Interpretación da programación linear en 3D

Non comparto para nada a filosofía que hai detrás do deseño da materia de 2º de bacharelato Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais II. Está elaborada como unha materia puramente instrumental, o seu obxectivo fundamental é dotar de ferramentas matemáticas ao alumnado pero sen informar (e polo tanto, sen formar) sobre as razóns matemáticas que hai detrás de cada fórmula ou cada método que se pretende aprender. Deste xeito o que se nos está a pedir implicitamente ao profesorado é que impartirmos aulas de matemáticas como se fosen de relixión. Efectivamente, a metodoloxía subxacente ao currículo consiste nalgo así: "cando atopedes un problema deste tipo, hai que aplicar esta outra receita; amén". Os contidos son tan vastos que na práctica están coutadas outras metodoloxías que non sexan as de practicar acríticamente algoritmos. Un caso típico podémolo exemplificar co tema da programación linear.
Nos libros de texto preséntase o tema mediante un problema típico con dúas variables. De seguido resólvese. A todos os problemas que teñan unha estrutura similar aplicarémoslle o mesmo método. O Geogebra é, sen dúbida un moi bo aliado para relatar como funcionan estes procedementos. Xa que Aldán Santamarina, o matemático-normalizador de Moaña, fixo o traballo de nolo explicar, isto é o que ten que saber  o alumnado de 2º de bacharelato sobre a programación linear:

Para introducir a cuestión podemos partir dun exemplo simple. Consideremos a seguinte serie de restriccións:

$$x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 4 $$

Coa función obxectivo $$f(x,y)=2x+y$$

Para resolver o problema establecemos primeiro a rexión factible, T, determinada polas restriccións dadas.

Do que se trata é de determinar, de entre todos os puntos da rexión factible T cal é (cales son) aquel para o que a función obxectivo toma o maior valor. (Noutros problemas interesa o valor mínimo).
A solución do problema pódese consultar na seguinte aplicación. Ao resolver o problema aparécenos unha misteriosa familia de rectas paralelas (en vermello na aplicación). Para cada unha desas rectas a función obxectivo toma un valor. Movendo o esvarador veremos que o máximo dáse no punto B1=(4,0).

Pero o realmente interesante, a explicación de por que o método funciona, pode vir de engadir unha nova dimensión. Se consideramos a mesma serie de restriccións no espazo tridimensional, no canto de termos o triángulo T que forma a nosa rexión factible, obteremos unha rexión 3D, $$T\times \Re $$. Se no plano cada unha das ecuacións asociadas ás restricción daban lugar a recta, no espazo teremos planos.

A introdución dunha nova dimensión cobra todo o seu sentido ao estudar a función obxectivo como unha nova variable: z=f(x,y)=2x+y. Neste caso temos un novo plano que corta oblícuamente á rexión $$T\times \Re $$
Do que se trata é de determinar o punto que alcanza a maior altura. O punto é B=(4,0,8). A súa proxección sobre o plano XY é a solución que xa obtivemos e está formada polas dúas primeiras coordenadas, (4,0). A terceira coordenada é a que nos dá a altura.

Para cada valor de z temos un plano paralelo ao plano XY. Consideremos por exemplo o plano z=4 (en azul na seguinte aplicación), que cortará ao plano z=2x+y nunha recta. A proxección desta recta sobre o plano XY é esa misteriosa recta na que todos os puntos da función obxectivo valen 4; trátase da recta 2x+y=4. Non é por casualidade que a estas rectas tamén se lles chame rectas de nivel. Con todo, de entre todos os libros de texto que consultei, só nun facían referencia a esta denominación, aínda que non explicaban a razón da mesma.

O malo desta explicación é que quen mellor a pode entender é o alumnado da materia Matemáticas II, máis habituado ao traballo coa xeometría tridimensional. Pero precisamente no seu currículo non aparece a programación linear, xa que é un tema exclusivo do de Matemáticas Aplicadas ás CC.SS. II. No temario desta última materia non hai referencias á xeometría tridimensional, aínda que é moi recomendable facelo cando se trata a resolución de sistemas de ecuacións lineares. Claro que se un perde o tempo en todas estas referencias á xeometría terá moitas dificultades en tratar todo o temario. Cousas dos currículos.

Un problema de escalas no edixgal

Velaquí que o rapaz chegoume o outro día cun problema ao que non lle daba botado man. Está en 5º de primaria, pero cando me dixo que se trataba dun problema de "sociais pero de competencia matemática" pensei en que o pobre xa estaba botado a perder.
No seu grupo están apuntados ao edixgal. Isto indícanos cousas positivas dun profesorado está preocupado pola mellora do ensino e pola situación social do entorno xa que se meteron a participar nun programa que prometía moito e que ademais tiña a ventaxa de que se liberaba aos pais da compra dos libros de texto. Porén comenzou o curso e todos vimos que o edixgal non é outra cousa que un pdf con todas as dificultades que isto acarrexa, e como veremos, sen ningunha ventaxa das posibilidades de contarmos cunha ferramenta realmente dixital. Hoxe ese profesorado está arrepentido de participar no edixgal.
O único que cambia co edixgal con respecto ao libro de texto é que para acceder aos contidos hai que moverse nun entorno de scrolls realmente pesado e dificultoso. Ademais os portátiles destinados a este programa son os do proxecto Abalar, cunha pantalla moi pequena, que dificulta aínda máis a consulta destes libros de texto. E insisto no de libros de texto porque os contidos dixitais son inexistentes. Vexamos un exemplo que nos indica que todo isto do proxecto edixgal foi montado sen planificación ningunha.
O problema ao que me refería ao principio é o nº 12 desta foto. Nada tería que dicir se este mesmo problema viñera nun libro tradicional, incluso gabaría que o mapa fixese referencia a concellos galegos, pois sempre é preferible facer referencia á realidade próxima e coñecida que a outra allea e descoñecida.

Ver a enorme contradición entre a escala do mapa e a posibilidade de cambio do tamaño do pdf

Como o problema pide que tracemos o itinerario cun fío, así o fixemos. Collín un fío e coloqueino sobre a pantalla do ordenador-Abalar. Pero como a pantalla é táctil, ao tocala para facer a medición, reducía automáticamente o tamaño do pdf. Ademais, a que tamaño había que colocalo? 100%, 147%,...? E non é isto o único problema. Abrín o pdf no meu PC, que ten unha pantalla maior e non ten os problemas do portátil-Abalar, pero se abrimos o pdf noutra pantalla de distinto tamaño, tamén cambia o tamaño do mapa. Conclusión: imposible medir o mapa. Así que, xa sen recursos, mirei cara ao rapaz e pregunteille:
- E agora, que facemos?
- Vai ser mellor mirar no google maps - contestoume. Daquela pensei que aínda non estaba todo perdido.

