Comezando polo coseno dunha resta

Un dos problemas ao que se ten que enfrontar calquera profesor que imparta Matemáticas I, de 1º de bacharelato, é a demostración das fórmulas trigonométricas da suma e diferenza de ángulos. O cerne da cuestión consiste en determinar que fórmula demostramos en primeiro lugar e como o facemos pois o resto das fórmulas dedúcense facilmente a partir dunha delas. O usual é que o intentemos co seno dunha suma. Neste caso podemos escoller entre distintas demostracións. Poden estar sustentadas unicamente na definición das razóns trigonométricas, podemos facer uso das áreas dos triángulos, do teorema do seno,... Nesta ocasión vou presentar a dedución da fórmula do coseno dunha resta. A idea está extraída do libro de Alexander e Leonid Rozemblyum, Learning Trigonometry by Problem Solving (Word Scientific,  2021).

Comezamos considerando unha circunferencia de raio $1$ sobre a que trazamos dous ángulos, $\alpha$ e $\beta$.. Isto determinará dous puntos $A$ e $B$ de coordenadas $A(sen\alpha, cos\alpha)$ e $B(sen\beta, cos\beta)$. Calcularemos (o cadrado da) distancia $AB$ usando a fórmula usual que nos dá a distancia entre dous puntos $d(A,B)=\sqrt{\left( x_{A}-x_{B} \right)^{2}+\left( y_{A} -y_{B}\right)^{2}}$

$$AB^{2}=\left( cos\alpha-cos\beta \right)^{2}+\left( sen\alpha-sen\beta \right)^{2}=$$ $$=cos^{2}\alpha-2cos\alpha\cdot  cos\beta+cos^{2}\beta+sen^{2}\alpha-2sen\alpha\cdot  sen\beta+sen^{2}\beta$$

Aplicando a fórmula fundamental da trigonometría podemos simplificar a expresión:

$$AB^{2}=2-2\left( cos\alpha\cdot cos\beta +sen\alpha \cdot sen\beta \right)$$

Para obter outra expresión de $AB^{2}$ aplicamos o teorema do coseno ao triángulo $AOB$. Tamén temos en conta que $AO=BO=1$

$$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}-2AO \cdot BO\cdot cos\left( \alpha-\beta \right)=2-2cos\left( \alpha-\beta \right)$$

Igualando as dúas expresións e operando:

$$2-2\left( cos\alpha\cdot cos\beta+sen\alpha\cdot sen\beta \right)=2-2cos\left( \alpha-\beta \right)$$ $$cos\left( \alpha-\beta \right)=cos\alpha\cdot cos\beta+sen\alpha\cdot sen\beta$$

Xogando co teorema central do límite

Eu saín da Facultade de Matemáticas no ano 1990. O plan de estudos vixente naquela altura consistía en cursar 4 materias anuais Das que 3 eran fixas: Álxebra, Análise e Topoloxía/Xeometría. A cuarta materia, que para min significou sempre un horror,  era Física (en 1º), Cálculo Numérico (en 2º) e Estatística (en 3º). A partir de aquí había dúas vías para os dous últimos cursos, unha delas era Estatística e a outra Matemáticas Xerais. Esta última consistía nunha longa lista de materias con distintos niveis de optatividade. 

Sendo así as cousas eu só tiven unha materia de Estatística en toda a carreira,..e non a aproveitei moito. Creo recordar que no departamento axustaban a nota en función dos resultados. Como normalmente as notas eran bastante malas, o aprobado acababa baixando a un valor arredor do 4. Eu agarrábame a iso para transitar pola materia co menor dano posible. O triste do conto foi cando me chegou o momento de ter que explicar o teorema central do límite... e claro, eu non tiña nin idea de que trataba o asunto. 

A cousa non acabou en desastre total grazas a un libro, Matemática moderna aplicada. Probabilidades, estadística e investigación operativa (Alianza Universidad 1993), de J. C. Turner. A partir de aquí vou seguir a Turner, case letra a letra. Nun dos capítulos explica o que son as distribucións mostrais. Comeza co seguinte exemplo:

Tíranse 50 veces catro dados equilibrados. Apúntanse de cada vez os números obtidos. Despois calcúlase a media de cada mostra deses catro números. Un exemplo dun deses resultados sería:

Mostra: 1, 5, 6, 4

Media: $\overline{X}=4$

Antes de comezar a estudar a proposta, lembremos en que consiste a distribución orixinal, a do lanzamento dun dado. É ben simple, hai 6 posibles resultados e cada un deles ten a mesma probabilidade $\frac{1}{6}$. A media desta variable aleatoria discreta é $\mu=3'5$ e o seu desvío padrón é $\sigma=1'7078$. Por suposto, este estudo xa o temos feito na clase desde hai tempo.

A función $\overline{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{4}$ é un estatístico mostral. Cada vez que tomamos unha mostra podemos calcular o seu valor. Pero $\overline{X}$ é tamén unha variable aleatoria. A cuestión consiste en deducir como é a distribución mostral das medias $\overline{X}$ a partir dos valores mostrais. Agora é cando cobra sentido realizar o experimento moitas veces (50 no noso exemplo). Que é o que observamos?

Como na entrada anterior, podemos xogar coa seguinte folla de cálculo que simula o proceso. Hai dúas alternativas para traballar coa seguinte ferramenta. Marcadas en amarelo aparecen as medias de cada lanzamento de catro dados.

• A mellor é descargar a folla de cálculo. Se queremos recalcular os datos basta premer F9
• Podemos facelo on-line. Nese caso debemos recargar de novo a páxina ou, o que é o mesmo premer Maíuscula+F5

A distribución mostral das medias, $\overline{X}$, é moi diferente á poboación orixinal (lanzamento dun dado). Pensemos que resultará moi improbable obter resultados extremos para $\overline{X}$. Para que $\overline{X}$ tome o valor $1$ só hai unha mostra posible: $(1,1,1,1)$. Porén para obter un resultado intermedio para $\overline{X}$ como $3$ temos moitas posibilidades: $(3,3,3,3)$, $(2,3,4,3)$, $(3,1,6,2)$, $(3,1,2,6)$,... (Unha boa cuestión sería averiguar cantas tiradas distintas terán $3$ de media). Por esta razón a distribución $\overline{X}$ tomará valores no centro da distribución orixinal con máis frecuencia. Ademáis é bastante plausible que o centro da distribución $\overline{X}$ coincida coa media da distribución base, $\mu=3'5$, que é unha distribución discreta que xa estudamos máis arriba, na que a cada un dos posibles resultados lle asignamos unha probabilidade de $1/6$. Se pensamos o que sucedería se no canto de lanzar catro dados, lanzamos seis, pronto nos convenceriamos de que aumentaría a concentración de $\overline{X}$ arredor do centro. A dispersión de $\overline{X}$ diminuirá ao aumentar o tamaño da mostra $n$. 

Que máis podemos dicir sobre a relación entre a distribución orixinal e a distribución mostral das medias? Se observamos o diagrama obtido nas mostras de catro datos (e podemos facelo repetidamente varias veces usando a folla de cálculo) veremos que as frecuencias relativas caen rapidamente a ambos lados da media $\mu$. Aínda que feblemente, a gráfica ten un aire coa curva normal teórica coa mesma media e cun desvío padron $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Se $n$ é o suficientemente grande a distribución $\overline{X}$ pódese axustar por esta curva normal. Convén fixarse en que a distribución orixinal é un rectángulo, moi distinta da forma da distribución $\overline{X}$. Isto que acabamos de explicar é o teorema central do límite. Podémolo enunciar, con algo máis de pompa, deste xeito:

Teorema Central do Límite. Dada unha variable aleatoria $X$ calquera, consideremos mostras de tamaño $n$ desta distribución $\left( X_{1},X_{2},...,X_{n} \right)$. A distribución mostral das medias $\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}}{n}$ aproxímase a unha variable aleatoria normal $N\left( \mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

É difícil determinar cal debe ser o valor de $n$ para ter un bo axuste. Con todo, para mostras ben pequenas, de tamaño 4, xa vimos que $\overline{X}$ vai collendo un aire. Para mostras de tamaño $n\ge 30$ poderemos aplicar o teorema sen medo.

Problemas chegados desde Moscú. 3

Esta é a terceira e última entrada adicada a recoller problemas de Boris Kordemsky. As anteriores pódense consultar aquí e aquí.

Imos cun problema moi simple. Con todo moita xente dirá que lle faltan datos.

Un barco diésel e un hidroavión. Un barco diésel parte de viaxe. Cando está a 180 millas da costa envíase un hidroavión co correo que ten unha velocidade dez veces superior á do barco. A que distancia alcanza o barco?

O encantador do seguinte problema é que a pregunta é inesperada. 

En coche e a cabalo. Un mozo e un home maior saen da vila cara a cidade; un vai a cabalo e outro en coche. Pronto queda claro que se o home maior chegase tres veces máis lonxe de onde está, quedaríalle a metade para viaxar do que lle queda. E se o mozo viaxara a metade do que xa fixo, quedaríanlle tres veces máis para viaxar do que lle queda. Quen vai a cabalo?

