quinta-feira, 22 de junho de 2017

A recta de Simson: a película.2


Na anterior entrada comenzáramos a comentar esta subxugante película de Trevor Fletcher do ano 1953. Continuemos.

O triángulo de Morley fóra de escena
Jakob Steiner (1796-1873) dálle o seu nome á deltoide pois foi el que demostrou que é a envolvente das rectas de Wallace-Simson dun triángulo dado ABC. A circunferencia de Feuerbach é tanxente en tres puntos á deltoide.
Na seguinte applet de geogebra quería que se puidera ver dinámicamente a deltoide de Steiner ao ir modificando os vértices do triángulo. Para elaborala foime fundamental un resultado que non aparece na película de Fletcher, xa que o achou Miguel de Guzmán no ano 2001. Estoume referindo ao seguinte teorema:
O triángulo de Morley e o que forman os vértices da deltoide de Steiner están xirados 180º. En particular os lados deses dous triángulos son paralelos.
FDE é o triángulo de Morley
de ABC
Claro que quizais haxa que explicar o resultado de Frank Morley (1860-1937),  que é o que nos dá a definición do triángulo que leva o seu nome:
Teorema de Morley. Dado un trigángulo calquera ABC, o triángulo formado pola intersección dos trisectores adxacentes dos ángulos de ABC é equilátero.
Tendo en conta este teorema e que o centro da deltoide coincide co do círculo de Feuerbach (de raio r) queda ben determinada a posición da deltoide. Ademais a deltoide pode inscribirse nunha circunferencia de raio 3r. A circunferencia circunscrita ao triángulo terá raio 2r. Ter presente que na seguinte aplicación podemos mover os vértices do triángulo.
[minuto 1:22]
A deltoide de Steiner
Steiner non só descubriu a deltoide senón que tamén demostrou que esta curva era unha hipocicloide que se xenera ao rodar unha circunferencia de raio r dentro doutra de raio 3r. Tamén se pode xenerar da mesma maneira facendo rodar unha circunferencia de raio 2r. O valor de r é o do raio da circunferencia de Feuerbach. Todo isto podémolo ver na seguinte aplicación.
[minuto 2:08]
As ecuacións paramétricas da deltoide serán:

$$\begin{cases} x=r\left( 2cost+cos2t \right) \\ y=r\left( 2sent-2sen2t \right) \end{cases}$$


Escena final
Por simetría é fácil de ver que o simétrico dun punto P nunha circunferencia de raio R respecto dunha corda AB, estará noutra circunferencia do mesmo raio e coa mesma corda. Ademais se a circunferencia de partida é a exinscrita ao triángulo ABC e tomamos como corda un dos lados do triángulo, poñamos AB, a circunferencia simétrica á exinscrita respecto de AB pasará polo ortocentro. De aí que as circunferencias que pasan polo ortocentro e por dous puntos do triángulo, sexan congruentes á exinscrita.
Na escena final veremos ao punto P como ortocentro dun triángulo congruente con ABC, xirado 180º: A'B'C'. Cando P coincide cun dos vértices de ABC, poñamos que sexa A, a recta de Wallace-Simson coincidirá coa altura que parte de A no triángulo ABC (e de A' no triángulo A'B'C'). Cando P é diametralmente oposto na circunferencia circunscrita a un dos vértices, poñamos A, a recta de Wallace-Simson coincidirá co lado BC (=B'C' por ser tamén diametralmente oposto na circunferencia cincunscrita de A'B'C'). Tamén podemos ver como o triángulo así construído A'B'C' mantén os seus puntos sobre as tres circunferencias congruentes á exinscrita. Mareante.
[minuto 5:58]
E xa que estamos metidos en fariña, dado un punto P na circunferencia exinscrita a un triángulo ABC, acabamos de falar do simétrico respecto dun dos lados AB. Chamémoslle P1 . Consideremos os simétricos de P respecto de BC e AC: P2 e P3 . Resulta que estes tres puntos son colineares co ortocentro.
A ATM (Association of Teachers of Mathematics) non só puxo á nosa disposición pola arañeira o filme Simson line do que tratamos aquí, pois podemos ver outros dous: The Cardioid e Four point conics Non estaría mal que alguén recollera a luva e perdera o tempo en comentalos. Eu disfrutei moito con este par de entradas xa que tiven a ocasión de facer referencia a unha boa restra de matemáticos: Robert Simson, William Wallace, Karl Feuerbach, Frank Morley, Jakob Steiner e Miguel de Guzmán.

