O crebacabezas de Freer

Winston Freer (1910-1981) foi un mago norteamericano que argallou famosos xogos de maxia. Un deles é este que se presenta neste vídeo. Para ver a explicación do truco, que o hai, pois noutro vídeo.

ɸ, π e matemáticos nun anuncio

Os creativos (creo que así lles chaman) de McCann lanzaron unha campaña publicitaria para o organismo de loterías creando unha páxina web interactiva na que podemos introducir varios números con significado negativo (tempo gastado cada día nos atascos, anos que che faltan de pago da hipoteca,...) e prometen devolverche un número de significado positivo. Tendo en conta que a publicidade é da compañía de loterías do estado, suponse que os números positivos serán os que están asociados á túa sorte: "Todos temos números que non nos deixan ser libres, convérteos agora nos números que poden darche a liberdade... e lévaos sempre contigo". Pura numeroloxía.

O vídeo que sustenta a campaña é moi atractivo. Mantén un ambiente de princpios do século XX moi coidado en todos os seus detalles. Para redondear a promoción e darlle un aire de credibilidade puxéronse en contacto cun bo grupo de matemáticos das universidades españolas que aparecen caracterizados con aspecto pouco atractivo e dos que se destaca que son "os profesores de mátemáticas que máis suspenderon de todo o país". Está claro unha vez máis  que socialmente quedan moitos prexuízos que desmontar e o camiño para levalo a cabo ponse cada vez máis costa arriba pois a LOMCE asigna á materia un papel de macabra ferramenta discriminatoria. Entre os profesores que colaboraron co sptot temos a Clara Grima, profesora da Universiade de Sevilla e unha excelente divulgadora das matemáticas. A caracterización dalle un aspecto tan repulsivo como irrecoñecible.
No portal da campaña tamén se nos ofrece a posibilidade de consultar a fórmula máxica que eses eminentes matemáticos van utilizar para calcular os nosos números da sorte. Para iso temos que saber primeiro en que consiste a  sucesión de Fibonacci. Trátase dunha lista infinita de números que comenza con dous 1 e continúa obtendo cada termo como suma dos dous anteriores. Se lle chamamos F_n  ao n-ésimo número da sucesión teremos que a forma de construir a sucesión vén dada pola fórmula: F_n=F_n-1+F_n-2  
Os primeiros termos son os seguintes:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10947,...
Nalgunhas ocasións engádese  F₀ =0   como primeiro termo.
Chamarémoslle pares de Fibonacci aos seguintes pares de números da sucesión: (F_n-2,F_n-1) . Cada un destes pares pode identificarse coa súa suma F_n  .Así poderiamos escribir tamén a sucesión desta forma: 

(0,1) , (1,1) , (1,2) , (2,3) , (3,5) , (5,8) , (8,13) , (13,21) , (21,34) , (34,85) ......

Cada vez que nos dan un par de Fibonacci podemos reconstruír a sucesión completa, tanto para adiante como para atrás. Se partimos de (21, 34), sabemos que os seguintes termos son 21+34=55, 34+55=89,... Pero tamén sabemos que os anteriores son: 34-21=13, 21-13=8, 13-8=5,...
A sucesión de Fibonacci está íntimamente relacionada co chamado número áureo e que dese que o propuxo o matemático Mark Barr a principios do XX, represéntase coa letra ɸ na honra do escultor Fidias. Se dividimos  entre sí os números de cada un dos pares de Fibonacci cada vez aproximarémonos máis ɸ=1,61803...
$$\underset { n\longrightarrow \infty  }{ lim } \frac { F_{ n } }{ { F }_{ n-1 } } =\phi =\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }$$
Os distintos termos da sucesión pódense obter mediante a fórmula atribuída Binet (XIX):
$${ F }_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left[ { \left( \frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ n }-{ \left( \frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ n } \right] =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left[ { \phi  }^{ n }-{ \left( \frac { -1 }{ \phi  }  \right)  }^{ n } \right] $$

 π ou ɸ?
A páxina da campaña das loterías vainos pedir que introuzamos 7 números de significado negativo (anos que nos quedan de hipoteca, minutos diarios nos atascos,...). Con eles, non sabemos como, van xenerar un número x que se transformará, mediante a fórmula que daremos de seguido, nun par de números que serán os nosos números da sorte. A fórmula, sen sentido ningún, que supoño só ten o obxectivo de impresionar ao público, é a seguinte:
Dado x,chamémoslle Fn(x)F_n(x)  ao número da sucesión de Fibonacci máis próximo a x. Entón xeneramos o número y da seguinte forma: y(x)=x+F_n(x)+n 
Finalmente dividimos y entre 50 e obtemos un resto, e se o dividimos entre 11 obtemos outro resto. Eses restos serán os presuntos números da sorte. 
Por exemplo, se o número de entrada x=1011 a aplicación da campaña calculará:  y(1011)=1011+987+16=2014. 

