O cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018 (e 2)

Cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018

A anterior entrada, coma esta, estaba inspirada no cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018. Alí consideramos a demostración euclidiana do teorema de Pitágoras, tamén fixemos referencia a determinadas xeneralizacións do resultado pitagórico e a outros resultados que gardan algunha relación coa chamada configuración de Vecte tales como o coñecido teorema de Napoleón ou o menos coñecido teorema de Finsler-Hadwiger.

Triángulos coa mesma área

Daquela rematabamos cunha cuestión que paso a repetir aquí. Consideremos unha configuración de Vecten construída a partir dun triángulo calquera. Xa comentaramos a demostración visual de Steven L. Snover sobre a igualdade das áreas dos triángulos que se forman ao unir os vértices dos cadrados levantados sobre o triángulo de partida.
Se continuamos levantando cadrados sobre esta configuración iremos construíndo a figura que ilustra o cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018. Resulta que estes cadrados comenzan a delimitar trapecios. Que podemos afirmar sobre eles? Os tres trapecios que se forman  terán tamén a mesma área? No caso de ser a mesma, terá algunha relación coa do triángulo orixinal?

Trapecios na configuración de Vecten

Máis preguntas. Se continuamos levantando cadrados sobre a configuración volverán a aparecernos máis trapecios. Podemos determinar a súa área e relacionala co triángulo de partida? Eses novos tres trapecios terán a mesma área? E os trapecios do seguinte levantamento, terán algunha relación cos do paso anterior. En caso afirmativo, cal será?
Se algunha vez liches algún texto de Adrián Paenza, saberías que neste momento, despois de establecer as cuestións,  recomendaríche que gozases coa abordaxe do problema. Non sigas lendo. Pénsao durante uns momentos. Adícalle o tempo necesario antes de seguir facendo scroll...

Si, alá no fondo está o triángulo, onde comenzou todo

Para ver algunhas respostas ás que cheguei bastará con mirar o seguinte applet de geogebra, aínda que para saber de que vai cómpre seguir algunhas instrucións. Seguramente se podería construír outro mellor elaborado pero para comunicar algunhas ideas poida que serva.
Instrucións para manexar a applet:
Paso 0.Podes modificar o triángulo a partir dos seus vértices. Vai ao paso 1.
Paso 1.Move o esvarador azul e comproba o que pasa
Paso 2.Aparecerá un esvarador laranxa. Móveo e volve a observar.
Paso 3. Fíxate no valor do esvarador laranxa. Aparecerá outro esvarador azul. Conviña que afastaras algo a imaxe co Zoom (última das ferramentas; pódese usar o botón do rato) e quizais que a centraras. Vai ao paso 1.
Mágoa que no applet só aparezan un pequeno número de pasos.
Unha pregunta máis: quen vén sendo ese punto gris no interior do triángulo?




Pon unha homotecia na  túa vida.
Un dos aspectos que nunca tratei en ningunha aula, nin como docente nin como alumno, curiosamente aparecía nun dos temas das oposicións. Estou a falar das homotecias. Quen me ía dicir que me servirían de axuda neste problema!

Baricentro trisecando un triángulo

As tres medianas dividen a un triángulo T₀ calquera en 6 trianguliños coa mesma área (t₀/6). En particular, os segmentos que unen os vértices co baricentro trisecan a área do triángulo noutros 3 triángulos: X₀, Y₀ e Z₀

Por outra banda, se aplicamos sotre o triángulo T₀ unha homotecia desde o seu baricentro obteremos triángulos semellantes a T₀ e co mesmo baricentro.

As áreas dos trapecios son iguais

Na configuración de Vecten denominarei X_n, Y_n e Z_n aos trapecios levantados despois de n pasos. Podemos ver, por exemplo, que X₁, Y₁ e Z₁ completan o triángulo inicial T₀ determinando así un novo triángulo T₁ mediante unha homotecia de razón 4 centrada no baricentro común. X₂, Y₂ e Z₂ volven a facer o mesmo sobre T₁, agora cunha homotecia de razón 19; e así sucesivamente.

Mediante homotecias centradas no baricentro expandimos o triángulo inicial

Usarei o signo "+"co significado de unión disxunta. Como X₀ (respectivamente Y₀ e Z₀) é a terceira parte de T₀, X₀+X₁ tamén é un terzo de T₁. De aí que se verifique a igualdade X₁=Y₁=Z₁ e, en xeral, por indución, X_n=Y_n=Z_n. Ou dito máis literiamente: os 3 trapecios que levantamos en cada paso da configuración de Vecten teñen a mesma área.
As homotecias que nos dan os novos triángulos T₁, T₂, T₃, T₄ son de razóns:

h_o=1           h₁=4            h₂=19           h₃=91               h₄=436

Quizais incluso non cómpre acudir ao portal de referencia das sucesións para ver que ésta é A004253,  isto é,  a que vén dada pola lei:

h_o=1           h₁=4             h_n=5・h_n-1-h_n-2 

Todo o anterior permítenos determinar a área dos trapecios (os corchetes indican a área da figura, así [T₀ ] será a área do triángulo T₀):
$$3{ [X }_{ 1 }]+{ t }_{ 0 }={ h }_{ 1 }^{ 2 }{ [T }_{ 0 }]$$
$${ [X }_{ 1 }]=\frac { \left( { h }_{ 1 }^{ 2 }-1 \right) { [T }_{ 0' }] }{ 3 } =5[{ T }_{ 0 }]$$
E en xeral: $${ [X }_{ n }]=\frac { \left( { h }_{ n }^{ 2 }-{ h }_{ n }^{ 2 } \right) { [T }_{ 0 }] }{ 3 } $$

Máis trapecios, máis preguntas
Acabouse? Afortunadamente as ciencias, en particular as matemáticas, nunca se esgotan. Cada problema resolto é fonte da que beben novas cuestións.
Ao repasarmos o que estiven chamando configuración de Vecten, isto é ao levantamento reiterado de cadrados sobre un triángulo calquera, ademais dos trapecios X_n, Y_n e Z_n , que son os que aparecen marcados en azul na seguinte imaxe, quedan entre medias outros trapecios como os marcados en vermello. Volven a xurdir as mesmas preguntas que se propoñían antes: cada un destes grupos estará formado por tres trapecios coa mesma área? terán algunha relación coa área do triángulo inicial, e coa área dos trapecios azuis? Intrigantes cuestións.

