Outra vez a ecuación cúbica

Cada vez que me vén á cabeza a figura de Gerolamo Cardano (1501-1576) sáeme un sorriso ao lembrarme da súa autobiografía, Mi vida (Alianza Editorial, 1991). Recoméndollo a todo o mundo pois léndoo un decátase do extravagante que foi o personaxe. 

O ano 1565 é unha desas datas clave na historia das matemáticas por ser cando Cardano publica o Ars Magna, o libro onde dá conta da resolución da ecuación cúbica e da cuártica así como do periplo para chegar a este achádego. Que Cardano nos ofrecera esas solucións non significa que as portas quedasen pechadas neste ámbito. Noutra entrada (Bombelli, máis que complexos) xa comentaramos unha idea alternativa de Bombelli para tratar o problema da cúbica. Sobre esta mesma cuestión imos comentar outra achega, neste cado de Frans van Schooten (1615-1660).

Recorte do libro de van Schooten

van Schooten foi un matemático holandés que traduciu ao latín a Xeometría de Descartes. Con este texto como piar, montou todo un equipo de investigación co que desenvolveu e difundiu a nova xeometría analítica. O seu alumno máis aventaxado sería Christiaan Huygens (1629-1695). 

No ano 1646 van Schooten publica De organica conicarum sectionum in plano descriptione, tractatus. Xa enxergamos polo seu título que se trata dun tratado sobre cónicas pero o que nos interesa a nós é que contén un apéndice sobre a resolución das ecuacións de terceiro grao. Souben disto a partir dunha revista de nome evocador, Chalkdust Magazine, nun artigo asinado por Elinor Flavel, que vou debullar de seguido. Daquela, podes ir ao artigo e pasar de ler as seguintes liñas. Con todo non vou fusilar directamente o artigo senón que o procurarei contar á miña maneira.

É ben sabido que cando se afronta a resolución dunha cúbica: $$Az^{3}+Bz^{2}+Cz+D=0$$ convén realizar o seguinte cambio $$z=x-\frac{B}{3A}$$

pois así chegamos a unha cúbica reducida, isto é, unha ecuación cúbica sen termos cuadráticos: $x^3+px+q=0$

Nos tempos de van Schooten aínda non se asumiran os números negativos como algo natural polo que a anterior expresión remitía a varios casos segundo o signo dos valores dos coeficientes da ecuación. Consideraremos o caso no que ambos son negativos, o que daquela se escribiría, con $p$ e $q$ sempre positivos, cos correspondentes monomios pasados ao segundo membro: $$x^3=px+q$$

Co fin de facer un tratamento xeométrico da ecuación imos pegar un chimpo. Soltado o aviso, solto tamén o exabrupto: sexan $a$ e $b$ tales que $p=3a^{2}$ e $q=a^{2}b$. Con $a<2b$ (xa veremos o que significa esta desigualdade). A ecuación queda da forma $$x^{3}=3a^{2}x+a^{2}b$$Tracemos unha circunferencia de raio $a$. Sexa $FK$ un diámetro. Como $b<2a$, tomando $F$ como centro, se trazamos outra circunferencia de raio $b$, esta vai cortar á anterior nun punto $G$. Daquela $FG=b$

Trisecamos o ángulo $KFG$ cos segmentos  $FL=x$ ($x$?, por que lle chamamos $x$?) e $FI=c$ . Prolongamos estes segmentos ata $S$ e $T$ de forma que$LS=x$ e $IT=c$. Con esta construción obtemos tres triángulos isósceles semellantes: $FHL$, $FLS$ e $FIT$. A semellanza dá lugar ás seguintes igualdades: $$\frac{a}{x}=\frac{x}{c+2a}=\frac{c}{x+b}$$ Por unha banda temos:

$$ac+2a^{2}=x^{2}\Longrightarrow ac=x^{2}-2a^{2}\Longrightarrow c=\frac{x^{2}}{a}-2a$$

Por outra: $$\left( x+b \right)a=xc$$

Intentemos eliminar $c$ da expresión: $$\left( x+b \right)a=x\left( \frac{x^{2}}{a} -2a\right)=\frac{x^{3}}{a}-2ax=\frac{x^{3}-2a^{2}x}{a} $$

$$(x+b)a^{2} =x^{3}-2a^{2}x$$

$$ a^{2}x+a^{2}b=x^{3}-2a^{2}x$$

$$x^{3}=3a^{2}x+a^{2}b$$

Pero se esta é a ecuación coa que comezamos! Velaí que, efectivamente, $x=FL$ é a solución.