Sei que non hai que recorrer á combinatoria para resolver a seguinte cuestión. Con todo, desde que o coñecín coloqueino entre os problemas a resolver cando trato na clase as técnicas de reconto combinatorio.

Novas estacións. Cada estación vende billetes a todas as outras estacións do percorrido. Cando se engaden algunhas estacións hai que imprimir 46 billetes adicionais. Cantas estacións se engadiron? Cantas había antes?

Teño preferencia polos problemas de matemáticas sen referencias externas. Matemáticas para estudar as propias matemáticas. Dentro deste ámbito está o estudo do propio sistema de numeración. Quizais o pouco traballo/reflexión sobre o sistema decimal, quizais a propia abstracción deste tipo de cuestións, o certo é que normalmente vólvenselle moi dificultosas ao alumnado.

Un número de cinco díxitos. Dime un número de cinco díxitos tal que se lle engades un 1 despois do mesmo é tres veces maior que se llo engades antes.

Cando un se enfronta ao seguinte enunciado cómprelle unha gran dose de imaxinación. Temos un avión, unha motocicleta e un cabalo andando dun lado para outro. O curioso é que non nos dan ningunha velocidade.

O motociclista e o xinete. Envían un motociclista desde a oficina de correos a tempo para a chegada dun avión ao aeroporto. O avión chega antes de tempo e o correo é transportado á oficina de correos a cabalo. Despois de media hora o xinete crúzase co motociclista e dálle o correo. A motocicleta volve á oficina de correos 20 minutos antes do esperado. Cantos minutos antes aterrizou o avión?

O tradutor do libro ao inglés, Albert Perry, especialista en ruso da Colgate University, fixo unha curiosa anotación ao seguinte problema:" Non hai árbores de nadal na URRS, oficialmente só os hai de aninovo". En canto ao contido, é un clásico.

Regalos de aninovo. O noso comité executivo do sindicato xestionou unha árbore de aninovo para os nenos. Despois de distribuir caramelos e galletas en paquetes de regalo, comezamos coas laranxas. Pero decatámonos de que se poñemos 10 laranxas por paquete, un paquete só terá 9, se colocamos 9, un paquete só derá 8; se poñemos 8, 7; e así sucesivamente ata dúas laranxas por paquete cun paquete con só 1. Cantas laranxas temos? 

Para entender os comentarios ao seguinte problema cómpre ler antes o enunciado.

Unha suma palindrómica. Este problema aínda non foi resolto. Suma a un enteiro o propio número invertido. Engade á suma o invertido da suma. Continúa ata que a suma sexa un palíndromo (que se le igual de esquerda a dereita que de dereita a esquerda) $$\begin{matrix} 38 & & 139 & & 48017 & & \\ \underline{83} & & \underline{931} & &\underline{71084} & & \\ 121& &1170 & &119101 & & \\ & &\underline{0711} & & \underline{101911 }& & \\ & & 1881 & & 221012 & & \\ & & & & \underline{210122} & & \\ & & & & 431134 & & \\ \end{matrix} $$

Pode que sexan necesarios moitos pasos. (de 89 a 8.813.200.023.188 precísanse 24 pasos). Unha hipótese é que calquera enteiro produce, antes ou despois, un palíndromo. Segundo Kordemsky, un traballador industrial de Riga chamado P. R. Mols, decatouse de que o número 196, despois de setenta e cinco pasos, non produce un palíndromo. Kordemsky pídenos que no canto de continuar a partir do número de 36 díxitos da septuaxésima quinta suma, intentemos refutar ou demostrar a conxectura mediante un razoamento.

Martin Gardner comenta que xa se realizaran daquela miles de sumas a partir do 196 e que non se achara ningún palíndromo. Tamén informa que a conxectura foi demostrada falsa para os números binarios. Sospéitase que hai números que non darán lugar a un palíndromo. A eses números chámaselles números de Lychrel. En concreto 196 é un candidato destacado para ser un número de Lychrel. É curioso que este tipo de números teñan nome, aínda que non se sabe se realmente existe algún.

Problemas chegados desde Moscú.2

Unha explicación de Perelman

Hoxe en día cando escoitamos o apelido Perelman pensamos inmediatamente en Grigori Perelman (1966-), o matemático ruso que resolveu a conxectura de Poincairé. No entanto, hai un par de décadas o usual sería asociar ese apelido con Yákov Perelman (1882-1942), un famoso divulgador da ciencia que morrería no asedio a Leningrado durante a II Guerra Mundial. 

Nun dos seus libros, Aritmética recreativa, explícanos o método ruso para facer produtos. Faino cun exemplo. Se quixermos calcular o produto de $32\cdot13$ procederiamos da seguinte maneira. En cada paso dividimos o factor da esquerda por $2$ e multiplicamos o da dereita por $2$. Así o produto non varía.

$$\begin{matrix} 32\cdot 13 \\16\cdot 26 \\8\cdot 52 \\4\cdot 104 \\2\cdot 208 \\1\cdot 416 \end{matrix}$$

Velaí que o resultado sería $32\cdot13=1\cdot 416=416$. Claro que, calquera ve enseguida o problema. Neste caso $32$ é unha potencia de $2$ polo que podemos dividilo unha e outra vez pola metade. Pero que pasaría se na columna da esquerda temos un número impar? Yákov Peremal tamén explica como proceder neste caso. Cada vez que teñamos un número negativo, restámoslle $1$; agora podemos dividir por $2$ sen problema. En compensación teremos que sumar todos os números da dereita que teñan un impar á súa esquerda. Para facelo máis sistemático e fácil, tachamos todos os produtos que presenten á esquerda un número par. Poñamos que agora queiramos multiplicar $19\cdot17$:

$$\begin{matrix} 19\cdot 17 \\9\cdot 34 \\4\cdot 68 \\2\cdot 136 \\1\cdot 272 \end{matrix}$$

O resultado será $17+34+272=323$. Por que temos que proceder deste xeito? Perelman tamén nolo explica. Resulta que ao restar $1$ estamos eliminando algúns valores, necesarios para obter o produto final. Todo fica claro cando presentamos as seguintes operacións:

$$\begin{matrix}19\cdot17=\left ( 18+1 \right )\cdot17=18\cdot17+17\\ 9\cdot 34=\left ( 8+1 \right )\cdot 34=8\cdot34+34\end{matrix}$$

Ao restar eses uns estamos subtraendo tamén eses restos, $17$ e $34$; esa é a razón de porque debemos sumalos ao final.

Máis problemas de Kordemsky

Na anterior entrada presentárase unha pequena escolma dos Enigmas de Moscú de Boris Kordemsky. Imos seguir tirando dese fío. Algunha das cuestións presentadas por Perelman teñen un sabor moi semellante ás de Kordemsky. En especial a seguinte, da que, sen que serva de precedente, darei tamén a solución.

O volume dunha botella. Se unha botella parcialmente chea de líquido, ten un cu redondo, cadrado ou rectangular, podes saber o seu volume só cunha regra? Non podes engadir sin sacar líquido.

Está claro que o volume total da botella virá dado pola suma do volume que ocupa o líquido xunto co da parte sen el. Creo que non cómpre dicir nada máis. 

O trato pouco reflexivo cun tópico tan básico como o das porcentaxes dá lugar a interpretacións bárbaras. É habitual escoitar, non xa a rapaces, senón a ilustres licenciados, que se aumentamos unha cantidade nun 20% e despois facemos unha rebaixa do 20%, obtemos o valor inicial.

Podes aforrar o 100%? Un invento aforra o 30% do combustible, outro un 45% e un terceiro un 25%. Se usas todos estes inventos a un tempo, podes aforrar o 100% ? En caso contrario, cal é a porcentaxe de aforro?

Nalgúns casos Kordemsky non só presenta un problema senón que fai unha pequena digresión para chamar a atención sobre algúns procesos propios das matemáticas. Continuamos con porcentaxes.

Falsa analoxía. Os descubrimentos científicos fanse a veces mediante analoxía. A analoxía tamén ten lugar nas matemáticas, pero tamén existe a falsa analoxía.

40 é 8 unidades maior que 32. 40 é un 25% maior que 32.

32 é 8 unidades menor que 40. 32 non é un 25% menor que 40. Cal é a porcentaxe correcta?

a) Supón que os teus ingresos mensuais aumentan un 30%. En canto aumenta o teu poder adquisitivo?

b)Supón que os teus ingresos mensuais non cambian. No entanto, os prezos baixan un 30%. En canto aumenta o teu poder adquisitivo?

c)Cando unha tenda de libros de segunda man fai unha rebaixa do 10% do prezo, obtén unha ganancia do 8% por cada libro vendido. Cal era o beneficio antes da rebaixa?

d)Se un obreiro metalúrxico reduce o seu tempo por peza nun p%. Canto aumenta a súa produtividade?

Un deses enunciados que nunca verás nun libro de texto. Trátase de traballar o volume pero non preguntan polo volume. A última pregunta incide nun dos procesos máis importantes dentro das matemáticas, o da xeneralización.

