π shock

A noticia chegoume do profesor de física do meu centro. Preguntoume se sabía da obtención do número π mediante o reconto de choques de dous bloques que tivesen entre si unha relación de masas 1:10²ⁿ. Máis precisamente, partimos de dous bloques de masas m₂ e m₁=10²ⁿ・m₂ e unha parede situada do lado do bloque m₂ . O primeiro bloque choca contra o segundo e comenzan a producirse unha serie de choques dun contra o outro ou do segundo contra a parede. Sorprendentemente o reconto do número de choques vai ser,  3, 31, 314, 3141, 31415, 314159, 3141592, e, en xeral un número dado polas primeiras n cifras de π !

Imaxe de aquí

Facendo memoria, non é o único caso no que se nos presenta π inesperadamente. Lembremos o problema da agulla de Buffon:

Supoñamos un chan de táboas de madeira da mesma anchura. Deixamos caer sobre el unha agulla de lonxitude igual ao ancho das táboas. Cal será a probabilidade de que a agulla toque algunha das liñas de separación desas táboas?

 A resposta é 2/π .
Dito doutro xeito, este experimento permitiría teóricamente aproximar o número π polo cociente 2n/a onde n representa o número total de experimentos e a o de agullas que tocan as liñas de separación.

Primeira solución

Considreraremos como sentido positivo do movemento o usual (cara a dereita). O bloque de maior masa ten masa m₁ e o outro m₂
Úsanse dous principios de conservación: o da enerxía e o do momento, polo que teremos as seguintes igualdades:
$$\frac { 1 }{ 2 } { m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { m }_{ 2 }{ v }_{ 2 }^{ 2 }={ c } \quad \quad \quad \quad [1]$$
$${ m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }{ v }_{ 2 }={ f }(k)\quad \quad \quad \quad \quad [2]$$
No primeiro caso o valor permanece igual a unha constante c durante todo o experimento.
No segundo caso, f(k) toma unha cantidade discreta de valores pois o momento non cambia cando chocan os bloques pero si cando choca m₂ contra a parede.Se k reconta o número de choques f(k) só cambirá de valor cando k sexa par.
A estratexia para resolver o problema é realmente fermosa. Pasa por considerar un espazo xeométrico bidimensional asociado a este experimento no que cada punto represente as velocidades de cada un dos bloques; ben, non exactamente as velocidades:
$$\begin{matrix} x=\sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 } \\ y=\sqrt { { m }_{ 2 } } { v }_{ 2 } \end{matrix}$$
Con esta relación as igualdade [1] transfórmase na ecuación dunha circunferencia centrada na orixe:
$$\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { y }^{ 2 }=c\quad \quad \quad \quad [1']$$
Isto significa que os puntos da circunferencia son os únicos que poden representar un estado do experimento. Mais, hai outra restricción, a dada por [2], que agora pasa a representar unha serie de rectas paralelas (unha para cada valor de f(k)):
$$\sqrt { { m }_{ 1 } } x+\sqrt { { m }_{ 2 } } y=f(k)\quad \quad \quad de\quad pendente\quad m=-\sqrt { \frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } }  } \quad \quad \quad \quad [2']$$
O choque dos bloques representarase mediante un punto da parte inferior do plano: y < 0 (e recordemos, sempre un punto da circunferencia [1']). De seguido o bloque m₂ chocará coa parede polo que cambiará a dirección da súa traxectoria. Isto significa que a representación do estado saltará a un punto coa mesma ordenada pero positiva. Agora debemos considerar a recta de [2'] que pasa por este novo punto que cortará á circunferencia nun terceiro punto que representará un novo choque de bloques. Despois de repetido o proceso varias veces sairémonos da circunferencia; non haberá máis choques. Pero, como os contamos?
Teñamos en conta que se unimos os puntos que representan os distintos estados do experimento mediante rectas, éstas sempre formarán un ángulo θ. Como son ángulos inscritos na circunferencia, os ángulos centrais correspondentes medirán 2θ. Xa que logo, o problema redúcese a determinar o número de veces, N, que 2θ colle na circunferencia: 2Nθ ＜2 π, polo que, simplificando: Nθ＜ π. Velaí que aparece o famoso número.
Para rematar, pescudemos cal é o valor de θ
$$tan\theta =-\frac { 1 }{ m } =\sqrt { \frac { { m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 } }  } =\sqrt { \frac { 1 }{ { 10 }^{ 2n } }  } =\frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } $$
$$\theta =arctan\frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } \approx \frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } $$
$$N\theta \approx N\frac { 1 }{ { 10 }^{ n } } <\pi \quad \Rightarrow \quad N<{ 10 }^{ n }\pi \quad \Rightarrow \quad N=\left\lfloor { 10 }^{ n }\pi  \right\rfloor $$


