Craps

Sei que teño moi descoidada a etiqueta de probabilidade do blogue así que con esta entrada vou intentar remediar esta eiva tan siquera nunha mínima parte estudando un xogo con dados que, de seguro verías nalgunha película da factoria de Holywood. Trátase do craps, un xogo de apostas sobre o lanzamento de dous dados.

Cada vez que falamos de xogos, cómpre dar un aviso. Os casinos, as empresas de lotarías, tragaperras e xogos, nunca perden. Quen perde é o incauto que pensa que pode sacar algún beneficio do xogo. Hai un aspecto do xogo que non é nocivo, cando o seu obxectivo é que sexa utilizado como elemento socializador. Se un grupo de amigos se xunta coa desculpa de botar unhas partidas de tute ou dominó, o xogo non ten mal ningún. Se incluso apostan unha rolda de cafés ou de viños, a cuestión segue sen ser patolóxica. Cando alguén compra un boleto da lotería de nadal, aínda sabendo que a ganancia vai ser para os organismos estatais,  podemos falar de que estamos en zona segura. Agora ben, basta con dar un par de pasos máis no mundo do xogo e xa caímos no abismo. 

Neste ámbito tamén se impoñen as regras da globalización. Cando nos referimos a globalización estamos falando da americanización, o que nos leva a unha cultura  do xogo esencialmente patolóxica. Esta visión presenta o xogo como unha oportunidade de enriquecerse súbitamente e ten como consecuencia fatal a ludopatía. Teño por certo que todos os profesores temos visto casos de rapaces que caen nas garras desta droga, sobre todo nos últimos tempos, nos que a deglución do imperialismo se xuntou con políticas de alfrombra vermella para a industria do xogo coa proliferación de máquinas de apostas e tragacartos en calquera local de ocio ou as facilidades de apetura de negocios de apostas.

Feita esta necesaria paréntese, metámonos nas matemáticas.

O xogo do craps xurde na Luisiana do século XIX como modificación dun antigo xogo de dados inglés, o hazarz. Como se pode ver na mesa de xogos dun casino, hai moitos tipos de aposta. Nós ímonos centrar nas dúas máis importantes, que tamén son as máis interesantes deste o punto de vista do cálculo probabilístico. Estámonos a referir ás apostas de "liña de pase" e  "barra de non pase".

Primeiro explicarei en que consiste o xogo na súa versión de rúa. Máis adiante comentarei a adaptación que fan os casinos. O xogo consiste en que unha persoa lanza dous dados. O que nos interesa é a suma dos puntos. Quen aposta pola "liña de pase" gañará se a citada suma é de 7 ou 11. Perderá se sae o que se denomina craps, un total de 2, 3 ou 12. No resto dos casos apúntase o resultado (4, 5, 6, 8, 9 ou 10) e vólvense a lanzar os dados todas as veces que se precise ata que volva a aparecer o número apuntado (e daquela gañaríase) ou apareza un 7 (e daquela perderíase). Cal é a probabilidade de gañar se facemos esta aposta?

Non vou realatar todas as voltas que lle dei ata obter a resposta. Seguín varios camiños sen saída ata ir achegándome a un proceso viable e, por fin, á solución. Cando estaba escribindo esta entrada achei, na sorprendente entrada en eúscaro da wikipedia sobre este xogo, un resultado que usara neste proceso pero que non coñecía e que vai facilitar a presentación da resolución. O resultado é o seguinte:

Proposición. Nun experimento aleatorio consideremos dous sucesos incompatibles A e B. Repetimos o experimento reiteradamente. Sexa Z o suceso consistente en que A suceda antes que B. Daquela $$P\left ( Z \right )=\frac{P(A)}{P\left ( A \right )+P\left (  B\right )}$$

Centrémonos agora na resolución do problema. Para iso fixemos primeiro a denominación dos sucesos:

G="gañar a aposta da liña de pase"

i="obter i puntos" con $i\epsilon \left \{ 2,4,6,7,8,9,10,11,12 \right \}$

Consecuentemente a probabilidade pedida será

$$P\left ( G \right )=P\left ( 7 \right )+P\left ( 11 \right )+P\left ( 4 \right )P\left ( G/4 \right )+P\left ( 5 \right )P\left ( G/5 \right )+P\left ( 6 \right )P\left ( G/6 \right )+$$  $$+P\left ( 8 \right )P\left ( G/8 \right )+P\left ( 9 \right )P\left ( G/9 \right )+P\left ( 10 \right )P\left ( G/10 \right )$$

Axudarémonos dunha táboa na que, colocando os resultados dun dado na primeira fila e os do outro na primeira columna, obteremos todas as posibles sumas de puntos. Isto permítenos calcular a probabilidade de obter calquera suma

$P\left ( 7 \right )=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$, $P\left ( 11 \right )=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

$ P\left ( 4 \right )=\frac{3}{36}=P\left ( 10 \right )$; $P\left ( 5 \right )=\frac{4}{36}=P\left ( 9 \right )$ e $P\left ( 6 \right )=\frac{5}{36}=P\left ( 8 \right )$

Para obter as probabilidades que faltan usaremos a proposición anterior pois está claro que obter un 7 é incompatible con obter calquera outro resultado distinto:

$$P\left ( G/4 \right )=\frac{P(4)}{P(4)+P(7)}=\frac{\frac{3}{36}}{\frac{3}{36}+\frac{6}{36}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=P\left ( G/10 \right )$$

$$P\left ( G/5 \right )=\frac{P(5)}{P(5)+P(7)}=\frac{\frac{4}{36}}{\frac{4}{36}+\frac{6}{36}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=P\left ( G/9 \right )$$

$$P\left ( G/6 \right )=\frac{P(6)}{P(6)+P(7)}=\frac{\frac{5}{36}}{\frac{5}{36}+\frac{6}{36}}=\frac{5}{11}=P\left ( G/8 \right )$$