terça-feira, 20 de junho de 2017

A recta de Simson: a película.1


Trevor Fletcher foi un profesor de matemáticas londinense que se atreveu a realizar varias películas matemáticas na década dos 50 e 60 do pasado século. Fletcher foi un defensor deste tipo de materiais, chegando a afirmar que se estas películas eran da calidade suficiente, cambiarían os temarios de matemáticas que se ensinarían no futuro. Aquí presento unha desas obras de Fletcher,  "A recta de Simson", un filme subxugante. A miña intención nesta entrada é intentar explicalo. Comencemos cun resultado que xustifica a definición do que será o noso obxecto de estudo:

Teorema de Wallace-Simson. Dado un triángulo ABC, se desde un punto P trazamos perpendiculares aos lados, obteremos o triángulo pedal formado polos tres puntos de corte desas perpendiculares cos lados. Estes tres puntos serán colineares se e só se P está na circunferencia circunscrita ao triángulo ABC.
Na aplicación visulizamos o teorema. Pódense mover os vértices do triángulo. [minuto 0:00]


Na honra do matemático escocés Robert Simson (1687-1768), á recta que contén eses tres pés das perpendiculares chámaselle recta de Simson. A pesar da denominación parece ser que Simson non ten nada que ver coa recta que leva o seu nome e quen realmente publicou (no ano 1799) o primeiro artigo sobre este tópico foi William Wallace (1768-1843), tamén escocés e tamén matemático. Por esta razón, no canto de aludir á devandita recta como atribuída únicamente a Simson, faise referencia a ela normalmente como a recta de Wallace-Simson. Velaquí un primeiro teorema:
As rectas de Wallace-Simson de dous puntos P e P' sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC forman un ángulo igual á metade do arco determnado por P e P'
[min 0:40]
A circunferencia dos 9 puntos
Imaxe do libro de Feuerbach
que ilustra o teorema  máis
fermoso da xeometría elemental
Á vista do anterior resultado temos o seguinte corolario:
Se P e P' son dous puntos diametralmente opostos sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, as súas rectas de Wallace-Simson serán perpendiculares. 
Pero o máis curiososo de todo é que o punto de corte destas rectas, M, estará nunha circunferencia moi particular: a circunferencia dos 9 puntos. Esta circunferencia tamén recibe o nome de circunferencia de Feuerbach, en referencia a Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), irmán do filósofo Ludwing Feuerbach. Aínda que o historiador Morris Kline se refire a el como un mestre, Karl Feuerbach, despois de obter o doctorado exerce como profesor nos Gymnasium alemáns. Foi detido na campaña represiva dos Demagogenverfolgung. Durante a súa estadía na prisión intentou suicidarse dúas veces con graves consecuencias, pois quedou eivado de por vida. Unha vida corta, pero tamén desgraciada, pois padeceu serios transtornos mentais que o incapacitaron para a impartición de clases. Un día acudiu ao Gymnasium coa espada en alto ameazando con cortarlle a cabeza a todos aqueles que non fosen quen de resolver as ecuacións que escribira no encerado. Este terrorífico episodio determinaría a súa retirada definitiva do ensino e a reclusión nos últimos seis anos da súa vida completamente asolado pola enfermidade mental.
Se a crcunferencia dos 9 puntos se identifica con Feuerbach é debido (en palabras de J. Cooldige (1873-1954)) ao "teorema máis fermoso da xeometría elemental que se descubriu desde a época de Euclides". Feuerbach no ano 1822 publicou un traballo que contiña o ese fermoso resultado:
A circunferencia que pasa polos tres pés das alturas dun triángulo tamén é tanxente ás  tres circunferencias exinscritas e á circunferencia inscrita.
Este mesmo resultado foi publicado no 1820 nun traballo de Brianchon (1783-1864) e Poncelet (1788-1867), aínda que parece demostrada a prioridade de Feuerbach no descubrimento do resultado. En todo caso, teñamos en conta que no relativo á denominación de teoremas e obxetos matemáticas, cada caso ten a súa historia particular. En Francia a circunferencia dos 9 puntos coñécese como circunferencia de Euler. Neste caso seguramente a desculpa é que o centro desa circunferencia é o punto medio do ortocentro e o circuncentro e polo tanto está na recta de Euler. Outra propiedade máis que se pode ver na película de Fletcher é que o raio da circunferencia de Feuerbach é a metade do da circunferencia circunscrita.

