Paridade e equilibrio

Paridade e equilibrio son conceptos semellantes pero non intercambiables. Para xustificar a imposición do decreto 79/2010, o de redución e prohibición de uso do galego no ensino, apelouse a un discurso no que a idea de equilibrio xogaba un papel importante. O alegato consistía en reivindicar que no ensino non había un equilibrio porque o decreto anterior primaba, tal e como recomendaba o PXNL, o uso do galego. Sería máis dificultoso facer o mesmo empregando a idea de paridade. Por que? Inmediatamente todos pensamos que o contrario de equilibrio é desequilibrio, unha situación non desexable. Paridade non ten un antónimo tan evidente. Aínda diría máis, o que procuraba o decreto 79/2010 era xustamente ese antónimo: a desigualdade. Evidentemente, reivindicar a desigualdade das linguas non parecía un discurso con expectativas mercadotécnicas. En efecto, o decreto 79/2010 non se sustenta en ningún criterio sociolingüístico; todos os seus criterios son de merchandising tóxico.

No eido das matemáticas sempre esperamos movernos por vías claras e sen ambigüidades. Imre Lakatos facía reconstrucións racionais da historia das matemáticas nas que o motor era a expurgación desas ambigüidades. Isto non significa que as matemáticas estean exentas de sorpresas e, ao contrario do que sucede na sociolingüística, as sorpresas nas matemáticas son sempre agradables. Comezaremos cunha cuestión que, nun principio, non ten nada que ver coa paridade.

Paridade

Os libros do matemático canadiano Ross Honsberger (1929-2016) son unha colección de xemas preciosas. Como exemplo, collamos Ingenuity in Mathematics (MAA 1970), do que hai unha edición en castelán, El ingenio en las matemáticas (La Tortuga de Aquiles 1994). Serviríanos calquera bocado deste libro. Nesta ocasión escollemos unha das cinco curiosidades aritméticas que presenta no capítulo 10. Tratábase dunha proposta da década dos anos 30 do século XX que se lle atrirbuía Enrico Ducci (1864-1940), un profesor de secundaria italiano que tamén exerceu a docencia no Colexio Militar de Nápoles. 

Pensemos en catro números naturais, por exemplo $(15,10,20,24)$ agora calculemos a diferenza, en valor absoluto, de cada par de números consecutivos considerando que o último número e o primeiro tamén son consecutivos. Repitamos o proceso unha e outra vez:

$$ \left ( 15,10,20,24 \right )$$ $$ \left ( 5,10,4,9 \right )$$ $$ \left ( 5,6,5,4 \right )$$ $$ \left ( 1,1,1,1 \right )$$ $$ \left ( 0,0,0,0 \right )$$

Honsberger presentaba o procedemento dunha forma máis agradable á vista. Pedíanos que colocásemos os catro primeiros valores arredor dunha circunferencia e que despois obtivésemos o resto das cuaternas cíclicas sobre circunferencias cada vez maiores tal e como se mostra no seguinte diagrama:

Este proceso é tan simple que se pode presentar nunha aula de primaria, basta con saber restar. Ademais ten a vantaxe de que podemos experimentar con el. Se xogamos un pouco con distintas cuaternas iniciais entenderemos por que Ducci se preguntou se sempre se acabaría na cuaterna $(0,0,0,0)$. Efectivamente, non importa cal sexa a cuaterna inicial, sempre acabaremos nunha cuaterna de ceros. Honsberger ofrece unha explicación demostrando que en catro pasos o maior dos catro valores vai reducirse. Isto implicará que nun número finito de pasos o maior valor será cero, polo tanto todos o serán. Se temos unha configuración sen ningún cero fica claro que o maior dos catro valores se verá reducido no seguinte paso. Entón Honsberger pasa a estudar os casos nos que haxa un, dou ou tres ceros e demostra esa redución en cada un dos casos. 

O mesmo problema xa aparecía nun libro do autor ruso Boris Kordemsky (1907-1999). O libro, editado no 1954, tiña por título Математическая смекалка. Foi un best-seller do que se venderon centos de miles de exemplares. A iniciativa de Martin Gardner foi traducido ao inglés no ano 1972 baixo o título de The Moscow Puzzles. Tamén hai unha versión en español; neste caso a editorial Gedisa cortou o texto en dúas partes: Los enigmas de Moscú e Un elefante y un mosquito. A demostración que ofrece Kordemsky da conxectura de Ducci é marabillosa. Imos debullala. 

Figura 2

En primeiro lugar pensemos na equivalencia entre distintas cuaternas polo feito de seren cíclicas. Observemos a figura 2; seguindo o sentido de xiro das agullas dun reloxo decatarémonos de que as seguintes cuaternas son equivalentes:

$ \left ( a,b,c,d \right )\equiv \left ( b,c,d,a \right )\equiv \left ( c,d, a, b \right )\equiv \left ( d,a,b,c\right )$ 

Se consideramos o sentido de xiro contrario, aínda teremos outras tantas equivalentes ás anteriores:

$ \left ( d.c,b,a\right )\equiv\left ( c,b,a,d \right )\equiv \left ( b,a,d,c \right )\equiv \left ( a,d,c,b\right )$

Agora faremos unha análise un tanto inesperada. Fixarémonos se os números son pares ou impares (p/i). Hai un total de $2^4=16$ formas de construír unha cuaterna utilizando dous elementos ($p/i$) pero moitas delas son equivalentes polo que só hai 6 cuaternas esencialmente distintas:

$v_{1}=\left ( p,p,p,p\right )$

$v_{2}=\left ( p,p,p,i\right )\equiv \left ( i,p,p,p\right )\equiv\left  ( p,i,p,p\right )\equiv\left ( p,p,i,p\right ) $

$v_{3}=\left ( p,p,i,i\right )\equiv \left ( i,p,p,i\right )\equiv \left ( i,i,p,p\right )\equiv \left (p, i,i,p\right )$

$v_{4}=\left ( p,i,p,i\right )\equiv\left ( i,p,i,p\right )$

$v_{5}=\left ( p,i,i,i\right )\equiv\left ( i,p,i,i\right )\equiv\left ( i,i,p,i\right )\equiv\left (i,i,i, p,\right )$

$v_{6}=\left ( i,i,i,i\right )$

E xan van alá as 16 posibilidades. Agora comprobaremos que, en como moito 4 pasos, obteremos unha cuaterna de pares. Chamémoslle $A_{0}$ á configuración inicial e apliquémoslle as regras de xogo para obter unha sucesión de cuaternas cíclicas. Que pasa se comezamos por $v_{2}$?

$A_{0}=\left ( p,p,p,i\right )=v_{2}$

$A_{1}=\left ( p,p,i,i\right )=v_{3}$

$A_{2}=\left ( p,i,p,i\right )=v_{4}$

$A_{3}=\left ( i,i,i,i\right )=v_{6}$

$A_{4}=\left ( p,p,p,p\right )=v_{1}$

Non só observamos que en 4 pasos pasamos de $v_{2}$ a $v_{1}=\left ( p,p,p,p\right )$, senón que tamén desde $v_{3}$, $v_{4}$ e $v_{6}$ chegamos a $v_{1}$ incluso en menos pasos. Que pasa con $v_{5}$?. Vexámolo:

$A_{0}=\left ( p,i,i,i\right )=v_{5}$

$A_{1}=\left ( i,p,p,i\right )=v_{3}$

$A_{2}=\left ( i,p,i,p\right )=v_{4}$

$A_{3}=\left ( i,i,i,i\right )=v_{6}$

$A_{4}=\left ( p,p,p,p\right )=v_{1}$

Efectivamente, en 4 pasos tamén pasamos de $v_{5}$ a $v_{1}=\left ( p,p,p,p\right )$

Eses catro números pares de $A_{4}$ poden ser disintos. Renomémolos: $A_{4}=\left ( p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\right )$ e consideremos a cuaterna das súas metades $B_{4}=\left ( \frac{p_{1}}{2}, \frac{p_{2}}{2}, \frac{p_{3}}{2}, \frac{p_{4}}{2}\right )$. Fagamos agora un paso máis; pensemos como serán $A_{5}$ e $B_{5}$.