Quédanos por comentar o significado alxébrico da expresión $b<2a$ pois o xeométrico xa o sabemos: é o que nos permite trazar todo o debuxo anterior. Multipliquemos por $a^{2}$:

$$a^{2}b\lt 2a^{3}\Longrightarrow \frac{a^{2}b}{2}\lt a^{3}$$

Elevando ao cadrado: 

$$\left( \frac{a^{2}b}{2} \right)^{2}\lt a^{6}=\left( a^{2} \right)^{3}=\left( \frac{3a^{2}}{3} \right)^{3}$$

Escribimos agora o primeiro e o último termo en función de $p=3a^{2}$ e $q=a^{2}b$:

$$\left( \frac{p}{2} \right)^{2}\lt \left( \frac{q}{3} \right)^{3}\Longrightarrow \left( \frac{q}{3} \right)^{3}-\left( \frac{p}{2} \right)^{2}\gt 0$$

Isto é o discriminante da fórmula de Cardano!; ten que ser positivo para que poidamos obter unha solución (non complexa). Para comprobarmos esta afirmación en todo o seu esplendor lembraremos a fórmula de Cardano para as ecuacións da forma $x^{3}=px+q$

$$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^{2}-\left( \frac{p}{2} \right)^{3}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^{2}-\left( \frac{p}{2} \right)^{3}}}$$

Todo funcionaría marabillosamente se non fose por un pequeno detalle. Lembremos que un dos primeiros pasos consistía en trisecar o ángulo $KFG$. Iso mesmo, a trisección dun ángulo, un deses problemas clásicos que son clásicos porque non hai que lle meta o dente.

Bombelli, máis que complexos

Rafael Bombelli (1526-1572) foi no seu tempo un coñecido enxeñeiro hidráulico. Hoxe en día faise referencia a el cando falamos dos números complexos porque foi o primeiro en en atreverse con ese refugado obxecto matemático. Curiosamente os primeiros pasos con este tipo de números non se deron onde parecería máis natural, co tratamento das ecuacións de segundo grao, senón que apareceron no contexto das de grao 3.
Efectivamente, Girolamo Cardano xa chamara a atención sobre a cuestión cando considerou o seguinte problema no capítulo XXXVII do Ars Magna:

 divide 10 en dúas partes tales que o produto de ambas sexa 30 ou 40, é claro que este caso é imposible

A ecuación cuadrática ligada a este problema (no caso de tomarmos 40 como o valor do produto), x²+40 = 10x e Cardano obtén como solucións $${ x }_{ 1 }=5+\sqrt { -15 } \quad \quad \quad \quad { x }_{ 2 }=5-\sqrt { -15 } \quad \quad \quad $$
Cualificando o resultado tan sutil como inútil, Cardano non pasou de aí. En todo caso, podía aparcar a cuestión argumentando que este tipo de problemas cuadráticos son absurdos. Pero non tardaría en bater con outra dificultade que non se podía desprezar con tanta alegría. Ao abordar a resolución da ecuación cúbica volverían a aparecerlle raíces cadradas de números negativos. No capítulo do Ars magna adicado ao caso de cubo igual a cousa máis número trata coa seguinte ecuación:
$${ x }^{ 3 }=15x+4\quad \quad \quad \quad [1]$$
Aplicando o seu método de resolución obteríase como resultado
$$x=\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  } $$
Como isto non entra dentro dos parámetros das matemáticas daquel tempo, considérase que a fórmula non era válida para este tipo de ecuacións, que se cualifican de irreducibles. Outra vez Cardano aparca o problema. Non pasaría de aí.
Quen se atrevería a cruzar esta liña había de ser Bombelli. Foi na súa obra matemática, Algebra, da que no XVI se publicaran tres tomos. Dos outros dous volumes non se tiña noticia ata que Ettore Bertolotti descubriu os manuscritos no 1923. É moi significativo o que se conta no MacTutor History of Mathematics da universidade esocesa de St Andrews sobre esta obra,  que nesta antes de mergullarse no uso de raíces cadradas de número negativos explicítanse as regras do produto dos signos que tan difíciles son de explicar ao alumnado de 1º da ESO:

+ ⋅ + = +             – ⋅  + = –            8⋅ 8 = 64                   (−4)⋅5 = –20
– ⋅ – = +             + ⋅ – =  +           (–5)⋅(–6 )= 30            5⋅ (−4) = −20

Claro que se abrísemos a  Álgebra de Bomelli polo folio 70 do Libro I, o aspecto destas regras sería moi diferente ao que acabamos de escribir aquí. Por poñer un exemplo, a última das igualdades enunciábase deste outro xeito:

Máis 5 veces menos 4 fai menos 20

Folio 70 da Álgebra (páx. 127 deste PDF)

Do anterior podemos sacar un par de leccións. A primeira,  que sen vimbios non se pode facer un cesto. Con estes saberes na faltriqueira estamos en mellores condicións de enfrentármonos ás raíces cadradas de negativos. Con todo, isto non significa Bombelli que tome en consideración as solucións negativas das ecuacións nin que admita coeficientes negativos. No estudo da resolución de ecuacións polinomiais seguirá distinguindo toda unha serie de casos co fin de que todos os coeficientes sexan sempre positivos. Os avances na selva das matemáticas, como vemos, foron construíndose aos poucos e con moito esforzo. A segunda das leccións é que unha boa notación facilita a comprensión das ideas matemáticas. Neste aspecto Bombelli tamén sería un innovador.

Álxebra con aritmética

Álgebra, tomo II, páxina 190 [347 do PDF]

Xa vimos a orixinalidade e Bombelli no relativo a explicitar as propiedades do produto de números negativos. Pasemos agora á parte puramente alxébrica.
No folio 190 do segundo tomo da Álgebra ocúpase do Capitolo di cubo eguale a tanti e numero. Para intentar captar mellor o sabor do momento ímola escribir coa notación orixinal.
$$\overset { 3 }{ \smile  } \quad Eguale \quad à \quad 6\quad \overset { 1 }{ \smile  } \quad p.40$$ $${ x }^{ 3 }\quad =\quad 6x\quad +40\quad \quad \quad [2]$$
Aínda que a notación de Bombelli non tivo éxito,  non podemos deixar de recoñecer a habilidade para trazar os camiños do futuro. A vía do establecemento dunha notación concentrada para expresar ideas matemáticas estaba comenzando a desenvolverse e el foi un dos precursores.  Pensemos que Cardano non usaba ningún tipo de símbolos.
Nunha entrada anterior xa comentaramos como Cardano resolve a cúbica sen termo en x²
 $${ x }^{ 3 }+px+q=0\quad \quad \quad \quad [3]$$
Mediante a fórmula
$$x=\sqrt [ 3 ]{ \frac {- q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } +\sqrt [ 3 ]{ \frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } $$
No caso da nosa ecuación [2] temos que tomar p=-6 e q=-40 polo que obtemos a seguinte solución :
$$R.c.\left\lfloor 20.p.R.Q.392 \right\rfloor .p.R.c.\left\lfloor 20.m.R.q.392 \right\rfloor $$ $$\sqrt [ 3 ]{ 20+\sqrt { 392 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 20-\sqrt { 392 }  }$$
Outra vez a notación de Bombelli é tan moderna que se nos fai transparente e non precisa explicación. Agora fai uso da seguinte suposición:
$$\sqrt [ 3 ]{ 20+\sqrt { 392 }  }=a+\sqrt { b}\\ \sqrt [ 3 ]{ 20-\sqrt { 392 }  }=a-\sqrt { b}$$
Como sabía que a solución da ecuación era x=4:
$$ x=\left( a+\sqrt { b }  \right) +\left( a-\sqrt { b }  \right) =2a=4$$
Entón a=2. Xa pode buscar sen ningunha dificultade o valor de b desenvolvendo o cubo do binomio:
$${ { \left( 2+\sqrt { b } \right) } }^{ 3 }=20+\sqrt { 392 } $$
É inmediato obter o valor  b=2 . De aí que:
$$R.c.\left\lfloor 20.p.R.Q.392 \right\rfloor .p.R.c.\left\lfloor 20.m.R.q.392 \right\rfloor \\ eguàle\quad 2.p.R.q.2 \quad\quad 2.m.R.q.2\quad eguàle\quad 4$$ $$\sqrt [ 3 ]{ 20+\sqrt { 392 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 20-\sqrt { 392 }  }= \left( 2+\sqrt { 2 }  \right) +\left( 2-\sqrt { 2 }  \right) = 4$$
Unha pequena anotación fóra de liña. Como poderíamos introducir nunha aula de ensino secundario esta ecuación? Desde o punto de vista da súa resolución penso que o mellor contexto sería no momento en que tratemos das funcións. Teriamos que obter o punto de corte de dúas funcións ben coñecidas. Unha pequena contextualización do comentado máis arriba pode dar lugar a comprender o poder desas ferramentas das que dispoñemos hoxe en día. Con elas un alumno da secundaria pode, sen maior dificultade, abordar problemas que estaban nos límites do coñecemento matemático a mediados do XVI.