Materiais dixitais vs. materiais apantallados

Este capítulo levoume a pensar en materiais que realmente están preparados para traballar no entorno dixital. Sen sairmos dos problemas de semellanza, non podo deixar de recomendar esta unidade didáctica do Proxecto EDAD. Se imos a >Exercicios>Proporcionalidade directa, teremos a posibilidade de traballar de varias maneiras coas escalas dos mapas.
Estas unidades didácticas, acaídas ao entorno dixital, son prácticamente as únicas dispoñibles en galego para o ensino das matemáticas, A Xunta, se quixera, podería usar estes materiais para proxectos como o edixgal, pero prefire pagar por pdfs apantallados. A ideoloxía que hai por debaixo de todo isto atopámola no funesto decreto do plurilingüismo: o realmente importante para a Consellería de Educación é que a lingua galega siga excluída das materias de ciencias. Resulta moi revelador que para que poidamos ver un contido de matemáticas en galego recollido do fardel da Consellería, teñamos que ir a un exercicio da materia de Ciencias Sociais. O galego, nas matemáticas, está arrasado. Que a ninguén lle estrañen, xa que logo, os resultados que nos que nos revelaba o IGE hai un ano, cun 13% de baixada de uso do galego nunha década.
A alguén lle teremos que dar as grazas.

O péndulo de Huygens

Desafortunadamente xa estamos celebrando a VI edición do Día da Ciencia en Galego, data instaurada para denunciar a exclusión do galego que a Consellería de Educación quer impoñer nas aulas de ciencias e tecnoloxía. Un dos personaxes que se toman como desculpa para centrar os actos desta sexta convocatoria é Christiaan Huygens (1629-1695), coñecido normalmente por ser quen determinou a forma dos aneis de Saturno ou pola teoría ondulatoria da luz quixera destacar algunha das súas aportacións en relación cunha curva moi famosa no desenvolvento das matemáticas: a cicloide. Para explicar en que consiste unha cicloide quizais o mellor sexa ver este gif

Efectivamente, a cicloide describe a traxectoria dun punto situado nunha circunferencia de radio a que xira sobre unha recta. Neste caso, se consideramos que o punto que nos debuxa a cicloide comenza a súa andaina na orixe dun sistema cartesiano e a circunferencia roda sobre o eixo de abscisas, as súas ecuacións paramétricas virán dadas por: 

$$\left\{ \begin{matrix} x=a\left( t-sent \right)  \\ y=a\left( 1-cost \right)  \end{matrix} \right \\ \\ \\ $$

Onde t mide o ángulo que forma o radio que une o punto co centro da cricunferencia e o radio perpendicular ao eixo de abscisas.$$x=OA-OQ=a\cdot t-a\cdot sent$$

$$y=AC-AB=t-a\cdot cost$$ Parece ser que a primeira referencia da que se ten coñecemento foi obra de Nicolás de Cusa cando estaba estudando o problema da cuadratura do círculo. A primeira sociedade científica da historia non era exactamente unha sociedade. Tiña nome e apelidos e chamábase Marin Mersenne (1588-1648). Con moitos coñecementos e contactos, e con boa relación cos científicos do momento sabía a quen informar e sobre que. Foi un dinamizador da ciencia da primeria metade do XVII. El tamén se ocuparía da cicloide. Proporíalle a Roverbal o cácula da área determinada por un arco de cicloide, que é o triplo da área do círculo que a xenera: $$3\pi { a }^{ 2 }$$ Galileo tamén se había de ocupar da cicloide e transmitirá o interese por esta curva a discípulos seus como Evangelista Torricelli ou Vincenzo Viviani. Será Blaise Pascal quen descubriría múltiples propiedades da curva. A cicloide é a braquistócrona. Todos sabemos que a traxectoria máis curta entre dous puntos é unha liña recta, pero cal é a curva que  isto é, a curva pola que un peso caería en menos tempo desde calquer altura ata un punto máis baixo a certa distancia da vertical. O problema de achar a curva braquistócrona foi proposto por Johann Bernouilli no 1696. El mesmo dou a solución, como Leibniz, Newton, Jacob Bernouilli e L´Hôpital. Huygens tamén fixo a súa aportación ao estudo desta curva cando resolveu o problema da curva tautócrona. Se deixamos caer unha bóla pola curva, o tempo que tarda en chegar ao punto máis baixo é o mesmo independentemente da altura á que deixamos caer a bóla. Así, un péndulo que describira unha traxectoria cicloidal tería un período de oscilación independente da amplitude. Huygens demostrará tamén que a evoluta dunha cicloide sería outra cicloide igual. Pero que é a evoluta dunha cicloide?, máis en xeral, que é a evoluta dunha curva? Para responder precisamos antes saber o que é o círculo osculador dunha curva, concepto introducido por Descartes no 1637 na súa Xeometría. Dado un punto dunha curva chamaremos círculo osculador (círculo que bica á curva) a aquel círculo que é tanxente á curva pola súa parte cóncava. O radio do círculo osculador é o chamado radio de curvatura. O seu módulo dános información de como é a curvatura da curva. Non me resisto a dar a fórmula do radio de curvatura: $$R=\frac { { \left( 1+{ y }^{ { ´ }^{ 2 } } \right)  }^{ \cfrac { 3 }{ 2 }  } }{ \left| { y }^{ ´´ } \right|  } $$ Pensemos que os radios de curvatura son todos perpendiculares á curva. O centro do círculo osculador chámase centro de curvatura. A evoluta dunha curva é outra curva formada polos centros de curvatura. Como xa comentamos anteriormente, a evoluta dunha cicloide é outra cicloide igual. Curioso, non? Podémolo comprobar na seguinte aplicación movendo con coidado o punto P activarase o rastro dos centros de curvatura e veremos como se vai debuxando a súa evoluta:  (Coa roda do rato podemos cambiar o tamaño do esquema así velo todo)
 

Isto permitiríalle a Huygens a construción dun péndulo cicloidal. Bastaba con colocar unhas guías cicloidais co fin de que a barra do péndulo sempre fose tanxente a esas guías. Consecuentemente a bóla do péndulo describiría a un tempo unha traxectoria ciloidal. Se lle dámos a volta, cabeza abaixo á anterior aplicación obteriamos o esquema que aparece na seguinte, onde se reproduce o péndulo imaxinado por Huygens. (Coa roda do rato podemos cambiar o tamaño do péndulo e así velo todo)
 