O primeiro elemento de $A_{5}$ será $\left|p_{1}-p_{2}\right| $ e o primeiro elemento de $B_{5}$ será $\left|\frac{p_{1}}{2} -\frac{p_{2}}{2}\right|=\frac{\left|p_{1} -p_{2}\right|}{2}$. Velaí que os elementos de $B_{n}$ serán sempre a metade dos elementos de $A_{n}$.  $B_{8}$ será unha cuaterna de pares que ademais serán as metades dos elementos da cuaterna $A_{8}$. Entón podemos asegurar que $A_{8}$ estará conformado por múltiplos de $4$. Repetindo o proceso teremos que a cuaterna $A_{12}$ estará conformada por múltiplos de $8$. En xeral os elementos de $A_{4n}$ serán múltiplos de $2^{n}$.

Sexa $x$ o maior número de $A_{0}$. En ningunha fila pode haber un número maior que el. Pero, dado $x$ haberá algún enteiro $n$ tal que $x<2^{n}$. Sabemos que todos os elementos da cuaterna $A_{4n}$ son múltiplos de $2^{n}$. Velaí que non quede outra que $A_{4n}=\left ( 0,0,0,0\right )$

É natural cuestionarse que é o que sucede se no canto de grupos de 4 números aplicamos o mesmo proceso de Ducci a n-tuplas. En cada paso os valores de cada fila son sempre menores ou iguais á anterior. Ademais, dada unha n-tupla inicial só hai un número finito de n-tuplas que o xogo de Ducci pode producir. En consecuencia o proceso ou ben remata cunha n-tupla de ceros, ou ben acaba xerando un bucle. 

O caso $n=2$ é trivial, calquera configuración inicial chega en dous pasos a $\left ( 0,0\right )$. 

Cando $n=3$ caeremos en repeticións do tipo $\left ( 0,1,1 \right )\rightarrow \left ( 1,0,1 \right )\rightarrow \left ( 1,1,0 \right )\rightarrow \left ( 0,1,1 \right )$. 

A 5-tupla $\left ( 0,0,0,3,3 \right )$ repítese despois de 15 pasos. 

A 6-tupla $\left ( 1,2,1,2,1,0 \right )$ pronto se anula: $\left ( 1,2,1,2,1,0 \right )\rightarrow \left ( 1,1,1,1,1 \right )\rightarrow\left ( 0,0,0,0,0,0 \right )$

As n-tuplas de lonxitude $n=2^m$ acaban anulándose. Como vimos, as doutras lonxitudes teñen comportamentos variables.

Equilibrio

No anterior razoamento acabamos de traballar con restras binarias como $\left ( i,p,p,i\right )$ e ben sabemos que tanto ten escribir $p/i$ como $0/1$ ou $+/-$.

No ano 1963 o matemático polaco Hugo Steinhaus (1887-1972), no libro One Hundred Problems in Elementary Mathematics (Basic Books, 1964) propón varios problemas dos que non se coñecía a solución. Un deles, "signos máis e menos" ten unha apariencia inocua. A primeira versión do enunciado era aproximadamente a seguinte:

Triángulo de Steinhaus. Construímos un triángulo de signos $+$ e $-$ colocando unha primeira fila con $n=7$ elementos. As seguintes foron elaboradas de forma que debaixo de cada par de signos iguais aparece un $+$ e debaixo de cada par de signos distintos aparece un $-$. Observamos que no triángulo hai 14 signos $+$ e 14 signos $-$, polo que diremos que este é un triángulo equilibrado. Será posible elaborar un triángulo equilibrado cunha primeira fila de $12$ signos?  E de $n$ signos?

Un triángulo de lonxitude $n$ terá $N=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$ signos. Para podermos falar de triángulos equilibrados $N$ terá que ser par, pois debe haber $\frac{N}{2}$ signos de cada tipo. Polo tanto $n\left ( n+1 \right )$ debe ser divisible por $4$. Pero isto só é posible se $n$ ou $n+1$ tamén o son. De aí que o problema de Steinhaus se reduza a establecer se é posible elaborar un triángulo de Steinhaus equilibrado cando $n\equiv 0, 3 (mód 4)$. A cuestión tardou en ser resolta 9 anos. Heiko Harborth estudou en profundidade estas estruturas. Entre outras cousas demostrou que un triángulo de Steinhaus non só se pode ler "de arriba abaixo", senón que visto desde cada un dos outros dous lados tamén é un triángulo de Steinhaus. Ademais, agás simetría, podemos ler cada lado en dous sentidos, de aí que se achamos un triángulo equilibrado, inmediatamente podemos dar outras 5 solucións. No 1972 Harborth demostrou que habería triángulos equilibrados para todas as lonxitudes posibles.

O teorema de Svéd-Vázsonyi

Novo artigo de Andrés Ventas

O principio do Pombal

O principio do Pombal di que se temos $n$ buratos nun pombal e $n+1$ pombas daquela nalgún burato hai máis dunha pomba. Nunca souben para que podía servir algo tan obvio, ultimamente quixen profundar algo máis e deime conta que a sustanza deste principio reside en como podemos enfocar os problemas para poder usalo e así transformamos problemas nada evidentes en problemas cunha demostración moito simple. Un caso que me fascina é o teorema que se atribúe a Marta Svéd e Andrew Vázsonyi. Trata sobre secuencias aleatorias e divisivilidade.

Teorema de Sved-Vázsonyi

Sexan os enteiros $a_1, a_2, \cdots, a_n$, que poden mesmo estar repetidos. Daquela hai un subconxunto de elementos consecutivos desa secuencia $a_k, a_{k+1}, \cdots, a_l$ tal que a suma $a_k + a_{k+1} + \cdots, a_l$ é un múltiplo de $n$.

Exemplo

Mais como pode ser tal cousa? Se eu apaño $n$ números e os sumo poden ser múltiplos de calquera cousa, eu que sei, sumarán un múltiplo de $17$ ou de $3015$ ou de $2$, como que haberá unha desas sumas que sexa división exacta por $n$? non o vexo. A ver: $\{3, 7, 1, 4, 1, 1\}$ temos $n=6$ e imos probrar o máis simple, sumas consecutivas desde o primeiro: $\{0, 3, 10, 11, 15, 16, 17\}$, mmm... ningunha é divisíbel por $6$, desde o segundo $\{0, 7, 8, 12, \cdots \}$ cazado !! $7 + 1 + 4$ é múltiplo de $6$.

Demostración

Sexa $S=\{0, 1, \cdots, n\}$ e $R=\{0, 1, \cdots, n-1\}$ e consideremos o mapa $f: S \rightarrow R$ determinado polo residuo de $f(m)=a_1 + \cdots + a_m$ módulo $n$. Polo principio do pombal temos $f(k)=f(l)$ para algún $k \lt l$ en $S$ e por tanto

$$ \begin{equation} \sum_{i=k+1}^{l} a_i = \sum_{i=1}^{l} a_i - \sum_{i=1}^{k} a_i \end{equation} $$ faise cero módulo $n$. O subconxunto $a_k, a_{k+1}, \cdots a_l$ ten a propiedade procurada, a súa suma é múltiplo de $n$.

Exemplo aplicando a demostración

Seguindo a demostración agora é moito simple obter o subconxunto de elementos consecutivos cuxa suma é divisíbel polo número total de elementos. Para $\{3, 7, 1, 4, 1, 1\}$ con sumas parciais $\{0, 3, 10, 11, 15, 16, 17\}$ os residuos entre $6$ son $\{0, 3, 4, 5, 3, 4, 5\}$, vemos que hai dous residuos $3$ e dous $4$ e dous $5$, polo principio do pombal debe haber alomenos $2$ pombas no mesmo burato, pero pode haber máis (se hai outros buratos baleiros). Así temos:

1. entre os dous $3$: $7+1+4 = 12$.
2. entre os dous $4$: $1+4+1 = 6$.
3. entre os dous $5$: $4+1+1 = 6$.

Vexamos outro exemplo ao chou.

