Un resultado sobre arcocotanxentes

Non imos dar un resultado sobre arcotanxentes, vai ser sobre arcoCOtanxentes. Se liches mal e pensabas que trataría sobre as insulsas arcotanxentes, podes abandonar este artigo.

As dúas anteriores entradas deste blogue ([1] e [2]) estiveron adicadas ofrecer solucións do seguinte problema recollido do libro Circo Matemático (Alianza Editorial) de Martin Gardner:

Tres cadrados. Demostra que $\alpha$ é a suma dos ángulos $\beta$ e $\gamma$

A última de todas elas facía uso dun concepto matemático moi en desuso, o arcocotanxente. En concreto utilizaba a seguinte fórmula: $$arccot1+arccot2+arccot3=90$$

A definición das razóns trigonométricas seno, coseno e tanxente é moi clara. O mesmo podemos dicir das correspondentes razóns inversas cosecante, secante e cotanxente. De aí que as súas funcións inversas sexan, nun principio, conceptos da mesma dificultade: arcoseno, arcocoseno, arcotanxente, arcocosecante, arcosecante e arcocotanxente. Porén, como as razóns inversas só son iso, razóns inversas, apenas ten sentido o traballo coas mesmas. Isto leva que que as funcións inversas das razóns inversas fiquen marxinadas. Pero remexendo no problema dos tres cadrados achei un resultado no que si resulta natural o uso do arcocotanxente. Ademais o resultado realmente fermoso.

Vou reproducir un artigo de Charles W. Trigg aparecido no ano 1973 na revista The Fibonacci Quaterly porque, efectivamente, o resultado sobre arcocotanxentes é un resultado sobre a sucesión de Fibonacci. 

Para comezar temos que recordar unha propiedade moi coñecida polos afeccionados a esta sucesión, a identidade de Cassini. 

Identidade de Cassini. $F_{k+1}{F}_k-F_k^2={(-1)}^k$

Non é complicado atopar na rede algunha dedución desta fórmula, como a seguinte, debida a Donald Knut:$$F_{k+1}{F}_{k-1}-F_k^2=det{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^k={\left(det\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\right)}^k={(-1)}^k$$

Para $k=2n+1$ a identidade de Cassini será: $$F_{2n+2}{F}_{2n}-F_{2n+1}^2=-1$$ Cambiando de signo obtemos outra fórmula $$F_{2n+1}^2-F_{2n+2}{F}_{2n}=1$$

Que usaremos para calcular a seguinte expresión:$$\begin{gathered} F_{2n+1}{F}_{2n+2}-F_{2n}{F}_{2n+3}=F_{2n+1}(F_{2n+1}+F_{2n})-F_{2n}(F_{2n+2}+F_{2n+1})= \\ {F}_{2n+1}^2+F_{2n+1}{F}_{2n}-F_{2n}{F}_{2n+2}-F_{2n}{F}_{2n-1}=F_{2n+1}^2-F_{2n}{F}_{2n-1}=1 \end{gathered}$$
Temos pois que:$$F_{2n+1}{F}_{2n+2}-F_{2n}{F}_{2n+3}=1$$

Aplicando a propiedade fundamental de formación da sucesión de Fibonacci a $F_{2n+3}$ ($F_{2n+3}=F_{2n+2}+F_{2n+1}$ ) e sumando $F_{2n}^2$:

$$\begin{gathered} F_{2n+1}{F}_{2n+2}-F_{2n}(F_{2n+2}+F_{2n+1})+F_{2n}^2=F_{2n}^2+1 \\ (F_{2n+1}-F_{2n})(F_{2n+2}-F_{2n})=F_{2n}^2+1 \end{gathered}$$ Consideremos o seguinte esquema no que o punto $Q$ está a unha distancia $F_{2n}$ de $N$. $R$ dista $F_{2n+1}$ unidades de $N$ e $R$ dista $F_{2n+2}$ de $N$. Aplicando a última fórmula deducida:

$$\frac{QP}{MP}=\frac{F_{2n+1}-F_{2n}}{\sqrt{F_{2n}^2+1}}=\frac{\sqrt{F_{2n}^2+1}}{F_{2n+2}-F_{2n}}=\frac{MP}{RP}$$

Onde calculamos MP aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo rectángulo $MNP$

Os triángulos $RPM$ e $QPN$ son semellantes xa que os lados que determinan o ángulo en $P$ son proporcionais. Entón o ángulo coloreado no vértice M, $\mathrm{\angle }QMP=\gamma$ e, como xa temos visto anteriormente, isto significa que $\alpha =\beta +\gamma$, ou

$$arccot{F}_{2n}=arccot{F}_{2n+1}+arccot{F}_{2n+2}$$

Lembremos a sucesión: $$\begin{array}{ccccccccc}{F}_0& F_1& F_2& F_3& F_4& F_5& F_6& F_7& F_8...\\ 0& 1& 1& 2& 3& 5& 8& 13& 21...\end{array}$$

De aí que poidamos facer un desenvolvemento telescópico da seguinte suma:

$$arccot1=arccot2+arccot3=arccot2+arccot5+arccot8=....=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}arccot{F}_{2i+1}$$