Substituíndo todos os valores obtemos:

$$P\left ( G\right )=\frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\frac{3}{36}\frac{1}{3}+\frac{4}{36}\frac{2}{5}+\frac{5}{36}\frac{5}{11}+\frac{5}{36}\frac{5}{11}+\frac{4}{36}\frac{2}{5}+\frac{3}{36}\frac{1}{3}=\frac{244}{495}=0'49292...$$

A probabilidade de gañar a aposta de "liña de pase" é algo menor do 50%. Velaí que non nos convén. Aínda que resultemos algo pesados, volveremos a dicir o mesmo desde outra perspectiva. A esperanza das ganancias ao realizar esta aposta virá dado por $$\frac{244}{495}-\frac{251}{495}=\frac{-7}{495}=-0'01414...$$

Isto é, por cada 10€ que apostemos espérase que perdamos uns 14'14 céntimos. Por esta razón, no caso do xogo popular é recomendable apostar ao "non pase" pois ten unha probabilidade un pouco superior a 0'5. Isto non é negocio para os casinos, así que adaptaron o xogo cunha modificación que os beneficiaba e que explicamos a seguir.

A aposta á "barra de non pase" case é o contrario da de "pase de liña", a única excepción é que se sae un 12 no primeiro lanzamento, o apostante de "barra de non pase" nin gana nin perde. Velaí que a probabilidade de ganar nesta aposta vese reducida en $\frac{1}{36}$ ficando finalmente en $$\frac{251}{496}-\frac{1}{36}=\frac{949}{1980}=0'479292...$$

As expectativas da aposta á "barra de non pase" son un pouco mellores: $\frac{949}{1980}-\frac{976}{1980}=\frac{-27}{1980}=\frac{-3}{220}=-0'013636...$

De cada 10 € apostados esperamos perder uns 13'67 céntimos. Como se ve, continuamos perdendo (se apostamos).

O resto das apostas do craps dan lugar a maiores perdas para o xogador. Por exemplo, a aposta a "calquera 7" págase 4:1 se sae un 7 no primeiro lanzamento. A esperanza de obter ganancias será $$4\cdot \frac{6}{36}-\frac{30}{36}=\frac{-6}{36}=-\frac{1}{6}=-0'1666...$$

Por cada 10 € apostados perderíamos 1'67 €. Mal negocio.

A demostración da proposición

Para completar a entrada daremos a demostración da proposición. Co fin de simplificar a escritura chamaremos $P(A)=a$ e $P(B)=b$. Entón teremos que demostrar que se $A$ e $B$ son incompatibles $$P(Z)=\frac{a}{a+b}$$

onde $Z$ identifica o suceso "$A$ sucede antes que $B$" cando realizamos reiteradamente o experimento asociado a este espazo mostral.

Como $A\cap B=\varnothing $ temos que $P\left ( A\cap B \right )=P\left (  \varnothing \right )=0$, de aí que 

$$P\left ( \overline{A} \cap \overline{B}\right )=P\left ( \overline{A\cup B} \right )=1-P\left ( A\cup B \right )=$$ $$=1-\left ( P(A)+P(B)-P(A\cap B) \right )=1-\left ( a+b-0 \right )=1-a-b=r$$

Podería darse o caso de obter $A$ xa a primeira vez que realizamos o experimento; pero de non ser ese o caso (que non suceda $A$), tampouco debería suceder $B$ para garantir que suceda $Z$. Entón estariamos en disposición de repetir o experimento.

Se obtemos $A$ no segundo experimento remataría o proceso. No caso de que non suceda $A$ tampouco podería suceder $B$ nesta segunda volta pola mesma razón que antes. Entón estariamos en disposición de repetir oe experimento unha terceira vez... e así sucesivamente. De aí que 

$$P(Z)=a+ra+r^{2}a+...+r^{n}a+...=a\left ( 1+r+r^{2}+...\right )=a\frac{1}{1-r}=\frac{a}{1-\left ( 1-a-b \right )}=\frac{a}{a+b}$$

E aquí remata o conto.

Continúa a liña de Sid Sackson

Sabendo que un é de natural calado e aburrido, o normal é que este blogue herde dalgunha maneira estas características. Por dar algunha pista, non son quen de manter a atención máis duns poucos segundos nun videoxogo. Para non resultar absolutamente pesado, por veces considero que debo procurar aquel aire de ludismo que non teño aínda completamente morto. De facto, a etiqueta xogo deste blogue non está completamente baleira. Efectiva e sorprendentemente hai certos aspectos lúdicos aos que aínda non son refractario. Por exemplo, encantábanme as entradas do blogue Xogos de lingua, e supoño que, como todos, sempre gocei das matemáticas recreativas de Martin Gardner. 

No seu libro Circo matemático Gardner presenta un xogo de cartas, Patterns, creado por enxeñeiro de Nova York chamado Sidney Sackson. En Comunicación extraterestre y otros pasatiempos matemáticos recolle outro xogo de Sidney Sackson, nesta ocasión un xogo de taboleiro chamado Focus. Sackson volve aparecer nomeado en Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas por ser o autor dun xogo baseado no tangram; en Ruedas, Vida y otras diversiones matemáticas Gardner comenta a suxerencia de Sackson para mellorar o xogo de Halma. 