Agora dividimos 2014 por 11 e obtemos de resto 1 $$2014\equiv 1mod11$$. 
Ao dividir 2014 por 50 obtemos de resto 14. Escríbese $$2014\equiv 14mod50$$

O resultado é que nos enviarán unha tarxeta cos números cos que gañaremos á lotería: 1 e 14 neste caso. Pero como os creativos non teñen idea de matemáticas en diversas imaxes da campaña aparece destacado o número π. Incluso ofrecen darnos unha tarxeta cos nosos números e adornada con este símbolo. Todo apunta a que deberon confundir o número ɸ (phi) que se emprega nos cálculos da sucesión de Fibonacci con outro máis coñecido, π (pi), pero que non ten nada que ver con esa sucesión. Ou si?


Un teorema de Lagrange.

Imaxe de Modular Arithmetic

Acabamos de escribir un par de fómulas da aritmética modular que é a aritmética dos reloxos. Normalmente, no canto de dicir que son as 13 horas ou as 17 horas, dicimos que é a unha ou que son as 5. O que facemos é usar os restos de dividir 13 e 17 entre 12. A esta utilización dos restos da división entre 12 chámase aritmética módulo 12. Traballar con este tipo de artimética é moi fácil; por exemplo podemos facer sumas:
$$13\equiv 1mod12\\ 17\equiv 5mod12\\ 30=13+17\equiv 1+5=6mod12$$
Unha boa forma de iniciarse na práctica da aritmética modular é probar a construir a sucesión de Fibonacci módulo k. Cal sería, por exemplo, a sucesión módulo 12?. Pois a seguinte: 1, 1, 2, 3, 5, 8,  ...
O seguinte termo é $$8+5=13\equiv 1mod12$$
E continuarímos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 1, 9, 10, 7, 5, 0,...pois $$7+5=12\equiv 0mod12$$
Este exercicio podería facerse cos restos das divisións por dous (aritmética mod2), restos das divisións por 3 (aritmética mod3), por 4 (aritmética mod4), ...., en xeral por un número k (aritmética modk). As sucesións de Fibonacci módulo k resultantes serían as seguintes:

Está claro que a sucesión de Fibonacci estará formada por números cada vez maiores, pero isto non sucede para as sucesións módulo k. Se miramos a táboa anterior podemos comprobar que no módulo 2 a sucesión é periódica, repítese sucesivamente a pauta 1, 1, 0. Se o pensamos un pouco non é sorprendentente pois o que estamos dicindo é que a pauta da sucesión de Fibonacci (sen módulo) é impar, impar, par.
Revisando a táboa anterior vemos que a sucesión módulo 3 ou a módulo 4 tamén son periódicas. Sucederá o mesmo con calquera das sucesións de Fibonacci módulo k? A resposta, afirmativa,  dóunola Lagrange no 1774 nuns comentarios á Álxebra de Euler.
De aquí en diante, consideremos a sucesión de Fibonacci módulo k. Escribiremos $${ F }_{ n }\equiv { u }_{ n }modk$$
Tomando u₀=0 escribiremos a sucesión módulo k:

u₀ , u_1, u₂ , u₃ , u₄ , u₅ , u₆  ……..

Tal e como fixemos máis arriba, considerando que cada número da sucesión é suma dos dous termos inmediatamente anteriores, podemos escribir a sucesión como unha colección de pares de Fibonacci:

(u₀,u₁) , (u_1,u₂) , (u₂,u₃) , (u_3,u4) , (u₄,u₅) , (u_5,u₆)……..

Como estamos escribindo números módulo k temos unha cantidade limitada de k² posibilidades:

(0,0) , (0,1), (0,2) , …., (0,k-1)

(1,0) , (1,1), (1,2) , …., (1,k-1)

……………………………….

(k-1,0) , (k-1,1) , (k-1,2 ), …, (k-1,k-1)

Polo tanto, ao construirmos a sucesión de Fibonacci módulo k chegará un momento en que se repetirá un destes pares. Como xa vimos anteriormente, ao quedar a sucesión completamente determinada cando temos un par, a sucesión módulo k será necesariamente periódica.