Para $n=9$ con $\{2, 8, 4, 1, 19, 17, 2, 3, 12\}$.

Sumas consecutivas $\{0, 2, 10, 14, 15, 34, 51, 53, 56, 68\}$.

Residuos módulo $9$, $\{0, 2, 1, 5, 6, 7, 6, 8, 2, 5\}$.

E seguindo a demostración:

1. de residuo 2 a 2 temos $56 - 2 = 54 = 9 \cdot 6$.
2. de 6 a 6 temos $19 + 17 = 36 = 9 \cdot 4$.
3. de 5 a 5 temos $68 - 14 = 54 = 9 \cdot 6$.

Fascinante!

Bibliografia

1. Vincent Gélinas, The Pigeon-Hole Principle and Double Counting,

Acurtar o cálculo do inverso multiplicativo modular

Presentamos un novo artigo de Andrés Ventas.

Inverso multiplicativo modular

Resolver o inverso multiplicativo módulo $b$ é unha tarefa común na teoría de números. Aparece a miúdo na solución de sistemas de congruencias.

A forma estándar de atopar un inverso multiplicativo módulo $b$ é usar o algoritmo de Euclides estendido. Nun artigo de 1999, Glasby compara os dous métodos máis usados actualmente para o algoritmo euclidiano estendido: recorrencia cara atrás e recorrencia cara adiante. O método aquí presentado é máis curto en ambos os casos.

O problema que temos que resolver é atopar o $x$ da ecuación $ a x \equiv{1} \pmod{b}, \ a \lt b$. Se temos $a \gt b$ o xeito máis sinxelo é substituír $a$ por $a \bmod b$. O noso algoritmo usa as propiedades das fraccións continuas mixtas, que traducido ao algoritmo de Euclides sería usar a función teito ou a función chan dependendo do menor residuo.

Necesitamos que os dous números implicados sexan coprimos, e aquí podemos ver un exempliño que se saca a ollo:

Dado que $\gcd(3, 10) = 1$, a congruencia linear $3x \equiv{1} \pmod{10} $ terá solucións, é dicir, existirán inversos multiplicativos modulares de $3$ módulo $10$. De feito, o $7$ satisfai esta congruencia (é dicir, $21 - 1 =20$). Por tanto $7$ é un inverso modular de $3$ módulo $10$.

Outros números enteiros tamén satisfán a congruencia, por exemplo $17$ e $-3$ (é dicir, $3(17) - 1 = 50$ e $3(-3) - 1 = -10$). En particular, cada número enteiro en $\overline{7}$ satisfará a congruencia xa que estes enteiros teñen a forma $7 + 10r$ para algún enteiro $r$ e

$$3(7 + 10 r) - 1 = 21 + 30 r -1 = 20 + 30 r = 10(2 + 3r), $$

é divisíbel por $10$.

Exemplo máis elaborado: Inverso multiplicativo modular

$91 x \equiv{1} \pmod{254}$ $\textbf{Mediante o algoritmo de Euclides estendido.}$

índice i	Cociente $q_{i+1}$ $\lfloor r_{i}/r_{i+1} \rfloor$	resto $r_i$	$s_i$	$t_i$
0		$254$	1	0
1		$91$	0	1
2	2	72	1	2
3	1	19	1	3
4	3	15	4	11
5	1	4	5	14
6	3	3	19	53
7	1	1	24	x=67
8	3	0	91	254

Os $s_i$ e os $t_i$ obtéñense coa mesma recorrencia que nas fraccións continuas, isto é $s_{i+1} = q_{i+1}s_{i}+s_{i-1}$ e $t_{i+1} = q_{i+1}t_{i}+t_{i-1}$, $s_i$ comezando por $(1, 0)$ e $t_i$ por $(0, 1)$. Maxicamente o inverso multiplicativo modular aparece na columna das $t_i$.

Efectivamente $x=67$ e temos $91 \cdot 67 = 6097 \equiv{1} \pmod{254}$ pois $254 \cdot 24 = 6096$.

Completamente máxico non o é, pois existen varias probas e está tamén relacionado coa identidade de Bézout.

Algoritmo mixto para obter o inverso multiplicativo modular

Sexa $a x \equiv{1} \pmod{b}, \quad a \lt b$, a congruencia para a que procuramos o inverso multiplicativo.

1. Bucle principal.

$\quad$ 1.1.Comezando con $a_0=a, \ b_0=b$, aplicamos $\Big\lceil \dfrac{b_i}{a_i} \Big\rfloor =(k_i, \pm) $ ata obtermos $b_n = k_n a_n \pm 1$. Isto quere dicir que en cada división ficamos co divisor $k_i$ que teña menor resto ao aplicar a función chan ou a función teito e no caso de ser chan anotamos ese coeficiente cun signo $\textbf{"+"}$ e se a función usada foi a teito marcamos o coeficiente cun signo $\textbf{"-"}$.

$\quad$ 1.2. Ao mesmo tempo, obtemos $a^{-1} \pmod{b}$. $x_{-1}=1, \ x_{0}=k_0; \ x_i: k_i \cdot x_{i-1} \pm x_{i-2}$.

(Note que o signo da recurrencia $i$ é o signo da operación previa $\lceil k_{i-i} \rfloor, \pm$).

2. Paso final.

Se o número das operacións de truncado (función chan, símbolo $+$) é par daquela $a^{-1} \pmod{b} =x_n$ noutro caso $a^{-1} \pmod{b} = b - x_n$.

Exemplos co algoritmo mixto

Nunha notación compacta podemos escribir tres filas. A fila superior contén os coeficientes da división enteira mixta, a segunda fila contén os residuos da operación e a terceira a recorrencia coa que obtemos a inversa multiplicativa modular. A recorrencia no algoritmo mixto pode ser sumando $t_{i+1} = q_{i+1}t_{i}+t_{i-1}$ ou restando $t_{i+1} = q_{i+1}t_{i}-t_{i-1}$ dependendo de se o coeficiente anterior se obtivo con función chan (+) ou teito (-).

$61 x \equiv{1} \pmod{2114}$.

$q_i$		$35^{-}$	$3^{-}$	$10^{+}$
$r_{i-1}$	2114	$61$	$21$	$2$	$1$
$t_{i}$	1	$35$	$104$	$1005$	$x=2114-1005=1109$

Comprobamos $x=1109$, temos $61 \cdot 1109 = 67649 \equiv{1} \pmod{2114}$ pois $32 \cdot 2114 = 67648$.

Nota: no exemplo de enriba non chegamos a utilizar a recorrencia positiva pois só temos función chan no último coeficiente que non chegamos a usar pois o signo da recorrencia vai dependendo do coeficiente anterior.

$91 x \equiv{1} \pmod{254}$. Este é o mesmo exemplo que fixemos enriba.

$q_i$		$3^{-}$	$5^{-}$	$5^{-}$
$r_{i-1}$	254	91	19	4	1
$t_{i}$	1	3	14	67	$x=67$

E efectivamente temos outra vez $91 \cdot 67 = 6097 $ e $254 \cdot 24 = 6096$, só con 3 divisións en vez de 6.

Bibliografia

1. S. P. Glasby, Extended Euclid’s algorithm via backward recurrence relations, Mathematics Magazine, 72(3)(1999), 228–230.
2. Galipedia, Algoritmo de Euclides estendido
3. Galipedia, Inverso multiplicativo modular
4. Cálculos online do inverso multiplicativo modular
5. Galipedia, Identidade de Bézout

Os conceptos na aula de matemáticas

Os profesores de matemáticas vémonos de cote fronte ao reto de introducir na aula novos conceptos. Algúns do gremio consideran fundamental establecer desde o primeiro momento unha definición precisa dos conceptos a traballar. Recordo o caso dun compañeiro que aos alumnos de 15 anos lles introducía os vectores libres como unha relación de equivalencia no conxunto de vectores fixos; despois aínda lles demostraba, entre outras cousas, que as operacións con esas clases de equivalencia non dependían do representante elixido. Algúns dos seus alumnos acudiran a min, desesperados, para que lles explicara algo diso. Despois dalgúns intentos só puiden certificar que era imposible que eses rapaces chegaran a entender outra cousa que as matemáticas eran incomprensibles. Tiñan moi claro que esta materia era  unha fonte de angustias e un obstáculo para o desenvolvemento dos seus estudos.