Álxebra con xeometría
Bombelli segue os pasos de Cardano, usa os seus métodos de resolución ata tal punto que, por exemplo, no capítulo de Cubo e tanti eguale a numero, usa a mesma ecuación que el
$${ x }^{ 3 }+6x=20\quad \quad \quad \quad [4]$$
que xa resolvéramos noutra entrada, cando falamos precisamente de Cardano. Daquela tomando
 p=6 e q=-20 polo que obtivemos a sorprendente igualdade
$$y=\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  }=2 $$
que cos métodos aritméticos de Bombelli deixaría de ser tan sorprendente. Como sabemos que x=2 é solución
$$ x=\left( a+\sqrt { b }  \right) +\left( a-\sqrt { b }  \right) =2a=2$$
entón tomando como valor para a a súa metade (a=1), podemos pasar a calcular b mediante a igualdade:
$${ { \left( 1+\sqrt { b } \right) } }^{ 3 }=10+\sqrt { 108 } $$
Obtemos b=3. Velaí a seguinte conclusión:
$$\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  }=1+\sqrt { 3}\\ \sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  }=1-\sqrt { 3}$$

Para xustificar este resultado Bombelli volve a desenvolver o cubo dun binomio ao estilo da época, isto é, desmontando unha figura cúbica en pezas.

Estilo s.XVI vs. reinterpretación s. XX

Pero outra vez Bombelli fai un novo engadido. Achéganos outra xustificación de carácter "plano" (bidimensional). Con isto deslígase o grao da ecuación da dimensión da xustificación xeométrica. Outro pequeno avance que non culminaría ata que Leibniz, nunha carta a Huygens, no 1673, ofrece a primeira verificación puramente alxébrica da resolución da ecuación cúbica.

Resolución plana dunha ecuación cúbica
Na seguinte aplicación temos un resolutor automático baseado na idea de Bombelli [podes facer scroll coa roda do rato]





Imos intentar explicar algo as ideas que xustifican esta aplicación.
Sexa x=BC=HX
Aplicando o teorema da altura ao triángulo rectángulo BDE, e tendo en conta que tomamos CD=1, obtemos que CE=x²
Construímos un cadrado de lado HI e área 20 (ou q, en xeral). Con BO=HC=6 (ou p, en xeral), aplicando outra vez o teorema da altura ao triángulo rectángulo EIM:

$$20={ HI }^{ 2 }=EH\cdot HX=EH\cdot BC=(EC+CH)\cdot BC=\left( { x }^{ 2 }+6 \right) x={ x }^{ 3 }+6x$$