Resulta que Sid Sackson (1920-2002) foi un afortunado inventor e coleccionista de xogos. Creou máis de 500 xogos e tiña unha colección de máis de 15.000. Moitos deles recolleunos no libro A Gamut of Games , un clásico entre os afeccionados aos xogos.  Unha boa escolla deses xogos encontrámola no artigo do profesor do centro de ensino feminino Smith College,  Jim Henle, que aparece na recompilación anual de artigos sobre matemáticas The Best Writing in Matematics 2020 . De entre todos os xogos dos que se fala nese ensaio o que máis me chamou a atención foi "hold that line". Para practicalo precisamos dunha grella de puntos e dous bolígrafos de distinta cor, un para cada un dos participantes. Consideremos o seguinte taboleiro 4⨯4

Xógase por turnos. Unha xogada consiste en trazar un segmento entre dous puntos calquera. Neste trazo podemos pasar (ou non) por enriba doutros puntos da grella.

O Xogador II debe volver a trazar outro segmento comezando dos dous extremos. O xogo debe continuar así sen cortar a liña e sen volver a pasar por ningún punto usado. O xogador que se ve forzado a trazar a última liña é o perdedor. Velaquí unha partida na que perde o Xogador I (azul):

Quizais o que primeiro nos chama a atención é que se estableza que o perdedor é o que pode debuxar a última liña. Este tipo de regras, de "xogar para perder" dan lugar aos denominados xogos misère. Neste caso a norma está pensada para evitar unha estratexia gañadora moi simple. Efectivamente, se o que trazara o último segmento fose o gañador (non misére) o Xogador I podería gañar comezando cunha diagonal

Despois basta con que trace segmentos simétricos aos do Xogador II respecto desa diagonal.

Está claro que podemos xogar nun taboleiro doutras dimensións, incluso non cadradas. Aquí pode comezar un estudo de posibles estratexias. Non está mal comezar con taboleiros 2⨯2, 2⨯3, 2⨯4,....

Hai outro xogo que se desenvolve no mesmo taboleiro pero que en certos aspectos é dual deste, o Square it!. En cada turno un xogador pinta un dos puntos da grella. Agora o obxectivo é pintar catro puntos formando os vértices dun cadrado. Na seguinte imaxe o Xogador I (azul) é o gañador

Como vemos, o cadrado non ten por que ser horizontal. O xogo pode practicarse nesta aplicación de NRICH. 

O Sqare it! dános pé a distintas análises. Ademais de intentar establecer estratexias gañadoras, a estrutura do taboleiro é especialmente acaída para a práctica do teorema de Pitágoras co cálculo de áreas e perímetros. Tamén se pode intentar o reconto da cantidade de cadrados posibles para un taboleiro determinado. Se os cadrados non horizontais complican demasiado o reconto podemos restrinxir o problema aos horizontais. Outra posibilidade é o reconto de rectángulos. Estas dúas últimas actividades téñoas realizado moitas veces na aula, con resultados moi dispares. 

Seguindo coa mesma forma de base temos outro xogo, o Tac Tix, debido ao dinamarqués Piet Hein (1905-1996), o creador do cubo-soma e do Hex . Por certo, un grupo de profesores da USC crearon unha versión do Hex, o Mathex. Así mesmo o Tac Tix non é outra cousa que unha versión bidimensional dos xogos tipo Nim. A forma máis simple do Nim consiste en ir retirando 1, 2 ou 3 pedras dunha fila na que hai 21. No xogo normal o obxectivo consiste en coller a última pedra, na versión misère hai que forzar ao contrario a que sexa el quen a teña que coller. Establecer unha estratexia gañadora é bastante facil. No Tac Tix, dado un grupo de 4⨯4 obxectos, en cada turno pódense retirar todos os que se queiran dunha fila ou dunha columna.

Na versión normal gaña quen retire a última peza, na misère preténdese que o último obxecto sexa retirado polo contrario. Outra vez non temos por que quedarnos coa versión 4⨯4, de feito o xogo naceu cun taboleiro de fichas de 6⨯6. No caso do xogo non misére, cando o cadrado ten un número par de fichas, xogando simétricamente ao adversario gaña o Xogador II. Se o número de fichas é impar gañará o Xogador I se retira a peza central e despois aplica a estratexia da simetría. De aí que sexa preferible xogar coas regras non misère. En  Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific American Book of Puzzles and Games. Gardner comenta que se conxecturou que o Xogador II tería unha estratexia gañadora no caso par e o Xogador I no caso impar.

Pregúntome polas complicacións que traería un Tac Tix tridimensional, e un n-dimensional?

Post scriptum

Ao darlle algunhas voltas a esta entrada, remexendo nalgo do que xa me esqucín, fun dar con algunhas ideas Ben Orlin, quen tamén tratou o xogo de Sid Sackson no seu blogue Math whit Bad Drawings. El fíxoo cunha pequena diferenza. Segundo a súa versión, ademais dos segmentos verticais e horizontais, só están permitidas as diagonais formando ángulos de 45º. Ben Orlin rebautizou este entretemento co nome de "xogo da serpe"

A cousa non remata aquí pois aínda introduce unha nova variante que donomina "xogo das serpes". Neste caso cada unn dos dous xogadores só pode continuar aumentando a súa propia serpe (ou liña, como queirades chamala). Cando non poida continuar, non hai problema, comeza con outra serpe. O xogo segue  así ata que ningún poida realizar máis trazos. Gañará quen debuxara unha maior cantidade de serpes. No caso de empate decárase gañadar o que utilizara menos puntos. Vexamos un par de exemplos. Nesta primeira partida o Xogador I (azul) gaña porque consegue trazar 3 serpes fronte ás dúas do Xogador II (vermello).

Na segunda partida o vencedor é o Xogador II pois, aínda que empatan no número de serpes, o Xogador I acaba trazando segmentos por 9 puntos mentres que o outro só utiliza 7.