Hai trapecios azuis e trapecios vermellos

O cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018.1

Cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018

Unha proba do atrasadas que van as entradas neste blogue é esta mesma entrada. Basta decatarse de que o tema do que trata ten data e comparala coa data da publicación da entrada para mostrar que necesitaría moito máis tempo para manter o blogue máis actulizado. Pero non lle deamos máis voltas, este que presento aquí, foi o cartel da Olimpíada Matemática Galega 2018. Se o observamos con algo de vagar veremos unhas fórmulas na parte superior. Son as que reproduzo de seguido: $${ A }_{ 1 }+{ B }_{ 1 }={ C }_{ 1 }\\ { A }_{ 2 }+{ B }_{ 2 }=5{ C }_{ 2 }\\ { A }_{ 3 }+{ B }_{ 3 }={ C }_{ 3 }\\ { A }_{ 4 }+{ B }_{ 4 }=5{ C }_{ 4 }\\ { A }_{ 5 }+{ B }_{ 5 }={ C }_{ 5 }$$
Partindo de que o triángulo laranxa do cartel é un triángulo rectángulo, a primeira igualdade é o teorema de Pitágoras. Pero, e as outras?
Pois ben, non cómpre ser moi espelido, nin precisamos consultar esta anotación para pensar, que de seren certas estas fórmulas, conviría estudar o caso xeneralizado:
$${ A }_{ 2n+1 }+{ B }_{ 2n+1 }={ C }_{ 2n+1 }\\ { A }_{ 2n }+{ B }_{ 2n }={ C }_{ 2n }$$

A cadeira da noiva ou a configuración de Vecten

Sacado de aquí

A configuración xeométrica que anuncia a olimpíada 2018 pode comenzar a construirse a partir da que utilizou Euclides para a súa demostración do teorema de Pitágoras, nomeada por algúns como cadeira da noiva. Aínda que, segundo o especialista en historia da ciencia Florian Cajori, esta denominación débese a unha confusión nunha tradución do século XIII entre "noiva" e "insecto alado". Ben certo que neste esquema é que é moito máis doado de ver un cabaliño do demo que unha noiva.
A configuración que presentamos no gif dá para moito. Por exemplo, se substituímos os cadrados por triángulos equiláteros, é inmediato demostrar que a área do construído sobre a hipotenusa igual á suma dos levantados sobre os catetos. A mesma relación teriamos se no canto de cadrados ou triángulos colocamos calquera polígono regular, ou incluso semicírculos, ou rectángulos semellantes,... ou en xeral figuras semellantes.
A pesar de ser un resultado clásico, coñecido por Hipócrates de Quíos (V a.C.), ou de ser un dos resultados máis destacables dos Elementos (proposición VI.31), lembro perfectamente que non souben del ata un par de anos despois de rematar a carreira (ben, confesemos todo, en realidade non coñecía prácticamente ningún resultado de xeometría sintética)
Insistindo na figura anterior, consideremos un dos pasos que máis agradan aos que remexen nas matemáticas. No canto dun triángulo rectángulo poñamos un triángulo calquera, e sobre os seus lados construímos cadrados. Os segmentos FC e KB seguirán cortándose nun punto da altura AL? A resposta é afirmativa.

Figura 1

Consideremos agora os centros dos triángulos. Se os unimos respectivamente cos vértices opostos do triángulo, estes tres segmentos coinciden nun punto denominado punto de Vecten.
Un pode pasar varias xornadas dándolle voltas a estas ideas, remexendo nas propiedades de distintos puntos e segmentos que participan na construción dos puntos de Vecten. Unha forma de xogar con elas consiste en considerar o  punto de Vecten interior, aquel que se forma do mesmo xeito pero a partir dos dos cadrados construídos "cara adentro", solapando o triángulo.
Sen desviarnos do primeiro camiño, considerando a figura 1 sobre a que construímos o punto de Vecten orixinal (exterior), achegaremos unha propiedade ben curiosa:

Figura 2

Propiedade. Os segmentos que unen os centros dos cadrados O_B e O_C co punto medio M_A do lado BC  do triángulo son perpendiculares.

















O resultado anterior ten como consecuencia case inmediata o Teorema de Finsler-Hadwiger, do que xa falamos noutra ocasión

Figura 3

(Teorema de Finsler-Hadwiger). Dados dous cadrados OABC e OA'B'C' cun vértice común O, os puntos medios dos segmentos AA' e CC' xunto cos centros dos cadrados forman tamén un cadrado (isto é: WXYZ é un cadrado)

Figura 4

Sen deixar atrás a figura de Vecten, se no canto de cadrados sobre os lados do triángulo orixinal, construímos triángulos equiláteros, achegarémonos ao coñecido Teorema de Napoleón

(Teorema de Napoleón). Dado un triángulo calquera, se sobre os seus lados levantamos triángulos equiláteros, os seus centros determinan outro triángulo equilátero. 

(NOTA: nun triángulo equilátero podemos falar de centro porque coinciden ortocentro, baricentro, incentro e circuncentro. Por esta razón nun triángulo equilátero podemos falar de centro a secas.)








Atrevámonos a dar un paso máis ampliando a configuración de Vecten cos triángulos que se forman ao unir os vértices dos cadrados. Resulta que estes novos triángulos teñen todos a mesma área, e que ésta coincide co triángulo laranxa de partida. Non é difícil demostralo facendo uso do teorema do coseno, e así llo teño proposto nalgunha aula de 1º de bacharelato, mais non sei se volverei a facelo porque hai unha demostración disto moito máis sinxela, e por outra banda, máis xeral, debida a Steven L. Snover. En primeiro lugar, o triángulo de partida non ten por que ser rectángulo. Ademais non cómpre realizar ningunha operación debido á impediatez da proba visual.
Consideremos un dos triángulos, rotémolo 90º en dirección contraria ás agullas dun reloxo. Que obtivemos?:




Pois si, obtivemos dous triángulos coa mesma base a . Ademais estas bases descansan sobre a mesma recta polo que temén é evidente que teñen a mesma altura, ergo a mesma área.

E se imos máis alá?

Configuración de Vecten

Se continuamos abrindo o foco aparecerán tres trapecios. Terán os tres a mesma área? En todo caso, pódese calcular a área deses trapecios? Terán algunha relación coa do triángulo? Dependerá do tipo de triángulo, por exemplo se é rectángulo?
Pode que nunha seguinte entrada trate este tema.
Mentres deixo tempo para abordar a cuestión dos trapecios,  partillo o seguinte vídeo, que a pesar de ser elaborado con fins crematísticos, é tamén unha peza divulgativa moi ben feitiña que remexe no teorema de Pitágoras pero que comenta resultados que van máis alá.

Isto son matemáticas (en galego)

Isto son matemáticas
no IES Antón Losada

Tal e como se anunciaba nunha entrada anterior, no IES Antón Losada programouse unha extensa cantidade de actividades reivindicando a ciencia en galego. Unha delas consistiu na presentación por parte de alumnos de 1º de bacharalato, de seis temas de corte matemático a alumnos de 2º da ESO.

