segunda-feira, 12 de fevereiro de 2018

Números metálicos para un problema.2

Teño que comenzar esta entrada facendo referencia á anterior e indicando que aquí se fai referencia a varias fórmulas indicadas alí. Nesa outra entrada comentaba que JJ propuxera, entre outros varios, o seguinte problema:
Problema. Demostra que a seguinte sucesión ten todos os seus termos enteiros:  x0=1$${ x }_{ n+1 }=\frac { 3{ x }_{ n }+\sqrt { 5{ x }_{ n }^{ 2 }-4 } }{ 2 } $$ 

Imaxe do libro de M. Gardner
Cando din cun camiño cara a súa resolución non estaba pensando nel. Andaba buscando actividades para a aula relacionadas co número áureo. Concretamente cun artigo do libro de Martin Gardner, Matemática, magia y misterio (RBA, 2011) sobre esvaementos xeométricos no que se explica un xogo de maxia fundamentado na sucesión de Fibonacci. Se recolocamos os recortes do cadrado de 8x8 podemos formar un rectángulo de 5x13. Evidentemente as áreas son distintas (!). Hai algo que non cadra.
Os números que entran en xogo neste divertimento, (5, 8 e 13) son tres termos consecutivos da sucesión de Fibonacci. Verifican que 5٠13=132 -1. O cadradiño esvaeuse debido a que a diagonal do rectángulo non se xusta ben, aínda que cando facemos o xogo, esperamos que ninguén se decate. En xeral para tres números consecutivos desta sucesión teremos que: $${ F }_{ k+1 }{ F }_{ k-1 }={ F }_{ k }^{ 2 }+{ \left( -1 \right)  }^{ k }\quad \quad \quad (7)$$ Entón, para k=2n: $${ F }_{ 2n+1 }{ F }_{ 2n-1 }={ F }_{ 2n }^{ 2 }+1\quad \quad \quad (8)$$
E revisando a sucesión dada no problema parecía que era precisamente a dos termos de índice impar da sucesión de Fibonacci: xn=F2n+1.$$\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & ... \\ { F }_{ 1 } & { F }_{ 2 } & { F }_{ 3 } & { F }_{ 4 } & { F }_{ 5 } & { F }_{ 6 } & { F }_{ 7 } & { F }_{ 8 } & { F }_{ 9 } & ... \\ { x }_{ 0 } &  & { x }_{ 1 } &  & { x }_{ 2 } &  & { x }_{ 3 } &  & { x }_{ 4 } & ... \end{matrix}$$
Así que conxecturamos que:
$${ F }_{ 2n+3 }=\frac { { 3{ F }_{ 2n+1 } }+\sqrt { 5{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }-4 }  }{ 2 } $$
Esta igualdade verificarase cando:
$${ \left( 2{ F }_{ 2n+3 }-{ 3F }_{ 2n+1 } \right)  }^{ 2 }=5{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }-4$$
Como F2n+3= F2n+2 + F2n+1:
$${ \left( 2{ F }_{ 2n+2 }-{ F }_{ 2n+1 } \right)  }^{ 2 }=5{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }-4$$
Elevando ao cadrado e simplificando:
$${ F }_{ 2n+2 }^{ 2 }+1={ F }_{ 2n+2 }{ F }_{ 2n+1 }+{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }$$
Aplicando (8) ao primeiro membro e volvendo a realizar a substitución F2n+3= F2n+2 + F2n+1, obtemos o segundo membro:
$${ F }_{ 2n+2 }^{ 2 }+1={ F }_{ 2n+1 }{ F }_{ 2n+3 }={ F }_{ 2n+1 }\left( { F }_{ 2n+2 }+{ F }_{ 2n+1 } \right) ={ F }_{ 2n+2 }{ F }_{ 2n+1 }+{ F }_{ 2n+1 }^{ 2 }$$
Velaí o problema resolto. Toca revisar algunhas cousas.
Na entrada anterior conxecturaba que $${ x }_{ n+1 }=3{ x }_{ n }-{ x }_{ n-1 } $$ comprobada a igualdade entre a sucesión xn e a dos termos impares da de Fibonacci, veremos que isto é certo comprobando que $${ F }_{ 2n+3 }=3{ F }_{ 2n+1 }-{ F }_{ 2n-1 } $$:
$${ F }_{ 2n+3 }={ F }_{ 2n+2 }+{ F }_{ 2n+1 }=\left( { F }_{ 2n+1 }+{ F }_{ 2n } \right) +{ F }_{ 2n+1 }=2{ F }_{ 2n+1 }+\left( { F }_{ 2n } \right) =\\ =2{ F }_{ 2n+1 }+{ F }_{ 2n+1 }-{ F }_{ 2n-1 }=3{ F }_{ 2n+1 }-{ F }_{ 2n-1 }$$
Polo tanto xn=F2n+1. De aí que por esta igualdade e tendo en conta (5) e (6) poidamos dar esta bonita fórmula:
$${ \phi  }^{ 2n+1 }-{ \varphi  }^{ 21n+1 }={ \left( 1+\varphi  \right)  }^{ n }\phi -{ \left( 1+\phi  \right)  }^{ n }\varphi $$
Resulta ademais que a suma dos cadrados de termos consecutivos da sucesión de Fibonacci é precisamente a suecesión de termos de subíndice impar, polo que coincide coa sucesión do problema:$${ F }_{ n+1 }^{ 2 }+{ F }_{ n+2 }^{ 2 }={ F }_{ 2n+3 }\quad \quad \quad (9)$$