O golpe final
Volvamos ao comenzo, consideremos outra vez a ecuación
$${ x }^{ 3 }=15x+4\quad \quad \quad \quad [1]$$
Que tiña como solución:
$$x=\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  } $$
Agora as consideracións aritméticas de Bombelli volven a facer avanzar as matemáticas outro paso. Repitamos o procedemento xa comentado anteriormente:
$$\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  }=2+\sqrt { -b}\\ \sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  }=2-\sqrt {- b}$$  $${ { \left( 2+\sqrt { -b } \right) } }^{ 3 }=2+\sqrt { -121 } \\ { { \left( 2-\sqrt { -b } \right) } }^{ 3 }=2+\sqrt { -121 } $$
É case inmediato obter o valor b=1 polo que así, por fin, se xustificaría a solución:
$$x=\sqrt [ 3 ]{ 2+\sqrt { -121 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 2-\sqrt { -121 }  } =\left( 2+\sqrt { -1 }  \right) +\left( 2-\sqrt { -1 }  \right) =4\quad \quad \quad [5]$$
Claro que, esta notación moderna pode deturpar o espírito orixinal da Algebra de Bombelli. Por esta razón escribo con remorsos esta última igualdade. Escribir a  cadrada de -1ou o número imxainario  i levanos a caer nun anacronismo inxustificable xa que leva implícito toda a mochila do rico desenvolvemento do corpo dos números complexos. Bombelli, certamente, non tiña esa mochila.
Así e todo, escribir a raíz cadrada dun número negativo tal e como veño de facer en [5] tampouco lle fai xustiza a Bombelli. Volvendo á súa notación, el escribía así a raíz cadrada de 4: R.c.4. Xa que logo podería ter escrito:
$$2.p.R.c.m.1$$ $$ 2+\sqrt { -1 } $$
Pero non o fixo. Posiblemente foi máis alá ao expresar a anterior expresión como 2.p.d.m. Onde p.d.m tería case o significado do noso número imaxinario i. Non se trata de escribir a raíz cadrada dun negativo, Bombelli, xa a tiña calculada e usaba ese resultado como un número co que operar nas mesmas condicións que calquera outro. Tiña razón Cantor, a esencia das matemáticas son a súa liberdade.

P.S.: como exercicio para o alumnado do ensino secundario, estaría ben estudar as solucións das cúbicas sen termos en x² mediante os puntos de corte entre as gráficas das función y=x³ e a dunha unha recta y=mx+n. Nesta entrada xa hai unha pequena colección de propostas en [1], [2] e [4]

Recursos:
Álgebra, Bombelli
Rafael Bombelli, MacTutor History of Mathematics archive
Una historia de las matemáticas para jóvenes III. La historia de las ecuaciones, Ricardo Moreno Castillo, Editorial Nivola
Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano, Francisco Martín Casalderrey, Editorial Nivola
El universo de las matemáticas, William Dunham, Editorial Pirámide
Bombelli's Algebra (1572) and a new mathematical object , Giorgio T. Bagni

Tapando un burato: a ecuación cúbica

Boa parte do tempo e dos esforzos no ensino secundario están ocupados pola álxebra, quizais nun grao un tanto excesivo. Con todo, os estudos limítanse ás formas lineares e cuadráticas. Quedámonos ás portas do estudo das expresións cúbicas. Se un segue profundizando nestes estudos na universidade volverá sobre a cuestión da resolución de ecuacións, pero pegando un gran salto, xa no ámbito da teoría de Galois, xernerándose así un baleiro que dificilmente pode ter xustificación.  Despois de rematar a carreira eu aínda tardei moitos anos en tapar este burato. Deixo aquí algunhas notas con ese remendo.

