terça-feira, 26 de setembro de 2017

Mapa das matemáticas

Non é o primeiro mapa que intenta dar unha visión panorámica dunha ciencia pois anteriormente xa recollimos a noticia da tradución ao galego do mapa da física polos mantedores do blogue Ciención de Breogán. Conscientes de que as posibilidades de acceder a materiais de divulgación científica en galego son escasas, Ciención de Breogán está comprometido na tradución deste tipo de traballos. Un labor que nunca agradeceremos o suficiente. Como xa fixeran no caso do mapa da física, ademais do póster subtitularon en galego o vídeo de Dominic Walliman que o explica. En todo caso terás que activar a Configuración > Subtítulos > Galego, e activar os subtítulos ao comenzar a reprodución.

terça-feira, 19 de setembro de 2017

O anódino problema 17

Desafortunadamente puiden comprobar en non poucas ocasións que a lectura de textos de matemáticas son a mellor ferramenta para acurtar as xornadas de acompañamento hospitalario na que o tempo se estarrica indefinidamente. Esta entrada ten que ver coa lectura dun texto que me acompañou non pouco tempo hai xa máis dun ano e que, por unha cousa ou pola outra, ata agora non soltei na arañeira.

8 de agosto en París, unha xornada de moita calor. Non se trataba dunha conferencia plenaria, ademais non era en francés. O relator tampouco chegaría a desenvolvela en toda a súa extensión, apenas tocaría a metade dos puntos do total. Con todo, nesa mañán do 1900, no anfiteatro da facultade de ciencias da Sorbona, pronunciouse unha das disertacións máis famosas da historia da ciencia dentro do marco do II Congreso Internacional de Matemáticas (CIM). David Hilbert, o seu autor, propoñía 23 problemas que, desde o seu punto de vista, serían cruciais para o desenvolvemento futuro das matemáticas. Tratábase dunha resposta a outra conferencia pronunciada no I CIM por Herin Poincaré. Se éste debuxara un panorama dunhas matemáticas que bebían da fonte da física e que estaban en condición de establecer cuestións irresolubles ou que posiblemente nunca se chegaran a resolver, Hilbert negaba a imposibilade da ignorancia nas matemáticas e presentou un programa no que se ofrecía unha ciencia autosuficiente.
Son moitas as razóns polas que Hilbert resultaba ser a persoa ideal para ofrecer as chaves da matemática que había de vir. Hilbert resolvera inesperadamente o problema de Gordan, aínda que o fixera dunha forma completamente inesperada. Se Gordan fixera o cálculo explícito dunha base finita de invariantes para unha forma binaria de calquera grao, Hilbert demostra a existencia xeral desas bases, pero sen dar unha demostración construtiva. De aí a famosa frase de Gordan ante este traballo: "isto non é matemática, é teoloxía!".
Hilbert elaborara un profundo e exhaustivo informe sobre a teoría de números e tamén publicara os Fundamentos da xeometría, un tratado en clave axiomática que se considera un clásico. Con toda esta bagaxe a intervención de Hilbert no II CIM tiña boas expectativas. Hoxe sabemos que as superou todas.
Os 23 problemas de Hilbert
un século despois
Un século despois, o experto en historia das matemáticas Jeremy Gray fixo un balance do sucedido neses 100 anos arredor deses 23 problemas.
Algúns deles son especialmente famosos e relevantes, incluso fóra do ámbito estrito das matemáticas. Citemos por exemplo a hipótese do continuo (problema 1) ou a cuestión da consistencia da aritmética (problema 2). No entanto aquí falaremos dun dos menos coñecidos, o problema número 17 desa lista. Como referencia comentaremos que Jeremy Gray só lle adica unha páxina escasa dun total das 320 páxinas das que consta o libro.