Os primeiros en ofrecer o seu relato foron Ibai Fernández e Samuel Martíns, que baixo o título "O número de Deus" explicaron como facer o reconto de posibles configuracións dun Cubo de Rubik, resolveron un en directo e, como non!, falaron do curioso número de Deus. Uxía Rodríguez e Andrea Porto abordaron distintos crebacabezas xeométricos nos que cunhas poucas pezas simples, ao estilo Tangram, podemos formar distintas figuras xeométricas de distintas áreas... a pesar de que usamos as mesmas pezas!

 

Laura Picallos e Carla Villaverde abordaron a cuestión de "Para que serven os polinomios?" Para iso presentaron o seguinte xogo do Proxecto ed@ad   no que se trata de adiviñar unha das 32 figuras por medio de 5 preguntas de resposta si/non. Entón desviaron a cuestión ás notacións decimal e binaria dos números. A representación dos números en calquera base faise mediante unha estrutura polinómica. Precisamente, estudando o sistema binario podemos desvelar o segredo deste xogo. Como en moitas ocasións, a esencia da resposta está no coñecemento dos polinomios.

Facendo uso da técnica anterior, pero implicando agora o control das ordenacións ao barallar as cartas, Julio Tarrío e Andrea Fraiz fixeron un espectacular truco de cartas matemático.

Falando de xogos, coñecedes o xogo do nim? Dada unha disposición en filas de 1-3-5-7 paus, cada xogador (son 2) retira por quendas a cantidade de paus que queira de cada fila. Perde o que se vexa obrigado a retirar o derradeiro pau.
Pablo Pena e Mauro Moimenta non só xogaron e explicaron en que consiste, senón que, facendo uso da descomposición de calquera número como suma de potencias de dous, deron conta dunha estratexia gañadora. Ademais esa estratexia podían aplicala a calquera outra disposición de paus en filas. En particular, serviría para xogar con filas de 1-2-4-7-8 paus en cada unha.


O xogo do calendario
Finalmente Seraina Barros e Iria Ferreiro presentaron outro xogo, o "Xogo do calendario". Tomaron como punto de partida o calendario que fixera o Equipo de Normalización a comenzos de curso. Poderían ter collido outro mes pero escolleron o mes de maio por ser cando se celebra o Día das Letras. Nel recortaron unha matriz de 4x4 números e mediante un proceso consistente en escoller un número e despois tachar o resto dos números da fila e a columna no que está o elixido para pasar despois a escoller outro número non tachado, foron guiando aos alumnos de 2º da ESO para que fixeran o mesmo. A pesar de que tiñan todos táboas diferentes, de que cada un escolleu os números como lle petou, e, en definitiva, de que cada un dos presentes tiña unha colección de 4 números distinta, ao final por esas cousas misteriosas que teñen as matemáticas, a suma deses grupos de 4 números escollidos por todos e cada un dos asistentes coincidía!

 

Cando andaba na procura de temas para que o alumnado preparara para expoñer, atopei varios xogos que tiñan que ver cos calendarios.  Non me acababa de gustar ningún, ata que remexendo neles lembrei un que me encantara e que presentara Coque nun congreso de Agapema, así que, dalgunha maneira en homenaxe a el foi o que lle propuxen aos alumnos para que o levaran a cabo. Paso a explicar os seus fundamentos.
Se recortamos unha matriz 4x4 nun calendario (cando isto é posible), e o primeiro número é a, o resto da matriz distribuirase da seguinte maneira: $$\begin{matrix} a & a+1 & a+2 & a+3 \\ a+7 & a+8 & a+9 & a+10 \\ a+14 & a+15 & a+16 & a+17 \\ a+21 & a+22 & a+23 & a+24 \end{matrix}$$
(Nota: quen queira pode pensar en escoller unha matriz 3x3 e ver o que sucede nese caso). Polo procedemento indicado máis arriba (escoller un número, tachar fila e columna, escoller número non tachado, tachar fila e columna....) determínanse 4 números que sumarán o mesmo que os 4 da diagonal principal: 4・a + 48. Na escolla que fixeron Iria e Seraina: 4・7 + 48 = 76.
Finalmente, elaborar matrices que den lugar a esas cifras non é nada complicado. Basta considerar a seguinte matriz $$\begin{matrix} a & a+k & a+2k & a+3k \\ b & b+k & b+2k & b+3k \\ c & c+k & c+2k & c+3k \\ d & d+2k & d+3k & d+4k \end{matrix}$$ Dándolle valores a catro das variables en xogo, por exemplo ás variables k, a, b e c, podemos deducir o valor de

 d=76 ㄧa ㄧbㄧcㄧ6k.

Matemáticas: habelas, hainas

Desde o ano pasado a Facultade de Matemáticas da USC , o IMAT e a CNL organizan unha xornada de carácter divulgativo sobre investigación en matemáticas. As charlas, de menos de 20 minutos, presentan diversos usos das matemáticas dun xeito desenfadado e sinxelo.  Isto é certo ata o punto de que os vídeos ben poderían ser unha gorentosa fonte de recursos para o ensino secundario.
Un obxectivo destacable detas xornadas é que procura familiarizar aos participantes no uso do galego para a presentación das investigacións ao público non especialista. Coincidindo coas celebracións en novembro da Ciencia en Galego e como sinalan os promotores desta proposta, a intención é normalizar o uso do galego nas matemáticas deixando de lado prexuízos lingüísticos. 
Podemos acceder aos relatorios destas xornadas en vídeos aloxados nunha plataforma propia da USC. Se por unha banda este formato permite alternar entre a visualización da presentación e a do relator, pola outra é unha mágoa que non permita unha maior divulgación destas charlas.


Matemáticas: habelas, hainas, queremos contarchas!
Xornada celebrada o 9/11/17

• A danza da gravidade: estrelas dobres e planetas extrasolares, por Pedro Pablo Campo Díaz
• Matemáticas doutra Galicia, por Jorge Losada Rodríguez
• Mergullándose coas matemáticas, por Saray Busto Ulloa
• Money, money, money!, por Adrián Fernández Tojo
• Segredos, espías e números primos, por Xabier García Martínez
• E ti… de quen vés sendo?, por María José Ginzo Villamayor
• Medindo a curvatura, por Javier Valle Regueiro
• #dimecomofalas e tuiteoche #deondees, por Laura Calaza Díaz

Matemáticas: habelas hainas, seguimos contándochas!
Xornada celebrada o 7/11/18

• A vida é un xogo, por Alejandro Saavedra Nieves
• As ecuacións do amor, por Lucía López Somoza
• Vida noutros mundos. A Astrobioloxía, por Carlos Vázquez Monzón
• Ata o infinito e máis alá!, por Beatriz Álvarez Díaz
• Matemáticas no teu corazón, por Marcos Loureiro García
• Buracos: as matemáticas do vaqueiro, por David Mosquera Lois
• Pero ti estás seguro diso?, por Mercedes Conde Amboage

Cal é o enunciado?