quinta-feira, 1 de junho de 2017

Premios do concurso "Explícoche matemáticas 2.0", eidición 2017

Onte entregáronse os premios do concurso Explícoche matemáticas 2.0, convocado polo SNL da Facultade de Matemáticas. Velaquí as miñas orgullosas alumnas, do IES Antón Losada (A Estrada), Aroa Ríos Torres, Sandra Vázquez Silva e Nerea Iglesias na recollida da mención especial polo traballo A piña de Regiomontano.
O acto, foi moi bonito. Ademais de dar lectura á acta do tribunal que valorou os traballos presentados e da entrega de premios en sí, proxectáronse os vídeos gañadores e a profesora Elena Vázquez Abal, da Área de Xeometría e Topoloxía da Facultade de matemáticas da USC, impartiu unha amena conferencia, Contos sobre mulleres científicas, que incidía sobre a discriminación da muller no mundo da ciencia. Deixo por aquí os gañadores desta edición.
Na Categoría A (2º Ciclo da ESO e Bacharelato e ciclos de Formación Profesional) ó traballo Fractais: copa de neve de Koch, de Irene Pereira Reboredo de 3º da ESO do IES Castro Alobre (Vilagarcía de Arousa)






Na Categoría B (Universidade)  vídeo gañador foi Poden os ourizos voar?, de Brais Fortes Novoa alumno de Mestrado da Escola Técnica Superior de Enxeñaría de Bilbao.

sexta-feira, 26 de maio de 2017

Programación de Astronomía

En primeiro de bacharelato a LOMCE armou unha trampa coas optativas que consiste en que se un alumno quer cursar determinadas materias optativas, ten que "escoller" á forza Relixión, a única materia optativa que, por defecto, ten unha carga lectiva dunha hora. Só hai un camiño para impedir a imposición da Relixión é ofertar unha materia de libre configuración do centro. Velaquí unha proposta que elaboramos no Departamento de Matemáticas do IES Antón Losada Diéguez (A Estrada) e que solto por aquí por se lle pode ser útil a alguén.

sexta-feira, 19 de maio de 2017

O plano de Minkowski

Supoño que sucede algo semellante noutras materias, pero voume referir únicamente ás matemáticas. Se o currículo xa era dunhas dimensións inabarcables, coa LOMCE foise moito máis alá. Durante uns anos, na materia de Matemáticas I de 1º de bacharelato, desapareceran os números complexos. Sempre me pareceu unha mágoa non estudalos, tan siquera mínimamente, para abordar algunhas das cuestións máis interesantes do desenvolvemento das matemáticas, como a de presentar un corpo completo ou dar resposta á cuestión da resolución das ecuacións polinomiais de calquera grao. A cuestión é que agora os complexos volven a estar dentro do currículo.
O que sempre se mantiveron as autoridades educativas nesa mesma materia foron os contidos da xeometría plana (o espazo vectorial R2, o espazo afín coas ecuacións da recta,e o espazo euclidiano coa introdución do produto escalar e a corresponte métrica asociada...). Este curso, ao tratar este tema na aula quixen que polo menos enxergaran as razóns de por que lles explicaba cal era a idea abstracta de espazo vectorial. Como o asunto vai moi forzado, introducín a cuestión falándolle dun dos máis grandes matemáticos do XX: Nicolás Bourbaki. Unha das súas teimas máis coñecidas era a concebir as matemáticas a partir dunha idea fundamental, a de estrutura. Con algo de sorna pedinlle ao alumnado que me trouxeran ao día seguinte algunha intmidade de Bourbaki (como a da data de nacemento, morte, se casara, tivera fillos... ). Non imaxinaba eu que moitos deles xa tiñan a resposta moito antes de rematar a clase...Malditos móbiles!
MIR, mágoa de editorial
A culpa desta entrada tena a pregunta dunha alumna. Despois de levar uns poucos días remexendo na xeometría analítica á rapaza ocorréuselle que os dous temas tratados podían ter algunha relación. Razoaba que se os complexos formaban un plano e na xeometría analítica estabamos a estudar un plano, algo debían ter en común,  Isto fixo que me viñera á memoria a xeometría de Minkowski, que dalgunha forma daba resposta á cuestión.
O que segue débese esencialmente a este libro, El universo tetradimensional de Minkowski, de A. A. Sazánov, daquela marabillosa (e barata) editorial, a MIR.