Para comprobalo mellor, velaquí o resultado final destas dúas partidas:

Á esquerda, a primeira partida;
á dereita, en liñas contínuas, a segunda

Ben Orlin aínda nos propón un novo reto, un solitario. Trátase de conseguir o maior número de serpes nun taboleiro de mхn puntos. Por exemplo, nun taboleiro 4x4 non poderemos trazar máis de 4 serpes, tal e como sucede na segunda partida anterior adicionando o segmento descontínuo. A primeira partida non nos serviría como exemplo do solitario porque non poderemos dar comezo a unha nova serpe ata que sexamos incapaces de ampliar a anterior. 

Os autores de Mate-glifos, unha gran vocación de divulgar as matemáticas

Nicanor Alonso e Miguel Mirás son dous profesores de matemáticas da Universidade de Vigo que escribiron un libro de divulgación titulado "Mate-glifos" (Xerais, 2019) do que temos falado neste mesmo blogue. O pasado 14 de marzo visitaron o IES Antón Losada (A Estrada) para ofrecer unha charla ao alumnado de 2º e de 4º da ESO. Ambos demostraron unha gran vocación de divulgación, unha actitude contínua de achegar as matemáticas aos rapaces botando man de múltiples recursos: ábacos, imaxes, xogos con números, un cubo máxico ou un simple folio.

Comezaron preguntando que é un mate-glifo. Esta palabra non existe nos dicionarios, pero si acharemos o termo glifo. Se sabemos o que é un petróglifo, ou un xeroglifo xa podemos enxergar o significado do vocablo mate-glifo. Efectivamente, estámonos referindo aos símbolos matemáticos. Os principais podémolos consultar neste póster que nos ensinaron no transcurso do seu relatorio. Vemos como a carón de cada símbolo temos o seu significado, quen e en que ano o usou por primeira vez. 

Póster Glifoteca by kiarqu2458

Durante as súas intervencións Nicanor e Miguel non só nos falaron dos símbolos matemáticos ou do significado da idea matemática de base dun sistema de numeración, senón que tamén compartiron diversos xogos matemáticos que desenvolvían as ideas matemáticas que estaban tratando.

Como se abordou o tema do uso do corpo humano como soporte para contar, presentouse un método para obter a táboa do 9 a partir dos dedos das mans. 

  

Nestas imaxes podemos ver ao alumnado en plena práctica de repaso da táboa de multiplicar.

Tamén se falu do sistema de numeración en base 2, e en relación con el, mediante o cubo das idades do matemago Werner Miller, os poñentes adiviñaron as datas de nacemento de varios alumnos. O cubo en cuestión é un artefacto moi curioso, con 5 das súas caras formando cadrados máxicos con números do 1 ao 31. Ademais cada un deses 5 cadrados máxicos verifica a propiedade de que todos os números que o forman comparte a propiedade de teren un 1 no mesmo lugar da súa escritura en forma binaria. Lembremos que un cadrado máxico consiste nunha táboa de 3x3, 4x4, 5x5,.... números de forma que a suma de todas as filas, a de todas as columnas e a das dúas diagonais dá sempre o mesmo resultado. Por exemplo, no cadrado máxico 4x4 da imaxe de abaixo, todas estas sumas dan 70. 

O xogo euclidiano

O xogo xeométrico 

Para  este xogo cómpre que teñamos un xeoplano de Gattegno no que delimitaremos un rectángulo. Por poñer un exemplo, consideremos o seguinte de dimensións 14×4

 

Participan dous xogadores. O primeiro pode pintar tantos cadrados da menor das dimensións como queira. No noso caso trátase de marcar cadrados 4×4. O primeiro xogador podería pintar 1, 2 ou 3 cadrados. Na seguinte partida marca os 3 cadrados polo que sobra un rectángulo de 2×4. É a quenda do segundo xogador que agora poderá marcar cadrados 2×2. Como marcou os dous cadrados vermellos gañará, pois o outro non pode continuar a partida.

Velaquí outra partida nun taboleiro 14×9 na que volve a gañar o segundo xogador

Estas imaxes están sacadas de Cut the Knot

O xogo aritmético

Tamén temos a posibilidade de xogar partidas usando unicamente os valores das dimensións do rectángulo. Deste xeito comezamos cun par de números naturais (a,b) En cada paso o xogador pode restar o menor do maior cantas veces queira, sempre que o resultado sexa estritamente positivo. Se supoñemos, por exemplo, que a<b unha xogada consistirá en pasar de (a,b) a (a, b-pa) sendo tamén b-pa un enteiro estritamente positivo. Gañará aquel que consiga que os dous números sexan iguais. Na seguintes series desenvólvense as partidas anteriores e tamén se ofrece un exemplo doutro par de novas partidas. Indícase o comezo da partida en negro, o primeiro xogador fai as xogadas marcadas en azul e o segundo as marcadas en vermello. A última cor é a do gañador.

Partida 1: (14,4) ⟶ (2,4) ⟶ (2,2)

Partida 2: (14,9) ⟶ (5,9) ⟶ (5,4) ⟶ (1,4) ⟶ (1,1)

Partida 3: (300,105) ⟶ (195, 105) ⟶ (90, 105) ⟶ (90, 15) ⟶ (15, 15)

Partida 4: (97, 352) ⟶ (97, 139) ⟶ (97, 42) ⟶ (42, 55) ⟶ (42, 13) ⟶ (16, 13) 

                                ⟶ (3, 13) ⟶ (3, 4) ⟶ (3,1) ⟶ (1,1)

Unha proposta para a aula consistiría en presentar unha boa colección de pares de números e invitar ao alumnado, formando parellas, a escoller un un deses pares establecendo cal dos dous comeza a partida.

Despois de algo de práctica é o momento de preguntar se alguén ve algunha relación entre os números de partida e o número final.