Matrices de Fibonacci
Particularmente sorprendente é o uso das matrices para estudar a sucesión de Fibonacci. A presentación desta sucesión pódese facer mediante a seguinte matriz: $$Q=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\quad ;\quad \quad Q\left( \begin{matrix} { F }_{ n } \\ { F }_{ n-1 } \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { F }_{ n } \\ { F }_{ n-1 } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { F }_{ n+1 } \\ { F }_{ n } \end{matrix} \right) $$
Imos usala para demostrar algún dos resultados É inmediato comprobar que
$${ Q }^{ n }\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { F }_{ n } \\ { F }_{ n-1 } \end{matrix} \right) \quad ;\quad { Q }=\begin{pmatrix} { F }_{ 2 } & { F }_{ 1 } \\ { F }_{ 1 } & { F }_{ 0 } \end{pmatrix}\quad \quad ;\quad { Q }^{ n }=\begin{pmatrix} { F }_{ n+1 } & { F }_{ n } \\ { F }_{ n } & { F }_{ n-1 } \end{pmatrix}$$
Con isto na faltriqueira podemos xenerar varias fórmulas sen esforzo ningún. Por exemplo a que usamos en (7): $${ F }_{ n+1 }{ F }_{ n-1 }-{ F }_{ n }^{ 2 }=det\begin{pmatrix} { F }_{ n+1 } & { F }_{ n } \\ { F }_{ n } & { F }_{ n-1 } \end{pmatrix}=det{ Q }^{ n }={ \left( detQ \right)  }^{ n }={ \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right|  }^{ n }={ \left( -1 \right)  }^{ n }$$
Tamén podemos demostrar a fórmula (9) na súa versión máis habitual:
$${ Q }^{ n+1 }{ Q }^{ n }={ Q }^{ 2n+1 }$$
$$\begin{pmatrix} { F }_{ n+2 } & { F }_{ n+1 } \\ { F }_{ n+1 } & { F }_{ n } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} { F }_{ n+1 } & { F }_{ n } \\ { F }_{ n } & { F }_{ n-1 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { F }_{ 2n+2 } & { F }_{ 2n+1 } \\ { F }_{ 2n+1 } & { F }_{ 2n } \end{pmatrix}$$
Ao multiplicar a segunda fila da primeira matriz pola primeira columna da segunda obtemos o elemento (2,1):
$${ F }_{ n+1 }^{ 2 }+{ F }_{ n }^{ 2 }={ F }_{ 2n+1}\quad \quad \quad (9)$$
Falando das matrices asociadas á sucesión de Fibonacci, non podo deixar de escribir un par de fórmulas suxerentes de comprobación inmediata:
$${ Q }^{ 2 }=Q+I\quad \Longrightarrow \quad { Q }^{ n }={ Q }^{ n-1 }+{ Q }^{ n-2 }$$
$${ Q }^{ n }=Q{ F }_{ n }+I{ F }_{ n-1 }$$
Polo momento paro aquí, aínda que o universo Fibonacci é tan apaixoante que non descarto pegarlle unha volta outro día.

quinta-feira, 8 de fevereiro de 2018

Números metálicos para un problema. 1

Como nas mellores ocasións, esta historia comenza cun problema.
O pasado nadal JJ tivo a feliz iniciativa de propoñer unha serie de cuestións no seu blogue. Unha delas foi a seguinte:
Problema. Demostra que a seguinte sucesión ten todos os seus termos enteiros:  x0=1$${ x }_{ n+1 }=\frac { 3{ x }_{ n }+\sqrt { 5{ x }_{ n }^{ 2 }-4 } }{ 2 } $$ 

Un primeiro achegamento a calquera problema consiste na experimentación. Cales son os primeiros valores que obtemos? $$\begin{matrix} { x }_{ 0 } & { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } & { x }_{ 3 } & { x }_{ 4 } & { x }_{ 5 } & ... \\ 1 & 2 & 5 & 13 & 34 & 89 & ... \end{matrix}$$
Efectivamente, estes son números enteiros. Hai algunha relación entre eles? Coñecémolos de algo?
Parece que se obteñen mediante a seguinte recurrencia: $${ x }_{ n+1 }=3{ x }_{ n }-{ x }_{ n-1 }\quad \quad  (1) $$
Isto recorda a formación da sucesión de Fibonacci. Hai un tipo de sucesións, as chamadas de Fibonacci xeneralizadas que teñen este patrón de construción. Dados dous números p e q, formaremos os elementos da sucesión mediante a seguinte fórmula recursiva:
 $${ x }_{ n+1 }=p{ x }_{ n }+q{ x }_{ n-1 }\quad \quad \quad \quad \quad (2)$$

Se dividimos por xn: $$\frac { { x }_{ n+1 } }{ { x }_{ n } } =p+\frac { q }{ \frac { { x }_{ n } }{ { x }_{ n-1 } } } \quad \quad \quad \quad \quad (3)$$