Despois do comentado pode dar a impresión de que Huygens fixo uso do cálculo diferencial, pero non foi ese o caso xa que usou únicamente métodos xeométricos. Desafortunadamente non podemos dicir que Christiaan Huygens participara das matemáticas dos bicos. Podemos comprobalo no libro no que publicou os resultados que vimos de comentar.  Paradoxalmente os resultados máis importantes deste libro tómanse como o punto referencial da primeira aplicación da xeometría diferencial. Isto é unha carácterística moi común no desenvolvemento científico xa que en non poucas ocasións acharemos tratados, mesmo resoltos problemas que hoxe caen dentro dunha rama específica, pero que foron estudados con métodos doutra rama xa que ésta aínda non estaba desenvolvida. Lembremos que Isaac Barrow establecera nin máis nin menos que o teorema fundamental do cálculo aplicando tamén únicamente métodos xeométricos. Todo isto dá lugar a pensar que nesa altura, ben andado o século XVII, dalgunha maneira estaba determinada a futura elaboración do cálculo infinitesimal. Huygens publicou estes resultados no seu Horologium Oscillatorium (Péndulo Oscilatorio) no 1673, época na que Newton estaba dando os primeiros pasos no cálculo. Unha marabilla que nos permite a tecnoloxía desde hai ben pouco é a de podermos consultar libros coma este sen máis que prender o ordenador:

O poder dos gráficos: 200 países en 200 anos

Coa rapidez con que se moven as novas tecnoloxías xa podemos cualificar este vídeo de vello. Con todo non perdeu nada da súa vitalidade e, sobre todo é unha impresionante mostra do poder explicativo dos gráficos. Tomando como variables a esperanza de vida (eixo dos y) e a renda per cápita (eixo dos x) e a cantidade de habitantes (área de cada país), podemos ver como evolucionan estas variables para 200 países nos últimos 200 anos e todo no curto espazo de tempo que dura o vídeo.

A escala: o sistema solar

Cando vin o chío de Martin Pawley non puiden deixar de reproducir aquí esta curta que, ademais vén con subtítulos en galego. Supoño que o responsable é o autor da entrada no blogue Acto de primavera. Unha marabilla elaborada por Wylie Overstreet e Alex Gorosh.
Isto tráeme á memoria unha actividade que realizáramos no CPI Aurelio Marcelino Rey García... hai xa 13 anos. Fixéramolo nas aulas da materia optativa de astronomía. Consistía precisamente en facer o mesmo que neste vídeo: realizar unha maqueta a escala do sistema solar respectando tanto os tamaños dos planetas (na medida do posible), como as distancias entre os mesmos. Claro que os planetas eran puntos (case) invisibles nos metros e metros de papel de embalar que utilizamos para facer o traballo. Mágoa que non teña fotos xa que daquela as cámaras dixitais non estaban tan popularizadas coma hoxe en día. Se non me equivoco a escala que utilizáramos era $$1:{ 10 }^{ 12 }$$ xa que tivéramos o coidado de pintarmos un sol de aproximadamente 1 mm de diámetro. O traballo completábase cunha comparación a unha escala bastante maior, entre unha restra de mapas do mundo colocados en liña, e a Vía Láctea. Estou tentado de repetilo este curso co alumnado dese invento LOMCE: as matemáticas aplicadas.

Grigori Perelman sen a conxectura de Poincaré

Documental ruso centrado na repercusión mediática que tivo a resolución da conxectura de Poincaré. Achego aquí unha versión con subtítulos en portugués, polo que é de fácil seguimento para nós (nós sempre somos os galegos).
A figura central do vídeo é o esquivo matemático Grigori Pereman. Fálase do carácter de Perelman, da súa aversión polos medios, o seu rexeitamento dun premio Clay (os famosos premios dun millón de dólares), a súa negativa a recibir a medalla Fields, a polémica xenerada polo célebre artigo de Nassar e Gruber no New Yorker   (por exemplo: [1], [2], [3]). En definitiva, o documental aproveita a particular forma de ser e de actuar de Perelman para relatar o batifondo que se desenvolveu despois de que o matemático ruso colgara os seus artigos no arXiv.
Mágoa que nos 44 minutos non se lle fixera un oco para unha explicación de en que consiste a conxectura de Poincaré xa que desa forma contribuiría a divulgar e popularizar un anaquiño das matemáticas, que boa falta fai. Pola contra, a forma de desfacerse do asunto pode etiquetarse incluso de insultante, descualificando todas as explicacións divulgativas e sen ofertar nada a cambio.
Para tapar este defecto, podemos botar man dun excelente artigo de Antonio J. López Moreno, publicado naquela revista dixital de matemáticas, Matematicalia, desafortunadamente pechada no 2011. Aínda que repasando o artigo un decátase do pouco que se lle acorda daquelas clases de topoloxía alxébrica.
Como último complemento, un libro que é boa mostra dun texto moi ben composto dentro do campo da divulgación científica. Trátase de La conjetura de Poincaré. En busca de la forma del universo, de Donal O´Shea
Con todo, pasei un rato moi entretido vendo o vídeo. Por iso lle adiquei esta entrada.

Un problema de probabilidades con Gila

O Departament d´Ensenyament da Generatiat de Cataluña mantén un web, Creamat, que ten a finalidade de facilitar recursos educativos para as aulas de matemáticas e de ser un punto de encontro do profesorado desta materia. Desde alí chegoume a referencia deste vídeo no que se recolle un anaco da película El hombre que viajaba despacito,(1957) protagonizada por Miguel Gila. A escena fai referencia explícita a un problema de probabilidades bastante anódino, pero visto aquí ten o seu aquel. O vídeo tamén dá para a crítica do guión xa que as intervencións do viaxante non teñen demasiada credibilidade tendo en conta a discrepancia entre a probabilidade de sacar o as de ouros dunha baralla e as referencias á case imposibilidade de ter éxito nese suceso. Claro que un guión máis fiel coas probabilidades restaríalle forza dramática á escena. Conclusión: hai que supoñer que o espectador non sabe matemáticas.