Que caixa pesa máis?. Unha caixa cúbica contén 27 bólas grandes congruentes; a súa xemelga contén 64 bólas congruentes máis pequenas. Todas as bólas están feitas do mesmo material. Ambas caixas están completamente cheas. En cada caixa, cada capa ten o mesmo número de bólas e as bólas exteriores de cada capa tocan os lados da caixa. Que caixa pesa máis? Intenta con outros números, pero que sexan sempre cubos. Escribe unha conclusión xeral.

O seguinte enunciado ten o atractivo de estar redactado como unha pequena lenda. Trata o tema do pacto co demo, algo que, como todos sabemos, nunca debemos facer. É tamén un deses problemas que convén resolver "ao revés"

O folgazán e o demo. Un folgazán expresa a súa ansia por facerse rico e de súpeto aparéceselle o Diabo quen lle di: "Ben, o traballo que teño para ti é fácil, e serás rico. Ves a ponte? Crúzaa e dobrareiche o diñeiro que tes agora mesmo. De feito, cada vez que a cruces volveri a dobrarche os cartos.

"Non pode ser!" contestou o folgazán

"Só hai unha condición. Xa que son tan xeneroso debes darme 24 € despois de cada cruce".

O folgazán acepta. Cruza a ponte e conta os seus cartos... Miragre! Era o dobre.

Dálle 24 € ao Diabo e volve a cruzar outra vez. Dóbrase o seu diñeiro e paga outros 24€, cruza unha terceira vez. O seu diñeiro volve a duplicarse pero agora só ten 24€ e tan que darllos ao Diabo que desaparace entre gargalladas.

Cando un se enfronta a un enunciado cómpre que o entenda moi ben. Iso significa, entre outros aspectos, que debe ter ben asimilados os conceptos e as relacións que se determinan entre os distintos aspectos en xogo. No seguinte problema xira arredor do cálculo dunha media de velocidades de trancrición dun manuscrito. Debemos ter claro que a velocidade mídese a respecto do tempo, non a respecto do número de páxinas, como enganosamente pretende convencernos Vera.

Vera pasa un manuscrito a máquina. Vera recibe da súa nai o encargo de pasar a máquina un manuscrito. Vera indica que fará unha media de 20 páxinas por día.

A primeira metade fainas con pereza, 10 páxinas diarias. Para recuperar o tempo perdido fai a segunda metade a 30 páxinas por día.

"Ves?, fixen unha media de 20 páxinas por día". Conclúe Vera. "A media de 10 e 30 é 20"

"Non, non é certo" di a súa nai.

Quen ten a razón?

Dicimos que estes problemas chegaron de Moscú porque alí os publicou Kordemsky. En realidade son universais. O seguinte problema con pequenas variantes aparece nalgún libro de Adrián Paenza. 

Que tal vas de enxeño?. Unha lancha sae da beira A ao tempo que outra sae da beira B; móvense polo lago a unha velocidade constante. Encóntrase por vez primeira a 500 metros de A. Continúan o seu camiño, dando a volta na beira oposta. Encóntranse por segunda vez a 300 m. de B. Cal é a lonxitude do lago e cal é a relación entre as velocidades das lanchas? 

Na seguinte entrada remataremos esta serie de problemas de Boris Kordemsky.

Problemas chegados desde Moscú.1

O descoñecemento doutras culturas ou doutras linguas empequenece o noso mundo. Hai factores que nos afastan de realidades distintas á nosa. Un deles pode ser o alfabeto. Unha portada dun libro como o da figura 1 pode significa unha barreira insalvable. Hai outros muros aínda máis infranqueables. Durante a Guerra Fría houbo un bloqueo total a todo o que se elaborase alén do telón de aceiro. Así, un libro de matemática recreativa editado no 1954 cun enorme éxito na URSS non foi coñecido no occidente ata 1972, que foi traducido ao inglés e publicado cunha introdución de Martin Gardner. O título orixinal, Математическая смекалка pasou a ser The Moscow Puzzles. 359 Mathematical Recreations. O autor Boris Kordemsky (1907-1999), un profesor de matemáticas moscovita, editaría máis libros do mesmo estilo. Tamén hai unha versión en español; neste caso a editorial Gedisa cortou o texto en dúas partes: Los enigmas de Moscú e Un elefante y un mosquito.

Vou compartir algúns dos problemas de Kordemsky. 

O libro Mate-glifos (Xerais, 2018) dos profesores da Universidade de Vigo Nicanor Alonso e Miguel MIrás, está elaborado arredor dos símbolos matemáticos. Os símbolos son importantes, incluso poden ser o cerne dun problema.

Distintas operacións, mesmo resultado. Dados un par de 2, o símbolo "+" pode cambiarse por "x" sen cambiar o resultado: $ 2+2=2\times 2$. A solución con tres números tamén é sinxela: $ 1+2+3=1\times 2\times 3$. Pídese a resposta para catro números. E para cinco?

A central eléctria de Tsimilyansk está situada no río Don. Rematada no 1954 considérase como un dos grandes proxectos de construción da época comunista.  A imaxe reflicte a súa icona oficial. Esta central aparece como identificador próximo ao posible lector do seguinte enunciado que presenta dunha forma pouco habitual un problema sobre a media.

Para a central eléctrica de Tsimilyansk. Unha fábria de equipos de medición ten un encargo urxente da célebre central eléctrica de Tsimlyansk. A fábrica conta cunha brigada de dez excelentes traballadores: o capataz (un home maior con experiencia) e 9 xoves diplomados de formación profesional.

Cada un dos 9 xoves traballadores produce 15 pezas de medición ao día mentres que o seu xefe fai 9 máis que a media dos dez traballadores. Cantos instrumentos de medición produce a brigada diariamente?

A primeira vez que lin o problema, fíxeno a todo correr e, en consecuencia lino mal. Unha vez visto o primeiro parágrafo pensei que preguntaría cal é a suma dos primeiros mil millóns de números. Non é esa a pregunta.

De 1 a 1.000.000.000. Cando o acreditado matemático alemán Karl Friederich Gauss(1777-1855) tiña nove anos, pedíronlle que sumara todos os números enteiros do 1 a 100. Sumou rapidamente o 1 co 100, o 2 co 99, e así sucesivamente ata un total de 50 pares de números, todos eles de suma 101. A resposta foi $50\times 101=5050$.

Agora acha a suma de todos os díxitos dos números enteiros de 1 a 1.000.000.000. Isto quere dicir todos os díxitos en todos os números, non a suma de todos os números por si mesmos.

Eu teño unha certa aversións aos deportes e especialmente, polo que representa, ao fútbol. Velaí que, nun principio, non sería do meu gusto un problema enmarcado neste tema. O que si me pareceu moi curiosa foi a forma de presentar o problema, é realmente estraña, mediante unha conversión kafkiana. No libro non vén a imaxe, nin  tampouco se aclara que o que se debe establecer é a relación que debe haber entre os raios das dúas pelotas.

O pesadelo dun afeccionado ao fútbol. A un afeccionado ao fútbol, triste pola derrota do seu equipo, cústalle durmir. No soño, un porteiro practica nunha gran habitación amoblada, lanzando unha pelota contra a parede e despois atrapándoa coas mans. Pero o porteiro cada vez faise máis pequeno e despois transfórmase nunha pelota de pimpón mentres que a pelota de fútbol se incha ata converterse nunha gran bóla de ferro forxado. A bóla de ferro xira violentamente intentando aplastar a pelota de pimpón que se move por todas partes desesperadamente. Pode a pelota de pimpón encontrar un lugar seguro sen separarse do chan?

Dúas pelotas

O seguinte é un problema simple e curioso. Todo un reto para un alumno de 1º da ESO. Un exemplo de como as matemáticas en si mesmas son interesantes. Non precisamos buscar enunciados trapalleiros que introduzan a vida cotiá con calzador e sen xeito.

Fraccións interesantes. Se ao numerador e ao denominador da fracción $1/3$ lles sumamos o seu denominador, $3$, a fracción duplícase.

Acha unha fracción que sexa o triplo cando o seu denominador se sume ao seu numerador e ao seu denominador; acha outra que sexa o cuádruplo.

De seguido unha desas cuestións aritméticas sobre velocidades que dan moito xogo. Claro que non se trata do típico problema de que un tren parte de A a 90 km/h....

Aforraríase tempo? Ostap volve a casa desde Kiiv. Fixo en bici a metade do camiño quince veces máis rápido que a pé. A segunda metade montou nun carro de bois. Camiñando pode ir o dobre de rápido. Aforraríase tempo se fixera todo o camiño a pé? Canto tempo?

Un enunciado distinto ao anterior, pero os fundamentos son os mesmos:

O sarxento propón un problema. O sarxento Semochkin propón o seguinte problema aos soldados exploradores. Digamos que dous de vós cubrides a mesma distancia. O primeiro corre a metade do tempo e camiña a outra. O segundo corre a metade do percorrido e camiña o resto. Ningún dos dous camiña ou corre máis rápido que o outro. Se primeiro camiñan e despois corren, quen chega primeiro?