Tomando límites cando n⇾∞ e supoñendo que existe o $$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { x }_{ n+1 } }{ { x }_{ n } } } =\lambda $$ $$\lambda =p+\frac { q }{ \lambda } $$
$${ \lambda }^{ 2 }-p\lambda -q=0$$ Resolvo:
$${ \lambda }_{ 1 }=\frac { p+\sqrt { { p }^{ 2 }+4q } }{ 2 } \quad \quad \quad { \lambda }_{ 2 }=\frac { p-\sqrt { { p }^{ 2 }+4q } }{ 2 } \quad \quad \quad $$
Os números λ1 tamén son coñecidos como números metálicos, segundo a denominación da matemática arxentina Vera de Spinadel (1929-2017). Para (p,q)=(1,1) temos o famoso número áureo, para (p,q)=(2,1) o chamado número de prata, para (p,q)=(3,1) o de bronce ou para (p,q)=(1,2) o número de cobre,...Tendo en conta que
$${ \lambda  }^{ 2 }=p\lambda +q\quad \quad \rightarrow \quad \quad x=p+\frac { q }{ \lambda  } $$
Estes números poden representarse como fraccións continuas da seguinte maneira:$$\lambda =p+\frac { q }{ p+\frac { q }{ p+\frac { q }{ p+... }  }  } $$
E tendo en conta que:
$${ \lambda  }^{ 2 }=p\lambda +q\quad \Longrightarrow  \quad \quad \lambda =\sqrt { q+p\lambda  } $$
Obtemos tamén a segunte forma de representación para os números metálicos:
$$\quad \lambda =\sqrt { q+p\sqrt { q+p\sqrt { q+p\sqrt { ... }  }  }  } $$
Agora é onde comenza o divertido. Consideremos a seguinte matriz Q, que nos permite redefinir a relación (2) doutro xeito:
$$Q=\begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\quad \quad ;\quad \quad Q\left( \begin{matrix} { x }_{ n } \\ { x }_{ n-1 } \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { x }_{ n } \\ { x }_{ n-1 } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} p{ x }_{ n }+q{ x }_{ n-1 } \\ { x }_{ n } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { x }_{ n+1 } \\ { x }_{ n } \end{matrix} \right) $$
Isto permitiríanos obter os sucesivos termos da sucesión mediante o seguinte proceso:
$$\left( \begin{matrix} { x }_{ n+1 } \\ { x }_{ n } \end{matrix} \right) { =Q }^{ n }\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 0 } \end{matrix} \right) ={ \begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }^{ n }\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 0 } \end{matrix} \right) \quad \quad \quad (4)$$

Agora ben, aparécenos un produto de matrices, o cal parece complicar as cousas... ou quizais non. Hai unha forma de calcular a n-ésima potencia dunha matriz Q sempre e cando ésta sexa diagonalizable, isto é, cando exista unha matriz diagonal D e outra S tal que Q=S-1D S. Estas matrices calcúlanse a partir dos autovalores, que serán as raíces do polinomio característico de Q: $$P(\lambda )=det(Q-\lambda I)=\begin{vmatrix} p-\lambda  & q \\ 1 & -\lambda  \end{vmatrix}={ \lambda  }^{ 2 }-p\lambda -q$$
Resulta que as raíces deste polinomio xa as calculamos antes: λ1 e λ2. Isto permítenos calcular os autovectores, que verificarán igualdades do tipo:
$$\begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) ={ \lambda  }_{ i }\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) ,\quad \quad \quad i=1,2$$