Dous libros para unha polémica

Los matemáticos españoles del siglo XVI é o discurso inaugural do curso 1913-1914 da Universidade de Oviedo impartido por un xovencísimo Julio Rey Pastor. A editorial KRK pensamiento vén de editalo este ano pasado ao conmemorarse o centenario deste polémico discurso nun libro que ademais do documento que se liga ao principio, contén outras 100 páxinas cun epílogo dos editores no que se comenta desde unha perspectiva actual o desenvolvemento histórico explicado por Rey Pastor.
Despois dun breve repaso por un pequeno grupo de matemáticos árabes peninsulares dos séculos XI, XII e XIII. Rey Pastor fai un percorrido polos matemáticos europeos renacentistas porque son éstes os que exercerán grande influencia no que vai ser o centro do seu relato, adicado tal e como figura no título, aos matemáticos españois do século XVI. Clasíficase a este grupo en tres clases. A primeira é a dos aritméticos, con Pedro Sánchez Ciruelo, Juán Martínez Silíceo,
frei Juan de Ortega, e o portugués Álvaro Tomás. Dise que as súas obras non teñen ningún progreso esencial e que non poden compararse cos grandes das matemáticas do seu tempo, nin con ningún outro que fixera algunha aportación, xa que nin tan siquera contribuíron a enriquecela de forma algunha.
O primeiro do grupo dos alxebristas tampouco é español, Marco Aurel, o autor do primeiro libro de álxebra en español. Do resto destaca a Pedro Nunes (ou Nuno, tal e como o denomina Rey Pastor), o descubridor da loxodrómica pois moito do seu traballo ten que ver coa navegación. Tamén é coñecido este autor por se o inventor no nonnius, un aparato para a medición de ángulos que facilitaba o posicionamento dos barcos.
Finalmente teriamos aos xeómetras Juan Alfonso de Molina Cano e Jaime Falcó. Deste último comenta que toda a súa obra se reduce a un pequeno folleto.... no que cadra o círculo! O outro escribe un libro de xeometría no que se explica a construción de meidas proporcionais, a división do segmento en n partes, ou as afirmacións de que a centésima parte dun círculo é un arco que comenza a se converter nun segmento recto (!), ou que unha perpendicular do diámetro non é tanxente á circunferencia (!).
En conclusión, segundo Rey Pastor, xa desde un principio os matemáticos españois do século XVI traballaron sobre matemáticas en decadencia e nunca houbo ninguén co acerto de aprender as novas matemáticas de Cardano e Tartaglia. Este panorama ermo tamén o traslada ao ensino: "quen unha vez pasou polas súas aulas, nada novo aprenderá volvendo a elas". En defitiniva, nunca houbo matemáticas no territorio español, e terían que mudar moito as cousas para que chegue a habelas. Non podemos deixar de ver entre as liñas que escribe Rey Pastor que el se ve como o profeta chamado a comenzar esa revolución necesaria na matemática española.

O discurso do matemático de Logroño está inserido dentro dun debate que ten as súas raíces nunhas ideas que Masson de Marvillers escribía na Enciclopedia Metódica no 1782 nas que afirmaba que as ciencias españolas estaban completamente abandonadas. Podemos seguir as liñas do debate no libro do periodista cordobés Francisco Vera, Los historiadores de la matemática española, do que a FESPM fixo unha edición facsimilar no ano 2000. celebrando o Ano Mundial das Matemáticas.
Vera cita a historiadores como o Padre Feijóo ou Martín Fernández de Navarrete. Comenta do primeiro que no seu Teatro crítico universal afirma que no referente ás matemáticas, "todo ou case todo é copiado de autores estranxeiros". A tese de Vera para por darlle a razón a Feijóo se as as súas palabras se refiren ao estado da cuestión no ano 1730, pero nega que esa fose a situación anteriormente. De Fernández Navarrete gústalle que destaque os avances españois no seu tratado de navegación.
A polémica sobre a ciencia española ten o seu punto central no discurso de ingreso de José Echegaray na Academia de Ciencias no ano 1866. Francisco Vera critica que Echegaray pon tanta ansia nos eloxios as matemáticas estranxeiras co nas críticas doas españolas. Incluso chega a afirmar que é un bo exemplo de como se pode ser bo matemático e mal historiador. Así se expresaba o que sería premio nobel: "a ciencia matemática nada nos debe: non é nosa; non hai nela nome algún que beizos casteláns poidan pronunciar sen esforzo".
As palabras de Echegaray non tardarían en ser contestadas na prensa. Sería tamén un periodista, Antono Sánchez Pérez quen respondería reivindicando a figura de Jorge Juan. Cando Menéndez Pelayo entra a tomar partido na discusión, ésta xa se densenvolvía máis en termos políticos que en académicos.
Vera eloxia obras de finais do XIX que aportarían coñecementos interesantes aos historiadores da ciencia. Cita como os seus autores a Felipe Picatoste e Fernández Vallín. Entre as aportacións do século XX (ata aquel momento), destaca as feitas por José Augusto Sáchez Pérez, sobre todo polo seu estudo da época musulmana e por elaborar un discurso que valorizaba as matemáticas españolas do XVII.
Nun ton moi distinto, Francisco Vera cualifica de momento culminante da historia da matemática española ao discurso de Rey Pastor, e non o fai gabándoo pois comenta del que non aporta nada xa que non é máis que unha segunda edición do que xa dixera Echegaray. Como se ve, este segundo libro situa históricamente o de Rey Pastor, dándonos unha visión controvertida do mesmo. Agora quedaría por aclarar unha outra cuestión: que podemos dicir das matemáticas en Galicia? Se hai tempo e vagar, trataremos a cuestión noutra entrada.

Ars qubica

ARS QUBICA from Cristóbal Vila on Vimeo.

Cada vez que Cristobal Vila deixa colgado pola rede un vídeo é, coma quen di, unha obriga, facer referencia del. Nesta ocasión son diversos cortes dun hexaedro (ou cubo) o que nos van guiando a través dos tres marabillosos minutos que dura o vídeo.
Entre as referencias matemáticas desta peza audiovisual  podemos ver o cadro Melancolía I, de Albrecht Dürer, un dos máis celebrados cadrados máxicos.

Esopías 2015

Se o ano pasado facíamos unha publicación dixital de 22 esopías, este ano achegamos unha escolma doutras 37. E iso que só estan recollidas as que máis lle gustaron ao xurado entre as participantes no II Concurso de Esopías que o ENDL do IES Pintor Colmeiro (Silleda) convocou este curso. Como novidade, nesta ocasión contamos coa colaboración do Departamento de Plástica coas ilustracións que fixeron alumnos de 3º da ESO Entre as creacións aquí recollidas está a que obtivo o premio do 2º ciclo da ESO e Bacharelato do III Concurso de Esopías celebrado na IX Feira Matemática Por se alguén non o recorda, unha esopía é un relato, comentario ou poema, cun máximo de 140 carácteres (tweet), onde cada palabra leva un número de letras igual ás sucesivas cifras do número π.

Triángulo (re)dobrado

Acabo de ver no blogue Matemáticas na Rúa o seguinte problema e que recolleu á súa vez de Five triangles e quíxenlle responder ao reto porque  xusto despois de velo tiven que estar un tempo no parque mentres o neno xogaba cos amigos,.. e eu non tiña nada mellor que facer nese momento. Lembro o problema:

Imaxe de Five Trigangles

A figura ABC é un triángulo rectángulo isóscele con catetos que miden 4 cm. O punto B é dobrado sobre PQ de tal xeito que cae enriba do punto D do lado AC que cumpre que AD=3 cm. Determina a lonxitude do segmento PQ.

