Todos os camiños levan a Roma (e 2)

Na entrada anterior propoñíamos un problema sobre grafos. De entre todos os tipos de grafos, podemos concordar en que os máis simples son os denominados grafos camiño ou grafos lineares. O grafo linear de lonxitude $n$ denótase $P_{n}$. Ilustraremos a idea co grafo linear $P_{4}$:

Camiños nun grafo linear. Cantos camiños de lonxitude $k$ hai entre os vértices de $P_{4}$?

Trátase de determinar a matriz dos camiños de lonxitude $k$ de $P_{4}$. Nesa referida entrada xa explicaramos o camiño a seguir para obter a solución. Debemos comezar pola matriz de adxacencia do grafo: $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1& 0& 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 0& 1& 0 \end{pmatrix}$$

A solución virá dada polas potencias da matriz de adxacencia. O elemento $(i,j)$ de $A^{k}$ indícanos o número de camiños de lonxitude $k$ entre os nodos $i$ e $j$. 

$A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0&1 & 0\\ 0& 2 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0& 1 \end{pmatrix}$ ; $A^{3}=\begin{pmatrix} 0 & 2& 0 & 1\\ 2& 0& 3 & 0\\ 0& 3& 0& 2\\ 1 & 0 &2 & 0 \end{pmatrix}$  ;   $A^{4}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3&0 \\ 0& 5& 0&3 \\ 3& 0& 5&0 \\ 0 & 3& 0 & 2 \end{pmatrix}$   ;   $A^{5}=\begin{pmatrix} 0 & 5& 0 &3 \\ 5 & 0 & 8& 0 \\ 0& 8 & 0 & 5 \\ 3& 0& 5 & 0 \end{pmatrix}$

Curiosamente os elementos das matrices son vellos coñecidos. Efectivamente, son números da sucesión de Fibonacci (de aí o título da entrada: "Todos os camiños levan a Roma"; se para os de clásicas o centro do mundo se situa en Roma, os de matematemáticas caemos indefectiblemente na sucesisión argallada por Leonardo de Pisa). Volvamos a lembrar en que consiste a famosa sucesión:

$f_0$	$f_1$	$f_2$	$f_3$	$f_4$	$f_5$	$f_6$	$f_7$	$f_8$	$f_9$	$f_{10}$	$f_{11}$	$f_{12}$	$...$	$f_k$
$0$	$1$	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$	$34$	$55$	$89$	$144$	$...$	$f_{k-1}+f_{k-2}$

Parece bastante evidente que as potencias pares seguen un patrón distinto das potencias impares. Seguindo a Martin Erickson en Beautiful Mathematics (MAA 2011)  conxecturaremos que:

Se $k$ é par: $A^{k}=\begin{pmatrix} f_{k-1} & 0&f_{k} & 0\\ 0& f_{k+1} & 0 & f_{k}\\ f_{k} & 0 & f_{k+1} & 0\\ 0 & f_{k} & 0& f_{k-1} \end{pmatrix}$

Se $k$ é impar: $A^{k}=\begin{pmatrix} 0 & f_{k}& 0 & f_{k-1}\\ f_{k}& 0& f_{k+1} & 0\\ 0& f_{k+1}& 0& f_{k}\\ f_{k-1} & 0 &f_{k} & 0 \end{pmatrix}$

Demostraremos por indución que este resultado é certo. Xa comprobamos máis arriba que o é para os valores de $k=1$, $k=2$, $k=3$, $k=4$ e $k=5$, algúns deles pares, outros impares. Supoñamos as fórmulas certas para un determinado valor $k$ e comprobaremos que serven para $k+1$.

Se $k$ é par: $A^{k+1}=A^{k}A=\begin{pmatrix} f_{k-1} & 0&f_{k} & 0\\ 0& f_{k+1} & 0 & f_{k}\\ f_{k} & 0 & f_{k+1} & 0\\ 0 & f_{k} & 0& f_{k-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1& 0& 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 0& 1& 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & f_{k-1}+f_{k}& 0 & f_{k}\\ f_{k+1}& 0& f_{k+1}+f_{k} & 0\\ 0& f_{k}+f_{k+1}& 0& f_{k+1}\\ f_{k-1} & 0 &f_{k}+f_{k-1} & 0 \end{pmatrix}=$ $=\begin{pmatrix} 0 & f_{k+1}& 0 & f_{k}\\ f_{k+1}& 0& f_{k+2} & 0\\ 0& f_{k+2}& 0& f_{k+1}\\ f_{k} & 0 &f_{k+1} & 0 \end{pmatrix}$

Se $k$ é impar:

$A^{k+1}=A^{k}A=\begin{pmatrix} 0 & f_{k}& 0 & f_{k-1}\\ f_{k}& 0& f_{k+1} & 0\\ 0& f_{k+1}& 0& f_{k}\\ f_{k-1} & 0 &f_{k} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1& 0& 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 &1 \\ 0 & 0& 1& 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_{k} & 0&f_{k}+f_{k-1} & 0\\ 0& f_{k}+f_{k+1} & 0 & f_{k+1}\\ f_{k+1} & 0 & f_{k+1}+f_{k} & 0\\ 0 & f_{k-1}+f_{k} & 0& f_{k} \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} f_{k} & 0&f_{k+1} & 0\\ 0& f_{k+2} & 0 & f_{k+1}\\ f_{k+1} & 0 & f_{k+2} & 0\\ 0 & f_{k+1} & 0& f_{k} \end{pmatrix}$