Segunda solución

A canle 3Blue1Brown non quedou parada ao darnos a primeira solución senón que partillou esta outra, igual de marabillosa e, para máis, completamente distinta.
Ben, aínda que distinta, tamén aborda o problema mediante a construción dun espazo xeométrico bidimensional asociado ao experimento. Só que agora os eixos non virán dados polas velocidades dos bloques senón polas súas distancias á parede: d₁ e d₂.
$$\begin{matrix} x=\sqrt { { m }_{ 1 } } { d }_{ 1 } \\ y=\sqrt { { m }_{ 2 } } { d }_{ 2 } \end{matrix}$$
Os choques entre bloques daranse cando d₁ = d₂ e os do primeiro bloque contra a parede cando d₁= 0.
$${ d }_{ 1 }={ d }_{ 2 }\quad \Rightarrow \quad \frac { x }{ \sqrt { { m }_{ 1 } }  } =\frac { y }{ \sqrt { { m }_{ 2 } }  } \quad \Rightarrow \quad y=\sqrt { \frac { { m }_{ 2 } }{ { m }_{ 1 } }  } x=m'x\quad \quad \quad [3]$$
Entón os puntos que representarán os choques estarán nas rectas [3] e y=0. Ademais, polas características do experimento, o punto, chamémoslle P, que representa o estado do mesmo en cada momento, debe moverse sempre entre estas dúas rectas.
Pasemos a estudar a velocidade do punto P. O seu módulo será:
$$\left| \overrightarrow { v }  \right| =\sqrt { { \left( \frac { dx }{ dt }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { dy }{ dt }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { { m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }^{ 2 }+{ m }_{ 2}{ v }_{ 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 2c }\quad \quad \quad [4] $$
Había algo neste vídeo de Grant Sanderson que non me cadraba. Explícase que o momento é constante e isto utilízase para explicar a igualdade entre os ángulos de incidencia e reflexión do punto P. Pero lembremos que isto non é exactamente así, pois o momento diminúe cada vez que o bloque pequeno choca coa parede. Por iso, para quedar tranquilo conmigo mesmo, tiven que refinar un pouco a explicación.
Cando se produce un choque co muro hai un cambio de sentido na velocidade do segundo bloque:
$$pasa\quad de\quad \overrightarrow { v } =\left( \sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 }\quad ,\quad \sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 } \right) \quad \quad a\quad \quad \overrightarrow { v' } =\left( \sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 },\quad -\sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 } \right) $$
De aí que o ángulo de incidencia e reflexión de P sexan o mesmo cando se produce a colisión co muro.
Por outra banda, cando hai un choque entre os bloques non hai cambio no momento, f(k) non varía. Entón, neste paso, podemos aplicar o razoamento que se observa no  vídeo de Grant Sanderson interpretando esta constancia no momento mediante o produto escalar de vectores, o que nos volverá a dar a igualdade entre os ángulos de incidencia e reflexión. Vexámolo:
$${ m }_{ 1 }{ v }_{ 1 }+{ m }_{ 2 }{ v }_{ 2 }=\left( \sqrt { { m }_{ 1 } } ,\sqrt { { m }_{ 2 } }  \right) \cdot \left( \sqrt { { m }_{ 1 } } { v }_{ 1 }\quad ,\sqrt { { m }_{ 2 } } { v }_{ 2 } \right) =f(k)$$
$$\overrightarrow { m } =\left( \sqrt { { m }_{ 1 } } ,\sqrt { { m }_{ 2 } }  \right) \quad vector\quad director\quad da\quad recta\quad { d }_{ 1 }={ d }_{ 2 }$$
$$\overrightarrow { m } \cdot \overrightarrow { v }  =f(k)=\left| \vec { m }  \right| \left| \vec { v }  \right| cos\theta $$
Onde θ é o ángulo que forman eses dous vectores.
Da última igualdade deduciremos a igualdade entre os ángulos de incidencia e de reflexión na traxectoria do P cando coliden as masas.   Como o vector director da recta d₁ = d₂   non varía e f(k) tampouco o fai no intervalo entre choques coa parede, temos que o cosθ tampouco varía co choque entre bloques, o cal implica que os ángulos da traxectoria do punto P cando incide e se reflicte na recta d₁ = d₂  serán iguais (a θ).
Xa vimos en [4] que a constancia do módulo do vector velocidade proviña da conservación da enerxía ([1]). Agora acabamos de comprobar que o punto P sempre forma o mesmo ángulo θ coas rectas y=0 e d₁ = d₂
Para rematar esta demostración non cómpre levar moito nas alforxas. O problema orixinal transformouse noutro de óptica. Con todo podería parecer pouco menos que imposible facer o reconto de veces que o punto P colide con ese par de rectas... agás que teñamos abordado algunha vez un problema no que tivéramos que reflexionar. Efectivamente, basta reflectir as rectas unha e outra vez para podermos simplificar a traxectoria de P a unha recta. Neste punto o problema volve a ser o de determinar N para Nθ＜ π, o cal xa se explicou máis arriba.
Esta solución que acabamos de dar, xunto co problema orixinal, son obra de Galperin. Podemos consultar a publicación nesta ligazón.