Hai profesores que, polo contrario, consideran que na clase de matemáticas é superfluo tratar os conceptos. O fundamental é traballar os procedementos. Unha vez aprendidos estes, o resto non importa. Así as clases consisten en practicar unha cadea interminable de algoritmos, moitas veces sen razón ningunha. 

Fronte a estas dúas posturas teño un fermoso recordo como alumno. O profesor pedíranos que pensáramos no concepto máis fundamental, no máis simple das matemáticas.

- Sumar - dixo alguén

- Non hai nada máis simple que facer sumas? - interveu o profesor

- Non. Multiplicar, ou restar, é máis difícil -respondeulle o rapaz

- Pero antes de saber sumar, non tes que saber nada? Que necesitas para saber sumar?

- Os números!

- Ben, estamos buscando o máis fundamental. Cales son os números máis simples, aqueles a partir dos que podemos ir construíndo todos os demais?

- O 1, o 2, o 3,... e así. Os números naturais, os positivos.

- E non hai nada máis fundamental aínda que os números?

- Non -foi a nosa resposta.

- Ben. Imaxinade que imos moi atrás no tempo, que pertencemos a unha sociedade moi primitiva, que apenas ten coñecementos pero xa son agricultores e gandeiros. Por suposto, non hai escolas e non coñecen os números pero teñen un rabaño de ovellas que sacan a pastar. Ao cabo do día interésalles saber se deixaron algunha perdida no monte. Como o poden saber?

Despois de algúns intentos e varios silecios, o profesor tivo que continuar.

- Se por cada ovella que sacan da corte colocan unha pedra e van facendo así un montón, cando volvan, poden ilas retirando e, se queda unha, por exemplo, saberán que terán que ir buscar unha ovella perdida no monte. 

- Pero iso é contar

- Non, non contan. Non din, 1, 2, 3,... senón que amontoan unha pedra por cada ovella.A cada ovella asígnanlle unha pedra, nada máis. Acabamos de ver un exemplo de algo máis fundamental que os números. Que son as pedras ou as ovellas? 

Por que poñería isto aquí?

Cómpre contextualizar a escena. Isto sucedeu hai 40 anos, de aí que os alumnos que estabamos nesa aula éramos alumnos da época das chamadas "matemáticas modernas". Todos oíramos falar unha e mil veces dos conxuntos.

- Efectivamente, o rabaño de ovellas forma un conxunto e o montón de pedras forma outro conxunto. Podédesme dar outros exemplos de conxuntos?

Non o lembro ben, pero é seguro que apareceron moitos exemplos tales como o conxunto de alumnos dese grupo, o subconxunto dos que tiñan gafas, o de todos os do insituto,o dos habitantes da vila, o dos coches dos profesores,...

- Todos os conxuntos son finitos, ou pode habelos con infinitos elementos?

- O conxunto dos números 1, 2, 3,.... é infinito. O dos primos, o dos decimais, - interviron varios alumnos

- Entón, para formar un conxunto, todos os elementos que o forman teñen que ter algo en común? Non podo formar un conxunto que teña como elementos un canguro, un triángulo e o planeta Marte?

Parecía haber consenso en que un conxunto podía estar formado por eses elementos, aínda que non tiveran relación entre si. 

- Os conxuntos son máis fundamentais que os números. Sen saber nada de números podemos traballar con conxuntos, tal e como fixemos co conxunto das pedras e o das ovellas. Entón estaría ben saber que é un conxunto, alguén o sabe?

Houbo moitas respostas: "un conxunto de cousas" (que obviamente non serve), "un grupo de cousas" (cando falamos de grupo entendemos que nos estamos a referir a cousas con algunha caracterísica común, e acabamos de ver que podemos formar conxuntos con elementos que non teñan nada en común), "unha colección de cousas" (aquí a obxección é a mesma que no caso anterior, falamos, por exemplo de coleccións de moedas ou de selos, que son todos elementos das mesmas características) "unha agrupación ..." (agrupación é o mesmo que grupo), "consiste en coller as cousas que queiramos..." (pero isto non é unha definición, é unha acción, é coma se dicimos que un cabalo serve para montar e non explicamos que é un animal),.... e así, unha tras outra todas as definicións tiveron algunha obxección por parte do profesor. Chegou un momento en que estaba claro que era o seu turno, el debía darnos a definición de "conxunto" e foi marabilloso: confesounos que tampouco era quen de explicar o que é un "conxunto". Quizais algúns se sentiron decepcionados ou enganados, pero pode ser que alguén sentira que, por primeira vez, estaba facendo matemáticas, pensando seriamente nas matemáticas.

- Os "conxuntos" son obxectos moi abstractos, é moi difícil definilos. Con todo, polos exemplos que foron aparecendo durante a clase vexo que temos unha idea intuitiva do que é un "conxunto" e iso chegaranos. O importante é que, cando traballemos cun conxunto, saibamos en todo momento se un elemento pertence ou non a ese conxunto. Aínda que ningunha das que apareceron é a definición ideal, moitas delas poden servirnos para traballar sen problemas coa teoría de conxuntos. É importante que recoñezamos esa eiva, quizais co tempo cheguedes a saber o porqué. De todas maneiras, insisto, non teremos ningunha dificultade porque vexo que todos temos unha boa idea do que son os conxuntos. Así, podemos copiar o seguinte na libreta:

Un conxunto X é unha colección de cousas ás que chamaremos elementos. Diremos que un elemento x pertence a X se forma parte do conxunto X. Isto escríbese $ x\in X$. Se un elemento y está no conxunto X diremos que a non pertence a X. Escríbese $ y\notin X$. Os conxuntos representarémolos sempre con letras maíusculas e os elementos con minúsculas.

Por exemplo, describiremos así o conxunto das letras vogais:$V=\left\{ a,e,i,o,u\right\}=\left\{vogais \right\} $

O Círculo Anónimo

Varias das últimas entradas deste blogue tiveron como protagonista a Márta Svéd,(A curiosa xeometría de Márta Svéd. Introdución,  A curiosa xeometría de Márta Svéd. O desprazamento, e A curiosa xeometría de Márta Svéd.O V postulado e máis alá) matemática húngara nacida no 1910 que desenvolvería a maior parte do seu traballo en Australia. Isto fixo que me preguntara cales foron as circunstancias da súa vida, especialmente o caldo de cultivo no que creceu a súa afición polas matemáticas. Márta pertenceu a un grupo de estudantes universitarios de Budapest que se coñece como Círculo Anónimo porque se reunían con frecuencia ao pé dunha estatua no parque central da cidade que está adicada a un historiadior medieval anónimo húngaro. Estas reunións foron un dos principais incentivos que eles mesmos relataron como fundamentais para o seu interese polas matemáticas. Para coñecer mellor as súas orixes debemos remitirnos a unha revista, 

Número do 1900 da
revista KöMaL

a  Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (KöMaL) ou Revista de Matemáticas e Física de Secundaria. Foi fundada por un profesor de secundaria, Dániel Arany (1863-1945), en Győr (Hungría). A revista propón problemas aos estudantes e estes envíanlle as súas solucións ao editor. As solucións son cualificadas por un grupo de colaboradores e despois publícanse co nome do autor. O primeiro número de KöMaL aparece o 1 de xaneiro de 1894. Ese mesmo ano, e con problemas que apareceran na revista, tamén comeza o Concurso de Matemáticas de Eötvös que pasaría a chamarse Krürschák a partir da II Guerra Mundial. Este concurso serviría de modelo e inspiración doutros que comezaron a convocarse nas primeiras décadas do século XX, como foi o caso da de Leningrado (San Petersburgo). No 1959 Rumanía convoca a varios países da órbita da URSS (Hungría, Polonia, Checoslovaquia, RDA e URSS) na primeira edición dunha Olimpíada Matemática Internacional. Finlandia uniríase no 1965, Gran Bretaña, Francia e Italia no 1967. A partir dese momento o número de países participantes aumentou rapidamente.