Sexa r o lugar do primeiro elemento da parte periódica da sucesión:

u₁ , u₂, ….., u_r-1 , u_r , u_r+1, …., u_r+s , u_r, u_r+1,…., u_r+s, ….

Agora ben, o primeiro elemento da sucesión que se repite ten que ser u₁ ,por que? Razoaremos por redución ao absurdo. Supoñamos que isto non fose certo e tivéramos u₁ , u₂, ….., u_r-1  como termos non periódicos. Nese caso teriamos que: $${ u }_{ r+1 }={ u }_{ r }+{ u }_{ r-1 }$$
$${ u }_{ r+1 }={ u }_{ r }+{ u }_{ r+s }$$
Polo que  u_r-1=u_r+s    e así o primeiro elemento do período sería u_r-1,  en contra do suposto.    

Podemos, xa que logo, definir π(k) como o período da sucesión de Fibonacci módulo k, e velaquí por fin a aparición do símbolo π, aínda que non do número π . 

Nas táboas anteriores podemos comprobar que π(2)=3, π(3)=8, π(4)=6,....

No transcurso das anteriores liñas víramos ademais que  π(k)=k² ,pois como moito podiamos construir k²  pares de Fibonacci módulo k. Ademais o par (0,0) nunca se pode dar xa que nese caso teriamos este retallo na sucesión:...., u, v, 0, 0, ....e por construción: 
u+v= 0
v+0=0
Entón u=v=0
Tal e como xa comentaramos poderiamos ir reconstruindo a sucesión "cara atrás" e así concluiríamos que todos os termos anteriores terían que ser tamén ceros, o cal é imposible. Polo tanto podemos diminuir a cota superior para π(k) : π(k)=k² -1   

Hai moitos máis resultados curiosos sobre o período da sucesión de Fibonacci módulo k, tamén chamado período pisano. 
Os primeiros termos da sucesión π(k): 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, 24, 18, 60, 16, 30, 48, 24, 100, 84, 72, 48, 14, 120, 30, 48, 40, 36, 80, 24, 76, 18, 56, 60, 40, 48, 88, 30, 120, 48, 32, 24, 112, 300, 72, 84, 108, 72, 20, 48, 72, 42, 58, 120, 60, 30, 48, 96, 140, 120, 136

Aquí accedemos a unha aplicación que nos calcula o valor do perído pisano para calquera valor de k
Entre os resultados máis interesantes temos que
$$\pi \left[ mcm\left( k,n \right)  \right] =mcm\left[ \pi \left( k \right) ,\pi \left( n \right)  \right]$$

Camões e as permutacións con repetición

Cada vez que explico un tema de combinatoria, non me dá o corpo para tratar os casos con repetición porque, agás o problema do reconto de número de formas de cubrir unha quiniela (arranxos con repetición), non tiña de man ningún problema para abordar o seu tratamento na clase.
Agora xa non vai ser o caso grazas a un chío que soltou J. J. Rodríguez na arañeira anunciando a publicación dixital do segundo número da revist
a Ludus.
Entre outros artigos desta publicación fun dar con un redactado por dous profesores da Universidade de Coimbra,Carlota Simões, e Nuno Coelho O seu título é Camões, Pimenta and the improbable sonnet e estuda a transformación-creación que o poeta Alberto Pimenta realiza cun soneto de Luís de Camões.
A técnica consiste en permutar as letras de cada verso do poema de Camões

 Transforma-se o amador na cousa amada  

para construir outro completamente distinto (pero coas mesmas letras!):

Ousa a forma cantor! Mas se da namorada 

A mellor forma de entender en que consistiu a lúdica intervención de Alberto Pimenta creo que é este vídeo

Metástase I from Joana Rodrigues on Vimeo.

No artigo de Ludus pregúntanse cantas posibilidades distintas hai de construción dun novo verso mediante permutacións das letras do orixinal. Pensemos no citado primeiro verso:
Transforma-se o amador na cousa amada    pasa a ser    Ousa a forma cantor! Mas se da namorada 
....
Teremos que estudalo aos poucos. Consideremos só unha palabra do verso de Camões : cousa. Cantas ordenacións distintas podemos facer coas letras desta palabra?
Para facer un reconto podemos facer uso deste applet da plataforma e-learning do profesor J. Jesús Cendán Verdes, da UdcC

