Matemáticas: habelas hainas. 2021

 O pasado 24 de novembro do 2021 celebrouse unha nova xornada de Matemáticas: habelas, hainas. 

As presentacións dos intervientes correron a cargo da decana Mª Elena Vázquez Cendón. O primeiro turno foi para o profesor Xosé Masa que glosou a figura de Enrique Vidal Abascal. A razón foi que se estaba a presentar a publicación da USC do discurso inaugural do curos 1973-74 realizado por quen foi o primeiro decano da facultade titulado Influcencia dalgúns matemáticos e universitarios no renacemento cultural de Galicia. Mágoa que esta intervención case sexa inaudible. De seguido o técnico do SNL Manuel Bermúdez Castro destaca a valentía de Vidal Abascal pois lembra que a lectura do discurso fíxose sendo presidente Carrero Blanco e detentando a xefatura do estado Francisco Franco. Juan José Nieto Roig, director do IMAT tamén tivo unha breve intervención

  

M. Pilar Páez Guillán tróuxonos Matemáticas a través do espello Todos os nenos, a primeira vez que se miran nun espello, quedan abraiados. Algúns destes nenos, ao medraren, deciden estudar Matemáticas, e experimentan un proceso similar ao do espello cando lles explican o espazo dual. 

 

Xabier Pérez Couto (@astroxabi), como era de esperar, trouxo un tema astronómico. Baixo o título Catálogos, anuarios e bases de datos astronómicos aborda o tema da orixe e evolución dos diferentes catálogos astronómicos ao longo da historia,  unha das primeiras publicacións científicas da antigüidade. Nesta intervención, nada que envexar da súa canle de vídeos AstroXabi

 

Vide ver a Terra xirar  é o título da presentación de María Ferreiro Subrido. Esa foi o convite que Jean Bernard León Foucault fixo ao pobo francés para presenciar a súa famosa demostración da rotación do noso planeta no ano 1851. Cunha presentación coidadísima fixo unha intervención que é todo un exemplo de divulgación científica e claridade de ideas. 

 

Lorena Saavedra López presentou Sexamos positivas! Comeza preguntándose pola utillidade das matemáticas. Despois pasa ao tema. A positividade é unha característica moi importante dalgunhas funcións usadas en modelizacións sobre situacións da vida real. Nesta charla centrarémonos na importancia de garantir que as solucións de certos problemas sexan positivas. 

 

David Mosquera Lois interveu con Todos os camiños levan á topoloxía Nesta charla, partindo dun problema do deseño de algoritmos chegaremos de forma natural ao ámbito da topoloxía. Curiosa presentación, escrita con bolígrafos e con cartolinas de cores.

Sara Recondo Estévez chegou co relatorio As matemáticas nas bucinas de Nacho Porto. Nun dos TFMs propostos no Mestrado de Matemática Industrial embarcámonos co ceramista galego Nacho Porto na aventura de caracterizar o comportamento acústico das súas  bucinas cerámicas mediante o modelado matemático e a simulación numérica. 

Axudando a Pepa A Loba é o título da intervención de Andrea Vilar Álvarez. Pepa A Loba foi unha bandoleira galega de finais do século XIX, arquetipo do denominado ‘bandoleirismo xeneroso’, que lles roubaba ós caciques para logo repartir o botín entre as clases sociais máis desfavorecidas. Neste 2021, Pepa actualizou o seu modus operandi. Remata a súa intervención cunha fermoso e moi acaído parágrafo de Ángel Carracedo.

 

A revolución do "De Revolutionibus"

De revolutionibus orbium coelestium, ou máis brevemente De revolutionibus, é o volume, en seis libros, escrito por Copérnico (1473-1643) e publicado, coma quen di, póstumamente, no 1643 pois cóntase que cando saiu do prelo o autor xa estaba no seu leito de morte. Deste xeito tan tráxico o astrónomo presentaba públicamente o seu sistema dun mundo heliocéntrico. O escritor Arthur Koestler (1905-1983) cualificaríao no best-seller Os sonámbulos como "o libro que niñguén puido ler". As razóns desta descrición aséntanse na prosa técnica e pouco amable que destila o texto copernicano xa que a partir do segundo libro o texto é unha obra especializada de astronomía matemática que intentaba competir co Almaxesto de Ptolomeo e os seus epígonos. A confrontación entre os dous sistemas fundamentábase nunha serie de mecanismos matemáticos moi técnicos. Con toto, o apelativo de Koestler é moi inxusto xa que o De revolutionibus, desde o momento da súa publicación, sería un punto de referencia ineludible para os astrónomos posteriores. 

A Universidade de Vigo acaba de sacar do prelo O libro que ninguén puido ler, unha publicación cun título digno de Raymond Smullyan, elaborada polos matemáticos Nicanor Alonso e Miguel Mirás xunto co profesor, tradutor e poeta Raul G. Pato. Esta edición, xira arredor da tradución dun manuscrito do Libro I do De revolutionibus. Nese manuscrito non aparecían os tres últimos capítulos dese Libro I, precisamente os de contido matemático. En consecuencia, non se adentra nos esotéricos artefactos mecánico-astronómicos copernicanos senón que trata da exposición e argumentación dunha revolucionaria visión do mundo. Tan revolucionaria que se enfronta aos fundamentos ideolóxicos dominantes. Non se podía remover a crenza da inmobilidade da Terra sen que se visen afectadas as estruturas de poder que controlaban o coñecemento, a visión e a organización do mundo. Isto xa se sente desde un primeiro momento. Nas primeiras edicións do De revolutionibus aparecía un aviso Ao lector sobre as hipóteses desta obra que non foi redactado por Copérnico nin polo seu axudante Rheticus (1514-1574), senón polo substituto deste, o teólogo protestante Andreas Osiander, Sorprendentemente, neste curioso prólogo retíraselle toda a credibilidade ao corpo do libro:

"E non é necesario que estas hipóteses sexan verdadeiras, nin sequera verosímiles, senón que basta con que amosen tan só un cálculo congruente coas observacións"