Na seguinte entrada continuaremos con algunha outra achega deste moscovita.

Asuntos irracionais

As matemáticas da Grecia clásica foron extraordinarias. Tanto é así, que as matemáticas, tal e como as entendemos, son herdeiras directas das matemáticas gregas. Todas as achegas anteriores ou doutras culturas pódense etiquetar nun sentido moi preciso como protomatemáticas. Con todo, os matemáticos gregos non foron quen de tratar os números irracionais en toda a súa complexidade. Ficaron traumatizados polos inconmensurables e este trauma non puido ser tratado ata o século XIX.

Hoxe en día todo alumno que remata a secundaria obrigatoria debe saber o que son os números irracionais. Por concretar, trabállase moito coas fraccións, os números da forma $\frac{m}{n}$ onde $m$ e $n$ son números enteiros. Tamén se aprende cal é a expresión decimal destes números: serán, ben decimais cun número finito de cifras ou ben, se teñen un número infinito de cifras,  terán unha expresión periódica. Velaquí un par de exemplos; comecemos co seguinte:

$$\frac{1}{7}=0'142857142857142857142857142857...$$

Para obter a expresión decimal facemos a división. Como o divisor é 7, o resto ten que ser un número menor: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Neste caso o resto nunca dá 0, polo que só hai 6 restos posibles. Isto significa que o resultado decimal vai repetirse a partir da sétima cifra. En efecto, obteremos  reiteradamente a secuencia 142857. Isto é o que se chama número decimal periódico. No seguinte exemplo

$$\frac{3}{25}=0'12$$

Como o divisor é 25, nun principio, como moito teriamos unha restra de 24 decimais que despois deberían repetirse. Pero neste caso non tardamos en obter un 0 de resto e aí remata a división. Obtivemos un decimal exacto, con un número finito de cifras decimais. Velaí que todos os números racionais terán unha expresión decimal ben infinita periódica, ben finita.

Podemos imaxinar outras cifras decimais, aquelas que son infinitas e non periódicas. Estas serán precisamente as correspondentes aos números irracionais. Se unimos o conxunto  dos números racionais, que identificamos mediante o símbolo $\mathbb{Q}$, con todos os irracionais, $\mathbb{I}$, obteremos o conxunto dos números reais, $\mathbb{R}$ que é o formado por todos os números decimais.

Un dos exemplos máis famosos de número irracional é a $\sqrt{2}$, da que xa demostramos noutra ocasión xa demostramos noutra ocasión que non podía escribirse como cociente de dous número enteiros. Velaquí as súas primeiras cifras decimais:

$$\sqrt{2}=1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797...$$

Hai moitos exemplos máis de números irracionais:

$$0'12345678910111213141516171181920212223242526272829303132333435363738...$$

$$0'2345678910111213141516171181920212223242526272829303132333435363738...$$

Está claro que esta lista é infinita. Isto significa que hai infinitos números irracionais e aquí teremos a primeira sorpresa. Resulta que a cantidade (infinita) de irracionais é maior que a cantidade (infinita) de racionais. Para dar un razoamento deste feito, nos últimos cursos da ESO propóñolles o seguinte experimento mental. Imaxinemos que temos un saco con bólas brancas e bólas negras ben mesturadas, isto é que as bólas brancas non están na parte baixa do saco, están distribuídas ao azar por todo o seu contido. Sacamos unha bóla ao azar e resulta ser negra. Sacamos outra bóla, tamén negra. Continuamos repetindo o experimento unha e outra vez e só sacamos bólas negras, e insisto, non hai trampas. Neste caso concluímos que hai más bólas negras que brancas. Imos facer agora o mesmo experimento con números. Consideraremos unicamente o intervalo $(0,1)$ e colleremos nel números ao azar. Como podemos facelo? Cunha ruleta que teña os 10 díxitos. Un número dese intervalo terá parte enteira 0. Xiramos a ruleta e imos obtendo, en cada lanzamento, unha cifra decimal. Eu puxen a ruleta en funcionamento e obtiven o seguinte resultado:

$0'32931504154485839080382778080351429457854790736198815216962394170179963792...$

Realizar este experimento infinitas veces equivale a escoller un número ao azar do intervalo $(0,1)$. Como vai ser este número, racional ou irracional? Para que fose racional, ou ben a partir dun determinado momento a ruleta tería que caer infinitas veces no 0, ou ben, tería que repetir unha mesma pauta indefinidamente. Ambos casos son claramente imposibles. En consecuencia, o número extraído debe ser necesariamente irracional. Pero esta será a conclusión se repito unha e outra vez o experimento. Como no caso do saco de bólas, só me saen números irracionais. A conclusión é que hai moitos máis irracionais que racionais. Tendo en conta que hai unha infinidade tanto de uns como de outros, a extravagante consecuencia é que hai uns infinitos máis grandes que outros. 

Nas clases de Secundaria non profundizamos máis pero nas seguintes liñas daremos unha idea do encerllada que é distribución dos racionais e irracionais na recta.  Como no caso que acabamos de tratar, estudaremos unicamente o intervalo $(0,1)$. Pensemos nun número irracional calquera dese intervalo, por exemplo 

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=0'70710678118654752440084436210484903928483593768847403658833986...$$

Este número poderá aproximarse tanto como queiramos por números racionais. Os valores $0'7$, $0'707$, $0'7071$,... son núimeros racionais cada vez máis próximos a $\frac{\sqrt{2}}{2}$.  Por moi pequeno que escollamos un intervalo que conteña a $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ese intervalo vai conter infinidade de números racionais. En realidade, independentemente do pequeno que sexa un intervalo, ese conterá tanto unha infinidade de racionais como de irracionais. Esta propiedade enúciase normalmente dicindo que o conxunto dos números racionais $\mathbb{Q} $ é denso no conxunto dos números reais $\mathbb{R}$. Neste punto xa estamos en disposición de introducir un exemplo extraído do libro Mathematics and logic (Dover Publications 1968) de Mark Kac e Stanislaw M. Ulam.

Para cada racional $\frac{m}{n}$ do intervalo $(0,1)$, con $m$ e $n$ coprimos consideramos o intervalo de lonxitude $\frac{1}{2n^{2}}$ dado por $$\left ( \frac{m}{n}-\frac{1}{4n^{2}}, \frac{m}{n}+\frac{1}{4n^{2}}\right )$$

Para $n=2$ teremos o intervalo $\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{16},\frac{1}{2}+\frac{1}{16} \right )=\left ( \frac{9}{16},\frac{11}{16} \right )$

Para $n=3$ teremos dous intervalos: $\left ( \frac{11}{36},\frac{13}{36} \right )$ e $\left ( \frac{23}{36},\frac{25}{36} \right )$

Para $n=4$ hai outros dous intervalos: $\left ( \frac{17}{64},\frac{19}{64} \right )$ e $\left ( \frac{47}{64},\frac{48}{64} \right )$

Para $n=5$ hai 4 intervalos pois, ao ser primo, os 4 números menores que 5 son todos coprimos con el. Neste caso engadimos á nosa colección de intervalos os seguintes: 

$\left ( \frac{19}{100},\frac{21}{100} \right )$, $\left ( \frac{39}{100},\frac{41}{100} \right )$, $\left ( \frac{59}{100},\frac{61}{100} \right )$ e $\left ( \frac{79}{100},\frac{81}{100} \right )$

Cando chegamos a n=7 a porción do intervalo $(0,1)$ recuberta será a que se ofrece na imaxe

Parece que $\frac{\sqrt{2}}{2}$ xa foi recuberto por algún deses intervalos, porén se miramos con máis precisión veremos que isto *aínda non sucedeu:

A condición de seren coprimos equivale a esixir que a fracción $\frac{m}{n}$, con $m<n$, sexa irreducible. Así para cada $n\in\mathbb{N}$ tomamos en consideración tantos intervalos de lonxitude $\frac{1}{2n^{2}}$ como números menores que $n$ e coprimos con $n$ haxa. En consecuencia, para cada natural $n$ colleremos $\varphi (n)$ intervalos desa lonxitude, onde $\varphi$ é a función totiente de Euler. 

Cabe esperar que esta colección de intervalos recubra sobradamente todo o intervalo $(0,1)$ pois todos e cada un dos números racionais é centro dun deses intervalos. Imos reforzar esta idea comprobando que a suma das lonxitudes dos intervalos é infinita. En efecto, polo comentado no parágrafo anterior esa suma será $$\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varphi \left ( n \right )}{2n^{2}}$$

Agora ben, unha propiedade ben evidente da función $\varphi$ de Euler é que se $p$ é primo $\varphi \left ( p \right )=p-1$. Ademais se $p$ é primo $p\geq2$ e de aí $p-1\geq\frac{p}{2}$ En consecuencia

$$\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varphi \left ( n \right )}{2n^{2}}=\frac{1}{2} \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varphi \left ( n \right )}{n^{2}}\geq  \frac{1}{2}\sum_{p\:   primo}\frac{\varphi \left ( p \right )}{p^{2}}\geq \frac{1}{2}\sum_{p\: primo}\frac{p-1}{p^{2}}\geq   \frac{1}{2}\sum_{p\: primo}\frac{p}{2}\frac{1}{p^{2}}= \frac{1}{4}\sum_{p\: primo}\frac{1}{p}$$

Imos xogar un pouco con outras desigualdades. Prometo que paga a pena.