Partíremos de que os puntos P e Q teñen están na recta dos puntos equidistantes a B e D. Pareceume que a mellor forma de obter esa recta era botando man da xeometría analítica, así que se tomamos o punto B como a orixe de coordenadas, eis que A=(0,4) e D=(3,4). Como se observará, a figura queda xirada 45º respecto da orixinal:

A ecuación da recta PQ como a dos puntos (x,y) equidistantes a B(0,0) e D(3,4):

$${ \left( x-3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-4 \right)  }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }$$

Simprificando obtemos a ecuación da recta r:

$$6x+8y-25=0$$

Se intersecamos esta recta co eixo das ordenadas, x=0:
$$\begin{cases} 6x+8y-25=0 \\ x=0 \end{cases} $$
Obtemos como solución o punto $$P=\left( 0,\frac { 25 }{ 8 }  \right) $$
E ao cortar a recta PQ coa recta que une os puntos B e C, a recta y=x:
$$\begin{cases} 6x+8y-25=0 \\ y=x \end{cases}$$
Teremos como solución o punto Q:
$$Q=\left( \frac { 25 }{ 14 } ,\frac { 25 }{ 14 }  \right) $$
Só falta calcular a distancia entre os puntos P e Q:
$${ PQ }^{ 2 }={ \left( \frac { 25 }{ 14 } -0 \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 25 }{ 14 } -\frac { 25 }{ 8 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 625 }{ 196 } +{ \left( \frac { -75 }{ 56 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 625 }{ 196 } +\frac { 5625 }{ 3136 } =\frac { 15625 }{ 3136 } $$
Polo que:
$$PQ=\sqrt { \frac { 15625 }{ 3136 }  } =\frac { 125 }{ 56 } $$
E a un, aínda que o teña visto centos de veces, o que non deixa de sorprendelo é que usando métodos tan distintos, J.J. Rodríguez e a min nos dea o mesmo. Aquí reside unha das características máis fermosas da matemáticas.

A unidade didáctica 'María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo'

O segundo que me chamou a atención cando nos chegou ao Departamento de Matemáticas un sobre con varios exemplares da unidade didáctica, María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo, foi que viñese redactada en galego. Si, unha unidade didáctica de matemáticas en galego editada por esa mesma  Xunta que prohíbe impartir clases de matemáticas en galego. Que foi, xa que logo, o primeiro que me chamara a tención? Pois cando vin o libriño da unidade didáctica recordei a noticia da súa publicación no portal da Xunta e o extraña que me parecera a súa redacción. Alí facíase referencia ao vicepresidente da Xunta, Alfonso Rueda, á secretaria xeral da Igualdade, Susana López Abella, á delegada territorial da Xunta na Coruña, Belén Do Campo, e ao todavía alcalde da cidade na que se facía a presentación, Carlos Negreira. Pero o raro era que por ningunha parte aparecían o nome das autoras do traballo que se presentaba; estamos ante unha evidencia de ata que punto chega o desprezo polo traballo na educación. Elas, as autoras de  María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo, son María José Souto Salorio e Ana Dorotea Tarrío Tobar, profesoras de matemáticas na UDC. Sempre é de agradecer que desde o mundo universitario se mostre este interese pola educación nos outros niveis do ensino, aínda máis, como é o caso, cando deste interese poucas veces temos mostras. Estas dúas profesoras non poden ser descoñecidas para quen se teña ocupado algunha vez por M. Wonenburger Planells. Como proba, basta ver esta escolma de traballos sobre a alxebrista coruñesa:

• Wonenburger Planells, María Josefa. SOUTO SALORIO,  María José e TARRÍO TOBAR, Ana Dorotea.  Biografías de matemáticos españoles. Divulgamat. [web]. Artigo biográfico dun portal de matemáticas
• María Josefa Wonenburger Planells: mujer y matemática. SOUTO SALORIO, M.ª J., TARRÍO TOBAR, A. D.: “, La Gaceta de la Real Sociedad Matematica Española, v. 9, n.º 2 (2006), p. 339-364. [pdf]  [scribd]
• Discurso no recoñecemento-homenaxe da Unidade Muller e Ciencia á matemática coruñesa María Josefa Wonenburger Planells. TARRÍO TOBAR, A. D., 2006 [pdf]
• Unha científica pioneira: María Josefa Wonenburger Planells. SOUTO SALORIO, María José e TARRÍO TOBAR, Ana Dorotea . reNOVA GALIZA. Caderno de pensamento cívico. Monográfico nº3 (xullo 2008). A diáspora científica galega.  p. 23 [pdf]
• María Wonenburger Planells na creación do coñecemento. As irmás de Hipatia. TARRÍO TOBAR, Ana D; RIOS FACHAL, Matilde; RODRÍGUEZ RAPOSO, Ana B. ; CRUJEIRAS CASAIS, Rosa M. ; VÁZQUEZ , artigo na revista Gamma, nº 9 [pdf]
• María Josefa Wonenburger Planells. Matemática que creou unha escola internacional de Álxebra. SOUTO SALORIO, María José e TARRÍO TOBAR, Ana Dorotea Artigo biográfico no Álbum da Ciencia, un proxecto do Consello da Cultura Galega [web]

A unidade didáctica 'María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo' A unidade didáctica, con respecto a estas outras publicacións das mesmas autoras, ten como novidade un enfoque escolar para o alumnado da ESO. Contén diversos exercicios do currículo de matemáticas desta etapa que, dalgunha maneira, se poñen en relación coa figura de María Wonenburger. Estes exercicios non son nada novidosos, podemos ver moitos do mesmo estilo en calquera libro de texto, pero onde se acerta plenamente é en comunicar unha idea fundamental: que cando se ensina matemáticas tamén se están a ensinar outras cousas. O obxectivo principal da unidade consiste en divulgar e facer ver as dificultades que tivo que superar unha muller nacida en Oleiros no 1927, que viu como o seu título de doctora non lle era recoñecido en España, e todo isto sí que aparece ben claro entre as páxinas da publicación. Poñer en evidencia as desigualdades de xénero e establecer á figura da profesora Wonenburger como un exemplo de adicación ao traballo na investigación das matemáticas a pesar de todos os condicionantes é o principal valor da unidade didáctica. As fotos, os debuxos, a presentación do texto, e a edición en xeral de María Wonenburger. Unha científica adiantada ao seu tempo, está moi coidada e vén presentada nun papel de boa calidade. O normal sería que traballos como o desta unidade didáctica poideran ser divulgados e descargados desde un portal no web da Consellería de Educación, ao estilo do Creamat catalán. É seguro que imprimir e enviar esta unidade didáctica a todos os centros de secundaria é moito máis caro que habilitar un portal deste tipo, claro que isto non facilitaría que se puideran redactar noticias como ésta. Máis neste blogue: Quen é María Wonenburger? II Día da Ciencia en Galego: María Wonenburger