Estou seguro de que calquera que dea lido ata aquí xa se terá decatado de que, aínda que sexa con outra aparencia, o que estamos a facer é aplicar o algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo común divisor de dous números. Velaquí temos unha boa oportunidade de introducir un aspecto completamente esquecido pola LOMCE e os libros de texto.

Unha estratexia xeométrica

Unha profundización que en certa medida escapa das aulas de secundaría consistiría na elaboración dunha estratexia para gañar. Presentaremos dúas. Comprobarase que ningunha delas remite a unha receita simple. Ademais involucran algo, nun principio, inesperado, que o número áureo Φ interveña ineludiblemente nas mesmas. Lembrémoslle algunhas propiedades: $$\Phi =\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } =1+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 1+.... }  } =[1;1,1,1,1,...]\quad \quad \quad \quad \quad \Phi -\frac { 1 }{ \Phi  } =1$$

Consideremos a rede formada polos puntos do plano con dúas coordenadas enteiras estritamente positivas. Cada partida comeza nun punto desa rede. En cada movemento trasladaremos un punto (a,b) desa rede a outro. Ademais en cada quenda haberá que facer un desprazamento ben horizontal cara a esquerda, cando a>b, ben vertical cara abaixo, cando a<b. Gañará aquel que consiga trasladar o punto á diagonal (a=b). Cómpre ter presente que un movemento válido será aquel no que á coordenada maior lle restemos un múltiplo da menor. Na seguinte imaxe aparece representada a segunda partida:

 

Neste contexto gañará aquel que consiga levar o punto á diagonal. Podemos asegurarnos a vitoria? Nese caso, cal debe ser a estratexia? Todo aparece explicado na seguinte imaxe na que nos aparecen dúas rectas de pendentes Φ e 1/Φ. Teñamos en conta que Φ é irracional polo que estas rectas non pasarán por ningún punto da rede de enteiros.

Distinguimos pola cor dúas zonas. Se nos toca mover e estamos nun punto da zona verde, gañaremos. Bastará con que movamos o punto a outro da zona vermella. Pola contra, se cando nos toca a quenda partimos dun punto da zona central, non teremos ningunha oportunidade. Para comprobalo, supoñamos que a partida está nun  punto (a, b) da zona verde cando nos toca xogar e que o noso movemento consiste en trasladar verticalmente o punto (a<b). A cuestión é: será posible que poidamos trasladar ese punto á zona vermella? Basta con que nos decatemos de que a intersección da recta vertical x=a coa zona vermella é un segmento de lonxitude a, polo tanto debe existir polo menos un punto ao cal facer o movemento (a,b) ⟶ (a,b-pa) : $$lonxitude\quad do\quad segmento\quad =\quad \Phi a-\frac { 1 }{ \Phi  } a=\left( \Phi -\frac { 1 }{ \Phi  }  \right) a=1\cdot a=a$$

No caso de termos que facer o movemento en horizontal (a>b), por simetría,  o argumento sería o mesmo. Pola contra, e precisamente pola mesma razón (a lonxitude do segmento vermello ser a), se nos toca xogar a partir dun punto da zona central, calquera movemento nos levará fóra dela, pois debemos trasladar o punto unha lonxitude p・a. 

 

Unha estratexia aritmética

Consideremos a fracción a/b cando a>b (respectivamente b/a cando b<a). Escribamos esa fracción na súa forma continua: [a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n ]. Un movemento consistirá, ben en eliminar o primeiro elemento: [a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n ] ⟶  [a₁, a₂, a₃,..., a_n ], ben en diminuílo: [a₀, a₁, a₂, a₃,..., a_n ] ⟶  [a₀ - k, a₁, a₂, a₃,..., a_n ]. Gañará o que poida reducir esta expresión a [1]

Poñamos por caso que nos presentan o seguinte par: (442, 193) asociarémoslle a fracción $$\frac { 442 }{ 193 } =2+\frac { 1 }{ 3+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 4+\frac { 1 }{ 6 }  }  }  } =[2,3,2,4,6]$$

Neste caso hai unha estratexia ben simple, que consiste en reducir o primeiro elemento a un 1 xa que isto forza a que o contrincante só teña a posibilidade de eliminar ese primeiro elemento.

[2,3,2,4,6] ⟶ [1,3,2,4,6] ⟶ [3,2,4,6] ⟶ [1,2,4,6] ⟶ [2,4,6] ⟶ [1,4,6] ⟶ [4,6] ⟶ [1,6] ⟶ [6]  ⟶ [1]

Poderiamos seguir este procedemento sempre que os elementos da fracción continua fosen todos maiores que 1. Pero que facer de non ser este o caso? Hai que modificar a táctica anterior. Xa enxergamos que o número áureo pode ter, outra vez, o seu papel debido a que a súa expresión en fración contínua é [1, 1, 1, ...]. 

Teremos asegurada a vitoria para o primeiro xogador no caso de que o primeiro valor a_k distinto de 1 teña subíndice par. Sexa  e_k+1 =[a_k+1, a_k+2,..., a_n  ] . Temos dúas posibilidades

• Se  e_k+1 < Φ   faremos a xogada [a_k , a_k+1, a_k+2,..., a_n] ⟶  [a_k+1, a_k+2,..., a_n ]=[1, a_k+2,...a_n]   pois neste suposto  a_k+1=1.
  
• Se e_k+1 > Φ    faremos a xogada [a_k , a_k+1, a_k+2,..., a_n] ⟶  [1, a_k+1, a_k+2,..., a_n]
  

Nas dúas alternativas forzamos a que o contrincante teña só un posible movemento, ten que eliminar o primeiro elemento da fracción continua xa que é un 1.