Parece ser que Lipót (Weiss) Fejér (1880-1959), quen obtivera moi malos resultados na escola primaria, comezou a interesarse polas matemáticas da man de Sigismund Maskay e converteuse nun solucionador habitual dos problemas da KöMaL. Acadou o segundo posto na Eötvos de 1897. Cunha excelente capacidade narrativa, as conferencias e artigos de Fejér forxaron moitas vocacións matemáticas. Dirixiu unha escola de análise de gran éxito. Foi director de tese de John von Neumann, George Pólya, Pál Erdős ou Pál Turán. 

KöMaL deixa de editarse durante a I Guerra Mundial. A partir do 1925 cae baixo a dirección de Andor Faragó (1877-1944) e comeza a publicar as fotos dos mellores resolutores de problemas. Cando eses alumnos chegan á universidade recoñécense por esas fotografías. Isto facilita que se poñan en contacto. Así, un grupo de mozos xudeus, desafiando as leis que impedían as reunións, xúntanse nun parque no centro de Budapest, ao pé da estatua de Anónimo. A veces eran catro ou cinco, pero podían chegar a reunirse ata uns vinte. Conversaban de moitos temas, pero sobre todo da súa paixón, as matemáticas. 

Estatua de Anónimo no
parque central de Budapest

A figura máis destacada do Círculo Anónimo foi 

Pál Erdős (1913-1996). Xa desde pequeno dou mostras de interese polas matemáticas. Canto tiña un ano as tropas rusas tomaron prisioneiro ao seu pai, Lajos (Engländer) Erdős, quen permaneceria nun cárcere en Siberia durante seis anos. 

A pesar do antisemitismo obtén praza na universidade de Budapést e doctórase aos 21 anos. Marcha ao Reino Unido e posteriormente aos Estados Unidos. Foi tremendamente prolífico pois chegou a publicar uns 1500 artigos, moitos deles en colaboración con outros 500 coautores. 

Na seguinte película documental do ano 1993, N is a Number, a Portrait of Paul Erdős, relátanse algúns dos seus principais aspectos biográficos. Recomendo ver sobre todo a parte que vai entre o minuto 8:50 e 12:20 pois é o que máis relación ten con esta entrada.

No intervalo indicado entrevístase a Márta Svéd, amiga de Pál Erdős

Márta (Wachberger) Svéd. Márta e o seu marido George Svéd marcharon de Hungría no ano 1939. O seu país de acollida foi Australia. Ela converteuse na directora do departamento de matemáticas da Wilderness School, unha escola de ensino secundario privada para nenas en Adelaida. Traballou alí ata1958, ano no que pasou a ser docente na Universidade de Adelaida tras completar a súa formación matemática. Entre as súas contribucións matemáticas, Márta desenvolveu un algoritmo para, a partir de tomografías computarizadas, recrear modelos de nylon en 3D de cranios de pacientes. Estes modelos usáronse durante anos na Unidade Craneofacial Australiana (en Adelaida) para planificar cirurxías complicadas en nenas e nenos desfigurados por anomalías craneofaciais. Con 75 anos defendeu a súa tese de doutoramento na Universidade de Adelaida. A Australian Maths Trust homenaxeouna no ano 1994 e entre outros aspectos destacaban que foi a creadora da primeira revista para estudantes de secundaria en Australia. Márta quixo levar ao estudantado australiano a exitosa experiencia que ela mesma vivira grazas á KöMaL.

Márta é a autora de Journey into Geometries (AMM 1991) unha curiosa obra dialogada con tres personaxes principais, Alicia, unha muller con gran capacidade de razoamento matemático, Lewis Carroll, que representa as matemáticas decimonónicas e o curioso Dr. Whatif, que sempre está buscando novas hipóteses e reivindica o papel das matemáticas do século XX ao estilo hilbertiano. Todos eles interactúan con outros personaxes recollidos de Alicia no país das marabillas.

Para comprender mellor o ambiente universitario no que se desenvolveron Márta e Erdős continuaremos reseñando as biografías dos compoñentes do Círculo Anónimo. As fotos que aparecen nesta entrada foron todas sacadas da revista KöMaL.

Deső Lázár (1913-1943). Debido á lei do númerus clausus non puido ingresar na universidade en Budapest e tivo que marchar a estudar á de Szeged, xunto a Géza Gründwald. Só publicou un artigo na súa vida, precisamente sobre a xeneralización dun problema de Géza. Traballou de carpinteiro e despois conseguiu un posto de profesor. Ferido nunha perna morreu desangrado. No 1974 Rózsa Péter pídelle ás escolas secundarias adicar un premio á memoria dun matemático falecido na II Guerra. A noticia chégalle a Erdős e el é quen propón homenaxear a Deső Lázár.

Géza Gründwald (1910-1943). Alumno de Lajos Erdős. Era un gran xogador de xadrez. Compañeiro de clase de Pál Erdős, xuntos xogaban ao xadrez no parque de Várolisget. Procedía dunha familia con poucos recursos así que cando enfermou de tuberculose, enfermidade grave nesa altura, non tiña posibilidades dun bo tratamento. Sería Lajos quen acudiría na súa axuda para pagarlle o ingreso nun sanatorio durante un ano. Debido á enfermidade, e tamén á lei racista de números clausus, non obtén praza universitaria en Bucarest. Por mediación de Lajos consigue ir á universidade do sur de Hungría en Szeged. Publica varios artigos sobre os polinomios de interpolación de Lagrange.

Durante a II Guerra Mundial ingresou nun servizo de traballos forzados. Un dos vixiantes era matemático e lera algún dos seus artigos.Debido a isto procuroulle un traballo mellor. Finalmente sería fusilado con case todos os membros do seu grupo como represalia por un acto de sabotaxe en Gyor.

Pál Turan (1910-1976). Escibiría uns 150 artigos. Traballou na teoría de números. Foi fundador da teoría de grafos exrtremais. Fixo a tese baixo a dirección de Féjer. Durante a II Guerra Mundial estivo en varios campos de traballo. Posiblemente isto salvoulle a vida xa que os xudeos que non estaban nos campos foron traslados aos campos de exterminio. Continuou facendo matemáticas neste campos, incluso dixo que moitas das mellores ideas que tivo foron nesta penosa situación. Morreu de leucemia, sen sabelo, xa que a súa familia, en concreto a súa muller, a matemática Vera Sós, ocultoullo.

Tibor (Gründwald) Gallai (1912-1942)  Traballou en combinatoria e teoría de grafos. O mellor amigo de  Erdős ao que coñeceu no instituto. Os seus profesores non lle permitiron participar no Eötvos, e como no exame de ingreso do seu ano quedou en 5º lugar (George Svéd quedara de 1º e Marta (Wachberger) Svéd de 3ª), debido ao númerus clausus non puido ingresar na universidade. Preséntase á seguinte edición do Eötvos (1930) e queda primeiro, co que pode ingresar directamente nos estudos superiores. Ao finalizar a II Guerra Mundial comeza a dar clases nun centro de Secundaria. Era un profesor excelente. Tivo entre as súas alumnas a Vera Sós. Tiña un grao de integridade esaxerado. Deixou o instituto no que estaba traballando para coidar á súa muller sen cobrar pois consideraba que non debía facelo se non aportaba nada. Chegou a vivir practicamente na indixencia. Moitos dos seus resultados recibiron o nome doutros matemáticos porque a el non lle importaba, incluso o fomentaba. Cando na revista KöMaL publican un artigo laudatorio sobre el, como acto de protesta, abandona a Sociedade J. Bolyai, a responsable da publicación.

Lázsló Alpár (1914-1991) Membro do Partido Comunista, ilegal, foi detido no ano 1932 e encarcerado. Foi expulsado da Universidade polo seu activismo no movemento estudantil comunista. Marcha a Francia e estuda na Sorbona. Alí é detido por "sospeitoso comunista" e permanece prisioneiro durante a II Guerra Mundial ata que escapa e organiza un grupo partisano da resistencia francesa, participando en varias accións con éxito como a voadura da ponte do río Durance. Regresa a Hungría e participa en actvidades sindicais. No 1949 é depurado no proceso de Rajk e volveu a prisión (1949-1953). Anos despois sería rehabilitado. 