Xeometría de Minkowski
Dado o espazo vecvtorial R2, definimos a seguinte especie de produto escalar:
$$\left< \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) ,\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right)  \right> ={ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }$$
Segundo esta definición o produto escalar é bilinear, simétrico, pero non está definido positivo.
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> \ge 0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }\ge { y }^{ 2 }$$
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> =0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }={ y }^{ 2 }\quad \Longleftrightarrow \quad x=\pm y$$
As rectas x=±y chámanse rectas isótropas. Estas rectas dividen o plano en catro sectores (esquerdo, dereito, superior e inferior).
A cónica unidade non será a circunferencia, senón as hipérbolas que teñen por asíntotas as rectas isótropas.
O produto escalar danos a condición de perpendicularidade:
$$Sexa\quad \vec { { u }_{ i } } =\left( { x }_{ i },{ y }_{ i } \right) \quad para\quad i\in \left\{ 1,2 \right\} $$
$$\vec { { u }_{ 1 } } \bot \vec { { u }_{ 2 } } :\Longleftrightarrow \left< { \vec { { u }_{ 1 } }  },{ \vec { { u }_{ 2 } }  } \right> =0\Longleftrightarrow { x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }=0\Longleftrightarrow { m }_{ 1 }:=\frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } =\frac { { x }_{ 2 } }{ { y }_{ 2 } } :=\frac { 1 }{ { m }_{ 2 } } $$
Se lle chamamos m1 á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x1 ,y1) e m2 á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x2 ,y2) non sería mal exercicio para este nivel (1º de bacharelato) preguntar polo significado xeométrico da relación que se estabelece na liña anterior entre m1 e m2. Xa o adianto: as rectas de pendente m1 e m2 serán simétricas respecto de y=x pois son funcións inversas a unha da outra. Velaí que no plano de Minkowski a ortogonalidade tradúcese en simetría respecto da gráfica da función identidade.
Con todo, o máis divertido está por chegar e resulta do cáculo de módulos a partir da definición do produto escalar minkowskiano.
Imase 1. Os catro sectores do plano de Minkowski
$$Sexa\quad \overrightarrow { u } =(x,y)\quad \left| \overrightarrow { u }  \right| =\sqrt { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { u }  \right>  } =\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } $$
Polo tanto o módulo dos vectores situados nos sectores esquerdo e dereito será un número real e o dos outros sectores será un imaxinario puro. Así o primeiro par de sectores recibe o cualificativo de reais e o segundo par o de imaxinario.
E que sucede cos ángulos? Partamos da coñecida fórmula:
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right) =\frac { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right>  }{ \left| \overrightarrow { u }  \right| \left| \overrightarrow { v }  \right|  } $$
Imaxe2. Ángulos
Calculemos o ángulo que forma un vector de compoñentes (x,y) do sector real positivo co vector unitario (1,0)
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,(1,0) \right) =\frac { \left< (x,y),(1,0) \right>  }{ \left| (x,y) \right| \left| (1,0 \right|  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ - }{ y }^{ 2 } } \sqrt { 1-0 }  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }  } \ge 1$$
Idem co sector superior. Velaquí o coseno do ángulo dun vector (x,y) deste sector co vector (0,1):
$$cos\left( \overrightarrow { v } ,\left( 0,1 \right)  \right) =\frac { \left< \left( x,y \right) ,\left( 0,1 \right)  \right>  }{ \left| \left( x,y \right)  \right| \left| \left( 0,1 \right)  \right|  } =\frac { -y }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \sqrt { -1 }  } =\frac { -y }{ i\sqrt { -1\left( { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right)  }  } =\frac { -y }{ { i }^{ 2 }\sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } =\frac { y }{ \sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } $$
Este valor é tamén un número real maior ou igual que 1.
Ao tomar límites cando o vector ū se aproxima ás isótropas (x=y ou x=-y), os cosenos anteriores tenden a +∞ ou - ∞. Este panorama ten o seu desenvolvemento natural coa extensión complexa da función coseno:
$$cosz=\frac { { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz } }{ 2 } $$
Como os valores dos cosenos obtidos anteriormente son sempre reais, os ángulos anteriores serán da forma iφ, con φ∈R. Así
$$cos\left( i\varphi  \right) =\frac { { e }^{ i(i\varphi ) }+{ e }^{ -i(i\varphi ) } }{ 2 } =\frac { { e }^{ -\varphi  }+{ e }^{ \varphi  } }{ 2 } =cosh\varphi  $$
En consecuencia teremos as seguintes fórmulas:
$$sen\left( i\varphi  \right) =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\left( i\varphi  \right)  } =\sqrt { 1-{ cosh }^{ 2 }{ \varphi  } } =\sqrt { -{ senh }^{ 2 }{ \varphi  } } =isenh\varphi $$
$$tan\left( i\varphi  \right) =\frac { sen\left( i\varphi  \right)  }{ cos\left( i\varphi  \right)  } =\frac { isenh\varphi  }{ icosh\varphi  } =itanh\varphi $$
Só por ver estas fórmulas merecía que se desenvolvese a idea do plano de Minkowski.