O último rechío da politica lingüística

Valentín García participou no acto de entrega de premios do concurso ‘Explícoche matemáticas 2.0’ https://t.co/4GWBP5Ci6G pic.twitter.com/w5jBRMzAm7

— Política Lingüística (@SXPL) 27 de outubro de 2018

De contemplarmos esta foto sen máis información só veremos catro persoas posando. Se nos proe algo a curiosidade e prememos na ligazón que nos ofrece o chío, quedarémonos con que Valentín García participou na entrega de premios do concurso "Explícoche matemáticas 2.0".  Neste caso pensariamos que temos a información completa cando o certo é que nese intre saberemos menos que antes. Para explicar a foto cómpre relatar algunhas das febras historia de como se chega ata ela.
Unha desas febras comenza cando as ansias de galego desta terra levaron a que un grupo de usuarios se organizase para proporcionarnos unha versión do Twitter en galego. Un goberno da Xunta que leva o vergoñento carimbo de ser unha peste para a lingua galega, quixo apropiarse o traballo de todos eses usuarios para venderse perante a opinión pública como a peza fundamental da galeguización da rede social despois de actuar con completo desinterese pola cuestión.

Unha pena que o propio goberno da @Xunta nos minta así: http://t.co/HlOWSmXD

— Twiter en galego (@chio_en_galego) 20 de setembro de 2012

Como é habitual nos procesos de implantación dun novo vocabulario, naquel traballo comunitario de de galeguización do Twitter houbo vacilacións. Como designar o vocablos "tweet" e "retweet"? Algúns avogaban por empegar directamente a versión orixinal en ingles, porén a opción que comenzou a usarse nun principio foi a de "chío" e "rechío".
Con moito acerto, unha intervención do Portal das Palabras avisaba da existencia de "rechío" con outra acepción: "son áspero e desagradable que produce unha cousa dura ao rozar". Aqueles que habilitaramos o noso Twitter en galego non tardamos en ver como a tradución de "retweet" pasaba a ser "rechouchío", ampliándose así os chíos e rechouchíos dos xílgaros e reiseñores a todos os usuarios da rede social.
Outra das febras da prehistoria da foto é máis coñecida aínda que non se ten o suficientemente presente. No 2004 publícase baixo o paraugas do consenso o Plan Xeral de Normalización Lingüística (PXNL), un documento con 445 medidas que marcaban as directrices da política lingüística para os seguintes anos. No 2007 ponse en funcioknamento o decreto para a promoción da lingua galega para o ensino non universitario seguindo estritamente as directrices do PXNL, entre elas a 2.1.26 e a 2.1.27 que recomendaban que as matemáticas (e a tecnoloxía) figurasen entre as materias a impartir en galego. Contra todo acordo previo os gobernos dirixidos por Feijóo prohibiron a partir do ano 2010 tanto a docencia como a publicación de materiais didácticos en galego para as materias científicas. Coa aprobación da LOMCE increméntanse o número de clases de matemáticas, e polo tanto de exclusión da lingua galega no ensino non universitario. A partir do ano 2018 a Consellería de Educación comenza unha campaña de promoción das STEM, onde o galego está vetado, co que indirectamente se reforza a súa discriminación oficial.
Agora, que temos presente toda a información, volvamos a mirar a foto. Por unha banda está o secretario xeral de política lingüística, responsable último de prohibir tanto a impartición de aulas de matemáticas en galego como o uso de material didáctico desta materia nesa lingua. Pola outra dúas mozas que acaban de recibir de mans dese secretario xeral un premio por elaborar material didáctico de matemáticas en galego. Velaí o último rechío, ata o día de hoxe, da política lingüística que nos tocou padecer. Haberá máis.

Recursos sobre Domingo Fontán

Coa designación de Domingo Fontán como Científico Galego 2018 por parte da Real Academia das Ciencias de Galicia (RAGC), incrementouse a divulgación e o interese por este matemático do XIX. Ademais da revista da RAGC especialmente centrada na figura de Fontán, (portal, PDF) e o vídeo que abre esta entrada, o Consello da Cultura Galega publicou unha unidade didáctica.
Todas estas achegas súmanse ao diverso material que podemos recoller pola arañeira da rede. Velaquí se recollen algúns deses recursos.


Xeral

• Domingo Fontán, Galipedia
• Domingo Fontán Rodríguez. O home que puxo a Galicia no mapa, Álbum da Ciencia (CCG), por Margarita Barral Martínez.
• Domingo Fontán. Apuntes biográficos, Fundación Domingo Fontán
• Fontán polifacético, Fundación Domingo Fontán
• Domingo Fontán, un dos bos e xenerosos, Textos da exposición: Innovación e Territorio: O legado de Fontán ao século XX , USC 2010, www.dehistoria.net
• Boletín Oficial do Parlamento de Galicia, X lexislatura, nº99, (12/04/2017) que contén a resolución sobre as actuacións que debe levar a cabo o Goberno galego para difundir a vida e obra de Domingo Fontán, así como para a conmemoración no ano 2017 do 200 aniversario dos comezos da elaboración da Carta Xeométrica.
• Domingo Fontán e a Carta geométrica de Galicia  (CCG) (2018) Unidade didáctica coordinada por Xosé Antón Fraga e Elena Vázquez Cendón. Autores: Margarita Barral, Xosé Antón Fraga, Gonzalo Méndez Martínez, Víctor Pollán Fernández, Julio Rodríguez Taboada, Elena Vázquez Cendón.