Porén, unhas poucas páxinas máis adiante, Copérnico (agora si é el quen escribe) é moi claro:

"Se por casualidade aparecen rexoubeiros que, alegando ser capaces de emitir un xuízo sobre calquera cousa relacionada coas matemáticas, aínda sendo ignorantes delas e terxiversando maliciosamente algunha psasaxe da Escritura para o seu propósito, ousen atacar e rexeitar esta miña empresa, eu non fago caso deles ata o punto de desprezar o seu xuízo cualificándoo de temerario"

Velaquí que Copérnico non só tiña un coñecemento  profundo dos ceos, tamén era quen de desentrañar as reviravoltas da sociedade do seu tempo ata o punto que neste parágrafo parece adiviñar cal vai ser o futuro das teses do De Revolutionibus.  Efectivamente, se por unha banda Lutero e Calvino son os primeiros en opoñerse firmemente ao heliocentrismo, a igrexa católica prohíbe defendelo ou sostelo no ano 1616 ao tempo que inclúe a obra copernicana no índice de libros prohibidos. Esta foi a atroz resposta a unha convincente campaña de Galileo na que todos e cada un dos seus descubrimentos co telescopio son punzantes argumentos pro-heliocéntricos. A pesar das prohibicións da Igrexa Galileo non ficaría inmóbil. Nunca deixaría de argumentar contra a física aristotélica, o principal sustento do modelo ptolemaico. 

A  xenialidade de Galileo destaca especialmente no Diálogo, publicado no 1632 despois de entrevistarse co propio papa Urbano VIII e de que se lle impuxeran varias condicións. Obrigóselle a que cambiara o título: xa non sería Do fluxo e refluxo das mareas, senón Diálogo sobre os dous máximos sistemas do mundo. Outra esixencia consistía na inclusión dun aviso ao lector (outro máis!) no que se forzou a Galileo a declarar que adoptaba o copernicanismo como se fose unha hipótese puramente matemática. Tamén se lle impuxo a conclusión final do libro na que debían aparecer as teses de Urbano VIII establecendo que o infinito poder de Deus podía presentarnos os fenómenos de múltiples maneiras. Noutras palabras: a indagación científica é un inútil sinsentido. Ademais o Diálogo foi revisado polo Maestro do Sacro Palacio de Roma, con atribucións plenas para dar permisos de edición. Galileo aceptou todas as condicións, por inxustas que fosen. Con todo, ao pouco da publicación o Diálogo foi secuestrado e Galileo tivo que enfrontarse a un xuízo inquisitorial que o acabaría condenando.

A publicación da Universidade de Vigo ofrécenos como apéndices tanto a sentenza como a abxuración de Galileo Galilei. Son dous documentos de innegable importancia na historia da ciencia e un bo epílogo para O libro que ninguén puido ler. Como prólogo ofrécesnos un estudo sobre Copérnico e a súa obra. En definitiva, temos diante unha publicación que pon o foco nun capítulo central no desenvolvemento do pensamento científico. Tamén, por ser unha das escasas publicacións de temática científica en galego, unha contribución á dignificación da nosa lingua que todos deberiamos agradecer.

Anotacións á "Variábel sombra do sol" de Antón Otero

 O Departamento de Matemáticas do IES Monelos ten nome, chámase Departamento Antón Otero Baamonde "Tonón" en memoria do que fora membro do mesmo. Na propia páxina do Departamento achamos varios apuntes sobre a biografía de Antón Otero. Así sabemos que ademais de moitas aportacións no campo do ensino das matemáticas como os libros para todos os cursos da ESO de Baía Edicións (hoxe prohibidos pola Xunta), estivo implicado na loita antifranquista e guiose sempre por tres directices: "a reivindicación do laicismo escolar[...], a galeguización do ensino e a innovación educativa".Neste último aspecto, na súa biografía ten no seu haber a participación nas folgas e manifestacións polo expediente aberto a Xosefa Baamonde por impartir clase en galego no colexio Dices-Rois.

Para min foi unha sorpresa que me encheu de ledicia a lectura o artigo, publicado en galego, no nº 17 revista SUMA da FESPM, titulado "A variábel sombra do sol", de autoría compartida con David Buján e Ana Otero. Aquí explícase botando man dunha boa colección de debuxos, como é a forma da sombra do sol segundo a latitude do observador ou a data do ano.

Eu non coñecín a Tonón, pero bastaría o pouco dito sobre el ata quí para afirmar que comprían centos coma el no mundo do ensino. Así que, como quixera dalgunha maneira sumarme á homenaxe que lle fan desde o seu departamento, van de seguido estas anotacións ao artigo "A variábel sombra do sol". Non vou engadir nada novo senón só presentar as mesmas ideas cunha nova cara. Trátase de obter explícitamente a ecuación da curva que describe a sombra do sol para poder usala nun programa de xeometría dinámica.

 

Cuestións previas

Coloquemos un pau de unha unidade de altura chantado perpendicular ao chan. O problema consiste en determinar cal será a súa sombra. O norte marcará o eixo das abscisas e o oeste o das ordenadas. 

Nun momento dado o Sol estará no punto X da esfera celeste. Representamos o triángulo parláctico para X. Trátase de obter a ecuación da sombra no plano horizontal en coordenadas (x,y)

Ampliamos o pau en C e a súa sombra. Ao escollermos un pau de lonxitude unitade, a sombra medirá tanz, de aí que as coordenadas do punto que marca a sombra serán 

$$x=tanz\ cos(-a)= tanz \ cosa$$ $$y=tanz\ sen(-a)=-tanz\ sena$$

Noutra entrada anterior xa obtiveramos as fórmulas que nos dan o cambio das coordenadas ecuatoriais (δ, t) ás horizontais (z,a):

$$cosz=sen \varphi  \ sen\delta +cos\varphi \ cos\delta \ cost\quad\quad [1]$$ $$senz\ sena=cos\delta \ sent\quad\quad\quad\quad\quad\quad [2]$$ $$senz\ cosa=-cos\varphi \ sen\delta +sen\varphi \ cos\delta \ cost\quad[3]$$

Dividindo [3] entre [1] obteremos a coordenada x da sombra. 

