Unha querencia particular e unha querencia compartida

Unha querencia particular

O meu profesor de matemáticas
 de 1º de BUP

Supoño que todo aquel que profundice un pouco no mundo das matemáticas terá querencia por algunhas demostracións, razoamentos ou resultados en especial. Moitos deles forman parte dunha cultura común compartida e outros quizais veñan dalgunha manía persoal. De entre estes últimos eu teño unha extravagante predilección polo anódino teorema do resto. Hai  razóns para que fixera esta escolla. Eu xa coñecía o resultado das clases da EXB, pero 45 anos depois aínda lembro perfectamente ese momento de arroubo cando nunha aula de 1º de BUP o profesor debuxou con xiz sobre o encerado negro a súa demostración. Non o podía crer, tan claro, tan simple, o razoamento de apenas tres ou catro liñas, funcionaba; podía aplicarse a calquera polinomio e a calquera valor numérico!. Naquel momento sentín con intensidade a necesidade de saber moito máis de matemáticas. 

Despois eu mesmo expliquei moitas veces o teorema do resto e moitas veces comprobei que boa parte do alumnado non era quen de entendelo, moito menos de apecialo. Tampouco nunca detectei a ningún alumno emocionado ante a demostración deste (ou doutro) teorema. Tamén é certo que o meu profesor de matemáticas de 1º de BUP non se había de decatar doutra cousa que non fose o meu coñecemento ou descoñecemento do teorema. 

Como nunca apareceu neste blogue, aproveito a ocasión para insertalo por aquí.

Teorema do resto. O resto de dividir un polinomio $P(x)$ entre $x-a$ é igual ao valor numérico de $P(x)$ para $x=a$.

Para demostralo fagamos a división de $P(x)$ entre $x-a$, obteremos un cociente $C(x)$ e un resto $R(x)$. Ademais, polo significado da división, verificaranse as seguintes condicións:

1. $P\left ( x \right )=C\left ( x \right )\left ( x-a \right )+R\left ( x \right )$
2. O grao de $R \left( x \right )$ é menor que o grao de $\left( x-a \right )$

Como  o grao de $\left( x-a \right )$ é $1$, o grao de $R\left ( x \right )$ ten que ser $0$. Isto significa que o resto ten que ser un número, de aí que poidamos escribir $R \left( x \right )=R$. Facendo este cambio na igualdade da primeira condición obtemos:

$$P\left ( x \right )=C\left ( x \right )\left ( x-a \right )+R$$

Calculando agora o valor numérico de $P(x)$ para $x=a$ temos:

$$P\left ( a \right )=C\left ( a \right )\left ( a-a \right )+R=C\left ( x \right )\cdot 0+R=R\quad\quad\square$$

Simple, claro, abranguente, isto é, fermoso.

Unha querencia compartida

Aquel mesmo ano que eu cursaba 1º de BUP emitiuse a serie televisiva de divulgación científica Cosmos, presentada por Carl Sagan. Canda esa emisión tamén se publicou o libro do mesmo título. Tanto a serie como o libro tiñan como obxectivo explicar os principais coñecementos astronómicos e abordaban este cometido usando moitas referencias da historia desta ciencia. Alén doutras consideracións, a min chamárame a atención un anexo final de dúas páxinas, cadansúa adicada a desenvolver matemáticamente un aspecto que se comentaba nalgún dos capítulos do libro. Nunha explicábase por que só podían existir 5 poliedros regulares e na outra demostrábase a irracionalidade da √2. 

Na páxina dedicada aos poliedros partíase dunha fórmula que daquela era completamente misteriosa para min, a fórmula de Descartes-Euler, que relaciona o nº de caras (C), o nº de vértices (V) e o de arestas (A), dun poliedro (homeomorfo a unha esfera, tal e como diría hoxe):

$$C+V-A=2$$

No libro indicábase que había unha bonita demostración no libro de Courant e Robins, Que é a matemática?, (páx. 248), mais daquela non tiña posibilidade algunha de consultar ese libro, nin imaxinaba que algún día chegaría a lelo. Aproveito a ocasión para recomendar outras dúas lecturas relacionadas coa fórmula de Descartes-Euler. A primeira é Probas e refutacións (Alianza Editorial) de Imre Lakatos; escrito en forma de diálogo, critica a visión formalista das matemáticas e ofrece como alternativa unha matemática construída heuristicamente. A segunda é A pérola de Euler (Gradiva) de David Richeson, que fai un percorrido histórico da fórmula. 

Por fin voume centrar na querencia compartida pola comunidade matemática que quería comentar. A xa referida demostración da irracionalidade de √2 . Lembro perfectamente que a lera con moito interese, pero non fora quen de entendela. Despois expliqueina na aula en moitas ocasións e decateime de que as primeiras veces, en cursos da ESO, foi un óso demasiado duro de roer. A demostración faise por redución ao absurdo. Consiste en supoñer que o contrario do que queremos demostrar é certo. Finalmente, e mediante razoamentos coidadosamente correctos, chegaremos a unha contradición. Concluiremos que a contradición procede da suposición falsa que fixemos, ergo, o seu contrario é verdadeiro. 