$$ \begin{cases} px+q={ \lambda  }_{ 1 }x \\ { x=\lambda  }_{ 1 }y \end{cases}\quad ;\quad \quad \begin{cases} px+q={ \lambda  }_{ 2 }x \\ { x=\lambda  }_{ 2 }y \end{cases}\quad \quad $$
Estes sistemas son indeterminados. Escollemos as solucións para y=1 e obtermos os dous autovectores, o que nos dará a matriz S. Temos pois:
$$D=\begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 } & 0 \\ 0 & { \lambda  }_{ 2 } \end{pmatrix}\quad \quad ;\quad S=\begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 } & { \lambda  }_{ 2 } \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \quad \begin{vmatrix} { \lambda  }_{ 1 } & { \lambda  }_{ 2 } \\ 1 & 1 \end{vmatrix}={ \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 }=\sqrt { { p }^{ 2 }+4q } \neq 0$$
Para que S sexa regular precisamos que o discriminante sexa estritamente positivo. Con esta condición podemos calcular a súa inversa: $${ S }^{ -1 }=\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } \begin{pmatrix} 1 & { -\lambda  }_{ 2 } \\ -1 & { \lambda  }_{ 1 } \end{pmatrix}$$
Agora calcular as potencias de Q simplifícase enormemente:
$${ Q }^{ n }=SD{ S }^{ -1 }\cdot SD{ S }^{ -1 }\overset { n }{ \cdot \cdot \cdot \cdot  } \cdot SD{ S }^{ -1 }=S{ D }^{ n }{ S }^{ -1 }$$
$${ Q }^{ n }=S{ D }^{ n }{ S }^{ -1 }=\begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 } & { \lambda  }_{ 2 } \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 }^{ 2 } & 0 \\ 0 & { \lambda  }_{ 2 }^{ 2 } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & { -\lambda  }_{ 2 } \\ -1 & { \lambda  }_{ 1 } \end{pmatrix}\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } $$
$${ Q }^{ n }=S{ D }^{ n }{ S }^{ -1 }=\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } \begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 }^{ n+1 } & { \lambda  }_{ 2 }^{ n+1 } \\ { \lambda  }_{ 1 }^{ n } & { \lambda  }_{ 2 }^{ n } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & { -\lambda  }_{ 2 } \\ -1 & { \lambda  }_{ 1 } \end{pmatrix}=\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } \begin{pmatrix} { \lambda  }_{ 1 }^{ n+1 }-{ \lambda  }_{ 2 }^{ n+1 } & { { \lambda  }_{ 1 }{ \lambda  }_{ 2 } }\left( { \lambda  }_{ 2 }^{ n }-{ \lambda  }_{ 1 }^{ n } \right)  \\ { \lambda  }_{ 1 }^{ n }-{ \lambda  }_{ 2 }^{ n } & { \lambda  }_{ 1 }{ \lambda  }_{ 2 }\left( { \lambda  }_{ 2 }^{ n-1 }-{ \lambda  }_{ 1 }^{ n-1 } \right)  \end{pmatrix}$$
Tendo en conta este último resultado, e aplicando  (4) para(x0, x1)=(1,1) obteremos a fórmula de Binet:$${ x }_{ n }=\frac { 1 }{ { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 } } \left[ { \lambda  }_{ 1 }^{ n }\left( 1-{ \lambda  }_{ 2 } \right) -{ \lambda  }_{ 2 }^{ n }\left( 1-{ \lambda  }_{ 1 } \right)  \right] $$
Usando esta fórmula pódese determinar que: $$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { { x }_{ n+1 } }{ { x }_{ n } } = } { \lambda  }_{ 1 }$$
Para obter unha fórmula de Binet algo máis recoñecible, basta ter presente que
$${ \lambda  }_{ 1 }=\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } =\phi \quad \quad { \lambda  }_{ 2 }=\frac { 1-\sqrt { 5 }  }{ 2 } =\varphi \quad \quad ;\quad { \lambda  }_{ 1 }-{ \lambda  }_{ 2 }=\phi -\varphi =\sqrt { 5 } \quad ;\quad \phi =1-\varphi \quad ;\quad \phi \varphi =-1 $$
$${ F }_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left[ { \phi  }^{ n }\left( 1-\varphi  \right) -{ \varphi  }^{ n }\left( 1-\phi  \right)  \right] =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left( { \phi  }^{ n+1 }-{ \varphi  }^{ n+1 } \right)\quad \quad (5) $$
(Nota: os expoñentes son n+1 no canto de n  xa que en lugar de obter a sucesión estándar: 0, 1, 1, 2, 3, 5,... comenzamos cun valor adiantado: 1, 1, 2, 3 , 5, 8, ....)
Chegados aquí xa podo comentar que o problema co que comenzaba esta entrada aínda está sen encarreirar pero é que había un tempo que quería publicala e o citado problema acabou sendo unha desculpa perfecta para facelo. Volvendo sobre el, vemos que os seus valores (p,q)=(3,-1) escápanse do contido dos números metálicos pois éstes obtémolos para valores positivos de p e q. Pola contra, que o valor de q sexa negativo, nun principio, non debería dar maiores problemas xa que o discriminante continúa a ser positivo: p2+4q=5. Agora os valores da ecuación de segundo grao asociada son: $${ \lambda  }_{ 1 }=\frac { 3+\sqrt { 5 }  }{ 2 } =1+\phi \quad \quad \quad \quad \quad { \lambda  }_{ 2 }=\frac { 3-\sqrt { 5 }  }{ 2 } =1+\varphi $$
E aínda que non vexa, por esta vía, como resolver o problema orixinal, polo menos obtemos unha bonita fórmula para a sucesión proposta: $$x_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  } \left[ { \left( 1+\varphi  \right)  }^{ n }\phi -{ \left( 1+\phi  \right)  }^{ n }\varphi  \right] \quad \quad (6)$$
Nunha entrada posterior intentarei contar como, por fin, se pode resolver o problema.

segunda-feira, 1 de janeiro de 2018

Notas sobre as II Xornadas de terminoloxía matemática

Os pasados días 28 e 29 de novembro celebráronse na Facultade de Matemáticas as II Xornadas de terminoloxía matemática. Velaquí van unhas notas (parciais)  sobre como se desenvolveron. Os comentarios que non se atribúen a ninguén son meus.
As notas refírense sobre todo ás contribucións do primeiro día porque me interesaba especialmente dar conta tanto dos materiais en galego como dos aspectos terminolóxicos en discusión.