$$\frac{senz\ cosa}{cosz}=\frac{-cos\varphi\ sen\delta +sen\varphi \ cos\delta \ cost  }{sen\varphi \ sen\delta +cos\varphi \ cos\delta \ cost}$$ $$x=\frac{-cos\varphi \ tan\delta +sen\varphi \ cost}{sen\varphi\  tan\delta+cos\varphi \ cost }$$

Dividindo [2] entre [1] obteremos a coordenada y da sombra:

$$\frac{senz\ sena}{cosz}=\frac{cos\delta \ sent}{sen\varphi \ sen\delta +cos\varphi \ cost}$$ $$-y=\frac{sent}{sen\varphi \ tan\delta +cos\varphi \ cost}$$

Con estes vimbios xa estamos en disposición de obter a ecuación da sombra. Para que os cálculos se fagan menos pesados fagamos os cambios:

senφ=s             cosφ=c           tanδ=d

Agora nas expresións anteriores das coordenadas da sombra x e máis y, poderemos despexar sent e cost:

$$x=\frac{-cd+s\cdot cost}{sd+c\cdot cost}$$ $$xds+sc\cdot cost=-cd+s\cdot cost$$ $$(s-cx)cost=cd+sdx$$ $$cost=\frac{cd+sdx}{s-cx}$$

$$sent=-y\left ( sd+c\cdot cost \right )=-y\left ( sd+c\frac{cd+sdx}{s-cx} \right )=-y\left ( \frac{s^{2}d-scdx+c^{2}d+scdx}{s-cx}\right )=\frac{-yd}{x-cx}$$

Agora, aplicando a fórmula fundamental da trigonometría:

$$sen^{2}t+cos^{2}t=\frac{d^{2}y^{2}}{\left ( s-cx \right )^{2}}+\frac{c^{2}d^{2}+2csd^{2}x+s^{2}d^{2}x^{2}}{\left ( s-cx \right )^{2}}=1$$ $$d^{2}y^2{}+c^{2}d^{2}+2csd^{2}x+s^{2}d^{2}x^{2}=s^{2}-2scx+c^{2}x^{2}$$ $$d^{2}y^{2}=\left ( c^{2}-s^{2}d^{2} \right )x^{2}-\left ( 2sc+2scd^{2} \right )x+s^{2}-c^{2}d^{2}$$

Podemos traducir a nova igualdade e poñer así en evidencia que estamos fronte a unha cónica que vai depender únicamente de dous parámetros: a latitude φ do lugar no que colocamos o gnomon e a declinación δ do Sol. Teñamos presente que esta última ten -23,5º como valor mínimo e +23,5º como valor máximo.

$$tan^{2}\delta \cdot y^{2}=\left ( cos^{2}\varphi-sen^{2}\varphi \cdot tan^{2}\delta  \right )x^{2}-\left ( 2sen\varphi \cdot cos\varphi +2sen\varphi \cdot cos\varphi\cdot  tan^{2}\delta  \right )x+sen^{2}\varphi -cos^{2}\varphi\cdot  tan^{2}\delta $$

Agora só nos queda introducir esta identidade nun progrma de xeometría dinámica como o Geogebra para xogar coas dúas variables que nos dan a ecuación da sombra, a latitude do lugar φ e a declinación solar δ.

As anotacións 

No mencionado artigo de Antón Otero et al comézase destacando que a traxectoria da sombra nos equinoccios é unha recta que distará da liña leste-oeste unha lonxitude que dependerá da latitude do lugar de observación. En todos os casos aparece a lonxitude da sombra no mediodía.

En todos os GIFs aparece indicado o valor da lonxitude da sombra ao mediodía.

Agora ben, como será a traxectoria da sombra no transcurso dun ano nas nosas latitudes. Velaquí a temos, será unha rama de hipérbole que corta á liña leste-oeste durante a primavera e o verán (δ>0): e que fica no semiplano OLN durante o outono e o inverno.

E como será a sombra do gnomon no polo norte? Velaquí:

E no ecuador? Cando a declinación solar é positiva a sombra manterase no semiplano OLS e cando a declinación é negativa ficará no semiplano OLN.

Finalmente, situándonos en latitudes superiores ao círculo polar ártico (φ>66.5) non nos custará vertoda unha variedade de cónicas: desde unha recta, a unha elipse, pasando por hipérboles e unha parábola:

Sistemas de coordenadas astronómicos

NOTA previa: moléstame moito escribir *círculo cando me estou referindo a unha circunferencia. Con todo, vouno facer porque ese parece ser o terríbel costume instaurado na literatura que trata dos elementos xeográficos e astronómicos.

Coordenadas xeográficas

Consideraremos a Terra como unha esfera que xira arredor do eixo imaxinario que pasa polos polos (Polo Norte:P e Polo Sur: P') [nota aparte:encántame escribir unha palabra varias veces seguidas nunha frase con sentido]. O cículo máximo perpendicular a este eixo é o ecuador EE'. Os círculos paralelos ao ecuador chámanse precisamente paralelos. Cada un dos paralelos estará a unha distancia angular CTE denominada latitude, un ángulo φ que se mide entre 0º e 90º no hemisferio norte e no mesmo rango, pero con valores negativos, no hemisferio sur. Hai dous paralelos destacados, que ata reciben nome propio. O de latitude +23º26' é o chamado trópico de Cáncer, e o de latitude -23º26' denomínase trópico de Capricornio.

Máis abaixo falaremos das coordenadas celestes. Nese momento seguiremos a falar do eixo do mundo PP'. Agora P indicaranos o polo norte na esfera celeste. Resulta que nun punto da Terra no paralelo de latitude φ, a altura (ángulo entre o ecuador e o punto) do polo norte será precisamente φ: h_P=φ

Para determinar un punto na esfera cómpre outra coordenada. Se a latitude se determina a partir do círculo máximo do ecuador, a lonxitude determinarase tomando como referencia un dos meridianos ou círculos máximos que pasan polos polos [outra vez]. Tómase como referencia o meridiano que pasa polo Observatorio Real Observatorio de Greenwich (en Londres, Inglaterra). A distancia angular respecto deste meridiano é a lonxitude λ. Toma valores positivos cara o leste do meridiano, ata os 180º, e negativos cara o oeste. Se na figura 1 consideramos o meridiano PGP' como o de Greenwich, a lonxitude do punto T sería o ángulo λ entre este meridiano e o meridiano PTP'.