Se houbese un par de naturais que verificasen a igualdade $n^{2}-2m^{2}=0$, entón $n^{2}=2m^{2}$ e consecuentemente $\frac{n^{2}}{m^{2}}=2$, ou equivalentemente $\frac{n}{m}=\sqrt{2}$. Pero isto é imposible, de aí que $\left | n^{2}-2m^{2} \right |\neq 0$. Agora ben, este número debe ser natural, entón $\left | n^{2}-2m^{2} \right |\geqslant 1$. Dividindo por $2n^{2}$ obtense a  desigualdade:

$$\frac{\left | n^{2}-2m^{2} \right |}{2n^{2}}\geqslant \frac{1}{2n^{2}}$$

Que usaremos para obter esta outra desigualdade:

$$\left | \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{m}{n} \right |\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{m}{n}\right )=\left | \frac{2}{4}-\frac{m^{2}}{n^{2}} \right |=\left | \frac{1}{2} -\frac{m^{2}}{n^{2}}\right |=\frac{\left | n^{2}-2m^{2} \right |}{2n^{2}}\geqslant \frac{1}{2n^{2}}$$

Entón, como $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{m}{n}< \frac{3}{4}+1< 2$ verificarase que

$$\left | \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{m}{n} \right |\geq \frac{1}{2n^{2}}:\left ( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{m}{n} \right )> \frac{1}{2n^{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4n^{2}}$$

Dito con outras palabras, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dista de calquera racional $\frac{m}{n}$ máis que $\frac{1}{4n^{2}}$ polo que ningún intervalo da nosa colección recubre o punto $\frac{\sqrt{2}}{2}$, que manda truco!

A curiosa xeometría euclidiana de Márta Svéd. O desprazamento (2)

Márta Svéd

Esta entrada é a continuación da anterior: A curiosa xeometría de Márta Svéd.Introdución (1) Para poder entender o que vén de seguido cómpre botarlle un ollo.

Do que se trata é de comprobar que a W-xeometría descrita nesa entrada, é unha xeometría euclidiana. Para iso estamos comprobando que verifica os postulados de Euclides. Xa o fixeramos cos tres primeiros. Continuemos.

IV postulado

A miña primeira intención foi a de despachar este postulado nun par de frases. Lembremos que xa demostramos que a inversión conserva os ángulos.  Parece que non hai máis que engadir. Pero parémonos a reflexionar.

O IV postulado di que "todos os ángulos rectos son iguais entre si". Tendo en conta que entre as nocións comúns dos Elementos de Euclides temos unha que di que "cousas iguais a unha mesma cousa son iguais entre si", que necesidade habería de engadir o IV postulado? Ademais os tres primeiros postulados remiten a unha construción con regra e compás, porén o IV non o fai. Tense especulado que pode ser unha interpolación engadida por algún copista baixo o argumento de que a igualdade de dous ángulos rectos apenas se usa nas 465 proposicións dos trece libros dos Elementos, e cando se fai, non é de xeito explícito. 

As lecturas modernas deste postulado, debidas a Klein e a Clifford,  remiten a unha interpretación do IV postulado como aquel que permitiría o desprazamento dun ángulo recto a calquera punto do plano. Na W-xeometría un W-desprazamento estará formado por W-reflexións, isto é, por inversións. Teñamos presente que estamos construíndo unha xeometría euclidiana. De aí que os desprazamentos (translacións, xiros ou reflexións) deben poder obterse a partir das reflexións. Isto é, se explicamos como son as reflexións, teremos determinados todos os desprazamentos. Pois ben, as W-reflexións serán as inversións respecto das W-rectas (isto é: respecto das circunferencias que pasan por O) 

A cuestión do desprazamento

Nunca na Grecia clásica houbo mención á problemática do desprazamento, con todo procuraremos ver que na W-xeometría non se produce unha distorsión das W-distancias cando se aplica a inversión. Para iso axudarémonos dun libro ao que fai referencia Márta Svéd, Non-euclidean Geometry, de Roberto Bonola (1874-1911), (Open Court Publishing Company, 1912).

Hai unha publicación do libro de Bonola en español, Geometrías no euclidianas (Calpe, 1923) que é a tradución da edición en italiano do 1906. Estas edicións só conteñen 3 apéndices. Desafortunadamente o que nos interesa vén no quinto apéndice, só presente na edición inglesa, pois é nese derradeiro apéndice onde Bonola traballa coa xeometría recollida por Márta Svéd.

Comprobemos que na W-xeometría se verifica o seguinte teorema

Teorema. A inversión por unha W-recta conserva a W-distancia

Pasemos a demostralo.
Sexa $AB$ un W-segmento e $\omega$ a circunferencia de centro $C$ que pasa por $O$ e $D$. Fagamos respecto desta circunferencia a inversión do W-segmento $AB$ en $A'B'$ Sexa $D$ o punto de corte de $\omega$ e a circunferencia que pasa por $A$, $B$ e $O$.

$$\frac{d_{W}\left ( AD \right )}{d_{W}\left ( A'D \right )}=\frac{\frac{AD}{OA\cdot OD}}{\frac{A'D}{OA'\cdot OD}}=\frac{AD\cdot OA'}{A'D\cdot OA}$$

O noso propósito será demostrar que este cociente é 1.

Pola definición de inversión: $$CA\cdot CA'=CD\cdot CD$$

$$\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CA'}$$

Entón, polo criterio LAL os triángulos $CAD$  e $CA'D$ son semellantes (comparten o ángulo en $C$ e os lados que o determinan son proporcionais). De aí que teñamos as seguintes proporcións:$$\frac{DA}{DA'}=\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CA'}\quad\quad [1]$$

Outra vez pola definición de inversión: $$CA\cdot CA'=CO\cdot CO$$

Análogamente teremos que os triángulos $CAO$ e $CA'O$ son semellantes e $$\frac{CA}{CO}=\frac{CO}{CA'}=\frac{OA}{OA'}\quad\quad [2]$$

Como $CD=CO$ temos que $[1]=[2]$

"$$\frac{DA}{DA'}=\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CA'}=\frac{CA}{CO}=\frac{CO}{CA'}=\frac{OA}{OA'}$$

Fixándonos na primeira e última proporcións $\frac{DA}{DA'}=\frac{OA}{OA'}$

Tal e como anunciamos ao comezo da demostración, isto implica que $d_{W}\left ( AD \right )=d_{W}\left ( A'D \right )$

Analogamente $d_{W}\left ( BD \right )=d_{W}\left ( B'D \right )$

Daquela $$d_{w}\left ( AB \right )=d_{W}\left ( AD \right )-d_{W}\left ( BD \right )=d_{W}\left ( A'D \right )-d_{W}\left ( B'D \right )=d_{W}\left ( A'B' \right )$$

$$\frac{d_{W}\left ( AD \right )}{d_{W}\left ( A'D \right )}=\frac{\frac{AD}{OA\cdot OD}}{\frac{A'D}{OA'\cdot OD}}=\frac{AD\cdot OA'}{A'D\cdot OA}$$

Con isto quedaría demostrado o teorema. En conclusión, o desprazamento na W-xeometría conserva tanto ángulos como distancias.

No seguinte e derradeiro capítulo desta serie, abordaremos o comportamento da W-xeometría en relación co V postulado de Euclides.

A curiosa xeometría euclidiana de Márta Svéd. Introdución (1)

Comeza aquí unha serie de tres entradas sobre unha curiosa xeometría. Ben, en realidade non é este o principio. Este xa foi publicado neste mesmo blogue noutras tres entradas:

• A proxección estereográfica reencontrada. Aquí explícase en que consiste a proxección estereográfica e danse algunhas propiedades da mesma, como a de que leva circunferencias en circunferencias ou que conserva os ángulos.
• A inversión proxectada. Nesta entrada relátase en que consiste a inversión respecto dunha circunferncia e como se pode obter a inversión a partir da proxección estereográfica. Isto último permite revisar cal é a inversión de circunferencias, tanto das que pasan polo centro da circunferencia inversiva como as que non; tamén explica por que a inversión conserva ángulos.
• Un regalo da xeometría inversiva. Esta ligazón lévanos a unha fórmula que relaciona a lonxitude dun segmento $AB$ coa do seu inverso $A'B'$. Como regalo obtemos unha fermosa demostración do teorema de Ptolomeo.

A curiosa xeometría de Márta Svéd

No verán pasado fun ao curso da USC "Matemáticas húngaras", organizado polo profesor Jorge Losada Rodríguez. Unha das conferencias correu a cargo da coñecida divulgadora Marta Macho, da Universidade do País Vasco, trataba sobre as mulleres matemáticas de Budapest. Falou da vida, obra e aventuras de moitas mulleres húngaras. Unha delas foi a Marta Wachsberger (1910-2005) , coñecida como Marta Svéd despois do seu matrimonio, fuxiría a Australia no 1935, escapando do horror nazi. Con 75 anos defendería a súa tese doctoral na Universidade de Adelaida. 