O problema 17
Antes de enunciar o problema temos que dar unha definición.
Sexa f un polinomio de n variables sobre un corpo R. Diremos que f é semidefinido positivo se $$\forall \left( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n } \right) \in { \Re }^{ n }f\left( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n } \right) \ge 0$$ Sexa R un corpo. R(x1, x2, ...,xn) é o conxunto dos polinomios de n variables sobre R. R[x1, x2,....,xn] é o conxunto das fraccións alxébricas sobre R.
Problema 17. Será certo que todo polinomio f de R(x1,x2,....,xn) semidefinido positivo, poderá poñerse como suma de cadrados de R[x1,x2,....xn]?
Realmente Hilbert non enunciara o problema para un corpo calquera, senón específicamente para o dos números reais. Con todo o enunciado é curioso. fixémonos que Hilbert non pregunta se é posible poñer f como suma de cadrados de polinomios, senón como suma de cadrados de fraccións alxébricas. Tiña as súas razóns para formular así a cuestión. Verémolo.

Converter un produto nunha suma
Comencemos pensando en cuestións máis simples. Sabemos que todos os números positivos son cadrados. A cuestión será intentar estudar se sucede o mesmo cos polinomios semidefinidos positivos dunha soa variable. O polinomio x 2+1 non se pode escribir como cadrado doutro polinomio de grao 1. Entón haberá polinomios que teñan que escribirse como suma de varios cadrados. Para poder abordar o problema, comenzaremos escribindo os números positivos como suma de cadrados
A seguinte fórmula, $$\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) \left( { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } \right) ={ \left( ac-bd \right)  }^{ 2 }+{ \left( ad+bc \right)  }^{ 2 }$$
de verificación inmediata,  demostra o
lema 1: un produto da suma de dous cadrados pódese poñer como suma de dous cadrados.

En xeral será certo o
lema 2: un produto  n sumas de dous cadrados pode poñerse como suma de dous cadrados.
Para comprobar este último procedemos por indución.
Está visto o caso dun produto de dous números que son suma de dous cadrados. Supoñámolo certo para un de n-1 factores e comprobemos que tamén o é cando consideramos n factores. Sexan a1, a2, ....an  os factores. Chamémoslle a=a1a2....an-1
$${ a }_{ 1 }^{ 2 }\cdot ....\cdot { a }_{ n-1 }^{ 2 }\cdot { a }_{ n }^{ 2 }={ { a }^{ 2 }\cdot  }{ a }_{ n }^{ 2 }$$
e polo lema 1, queda demostrado o lema 2 (se escribín todo isto dos lemas foi para poder poñer esta frase)
Convén ter presente que estes dous lemas non só se verifican no corpo dos números reais, senón que son certos en calquer anel conmutativo, en particular no anel dos polinomios dunha variable.

O caso dos polinomios dunha variable
Teorema 1: Sexa f(x) un polinomio dunha  variable sobre o corpo dos números reais. Se f é semidefinido positivo pode poñerse como suma dos cadrados de dous polinomios.
Vexamos por que isto é así. f terá varias raíces reais e/ou complexas.
Para cada raiz real c, de f, teremos un factor da forma x-c
Para cada raiz complexa a+bi, de f, como os seus soeficientes son reais, a-bi será tamén raiz polo que teremos factores da forma:
$$\left[ x-\left( a+bi \right)  \right] \cdot \left[ x-\left( a-bi \right)  \right] =\left[ \left( x-a \right) -bi \right] \cdot \left[ \left( x-a \right) +bi \right] ={ \left( x-a \right)  }^{ 2 }-{ \left( bi \right)  }^{ 2 }={ \left( x-a \right)  }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }$$
Todos estes factores estarán elevados a unha determinada potencia. Podemos agrupar todos aqueles que teñan potencia par. O produto de todos eles dará un polinomio que pode escribirse como un cadrado: g2.
Así teremos a seguinte descomposición de f:
$$f={ g }^{ 2 }{ f }_{ 1 }\cdot ...\cdot { f }_{ r }{ h }_{ 1 }\cdot ...\cdot { h }_{ s }$$
Onde cada f i (x)=x - ci e cada h j(x)=(x-aj)2+ bj2
Está claro que h j en calquera punto será positivo. Sen perda de xeneralidade podemos supoñer que os valores c1,c2 ,..., cestán ordenados de menor a maior. Nese caso, podemos escoller un punto intermedio α do intervalo (c1, c2). Entón  fi(α )>0 para i=,2,.....r e f1(α ) < 0 . Nese caso, en contra do suposto,  f(α ) < 0 . A conclusión é que na descomposición de f non pode haber polinomios do tipo fi
$$f={ g }^{ 2 }\cdot { h }_{ 1 }\cdot ...\cdot { h }_{ s }$$
Como os j son sumas de cadrados, a descomposición anterior pode reducirse a un produto de factores que son todos e cada un deles suma de dous cadrados. Polos lemas comentados anteriormente, calquera polinomio f poderá escribirse como suma de dous cadrados.▢