Hypatiamat

Desafortunadamente os que impartimos clases de matemáticas puidemos comprobar como nos últimos anos vimos sufrindo unha falta de recursos ofertados desde as institucións educativas. En Galicia houbo sempre pouca oferta. O camiño comenzara a abrirse a principios deste século foi aniquilado a partir do ano 2010. Quedaba aínda o MEC, pero a política educativa dos últimos anos consistiu no abandono de todos os proxectos educativos gratuitos e promovidos desde as institucións públicas para apostar polos recursos educativos de pago. Baixo a epígrafe de "Mochila Dixital" ou "Edixgal" está a facerse unha aposta que exclúe a elaboración desde un laboratorio didáctico público xa que isto non favorece o substancioso negocio dos materiais escolares.
Ata o momento había espazo para as editoriais pero existían tamén moitos proxectos sustentados desde a iniciativa pública que eran realmente gorentosos para a posta en fucionamento nas aulas. Poño como exemplo o Proxecto Descartes que foi completamente abandonado polo Ministerio de Educación e do que agora só queda un desamparado portal con problemas de accesibilidade aos seus recursos. Aínda bo é que os que sustentaban o proxecto seguen a mantelo actualizado, renovado e de libre acceso tan e como podemos comprobar na súa nova dirección.
As razóns aquí expostas fan que teñamos que buscar outras xanelas que nos fornezan de recursos educativos para a aula de matemáticas. Tendo en conta a proximidade da nosa lingua co portugués non é mala idea ir pescar nos países desta fala. Neste caso basta con cruzar o Miño para atoparmos unha boa fardela. O seu nome, Hypatiamat.

Hypatiamat
Para enfrontarse ao problema do fracaso escolar das matemáticas en Portugal, o Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra en colaboración co Grupo Universitário de Investigação em Autorregulação da Escola de Psicologia da Universidade do Minho. O proxecto consiste na utilización de aplicacións interactivas para contribuir á aprendizaxe das matemáticas para alumnos de 5º ano (5º primaria) a 9º ano (3º ESO). Podemos distinguir cinco ofertas principais:

• Aplicacións interactivas. Consiste nunha colección de unidades didácticas interactivas sobre distintos temas. Fixéronme recordar o excelente material ED@D do Proxecto Descartes.
• Apps para aprender. Podemos atopar aplicacións que nos ensinan a construir triángulos, a aprender o algoritmo de Euclides, a comparar perímetros, a resolver ecuacións,...
• Xogos didácticos. Un apartado fantástico no que temos xogos como o da Torre de Hanoi, o do NIM, o Tangram, o Tetris, ... Un deles é o Ouri, que non é outra cousa que un xogo mancala. No último número da revista Gamma podemos ler un artigo sobre o xogo.
• Resolver cuestións. Portal de exercicios clasificados por temas.
• Xogo para mellorares o cálculo. Trátase dun xogo realmente entretido para practicar o cálculo numérico. Na arañeira da rede podemos atopar moitos que buscan este mesmo obxectivo, mais este ten unha apariencia simple e resulta moi efectivo. Aparécenos unha matriz chea de números, un reloxo, un resultado e unha operación aritmética. Temos que usar os números da matriz para obter o resultado dado.

No seguinte vídeo podemos facernos unha idea dos contidos de Hypatiamat, pero case o mellor é mergullarse no web e remexer. Alí, tras esta ligazón hai todo un mundo por descubrir cheo de posibilidades para as nosas aulas de matemáticas.

Algúns problemas de Lewis Carrol.2

O mérito do que podedes ver aquí é do traballo realizado polos alumnos de 1º da ESO dirixidos pola súa profesora Norma. Traballaron arreo para decorar o centro.
Houbo unha chea de actividades para  celebrarmos o 150 aniversario da edición de Alicia no país das marabillas. Aquí só vou destacar os retos matemáticos elaborados a partir de propostas de Lewis Carroll. Cada un dos retos estaba presentado por algún dos personaxes do marabilloso mundo de Alicia. Todos, agás o reto 8 que é obra de Sam Loyd, están recollidos de textos de Carroll, especialmente do libro Matemática demente.

Reto 1. A excursión
Dous excursionistas tardan, desde a 3 ata as 9 da tarde, en percorrer un camiño chairo, despois suben ata un outeiro e volven ata o punto de partida. A súavelocidade no camiño chairo era de 4 millas por hora, na subida de 3 e no descenso de 6. Acha a distancia percorrida.

Reto 2.A comida do gobernador de Kgovjni
O gobernador de Kgovjni ofrece unha comida na que invita ao cuñado do pai, aosogro do seuirmán, ao irmán do seu sogro e ao pai do seu cuñado. Acha o número de invitados.

Reto 3.O carteiro da praza 
Unha praza cadrada ten 21 portas en cada un dos seus lados. Están todas numeradas comenzando por unha das esquinas . Un carteiro debe facer entregas nos números 9, 26, 54 e 76. Por cal das catro portas debe comenzar a facer o reparto para percorrer a menor distancia posible?

Reto 4.Viaxeiros a ninguna parte
Dous viaxeiros, partindo a un tempo, percorren en dirección opostas unha vía de tren circular. Os trens saen en ambas dirección (Leste e Oeste) cada cuarto de hora. O tren do Leste dá a volta completa en 3 horas; o do Oeste tarda 2. Cantos trens encontrará cada un dos viaxeiros no seu camiño?

Reto 5.Sacos pesados
Hai cinco sacos: A, B, C, D, E. Os dousprimeiros pesan 12 libras, o B e o C pesan 13 libras e media, o C e o D 11 libras e media, o D e o E, 8 libras. Se os sacos A, C e E pesan 16 libras, canto pesa cada un dos cinco sacos?

Reto 6. Bonecas rotas de Chelsea
O 70% das bonecas de Chelsea perderon un ollo, ao 75% fáltalles una orella, o 80% está sen un brazo e 0 85% sen unha perna. Que porcentaxe, como mínimo está sen os catro elementos?

Reto 7.O xardín de grava
Un xardín rectangular, media iarda máis largo que ancho, consiste únicamente nun sendeiro de grava disposto en espiral. O sendeiro ten unha iarda de ancho e unha lonxitude de 3630 iardas. Acha as dimensións do xardín.

Reto 8. Was it a cat I saw?