Fixo contribucións na teoría de funcións complexas. Nos últimos anos da súa vida escribiu textos divulgativos e de historia das matemáticas. Suicidouse.

Endre (Weisfeld) Vazsónyi (1916-2003). O pai tiña unha zaparería moi próspera en Bucarest. Tería uns 13 anos cando coñece a Erdős. Segundo un relato do propio Vazsónyi, Pál pídelle un número de catro cifras. Cando llo di, Erdős devólvelle inmediatamente o seu cadrado. De seguido pregúntalle cantas demostracións coñece do teorema de Pitágoras. Vazsónyi só coñecía unha. Erdős sabía de 37. Endre aña o Eötvos de 1931.Fai a tese, dirixido por Féjer, sobre superficies de dimensión superior. Fronte á terrible discriminación dos xudeus, fuxe a Francia e despos aos EEUU. Alí traballaría para a industria militar e na informatización dunha gran compañía. Tamén participou en estudos de investigación operativa. 

George Szekeres (1911-2005). Mostrou interese e capacidades nas matemáticas integrándose no Círculo Anónimo, porén cando iniciou os estudos universitarios, fíxoo no campo da química na Universidade Técnica de Budapest, seguindo os desexos dos seus pais que necesitaban químicos para o negocio familiar. Mentres estudaba, a firma familiar crebou e, cando ao graduarse en 1933, traballou ata 1939 para unha empresa de peles en Simontornya, un centenar de quilómetros ao norte de Budapest. 

Ao agravarse o antisemitismo baixo a influencia nazi , emigrou coa súa muller Ester (Klein) Szekeres (1910-2005) a Shanghái (China), onde xa se marchou o seu irmán, Imre, anteriormente. A empresa na que traballaba en Shanghái tamén crebou e atopáronse cun recentemente nado no medio da Segunda Guerra chinojaponesa e da revolución comunista chinesa . Despois de anos de penurias extremas, en 1945, ao terminar a Segunda Guerra Mundial , traballou de administrativo nunha base aérea estadounidense. En 1948, a familia trasladouse a Adelaida (Australia) , aceptando unha invitación como profesor na universidade desta cidade. Alí vivirían no apartamento de Márta Svéd durante tres anos. En 1964 trasladáronse a Sydney para ser profesor da universidade de Nova Gales do Sur . Retirouse en 1976, pero durante vinte e cinco anos máis estivo a ir á universidade case todos os días.  En 2004, volveu vivir a Adelaida, cos seus fillos, pero a súa muller sufriu un ictus e tivo que ser ingresada nunha residencia. Uns meses despois, el tamén ingresou na mesma residencia, na que faleceron ambos o mesmo día de agosto de 2005.

En 1984, cofundou coa súa muller unha reunión semanal de enriquecemento das matemáticas que desde entón ampliouse ata converterse nun programa duns 30 grupos que seguen reuníndose semanalmente e inspirando a estudantes de secundaria en toda Australia e Nova Zelandia.

No ano 1995 a Australian Maths Trust homenaxeou ao matrimonio. Entre outras cousas destacaban que George foi precursor doutra revista para o alumnado de secundaria, Parabola, que aínda se publica actualmente.

Szekeres é autor ou coautor de máis dun centenar de artigos publicados en revistas científicas. Os seus campos de traballo máis notables son a teoría de grafos, a álxebra e teoría de grupos , a teoría de números , a análise matemática  e a física matemática 

Asuntos irracionais

As matemáticas da Grecia clásica foron extraordinarias. Tanto é así, que as matemáticas, tal e como as entendemos, son herdeiras directas das matemáticas gregas. Todas as achegas anteriores ou doutras culturas pódense etiquetar nun sentido moi preciso como protomatemáticas. Con todo, os matemáticos gregos non foron quen de tratar os números irracionais en toda a súa complexidade. Ficaron traumatizados polos inconmensurables e este trauma non puido ser tratado ata o século XIX.

Hoxe en día todo alumno que remata a secundaria obrigatoria debe saber o que son os números irracionais. Por concretar, trabállase moito coas fraccións, os números da forma $\frac{m}{n}$ onde $m$ e $n$ son números enteiros. Tamén se aprende cal é a expresión decimal destes números: serán, ben decimais cun número finito de cifras ou ben, se teñen un número infinito de cifras,  terán unha expresión periódica. Velaquí un par de exemplos; comecemos co seguinte:

$$\frac{1}{7}=0'142857142857142857142857142857...$$

Para obter a expresión decimal facemos a división. Como o divisor é 7, o resto ten que ser un número menor: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Neste caso o resto nunca dá 0, polo que só hai 6 restos posibles. Isto significa que o resultado decimal vai repetirse a partir da sétima cifra. En efecto, obteremos  reiteradamente a secuencia 142857. Isto é o que se chama número decimal periódico. No seguinte exemplo

$$\frac{3}{25}=0'12$$

Como o divisor é 25, nun principio, como moito teriamos unha restra de 24 decimais que despois deberían repetirse. Pero neste caso non tardamos en obter un 0 de resto e aí remata a división. Obtivemos un decimal exacto, con un número finito de cifras decimais. Velaí que todos os números racionais terán unha expresión decimal ben infinita periódica, ben finita.

Podemos imaxinar outras cifras decimais, aquelas que son infinitas e non periódicas. Estas serán precisamente as correspondentes aos números irracionais. Se unimos o conxunto  dos números racionais, que identificamos mediante o símbolo $\mathbb{Q}$, con todos os irracionais, $\mathbb{I}$, obteremos o conxunto dos números reais, $\mathbb{R}$ que é o formado por todos os números decimais.

Un dos exemplos máis famosos de número irracional é a $\sqrt{2}$, da que xa demostramos noutra ocasión xa demostramos noutra ocasión que non podía escribirse como cociente de dous número enteiros. Velaquí as súas primeiras cifras decimais:

$$\sqrt{2}=1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797...$$

Hai moitos exemplos máis de números irracionais:

$$0'12345678910111213141516171181920212223242526272829303132333435363738...$$

$$0'2345678910111213141516171181920212223242526272829303132333435363738...$$

Está claro que esta lista é infinita. Isto significa que hai infinitos números irracionais e aquí teremos a primeira sorpresa. Resulta que a cantidade (infinita) de irracionais é maior que a cantidade (infinita) de racionais. Para dar un razoamento deste feito, nos últimos cursos da ESO propóñolles o seguinte experimento mental. Imaxinemos que temos un saco con bólas brancas e bólas negras ben mesturadas, isto é que as bólas brancas non están na parte baixa do saco, están distribuídas ao azar por todo o seu contido. Sacamos unha bóla ao azar e resulta ser negra. Sacamos outra bóla, tamén negra. Continuamos repetindo o experimento unha e outra vez e só sacamos bólas negras, e insisto, non hai trampas. Neste caso concluímos que hai más bólas negras que brancas. Imos facer agora o mesmo experimento con números. Consideraremos unicamente o intervalo $(0,1)$ e colleremos nel números ao azar. Como podemos facelo? Cunha ruleta que teña os 10 díxitos. Un número dese intervalo terá parte enteira 0. Xiramos a ruleta e imos obtendo, en cada lanzamento, unha cifra decimal. Eu puxen a ruleta en funcionamento e obtiven o seguinte resultado:

$0'32931504154485839080382778080351429457854790736198815216962394170179963792...$

Realizar este experimento infinitas veces equivale a escoller un número ao azar do intervalo $(0,1)$. Como vai ser este número, racional ou irracional? Para que fose racional, ou ben a partir dun determinado momento a ruleta tería que caer infinitas veces no 0, ou ben, tería que repetir unha mesma pauta indefinidamente. Ambos casos son claramente imposibles. En consecuencia, o número extraído debe ser necesariamente irracional. Pero esta será a conclusión se repito unha e outra vez o experimento. Como no caso do saco de bólas, só me saen números irracionais. A conclusión é que hai moitos máis irracionais que racionais. Tendo en conta que hai unha infinidade tanto de uns como de outros, a extravagante consecuencia é que hai uns infinitos máis grandes que outros. 