Introducindo como dato: cousa, e escollendo as 5 letras da palabra para permutar, a aplicación devólvenos as 5!=120 permutacións distintas, das que na imaxe da esquerda só aparecen unhas poucas. Explícome.
Para facer o reconto, teñamos presente que as cinco letras de cousa son distintas, polo que para a primeira posición temos 5 posibilidades de escolla. Unha vez elixida esta letra (poñamos por exemplo, que é o c), teriamos catro formas distintas de escolla da segunda letra (o, u, s, a). Supoñamos fixada a segunda letra, entón quedarían tres posibilidades de escolla para a terceira, e así sucesivamente:
Tal e como adiantamos teremos un total de

$${ P }_{ 5 }^{ }=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$

Se agora collemos a palabra amada e a introducimos no  applet para permutar as súas letras todos veremos que só nos aparecen estes 20 casos diferentes. Moitos menos que no exemplo anterior.
A razón, como se pode supoñer, vén de que agora hai unha letra que se repite. Tanto dá escribir
$${ a }_{ 1 }^{ }m{ a }_{ 2 }^{ }d{ a }_{ 3 }^{ }$$ como
$${ a }_{ 2 }^{ }m{ a }_{ 1 }^{ }d{ a }_{ 3 }^{ }$$
pois ao non distinguirmos os aes, os dous casos non se contabilizan como distintos. Cantos máis casos hai equivalentes aos dous anteriores? Pois os que resultan de permutar eses tres aes:
$${ P }_{ 3 }^{  }=3!=6$$
Polo que de cada 6 casos só contabilizaremos 1. Así que dos 120 dunha permutación de 5 elementos agora quedarémonos con
$$\frac { 120 }{ 6 } =20$$ En xeral a fórmula das permutacións de n elementos nas que o primeiro elemento, o segundo,...., o k-ésimo se repiten:
$${ n }_{ 1 },{ n }_{ 2 },{ n }_{ 3 }{ ....n }_{ k }{ veces }{ / }_{ }{ n }_{ 1 }{ +n }_{ 2 }{ +....+n }_{ k }=n$$ Será a seguinte:
$${ PR }_{ n }^{ { n }_{ 1 }{ n }_{ 2 }{ ... }{ n }_{ k } }=\frac { n! }{ { n }_{ 1 }!{ n }_{ 2 }!{ ... }{ n }_{ k } }$$
Sabendo que no primeiro verso o número de veces que aparece cada letra é:
$$\begin{matrix} a & 9 \\ o & 4 \\ m,r,s & 3 \\ d,t & 2 \\ t,f,c,e,u & 1 \end{matrix}$$
o reconto final de formas de ordenar esas 31 letras será:
$${ P }_{ 31 }^{ 9,4,3,3,3,2,2,1,1,1,1,1 }=\frac { 31! }{ 9!4!3!3!3!2!2! } =1_{ 4 }092.782_{ 3 }550.735_{ 2 }491.616_{ 1 }000.000$$
Xa só nos quedan outros 13 versos. E teñamos presente que por cada unha das escollas feita no primeiro verso teriamos unha composición distinta polo que para obter o número de sonetos distintos teriramo que multiplicar as cifras obtidos do reconto de cada un dos versos. O resultado final dá un número da orde do seguinte:
$$5,3\cdot { 10 }^{ 312 }$$

Nunha última reviravolta, a Alberto Pimenta sóbranlle no último verso dúas letras: L e C, que veñen sendo as iniciais que nun bucle infernal nos devolven ao autor do soneto orixinal.


Camões - Soneto 96
Transforma-se o amador na cousa amada,
Por virtude do muito imaginar;
Não tenho, logo, mais que desejar,
Pois em mi[m] tenho a parte desejada.
Se nela est· minha alma transformada,
Que mais deseja o corpo de alcançar?
Em si somente pode descansar,
Pois consigo tal alma est· liada.
Mas esta linda e pura semidéia,
Que, como o acidente em seu sujeito,
Assi[m] coa alma minha se conforma,
Est· no pensamento como idéia;
[E] o vivo e puro amor de que sou feito
Como a matéria simples busca a forma.


Alberto Pimenta [Camões por interposta pessoa]
Ousa a forma cantor! Mas se da namorada
Nua d´imagem, tido rio por vir tu
Não tens, oh joga, sem que ide
Ia e mente passem, admito, d´harpejo,
Nada, terno mar, falsamente ilhas. Amas
Desejando amor que cale cio, parcas
Rimas, e os desencantos pedem
Odi et amo, caos, sigla. Ali plantas
Setas em idÈia, ainda mel, puras,
Semente que caÌdo sujeito como eu,
A lama minha informam. Com acessos
Te penso e cato o mÌnimo. Se nada
Muda, vê que frio e pó e riso e voto ou
Ímpio amor mata o ser e busca famas.
L. C.