Artigos

• Domingo Fontán, el ilustre olvidado, Galiciaé (20/05/2008), por Xema Aguiar
• Domingo Fontán, matemático sublime, El País (01/04/2011), por Suso de Toro
• Vítor H. Brandalise, un brasileiro seguindo os pasos do caderno de campo do xeógrafo Domingo Fontán por Galicia, por Xosé Mª Lema Suárez en Que pasa na costa (10/10/12)
• Domingo Fontán, xenio e amante da Galiza, Revista Murguía (12/09/12)
• A fábrica de papel de Fontán, RAG, (14/06/12)
• Que o mapa de Fontán nos ilumine, Sermos Galiza (06/09/14), por Manuel López Foxo
• Vello mapa, La Voz de Galicia (25/10/16) , por Santi Garrido
• Domingo Fontán, o redescubridor de Galicia, Historia de Galicia (21/11/16)
• Entrega do Mapa de Fontán, Almanaque das Irmandades (01/12/16)
• O pai do primeiro mapa científico de Galicia, La Opinión A Coruña (18/12/16) por Xosé A. Fraga
• Domingo Fontán, o descoñecido arquitecto de Galicia, Galiciencia (02/03/17)
• Unha ducia de... Mapas históricos de Galicia, (08/04/2017) Praza Pública
• Domingo Fontán Rodríguez, pai da xeografía galega, homenaxeado polo PPdeG, Historia de Galicia (09/04/17)
• Presentación del libro y mapa "Domingo Fontán. Carta geométrica de Galicia 1817-2017", (29/06/17) Faro de Vigo
• Galicia, ante o seu espello cartográfico, La Voz de Galicia, (29/06/17) por Xesús Fraga
• De Portas ao Gaiás, Coralia (07/07/22), por Elena Vázquez Cendón e Alberto Varela García
  

Blogues

• Domingo Fontán Rodríguez, Historia de Portas. Neste blogue hai unha gran cantidade de entradas sobre a figura de Fontán:

• Os primeiros anos 

• Cronoloxía da súa vida

• Biografía resumo

• Domingo Fontán segundo a Enciclopedia Galega

• Imaxes

• Preito pola capitalidade da provincia

• A oratoria de Fontán

• O Mapa de Galicia

• Os mapas anteriores a Fontán

• Os seus mapas

• Fontán e o Museo

• Clima histórico

• O seu tempo.

• Cronoloxía

• Na última volta do camiño

• As súas cinzas

• El primer rostro de Galicia, blogue do periodista Vitor Hugo Brandalise que volve tras os pasos de Fontán en La Voz de Galicia
• Carta de Fontán: Toda Galicia vai nela, no blogue de Álvaro del Prado, Así es... o no...
• Tras os pasos de Domingo Fontán, blogue do CPI de Portas

Vídeos

• Planos de la cartoteca de Domingo Fontán,
• Domingo Fontan e a Rede Xeodésica da Galiza.Historias de Galicia (TVG)
• Teodolito de Fontán, da exposición Galicia 100 (CCG).Francisco Díaz-Fierros explica o papel deste teodolito na elaboración do primeiro mapa moderno de Galicia
• Domingo Fontán. La pasión por la cartografía documental 1996. 26 minutos. Con Vicente Montoto como Fomingo Fontán; guión de Xavier Manteiga; cámara: Pep Fortuny; producción, Inmaculada Castaño; dirección, Valentín Carrera. Emitido por TVG e Telecinco.
• O periodista Vitor Hugo Brandalise realizou unha serie de vídeos intentando reproducir os percorridos de Fontán por Galicia para elaborar a súa Carta Xeométrica:

• Tras los pasos de Fontán. En la Berenguela

• Tras los pasos de Fontán. En el Pedroso

• Tras los pasos de Fontán. En Formarís

• Tras los pasos de Fontán. En Sigrás

• Tras los pasos de Fontán. En Ponte Ulla

• Tras los pasos de Fontán. En Mesón do Vento

• Tras los pasos de Fontán. En la Torre de Hércules

• Tras los pasos de Fontán.En Melide

• Tras los pasos de Fontán. En la Cova da Serpe

• Tras los pasos de Fontán. En Sobrado dos Monxes

• Tras los pasos de Fontán. En San Xulián do Monte

•  Faladoiro sobre Domingo Fontán 1. O topógrafo Marcos Rial Docampo impartiu unha conferencia sobre Domingo Fontán no bar A Fonte do Galo de Cangas o pasado 18/05/17
• Faladoiro sobre Domingo Fontán 2.
• Faladoiro sobre Domingo Fontán 3.
• Faladoiro sobre Domingo Fontán 4.
• Día da Ciencia en Galicia 2018. Domingo Fontán Rodríguez. Vídeo da RACG

Libros

• Pensamento matemático en Galicia, Edicións do Castro (1992), autor: Ricardo Moreno Castillo. Ten un capítulo adicado a Domingo Fontán.
• 13 matemáticos galegos, Grupo Anaya (2004), autor: Ricardo Moreno Castillo. Ten un capítulo adicado a Domingo Fontán.
• Fontán, Editorial Galaxia 2015, autor: Marcos Calveiro. IX Premio Narrativa Breve Repsol 2015. Novela biográfica con moita información, case podería pasar por un ensaio sobre a vida de Domingo Fontán.
• A parroquia galega a partir da “Carta Geométrica de Galicia”, Minerva (repositorio institucional da USC) (2015), tese de doutoramento de María del Carmen Álvarez Monterroso
• Carta Geométrica de Galicia 1817-2017, Teófilo comunicación (2017)

Revistas

•  Tema: Domingo Fontán, GCiencia
• A ciencia en Galicia (2018). Revita da RACG nº 37. Versión dixital da revista da RACG editada en colaboración con GCiencia. Número especialmente adicado a Domingo Fontán.
• A ciencia en Galicia (2018). Revita da RACG nº 37. Versión PDF da revista da RACG editada en colaboración con GCiencia. Número especialmente adicado a Domingo Fontán.

Carta Xeométrica

• Carta Xeométrica en PDF, USC
• Carta Xeométrica de Galicia, Galipedia
• Carta Xeométrica de Galicia, Galiciana
• Mapa de Fontán en Mapas da Xunta (hai que escollelo en "selección de mapas de fondo")
• Carta Xeométrica, dixitalizada pola Biblioteca Nacional Española 
• Carta Xeométrica, Biblioteca Dixital da Real Academia da Historia

Explícoche matemáticas 2.0, edición 2018

Acaba de facerse pública a resolución do concurso Explícoche Matemáticas 2.0 do presente ano. En cada un dos audiovisuais recollidos polo xurado veremos desenvolto un tópico das matemáticas en menos de 2 minutos e medio. Cada un deles é unha labazada nas fazulas dos zunantes que manteñen as mentiras sobre o galego no ensino. O único certo a día de hoxe é que continúa a prohibición para impartir matemáticas en galego no ensino obrigatorio, unha medida que coadxuvada co prestixio e o aumento de carga lectiva dos últimos anos das materias de matemáticas, afonda no ataque á lingua galega no seu punto fulcral, o ensino.
Moi especialmente desde a posta en marcha do funesto decreto 79/2010 (o que chaman algúns do plurilingüismo), sabemos que a escola actúa, , como elemento desgaleguizador. Con todo, un grupo de afoutos rapaces elaboraron un material que divulga (en galego) un aspecto das matemáticas e deben recibir o premio do noso recoñecemento. Destacamos algúns deles. Aarón Vilariño Folgueira, alumno de 4º da ESO do IES Lamas de Abade (Santiago) , foi o premiado na categoría A (2º ciclo da ESO, bacharelato e Formación Profesional) cun gorentoso traballo no que debulla como calcular o tamaño da Terra, experiencia da que demos conta noutras entradas.