Nas clases de Secundaria non profundizamos máis pero nas seguintes liñas daremos unha idea do encerllada que é distribución dos racionais e irracionais na recta.  Como no caso que acabamos de tratar, estudaremos unicamente o intervalo $(0,1)$. Pensemos nun número irracional calquera dese intervalo, por exemplo 

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=0'70710678118654752440084436210484903928483593768847403658833986...$$

Este número poderá aproximarse tanto como queiramos por números racionais. Os valores $0'7$, $0'707$, $0'7071$,... son núimeros racionais cada vez máis próximos a $\frac{\sqrt{2}}{2}$.  Por moi pequeno que escollamos un intervalo que conteña a $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ese intervalo vai conter infinidade de números racionais. En realidade, independentemente do pequeno que sexa un intervalo, ese conterá tanto unha infinidade de racionais como de irracionais. Esta propiedade enúciase normalmente dicindo que o conxunto dos números racionais $\mathbb{Q} $ é denso no conxunto dos números reais $\mathbb{R}$. Neste punto xa estamos en disposición de introducir un exemplo extraído do libro Mathematics and logic (Dover Publications 1968) de Mark Kac e Stanislaw M. Ulam.

Para cada racional $\frac{m}{n}$ do intervalo $(0,1)$, con $m$ e $n$ coprimos consideramos o intervalo de lonxitude $\frac{1}{2n^{2}}$ dado por $$\left ( \frac{m}{n}-\frac{1}{4n^{2}}, \frac{m}{n}+\frac{1}{4n^{2}}\right )$$

Para $n=2$ teremos o intervalo $\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{16},\frac{1}{2}+\frac{1}{16} \right )=\left ( \frac{9}{16},\frac{11}{16} \right )$

Para $n=3$ teremos dous intervalos: $\left ( \frac{11}{36},\frac{13}{36} \right )$ e $\left ( \frac{23}{36},\frac{25}{36} \right )$

Para $n=4$ hai outros dous intervalos: $\left ( \frac{17}{64},\frac{19}{64} \right )$ e $\left ( \frac{47}{64},\frac{48}{64} \right )$

Para $n=5$ hai 4 intervalos pois, ao ser primo, os 4 números menores que 5 son todos coprimos con el. Neste caso engadimos á nosa colección de intervalos os seguintes: 

$\left ( \frac{19}{100},\frac{21}{100} \right )$, $\left ( \frac{39}{100},\frac{41}{100} \right )$, $\left ( \frac{59}{100},\frac{61}{100} \right )$ e $\left ( \frac{79}{100},\frac{81}{100} \right )$

Cando chegamos a n=7 a porción do intervalo $(0,1)$ recuberta será a que se ofrece na imaxe

Parece que $\frac{\sqrt{2}}{2}$ xa foi recuberto por algún deses intervalos, porén se miramos con máis precisión veremos que isto *aínda non sucedeu:

A condición de seren coprimos equivale a esixir que a fracción $\frac{m}{n}$, con $m<n$, sexa irreducible. Así para cada $n\in\mathbb{N}$ tomamos en consideración tantos intervalos de lonxitude $\frac{1}{2n^{2}}$ como números menores que $n$ e coprimos con $n$ haxa. En consecuencia, para cada natural $n$ colleremos $\varphi (n)$ intervalos desa lonxitude, onde $\varphi$ é a función totiente de Euler. 

Cabe esperar que esta colección de intervalos recubra sobradamente todo o intervalo $(0,1)$ pois todos e cada un dos números racionais é centro dun deses intervalos. Imos reforzar esta idea comprobando que a suma das lonxitudes dos intervalos é infinita. En efecto, polo comentado no parágrafo anterior esa suma será $$\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varphi \left ( n \right )}{2n^{2}}$$

Agora ben, unha propiedade ben evidente da función $\varphi$ de Euler é que se $p$ é primo $\varphi \left ( p \right )=p-1$. Ademais se $p$ é primo $p\geq2$ e de aí $p-1\geq\frac{p}{2}$ En consecuencia

$$\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varphi \left ( n \right )}{2n^{2}}=\frac{1}{2} \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varphi \left ( n \right )}{n^{2}}\geq  \frac{1}{2}\sum_{p\:   primo}\frac{\varphi \left ( p \right )}{p^{2}}\geq \frac{1}{2}\sum_{p\: primo}\frac{p-1}{p^{2}}\geq   \frac{1}{2}\sum_{p\: primo}\frac{p}{2}\frac{1}{p^{2}}= \frac{1}{4}\sum_{p\: primo}\frac{1}{p}$$

Imos xogar un pouco con outras desigualdades. Prometo que paga a pena.

Se houbese un par de naturais que verificasen a igualdade $n^{2}-2m^{2}=0$, entón $n^{2}=2m^{2}$ e consecuentemente $\frac{n^{2}}{m^{2}}=2$, ou equivalentemente $\frac{n}{m}=\sqrt{2}$. Pero isto é imposible, de aí que $\left | n^{2}-2m^{2} \right |\neq 0$. Agora ben, este número debe ser natural, entón $\left | n^{2}-2m^{2} \right |\geqslant 1$. Dividindo por $2n^{2}$ obtense a  desigualdade:

$$\frac{\left | n^{2}-2m^{2} \right |}{2n^{2}}\geqslant \frac{1}{2n^{2}}$$

Que usaremos para obter esta outra desigualdade:

$$\left | \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{m}{n} \right |\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{m}{n}\right )=\left | \frac{2}{4}-\frac{m^{2}}{n^{2}} \right |=\left | \frac{1}{2} -\frac{m^{2}}{n^{2}}\right |=\frac{\left | n^{2}-2m^{2} \right |}{2n^{2}}\geqslant \frac{1}{2n^{2}}$$

Entón, como $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{m}{n}< \frac{3}{4}+1< 2$ verificarase que

$$\left | \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{m}{n} \right |\geq \frac{1}{2n^{2}}:\left ( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{m}{n} \right )> \frac{1}{2n^{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4n^{2}}$$

Dito con outras palabras, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dista de calquera racional $\frac{m}{n}$ máis que $\frac{1}{4n^{2}}$ polo que ningún intervalo da nosa colección recubre o punto $\frac{\sqrt{2}}{2}$, que manda truco!

Unha querencia particular e unha querencia compartida

Unha querencia particular

O meu profesor de matemáticas
 de 1º de BUP

Supoño que todo aquel que profundice un pouco no mundo das matemáticas terá querencia por algunhas demostracións, razoamentos ou resultados en especial. Moitos deles forman parte dunha cultura común compartida e outros quizais veñan dalgunha manía persoal. De entre estes últimos eu teño unha extravagante predilección polo anódino teorema do resto. Hai  razóns para que fixera esta escolla. Eu xa coñecía o resultado das clases da EXB, pero 45 anos depois aínda lembro perfectamente ese momento de arroubo cando nunha aula de 1º de BUP o profesor debuxou con xiz sobre o encerado negro a súa demostración. Non o podía crer, tan claro, tan simple, o razoamento de apenas tres ou catro liñas, funcionaba; podía aplicarse a calquera polinomio e a calquera valor numérico!. Naquel momento sentín con intensidade a necesidade de saber moito máis de matemáticas. 

Despois eu mesmo expliquei moitas veces o teorema do resto e moitas veces comprobei que boa parte do alumnado non era quen de entendelo, moito menos de apecialo. Tampouco nunca detectei a ningún alumno emocionado ante a demostración deste (ou doutro) teorema. Tamén é certo que o meu profesor de matemáticas de 1º de BUP non se había de decatar doutra cousa que non fose o meu coñecemento ou descoñecemento do teorema. 

Como nunca apareceu neste blogue, aproveito a ocasión para insertalo por aquí.

Teorema do resto. O resto de dividir un polinomio $P(x)$ entre $x-a$ é igual ao valor numérico de $P(x)$ para $x=a$.