Máis solucións e máis problemas
Neste outro vídeo o profesor Ed Copeland propón un problema semellante: cantas veces coliden as masas entre sí antes de que a masa maior comence a cambiar de dirección? A resposta é a mesma que á da cuestión anterior cando a relación entre as masas é de 16・10²ⁿ :1 (se non as puxera ao principio desta entrada aquí tamén comprirían un par de signos de admiración).
A este novo problema danlle unha solución no blogue Conversation of Momentum (acaído nome para o que nos ocupa!) que me encantou. Non ten a vistosidade visual dos vídeos anteriores pero parte con outra ventaxa. Ata o momento fixemos unha simplicación que non permite comprender toda a complexidade do problema. Resulta que con cada colisión cambian as velocidades e isto non se reflicte na notación utilizada no xa explicado. No entanto, na entrada de Conversation of Momentum escóllese unha mellor notación chamándolle uⁿ_i á velocidade antes do n-ésimo choque da masa i e vⁿ_i á velocidade despois do n-ésimo choque. Despois de obter unha fórmula recursiva chégase á seguinte expresión:
$$\left( \begin{matrix} { v }_{ 1 }^{ n } \\ { v }_{ 2 }^{ n } \end{matrix} \right) =\frac { 1 }{ { \left( x+1 \right)  }^{ n } } { \begin{pmatrix} x-1 & 2 \\ -2x & x-1 \end{pmatrix} }^{ n }\left( \begin{matrix} { u }_{ 1 }^{ 0 } \\ 0 \end{matrix} \right) \quad con\quad x=\frac { { m }_{ 1 } }{ { m }_{ 2 } }  $$
Aquí aparece a potencia dunha matriz. O método para calculala é diagonalizándoa mediante a obtención dos seus autovalores (proceso que xa temos feito algunha vez neste blogue). A marabilla é que eses autovalores... dan números complexos. Algo que, por certo, non lle había de gustar ao compañeiro de física que me informou do problema. Como curiosidade, deixo aquí a matriz diagonal
$$D=\begin{pmatrix} \left( x-1 \right) +2i\sqrt { x }  & 0 \\ 0 & \left( x-1 \right) -2i\sqrt { x }  \end{pmatrix}$$
Non estaría mal pescudar a contabilización do número de choques cunha proporción de masas a・10²ⁿ :1, sendo a un número natural, ou incluso un número racional calquera maior que 1. A ver se vai resultar que calquera natural vai  ter unha relación natural (física) co número π.