O enunciado do problema 17
Visto isto podemos estar áinda máis confundidos polo enunciado do problema 17. Para os polinomios semidefinidos positivos dunha variable non cómpren fraccións alxébricas pois non só se poden poñer como suma de cadrados de polinomios senón que incluso esa suma se pode reducir a dous sumandos. Pero... Hilbert chegara a un resultado de existencia de polinomios de dúas variables, semidefinidos positivos, que non se podían poñer como suma de cadrados de polinomios pero si como cadrados de fraccións alxébricas.
No eido das matemáticas estamos afeitos a ver teoremas de existencia aínda sen ter exemplos concretos nos que substentar esa certeza ontolóxica. Esta foi a situación durante sete décadas ata que  no ano 1967 o polinomio de Motzkin tomou corpo. Velaquí o temos:$$H(x,y)={ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }+1-3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }$$
Comprobar que é semidefinido positivo é moi sinxelo. Basta ter en conta que a media aritmética é sempre maior (ou igual) que a xeométrica e aplicarlla aos termos x4y2, x2y4 e 1:
$${ m }_{ a }=\cfrac { { x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }+1 }{ 3 } \ge { m }_{ x }=\sqrt { { x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }\cdot { x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }\cdot 1 } ={ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }$$
Tampouco é moi complicado comprobar que H(x,y) non pode escribirse como suma de cadrados de polinomios de dúas variables (remítome á páxina 3 do libro de Fernando e Gamboa)
Agora estamos en disposición de entender que Hilbert non podía pedir máis cando expuxo o seu problema 17.

A solución
A solución viría da man de Emil Artin no ano 1926 dentro do ámbito dos chamados corpos reais e as clausuras reais. Dise que un corpo é real cando o -1 non pode poñerse como suma de cadrados ou, equivalentemente, cando unha suma de cadrados do corpo dará cero únicamente no caso de que todos os elementos sexan cero.
Establecer unha ordenación nun corpo E consiste en determinar un subconxunto, o"dos números positivos". Este subconxunto, chamémoslle P,  debe conter todos os cadrados e debe ser cerrado para a suma e o produto: $${ E }^{ 2 }=\left\{ { x }^{ 2 };x\in E \right\} \subset P,\quad P+P\subset P,\quad P\cdot P\subset P$$
Un subconxunto P destas características denomínase cono, e se non contén ao -1, dise que é un cono propio. Un par (E,P) será un corpo ordenado, basta definir x≤y mediante a relación y-x∈P. Establecer o conxunto P equivale a establecer unha relación de orde no corpo E.
Un caso especialmente interesante dos corpos reais é o dos cerrados reais, que son aqueles que non admiten ningunha extensión real. Empregando o lema de Zorn establécese que os cerrados reais son aqueles corpos que só admiten unha ordenación. Máis concretamente, un corpo cerrado real só admitirá a ordenación na que os positivos son os cadrados. Todo corpo ordenado admitirá unha única extensión cerrada real, será a denominada clausura real.
Para un corpo cerrado real pódense demostrar o teorema de Bolzano e o  do valor medio. Estes resultados serán necesarios para establecer a solución ofrecida por Artin ao problema 17 de Hilbert. Esta solución ofrécese mediante o seguinte resultado:
Teorema de Artin. Sexa R un corpo cerrado real. Todo polinomio f de R(x1,x2,....,xn) semidefinido positivo, poderá poñerse como suma de cadrados de R[x1,x2,....xn]

quinta-feira, 22 de junho de 2017

A recta de Simson: a película.2


Na anterior entrada comenzáramos a comentar esta subxugante película de Trevor Fletcher do ano 1953. Continuemos.