Na cateboría B (Universidade), houbo dous premiados. Un deles foi o víedo "Diagramas de Voronói", de María Navarro Martínez e Iria Lago Portela, alumnas de grao de Matemáticas da USC

O outro premio da categoría B foi para "O problema do camiño máis rápido: a cicloide", de Jesús Conde Lago, alumno de doutoramento en Matemáticas da USC. Certamente as aplicacións da cicloide e a súa traxectoria estelar na historia das matemáticas serán sempre fonte de inspiración.

Nesta última moxalidade de alumnado de mestrado ou doutoramento, o xurado acordou conceder un accésit ao vídeo "O teorema da pizza", de Brais Prieto Moure, alumno de doutoramento en Ciencias da Comunicación da USC. Non podo negar que foi o que máis me prestou por levar á excelencia o guión e a realización.

Finalmente, Clara Rey Barona e Laura Álvarez Barbosa, do IES Escolas Proval (Nigrán) demostraron ser as máis populares pois o seu vídeo "Buscando aproximacións do número Pi mediante o método de Arquímedes", foi o máis valorado polos internautas. O título do tema dá pistas sobre o tema que trata.

O dito: parabéns a todos os participantes e agradecemento aos organizadores.

Éxito de participación no concurso de vídeos da USC ‘Explícoche Matemáticas’ (10/10/18) en GCiencia

Pillados no Photomath

A principios de curso non tiña noticia da existencia desta aplicación para móbiles, Photomath. Mirando o vídeo ou indo ao portal oficial decontado veremos en que consiste. Basta con premer un botón e sacarlle unha foto a un exercicio de matemáticas (ecuación, operación, cáculo integral ou diferencial...) e o programa recoñece a escritura e devolve a solución. Incluso nos pode dar os pasos intermedios para chegar ao resultado.  A súa utilidade é innegable. Se temos dominado un determinado tipo de exercicios matemáticos, como moitas outras ferramentas dixitais, pode aliviarnos do traballo pesado de ter que realizar cálculos que xa repetiramos en múltiples ocasións. Pero tamén se pode facer un uso fraudulento da aplicación. Esa foi a maneira en que eu me enterei da súa existencia.
O escenario era un exame de matemáticas de 2º de bacharelato. Tratábase de que o alumnado demostrase que dominaba as técnicas do cálculo de primitivas que se pide nese curso. Unha das preguntas era a seguinte: $$\int { { cos }^{ 2 } } x\quad dx$$.
Clásica e simple. Moito máis se sabemos que un par de días antes na aula calcularamos esta outra primitiva: $$\int { { sen }^{ 2 } } x\quad dx$$
Polo tanto ben poderiamos dicir que o exercicio era un regalo pero acabou sendo un regalo envelenado. Para a miña sorpresa, varias (e non poucas) respostas desenvolvíanse da seguinte maneira:

 $$\int { { cos }^{ 2 } } x\quad dx\quad =\quad \int { { \left( \sqrt { \frac { 1+cos(2x) }{ 2 } } \right) }^{ 2 } } dx=\int { \frac { 1+cos(2x) }{ 2 } } dx\quad =\quad \\= \int { \frac { 1 }{ 2 } } dx\quad +\quad \int { \frac { cos(2x) }{ 2 } } dx=\frac { x }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \frac { sen(2x) }{ 2 } +C\quad =\frac { x }{ 2 } +\frac { sen(2x) }{ 4 } +C$$

A solución era correcta, pero demasiado rebuscada no sentido de que se fai uso dunha fórmula do coseno do ángulo dobre e, aínda que se traballaran fórmulas deste tipo (o curso pasado!), nunca este alumnado vira na aula a fórmula da que se fai uso no primeiro paso da resolución do exercicio. Estaba claro que fixeran trampa, ... pero como?
Comentando o caso cos compañeiros do departamento foi cando me informaron da existencia do Photomat. Nese mesmo momento fixemos a proba co exercicio en cuestión. A solución que nos dou o Photomat era exactamente a que aparece aquí.
Ademais do disgusto por verme enganado e a consecuente perda de confianza nun grupo de alumnos aos que levaba dando clase dous anos, tiven que cargar co traballo de elaborar e corrixirlles outro exame. Desta vez asegurándome ben de que ninguén facía uso do móbil en ningún momento.

Problemas consecutivos

Velaquí unha lista de problemas que, por algunha razón, cualificamos de consecutivos.

Problema 1. Dada unha plataforma  2ｘ3, vemos que podemos cubrila consecutivamente de esquerda a dereita con fichas de dominó de 3 formas distintas:

Pídese facer o reconto das formas de cubrir con fichas de dominó unha plataforma 2ｘn

Problema 2. De cantas formas podemos escoller un subconxunto entre os n primeiros números {1, 2, 3, 4, ..., n} de forma que non haxa dous consecutivos?

Problema 3. En n tiradas dunha moeda, acha a probabilidade de non obter dúas caras consecutivas. E a de non obter tres caras consecutivas?

Problema 4. Dispoñemos de todas as moedas que queiramos de 1 € e de 2 € . Se tivéramos que pagar 4 € nun caixeiro automático poderiamos facelo de 5 maneiras distintas introducindo as moedas consecutivamente: 1+1+1+1, 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1 ou 2+2+1.
De cantas fomas podemos realizar un pago de n €? E se non importa a orde en que introducimos as moedas?

Problema 5. Dado o rectángulo ABCD, determinamos sobre dous lados consecutivos dous puntos P e Q respectivamente, tales que os triángulos T₁, T₂ e T₃ teñan a mesma área. Calcula as proporcións AP/PB e CQ/QB.

Problema 6. Dado un rectángulo de lados x e y, engadímoslle consecutivamente a un dos lados un cadrado formando así outro rectángulo maior. Acha a relación entre os lados x e y sabendo que as diagonais dos rectángulos son perpendiculares.

Post Scriptum. Problema 7. Dado un triángulo equilátero de lado unha unidade, se escollemos un punto dun dos lados trazando paralelas a estes determínanse tres triángulos equiláteros. Tamén se forman os trapecios marcados na imaxe. Trátase de determinar o valor de x para que eses trapecios sexan semellantes.

Post Scriptum. Problema 8. Determina a razón a/b para que a área da elipse e da coroa circular coincidan. 