Por poñer un exemplo, o IES Antón Losada Diéguez (A Estrada) ten como coordenadas xeográficas unha latitude φ=42º 41' 33,5''= 42,69264 e uñha lonxitude λ=-8º 30' 24''=-8,50667

Pasemos agora ao estudo das coordenadas na esfera celeste. 

Sistema de coordenadas horizontais

Para determinar un punto na esfera celeste teremos como referencia o plano do horizonte, o plano NLSO. A recta perpendicular a este plano e na que se encontra o observador denomínase liña vertical. Esta liña cortará en dous puntos á esfera celeste. O punto Z situado enriba do observador C chámase cénit e Z', situado debaixo, recibe o nome de nadir. Os círculos máximos que teñen diámetro ZCZ' denomínanse círculos verticais.

Unha das coordenadas horizontais dun astro X será a altura h: o arco AX do círculo vertical AXZ. Toma valores entre 0º e 90º na parte visible da esfera celeste. Os valores negativos ata -90º correspóndense ás alturas na dirección do nadir. Alternativamente pódese dar a distancia cenital z: o arco ZX (que se mide entre 0º e 180º). Fica claro que se verifica que z+h=90º

Un círculo paralelo ao plano do horizonte denomínase almicantarat. Todos os puntos dun almicantarat teñen a mesma altura.

A outra coordenada horizontal é o acimut a: o ángulo SCA entre o círculo vertical do observador e o do astro X, medido desde o sur en dirección oeste. Pode tomar valores entre 0º e 360º. Algunhas veces podemos ver definido o acimut  partindo do norte, especialmente en xeodesia. Os puntos dun mesmo círculo vertical compartirán o mesmo acimut (土180º).

Polo movemento diario da Terra, unha estrela estará cambiando continuamente de coordenadas horizontais. Isto é unha desventaxa.

Primeiro sistema de coordenadas ecuatoriais

Tal e como anunciamos, denominaremos eixo do mundo PP' ao que une os polos. O círculo máximo perpendicular a PP' será o ecuador celeste QQ'. A declinación (ou latitude celeste) δ dun punto X situado sobre a esfera celeste é o ángulo que forma o raio vector CX co plano ecuatorial QQ'. Toma valores entre 0º e 90º para as estrelas do hemisferio boreal e terá valores negativos para as do hemisferio austral. A veces subsitúese esta coordenada polo arco p=PX, denominado distancia polar. Verifícase que p+δ=90º.

Os círculos máximos de diámetro PP' chámanse círculos horarios. A segunda coordenada obterase ao escoller o círculo horario QPQ'P'. Se medimos desde Q, sobre o ecuador celeste, o ángulo ata o círculo horario do punto X, teremos a coordenada t denominada ángulo horario. Este ángulo mídese desde Q cara o occidente para valores positivos de ata 180º. A dirección contraria resérvase para os valores negativos.

Segundo sistema de coordenadas ecuatoriais

A eclíptica é o plano ε'γεΩ no que se move o Sol. Forma un ángulo de 23º 26' co ecuador celeste e intersécao en dous puntos: o punto vernal ou punto Aries γ  que determina o equinocio de primavera e o punto Libra Ω, que é aquel polo que pasa o Sol no equinocio de outono.

Agora podemos falar dun un segundo sistema de coordenadas ecuatoriais. Tal e como indica o seu nome, tómase como referencia o ecuador celeste. De aí que unha das coordenadas sexa a antes mencionada declinación δ. O outro plano de referencia será a eclíptica, de aí que a outra coordenada deste sistema sexa  a ascensión recta α que será o arco sobre o ecuador celeste desde o punto Aries ata o círculo horario do astro. Toma valores ata os 360º.

O triángulo paraláctico.

Xa sabemos que as coordenadas horizontais están cambiando contiuamente co movemento diurno da Terra.. Pola contra as ecuatoriais permanecen fixas. Tamén é certo que as primeiras son máis intuitivas, de feito historicamente preceden ás segundas. Imos intentar establecer un sistema de cambio entre unhas es outras. Estas trasformacións poden facerse mediante o chamado triángulo paraláctico. Trátase dun triángulo esférico ZPX que ten como vértices o cénit do punto de observación Z, o polo norte celeste P e a estrela ou punto da esfera celeste X.

O lado PZ é o ángulo complementario da latitude do punto de observación: PZ=90-φ

O lado PX é o ángulo completentario da declinación do punto X: PX=90-δ

O lado ZX é o ángulo complementario da altura do punto X: ZX=90-h=z

O ángulo PZX é o ángulo suplementario do acimut de X: PZX=180-a

O ángulo ZPX é o ángulo horario t.

Tomando a distancia cenital z=90-h e aplicando as fórmulas do coseno e dos senos da trigonometría esférica ao triángulo paraláctico teremos:

$$cos\left ( 90-\delta  \right )=cos\left ( 90-\varphi  \right )senzsen\left ( 180-a \right )$$ $$sen\left ( 90-\delta  \right )sent=senzsen\left ( 180-a \right )$$  $$sen\left ( 90-\varphi  \right )cost=sen\left ( 90-\varphi  \right )cosz-cos\left ( 90-\varphi  \right )senzcos\left ( 180-a \right )$$

Polas propiedades básicas das razóns trigonométricas quedarían reducidas ao seguinte grupo de fórmulas que, a partir das coordenadas horizontais (z,a) nos darían as ecuatoriais (δ, t):

$$sen\delta =sen\varphi \ cosz-cos\varphi \ senz\ cosa$$ $$cos\delta \ sent=senz\ sena$$ $$cos\delta \ cost=cos\varphi \ cosz + sen\varphi\  senz\ cosa$$