Metámonos en fariña: supoñamos que √2 é racional. Iso significa que pode escribirse como un cociente de números enteiros. Aínda máis, podemos escribilo como unha fracción irreducible, isto é, sen factores comúns a numerador e denominador. Sexa $\frac{m}{n}$ esa fracción irreducible. Elevémola ao cadrado:

$$\left (\frac{m}{n}  \right )^{2}=\left (  \sqrt{2}\right )^{2}=2$$

De aí que $m^{2}=2n^{2}$, polo tanto $m^{2}$ é par e entón $m$ tamén o ten que ser. Por iso poderemos escribir que $m=2m_{1}$. Elevemos ao cadrado esta última expresión (e recordemos que $2n^{2}=m^{2}$).

$$2n^{2}=m^{2}=\left (2m_{1}  \right )^{2}=4m_{1}^{2}$$

Comparando o primeiro e último membro destas igualdades obteremos $n^{2}=2m_{1}^{2}$, é dicir, $n$ tamén é par. Dicimos "tamén" porque xa viramos que $m$ era par. Velaquí a contradición, pois partíramos de que a fracción $\frac{m}{n}$ era irreducible, polo tanto $m$ e $n$ non poden ser ambos pares.

Unha das dificultades da comprensión deste razoamento reside en que hai que ter asumido previamente que estamos traballando nunha estrutura lóxica, que debe estar exenta de contradicións. Por iso, antes de explicar o anterior nunha aula sempre tomaba un tempo en relatar a famosa anéctota atribuída a Bertrand Russell cando nunha conferencia sobre sistemas dedutivos, na que tratara precisamente o asunto de que a introdución dunha falsidade nun deses sistemas daba lugar a poder demostrar calquera cousa. Un asistente retouno a demostrar que el era o Papa partindo de que $2+2=5$. Russell non se achantou e respondeu algo así:

- Se $2+2=5$, como $2+2=4$, deduciremos que $4=5$. Restando $3$ de ambos membros desta igualdade teremos que $1=2$. Como eu e mais o Papa somos dous, eu son o Papa. 

Se o alumnado ao que se lle relata a demostración da irracionalidade de √2, ten un profesor de filosofía que adica o tempo sufiente en traballar a lóxica, teremos os vimbios necesarios para poder presentala. En caso contrario o camiño vólvese costa arriba. 

Outra dificultade reside en non decatarse de que podemos esixir que a fracción $\frac{m}{n}$ sexa irreducible. O diálogo da aula podería ser o seguinte:

-(alumno) E que pasa se a fracción $\frac{m}{n}$ non é irreducible? 

- (profesor) Se temos unha fracción como $\frac{14}{10}$?

- (alumno) Si

- (profesor) Se temos unha fracción como $\frac{14}{10}$ poderemos reducila: $\frac{14}{10}=\frac{7}{5}$, entón eu escollo precisamente esta última. A esta é á que lle chamo $\frac{m}{n}$

- (alumno) Pero como sei eu que $\frac{m}{n}$ é $\frac{7}{5}$? E se segue sendo $\frac{14}{10}$? 

 Aquí o profesor sabe que posiblemente o alumno non o vai entender por máis que o intente. E aínda podemos engadir outra dificultade. O habitual é que a estas alturas o alumnado non estea habituado a razoamentos abstractos como estes que presentamos aquí. Pode sentirse incómodo ou inseguro ao enfrontarse a demostracións desta fasquía. Claro que se nunca ou en moi poucas ocasións se expón a elas, non chegará a encontrarse cómodo neste ámbito. 

Téñense feito estudos sobre o uso das demostracións no ensino non universitario. Velaquí o caso de M.  Arce et al ou da tese de C . dos Santos, que traballaron con profesorado de Ourense, Chaves e Valladolid. Se están no certo, hai unha tendencia a que o profesorado máis novo sexa tamén o que máis prescinde do uso das demostracións na aula. Teñamos presente que neses estudos fálase de "demostración" nun sendido moi laxo; unha "demostración" non é necesariamente unha dedución formal, pode ser, por exemplo, unha comprobación nalgúns casos particulares ou usando programas de xeometría dinámica. A cifra de docentes que declaran facer poucas demostracións na súa práctica docente supera o 50%. Isto é preocupante porque entendo que a alternativa é ofrecer unha matemática algorítmica, unha restra de procedementos mecánicos. Quizais aí haxa aulas, pero non de matemáticas.

Entendo que a comunidade social do profesorado de matemáticas distínguese por ter unha querencia común polas demostracións e os razoamentos matemáticos. Ese profesorado é o único axente que ten capacidade para transmitir eses saberes. Non podemos negarlle ese tesouro aos nosos alumnos. Non podemos traizoar así á sociedade que nos acolle.