Post Scriptum. Problema 9. Dado un triángulo ABC inscrito nunha circunferencia consideremos os puntos medios D e E , do lado AB e do lado AC respectivamente. Prolongamos DF ata que interseca na circunferencia en F. Pídese a razón DF/DE

Post Scriptum. Problema 10. Pídese a razón entre as áreas dos triángulos sombreados

Post Scriptum. Problema 11. En tres circunferencias iguais inscribimos un pentágono, un hexágono e un decágono. Os lados destes polígonos forman un triángulo rectángulo. Determina a razón entre os catetos. 

Notación: o punto de vista do profesor

Un libro excepcional

Hai un cualificativo que nos acae moi ben aos profesores de matemáticas: é o de "repugnante". Pero temos razóns para selo.
Non poucas veces observamos na libreta ou nun exame dun alumno que aquilo ao que chama "a" no enunciado denótao despois como "A". Nese caso levámonos as mans á cabeza.
Tampouco é infrecuente que ese "a" (ou "A") cambie máis ou menos aleatoriamente durante a resolución do exercicio. Entón é cando baixamos todos os santos do ceo. E, insisto, temos razón.
Nesta entrada vou ir contra todas as normas e demostrarei que: $$s\cdot r=s\cdot R$$
onde, obviamente, "r" e "R" farán referencia a cantidades distintas.
Para poder avanzar, primeiro cómpre dar marcha atrás. Comenzaremos cun resultado xeométrico moi coñecido

Teorema. Dado un triángulo (acutángulo) ABC, sexa s o semiperímetro e r o raio da circunferencia inscrita. Entón a área do triángulo será: [ABC]=s・r

Demostración:
Sexa I o incentro, $$\left[ ABC \right] =\left[ AIC \right] +\left[ BIC \right] +\left[ CIA \right] =\frac { 1 }{ 2 } rc+\frac { 1 }{ 2 } ra+\frac { 1 }{ 2 } rb=sr$$
QED.







Denotemos por "R" o raio da circunferencia circunscrita. Acabaremos vendo que esta área é o produto dun semiperímetro por R. Pero primeiro pegaremos un rodeo que nos levará pola resolución do problema de Fagnano.

O problema de Fagnano. Nun triángulo acutángulo ABC determina o triángulo inscrito D₀E₀F₀ de perímetro mínimo.

H. A. Schwartz (1843-1921)ofrecera unha solución fantástica deste problema mediante unha repetida reflexión do triángulo ABC. O que vou presentar de seguido é unha alternativa ofrecida por Féjer (1880-959) , un alumno de H. A. Schwartz , e que recollo dun libro excepcional, Números y figuras (Alianza, 1970), de Otto Toeplitz e Hans Rademacher.

Sexa AD₁ simétrico de AD respecto AB
Sexa AD₂ simétrico de AD respecto AC
ED₂ simétrico de ED respecto de AC, polo que ED₂=ED
FD₁ simétrico de FD respecto de AB, polo que FD₁=FD
Entón o perímetro do triángulo DEF coincide coa lonxitude da liña D₁FED₂
Con D fixo, o menor perímetro dos triángulos inscritos será o de DE₀F₀
Vexamos agora onde colocar D para que D₁D₂ sexa o menor posible
AD₂ e AD₁ son os simétricos de AD. Polo tanto AD₁D₂ é isóscele
Agora ben, o ángulo D₁AD₂ non depende da escolla de D₁: é sempre o mesmo.
$$DAB\quad e\quad { D }_{ 1 }AB\quad son\quad congruentes\quad \Longrightarrow \widehat { DAB } =\widehat { { D }_{ 1 }AB } $$
$$DAC\quad e\quad { D }_{ 2 }AC\quad son\quad congruentes\quad \Longrightarrow \widehat { DAC } =\widehat { { D }_{ 2 }AC } $$
Polo tanto $$\widehat { { D }_{ 1 }A{ D }_{ 2 } } =2\cdot \widehat { BAC } $$
O triángulo AD₁D₂ terá a menor área cando AD₁=AD₂=AD sexa o máis pequeno posible. Como a menor distancia dun punto a unha recta é a perpendicular, AD será menor cando sexa a altura sobre o lado BC.
Polo tanto a solución é única: D₀E₀F₀. Ademais, análogamente o feito con D, poderíamos repetilo para F ou para E.. De aí que F é E sexan os pés das outras dúas alturas. Así DE₀F₀ é o triángulo órtico, e tamén é a solución ao problema de Fagnano (de aí que escriba D=D₀ )Pero aquí non acaba o conto.


Como BF₀C e BE₀C son triángulos rectángulos, F₀E₀BC é un cuadrilátero cíclico. De aí: $$\widehat { B } +\widehat { { F }_{ 0 }{ E }_{ 0 }C } =180º\Longrightarrow \widehat { A{ E }_{ 0 }{ F }_{ 0 } } =B=\widehat { X{ E }_{ 0 }C } $$
E tamén (por reflexión e por seren opostos polo vértice):
$$\widehat { B } =\widehat { { D }_{ 0 }{ E }_{ 0 }C } =\widehat { A{ E }_{ 0 }G } $$
O dito para o ángulo B pódese reproducir para A e C.

Ademais a lonxitude D₁D₂ é o perímetro do triángulo órtico e por reflexión o ángulo A do triángulo orixinal pasa a ser 2A:

$${ s }_{ 0 }=\bar { A{ D }_{ 1 } } \cdot senA=\bar { A{ D }_{ 0 } } \cdot senA$$
$$2R=\frac { a }{ senA } $$
$$R\cdot { s }_{ 0 }=\frac { a }{ 2senA } \bar { A{ D }_{ 0 } } senA=\frac { 1 }{ 2 } \bar { A{ D }_{ 0 } } a=\left[ ABC \right] =r\cdot s$$

Está claro que se non distinguira entre s (semiperímetro do triángulo ABC) e s₀ (semiperímetro do triángulo órtico) estaría escribindo un disparate (r・s=R・s). Velaí a  importancia destas subtís distincións pois, é tan inconveniente denotar a mesma cousa mediante símbolos distintos (como "a" e "A") como usar o mesmo símbolo para representar elementos distintos. Esta batalla, quizais condenada ao fracaso, líbrase acotío nas nosas aulas, e é fundamental na formación da rapazada no seu proceso de inculturación matemática.

Nesta entrada, xunto coa anterior, quixen poñer de manifesto o que teñen o profesor e o alumno na cabeza cando insiste tanto na necesidade da reflexión e a coherencia na notación. Se, por unha banda, nunca convén aniquilar as expectativas do alumno, pola outra é ineludible levar polo rego da boa escritura matemática aos discentes, poñendo en evidencia os problemas dunha mala notación. Como en todo, no ámbito do ensino, manter ese equilibrio non é nada fácil.