O plano de Minkowski

Supoño que sucede algo semellante noutras materias, pero voume referir únicamente ás matemáticas. Se o currículo xa era dunhas dimensións inabarcables, coa LOMCE foise moito máis alá. Durante uns anos, na materia de Matemáticas I de 1º de bacharelato, desapareceran os números complexos. Sempre me pareceu unha mágoa non estudalos, tan siquera mínimamente, para abordar algunhas das cuestións máis interesantes do desenvolvemento das matemáticas, como a de presentar un corpo completo ou dar resposta á cuestión da resolución das ecuacións polinomiais de calquera grao. A cuestión é que agora os complexos volven a estar dentro do currículo.
O que sempre se mantiveron as autoridades educativas nesa mesma materia foron os contidos da xeometría plana (o espazo vectorial R², o espazo afín coas ecuacións da recta,e o espazo euclidiano coa introdución do produto escalar e a corresponte métrica asociada...). Este curso, ao tratar este tema na aula quixen que polo menos enxergaran as razóns de por que lles explicaba cal era a idea abstracta de espazo vectorial. Como o asunto vai moi forzado, introducín a cuestión falándolle dun dos máis grandes matemáticos do XX: Nicolás Bourbaki. Unha das súas teimas máis coñecidas era a concebir as matemáticas a partir dunha idea fundamental, a de estrutura. Con algo de sorna pedinlle ao alumnado que me trouxeran ao día seguinte algunha intmidade de Bourbaki (como a da data de nacemento, morte, se casara, tivera fillos... ). Non imaxinaba eu que moitos deles xa tiñan a resposta moito antes de rematar a clase...Malditos móbiles!

MIR, mágoa de editorial

A culpa desta entrada tena a pregunta dunha alumna. Despois de levar uns poucos días remexendo na xeometría analítica á rapaza ocorréuselle que os dous temas tratados podían ter algunha relación. Razoaba que se os complexos formaban un plano e na xeometría analítica estabamos a estudar un plano, algo debían ter en común,  Isto fixo que me viñera á memoria a xeometría de Minkowski, que dalgunha forma daba resposta á cuestión.
O que segue débese esencialmente a este libro, El universo tetradimensional de Minkowski, de A. A. Sazánov, daquela marabillosa (e barata) editorial, a MIR.


Xeometría de Minkowski
Dado o espazo vecvtorial R², definimos a seguinte especie de produto escalar:
$$\left< \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) ,\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right)  \right> ={ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }$$
Segundo esta definición o produto escalar é bilinear, simétrico, pero non está definido positivo.
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> \ge 0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }\ge { y }^{ 2 }$$
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> =0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }={ y }^{ 2 }\quad \Longleftrightarrow \quad x=\pm y$$
As rectas x=±y chámanse rectas isótropas. Estas rectas dividen o plano en catro sectores (esquerdo, dereito, superior e inferior).
A cónica unidade non será a circunferencia, senón as hipérbolas que teñen por asíntotas as rectas isótropas.
O produto escalar danos a condición de perpendicularidade:
$$Sexa\quad \vec { { u }_{ i } } =\left( { x }_{ i },{ y }_{ i } \right) \quad para\quad i\in \left\{ 1,2 \right\} $$
$$\vec { { u }_{ 1 } } \bot \vec { { u }_{ 2 } } :\Longleftrightarrow \left< { \vec { { u }_{ 1 } }  },{ \vec { { u }_{ 2 } }  } \right> =0\Longleftrightarrow { x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }=0\Longleftrightarrow { m }_{ 1 }:=\frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } =\frac { { x }_{ 2 } }{ { y }_{ 2 } } :=\frac { 1 }{ { m }_{ 2 } } $$
Se lle chamamos m₁ á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x₁ ,y₁) e m₂ á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x₂ ,y₂) non sería mal exercicio para este nivel (1º de bacharelato) preguntar polo significado xeométrico da relación que se estabelece na liña anterior entre m₁ e m₂. Xa o adianto: as rectas de pendente m₁ e m₂ serán simétricas respecto de y=x pois son funcións inversas a unha da outra. Velaí que no plano de Minkowski a ortogonalidade tradúcese en simetría respecto da gráfica da función identidade.
Con todo, o máis divertido está por chegar e resulta do cáculo de módulos a partir da definición do produto escalar minkowskiano.