Os detalles tanto destas estratexias pódense consultar, no volume 41, número 4, da publicación The Fibonacci Quaterly , concretamente no artigo de Tamás Lengyel, "A Nim-Type Game and Continued Fractions" 

Isto son matemáticas (en galego)

Isto son matemáticas
no IES Antón Losada

Tal e como se anunciaba nunha entrada anterior, no IES Antón Losada programouse unha extensa cantidade de actividades reivindicando a ciencia en galego. Unha delas consistiu na presentación por parte de alumnos de 1º de bacharalato, de seis temas de corte matemático a alumnos de 2º da ESO.

Os primeiros en ofrecer o seu relato foron Ibai Fernández e Samuel Martíns, que baixo o título "O número de Deus" explicaron como facer o reconto de posibles configuracións dun Cubo de Rubik, resolveron un en directo e, como non!, falaron do curioso número de Deus. Uxía Rodríguez e Andrea Porto abordaron distintos crebacabezas xeométricos nos que cunhas poucas pezas simples, ao estilo Tangram, podemos formar distintas figuras xeométricas de distintas áreas... a pesar de que usamos as mesmas pezas!

 

Laura Picallos e Carla Villaverde abordaron a cuestión de "Para que serven os polinomios?" Para iso presentaron o seguinte xogo do Proxecto ed@ad   no que se trata de adiviñar unha das 32 figuras por medio de 5 preguntas de resposta si/non. Entón desviaron a cuestión ás notacións decimal e binaria dos números. A representación dos números en calquera base faise mediante unha estrutura polinómica. Precisamente, estudando o sistema binario podemos desvelar o segredo deste xogo. Como en moitas ocasións, a esencia da resposta está no coñecemento dos polinomios.

Facendo uso da técnica anterior, pero implicando agora o control das ordenacións ao barallar as cartas, Julio Tarrío e Andrea Fraiz fixeron un espectacular truco de cartas matemático.

Falando de xogos, coñecedes o xogo do nim? Dada unha disposición en filas de 1-3-5-7 paus, cada xogador (son 2) retira por quendas a cantidade de paus que queira de cada fila. Perde o que se vexa obrigado a retirar o derradeiro pau.
Pablo Pena e Mauro Moimenta non só xogaron e explicaron en que consiste, senón que, facendo uso da descomposición de calquera número como suma de potencias de dous, deron conta dunha estratexia gañadora. Ademais esa estratexia podían aplicala a calquera outra disposición de paus en filas. En particular, serviría para xogar con filas de 1-2-4-7-8 paus en cada unha.


O xogo do calendario
Finalmente Seraina Barros e Iria Ferreiro presentaron outro xogo, o "Xogo do calendario". Tomaron como punto de partida o calendario que fixera o Equipo de Normalización a comenzos de curso. Poderían ter collido outro mes pero escolleron o mes de maio por ser cando se celebra o Día das Letras. Nel recortaron unha matriz de 4x4 números e mediante un proceso consistente en escoller un número e despois tachar o resto dos números da fila e a columna no que está o elixido para pasar despois a escoller outro número non tachado, foron guiando aos alumnos de 2º da ESO para que fixeran o mesmo. A pesar de que tiñan todos táboas diferentes, de que cada un escolleu os números como lle petou, e, en definitiva, de que cada un dos presentes tiña unha colección de 4 números distinta, ao final por esas cousas misteriosas que teñen as matemáticas, a suma deses grupos de 4 números escollidos por todos e cada un dos asistentes coincidía!

 

Cando andaba na procura de temas para que o alumnado preparara para expoñer, atopei varios xogos que tiñan que ver cos calendarios.  Non me acababa de gustar ningún, ata que remexendo neles lembrei un que me encantara e que presentara Coque nun congreso de Agapema, así que, dalgunha maneira en homenaxe a el foi o que lle propuxen aos alumnos para que o levaran a cabo. Paso a explicar os seus fundamentos.
Se recortamos unha matriz 4x4 nun calendario (cando isto é posible), e o primeiro número é a, o resto da matriz distribuirase da seguinte maneira: $$\begin{matrix} a & a+1 & a+2 & a+3 \\ a+7 & a+8 & a+9 & a+10 \\ a+14 & a+15 & a+16 & a+17 \\ a+21 & a+22 & a+23 & a+24 \end{matrix}$$
(Nota: quen queira pode pensar en escoller unha matriz 3x3 e ver o que sucede nese caso). Polo procedemento indicado máis arriba (escoller un número, tachar fila e columna, escoller número non tachado, tachar fila e columna....) determínanse 4 números que sumarán o mesmo que os 4 da diagonal principal: 4・a + 48. Na escolla que fixeron Iria e Seraina: 4・7 + 48 = 76.
Finalmente, elaborar matrices que den lugar a esas cifras non é nada complicado. Basta considerar a seguinte matriz $$\begin{matrix} a & a+k & a+2k & a+3k \\ b & b+k & b+2k & b+3k \\ c & c+k & c+2k & c+3k \\ d & d+2k & d+3k & d+4k \end{matrix}$$ Dándolle valores a catro das variables en xogo, por exemplo ás variables k, a, b e c, podemos deducir o valor de

 d=76 ㄧa ㄧbㄧcㄧ6k.

Conway en Vila de Cruces

É enorme a cantidade de vídeos de matemáticas subidos á canle de You Tube Tales no Camballón Films, do IES Marco do Camballón (Vila de Cruces). Había tempo que tiña ganas de falar dela e este vídeo que comparto aquí ofreceume a escusa perfecta. Aproveito para felicitar con verdadeira ansia aos autores da canle polo seu fantástico traballo e voume a atrever a engadir unha recomendación e unha petición. A recomendación é a de que fagan uso dunha lingua de calidade, como por exemplo o uso da denominación xe no canto da incorrección *equis. A petición é a de que continúen o seu labor.
Para quen non saiba do tema que se trata no vídeo quizais lle conveña, antes de darlle ao play, ler antes esta entrada.