Notación. O punto de vista do alumno

Poñámonos en situación. Un rapaz coitadiño acaba de entrar no ba charelato (pre-LOMCE, pre-LOE, pre-LOGSE). É de familia traballadora, das aforas da vila. Nese instituto masificado todo lle é grande. Acaba de rematar a EXB, Ten que enfrontarse a un dos primeiros exames desta nova etapa.
O exame tiña tempo limitado, duraba só os 10 primeiros minutos da clase e só tiña dúas preguntas; cada unha de 5 puntos. A primeira: "representa o sistema de coordenadas tridimensional".
Eu que era aquel rapaz, no canto de facer un esquema como o da figura 1, debín facer algo como o da figura 2. Non foi porque non soubera como se denominaban normalmente os eixos de coordenadas (que o sabía),  senón porque me parecía irrelevante, aburrido, manter sempre a mesma orientación.
A nota da pregunta, un 0, a do exame: xa se pode ventar. As consecuencias tamén poden enxergarse. Aquel rapaz recibiu unha primeira lección que lle indicaba que as matemáticas non eran para el. Máis aínda, parecía que o bacharelato tampouco estaba ao seu alcance. Facer memoria de todo isto pode agora incluso provocarme un sorriso, máis daquela o panorama que se me debuxaba era máis ben pouco desexable.

P.S.: non tardarei en publicar outra entrada relacionada con esta que conte o punto de vista do profesor.

Lecturas astronómicas en galego

No Departamento de Matemáticas do IES Antón Losada proxectaramos o curso pasado impartir durante este a materia de Astronomía como optativa do centro para 1º de bacharelato (1 hora lectiva semanal). Incomprensiblemente non nos deron o permiso desde a inspección.
Con todo, nesa materia estaba previsto recomendar a lectura dalgúns libros para achegarse a distintos aspectos da astronomía. Propúxoselle a parte do alumnado que lesen e traballasen con estes libros como actividade extraescolar, do estilo dos clubs de lectura. Alén da extensa anotación de Damián Campos, quizais os traballos que ofrecen os resumos máis sintéticos e visuais son os realizados por outra alumna de 2º de bacharelato, Laura Rey Vigo. Aquí os comparto, ao tempo que presento os libros en cuestión.
Esta entrada ten un punto triste: aquí van tres libros de divulgación científica en galego, será prácticamente imposible dar con outro que non se mencione aquí. Estamos ante o panorama dunha cultura arrasada.

O primeiro, o que é para min o mellor libro de divulgación científica escrito en galego, e un dos mellores que lin nunca. Trátase de E fixemos a luz! (USC 2015), de Salvador Bará. Forma parte da colección Biblioteca de divulgación. Serie científica, con poucos, pero gorentosos exemplares.

O segundo libro ten unha excelente edición, ¿A que altura está o ceo? (Alvarellos, 2016). Debido á proxección mediática do seu autor, Jorge Mira, é quizais o máis popular dos tres. Relata os fitos máis importantes na medición do universo. Laura escolle nesta presentación algúns dos que máis lle chamaron a atención.

Por último, un clásico, o Sidereus Nuncius, de Galileo Galilei. Premendo na ligazón pódese acceder á publicación en galego realizada polo MUNCYT no ano 2011. Esta obra foi a que impulsou o debate sobre o heliocentrismo. Cando se publica, no 1610, xa pasaran máis de 60 anos da edición do De Revolutionibus de Copérnico, pero non foi ata a aparición do texto galileano que comenzou o verdadeiro tirapuxa entre o xeocentrismo e o heliocentrismo. Dunha banda: o poder da Igrexa, da outra, o talento e os argumentos de Galileo. O Sidereus Nuncius é un texto curto, de doada comprensión, o cal é moi de agradecer nun escrito de índole científica. Lévanos á cerna do debate científico que acabaría na cualificación de herética á proposta copernicana e á conseguinte prohibición dos libros que a defendesen. É fundamental para comprender a dicotomía ciencia-relixión e para adentrarse no estudo da historia da ciencia.

Conway en Vila de Cruces

É enorme a cantidade de vídeos de matemáticas subidos á canle de You Tube Tales no Camballón Films, do IES Marco do Camballón (Vila de Cruces). Había tempo que tiña ganas de falar dela e este vídeo que comparto aquí ofreceume a escusa perfecta. Aproveito para felicitar con verdadeira ansia aos autores da canle polo seu fantástico traballo e voume a atrever a engadir unha recomendación e unha petición. A recomendación é a de que fagan uso dunha lingua de calidade, como por exemplo o uso da denominación xe no canto da incorrección *equis. A petición é a de que continúen o seu labor.
Para quen non saiba do tema que se trata no vídeo quizais lle conveña, antes de darlle ao play, ler antes esta entrada.

Un libriño de Miguel de Guzmán

O problema dos soldados no deserto coñecíao dun libriño de Miguel de Guzmán, Cuentos con cuentas (Labor bolsillo Juvenil, 1984). Custárame 520 pesetas. Con bastante optimismo, penso eu, o texto estaba recomendado "a partir de 12 anos". Tempo despois foi reeditado en Nivola.
Neste texto  preséntase a cuestión como a do xogo da "ra saltadora". Unha excelente explicación do xogo tamén a temos nun artigo de Adrián Paenza.
Partimos dun taboleiro cuadriculado todo o grande que queiramos, cunha liña horizontal destacada ou fronteira que divide a rexión superior da rexión inferior. En cada cela da rexión inferior podemos colocar unha ficha. Os movementos permitidos recordan ao xogo das damas cando se come: saltamos por enriba dunha ficha e movémonos ata a seguinte cela baleira. Só podemos movernos en horizontal ou vertical.

movementos

O reto consiste en colocar todas as fichas que queiramos por debaixo da fronteira co obxectivo de alcanzar a fila máis alta posible por enriba da fronteira realizando os movementos permitidos. Vemos de seguido un exemplo cunha disposición inicial de 4 fichas, coa cal o resultado final dos movementos pode ser a cela marcada cunha ficha clara.

Con 4 fichas podemos
alcanzar a segunda fila

Cantas fichas necesitamos (e como debemos colocalas) para alcanzar a fila 1 da rexión superior?
E para a fila 2? e para a 3? e para a 4? e para a n-ésima?
Un bo exercicio consiste en desentrañar estas cuestións. Para obter a resposta a algunha delas podes premer aquí abaixo, aínda que, como é habitual nestes casos, antes recoméndase reflexionar un pouco.