Tipos de problemas, tipos de ensino

A importancia da educación está nos detalles. Todos os profesores de Matemáticas de Secundaria explicamos temas como o da resolución das ecuacións de segundo grao. Pero non todos o facemos igual. 

Unha das cousas que temos que facer é propoñer problemas/exercicios. Podémonos achegar a distintos estilos de aprendizaxe en función do tipo de problemas que propoñemos.

Problemas tipo I

1. $x^{2}+x-6=0$

2. $x^{2}-8x+15=0$

3. $10x^{2}+8x+12=0$

4. $8x^{2}-22x-21=0$

Haberá quen teña un enfoque meramente algorítmico das matemáticas. Ese profesor só tratará con este tipo de problemas. 

Problemas tipo II

5. En cada un das ecuacións anteriores identifica os valores dos coeficientes $a$, $b$, $c$; indica tamén en cada caso o valor das solucións $x_{1}$ e $x_{2}$. Determina en cada caso canto vale a suma das solucións $S=x_{1}+x_{2}$ e o seu produto $P=x_{1}\cdot x_{2}$. Compara os coeficientes coa suma e o produto das solucións. Observas algo?

6. Calcula o discriminante das ecuacións seguintes e despois resólveas. Que observas?

a) $x^{2}-6x+5=0$        b) $x^{2}-6x+9=0$          c) $x^{2}-10x+40=0$ 

Estas son actividades dirixidas cun obxectivo de aprendizaxe específico. A resposta non está determinada como nos problemas de tipo I pero oriéntase ao alumnado a que centren a súa atención nun aspecto para que "descubran" determinadas propiedades. Neste caso preténdese que obteñan as fórmulas de Viéta para ecuacións de segundo grado con $a=1$ ou que relacionen o número de solucións co signo do discriminante.

Problemas tipo III

7. $\frac{5}{x}+2x=6$

8.$\frac{\left ( x+3 \right )\left ( x-3 \right )-4}{2}-\frac{x-2}{3}=\frac{\left ( x-2 \right )^{2}+1}{6}$

Estas non son ecuacións de segundo grao reducidas á forma $ax^{2}+bx+c=0$.  Traballar unicamente coas dun tipo pode levar á falsa conclusión de que esa é a única forma que teñen. 

Probemas tipo IV

9. Se $a$ e $b$ son as raíces de $5x^{2}+6x+7=0$, acha $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

10. Se $a$ e $b$ son as raíces de  $3x^{2}+4x+5=0$, acha $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

11. Se $a$ e $b$ son as raíces de $2x^{2}+3x+4=0$, acha $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}$

Aquí estase pedindo máis que nos casos anteriores. Requírese non só coñecemento dos tópicos da resolución das ecuacións de segundo grao, senón que se precisa habilidade na manipulación alxébrica e capacidade e enfrontarse a novos problemas. Non todo o alumnado está en disposición de tratalos aínda que a abordaxe destes problemas pode ser un bo entrenamento para a seguinte remesa.

Problemas tipo V

12. Acha todos os $a$ tales que a suma dos cubos e a suma dos cadrados das raíces de $ax^{2}+4x+3=0$ sexan iguais.

13. Acha todos os pares ordenados $(a,b)$ tales que as raíces de $x^{2}+ax+b=0$ son os cadrados das raíces de $5x^{2}-6x+10=0$

Unha clase da era da COVID-19

Calquera que estude matemáticas, polo si ou polo non, terá que acabar colléndolle gusto á abstracción. Con todo, isto non significa que a abstracción sexa sempre a mellor opción. Na práctica do ensino é normalmente a peor.
Estando na facultade, creárase os "Martes culturais". Na última hora da mañá dos martes programábase unha actividade tal como a proxección dunha película, unha conferencia,... non necesariamente de temas matemáticos. Lembro que se presentara o libro "Manuscritos matemáticos de Karl Marx", e que o autor do prólogo e a tradución, Xenaro García Suárez, viñera a presentalo. No debates posterior tratouse o tema da crítica do bispo G. Berkeley aos infinitésimos, esas cantidades que por veces son algo e por veces non son nada, segundo conveña. Isto deu pé a unha polémica sobre a didáctica das matemáticas. Había, como non, un profesor da facultade que defendía con convicción a tese de que no ensino había que ir do abstracto ao concreto. Non son quen de reproducir as palabras exactas pero os seus argumentos eran algo deste estilo:
Non, un triángulo non é máis abstracto que un espazo de dimensión infinita. Nun triángulo tes que coller un lado, e pegalo con coidado a outro lado, e despois un terceiro lado que se axuste moi ben aos outros dous. Pero se tes unha liña, xa tes un espazo de dimensión 1,  trazas, outra perpendicular e xa tes un de dimensión dous,... e así ata o infinito.
E  declamaba en alto o que os presentes entendiamos como os seguintes símbolos:$$\mathbb{R}\quad \quad \mathbb{R}^{2}\quad ....\quad \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$
Por se alguén botou as mans á cabeza, aclararlle que o autor deste disparatado argumento foi un dos mellores profesores que tiven en toda a carreira. Pero érao porque practicaba o contrario do que defendía. Nas clases destrozaba o formalismo e centrábase en comunicar as ideas importantes no desenvolvemento das demostracións. Foi ao primeiro profesor da facultade, despois de cinco  meses, ao que lle entendín algo.
Despois desta breve introdución, imos ao cerne.
Sen tempo a prepararnos estamos mergullados na distopía do confinamento. Cada quen dispara cara onde pode. Eu véxome andando ás atoutiñadas por isto do teletraballo. Menos mal que unha semana despois da declaración suspensión das clases, a benemérita Consellería publica unhas directrices para o teletraballo docente. Apenas as vou comentar,  pois xa houbo quen o fixo cargado de acerto.
As directrices teñen 5 capítulos:

1. Instrucións en relación co COVID-19
2. Orientacións para o desenvolvemento do ensino non presencial
3. Espazos virtuais con recursos educativos
4. Ferramentas específicas
5. Teleformación e asesoramento para o profesorado 

Como xa sabía o contido do 1, e nesa semana xa tivera que andar a tombos procurando o 2, o 3, e como do 5 non esperaba nada, lanceime, iluso de min, ao 4. Ferramentas específicas
Teño que deixar constancia de que a CIG-Ensino está acertada neste comunicado pois de entre todas as coleccións que recomendan só unha, o espazoAbalar,  ten unha parte de contidos en galego, o resto son materiais foráneos.
Eu esperaba algún listado de recursos por materia, e non ferramentas como Geogebra, Amara ou Arduino, que aquel que as coñecía xa as podía usar, mais un novo usuario das mesmas precisará quizais todo o tempo do confinamento para ter un coñecemento das mesmas que lle permita, eventualmente, crear algún tipo de material didáctico. Incluso esperaba algo máis práctico,  dispoñer de exemplos, por materia de contidos reais que me permitiran non cometer todos os erros que estou cometendo nas clases virtuais destes días. Eu esperaba ver algo concreto, cousas como as que está publicando Aulas Galegas, ou exemplos de clases reais e palpables.

Un exemplo. As clases desta semana de 4º da ESO
Velaquí a miña clase destes días para 4º da ESO. Nos días anteriores estudáronse as funcións lineares: a pendente, o significado da pendente respecto á gráfica da recta segundo esta aumente, diminúa, sexa maior ou menor. Tamén se tratou o valor da ordenada na orixe na representación gráfica. En definitiva, os primeiros contidos desta U.D.
Con estes precedentes, esta semana seguiremos como guía esta presentación (é a primeira vez que uso unha presentación nunha clase) e trataremos o uso de follas de cálculo para construír gráficos a partir destes datos

Un problema de escalas no edixgal

Velaquí que o rapaz chegoume o outro día cun problema ao que non lle daba botado man. Está en 5º de primaria, pero cando me dixo que se trataba dun problema de "sociais pero de competencia matemática" pensei en que o pobre xa estaba botado a perder.
No seu grupo están apuntados ao edixgal. Isto indícanos cousas positivas dun profesorado está preocupado pola mellora do ensino e pola situación social do entorno xa que se meteron a participar nun programa que prometía moito e que ademais tiña a ventaxa de que se liberaba aos pais da compra dos libros de texto. Porén comenzou o curso e todos vimos que o edixgal non é outra cousa que un pdf con todas as dificultades que isto acarrexa, e como veremos, sen ningunha ventaxa das posibilidades de contarmos cunha ferramenta realmente dixital. Hoxe ese profesorado está arrepentido de participar no edixgal.
O único que cambia co edixgal con respecto ao libro de texto é que para acceder aos contidos hai que moverse nun entorno de scrolls realmente pesado e dificultoso. Ademais os portátiles destinados a este programa son os do proxecto Abalar, cunha pantalla moi pequena, que dificulta aínda máis a consulta destes libros de texto. E insisto no de libros de texto porque os contidos dixitais son inexistentes. Vexamos un exemplo que nos indica que todo isto do proxecto edixgal foi montado sen planificación ningunha.
O problema ao que me refería ao principio é o nº 12 desta foto. Nada tería que dicir se este mesmo problema viñera nun libro tradicional, incluso gabaría que o mapa fixese referencia a concellos galegos, pois sempre é preferible facer referencia á realidade próxima e coñecida que a outra allea e descoñecida.

Ver a enorme contradición entre a escala do mapa e a posibilidade de cambio do tamaño do pdf

Como o problema pide que tracemos o itinerario cun fío, así o fixemos. Collín un fío e coloqueino sobre a pantalla do ordenador-Abalar. Pero como a pantalla é táctil, ao tocala para facer a medición, reducía automáticamente o tamaño do pdf. Ademais, a que tamaño había que colocalo? 100%, 147%,...? E non é isto o único problema. Abrín o pdf no meu PC, que ten unha pantalla maior e non ten os problemas do portátil-Abalar, pero se abrimos o pdf noutra pantalla de distinto tamaño, tamén cambia o tamaño do mapa. Conclusión: imposible medir o mapa. Así que, xa sen recursos, mirei cara ao rapaz e pregunteille:
- E agora, que facemos?
- Vai ser mellor mirar no google maps - contestoume. Daquela pensei que aínda non estaba todo perdido.