 Materiais didácticos de matemáticas para secundaria
Sandra Sambade tiña a difícil tarefa de pescudar polo material en galego para o ensino secundario. Adiantou que o funesto decreto 79/2010 foi como o cabalo de Atila e que pouco queda. Velaquí a recompilación dese escaso material:
Material elaborado en galego
Matemáticas: habelas hainas, queremos contarchas!. 8 Vídeo-conferencias dunha xornada organizada na Facultade de Matemáticas o 09/11/17
No espazo Abalar hai un total de 21 (16) recursos en galego para a ESO fronte aos 159 en castelán. Chama a atención que os poidamos atopar no repositorio Abalar, da Consellería de Educación, cando é precisamente este organismo o que prohíbe a impartición de aulas de matemáticas en galego. Ata este nivel chega a hipocrisía. 6 dos materiais foron elaborados por Pila para 1º da ESO (Xeometría plana no mobiliario urbano (aula virtual) , Áreas e perímetros, Circunferencia e círculo, Triángulos, Polígonos e Xeometría plana no mobiliario urbano)
Outros 6 de xeometría plana elaborados por Teresa Otero e Alicia Pedreira para 2º da ESO (Polígonos,  Puntos e rectas notables, Puzzles matemáticos, Semellanza. Teorema de Thales, Teorema de Pitágoras, Triángulos) Aparece 1 de álxebra (que realmente non existe) e outro, O xogo da oca (II), que é para Primaria Actividades de reforzo, Xeoclic  que a min non me funcionou, (1º ESO) Aprende xeometría (2º ESO)
Finalmente tamén están referidos os materiais EDAD da LOGSE de 1º, 2º e 3º da ESO pero trátase de aplicacións que requiren dunha versión obsoleta da máquina virtual Java, e que polo tanto non funcionan. Ao non haber persoal da Consellería con coñecementos da materia o desastre e a desorganización son a divisa do Abalar. Para o bacharelato atopamos 51 unidades didácticas procedentes do IES San Clemente e unha de integración numérica do Proxecto Descartes que volve a ter o problema da desactualización.

Material traducido.
Aquí temos a maior parte dos recuros, especialmente os do Proxecto EDAD, con 12 unidades didácticas interactivas para cada unha das 6 materias de matemáticas que se imparten na ESO. Tamén está Geogebra, que conta cunha versión en galego grazas aos contribuidores que verquen ao galego as actualizacións desta aplicación na que podemos elaborar e atopar recursos.

Libros
No relativo aos libros de texto, ao estar prohibida a publicación dos da ESO, non hai ningún. Pero prácticamente temos o mesmo panorama nos do Bacharelato, a pesar de que aquí si que podería habelos Sandra só os atopou en Anaya. Outras editoriais de gran implantación como S.M ou Santillana non os ofrecen en galego.

Publicacións
No apartado de publicacións temos os libros da colección Lemniscata e a revista Gamma, ambas distribuídas por AGAPEMA. (Aquí podemos acceder ao nº 13 de Gamma) e un libro de Antom Labranha O universo matemático (Xerais 2017).
Grazas ao labor dalgúns profesores promocionando e titorizando revistas elaboradas por alumnos temos Mathesis, do IES Otero Pedrayo (A Coruña) e no blogue Tetractis de Gonzalo Temperán, no IES Monelos (A Coruña).

Blogues
Tamén hai blogues de matemáticas en galego, (poucos) e neste artigo de Manuel Vilariño temos unha recompilación.

Outros materiais
Finalmente S. Sambade fixo referencia a outros materiais, que quizais non admiten clasificación nos apartados anteriores. Aquí temos, por exemplo, todos os recursos xeométricos do profesor de debuxo Paulo Porta e a unidade didáctica María Wonenburger. Unha matemática adiantada ao seu tempo. de María José Souto Salorio e Ana Dorotea Tarrío Tobar, unidade didáctica, editada pola Xunta e o portal Matemáticas en pé de igualdade, da U. de Vigo sobre mulleres matemáticas O concurso Explícoche matemáticas 2.0, que desafortunadamente non ten un portal propio, aínda que teñen os vídeos na canle de You Tube da facultade.

Materiais didácticos de matemáticas para a universidade
Alberto Cabada, catedrático da Facultade de Matemáticas, dou conta do breve listado de publicacións  de matemáticas do nivel universitario:
Tamén fixo referencia ás publicacións da SGPEIO. Aquí vou destacar as que se publicitan no seu portal: os boletíns INFORMEST e o libro Á Estatística, ¡en caricaturas!. Cabada tamén se referiu a unha publicación de carácter terminolóxico, Termos esenciais de matemáticas para a economía e a empresaFinalmente falou das máis de 200 unidades didácticas que se elaboraron por iniciativa do SNL da USC. De entre elas hai algunhas de matemáticas:
Evolución e fixación do léxico matemático en galego
Xusto Rodríguez explicou que se está traballando para mellorar e ampliar con certos termos propios da matemática o dicionario da RAG. Neste sentido comentou que a Academia non fixará léxico especializado. O obxectivo non é que a Academia nos forneza de léxico, somos nós, os usuarios, os que debemos facer uso del.
En termos xerais hai poucos conceptos matemáticos en galego e están pouco difundidos. Tamén temos a sensación de que está deficientemente fixado porque hai pouco material científico en galego. Para unha maior fixación cómpre que se aumenten os contidos matemáticos. Así e todo, o léxico matemático, está bastante ben asentado. Basta que o comparemos co propio da informática para decatármonos.