Cambio de base ortonormal
Consideraremos un cambio entre unha base {e1, e2} e outra {e'1, e'2}. Onde os vectores que comparten o mesmo índice estean no mesmo sector e de forma que cada base estea formada por un par de vectores ortonormais.Visto o anterior, a ninguén lle extrañará que a matriz de cambio de entre bases teña a seguinte expresión:
$$\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}$$
Polo tanto o cambio de coordenadas entre dous sistemas de referencia ortornormais verificarán a igualdade:
$$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $$
Unhas poucas contas máis:
$$x'=x\cdot cosh\varphi +y\cdot senh\varphi =x\cdot cosh\varphi +y\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi =cosh\varphi \left( x+y\cdot tanh\varphi  \right) =\frac { x+y\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
$$y'=x\cdot senh\varphi +y\cdot cosh\varphi =x\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi +y\cdot cosh\varphi =cosh\varphi \left( x\cdot tanh\varphi +y \right) =\frac { x\cdot tanh\varphi +y }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
Ben, xa temos unha chea de fórmulas, e agora que?

A transformación de Lorentz
Na mecánica clásica, se consideramos dous sistemas de referencia que se moven, un respecto ao outro, cunha velocidade v, a tranformación de coordenadas (chamada de Galileo) é a seguinte:
$$\begin{cases} x'=x \\ y'=y-vt \end{cases}$$
Esta transformación permítenos estudar o movento nun sistema de referencia que se mova con velocidade constante a respecto doutro. Este cambio de coordenadas caracterízase porque a medida do tempo é independente do sistema de referencia e  na invariancia da lonxitude dunha barra OP respecto do sistema de referencia. Se falamos de relatividade galileana estamos indicando que podemos intercambiar o que se move con velocidade constante e o que está en repouso.
A teoría da relatividade einsteniana introdúcese coa transformación de Lorentz. O movemento relativa de dous sistemas de refencia virá dado polas fórmulas:
$$\begin{cases} x'=\frac { x-vt }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \\ t'=\frac { t-x\cdot \left( \frac { v }{ { c }^{ 2 } }  \right)  }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \end{cases}$$
Que son esencialmente as mesmas fórmulas do cambio de coordenadas ás que chegaramos anteriormente. Basta con considerar:
$$y=ct\\ tanh\varphi =-\frac { v }{ c } $$