Materiais dixitais vs. materiais apantallados

Este capítulo levoume a pensar en materiais que realmente están preparados para traballar no entorno dixital. Sen sairmos dos problemas de semellanza, non podo deixar de recomendar esta unidade didáctica do Proxecto EDAD. Se imos a >Exercicios>Proporcionalidade directa, teremos a posibilidade de traballar de varias maneiras coas escalas dos mapas.
Estas unidades didácticas, acaídas ao entorno dixital, son prácticamente as únicas dispoñibles en galego para o ensino das matemáticas, A Xunta, se quixera, podería usar estes materiais para proxectos como o edixgal, pero prefire pagar por pdfs apantallados. A ideoloxía que hai por debaixo de todo isto atopámola no funesto decreto do plurilingüismo: o realmente importante para a Consellería de Educación é que a lingua galega siga excluída das materias de ciencias. Resulta moi revelador que para que poidamos ver un contido de matemáticas en galego recollido do fardel da Consellería, teñamos que ir a un exercicio da materia de Ciencias Sociais. O galego, nas matemáticas, está arrasado. Que a ninguén lle estrañen, xa que logo, os resultados que nos que nos revelaba o IGE hai un ano, cun 13% de baixada de uso do galego nunha década.
A alguén lle teremos que dar as grazas.

Hypatiamat

Desafortunadamente os que impartimos clases de matemáticas puidemos comprobar como nos últimos anos vimos sufrindo unha falta de recursos ofertados desde as institucións educativas. En Galicia houbo sempre pouca oferta. O camiño comenzara a abrirse a principios deste século foi aniquilado a partir do ano 2010. Quedaba aínda o MEC, pero a política educativa dos últimos anos consistiu no abandono de todos os proxectos educativos gratuitos e promovidos desde as institucións públicas para apostar polos recursos educativos de pago. Baixo a epígrafe de "Mochila Dixital" ou "Edixgal" está a facerse unha aposta que exclúe a elaboración desde un laboratorio didáctico público xa que isto non favorece o substancioso negocio dos materiais escolares.
Ata o momento había espazo para as editoriais pero existían tamén moitos proxectos sustentados desde a iniciativa pública que eran realmente gorentosos para a posta en fucionamento nas aulas. Poño como exemplo o Proxecto Descartes que foi completamente abandonado polo Ministerio de Educación e do que agora só queda un desamparado portal con problemas de accesibilidade aos seus recursos. Aínda bo é que os que sustentaban o proxecto seguen a mantelo actualizado, renovado e de libre acceso tan e como podemos comprobar na súa nova dirección.
As razóns aquí expostas fan que teñamos que buscar outras xanelas que nos fornezan de recursos educativos para a aula de matemáticas. Tendo en conta a proximidade da nosa lingua co portugués non é mala idea ir pescar nos países desta fala. Neste caso basta con cruzar o Miño para atoparmos unha boa fardela. O seu nome, Hypatiamat.

Hypatiamat
Para enfrontarse ao problema do fracaso escolar das matemáticas en Portugal, o Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra en colaboración co Grupo Universitário de Investigação em Autorregulação da Escola de Psicologia da Universidade do Minho. O proxecto consiste na utilización de aplicacións interactivas para contribuir á aprendizaxe das matemáticas para alumnos de 5º ano (5º primaria) a 9º ano (3º ESO). Podemos distinguir cinco ofertas principais:

• Aplicacións interactivas. Consiste nunha colección de unidades didácticas interactivas sobre distintos temas. Fixéronme recordar o excelente material ED@D do Proxecto Descartes.
• Apps para aprender. Podemos atopar aplicacións que nos ensinan a construir triángulos, a aprender o algoritmo de Euclides, a comparar perímetros, a resolver ecuacións,...
• Xogos didácticos. Un apartado fantástico no que temos xogos como o da Torre de Hanoi, o do NIM, o Tangram, o Tetris, ... Un deles é o Ouri, que non é outra cousa que un xogo mancala. No último número da revista Gamma podemos ler un artigo sobre o xogo.
• Resolver cuestións. Portal de exercicios clasificados por temas.
• Xogo para mellorares o cálculo. Trátase dun xogo realmente entretido para practicar o cálculo numérico. Na arañeira da rede podemos atopar moitos que buscan este mesmo obxectivo, mais este ten unha apariencia simple e resulta moi efectivo. Aparécenos unha matriz chea de números, un reloxo, un resultado e unha operación aritmética. Temos que usar os números da matriz para obter o resultado dado.

No seguinte vídeo podemos facernos unha idea dos contidos de Hypatiamat, pero case o mellor é mergullarse no web e remexer. Alí, tras esta ligazón hai todo un mundo por descubrir cheo de posibilidades para as nosas aulas de matemáticas.

“Carta a un professor novell”

“Carta a un professor novell” por Anton Aubanell Vía feemcat. Nesta mesma ligazón pode consultarse o contido da mensaxe e Aubanell.