Marta Macho deunos a coñecer un curioso libro escrito por Marta Svéd, Journey into geometries (AMS/MAA, 1991). Trátase dun orixinal diálogo entre un tal Dr. Whatif, Lewis Carroll, autor de Alicia no país das marabillas, a propia Alicia e moitos outros dos personaxes do famoso libro de Carroll (Humpty Dumpty, Tweedledee e Tweedledum, a Raíña Vermella, a Lebre de Marzo,...). Alicia xoga o papel de alumna avantaxada; Lewis Carroll representa as matemáticas decimonónicas. O significativo antropónimo, Dr. Whatiff,  desvela o carácter principal dun individuo sempre disposto a innovar e a xogar con novas hipóteses. Para rebaixar as expectativas de quen estivera pensando en ler este libro, cómpre que saiba que nel hai moitas matemáticas ata o punto de que cada capítulo remata cun boletín de exercicios. O libro conta cun pequeno prefacio do xeómetra H.S.M. Coxeter (1907-2003) e cunha boa colección de ilustracións que axudan moito á lectura. Estas son obra do tamén matemático John Stilwell (1942-)

En Journey into geometries os personaxes viaxan por distintas ideas xeométricas. No primeiro capítulo trabállase a potencia dun punto respecto dunha circunferencia; o segundo trata sobre a inversión; o cuarto ocúpase da xeometría hiperbólica, o quinto da xeometría do disco de Poincairé e o sexto e último capítulo está dedicado á xeometría proxectiva. 

E o terceiro? O terceiro, desde o meu punto de vista, é o máis interesante de todos. Nel Marta Svéd presenta unha xeometría euclidiana dunha fasquía extravagante. No libro esa xeometría recibe o nome de "xeometría do Dr. Whatif". Por simplicidade referireime a ela como xeometría W (en referencia ao Dr., ou quizais, aínda mellor, en referencia a Wɐɹʇɐ). Co fin de  distinguilos dos conceptos da xeometría euclidiana usual aos da W-xeometría denominareinos usando ese símbolo: W-puntos, W-rectas, W-rectas, W-distancias...

A W-xeometría é unha xeometría do plano na que eliminamos un punto ao que chamaremos punto O. En compesación engadimos un novo punto, o do infinito, $P_{\infty }$ . As W-rectas serán as circunferencias e as rectas que pasen por O. Estas últimas serán as W-rectas que conteñan o punto do infinito. Tendo en conta que podemos considerar as rectas como circunferencias de raio infinito estariamos en disposición de resumir dicindo que as W-rectas son as circunferencias que conteñen a O (pero sen o punto O, por suposto). Así, os W-segmentos serán ben arcos de circunferencia, ben segmentos usuais nas rectas que pasan polo punto do infinito, ben segmentos que conteñan ou teñan como extremo ao punto do infinito. Os W-ángulos coincidirán cos ángulos da xeometría euclidiana usual. 

Pasemos a comprobar que a W-xeometría é euclidiana, isto é, que verifica os cinco postulados propostos por Euclides nos Elementos.

I postulado

Un dos resultados da xeometría plana máis coñecidos é o que nos di que por tres puntos sempre podemos trazar unha circunferencia.  Aplicando este resultado á W-xeometría teriamos que dados dous W-puntos $A$ e $B$, e dado $O$, poderemos trazar a W-recta que pasa por eles. Se están aliñados volveremos a recordar que podemos considerar a recta como unha circunferencia de raio infinito.l Dado un punto calquera $A$ e o punto do infinito $P_{\infty }$ sempre podemos trazar a recta que pasa por eles pois é a recta euclidiana que pasa por $A$ e por $O$ Así que a W-xeometría verifica o I postulado euclidiano.

Postulado II

 Consideremos unha circunferencia que pase por O (da que eliminamos precisamente o punto O). Dado nela un arco de circunferencia $AB$ sempre o poderemos ampliar a outro arco maior $A'B'$ en calquera dos dous sentidos.

Traduzamos isto en termos da W-xeometría. Teremos que dado un W-segmento $AB$ poderemos prolongalo a outro $A'B'$. Este é o II postulado da xeometría euclidiana. Se partimos dunha recta que pasa por O, pode suceder que o segmento $AB$ sexa finito, nese caso basta con remitirnos á xeometría euclidiana clásica 

Algúns casos do Postulado II

No caso de que o segmento conteña a $P_{\infty }$, tampouco teremos dificultades tanto para ampliar o segmento $AB$ a $A'B'$ como o segmento $AP_{\infty }$ a outro $AP_{\infty }'$

Postulado II con punto do infitnito

Postulado III

O III postulado di que debemos ser quen de "debuxar unha circunferencia con calquera centro e distancia". Velaquí que debemos explicar como medir distancias nesta peculiar xeometría. Marta Svéd ofrécenos unha analoxía para achegarnos a este tópico.

Supoñamos que, sen usar o compás,  queremos trazar unha circunferencia de centro $C$ e pasando por un punto $P$ na "anticuada" xeometría euclidiana. Poderiamos facelo da seguinte maneira. Consideremos unha recta $r$ pasando por $C$ para obter $P'$, a reflexión de $P$ respecto de $r$. $P'$ será outro punto da circunferencia. Xa que logo, a circunferencia estará formada por todas as reflexións de $P$ respecto de todas as rectas pasando polo centro $C$. Pois ben, a W-reflexión non será outra cousa que a inversión. Unha W-circunferencia poderá obterse invertendo un punto $P$ polas circunferencias que pasan por $O$ e por $C$. 

Unha circunferencia que pase por $O$ e $C$ terá o seu centro na mediatriz $m$ do segmento $OP$. Cada unha delas invertirá un punto $P$ noutro $P'$ e irá xenerando a W-circunferencia de centro $C$. Ao conxunto de todas estas circunferencias coñéceselle como feixe elíptico de circunferencias. Para trazar a W-circunferencia de centro $C$ pasando por $P$ podes mover o punto $X$ ou premer no play.

Se xogas un pouco coa aplicación verás que a W-circunferencia é unha circunferencia euclidiana pero o seu centro $C$ non coincide co centro na xeometría euclidiana. A razón é que as distancias na W-xeometría non coinciden coas euclidianas. A chave para a definición das W-distancias está na fórmula que vimos noutra ocasión que nos indica cal é a lonxitude dun segmento $A'B'$ que resulta da inversión doutro $AB$ por unha circunferencia de raio $R$:  $$A'B'=\frac{R^{2}\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Para simplificar tomaremos $R=1$ e definiremos a W-distancia entre dous puntos $A$ e $B$ como $$ d_{W}\left ( AB \right )=\frac{ AB}{OA\cdot OB}$$

Desta definición é inmediato verificar tanto que esta nova definición de distancia é simétrica como que obteremos sempre números positivos (só será 0 se $A=B$). A desigualdade triangular da W-distancia é unha consecuencia da desigualdade de Ptolomeo. 

Quedan por comprobar os dous postulados máis polémicos de Euclides. Farémolo nas dúas seguintes entradas ([2] e [3])

A proxección estereográfica reencontrada

É curioso como hai certas cousas que se nos quedan retidas na memoria mentres que moitas outras, quizais similares, quizais nalgún sentido máis importantes,  as esquecemos. Cando cursaba 1º de carreira, na materia de Topoloxía I, Xosé Masa puxéranos como exemplo de homeomorfismo (aplicación bixectiva, continua e de inversa continua) unha aplicación, \(\pi\), que identificaba a esfera \(S^{2}=\left \{ (X,Y,Z)/X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=r^{2}\right \}\) (sen o punto correspondente ao Polo Norte) co plano \(\mathbb{R}^{2}\) (sen a orixe): $$\pi \left ( X,Y,Z \right )=\left ( \frac{2rX}{r-Z},\frac{2rY}{r-Z} \right )\quad\quad [1]$$

Esta aplicación é coñecida co nome de proxección esterográfica. Constrúese proxectando desde o Polo Norte $N(0,0,r)$  calquera punto da esfera $(X,Y,Z)$ sobre o plano $z=-r$, tanxente á esfera no Polo Sur $S(0,0,-r)$. 

Aínda que pasaron case catro décadas, lembro moi claramente un par de cousas. Unha delas foi que me chamara moito a atención a expresión [1] da función $\pi$, de onde saía?; daquela pensei que nunca chegaría a saber como xustificar esa expresión. Unha segunda cousa que retiven todo este tempo na memeoria foi que Masa déranos a entender que esa función era moi importante. Por iso eu agardaba volver a encontrala máis adiante. Con todo, nese curso non había de ser. Tampouco no resto da carreira, nin despois. Ata hoxe.

