O rectángulo de Brügner e outros problemas áureos

Cando un bota a vista atrás e se coloca como espectador mirando para cousas que fixo anteriormente, moitas veces ten que torcer o bico. Iso foi o que me pasou cando volvín a repasar unha entrada anterior, Problemas consecutivos, na que quixen ofrecer unha lista de cuestións que tivesen que ver ben co número áureo, ben coa sucesión de Fibonacci. Ao que agora non lle vexo moito sentido é a ocultar de que trataba a entrada, dándolle incluso un título bastante escuro e anódino.
A razón de que volvese a reparar naquela entrada é que no espazo dun par de días fun bater con tres novos (para min) problemas sobre os mesmos tópicos. Así que decidín ampliar a lista de problemas alí comenzada.

Problema 7. Resolve $${ 4 }^{ x }+{ 6 }^{ x }={ 9 }^{ x }$$


Problema 8. Acha x

Problema 9. No seguinte rectángulo calcula cal é a razón a/b
Considera agora que a diagonal mide 1. Demostra entón que a²=b, a³=c, a⁴=d, a⁵=e

Se un se para a pensar un pouco neste último problema verá que, en esencia, é o mesmo que o Problema 8, só que agora os datos serían os seguintes:

 Efectivamente, este triángulo é o da parte superior do rectángulo do Problema 9, e que ten de lados a, b e b+d=1. Así x e b coincidirían. Unha outra curiosidade relacionada con ese rectángulo é que as tres pezas máis grandes dan lugar ao chamado tangram de Brügner, estudado no 1984 por Georg Brügner, matemático da Universidade de Friburgo.

Tangram de Brügner

Con estas tres pezas é posible obter l6 figuras convexas:

Esta última imaxe está sacada do Blog de Calaix +ie, no que lle adicaron dúas entradas ben completas a este tangram: [1] e [2]
Xogando con ese rectángulo ocorréuseme a seguinte cuestión, que nun principio, co xa comentado ata aquí, xa estaría practicamente resolta.
Problema 10. Trataríase de medir a lonxitude do zig-zag confeccionado a partir do rectángulo de Brügner. Sería o debuxado en azul:

A denominación de zig-zag recollina do libro Uses of infinity, de Leo Zippin. Neste texto trátanse e resólvense problemas moi semellantes a este. Un deles consiste na determinación da lonxitude do zig-zag en espiral nun rectángulo áureo. Aquí chameille Problema 11:

Problema 11. Determina a lonxitude da espiral zig-zag construída sobre un rectángulo áureo. 

Unha outra cuestión que non viña no libro de Zippin consistiría en determinar as coordenadas do punto ao que converxe o zig-zag tomando como orixe de coordenadas o vértice inferior esquerdo do rectángulo.

Debo confesar que isto do mundo do número áureo crea adicción. Mentres estaba escribindo esta entrada xa encontrara outra boa colección de curiosidades áureas que ben poderían sumarse a esta que estiven recollendo aquí. Xa será para outra ocasión, se hai folgos.