Un libriño de Miguel de Guzmán

O problema dos soldados no deserto coñecíao dun libriño de Miguel de Guzmán, Cuentos con cuentas (Labor bolsillo Juvenil, 1984). Custárame 520 pesetas. Con bastante optimismo, penso eu, o texto estaba recomendado "a partir de 12 anos". Tempo despois foi reeditado en Nivola.
Neste texto  preséntase a cuestión como a do xogo da "ra saltadora". Unha excelente explicación do xogo tamén a temos nun artigo de Adrián Paenza.
Partimos dun taboleiro cuadriculado todo o grande que queiramos, cunha liña horizontal destacada ou fronteira que divide a rexión superior da rexión inferior. En cada cela da rexión inferior podemos colocar unha ficha. Os movementos permitidos recordan ao xogo das damas cando se come: saltamos por enriba dunha ficha e movémonos ata a seguinte cela baleira. Só podemos movernos en horizontal ou vertical.

movementos

O reto consiste en colocar todas as fichas que queiramos por debaixo da fronteira co obxectivo de alcanzar a fila máis alta posible por enriba da fronteira realizando os movementos permitidos. Vemos de seguido un exemplo cunha disposición inicial de 4 fichas, coa cal o resultado final dos movementos pode ser a cela marcada cunha ficha clara.

Con 4 fichas podemos
alcanzar a segunda fila

Cantas fichas necesitamos (e como debemos colocalas) para alcanzar a fila 1 da rexión superior?
E para a fila 2? e para a 3? e para a 4? e para a n-ésima?
Un bo exercicio consiste en desentrañar estas cuestións. Para obter a resposta a algunha delas podes premer aquí abaixo, aínda que, como é habitual nestes casos, antes recoméndase reflexionar un pouco.

Un eodermdrome galego

Foi o artigo do blogue Xogos de lingua, Non apto para sesquipedalofóbicos, o que prendeu a chispa para que elaborase esta entrada. Xogos de lingua, tal como indica o seu nome, é un blogue adicado á ludolingüística. Como tal, ten algunha entrada na que fai referencia ao gran divulgador das matemáticas, Martin Gardner, coñecido por utilizar os xogos como punto de partida de moitos dos seus artigos. Velaquí o punto de encontro entre a lingua e as matemáticas: o xogo. No libro Rosquillas anudadas (Labor, 1987), Martin Gardner fai referencia a un famoso reto de Henry Dudeney, aparecido no libro Amusements in Mathematics: auga, gas e electricidade consistente en unir co lapis as casas A, B e C cos subministros de auga (W), gas (G) e electricidade (E) de forma que as liñas de subministro non se corten. Tal e como o propio Dudeney adianta, é imposible realizar o que se pide no reto:

Figura 1:Amusements in Mathematics

Este problema entra dentro do campo da teoría de grafos. Os matemáticos chámanlle grafo a unha colección de vértices con arestas entre os mesmos. Cada aresta conecta dous vértices. Velaquí un par de exemplos.

Figura 2. Dous grafos simples

Nota: aquí debuxei as arestas mediante segmentos rectos, pero non hai porque facelo así. O importante dunha aresta consiste nos vértices que conecta.

Figura 3:Grafo K₅

Cómpre avisar que os únicos vértices do grafo son os marcados en cor. Neste grafo denominado K₅  hai 5 vértices e 10 arestas.  O grafo completo de grao n, denotado K_n é o un grafo de n vértices na que todo vértice está conectado con todos os demais vértices. Aquí presentamos o grafo completo de 5 vértices. Algunhas das arestas deste grafo crúzanse, o mesmo lle sucede ao grafo que representa o problema de Dudeney (cada unha das arestas superiores representa unha compañía subministradora e as inferiores representan as casas)

Figura 4: grafo K_3,3

Na Figura 1 podemos ver como este grafo podería representarse con só un cruce, pero sería imposible facelo sen cruce ningún, niso consiste a imposibilidade da resolución do problema das tres casas. Os grafos que poden representarse sen cruces, como os da figura 2, chámanse grafos planares. Hai que ter en conta que nun grafo só nos interesa a forma en que están conectados os vértices, non esta ou aqueloutra representación particular. Para un grafo dado, sempre poderemos buscar a representación que teña o menor número posible de cruces. Na seguinte figura vemos como o grafo que está representado (á esquerda) con cruces, pode representarse (á dereita) sen cruces. Trátase, polo tanto, dun grafo planar.

Figura 5: Grafo planar

Hai unha forma de saber se un grafo é planar ou non grazas ao teorema de Kuratowski: se o grafo non contén ningún subgrafo K₅ nin K_3,3 será planar. Grafos de palabras Podemos combinar os grafos coas palabras conectando cada letra con aquelas ás que é adxacente. Se unha letra aparece repetida e consecutiva, non debuxamos aresta ningunha xa que consideramos a letra conectada consigo mesma. Por exemplo, as palabras touporroutou e nacionalismo terían os seguintes grafos asociados:

Figura 6

Figura 7

A pouco que un remexa nos grafos de palabras, decatarase de que prácticamente todos son planares. As palabras que dan lugar a grafos non planares chámanse eodermdromes. Por suposto, propia palabra eodermdrome é un eodermdrome (ver a figura 7). A. Ross Eckler elaborou no ano 1980 un dicionario de eodermdromes para a lingua inglesa. Martin Gardner cualificaba esta publicación como unha aplicación extravagante do estudo do número de cruces dun grafo fronte á indubidablemente interesante aplicación ao deseño de microcircuítos. Temos unha lista de eodermdromes en inglés pero, haberá algún en galego? As candidatas deben ter unha cantidade considerable de letras, canto máis longas, máis arestas terá o seu grafo e máis posibilidades haberá de que teña un cruce inevitable. Por iso, cando na  entrada de Xogos de lingua vin que se referenciaban as palabras máis longas do noso vocabulario, púxenme a comprobar se entre elas había algún eodermdrome.  O grafo correspondente á palabra máis longa, esternocleidomastoideo, é o seguinte:

Figura 8

Como podemos observar, esternocleidomastoideo é planar. Tamén o son preterintencionalidade, contrarrevolucionario, electroencefalografía ou incluso hipopotomonstrosesquipedaliofobia. Pero a outra palabra, extraterritorialidade contén un subrafo K_3,3,, o que establece todas as arestas entre os dous conxuntos de vértices {t,r,d} e {i,a,e}. Por fin, aquí temos un eodermdrome da nosa lingua:

Figura 9

Haberá outros? Existirá algún que conteña un subrafo K₅? As arestas destes grafos representan un par de letras adxacentes. Cales serán as arestas máis frecuentes en galego?, e noutras linguas? Poderán determinarse a lingua en que vén redactado un texto estudando o tipo de arestas máis frecuentes do mesmo? Todo un extravagante campo de traballo  para a lingüística informática.

Grafos e divisores.1

Do portal NRICH

Remexendo pola arañeira batín con este entretido xogo do web NRICH (enriching mathematics).   Participan dous xogadores alternativamente escollendo da grella de números da esquerda que, como se ve, contén os 100 primeiros naturais. As regras son moi sinxelas:
Regra 1.O primeiro xogador pode escoller calquera número menor que 50 (no exemplo puxen o 45).
Regra 2. O seguinte número debe ser sempre un múltiplo ou un divisor do anterior.
Finalización. Perde aquel que non poida coller ningún número máis.
O xogo pode propoñérse en calquera aula dos primeiros cursos da ESO xa que permite desenvolver o cálculo e a familiarización cos conceptos de múltiplo, divisor, número primo, número composto, coprimos,...
NRICH suxire dar novos enfoques ao xogo, como o de presentalo sen a restricción dada pola primeira regra para logo poñer en evidencia a súa necesidade se non queremos ter un xogo trivial. Tamén podemos investigar se hai algunha estratexia gañadora, ou se hai números que nos convén evitar. Claro que as posibilidades non rematan aquí. De ser moi complicada a abordaxe deste xogo, podería restrinxirse a outras versións que tiveran unha menor cantidade de números: 15, 20, 30, 50,... ou, se cadra, somos quen de aventurar que é o que sucede cando partimos de 101 números, ou 200, ..., 1000,...n,...
Tamén está a cuestión de cal é a maior cadea de números que podemos formar na grella da dereita. Por exemplo, na imaxe anterior tiñamos unha cadea de 11 números susceptible de ser ampliada. Para estudar o problema podemos ver que é o que pasa cos primeiros casos.
O problema parece que pode abordarse botando man dos grafos. Partimos dun conxunto de vértices numerados polos n primeiros números
$$S=\left\{ { v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },{ v }_{ 3 },...{ v }_{ n } \right\}$$
Para establecermos as arestas usaremos a seguinte definición
$${ \forall i\neq j\quad v }_{ i }\quad e\quad { v }_{ j\quad  }\quad forman\quad unha\quad aresta\quad \Longleftrightarrow \quad i|j\quad ou\quad _{ \quad  }j|i$$
A un grafo así determinado podémoslle chamar grafo de divisores. No grafo de divisores dado polos cinco primeiros números está claro que a cadea máis longa que podemos formar ten unha lonxitude de 4 vértices: 3, 1, 2, 4.
Pero a pouco que pasemos dos primeiros casos, como era de esperar, o grafo vaise complicando. Para o grafo de divisores dos 13 primeiros números naturais teremos polo menos unha cadea de lonxitude 10 a seguinte: 9, 3, 6, 12, 4, 8, 1, 5, 10, 2 (ou 11, 1, 5, 10, 2, 8, 4, 12, 3, 9) que parece difícil de superar

Se lle chamamos f(n) ao valor da lonxitude da máxima cadea que podemos formar nun destes grafos de n números, acabamos de ver que f(4)=f(5)=4 e que f(13)=10. Podemos intentar obter unha táboa que nos ofreza pistas para intentar aventurar o resto dos valores de f(n). Pero a cuestión non é nada simple.
Parece ser que P. Erdös, R. Freud e N. Hegyvári estableceron que para valores de n o suficientemente grandes (nas fórmulas log indica o logaritmo neperiano):
$$f(n)\le (1-log2)n$$
Se quixeramos unha limitación inferior teriamos esta de A. D. Pollington:
$$\forall c>0\quad \exists N/n\ge N\Longrightarrow f(n)\ge n\cdot { e }^{ -(2+c)\sqrt { logn\cdot log(logn) }  }$$
O artigo de Erdös e cia. non falaba de grafos senón de permutacións a₁, a₂ ,a₃, ..., a_{n ,} dos primeiros enteiros 1,2,3,....,n. Ou máis suxerententemente, trataba das permutacións a₁, a₂,a₃, ..., a_i ,....de todos os números naturais. Concretamente dábanse resultados sobre o mínimo común múltiplo  e o máximo común divisor de dous elementos consecutivos nesas permutacións. Un dos teoremas cualificábano os propios autores de pobre resultado. Di o seguinte:
Dada unha permutación de todos os naturais a₁, a₂,a₃, ..., a_i ,....:
$$\bar { \underset { i }{ lim }  } \frac { \left[ { a }_{ i },{ a }_{ i+1 } \right]  }{ i } \ge \frac { 1 }{ 1-log2 } \simeq 3,26$$
Certamente é difícil imaxinar unha permutación  na que este límite fique dentro do ámbito da finitude.