Proxección do ecuador

Podemos xogar un pouco coa proxección estereográfica para entendela mellor. É moi sinxelo visualizar que a proxección do ecuador vai ser unha circunferencia. Ademais como o ángulo que forma o eixo terrestre $NS$ coa recta $NP$ é de 45º, se a esfera ten raio $r$ a circunferencia proxectada terá raio $R=2r$. Os paralelos tamén darán lugar a circunfencias. Os paralelos do hemisferio norte proxectaranse en circunferencias de raio maior a $R$ e os do hemisferio sur farano en circunferencias dun raio menor que $R$.

Proxección dun meridiano

Tampouco é dificil visualizar que os meridanos van proxectarse en rectas que pasen polo Polo Sur. Ata aquí os meus coñecementos sobre a cuestión naquela altura. Por algunha razón nestes días volvín sobre to tema. Atopei un deses manuais das "Leccións populares" da editorial MIR,en concreto, o titulado La proyección estereográfica, de G-A. Rosenfeld e N. D. Sergeeva. A maior parte do que vén de seguido foi recollido deste texto.

Para profundizar un pouco máis en todo o relativo á proxección estereográfica, poñamos en práctica algúns coñecementos do currículo de 2º de Bacharelato. Fagamos uso das coordenadas dos puntos amosados nas imaxes: $N(0,0,r)$, $S(0,0,-r)$, $P(X,Y,Z)$ e $P'(x,y,-r)$ e procuremos relacionar as coordendas destes dous últimos puntos. Con ese fin, consideremos os vectores $\overrightarrow{NP}=\left (  X,Y,Z-r\right )$ e $\overrightarrow{NP'}=\left (  x,y,-2r\right )$ que marcan a mesma dirección, de aí que o cociente das súas compoñentes terá que ser unha constante $k$:

$\frac{X}{x}=\frac{Y}{y}=\frac{Z-r}{-2r}=k$, ou equivalentemente 

$$\left.\begin{matrix}X=kx\\ Y=ky\\ Z=r\left ( 1-2k \right )\end{matrix}\right\}\quad \quad [2]$$

Da última das ecuación obtemos que $k=\frac{r-Z}{2R}$. Substituíndo nas dúas primeiras obtense o valor das coordenadas do punto proxectado:

$$x=\frac{X}{k}=\frac{2rX}{r-Z}\quad\quad e \quad\quad y=\frac{Y}{k}=\frac{2rY}{r-Z}$$

Isto é, deducimos a expresión analítica da proxección estereográfica $\pi$ dada en $[1]$. Fagamos o mesmo para obter a inversa $\pi ^{-1}$.

Sexa $P(X,Y,Z)$ un punto da esfera. Verificará a igualdade $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=r^{2}$. Substituíndo nesta expresión os valores obtidos en [2]:

$$k^{2}x^{2}+k^{2}y^{2}+r^{2}\left ( 1-2k \right )^{2}=r^{2}$$ $$k^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )+r^{2}\left ( 1-4k+4k^{2} \right )=r^{2}$$ $$k^{2} \left ( x^{2} +y^{2}+4r^{2}\right )-4kr^{2}=0$$

Se $k=0$ vemos en $[2]$ que obtemos o punto $N(0,0,r)$. Desbotando este caso podemos simplificar esta última igualdade por $k$:

$$k \left ( x^{2} +y^{2}+4r^{2}\right )-4r^{2}=0$$ $$k=\frac{4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}$$

Finalmente presentamos a prometida expresión analítica da inversa que deducimos empregando outra vez as relacións dadas en [2].

$$X=\frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad,\quad Y=\frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad,\quad Z=\frac{x^{2}+y^{2}-4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}}\quad\quad [3]$$

$$\pi ^{-1}(x,y)=\left ( \frac{4r^{2}x}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}},\frac{4r^{2}y}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}},\frac{x^{2}+y^{2}-4r^{2}}{x^{2}+y^{2}+4r^{2}} \right )$$

Co obxecto de simplificar os cálculos, a partir de agora tomaremos como valor do raio da esfera $r=1$. Así, por exemplo a anterior expresión [3] reduciríase a :

$$X=\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}\quad,\quad Y=\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}\quad,\quad Z=\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+4}\quad\quad [3']$$

Propiedades da proxección estéreográfica

Comezaremos lembrando como é a ecuación dunha circunferencia no plano. Se $(x_{0},y_{0})$ é o centro da circunferencia e o raio é $R$, aplicando o teorema de Pitágoras:

$$\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right)^{2}=R^{2}$$ $$x^{2}-2x_{0}x+x_{0}^{2}+y^{2}-2y_{0}y+y_{0}^{2}=R^{2}$$ 

$$ x^{2}+y^{2}-2x_{0}x-2y_{0}y+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}=0$$

Tomando $a=-2x_{0}$, $b=-2y_{0}$ e $c=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}=0$ a expresión fica en

$$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \quad\quad  [4]$$

Propiedade 1. A proxección estereográfica leva circunferencias en circunferencias; se a circunferencia da esfera pasa polo Polo Norte, a súa proxección será unha recta.

Unha circunferencia na esfera é a intersección da esfera cun plano $\alpha :AX+BY+CZ+D=0$. Substituíndo os valores de $X$, $Y$ e $Z$ obtidos en [3'], sacando despois denominadores e reorganizando os termos teremos:

$$A\frac{4x}{x^{2}+y^{2}+4}+B\frac{4y}{x^{2}+y^{2}+4}+C\frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+4}+D=0$$ $$4Ax+4By+\left ( x^{2}+y^{2}-4 \right )C+\left ( x^{2}+y^{2}+4 \right )D=0$$ $$\left ( C+D \right )\left ( x^{2}+y^{2}\right )+4Ax+4By+4(D-C)=0$$

Que o Polo Norte $P(0,0,1)$ forme parte da circunferencia que se proxecta significa que $P$ é un punto do plano $\alpha$. Substituíndo as súas coordenadas na ecuación do plano obtemos que $C+D=0$. Tal e como queriamos demostrar, neste caso a última ecuación reduciríase a unha recta:

$$4Ax+4By+4(D-C)=0$$

Consideremos agora que $P\notin \alpha $, ou equivalentemente, que $C+D\neq 0$. Dividindo por $C+D$ quedaría da forma:

$$x^{2}+y^{2}+\frac{4A}{C+D}x+\frac{4B}{C+D}y+\frac{4\left ( D-C \right )}{D+C}=0$$

Comparando con [4] vemos que é a forma xeral dunha circunferencia $\square $.

Propiedade 2. A proxección estereográfica é unha aplicación conforme, isto é, conserva os ángulos.

A partir da seguinte figura imos obter as bases da demostración desta segunda propiedade.

Figura 1

Consideremos unha curva $\gamma$ pasando por un punto $P$ da esfera $S^{2}$. Sexa $T_{N}$ o plano tanxente ao Polo Norte $N$ e $T_{P}$ o plano tanxente ao punto $P$. Estes planos córtansena recta $r$. Como son planos tanxentes á esfera determinan un triángulo isóscele con ángulos iguais $\beta _{1}=\beta _{2}$.

Tracemos, desde o Polo Norte a proxección do punto $P$ sobre o plano $T_{S}$ tanxente ao Polo Sur $S$. Obtemos así $\pi(P)=P'$. En $P$ determínanse ángulos  da mesma medida, $\beta _{2}=\beta _{3}$, por seren opostos polo vértice. Finalmente tamén $\beta _{1}=\beta _{4}$ pois son correspondentes. En consecuencia o triángulo $PQP'$ é isóscele, de aí que os lados etiquetados con $b$ midan o mesmo (ver figura 1)

Figura 2

Sexa $t$ a recta tanxente a $\gamma$ en $P$, $t$ estará en $T_{P}$. Se aplicamos a proxección estereográfica $\pi$ a $\gamma$ obteremos unha curva $\pi(\gamma)=\gamma'$ no plano $T_{S}$ que terá como tanxente en $P'$ a recta $\pi(t)=t'$, unha recta no plano $T_{S}$. Os segmentos $PQ=P'Q=b$ son ortogonais a $QL$. Fórmanse así dous triángulos rectángulos congruentes $PQL$ e $P'QL$. En consecuencia os ángulos $\theta $ que forman as rectas $t$ e $t'$ cos segmentos $PQ$ e $P'Q$ son iguais.

Como corolario disto ultimo, se por $P$ pasase outra curva $\lambda$, a súa tanxente en $P$ formaría con $PQ$ o mesmo ángulo que a tanxente en $P'$ a $\pi(\lambda)=\lambda'$ con $P'Q$, de aí que o ángulo determinado por dúas curvas $\gamma$ e $\lambda$ se conservaría mediante a proxección.de por que regresar á proxección estereográfica

Con toda esta bagaxe de certo que a nosa visión do seguinte vídeo será máis profunda, e gozaremos máis del. Que vídeo? Pois un, en concreto o último,  dos do marabilloso proxecto Dimensions, no que se demostra como a proxección estéreográfica leva as circunferencias da esfera que non pasan polo Polo Norte en circunferencias. Sóavos de algo?

