Intuición esganada cunha corda

Hai algunhas cuestións que nos chaman moito a atención por daren lugar a resultados sorprendentes, e se os cualificamos de sorprendentes é porque desafían a nosa experiencia ou a nosa intuición. Ese é o caso do problema do "cinto da Terra" que xa tratamos noutra ocasión ao recoller un artigo de Jaime Poniachik na revista Cacumen. A cuestión era a seguinte:

O cinto da Terra. Imaxinemos un cordel cinguido á Terra sobre o ecuador. Se lle engadimos un metro, vai quedar algo folgado, canto? Axustemos agora outra o cordel arredor dunha laranxa e despois agregámoslle tamén un metro. O sorprendente é que agora a folgura do cinto da laranxa coincide coa da Terra.

A explicación é ben simple. A lonxitude da corda inicial é 2πr. Se lle engadimos un metro a nova lonxitude será $$2\pi r+1=2\pi (r+\frac{1}{2\pi })$$

polo que o raio da corda extendida supera en 1/2π unidades ao raio da circunferencia inicial independentemente do valor do raio. No caso que nos ocupa, como incrementamos a lonxitude nun metro, o raio aumentaría uns 16 cm tanto no caso da Terra como no da laranxa. Se nos pediran un valor para este problema antes de ver a solución seguramente aventurariamos unha cantidade milimétrica pois,a priori, dá a impresión de que engadir un metro a unha cantidade tan desproporcionadamente maior como a da circunferencia terrestre (uns 40 000 km) vén sendo tanto como non engadir nada. 

Tratemos agora un problema cunha fasquía moi semellante. Segundo conta Zhúkov no seu libro El omnipresente número π (Editorial URSS, 2004), o profesor Anatoli  Dimítrievich Myshkis tivo a simpática idea de propoñer o seguinte problema nunha das súas clases:

Tíralle da corda. Supoñamos que o globo arredor do globo terráqueo se cingue unha corda inextensible. Despois de alongala un metro, tómase a corda por un punto e levántase da superficie da Terra ata a maior altura posible. Determínese esa altura.

O ideal sería que o lector ofrecese unha resposta, mesmo a escribise antes de seguir lendo a solución a esta espiñenta cuestión e que recollo esencialmente do citado libro.

Sexa OA=OC=OC'=R o raio terrestre, AB=a, AC=h e α=∠AOB. De todas estas cantidades só coñecemos R. O triángulo AOB é rectángulo en A, de aí que $$tan\alpha =\frac{a}{R}[1]$$

Aplicando o teorema de Pitágoras:$$\begin{gathered} {(R+h)}^2=R^2+a^2 \\ {R}^2+2Rh+h^2=R^2+a^2 \end{gathered}$$

 Operando queda esta ecuación de segundo grao en h: $$\begin{gathered} h^2+2Rh+-a^2=0 \\ h=\frac{-2R\pm \sqrt{4R^2+4a^2}}{2}=-R\pm \sqrt{R^2+a^2} \end{gathered}$$

Tomando o resultado positivo e despois multiplicando e dividindo por R:  $$h=\sqrt{R^2+a^2}-R=R[\sqrt{1+{\left(\frac{a}{R}\right)}^2}-1][2]$$

Só nos quedaría determinar $a$, ou neste caso,$\frac{a}{R}$. A cuestión non é simple. Teremos que ir máis alá da manipulación alxébrica e botar man de resultados do cálculo diferencial.

A lonxitude, en radiáns, do  arco AOC é $\pi \alpha$ e a da semicircunferencia CC' é $\pi R$, polo tanto o a medida do arco AC'  será a súa diferenza $\pi R-\pi \alpha$. A lonxitude da corda desde B, pasando por A ata C':$$a+\pi R-\pi \alpha =\frac{2\pi R+1}{2}=\pi R+\frac{1}{2}$$

Simplificando esta expresión e dividindo por R:$$\begin{gathered} \frac{a}{R}-\frac{R\alpha }{R}=\frac{1}{2R} \\ \alpha =\frac{a}{R}-\frac{1}{2R} \end{gathered}$$

Substituíndo en [1]:$$tan\left(\alpha \right)=tan(\frac{a}{R}-\frac{1}{2R})=\frac{a}{R}[3]$$

Como $\alpha$ ten un valor moi pequeno e unha boa aproximación da tanxente na veciñanza do cero é a serie de Taylor temos que $$tan\left(\alpha \right)=\alpha +\frac{1}{3}{\alpha }^3++ϵ$$

Aplicando esta relación a [3] temos que $$\frac{a}{R}-\frac{1}{2R}+\frac{1}{3}{(\frac{a}{R}-\frac{1}{2R})}^3+ϵ=\frac{a}{R}$$

$$\begin{gathered} {(\frac{a}{R}-\frac{1}{2R})}^3=\frac{3}{2R}-3ϵ \\ \frac{a}{R}-\frac{1}{2R}=\sqrt[3]{\frac{3}{2R}-3ϵ} \end{gathered}$$