A pregunta é: cantos camiños podemos percorrer seguindo a frase: Was it a cat I saw?

Para unha primeira aproximación ao problema podes probar a pintar algúns camiños sobre o seguinte esquema:

Reto 8. Debuxa dun único trazo.
Debuxa a seguinte figura cun único trazo, sen levantar o lápis do papel:

Aínda tiñamos algún reto máis na faltriqueira ao que lle podedes botar o dente:
A merenda
 Un vaso de limonada, 3 sándwiches e 7 bizcoitos custan 14 peniques. Un vaso de limonada, 4 sándwiches e 10 bizcoitos custan 17 peniques. Acha o prezo dun vaso de limonada, un sándwich e un bizcoito.

As idades dos tres fillos
A primeira vez que os vin, dúas das idades daban unha suma igual á terceira. Uns anos máis tarde dúas delas dan o dobre da outra. Cando o número de anos transcorridos desde o primeiro encontró é dous terzos da suma das idades de todos eles nesa ocasión, unha das idades era 21. Cales eran as outras dúas?

Algúns problemas de Lewis Carroll.1

Alicia no país das marabillas cumpriu 150 anos. No instituto aproveitouse a ocasión para facer varias actividades arredor do libro e da figura do seu autor, Charles Lutwidge Dodgson, ou, para quen o prefira,  Lewis Carroll. A última hora min tocoume tamén o tema, desde o reducido punto de vista das matemáticas, claro.
Cóntase que á raíña Vitoria lle gustou moito libro de Alicia, editado no ano 1865 así que lle escribiu ao autor, que era profesor de matemáticas en Oxford, reclamándolle que desde aquela data lle enviara todos os seus libros. Charles Dodgson obedeceu escrupulosamente a petición. Tan pronto como se publicou o seu novo libro no ano 1867, o primeiro que fixo foi enviarllo á raíña. Tratábase do Teoría elemental de determinantes. Parece que non hai constancia dunha nova felicitación real.

Para comenzar, un pequeno e sinxelo problema que Lewis Carroll lle enviou por carta a unha das súas pequenas amigas. Trátase de debuxar a seguinte figura se levantar o lapis do papel:

Velaquí outro moi sinxelo, e que creo que vin por primeira vez referenciado nun libro de Martin Gardner. Temos unha finca cadrada. Nunha esquina está situada unha casa, tamén cadrada. O resto é un xardín. Trátase de dividir o xardín en catro partes iguais.

O terceiro problema é o que ten algo máis de dificultade. Non foi creado por, pero que ten moito que ver con el e co libro de Alicia no país das marabillas. É obra de Sam Loyd, un norteamericano que viviu durante a segunda metade do século XIX, autor de moitos crebacabezas matemáticos. Outra vez debemos facer referencia a Martin Gardner, que foi quen máis fixo por divulgar e reivindicar a obra de Loyd.

Unha das aportacións de Sam Loy máis coñecidas é precisamente o que fai referencia ao libro de L. Carroll. Nunha das aventuras Alicia encóntrase co gato de Cheshire. Sobre este relato Loyd constrúe este palíndromo que multiplica creando un cadrado realmente fantástico:

A pregunta é: cantos camiños podemos percorrer seguindo a frase: Was it a cat I saw?

Para unha primeira aproximación ao problema podes probar a pintar algúns camiños sobre o seguinte esquema:

Cada vez que se me presenta un palíndromo venme á cabeza un poético e fermoso libro de Gonzalo Navaza. O seu título revela ben o seu interior: A torre da derrotA. Trátase dun libro que contén poemas feitos con versos palindrómicos, e incluso poemas palindrómicos. Un dos versos, Luz azuL, pode ser un bo entrenamento para o estudo do problema que nos propuxo Sam Loyd:

O libro de Navaza, visto desde este novo punto de vista, estaría cheo de retos:

 O sono é o nosO

Ouso pisar o mar, amor, así posúO

Velaí que nunca sobre a seguinte recomendación:  Ame o pobo o bo poemA

.................................................................................................................................................. E se despois de entreterse un pouco co problema non se chega a ningures, sempre se pode premer aquí e...

Onde está o centro de Silleda?

Nesta curtade de dous minutos, un grupo de alumnos  de 2º de bacharelato Denise Varela, Sonia Troitiño e Carlos Mato(2º bacharelato) explican o que é o centroide dun polígono e calculan o do concello no que viven: Silleda. É un dos traballos que se presentaron este ano ao concurso Explícoche matemáticas 2.0 (pódense votar as que máis vos gusten) dentro dun programa iniciado pola Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC e que agora se organiza en colaboración con EducaBarrié. Outra vez estamos ante a cuestión  das matemáticas en galego, polémica únicamente por culpa do funesto decreto do plurilingüismo, que nesa cruzada antigaleguizadora da Xunta identifica esta materia co castelán. Se visitades a páxina do concurso veredes comprobaredes que Onde está o centro de Silleda? Trátase de resolver o problema de atopar o punto central dunha rexión plana de fronteira irregular como a do Concello de Silleda. Sobra dicir que isto podería facerse con calquera outro concello ou, máis en xeral, con calquera rexión plana. O caso dos polígonos regulares ou dos rectángulos é ben simple pero a pouco que se complique o polígono increméntase moito a dificultade do problema. O centroide debe poder determinarse a partir das coordenadas dos vértices do polígono. Neste traballo aproximouse a fronteira de Silleda mediante un polígono de 597 lados. Sobre este polígono calculouse o centroide sobre un sistema cartesiano  Para obter as coordenadas xeográficas considerarase o centroide como punto de corte de dous segmentos. A liña que vai aproximadamente de norte a sur parte do Río Deza (Pazos) e chega ata a Serra do Candán (Parada). A que a cruza vai dende o Humedal do Lombo da Lagoa (Xestoso) ata o Río Deza (Vilar). Velaí que o punto central do concello de Silleda é unha veiga chamada Pena Vidal, no lugal de Bustelo, na parroquia de Escuadro, apenas a 2700 m do IES Pintor Colmeiro, o centro no que se argallou todo o traballo. Neste mapa pódese ver a súa localización exacta. O punto A indica a localización do insituto e o punto B é o centro de Silleda. A quen lle temos que agradecer esta determinación é ao profesor e compañeiro Xoán Carlos Porral, sen o seu coñecemento da topografía silledense seríanos imposible chegar a ela.