Imase 1. Os catro sectores do plano de Minkowski

$$Sexa\quad \overrightarrow { u } =(x,y)\quad \left| \overrightarrow { u }  \right| =\sqrt { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { u }  \right>  } =\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } $$
Polo tanto o módulo dos vectores situados nos sectores esquerdo e dereito será un número real e o dos outros sectores será un imaxinario puro. Así o primeiro par de sectores recibe o cualificativo de reais e o segundo par o de imaxinario.
E que sucede cos ángulos? Partamos da coñecida fórmula:
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right) =\frac { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right>  }{ \left| \overrightarrow { u }  \right| \left| \overrightarrow { v }  \right|  } $$

Imaxe2. Ángulos

Calculemos o ángulo que forma un vector de compoñentes (x,y) do sector real positivo co vector unitario (1,0)
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,(1,0) \right) =\frac { \left< (x,y),(1,0) \right>  }{ \left| (x,y) \right| \left| (1,0 \right|  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ - }{ y }^{ 2 } } \sqrt { 1-0 }  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }  } \ge 1$$
Idem co sector superior. Velaquí o coseno do ángulo dun vector (x,y) deste sector co vector (0,1):
$$cos\left( \overrightarrow { v } ,\left( 0,1 \right)  \right) =\frac { \left< \left( x,y \right) ,\left( 0,1 \right)  \right>  }{ \left| \left( x,y \right)  \right| \left| \left( 0,1 \right)  \right|  } =\frac { -y }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \sqrt { -1 }  } =\frac { -y }{ i\sqrt { -1\left( { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right)  }  } =\frac { -y }{ { i }^{ 2 }\sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } =\frac { y }{ \sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } $$
Este valor é tamén un número real maior ou igual que 1.
Ao tomar límites cando o vector ū se aproxima ás isótropas (x=y ou x=-y), os cosenos anteriores tenden a +∞ ou - ∞. Este panorama ten o seu desenvolvemento natural coa extensión complexa da función coseno:
$$cosz=\frac { { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz } }{ 2 } $$
Como os valores dos cosenos obtidos anteriormente son sempre reais, os ángulos anteriores serán da forma iφ, con φ∈R. Así
$$cos\left( i\varphi  \right) =\frac { { e }^{ i(i\varphi ) }+{ e }^{ -i(i\varphi ) } }{ 2 } =\frac { { e }^{ -\varphi  }+{ e }^{ \varphi  } }{ 2 } =cosh\varphi  $$
En consecuencia teremos as seguintes fórmulas:
$$sen\left( i\varphi  \right) =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\left( i\varphi  \right)  } =\sqrt { 1-{ cosh }^{ 2 }{ \varphi  } } =\sqrt { -{ senh }^{ 2 }{ \varphi  } } =isenh\varphi $$
$$tan\left( i\varphi  \right) =\frac { sen\left( i\varphi  \right)  }{ cos\left( i\varphi  \right)  } =\frac { isenh\varphi  }{ icosh\varphi  } =itanh\varphi $$
Só por ver estas fórmulas merecía que se desenvolvese a idea do plano de Minkowski.

Cambio de base ortonormal
Consideraremos un cambio entre unha base {e₁, e₂} e outra {e'₁, e'₂}. Onde os vectores que comparten o mesmo índice estean no mesmo sector e de forma que cada base estea formada por un par de vectores ortonormais.Visto o anterior, a ninguén lle extrañará que a matriz de cambio de entre bases teña a seguinte expresión:
$$\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}$$
Polo tanto o cambio de coordenadas entre dous sistemas de referencia ortornormais verificarán a igualdade:
$$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $$
Unhas poucas contas máis:
$$x'=x\cdot cosh\varphi +y\cdot senh\varphi =x\cdot cosh\varphi +y\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi =cosh\varphi \left( x+y\cdot tanh\varphi  \right) =\frac { x+y\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
$$y'=x\cdot senh\varphi +y\cdot cosh\varphi =x\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi +y\cdot cosh\varphi =cosh\varphi \left( x\cdot tanh\varphi +y \right) =\frac { x\cdot tanh\varphi +y }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
Ben, xa temos unha chea de fórmulas, e agora que?