O caso do léxico da estatística
Carlos L. Iglesias Patiño demostrou ser o campeón da innovación terminolóxica estatística galega, non hai termo especializado desta materia que se lle escape. Un exemplo: propón o termo mostraxe por rebandamento paracutt-off sampling, e non perde a ocasión de lembrar que mostraxe é un substantivo feminino. Trasladou a idea de que a batalla da fixación terminolóxica en galego está perdida na imprenta pero que pode gañarse no mundo das TIC.
Lembrounos que o Instituto Galego de Estatística (IGE) sempre empregou a lingua galega, aínda que considera que non o fixo coa suficiente precisión terminolóxica. Destacou que no portal do IGE hai un portal educativo e un vocabulario estatístico que poden ser de interese tanto para o ensino desta disciplina como para a divulgación da súa terminoloxía.

Algúns termos problemáticos
Xosé M. Masa centrou a exposición nas súas teimas terminolóxicas: alxébrico vs. alxebraico, euclidiano vs. euclídeo, veciñanza vs. entorno. Respecto a este último citou como o denominaba Hilbert -umgebung-, Frechet -voisinage-, ou como se di en portugués -vizinhança-. Rescatou da memoria propostas como a de carapucho esférico que aparece na versión dixital do Vocabulario de matemáticas (galego-castelán-inglés-portugués) [USC,1995], mentres que no libro aparece o termo calote esférico.
Lembrou con cariño o temro conxunto senlleiro (referíndose ao conxunto unitario) do colectivo Vacaloura. Tamén se referiu ao termo inglés countable, en referencia aos conxuntos, que significa "finito ou enumerable", e que se debería aceptar contable con esta acepción para non ter que repetir unha e outra vez esa alocución -finito ou enumerable-. En México usan o verbo mapear, traído do inglés mapping, outro caso de posible adaptación para a nosa lingua. Pola contra, por veces a contaminación do inglés parece excesiva, como exemplo está a denominación de esfera unidade -unit sphere- vs esfera unitaria. Isto lembroume outro caso, que Masa non comentou nesta ocasión, que é o de círculo osculador -osculating circle-, que non ten moito sentido, pois o concepto refírese á circunferencia polo que se debería denominar circunferencia osculadora.
Para rematar a súa intervención fixo algunhas críticas ás decisións terminolóxicas da RAG. Empezou por  lineal (exclusiva do español) vs linear, o termo recollido en portugués e inglés, lineare en italiano, linéaire en francés, linearen en alemán,... Tamén criticou que o dicionario RAG recollera polinómico no canto de polinomial mentres que si aparece binomial. Finalmente apostou polo termo limitado ou límite superior e límite inferior no canto de cota superior e inferior. 

A segunda xornada
Comenzou esta xornada tratando sobre A lexislación actual no ensino das matemáticas en galego. Neste apartado fixen un repaso da lexislación desde o final da ditadura ata os tempos actuais. Resumindo: actualmente estamos como ao final da ditadura. Despois tocoulle o turno a Valentina Formoso, quen fixo unha detallada exposición dos prexuízos presentes na sociedade hoxe en día e que son os que, en boa medida, dificultan un discurso hexemónico de consenso arredor da lingua.
Laura Díaz Calaza e Soraya Suárez Quintas debullaron as asúa contribucións no estudo da dialectoloxía e mostraon como a estatística é unha ferramenta versátil para este propósito.

quarta-feira, 13 de dezembro de 2017

Un problema para alumnos, un problema para profesores

Un problema para alumnos
Sexa a parábola y=x2
Consideremos nela os puntos P=(-1,1) e Q=(2,4). Trátase de determinar o punto R entre P e Q tal que o triángulo PQR teña área máxima.











Un problema para profesores
Se este problema aparecese proposto nun libro de texto, seguramente sería pensando en procurar a solución a partir da determinación da distancia entre o punto R e a recta que pasa por P e Q.  Na seiguinte imaxe vemos outro problema (este resolto) que nos indica un camiño a seguir para resolver o noso:

Do libro de Matemáticas I de Vicens Vives, edición 2015
E non hai outra alternativa?
A pregunta é retórica: si que a hai, podemos facelo obtendo a área do triángulo mediante determinantes. O problema é que os libros de texto preséntannos os determinantes co ollo posto nun único obxectivo, o de chegar á regra de Cramer. Así tenden indefectiblemente cara a definición alxébrica do determinante.
$$\left| \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & ... & { a }_{ 1n } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & ... & { a }_{ 2n } \\ ... & ... & ... & ... \\ { a }_{ n1 } & { a }_{ n2 } & ... & { a }_{ nn } \end{matrix} \right| =\sum _{ \sigma \in { P }_{ n } }^{  }{ sgn(\sigma )\cdot { a }_{ 1\sigma (1) }{ a }_{ 2\sigma (2) }....{ a }_{ n\sigma (n) } }  $$
Como esta definición é realmente enrevesada, acabamos dando na aula un sucedáneo da mesma consistente nun listado de regras prácticas de cáculo dun determinante (determinantes de orde dúas e regra de Sarrus) como a esencia do concepto. Trátase dunha presentación autoritaria e que se pode evitar.
Mesmo na wikipedia se destaca a definición dun determinante en relación ao seu significado como medida de área de paralelogramos (determinantes de orde dúas) ou de volume de paralelepípedos (para os de orde tres). Non ten sentido discriminar esta produtiva característica dos determinantes. Máis aínda, se a usamos como caráter definitorio, a restra sen sentido das propiedades dos determinantes aparecerá agora como un listado de resultados con evidentes comprobacións xeométricas:


$$det(\vec { i } ,\vec { j } )=1$$

$$det(\vec { u } ,\lambda\vec { u } )=0$$


$$det(\lambda \vec { u },\vec { v } )=\lambda \cdot det(\vec { u } ,\vec { v } )$$


$$det(\vec { { u } } +\vec { { v } } ,\vec { w } )=det(\vec { { u } } ,\vec { w } )+det(\vec { { u } } ,\vec { w } )$$
Despois de ter explicado varias veces determinantes como un ente misterioso cunha chea de propiedades estilo fómula de Sarrus, un compañeiro de departamento prestoume o libro de Vidal Abascal, Geometría diferencial, e foi precisamente aquí onde atopei a definición xeométrica de determinante:  "Sexan a1 e a2 dous vectores [no libro de Abascal os vectores veñen en letra grosa] calquera de E2 tomados nesa orde. Ao conxunto destes vectores correspóndelle un paralelogramo que os ten por lados e que é o lugar dos puntos P do plano tales que $$\overrightarrow { OP } ={ \lambda  }_{ 1 }{ a }_{ 1 }+{ \lambda  }_{ 2 }{ a }_{ 2\quad \quad \quad \quad  }0\le { \lambda  }_{ 1 },{ \lambda  }_{ 2 }\le 1$$
Figura 4
Chámase área alxébrica asociada a (a1, a2), un número alxébrico cuxo módulo é a área do paralelogramo precedente (ver figura 4) e cuxa orixe é positiva ou negativa segundo o conxunto dos dous vectores (a1, a2) é do mesmo sentido que o conxunto (e1,e2) [vectores da base canónica] ou de sentido contrario. Designaremos o número así definido pola notación D(a1,a2). Esta función de dúas vectores chámase determinante de orde 2" [a tradución e a cursiva son miñas]

Resolvendo o problema inicial
Chegados a este punto podemos resolver o problema inicial de (polo menos) dúas maneiras distintas. A primeira consiste en calcular a ecuación da recta PQ e despois usar a fórmula da distancia dun punto a unha recta.
A segunda, que é a que máis me gusta, consiste en calcular o determinante da matriz formada polos vectores PQ e PR, xa que, agás eventualmente o signo, ten o mesmo valor que o dobre da área do trigángulo que queremos maximizar.
Paréceme do máis interesante propoñer este problema na aula de 2º de bacharelato para ver cantos son quen de meterlle o dente ao problema, e en segundo lugar, darlle indicacións distintas a distintos alumnos para ver se poden seguir cada un dos camiños aquí indicados.

Ah! Se fixen esta entrada foi para ter unha entrada coas etiquetas de "álxebra", "xeometría" e "cálculo", non por outra cousa.

quarta-feira, 22 de novembro de 2017

Lambda 1

No IES do Porto do Son acaban de publicar un novo boletín de matemáticas, Lambda, elaborado por Macías, un dos profesores de matemáticas dese centro. Neste número temos un artigo sobre o famoso problema de Monty Hall, outro sobre o teorema das catro cores, un sobre a banda de Möbius e un último adicado ao Día da Ciencia en galego centrado na figura de Domingo Fontán. Complétase o boletín cuns divertimentos matemáticos. En definitiva, unha preciosa alfaia que me recorda as publicacións matemáticas do IES Otero Pedrayo (Mathesis e Dous Pi Erre)
Coñecín a Macías o outro día. Hai só unhas semanas que leva dando clases, e xa podemos ver estas primeiras follas cargadas do mellor espírito da divulgación científica. Neste sentido,  non é casualidade que faga referencia ao máis grande divulgador das matemáticas, Martin Gardner.
Estou encantado de poder compartir este novo vento fresco que trae boas novas para o sempre necesitado espazo das matemáticas en galego.
Lambda 1 by Revista Lambda on Scribd

sábado, 18 de novembro de 2017

II Xornadas de terminoloxía matemática


Co obxectivo de reflexionar sobre a situación da lingua galega en diversos aspectos das matemáticas, a Comisión de Normalización Lingüística de Matemáticas organiza as II Xornadas de terminoloxía matemática que se celebrarán no Salón de Graos da Facultade de Matemáticas da USC os vindeiros días 28/11/17 e 29/11/17.
No seu día, hai 4 anos,  xa informamos da celebración das I Xornadas de léxico matemático (curiosamente cambiou a terminoloxía na denominación das xornadas), da que saíu unha comisión para elaborou unha proposta de mellora do vocabulario matemático para o dicionario da RAG e da que esperamos, a non tardar moito, teñamos confirmación da propia sección de terminoloxía da Academia das súas conclusións finais.
Estas xornadas demostran que hai lingüistas, matemáticos e profesores que están interesados e implicados na normalización da lingua galega desde a súa actividade profesional a pesar das prohibicións impostas desde un goberno da Xunta que demostra acotío ser un enemigo declarado do galego.