"O soño" de Kepler

Se dispoñer na nosa lingua do libro O soño, de Johannes Kepler, é todo un luxo, esta xoia vén acompañada dunha impagable introdución do seu tradutor, Alfonso Blanco, na que se nos achega un perfil biográfico de Kepler e polo tanto tamén unha contextualización histórica ademais dunha introdución aos avatares sufridos por esta obra en particular. Por iso eu recomendaría  antes de nada ler primeiro as claves que nos debulla Alfonso Blanco. De certo que despois non hai quen pase sen ler O soño. Unha primeira lectura  pódese facer sen atender ás anotacións. Pois cómpre saber que a maior parte do texto está nas máis de 200 anotacións, introducidas por Kepler entre 10 e 20 anos despois de ter escrito o libro. Ademais hai unha boa colección de notas desta edición tanto ao corpo principal do texto como ás anotacións de Kepler. Da lectura de O soño obtemos un certificado de cal era o signo dos tempos. É do máis interesante comprobar por un mesmo como estamos diante dunha obra escrita nunha época cargada de supersticións pero que a un tempo é na que se está a incubar a revolución científica que daría un xiro copernicano á historia do pensamento da humanidade. Poño como exemplo un par de notas, case consecutivas, que contan moito da mentalidade da época, substanciada na curiosa personalidade de Kepler. Nunha, a número 55, Kepler comenta en broma, mais con toda naturalidade, como os malos espíritos son considerados poderosos nas tebras. Por esta razón, cando se producen eclipses de Lúa eses espíritos desprázanse polo cono de sombra da Terra e invaden a Lúa. Velaquí a parte máxica do pensamento que Kepler utiliza para viaxar ao satélite. Pola contra na nota 57 o astrónomo calcula a velocidade á que deben viaxar eses espíritos para chegar a tempo á Lúa, isto é, antes de que remate a eclipse: 90.390 km/h. Éste é o exemplo da outra cara da moeda; nun mundo que cría que a uns metros, baixo os seus pés, os demos do inferno e o purgatorio realmente estaban a aplicar  tormentos aos pecadores, comezaba a abrollar o espírito do tratamento científico da realidade. Un texto copernicano O obxectivo co que fora elaborado nun principio O soño aparece explicado nunha carta que Kepler lle envía a Galileo para comentarlle os revolucionarios descubrimentos feitos co telescopio polo astrónomo italiano no 1610: "fundei unha astronomía nova como se fose para aqueles que habitan a Lúa". Kepler era un gran astrónomo, un perfecto coñecedor das disposicións dos planetas e as estrelas. O ano anterior publicara unha das grandes obras da ciencia de todas as épocas, Astronomía Nova, na que despois dun pulso de varios anos cos datos de Marte herdados de Tycho Brahe, da súa imaxinativa mente xurdiron as leis que serían a rocha sobre a que se había de fundar a nova física. Polo tanto non podemos pensar en ninguén mellor para explicar como un astrónomo selenita vería os seus ceos. Non era da mesma opinión o emperador Rodolfo II, que non lle permitiu a publicación. O problema estaba en que a astronomía lunar kepleriana era profundamente copernicana. Tomar o punto de vista dun habitante de Lúa era un movemento estratéxico moi intelixente. Este selenita pensaría que vive nun mundo inmóbil e desde a súa posición no satélite ofreceríase unha astronomía moi distinta á nosa. O cambio de punto de vista evidencia a febleza do xeocentrismo. Para completar a xogada efectúa tamén un cambio de nomes. A Lúa recibe o nome de Levania e a Terra o de Volva. Así podemos distinguir dúas rexións ben diferenciadas na xeografía da Lúa: a cara que mira permanentemente á Terra, Subvolva, e a cara oculta, ou Privolva. Kepler debulla as características máis importantes da astronomía lunar. Os días na Lúa duran un mes terrestre, divididos en aproximadamente 15 días de sol e outros tantos de noite. Tamén fala de como na Lúa as eclipses solares e de Volva se suceden coa mesma cadencia que para nós as de Lúa e Sol respectivamente. Desde Subvolva obsérvanse as fases de Volva, e o que resulta un unha toma de postura plenamente copernicana, tamén se pode comprobar a rotación diaria do noso planeta. Este cambio de denominacións, lonxe de ser inocente é un dardo mortal na cerna do xeocentrismo. O libro, así concibido, era un excelente texto de divulgación científica. Precisamente o que pretendía divulgar era o que facía complicada a súa publicación. Lutero e Calvino xa levantaran as palabras da Biblia como garante da inmobilidade da Terra. A pesar de todo, Kepler non se rende. Convencido que a irracionalidade das críticas contra o De revolutinibus se debía á ignorancia en astronomía intenta unha nova estratexia. Engádelle unha historia para envolver esa xeografía lunar nunha narración imaxinaria recollendo a tradición das narracións de viaxes. O protagonista ten un soño que consiste na lectura dun libro. Ese libro relata a historia de Duracontus, un mozo islandés, quen finalmente grazas a unha invocación da nai comeza a escoitar na voz dun xenio a descrición da xeografía lunar kepleriana. Se ben con esta transformación o cambio de perspectiva proposto por Kepler pode perder forza ao estar adubado de xogos narrativos nos que incorpora a maxia, o estilo descritivo da parte científica é tan claro, tan distinto á primeira parte do Soño, que cómpre pouca perspicacia para que o libro siga mantendo a súa  carga de propaganda e defensa copernicana. Finalmente esta conversión do libro nunha historia fantástica tería indesexadas e terribles consecuencias tanto para a obra o como para a propio futuro de Kepler. Katharina, a nai de Kepler foi acusada de bruxaría e unha copia do Soño sería usada como material contra ela no xuízo. A lectura do manuscrito facía moi doada a identificación da nai de Kepler coa menciñeira nai do protagonista do Soño. O libro convertérase nun magnífico apoio para acusación de bruxaría de Katharina. Johannes asumiu directamente a defensa da súa nai . Isto foi unha preocupación continua e unha ruína económica durante os anos que durou o proceso. Moito se ten escrito e debatido sobre o proceso a Galileo e a prohibición da publicación do seu Diálogo. Estamos ante un caso das mesmas características, coa diferenza de que a represión protestante non estaba tan organizada como a Igrexa católica. Porén a súa ideoloxía e defensa fundamentalista estaba ben establecida na estrutura social da época.  Neste caso volvemos a ver un enfrontamento no que o poder actúa contra a nacente revolución científica que estaba a socavar os piares do coñecemento férreamente controlado pola oficialidade. Non hai ningunha dúbida de que O soño era un ensaio para a difusión do copernicanismo. Non concordo para nada coa adscrición, mil veces repetida, desta obra como  precursora da ciencia-ficción. Aínda que isto signifique ir en contra da clasificación dada por dous grandes xenios da divulgación científica como Carl Sagan e Isaac Asimov, se O soño pode ser considerada pioneira dun estilo, éste sería precisamente o da divulgación científica.