Aplicando outra vez as fórmulas dos senos e coseno da trigonometría esférica ao triángulo paraláctico:

$$cosz=cos\left ( 90-\varphi  \right )\  cos\left ( 90-\delta  \right ) + sen\left ( 90-\varphi  \right )\ sen\left ( 90-\delta  \right )\ cost$$ $$senz\ sen\left ( 180-a \right )=sen\left ( 90-\delta  \right )\ sent$$ $$senz\ cos\left ( 180-a \right )=sen\left ( 90-\varphi  \right )\cos\left ( 90-\delta  \right )-cos\left ( 90-\varphi  \right )\ sen\left ( 90-\delta  \right )\ cost$$

Simplificando obtemos as fórmulas que nos dan o cambio das coordenadas ecuatoriais (δ, t) ás horizontais (z,a):

$$cosz=sen \varphi  \ sen\delta +cos\varphi \ cos\delta \ cost$$ $$senz\ sena=cos\delta \ sent$$ $$senz\ cosa=-cos\varphi \ sen\delta +sen\varphi \ cos\delta \ cost$$

Algúns resultados de trigonometría esférica

Os teoremas planos

O teorema do seno e o do coseno forman parte do temario de Matemáticas I de 1º de bacharelato. Son fórmulas válidas para calquera triángulo plano. 

O teorema do coseno

É unha xeralización do teorema de Pitágoras:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cosA$$ $$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot cosB$$ $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cosC $$ 

O teorema dos senos

Consiste na seguinte igualdade entre proporcións que, por certo, ten como valor o diámetro da circunferencia circunscrita 

$$\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$$

Hai unhas fórmulas análogas para triángulos esféricos pero que non teñen cabida no currículo de secundaria. Eu mesmo nunca a estudei, nin tan siquera nos anos de universidade. Claro que isto é debido a non ter escollido a optativa de Astronomía. Estrañamente acabaría impartindo eu esta optativa na ESO durante dous cursos. Non foron máis debido a circunstancias bastante miserables que prefiro non comentar. 

Para poder preparar o temario desta materia entendía que debía coñecer os seus fundamentos cunha profundidade bastante maior que a que se debe abordar despois na aula. Un dos textos que máis me axudou foi o Curso de astronomía general de Bakulin, P. I., Kononovich, E. V. e Moroz, V.I, (Editorial MIR- Ribiños-1860, S.A., 1992). Daquela tomara algúns apuntes que transcribo hoxe aquí. 

Teorema do coseno para un triángulo esférico

Consideremos tres planos que pasen polo centro dunha esfera. Así determinaremos tres circunferencias máximas sobre a esfera e formarase un ángulo triedro con vértice no centro O da esfera. Xa que logo obtemos o triángulo esférico ABC onde OA=OB=OC=r, o raio da esfera. Temos ademais as seguintes igualdades:

O lado a =∠BOC, o lado b=∠AOC e o lado c=∠AOB

As rectas AD e AE, tanxentes á esfera, son perpendiculares a OA. Construímos así o triángulo ADE  que ten en A o mesmo ángulo que o ángulo correspondente do triángulo esférico. 

Aplicando o teorema do coseno aos triángulos ADE e OEM e igualando:

$$DE^{2}=AE^{2}+AD^{2}-2AE\cdot ADcos$$ $$DE^{2}=OE^{2}+OD^{2}-2OE\cdot ODcosa$$ $$AE^{2}+AD^{2}-2AE\cdot ADcosA=OE^{2}+OD^{2}-2OE\cdot ODcosa$$

A última igualdade tamén a podemos escribir así: $$2OD\cdot OEcosa=OE^{2}-AE^{2}+OD^{2}-AD^{2}+2AE\cdot ADcosA$$

Como os triángulos OAE e OAD son rectángulos, as dúas diferenzas do segundo membro pódense substituir por OA². Despois dividimos por 2ME・MD: $$2OD\cdot OEcosa=2OA^{2}+2AE\cdot ADcosA$$ $$cosa=\frac{OA}{OE}\frac{OA}{OD}+\frac{AE}{OE}\frac{AD}{OD}cosA$$

Finalmente substituímos polas razóns trigonométricas correspondentes e obtemos a fórmula coñecida como 

Teorema do coseno do triángulo esférico: $$cosa=cosb\cdot cosc+senb\cdot senc\cdot cosA$$

Se agora despexamos cosA temos unha expresión coa que calcular os ángulos a partir dos lados dun triángulo esférico: $$cosA=\frac{cosa-cosb\cdot cosc}{senb\cdot senc}$$

Teorema do seno para un triángulo esférico

Continuemos. Elevando ao cadrado e restando de 1, obtense o sen² A: $$sen^{2}A=1-cos^{A}=1-\frac{\left ( cosa-cosb\cdot cosc \right )^{2}}{sen^{2}b\cdot cos^{2}c}=\frac{sen^{2}b\cdot sen^{2}c-\left (cosa-cosb\cdot cosc  \right )^{2}}{sen^{2}b\cdot sen^{2}c}$$

Dividindo por sen²a e simplificando chegamos a: $$\frac{sen^{2}A}{sen^{2}a}=\frac{1-cos^{2}a-cos^{2}b-cos^{2}c+2cosa\cdot cosb\cdot cosc}{sen^{2}a\cdot sen^{2}b\cdot sen^{2}c}$$

O segundo membro desta fórmula é moi curioso, se permutamos os valores de a, b e c permanece invariante. De aí que ese valor sexa a constante das seguintes razóns: $$\frac{sen^{2}A}{sen^{2}a}=\frac{sen^{2}B}{sen^{2}b}=\frac{sen^{2}C}{sen^{2}c}=cte$$

Inmediatamente temos as seguintes fórmulas que se coñecen como o 

Teorema do seno para o triángulo esférico: $$\frac{senA}{sena}=\frac{senB}{senb}=\frac{senC}{senc}$$ $$\frac{sena}{senb}=\frac{senA}{senB}\quad\quad \frac{senb}{senc}=\frac{senB}{senC}\quad\quad \frac{senc}{sena}=\frac{senC}{senA}$$

Grandes ideas da astronomía

Agora que estamos a prácticamente un ano da celebración das 19 JAEM, véñenme á memoria as IX JAEM, as de Lugo no ano 1999. Foi a raíz destas últimas que acabei creando e impartindo a materia de Astronomía na ESO no CPI Aurelio Marcelino Rei García (Cuntis). Trataba de facer fronte a un problema educativo cando tiña que impartir aulas en 4º da ESO. Unha e outra vez comprobaba o rexeitamento e as dificultades coas que o alumnado presentaba ao enfrontarse ao estudo da trigonometría.