Toda a información, e formalización da inscrición, aquí

quinta-feira, 9 de novembro de 2017

X. Matemáticas en galego

X. Matemáticas en galego from Cibrán Arxibai Queiruga

O primeiro que teño que dicir é que  uedei encantado co trato que recibín no centro. Grazas.
O pasado 03/11/17 fun ao famoso IES Félix Muriel (Rianxo) a falar sobre algo que non existe, as matemáticas en galego. Explícome a seguir.
O de famoso é polo seu ENDL, cargado de premios, sempre na fura de diante, un fervello de actividades, sempre con contido normalizador. Un exemplo para os que traballan na normalización lingüística desde as aulas.
O de que as matemáticas en galego non existen pode ser o preludio de que o galego deixe de existir. Quen está empeñado niso é a Xunta co seu funesto decreto mal chamado do plurilingüismo, que prohibe impartir aulas de matemáticas en galego en todo o ensino obrigatorio e que levou a que se aniquilaran todos os materiais didácticos da materia na nosa lingua, incluso para o bacharelato (aínda que non está prohibido nesta etapa, non hai editorial que publique nada de matemáticas en galego, ata este punto chega este Atila).
Ben, para ser exactos, si que hai recursos en galego. Temos o material EDAD e unha boa colección de aplicacións de geogebra (buscar e escoller idioma>galego). Disto, pero sobre todo da discriminación que sofre a nosa lingua, especialmente no ensino, e aínda máis especialmente no das matemáticas, foi do que tratei o pasado venres co alumnado de 1º da ESO do Félix Muriel. Para suavizar o tema, propúxenlles un xogo, que volvo a propoñer agora aquí: na 3ª diapositiva están marcados varios "x" (léase "xes"), pódese comprobar que tamén aparecen nas dúas primeiras. A cuestión é, en cantas, aparece ese símbolo?

O máis importante
Sobre o que lle contei a aqueles rapaces, quizais o máis importante é o da identificación de dúas formar de impartir clase, dous modelos didácticos. Un está representado polos os profesores que transmiten o saber do poder e que, por iso mesmo, non poden facer outra cousa que desprezar dalgunha maneira ao alumnado e á sociedade galega que o son de seu. No paradigma deste profesor está a transmisión do castelán e a exclusión do galego. O outro modelo é o que vive apegado á terra, aquel do que sabe que o principal non é a reprodución de toda unha restra de contidos, senón desmontar as capas de auto-odio e prexuízos. O ideal deste grupo represéntao un profesor que transmite a lingua e a cultura galegas.

Un texto de Vidal Abascal
Na preparación da presentación levei unha sorpresa moi agradable. Foi a recuperación dun texto que Enrique Vidal Abascal escribira nos anos 70 en La Voz de Galicia. Vidal Abascal adicou toda a súa vida a promover os estudos de matemáticas na universidade. Primeiro, no 1940,  chamou a atención do rector para que contrataran a Ramón Mª Aller e revitalizara a docencia das matemáticas despois dunha guerra que levara por diante ás persoas máis preparadas que tiñamos en Galicia. No ano 1957 convence ao Ministerio de Educación para crear a licenciatura de matemáticas en Compostela. Despois será un pioneiro na organización de congresos de ámbito internacional. Velaquí un retallo do mencionado artigo:
A situación do idioma galego é a seguinte: Durante preto de catrocentos anos ó galego obrigábaselle a falar castelán, na escola, na igrexa, no xulgado, na notaría... Durante catrocentos anos a alta burguesía avergoñábase de falar galego, e o idioma divide ós galegos en dúas clases sosciais, a dos señoritos que falan castelán e a dos proletarios e campesiños e pequenos burgueses que falan galego. Sábese ben cal foi a orixe disto, o obriga-los  Reises Católicos a ir vivir a Madrid á aristocracia galega. De todos é ben coñecida a anécdota do Conde de Altamira [ver conferencia de Cunqueiro]. O volver a Galicia os aristócratas falando castelán, as clases superiores quixeron imitalos. Despois de catrocentos anos desta situación a maioría do pobo galego segue falando galego. Menos matalos, fíxose todo o que se puido por desterra-lo galego. Obrigouse a fala-lo castelán en tódalas institucións docentes e colgaronslle o sambenito de lerdos e torpes ós que falaban galego, castigábanse na escola e nos seminarios os que se lle escapaba algo de galego, pasaron catro centos anos e o 70 por cento da poboación de Galicia segue falando galego; esta é a realidade que non se pode ocultar. O idioma de Galicia neste ano de 1979, segue sendo o galego. [...]Vexamos outras situacións similares as de Galicia. Dinamarca é un pequeno país de menos extensión que Galicia, e con unha poboación pouco maior, catro millóns de habitantes, o idioma danés só o falan no mundo eses catro millóns de persoas, pero Dinamarca cultiva ó danés por que é o soporte da súa personalidade, se alguén propuxese que se abandonase ó danés polo inglés, que estudian as clases cultas, ou polo alemán dos seus veciños, sería considerado un traidor ó se pobo.