{matrix}$$
o reconto final de formas de ordenar esas 31 letras será:
$${ P }_{ 31 }^{ 9,4,3,3,3,2,2,1,1,1,1,1 }=\frac { 31! }{ 9!4!3!3!3!2!2! } =1_{ 4 }092.782_{ 3 }550.735_{ 2 }491.616_{ 1 }000.000$$
Xa só nos quedan outros 13 versos. E teñamos presente que por cada unha das escollas feita no primeiro verso teriamos unha composición distinta polo que para obter o número de sonetos distintos teriramo que multiplicar as cifras obtidos do reconto de cada un dos versos. O resultado final dá un número da orde do seguinte:
$$5,3\cdot { 10 }^{ 312 }$$

Nunha última reviravolta, a Alberto Pimenta sóbranlle no último verso dúas letras: L e C, que veñen sendo as iniciais que nun bucle infernal nos devolven ao autor do soneto orixinal.


Camões - Soneto 96
Transforma-se o amador na cousa amada,
Por virtude do muito imaginar;
Não tenho, logo, mais que desejar,
Pois em mi[m] tenho a parte desejada.
Se nela est· minha alma transformada,
Que mais deseja o corpo de alcançar?
Em si somente pode descansar,
Pois consigo tal alma est· liada.
Mas esta linda e pura semidéia,
Que, como o acidente em seu sujeito,
Assi[m] coa alma minha se conforma,
Est· no pensamento como idéia;
[E] o vivo e puro amor de que sou feito
Como a matéria simples busca a forma.


Alberto Pimenta [Camões por interposta pessoa]
Ousa a forma cantor! Mas se da namorada
Nua d´imagem, tido rio por vir tu
Não tens, oh joga, sem que ide
Ia e mente passem, admito, d´harpejo,
Nada, terno mar, falsamente ilhas. Amas
Desejando amor que cale cio, parcas
Rimas, e os desencantos pedem
Odi et amo, caos, sigla. Ali plantas
Setas em idÈia, ainda mel, puras,
Semente que caÌdo sujeito como eu,
A lama minha informam. Com acessos
Te penso e cato o mÌnimo. Se nada
Muda, vê que frio e pó e riso e voto ou
Ímpio amor mata o ser e busca famas.
L. C.

Canto variaría o radio da Terra se lle aumentásemos 10 m ao ecuador?

 A algunha xente gústalle a poesía, a outras observar cadros e tamén hai quen desfruta coa resolución de problemas. O que problema que se presenta aquí é, como se podía supoñer, o seguinte:

Canto variaría o radio da Terra se lle aumentásemos 10 m ao ecuador?

O enunciado deste problema vírao por primeira vez na revista Cacumen. Agora 30 anos despois atopeino neste simpático vídeo, un dos gañadores de videoMaT, un concurso catalán de vídeos para o alumnado non universitario no que solicitaban traballos nos que se respondese a preguntas que evidencien a aplicación das matemáticas no entorno. Imaxinemos  que a Consellería de Educación copia a idea e quer trasladala a Galicia. Para respectar o espírito do funesto decreto do plurilingüismo nas bases do concurso deberíase prohibir que o vídeo fose elaborado en galego, non si? Ah! e intendade resolver o problema antes de mirar o vídeo. É un gustazo dar coa solución, tan simple e inesperada!