E, de súpeto, apareceu Cardano.
A finais do século XV Luca Pacioli (1445-1517), nesa altura un dos matemáticos que con máis coñecementos sobre o tema, estaba tan convencido da imposibilidade da cuadratura do círculo como da resolución da ecuación cúbica. Por iso o Ars Magna, publicado no 1545, debeu causar unha profunda impresión na pequena comunidade matemática da época, xa que despois dunha apaixoante historia e non pouco traballo, ese estraño personaxe que foi Girolamo Cardano (1501-1576), non só ofrece a solución da ecuación cúbica senón que coa inestimable axuda de Ludovico Ferrari (1522-1565) tamén o fai coa de grao 4 [nota aparte: un dos libros máis divertidos que lin nunca foi a autobiografía de Cardano, recoméndoo vivamente]
Naqueles tempos non se tomaban en consideración os números negativos. Tampouco se expresaban as solucións das ecuacións mediante fórmulas. Os manuais explicaban o método de resolución nun caso particular e entendíase que aplicando o mesmo algoritmo tamén se poderían resolver outras ecuacións da mesma forma. Por estas razóns compría facer un estudo de múltiples casos nos que os coeficientes serían todos positivos, polo que nalgúns deses casos algúns coeficientes debían aparecer no segundo membro da ecuación. Así, Cardano distinguirá 13 casos posibles para a ecuación cúbica. Para nós isto resultaríanos demasiado pesado, así que desenvolveremos a solución da ecuación cúbica segundo Cardano pero actualizando as formas e as notacións.
Unha das grandes aportacións de Cardano foi que, dada unha ecuación cúbica xeral: $$a{ x }^{ 3 }+b{ x }^{ 2 }+c{ x }+d=0$$ mediante o cambio $$x=y-\frac { b }{ 3a } $$ podemos eliminar o termo de segundo grao. Por exemplo, se partimos da ecuación $$2{ x }^{ 3 }-30{ x }^{ 2 }+162x-350=0\quad \quad \quad \quad [7]$$
$$x=y-\left( \frac { -30 }{ 6 }  \right) =y+5$$
$$2{ \left( y+5 \right)  }^{ 3 }-30{ \left( y+5 \right)  }^{ 2 }+162\left( y+5 \right) -350=0$$
Botando contas queda:$${ y }^{ 3 }+6y=20\quad \quad \quad \quad [2]$$
Esta última expresión é das que Cardano denominaba "cubo máis cousa igual a número" e que hoxe escribiriamos $${ y }^{ 3 }+py+q=0\quad \quad \quad \quad [z]$$
No noso exemplo p=6 e q=-20
Sen perda ningunha de xeneralidade, basta resolver este tipo de ecuacións para podermos establecer a resolución dunha cúbica calquera. Con este propósito Cardano servíase do desenvolvemento do cubo dun binomio.
Consideremos o seguinte cubo de aresta u+v . O cubo desta suma desenvólvese a seguir

Cubo dun binomio u+v

$${ \left( u+v \right)  }^{ 3 }={ u }^{ 3 }+3{ u }^{ 2 }v+3u{ v }^{ 2 }+{ v }^{ 3 }$$
Pasando todo ao primeiro membro e sacando factor común 3uv no terceiro e cuarto sumandos:
$${ \left( u+v \right)  }^{ 3 }-{ u }^{ 3 }-3{ u }^{ 2 }v-3u{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 3 }=0\\ { \left( u+v \right)  }^{ 3 }-3uv\left( u+v \right) -{ u }^{ 3 }-{ v }^{ 3 }=0$$
Tomando: $$x=u+v\\ -p=3uv\\ -q={ u }^{ 3 }+{ v }^{ 3 }$$
Temos outra vez a expresión [z]: $${ y }^{ 3 }+py+q=0\quad \quad \quad \quad [z]$$
Cun novo cambio de variables: $$\begin{cases} t={ u }^{ 3 } \\ s={ v }^{ 3 } \end{cases}\quad \quad \quad \begin{cases} t+s=-q \\ t\cdot s={ u }^{ 3 }{ v }^{ 3 }={ \left( \frac { -p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } \end{cases}\quad \quad \quad \quad \begin{cases} t=-q-s \\ \left( -q-s \right) s={ \left( \frac { -p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } \end{cases}\quad $$
Resulta que a última ecuación é de segundo grao en s con solución $$s=\frac { -q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } } $$
De aí que $$t=-q-s=\frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } } $$
E así, por fin, obtemos a solución $$y=u+v=\sqrt [ 3 ]{ t } +\sqrt [ 3 ]{ s } =\sqrt [ 3 ]{ \frac {- q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } +\sqrt [ 3 ]{ \frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } $$
No caso da nosa ecuación [2] temos que tomar p=6 e q=-20 polo que obtemos:
$$y=\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  } $$
O realmente curioso é que Cardano enxergou detrás desta expresión o valor y=2 (!) que, efectivamente, será solución da ecuación [2].
Finalmente vemos como unha boa elección da denominación para esta ecuación anticipa a súa solución ;)... e o mesmo pasa coa [7].