Non imos dar un resultado sobre arcotanxentes, vai ser sobre arcoCOtanxentes. Se liches mal e pensabas que trataría sobre as insulsas arcotanxentes, podes abandonar este artigo.
As dúas anteriores entradas deste blogue ([1] e [2]) estiveron adicadas ofrecer solucións do seguinte problema recollido do libro Circo Matemático (Alianza Editorial) de Martin Gardner:
Tres cadrados. Demostra que $\alpha$ é a suma dos ángulos $\beta$ e $\gamma$
A última de todas elas facía uso dun concepto matemático moi en desuso, o arcocotanxente. En concreto utilizaba a seguinte fórmula: $$arccot1+arccot2+arccot3=90$$
A definición das razóns trigonométricas seno, coseno e tanxente é moi clara. O mesmo podemos dicir das correspondentes razóns inversas cosecante, secante e cotanxente. De aí que as súas funcións inversas sexan, nun principio, conceptos da mesma dificultade: arcoseno, arcocoseno, arcotanxente, arcocosecante, arcosecante e arcocotanxente. Porén, como as razóns inversas só son iso, razóns inversas, apenas ten sentido o traballo coas mesmas. Isto leva que que as funcións inversas das razóns inversas fiquen marxinadas. Pero remexendo no problema dos tres cadrados achei un resultado no que si resulta natural o uso do arcocotanxente. Ademais o resultado realmente fermoso.
Vou reproducir un artigo de Charles W. Trigg aparecido no ano 1973 na revista The Fibonacci Quaterly porque, efectivamente, o resultado sobre arcocotanxentes é un resultado sobre a sucesión de Fibonacci.
Para comezar temos que recordar unha propiedade moi coñecida polos afeccionados a esta sucesión, a identidade de Cassini.
Identidade de Cassini. $F_{k+1}F_{k}-F_{k}^{2}=\left ( -1 \right )^{k}$
Non é complicado atopar na rede algunha dedución desta fórmula, como a seguinte, debida a Donald Knut:$$F_{k+1}F_{k-1}-F_{k}^{2}=det\begin{pmatrix}
1 &1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}^{k}=\left (det\begin{pmatrix}
1 &1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \right )^{k}=\left ( -1 \right )^{k}$$
Que usaremos para calcular a seguinte expresión:$$F_{2n+1}F_{2n+2}-F_{2n}F_{2n+3}=F_{2n+1}\left ( F_{2n+1}+F_{2n} \right )-F_{2n}\left ( F_{2n+2}+F_{2n+1} \right )=$$ $$=F_{2n+1}^{2}+F_{2n+1}F_{2n}-F_{2n}F_{2n+2}-F_{2n}F_{2n-1}=F_{2n+1}^{2}-F_{2n}F_{2n-1}=1$$
Temos pois que:$$F_{2n+1}F_{2n+2}-F_{2n}F_{2n+3}=1$$
Temos pois que:$$F_{2n+1}F_{2n+2}-F_{2n}F_{2n+3}=1$$
Aplicando a propiedade fundamental de formación da sucesión de Fibonacci a $F_{2n+3}$ ($F_{2n+3}=F_{2n+2}+F_{2n+1}$ ) e sumando $F_{2n}^{2}$:
$$F_{2n+1}F_{2n+2}-F_{2n}\left ( F_{2n+2} +F_{2n+1}\right )+F_{2n}^{2}=F_{2n}^{2}+1\\
\left ( F_{2n+1}-F_{2n} \right )\left ( F_{2n+2} -F_{2n}\right )=F_{2n}^{2}+1$$
Consideremos o seguinte esquema no que o punto $Q$ está a unha distancia $F_{2n}$ de $N$. $R$ dista $F_{2n+1}$ unidades de $N$ e $R$ dista $F_{2n+2}$ de $N$. Aplicando a última fórmula deducida:
$$\frac{QP}{MP}=\frac{F_{2n+1}-F_{2n}}{\sqrt{F_{2n}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{F_{2n}^{2}+1}}{F_{2n+2}-F_{2n}}=\frac{MP}{RP}$$
Onde calculamos MP aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo rectángulo $MNP$
Os triángulos $RPM$ e $QPN$ son semellantes xa que os lados que determinan o ángulo en $P$ son proporcionais. Entón o ángulo coloreado no vértice M, $ \angle QMP=\gamma $ e, como xa temos visto anteriormente, isto significa que $\alpha=\beta+\gamma$, ou
$$arccotF_{2n}=arccotF_{2n+1}+arccotF_{2n+2}$$
Lembremos a sucesión: $$\begin{matrix}
F_{0} &F_{1} & F_{2} &F_{3} & F_{4} & F_{5} &F_{6} & F_{7} &F_{8}... \\
0& 1& 1 & 2&3 &5 &8 &13 & 21...
\end{matrix}$$
De aí que poidamos facer un desenvolvemento telescópico da seguinte suma:
$$arccot1=arccot2+arccot3=arccot2+arccot5+arccot8=....=\sum_{i=1}^{\infty }arccotF_{2i+1}$$