Un mantra que se repite sempre en relación co ensino das matemáticas o que se ensina, ou a forma de ensinar "non ten aplicación práctica". Disto derívase unha consecuencia fatal, a desmotivación e ábrese o camiña cara o fracaso educativo. Curiosamente a trigonometría ten unha aplicación práctica inmediata, a de permitir obter medicións nun principio inaccesibles. O único atranco sería, en todo caso, que para conseguir este premio cómpre traballar durante algún tempo nun campo presuntamente máis árido, o das ideas básicas da trigonometría: medición de ángulos, semellanza, a definición das razóns trigonométricas, as razóns de determinados ángulos, algunhas propiedades das razóns,...

Quizais un bo punto de partida podería ser a astronomía. As raíces da trigonometría están na ciencia dos ceos. As primeiras referencias trigonométricas son as do libro I do "Almaxesto". O "De Revolutionibus" copernicano comenza como un tratado de trigonometría. Ter certa perspectiva histórica sobre a evolución da astronomía e coñecer algunhas das cuestións coas que se enfrontaba podería ser unha boa base sobre a que asentar a necesidade do estudo da trigonometría na secundaria.

De aquí xurdiu a elaboración dunha programación dunha materia optativa para a ESO, Astronomía, que impartín durante dous cursos no CPI de Cuntis. Tempo despois quixen levar esa materia ao IES de Silleda pero a loita pola defensa a toda costa do seu pombal por parte departamento frustrou o intento. No meu actual centro, no IES Antón Losada (A Estrada) volvín a facer o intento hai un par de anos, agora como materia optativa de unha hora en 1º de bacharelato (vs. a de Relixión). Aquí foi a estulticia da inspectora o que o impediu. O argumento para denegar a solicitude era que o Departamento xa tiña 73 horas de docencia e que se debían priorizar os reforzos ou afondamentos.

Toda esta introdución foi quizais para xustificar un tépedo interese pola astronomía de alguén que, podendo cursar esta materia na facultade, non o fixo. O interesante é o que vén de seguido, un documento ao que lle poden dar bo uso aqueles poucos que teñan a posibilidade de impartir astronomía nalgún centro de ensino do país.

A finais de febreiro deste ano a Agrupación Astronómica Io publicaba a primeira tradución mundial da publicación da Unión Astronómica Internacional,  “Big Ideas in Astronomy: A Proposed Definition of Astronomy Literacy” . Trátase dun texto cunha serie ordenada de conceptos chave da astronomía que deberían formar parte da cultura xeral de calquera persoa ben informada nesta materia

A tradución foi obra de Martin Pawley e a deseñadora gráfica Marta Cortacans adaptou o formato orixinal.

 

Grandes ideas da astronomía from Agrupación Astronómica Coruñesa Ío

Lecturas astronómicas en galego

No Departamento de Matemáticas do IES Antón Losada proxectaramos o curso pasado impartir durante este a materia de Astronomía como optativa do centro para 1º de bacharelato (1 hora lectiva semanal). Incomprensiblemente non nos deron o permiso desde a inspección.
Con todo, nesa materia estaba previsto recomendar a lectura dalgúns libros para achegarse a distintos aspectos da astronomía. Propúxoselle a parte do alumnado que lesen e traballasen con estes libros como actividade extraescolar, do estilo dos clubs de lectura. Alén da extensa anotación de Damián Campos, quizais os traballos que ofrecen os resumos máis sintéticos e visuais son os realizados por outra alumna de 2º de bacharelato, Laura Rey Vigo. Aquí os comparto, ao tempo que presento os libros en cuestión.
Esta entrada ten un punto triste: aquí van tres libros de divulgación científica en galego, será prácticamente imposible dar con outro que non se mencione aquí. Estamos ante o panorama dunha cultura arrasada.

O primeiro, o que é para min o mellor libro de divulgación científica escrito en galego, e un dos mellores que lin nunca. Trátase de E fixemos a luz! (USC 2015), de Salvador Bará. Forma parte da colección Biblioteca de divulgación. Serie científica, con poucos, pero gorentosos exemplares.

O segundo libro ten unha excelente edición, ¿A que altura está o ceo? (Alvarellos, 2016). Debido á proxección mediática do seu autor, Jorge Mira, é quizais o máis popular dos tres. Relata os fitos máis importantes na medición do universo. Laura escolle nesta presentación algúns dos que máis lle chamaron a atención.

Por último, un clásico, o Sidereus Nuncius, de Galileo Galilei. Premendo na ligazón pódese acceder á publicación en galego realizada polo MUNCYT no ano 2011. Esta obra foi a que impulsou o debate sobre o heliocentrismo. Cando se publica, no 1610, xa pasaran máis de 60 anos da edición do De Revolutionibus de Copérnico, pero non foi ata a aparición do texto galileano que comenzou o verdadeiro tirapuxa entre o xeocentrismo e o heliocentrismo. Dunha banda: o poder da Igrexa, da outra, o talento e os argumentos de Galileo. O Sidereus Nuncius é un texto curto, de doada comprensión, o cal é moi de agradecer nun escrito de índole científica. Lévanos á cerna do debate científico que acabaría na cualificación de herética á proposta copernicana e á conseguinte prohibición dos libros que a defendesen. É fundamental para comprender a dicotomía ciencia-relixión e para adentrarse no estudo da historia da ciencia.