Para demostralo fagamos a división de $P(x)$ entre $x-a$, obteremos un cociente $C(x)$ e un resto $R(x)$. Ademais, polo significado da división, verificaranse as seguintes condicións:

1. $P\left ( x \right )=C\left ( x \right )\left ( x-a \right )+R\left ( x \right )$
2. O grao de $R \left( x \right )$ é menor que o grao de $\left( x-a \right )$

Como  o grao de $\left( x-a \right )$ é $1$, o grao de $R\left ( x \right )$ ten que ser $0$. Isto significa que o resto ten que ser un número, de aí que poidamos escribir $R \left( x \right )=R$. Facendo este cambio na igualdade da primeira condición obtemos:

$$P\left ( x \right )=C\left ( x \right )\left ( x-a \right )+R$$

Calculando agora o valor numérico de $P(x)$ para $x=a$ temos:

$$P\left ( a \right )=C\left ( a \right )\left ( a-a \right )+R=C\left ( x \right )\cdot 0+R=R\quad\quad\square$$

Simple, claro, abranguente, isto é, fermoso.

Unha querencia compartida

Aquel mesmo ano que eu cursaba 1º de BUP emitiuse a serie televisiva de divulgación científica Cosmos, presentada por Carl Sagan. Canda esa emisión tamén se publicou o libro do mesmo título. Tanto a serie como o libro tiñan como obxectivo explicar os principais coñecementos astronómicos e abordaban este cometido usando moitas referencias da historia desta ciencia. Alén doutras consideracións, a min chamárame a atención un anexo final de dúas páxinas, cadansúa adicada a desenvolver matemáticamente un aspecto que se comentaba nalgún dos capítulos do libro. Nunha explicábase por que só podían existir 5 poliedros regulares e na outra demostrábase a irracionalidade da √2. 

Na páxina dedicada aos poliedros partíase dunha fórmula que daquela era completamente misteriosa para min, a fórmula de Descartes-Euler, que relaciona o nº de caras (C), o nº de vértices (V) e o de arestas (A), dun poliedro (homeomorfo a unha esfera, tal e como diría hoxe):

$$C+V-A=2$$

No libro indicábase que había unha bonita demostración no libro de Courant e Robins, Que é a matemática?, (páx. 248), mais daquela non tiña posibilidade algunha de consultar ese libro, nin imaxinaba que algún día chegaría a lelo. Aproveito a ocasión para recomendar outras dúas lecturas relacionadas coa fórmula de Descartes-Euler. A primeira é Probas e refutacións (Alianza Editorial) de Imre Lakatos; escrito en forma de diálogo, critica a visión formalista das matemáticas e ofrece como alternativa unha matemática construída heuristicamente. A segunda é A pérola de Euler (Gradiva) de David Richeson, que fai un percorrido histórico da fórmula. 

Por fin voume centrar na querencia compartida pola comunidade matemática que quería comentar. A xa referida demostración da irracionalidade de √2 . Lembro perfectamente que a lera con moito interese, pero non fora quen de entendela. Despois expliqueina na aula en moitas ocasións e decateime de que as primeiras veces, en cursos da ESO, foi un óso demasiado duro de roer. A demostración faise por redución ao absurdo. Consiste en supoñer que o contrario do que queremos demostrar é certo. Finalmente, e mediante razoamentos coidadosamente correctos, chegaremos a unha contradición. Concluiremos que a contradición procede da suposición falsa que fixemos, ergo, o seu contrario é verdadeiro. 

Metámonos en fariña: supoñamos que √2 é racional. Iso significa que pode escribirse como un cociente de números enteiros. Aínda máis, podemos escribilo como unha fracción irreducible, isto é, sen factores comúns a numerador e denominador. Sexa $\frac{m}{n}$ esa fracción irreducible. Elevémola ao cadrado:

$$\left (\frac{m}{n}  \right )^{2}=\left (  \sqrt{2}\right )^{2}=2$$

De aí que $m^{2}=2n^{2}$, polo tanto $m^{2}$ é par e entón $m$ tamén o ten que ser. Por iso poderemos escribir que $m=2m_{1}$. Elevemos ao cadrado esta última expresión (e recordemos que $2n^{2}=m^{2}$).

$$2n^{2}=m^{2}=\left (2m_{1}  \right )^{2}=4m_{1}^{2}$$

Comparando o primeiro e último membro destas igualdades obteremos $n^{2}=2m_{1}^{2}$, é dicir, $n$ tamén é par. Dicimos "tamén" porque xa viramos que $m$ era par. Velaquí a contradición, pois partíramos de que a fracción $\frac{m}{n}$ era irreducible, polo tanto $m$ e $n$ non poden ser ambos pares.

Unha das dificultades da comprensión deste razoamento reside en que hai que ter asumido previamente que estamos traballando nunha estrutura lóxica, que debe estar exenta de contradicións. Por iso, antes de explicar o anterior nunha aula sempre tomaba un tempo en relatar a famosa anéctota atribuída a Bertrand Russell cando nunha conferencia sobre sistemas dedutivos, na que tratara precisamente o asunto de que a introdución dunha falsidade nun deses sistemas daba lugar a poder demostrar calquera cousa. Un asistente retouno a demostrar que el era o Papa partindo de que $2+2=5$. Russell non se achantou e respondeu algo así:

- Se $2+2=5$, como $2+2=4$, deduciremos que $4=5$. Restando $3$ de ambos membros desta igualdade teremos que $1=2$. Como eu e mais o Papa somos dous, eu son o Papa. 

Se o alumnado ao que se lle relata a demostración da irracionalidade de √2, ten un profesor de filosofía que adica o tempo sufiente en traballar a lóxica, teremos os vimbios necesarios para poder presentala. En caso contrario o camiño vólvese costa arriba. 

Outra dificultade reside en non decatarse de que podemos esixir que a fracción $\frac{m}{n}$ sexa irreducible. O diálogo da aula podería ser o seguinte:

-(alumno) E que pasa se a fracción $\frac{m}{n}$ non é irreducible? 

- (profesor) Se temos unha fracción como $\frac{14}{10}$?

- (alumno) Si

- (profesor) Se temos unha fracción como $\frac{14}{10}$ poderemos reducila: $\frac{14}{10}=\frac{7}{5}$, entón eu escollo precisamente esta última. A esta é á que lle chamo $\frac{m}{n}$

- (alumno) Pero como sei eu que $\frac{m}{n}$ é $\frac{7}{5}$? E se segue sendo $\frac{14}{10}$? 

 Aquí o profesor sabe que posiblemente o alumno non o vai entender por máis que o intente. E aínda podemos engadir outra dificultade. O habitual é que a estas alturas o alumnado non estea habituado a razoamentos abstractos como estes que presentamos aquí. Pode sentirse incómodo ou inseguro ao enfrontarse a demostracións desta fasquía. Claro que se nunca ou en moi poucas ocasións se expón a elas, non chegará a encontrarse cómodo neste ámbito. 

Téñense feito estudos sobre o uso das demostracións no ensino non universitario. Velaquí o caso de M.  Arce et al ou da tese de C . dos Santos, que traballaron con profesorado de Ourense, Chaves e Valladolid. Se están no certo, hai unha tendencia a que o profesorado máis novo sexa tamén o que máis prescinde do uso das demostracións na aula. Teñamos presente que neses estudos fálase de "demostración" nun sendido moi laxo; unha "demostración" non é necesariamente unha dedución formal, pode ser, por exemplo, unha comprobación nalgúns casos particulares ou usando programas de xeometría dinámica. A cifra de docentes que declaran facer poucas demostracións na súa práctica docente supera o 50%. Isto é preocupante porque entendo que a alternativa é ofrecer unha matemática algorítmica, unha restra de procedementos mecánicos. Quizais aí haxa aulas, pero non de matemáticas.

Entendo que a comunidade social do profesorado de matemáticas distínguese por ter unha querencia común polas demostracións e os razoamentos matemáticos. Ese profesorado é o único axente que ten capacidade para transmitir eses saberes. Non podemos negarlle ese tesouro aos nosos alumnos. Non podemos traizoar así á sociedade que nos acolle.