Contraccións e simultaneidade
Imaxe 3
Consideremos un suceso P(xP, yP) sobre a recta y'
$$\begin{cases} tan\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| NP \right|  }{ \left| ON \right|  } =\frac { { x }_{ P } }{ i{ y }_{ P } } =-i\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } }  \\ tan\left( i\varphi  \right) =itanh\varphi  \end{cases}polo\quad que\quad tanh\varphi =-\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } } $$
$${ x }_{ P }=-{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi $$
$${ x' }_{ P }=\frac { { x }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { -y }_{ P }\cdot tanh\varphi +{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } =0$$
$${ y' }_{ P }=\frac { { y }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { { y }_{ P }-y }_{ P }\cdot tanh\varphi \cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } ={ y }_{ P }\sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } $$
E así deducimos a coñecida contración do tempo na dirección do movemento:
$$ { t' }_{ P }=\frac { { y' }_{ P } }{ c } =\frac { { y }_{ P }\sqrt { 1-{ tan }^{ 2 }\varphi  }  }{ c } =\frac { { y }_{ P } }{ c } \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } ={ t }_{ P }\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  $$
Imaxe 4




Isto ten que ver coas sorpresas que descubriu a teoria da relatividade respecto da simultaneidade. Dise que dous sucesos son simultáneos respecto dun sistema de referencia se a súa segunda coordenada é a mesma nese sistema. Na imaxe 4 temos que  P e N son simultáneos no sistema XY; P e Q son simultáneos nun sistema X'Y' dun móbil con velocidade v respecto do considerado no sistema XY.











Imaxe 5
Unha consecuencia adicional desta nova perspectiva da simultaneidade de sucesos afecta ás medidas das lonxitudes xa que éstas variarán segundo a velocidade á que se movan os sistemas de  referencia.
Efectivamente, cando medimos a lonxitude dunha barra estamos considerando que calculamos a diferenza entre os seus extremos simultáneamente.
Dada unha barra de lonxitude l=|OL| respècto do sistema XY, se a medimos respecto de X'Y', debemos facelo simultáneamente respecto este sistema, entón a súa lonxitude será l'=|OL'|.
$$\begin{cases} cos\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| OL \right|  }{ \left| OL' \right|  } =\frac { l }{ l' }  \\ cos\left( i\varphi  \right) =cosh\varphi =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  }  \end{cases}$$
Entón podemos explicar así a contracción dunha barra de lonxitude l en movemento
$$l'=l\cdot \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } =l\cdot \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } $$

Relatividade visual
Quen queira seguir remexendo nos aspectos xeométricos da teoría da relatividade, ademais de recomendarlle o libro de Sazánov, pode botarlle un ollo ao portal de Xabier Prado Orbán, Relatividade visual

terça-feira, 9 de maio de 2017

A piña de Regiomontano


No IES Antón Losada (A Estrada) participamos na edición deste ano no concurso convocado pola Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC, Explícoche matemáticas 2.0. Facémolo con este vídeo no que rescatamos un problema do século XV. Entre outras cousas, trátase de poñer en evidencia que as matemáticas poden, e deben, ir da man da normalización lingüística, por moito que lles pese aos que defenden o decreto do plurilingüismo e a ideoloxía subxacente de expulsión da lingua galega do ensino do ámbito científico.

Resólvese un problema de optimización tomando como punto de referencia o monumento ao labrego, da parroquia de Lagartóns (A Estrada), erixido no ano 1916 en conmemoración dunha victoria agrarista do ano anterior. O problema en cuestión é esencialmente o mesmo que propuxo Regiomontano no 1471. Consiste en determinar a distancia á que se ten que situar unha persoa para que o ángulo de visión dunha estua sexa máximo. Cos datos que aportamos (ver Ilustración 1), estamos diante dun típico problema de cáculo de máximos que pode ser resolto polo alumnado de 1º de bacharelato mediante o cálculo de derivadas.


Alternativamente, no vídeo propoñemos unha solución que está ao alcance dun alumno da secundaria obrigatoria pois únicamente bastaría ter en conta que os ángulos que abarcan o mesmo arco SI son iguais (ver Ilustración 2) e que, obviamente calquera ángulo α con vértice nun punto V da recta v é menor que o correspondente ángulo β en Q:


Para obter a solución precisamos trazar unha circunferencia que pase polos puntos superior (S) e inferior (I) da estatua e que sexa tanxente á recta que marca a altura do ollo do observador (v) (ver Ilustración 3). O centro desta circunferencia debe estar na mediatriz m de S e I. Chamémoslle a á distancia entre m e v, sabemos que o raio da circunferencia que nos dará a solución debe ser a .Así a circunferencia de raio a e centro S cortará á recta M no punto H, quen será o centro da circunferencia buscada.