A transformación de Lorentz
Na mecánica clásica, se consideramos dous sistemas de referencia que se moven, un respecto ao outro, cunha velocidade v, a tranformación de coordenadas (chamada de Galileo) é a seguinte:
$$\begin{cases} x'=x \\ y'=y-vt \end{cases}$$
Esta transformación permítenos estudar o movento nun sistema de referencia que se mova con velocidade constante a respecto doutro. Este cambio de coordenadas caracterízase porque a medida do tempo é independente do sistema de referencia e  na invariancia da lonxitude dunha barra OP respecto do sistema de referencia. Se falamos de relatividade galileana estamos indicando que podemos intercambiar o que se move con velocidade constante e o que está en repouso.
A teoría da relatividade einsteniana introdúcese coa transformación de Lorentz. O movemento relativa de dous sistemas de refencia virá dado polas fórmulas:
$$\begin{cases} x'=\frac { x-vt }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \\ t'=\frac { t-x\cdot \left( \frac { v }{ { c }^{ 2 } }  \right)  }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \end{cases}$$
Que son esencialmente as mesmas fórmulas do cambio de coordenadas ás que chegaramos anteriormente. Basta con considerar:
$$y=ct\\ tanh\varphi =-\frac { v }{ c } $$


Contraccións e simultaneidade

Imaxe 3

Consideremos un suceso P(x_P, y_P) sobre a recta y'
$$\begin{cases} tan\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| NP \right|  }{ \left| ON \right|  } =\frac { { x }_{ P } }{ i{ y }_{ P } } =-i\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } }  \\ tan\left( i\varphi  \right) =itanh\varphi  \end{cases}polo\quad que\quad tanh\varphi =-\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } } $$
$${ x }_{ P }=-{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi $$
$${ x' }_{ P }=\frac { { x }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { -y }_{ P }\cdot tanh\varphi +{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } =0$$
$${ y' }_{ P }=\frac { { y }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { { y }_{ P }-y }_{ P }\cdot tanh\varphi \cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } ={ y }_{ P }\sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } $$
E así deducimos a coñecida contración do tempo na dirección do movemento:
$$ { t' }_{ P }=\frac { { y' }_{ P } }{ c } =\frac { { y }_{ P }\sqrt { 1-{ tan }^{ 2 }\varphi  }  }{ c } =\frac { { y }_{ P } }{ c } \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } ={ t }_{ P }\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  $$

Imaxe 4

Isto ten que ver coas sorpresas que descubriu a teoria da relatividade respecto da simultaneidade. Dise que dous sucesos son simultáneos respecto dun sistema de referencia se a súa segunda coordenada é a mesma nese sistema. Na imaxe 4 temos que  P e N son simultáneos no sistema XY; P e Q son simultáneos nun sistema X'Y' dun móbil con velocidade v respecto do considerado no sistema XY.

Imaxe 5

Unha consecuencia adicional desta nova perspectiva da simultaneidade de sucesos afecta ás medidas das lonxitudes xa que éstas variarán segundo a velocidade á que se movan os sistemas de  referencia.
Efectivamente, cando medimos a lonxitude dunha barra estamos considerando que calculamos a diferenza entre os seus extremos simultáneamente.
Dada unha barra de lonxitude l=|OL| respècto do sistema XY, se a medimos respecto de X'Y', debemos facelo simultáneamente respecto este sistema, entón a súa lonxitude será l'=|OL'|.
$$\begin{cases} cos\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| OL \right|  }{ \left| OL' \right|  } =\frac { l }{ l' }  \\ cos\left( i\varphi  \right) =cosh\varphi =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  }  \end{cases}$$
Entón podemos explicar así a contracción dunha barra de lonxitude l en movemento
$$l'=l\cdot \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } =l\cdot \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } $$

Relatividade visual
Quen queira seguir remexendo nos aspectos xeométricos da teoría da relatividade, ademais de recomendarlle o libro de Sazánov, pode botarlle un ollo ao portal de Xabier Prado Orbán, Relatividade visual