Programación de Astronomía

En primeiro de bacharelato a LOMCE armou unha trampa coas optativas que consiste en que se un alumno quer cursar determinadas materias optativas, ten que "escoller" á forza Relixión, a única materia optativa que, por defecto, ten unha carga lectiva dunha hora. Só hai un camiño para impedir a imposición da Relixión é ofertar unha materia de libre configuración do centro. Velaquí unha proposta que elaboramos no Departamento de Matemáticas do IES Antón Losada Diéguez (A Estrada) e que solto por aquí por se lle pode ser útil a alguén.

Programación de Astronomía by Cibrán Arxibai Queiruga on Scribd

A perda da escuridade

 

No Sermos 214 inclúese un A Fondo adicado á contaminación luminosa coordinado pola Agrupación Astronómica Ío e na que atopamos aportacións de Juan Antonio Alducin, Salva Bará, Marcos Pérez, Martin Pawley e un impagable artigo de Xabier P. Docampo. A desaparición dos vagalumes. Este especial coincidu coa publicación na canle de Youtube da International Dark-Sky Association da versión galega do documental de 6 minutos A perda da escuridade. A trdución foi realizada por Salva Bará (USC) e Martin Pawley e contaron coa voz da locutora Belén Regueira. Deste xeito o galego súmase ás outras 17 linguas nas que se divulga este vídeo. Hai un ano que o parlamento aprobara unánimemente unha declaración institucional en defensa do ceo nocturno, declaración que nunca foi máis alá. Debería ser a base para o establecemento dun protocolo de actuación de redución da emisión de fontes de luz artificial innecesarias que establecese as pautas polas que se deberían guiar as administracións neste ámbito. Algunhas recomendacións témolas na seguinte presentación.

Introdución á contaminación luminosa from Agrupación Astronómica Coruñesa Ío

Pódese consultar tamén o blogue da asociación Calidade do ceo

A escala: o sistema solar

Cando vin o chío de Martin Pawley non puiden deixar de reproducir aquí esta curta que, ademais vén con subtítulos en galego. Supoño que o responsable é o autor da entrada no blogue Acto de primavera. Unha marabilla elaborada por Wylie Overstreet e Alex Gorosh.
Isto tráeme á memoria unha actividade que realizáramos no CPI Aurelio Marcelino Rey García... hai xa 13 anos. Fixéramolo nas aulas da materia optativa de astronomía. Consistía precisamente en facer o mesmo que neste vídeo: realizar unha maqueta a escala do sistema solar respectando tanto os tamaños dos planetas (na medida do posible), como as distancias entre os mesmos. Claro que os planetas eran puntos (case) invisibles nos metros e metros de papel de embalar que utilizamos para facer o traballo. Mágoa que non teña fotos xa que daquela as cámaras dixitais non estaban tan popularizadas coma hoxe en día. Se non me equivoco a escala que utilizáramos era $$1:{ 10 }^{ 12 }$$ xa que tivéramos o coidado de pintarmos un sol de aproximadamente 1 mm de diámetro. O traballo completábase cunha comparación a unha escala bastante maior, entre unha restra de mapas do mundo colocados en liña, e a Vía Láctea. Estou tentado de repetilo este curso co alumnado dese invento LOMCE: as matemáticas aplicadas.