domingo, 23 de abril de 2017

Matemáticas en galego, tamén coa LOMCE

Hai uns días publicouse a versión galega da unidade didáctica Xeometría analítica do plano. Como todas as outras 68 unidades, pode facerse un uso non comercial dela, incluso se pode modificar e adaptar. Só se pide citar a fonte. Trátase do último chanzo na edición de material didáctico de matemáticas en galego, que se pode consultar, traballar on-line, ou descargar do portal de materiais ed@d en galego para a LOMCE e que forma parte do excelente e xeneroso Proyecto Descartes, unha web en continua renovación e chea de recursos.
 
Xeometría analíca do plano Fonte: Proyecto Descartes Licenza: Creative Comons BY- NC-SA Ao premer na icona da impresora obtemos, en formato PDF, un libro de texto adaptado a esta unidade didáctica dixital. Tamén temos un caderno de traballo, tanto en formato PDF, como en formatos editables (.doc e .odt). A proposta metodolóxica asociada a estes cadernos de traballo consiste en que o alumnado os use como guía para ir realizando as actividades da unidade.
Premendo nas frechas da parte inferior, ou navegando polo índice da esquerda, podemos acceder a cada un dos apartados da unidade. En todos eles temos actividades en xanelas emerxentes e unha escena interactiva especialmente preparada para a aprendizaxe da cuestión tratada en cada momento. No menú superior temos os seguintes apartados: Antes de empezar, Contidos, Exercicios [1] e [2], Auto-avaliación, Para enviar ao titor, Para saber máis. Invítovos a premer nos dous listados de exercicios (un de vectores e outro de rectas) ou no último apartado, no que se trata un tema algo máis avanzado, neste caso o da circunferencia dos nove puntos. E así, podemos repetir isto ata nun total de 69 unidades didácticas. Unha pequena fenda na que furar contra o funesto decreto do plurilingüismo, que forza a desligar as matemáticas, e en xeral o saber científico, do emprego da lingua galega.
Matemáticas en galego do Proxecto ED@D
Velaquí o listado de todas as unidades. Que as desfrutes.

1º ESO
Os números naturais
Múltiplos e divisores
Os números enteiros
Números decimais
Fraccións
Proporcionalidade
Expresións alxébricas
Rectas e ángulos no plano
Polígonos, perímetros e áreas
A circunferencia e o círculo
Taboas e gráficas Estatística e probabilidade

2º ESO
Potencias e raíces con números enteiros
Fraccións
Decimais
Proporcionalidade
Expresións alxébricas
Ecuacións
Sistemas de ecuacións
Semellanza. Teorema de Pitágoras
Corpos xeométricos
Áreas de corpos xeométricos
Volume dos corpos xeométricos
Funcións
Estatística

3ºESO. Orientación ás Ensinanzas Académicas
Os números racionais
Polinomios
Ecuacións de segundo grao
Sistemas de ecuacións
Progresións
Figuras planas. Propiedades métricas
Movementos no plano
Corpos xeométricos
Funcións e gráficas
Funcións lineais e cuadráticas
Estatística Probabilidade

3ºESO. Orientación ás Ensinanzas Aplicadas
Os números racionais
Polinomios
Ecuacións de segundo grao
Sistemas de ecuacións
Progresións
Figuras planas. Propiedades métricas
Movementos no plano
Corpos xeométricos
Funcións e gráficas
Funcións lineais e cuadráticas
Estatística

 4ºESO. Orientación ás Ensinanzas Académicas
Os números reais Potencias e radicais
Polinomios
Ecuacións e sistemas
Inecuacións
Semellanza
Trigonometría
Xeometría analítica do plano
Funcións e gráficas
Funcións polinómicas
Funcións racionais, exponenciais e logarítmicas

 4ºESO. Orientación ás Ensinanzas Aplicadas
Números enteiros e racionais
Os números reais
Problemas aritméticos
Polinomios
Ecuacións e inecuacións
Sistemas de ecuacións
Semellanza e trigonometría
Problemas xeométricos
Funcións e gráficas
Funcións elementais