Como comparativamente os valores de $\frac{1}{2R}$ e $3ϵ$ son moi pequenos podemos establecer a seguinte aproximación $$\frac{a}{R}\approx \sqrt[3]{\frac{3}{2R}}$$

Que podemos substituír en [2] para finalmente poder achar o buscado valor de h: $$h\approx R[\sqrt{1+{\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2R}}\right)}^2}-1]$$

Como valor de R tomarei o dado pola definición de metro da Academia Francesa: o metro é a dez millonésima parte dun cuadrante de meridiano, isto é, que a circunferencia da Terra será de 40 millóns de metros. É certo que agora sabemos que a Terra non é esférica e que posteriormente aos traballos de medición do meridiano redefiniuse o metro e axustáronse as medidas reais do globo terráqueo. A suposición dun planeta perfectamente esférico e a escolla deste valor para o raio quizais sexa tan romántica como o propio enunciado do teorema. De todas formas non inflúe no resultado final. Para poder achalo na última fórmula non nos serve a calculadora, temos que botar man dunha folla de cáculo ou do Wolphram Alpha. O resultado final é o inesperado valor h≈121 m

Agora que temos destrozada a intuición quizais poidamos abordar con mellor disposición a seguinte proposta que recollo do mesmo artigo de Poniachik nomeado anteriormente e que é unha adaptación dun problema referido por Ross Honsberger no libro The Mathematical Gardner (David A. Klamer, 1981). 

O riel dilatado. Consideremos un riel recto AB de 500 metros de lonxitude fixado nos extremos. A calor do verán prodúcelle unha dilatación de 2 metros, observándose unha xoroba de altura x. Estímese este valor se a dilatación é simétrica.

Como na cuestión anterior pídese unha resposta baseada na intuición antes de ter a tentación de botarlle un ollo á resposta. Comprobaremos ademais que esta proposta resulta moi acaída para ser tratada nun curso da ESO.

Xa que nos piden unha estimación imos considerar que a dilatación está formada por rectas. Así teremos dous triángulos rectángulos de catetos 250 e x cunha hipotenusa de 251 metros. Apliquemos o teorema de Pitágoras (e de paso, repasemos as chamadas identidades notables).$$x=\sqrt{{251}^2-{250}^2}=\sqrt{(251+250)(251-250)}=\sqrt{501}$$

Creo que nin cómpre unha calculadora para decatarse de que o riel alcanzou unha altura de case 71 m.

Explícoche matemáticas 2022

Os premios

Van alá xa 10 edicións da convocatoria "Explícoche matemáticas 2.0". Dez veces dous minutos de matemáticas en galego. Un oasis no deserto xerado polo cambio climático que opera no ensino desde o ano 2010 co funesto decreto de prohibición de uso do galego nas matemáticas (e noutras materias). Gocemos con estes refachos de aire fresco que nos trae cada ano o SNL da Facultade de Matemáticas.

Este vídeo sobre os número de Mersenne, elaborado por Cristina Correa Segade, da facultade de Bioloxía, foi o gañador da edición 2022 do concurso convocado polo SNL da Facultade de Matemáticas "Explícoche matemáticas 2.0". 

Na modalidade de ensino secundario os gañadores foron dous vídeos do IES Punta Candieira (Cedeira), un centro que tamén foi protagonista deste comezo de curso 2022-23 por ser onde se visibilizaron con máis forza os recortes sofridos polo ensino público.

Este vídeo sobre a medición do tempo foi realizado por Gema López Sixto, do citado IES de Cedeira foi o que recibiu o primeiro premio de Secundaria.

É unha mágoa que nesta ocasión non se recolleran todos estes vídeos nunha lista de reprodución da canle de You Tube da facultade.

Os accésits

Este segundo vídeo do IES de Cedeira acadou un dos accéits. A súa autora é Ema Lourido Ponde.

O segundo accésit foi para Noa Ferreiro Bellas e Laura Vispalia Díaz, estudantes do IES Castro da Uz (As Pontes) por tratar este tema clásico da trigonometría: como medir alturas usando un espello.

As mencións especiais.

Finalmente o xurado concedeu mencións aos vídeos ‘As matemáticas non serven para nada’ de Iván Rodríguez Vázquez, alumno do Colexio Marista Cristo Rey da Coruña; ‘Arte ou matemáticas’ de Irene González Calvo e Raquel González Calvo, estudante do IES Adormideras (A Coruña); e ‘É 4,99... igual a 5?’ de Alba Casás Fuentes e Nadia Suárez Martínez, estudantes do IES Manuel Murguía (Arteixo)

Parabéns a todos. Un agarimoso agradecemento polo esforzo realizado.