"O soño" de Kepler

Se dispoñer na nosa lingua do libro O soño, de Johannes Kepler, é todo un luxo, esta xoia vén acompañada dunha impagable introdución do seu tradutor, Alfonso Blanco, na que se nos achega un perfil biográfico de Kepler e polo tanto tamén unha contextualización histórica ademais dunha introdución aos avatares sufridos por esta obra en particular. Por iso eu recomendaría  antes de nada ler primeiro as claves que nos debulla Alfonso Blanco. De certo que despois non hai quen pase sen ler O soño. Unha primeira lectura  pódese facer sen atender ás anotacións. Pois cómpre saber que a maior parte do texto está nas máis de 200 anotacións, introducidas por Kepler entre 10 e 20 anos despois de ter escrito o libro. Ademais hai unha boa colección de notas desta edición tanto ao corpo principal do texto como ás anotacións de Kepler. Da lectura de O soño obtemos un certificado de cal era o signo dos tempos. É do máis interesante comprobar por un mesmo como estamos diante dunha obra escrita nunha época cargada de supersticións pero que a un tempo é na que se está a incubar a revolución científica que daría un xiro copernicano á historia do pensamento da humanidade. Poño como exemplo un par de notas, case consecutivas, que contan moito da mentalidade da época, substanciada na curiosa personalidade de Kepler. Nunha, a número 55, Kepler comenta en broma, mais con toda naturalidade, como os malos espíritos son considerados poderosos nas tebras. Por esta razón, cando se producen eclipses de Lúa eses espíritos desprázanse polo cono de sombra da Terra e invaden a Lúa. Velaquí a parte máxica do pensamento que Kepler utiliza para viaxar ao satélite. Pola contra na nota 57 o astrónomo calcula a velocidade á que deben viaxar eses espíritos para chegar a tempo á Lúa, isto é, antes de que remate a eclipse: 90.390 km/h. Éste é o exemplo da outra cara da moeda; nun mundo que cría que a uns metros, baixo os seus pés, os demos do inferno e o purgatorio realmente estaban a aplicar  tormentos aos pecadores, comezaba a abrollar o espírito do tratamento científico da realidade. Un texto copernicano O obxectivo co que fora elaborado nun principio O soño aparece explicado nunha carta que Kepler lle envía a Galileo para comentarlle os revolucionarios descubrimentos feitos co telescopio polo astrónomo italiano no 1610: "fundei unha astronomía nova como se fose para aqueles que habitan a Lúa". Kepler era un gran astrónomo, un perfecto coñecedor das disposicións dos planetas e as estrelas. O ano anterior publicara unha das grandes obras da ciencia de todas as épocas, Astronomía Nova, na que despois dun pulso de varios anos cos datos de Marte herdados de Tycho Brahe, da súa imaxinativa mente xurdiron as leis que serían a rocha sobre a que se había de fundar a nova física. Polo tanto non podemos pensar en ninguén mellor para explicar como un astrónomo selenita vería os seus ceos. Non era da mesma opinión o emperador Rodolfo II, que non lle permitiu a publicación. O problema estaba en que a astronomía lunar kepleriana era profundamente copernicana. Tomar o punto de vista dun habitante de Lúa era un movemento estratéxico moi intelixente. Este selenita pensaría que vive nun mundo inmóbil e desde a súa posición no satélite ofreceríase unha astronomía moi distinta á nosa. O cambio de punto de vista evidencia a febleza do xeocentrismo. Para completar a xogada efectúa tamén un cambio de nomes. A Lúa recibe o nome de Levania e a Terra o de Volva. Así podemos distinguir dúas rexións ben diferenciadas na xeografía da Lúa: a cara que mira permanentemente á Terra, Subvolva, e a cara oculta, ou Privolva. Kepler debulla as características máis importantes da astronomía lunar. Os días na Lúa duran un mes terrestre, divididos en aproximadamente 15 días de sol e outros tantos de noite. Tamén fala de como na Lúa as eclipses solares e de Volva se suceden coa mesma cadencia que para nós as de Lúa e Sol respectivamente. Desde Subvolva obsérvanse as fases de Volva, e o que resulta un unha toma de postura plenamente copernicana, tamén se pode comprobar a rotación diaria do noso planeta. Este cambio de denominacións, lonxe de ser inocente é un dardo mortal na cerna do xeocentrismo. O libro, así concibido, era un excelente texto de divulgación científica. Precisamente o que pretendía divulgar era o que facía complicada a súa publicación. Lutero e Calvino xa levantaran as palabras da Biblia como garante da inmobilidade da Terra. A pesar de todo, Kepler non se rende. Convencido que a irracionalidade das críticas contra o De revolutinibus se debía á ignorancia en astronomía intenta unha nova estratexia. Engádelle unha historia para envolver esa xeografía lunar nunha narración imaxinaria recollendo a tradición das narracións de viaxes. O protagonista ten un soño que consiste na lectura dun libro. Ese libro relata a historia de Duracontus, un mozo islandés, quen finalmente grazas a unha invocación da nai comeza a escoitar na voz dun xenio a descrición da xeografía lunar kepleriana. Se ben con esta transformación o cambio de perspectiva proposto por Kepler pode perder forza ao estar adubado de xogos narrativos nos que incorpora a maxia, o estilo descritivo da parte científica é tan claro, tan distinto á primeira parte do Soño, que cómpre pouca perspicacia para que o libro siga mantendo a súa  carga de propaganda e defensa copernicana. Finalmente esta conversión do libro nunha historia fantástica tería indesexadas e terribles consecuencias tanto para a obra o como para a propio futuro de Kepler. Katharina, a nai de Kepler foi acusada de bruxaría e unha copia do Soño sería usada como material contra ela no xuízo. A lectura do manuscrito facía moi doada a identificación da nai de Kepler coa menciñeira nai do protagonista do Soño. O libro convertérase nun magnífico apoio para acusación de bruxaría de Katharina. Johannes asumiu directamente a defensa da súa nai . Isto foi unha preocupación continua e unha ruína económica durante os anos que durou o proceso. Moito se ten escrito e debatido sobre o proceso a Galileo e a prohibición da publicación do seu Diálogo. Estamos ante un caso das mesmas características, coa diferenza de que a represión protestante non estaba tan organizada como a Igrexa católica. Porén a súa ideoloxía e defensa fundamentalista estaba ben establecida na estrutura social da época.  Neste caso volvemos a ver un enfrontamento no que o poder actúa contra a nacente revolución científica que estaba a socavar os piares do coñecemento férreamente controlado pola oficialidade. Non hai ningunha dúbida de que O soño era un ensaio para a difusión do copernicanismo. Non concordo para nada coa adscrición, mil veces repetida, desta obra como  precursora da ciencia-ficción. Aínda que isto signifique ir en contra da clasificación dada por dous grandes xenios da divulgación científica como Carl Sagan e Isaac Asimov, se O soño pode ser considerada pioneira dun estilo, éste sería precisamente o da divulgación científica.

Lux Aeterna

LUX AETERNA from Cristóbal Vila on Vimeo.
Nova animación de Cristóbal Vila con referencias astronómicas e xeométricas. Comenza a animación coa galaxia espiral Messier 74 e a rexión LH 95, un lugar de formación estelar na Gran Nube de Magallaes. Continúa con espectaculares imaxes do Sol e da Terra.
O vídeo tamén contén referencias a Ibn Sahl, un matemático e físico persa que descubridor da chamada Lei de Snell. As notas manuscritas que aparecen xunto a unhas tazas de café fan referencia a traballos de Albert Einstein que chega a este traballo sobre a luz por medio das lentes gravitacionais. O alter ego de Einstein, Isaac Newton tamén aparece referido por medio da portada do seu libro Opticks e unha outra animación sobre un prisma. En fin, otro novo vídeo de Cristóbal Vila cargado de referencias ao coñecemento científico. Un gusto para os sentidos e a intelixencia.
Para saber máis sobre o vídeo, consultar este web do autor: Etérea

Máis alá do infinito

Podemos comprobar neste exemplo que se pode escribir un disparate científico coma este, que non pasa nada. Resulta que a Voyager 1 se está aproximando ao infinito, un lugar que segunda a mesma noticia debe andar polos 18.000 millóns de km de distancia. Concretamente 18.236.222.780 km no momento en que eu o mirei, ou se o preferimos, 121,90161996 Unidades Astronómicas (Que é unha unidade astronómica?, simplemente a distancia media entre a Terra e o Sol, aproximadamente 149.597.870 km.).  Podemos consultar esas distancias nesta páxina da NASA.
Supoño que o intre no que no Voyager 1 alcance o infito será un fito histórico a destacar para a humanidade. Despois diso a tecnoloxía non terá máis cara onde avanzar. Estaremos atentos.

Curiosity chega a Marte

Retransmisión da 'amartizaxe' da Curiosity  na linguaxe típica dos eventos deportivos. Moito máis emocionante ca éstes últimos.

Mars Science Laboratory

Hoxe lánzase o Mars Science Laboratory