Erros na aula de matemáticas

Hai unha razón fundamental pola que recomendaría o libro de Tomás Ortega del Rincón titulado  Errores en didáctica de las matemáticas (Editorial Síntesis 2022); porque é un libro sobre didáctica que se entende. Efectivamente, se un é profesor de matemáticas pódese recoñecer nestas páxinas. Presenta unha ampla clasificación de 41 tipos de erro que se poden cometer nas aulas de matemáticas co obxectivo de que o profesorado os recoñeza, reflexione sobre eles e mellore a súa práctica docente.

Aínda que non se explicita vese ao longo do texto que moitas das achegas xurden dentro do contexto das aulas do Máster de Profesorado na Universidade de Valladolid. Por todo o libro hai unha insistencia obsesiva no rigor e na procura de evitar ambigüidades. Se dentro do ámbito das matemáticas e do seu ensino estas son cualidades desexables, a miña impresión foi que chega a un radicalismo extremo na súa esixencia. 

Un dos erros que trata, o denominado "erro de univocidade simbólica", é exemplificado co caso da función inversa. Tomás Ortega razoa, e razoa ben, que a denominación de función inversa dunha función $f$ é a que se lle debe asignar a $\frac{1}{f}$ pois é coherente coa mesma denominación cando tratamos o produto de números pois dicimos, por exemplo, que o inverso de 3 é $\frac{1}{3}$. Que sucede entón coa función inversa $f^{-1}$, a relacionada coa composición de funcións? Está claro que chamarlle do mesmo xeito a dúas cousas distintas dá lugar a equívocos, a erros, e a problemas de comprensión na aula. A proposta de Tomás Ortega é que cando falamos de composición non deberiamos darlle a denominación de "función inversa", senón de "función recíproca"; incluso fai a proposta de denotala como $f^{r}$ e emprega esta notación en todo o libro.

O colmo deste tipo de erro dase cando aparecen xuntos os dous conceptos que denominamos igual pero que significan cousas distintas. Quen non tivo dificultades para explicar a derivada da función inversa? Se $f^{-1}$ é derivable e a súa derivada é distinta de cero entón: $$\left (f^{-1}  \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$

Como se le isto? Tomás sinala malévolamente que os libros de texto evitan a transcripción verbal, limitándos a dar a fórmula anterior. Eu enunciaríao así: "a derivada da inversa₁ é a inversa₂ da derivada na inversa₁", onde inversa₁ significa "$f^{-1}$" e  inversa₂   significa "$\frac{1}{f}$". Cando o declamamos na aula podemos darlle máis énfase á pronuncia de inversa₁ que á de inversa_2. A min particularmente, gústame o trabalinguas. Ao alumnado, é normal, suponlle unha barreira desagradable. Con todo, isto forma parte da inculturación matemática. Nalgún momento eses mesmos alumnos tiveron que aprender a ler fórmulas que enunciamos como "a potencia dun produto é o produto das potencias". Sorprendentemente o autor do libro indica que "son frecuentes as delcaracións de profesores de matemáticas de Educación Secundaria nas que manifestan que non entenderon este teorema"

A proposta de Tomás Ortega é máis radical. A súa coherencia lévao a trasladar esta cuestión ao que usualmente se lle chama produto de matrices. El propón falar de "composición" de matrices e, en consecuencia de "matriz recíproca" no canto de "matriz inversa". O uso de palabras distintas, "inversa" e "recíproca", nun principio, é unha vantaxe. Porén vai en contra de toda a tradición. Entre outras cousas ten que enfrontarse coa simboloxía dos libros e das calculadoras, pois a "recíproca" dunha matriz $A$ debería aparecer como $A^{r}$ e nas calculadoras temos a función $sen^{-1}$. Sería unha batalla a moi longo prazo convencer a practicamente toda a humanidade (a humanidade son os USA) que debería aparecer $sen^{r}$

Por falarmos doutro erro, miremos o que no libro se denomina "erro de aplicación" e que consiste en repetir a proba dun teorema nun exercicio en lugar de aplicar directamente o teorema. Critica un libro de texto no que, despois de ter dado o teorema da derivada da función inversa, non o aplique directamente para obter a derivada das inversas das funcións trigonométricas. Nese libro aparece unha dedución moi semellante á que conto eu na aula (antes de dar o teorema da derivada da inversa), que é a seguinte:

Sexa $y=arc sen x$, tomando senos nos dous membros:

$seny=sen(arc senx)=x$ . Agora derivamos. Para derivar o primeiro membro temos que aplicar a regra da cadea pois temos a seguinte composición $x\rightarrow y\rightarrow seny$

$y'\cdot cosy=1$         despexo:

$y'=\frac{1}{cosy}$ e finalmente lembro que $y=arcsenx$

$\left ( arc sen x \right )'=\frac{1}{cos\left ( arcsenx \right )}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

A última igualdade precisa dunha explicación. Teñamos en conta a imaxe na que lle chamamos $\alpha$ ao ángulo que ten de seno $x$: $sen(\alpha)=x$. Denominemos $z=cos(\alpha)=cos(arc sen x)$. Polo teorema de Pitágoras:

$z^2+x^2=1$

$z=\sqrt{1-x^{2}}$

Tomás Ortega considera que a anterior demostración deberíase  facer aplicando directamente o teorema da derivada da función inversa:

$$(arcsenx)'=\frac{1}{sen'\left ( arcsenx \right )}=\frac{1}{cos\left [ arcsenx \right ]}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

Eu non lle vexo problema a facelo das dúas maneiras por varias razóns. Unha delas é que obtemos o mesmo resultado por dous camiños distintos, e isto sempre é gratificante pois pon de relevo a bela coherencia das matemáticas. A outra é que a comprensión desta segunda demostración faise máis costa arriba que a primeira e se temos dúas demostracións distintas e só entendemos unha aínda temos algo ao que agarrarnos. Ademais hai unha dificultade engadida (outro tipo de erro): que denominamos $arcsenx$ á inversa de $senx$ no canto de poñer $sen^{-1}x$. De aí que haxa que ter moi interiorizados todos os conceptos en xogo pois non é visualmente evidente que esteamos aplicando o resultado que anteriomente escribimos como $$\left (f^{-1}  \right )'(x)=\frac{1}{f'\left [ f^{-1} \left ( x \right )\right ]}$$

Algúns erros

A modo de ilustración, vou citar algúns outros erros que me chamaron a atención.

• Un profesor novel sorprenderase do erro que cometen algúns alumnos ao identificar o número $\pi$ como racional a pesar de que na aula se destacara precisamente ese número como paradigma da irracionalidade. Normalmente pasamos por alto que definimos $\pi$ como a razón entre a lonxitude da circunferencia, $L$, e o seu diámetro,$d$. O razoamento está claro: se  $\pi =\frac{L}{d}$, damos pé a pensar que $\pi$ é unha fracción. O erro é difícil de desmontar, por iso hai que telo en conta. Por outra banda este erro crea unha tensión que determina o corte entre unha boa e unha mala compresión do concepto de "número racional" vs. "número irracional".

• "Na actualidade, no desenvolvemento actual do currículo procédese a facer innumerables exercicios de cálculo de límites e de derivadas, sen que os alumnos comprenderan os conceptos de límite, por unha parte, nin de derivada pola outra. A exercitación no cáculo rutineiro de límites e derivadas en detrimento da docencia e aprendizaxe dos conceptos que os soportan impide que os alumnos os comprendan". Deste caso non culpa só ao profesorado de secundaria pois afirma que "deste erro didáctico en boa parte son responsables as universidades, xa que nas PAU optouse por unha proposta exclusiva de exercicios de aplicación en detrimento de desenvolvementos teóricos"

• A pesar de que no libro aparecen bastantes exemplos para ilustrar os distintos tipos de erro non aparece o seguinte, que entendo que caería dentro dos do tipo "erro de notación" que é o que se produce ao usar notacións inadecuadas. Todos escribimos así a fórmula fundamental da trigonometría: $sen^{2}A+cos^{2}A=1$, claro que sabemos que cando escribimos $sen^{2}A$ queremos dicir $\left ( senA \right )^{2}$. A notación habitual pode levar ao alumnado a pensar que unha expresión como $sen^{2}$ ten sentido en si mesma. 

• O "erro de interdisciplinariedade" prodúcese cando un contido que forma parte doutra disciplina se presenta de forma moi distinta. Aquí Tomás Ortega ofrece un exemplo da materia de debuxo linear. A min o primeiro que se me pasou pola mente foi o concepto de derivada e o seu uso e notación en física. Cando se presenta o difícil concepto de derivada creo que cómpre facelo sen restrixirse ao ámbito puro das matemáticas. É o suficientemente complexo e importante como para que teñamos que ofrecer o marco histórico da súa xestación. Como mostra da súa versatilidade penso que debemos ilustrar con algún exemplo de aplicación na física. Introducir tamén a notación para as derivadas que se usa nas aulas de física pode sobresaturar ao alumnado cando se teña que enfrontar a este concepto pero este risco ten, en compesación outras vantaxes obvias. Unha delas, a xa citada de que eses exemplos físicos ilustran a capacidade desta nova ferramenta. Outra é a do recoñecemento nas clases de física do xa adiantado nas de matemáticas.