O triángulo de Morley fóra de escena
Jakob Steiner (1796-1873) dálle o seu nome á deltoide pois foi el que demostrou que é a envolvente das rectas de Wallace-Simson dun triángulo dado ABC. A circunferencia de Feuerbach é tanxente en tres puntos á deltoide.
Na seguinte applet de geogebra quería que se puidera ver dinámicamente a deltoide de Steiner ao ir modificando os vértices do triángulo. Para elaborala foime fundamental un resultado que non aparece na película de Fletcher, xa que o achou Miguel de Guzmán no ano 2001. Estoume referindo ao seguinte teorema:
O triángulo de Morley e o que forman os vértices da deltoide de Steiner están xirados 180º. En particular os lados deses dous triángulos son paralelos.
FDE é o triángulo de Morley
de ABC
Claro que quizais haxa que explicar o resultado de Frank Morley (1860-1937),  que é o que nos dá a definición do triángulo que leva o seu nome:
Teorema de Morley. Dado un trigángulo calquera ABC, o triángulo formado pola intersección dos trisectores adxacentes dos ángulos de ABC é equilátero.
Tendo en conta este teorema e que o centro da deltoide coincide co do círculo de Feuerbach (de raio r) queda ben determinada a posición da deltoide. Ademais a deltoide pode inscribirse nunha circunferencia de raio 3r. A circunferencia circunscrita ao triángulo terá raio 2r. Ter presente que na seguinte aplicación podemos mover os vértices do triángulo.
[minuto 1:22]
A deltoide de Steiner
Steiner non só descubriu a deltoide senón que tamén demostrou que esta curva era unha hipocicloide que se xenera ao rodar unha circunferencia de raio r dentro doutra de raio 3r. Tamén se pode xenerar da mesma maneira facendo rodar unha circunferencia de raio 2r. O valor de r é o do raio da circunferencia de Feuerbach. Todo isto podémolo ver na seguinte aplicación.
[minuto 2:08]
As ecuacións paramétricas da deltoide serán:

$$\begin{cases} x=r\left( 2cost+cos2t \right) \\ y=r\left( 2sent-2sen2t \right) \end{cases}$$


Escena final
Por simetría é fácil de ver que o simétrico dun punto P nunha circunferencia de raio R respecto dunha corda AB, estará noutra circunferencia do mesmo raio e coa mesma corda. Ademais se a circunferencia de partida é a exinscrita ao triángulo ABC e tomamos como corda un dos lados do triángulo, poñamos AB, a circunferencia simétrica á exinscrita respecto de AB pasará polo ortocentro. De aí que as circunferencias que pasan polo ortocentro e por dous puntos do triángulo, sexan congruentes á exinscrita.
Na escena final veremos ao punto P como ortocentro dun triángulo congruente con ABC, xirado 180º: A'B'C'. Cando P coincide cun dos vértices de ABC, poñamos que sexa A, a recta de Wallace-Simson coincidirá coa altura que parte de A no triángulo ABC (e de A' no triángulo A'B'C'). Cando P é diametralmente oposto na circunferencia circunscrita a un dos vértices, poñamos A, a recta de Wallace-Simson coincidirá co lado BC (=B'C' por ser tamén diametralmente oposto na circunferencia cincunscrita de A'B'C'). Tamén podemos ver como o triángulo así construído A'B'C' mantén os seus puntos sobre as tres circunferencias congruentes á exinscrita. Mareante.
[minuto 5:58]
E xa que estamos metidos en fariña, dado un punto P na circunferencia exinscrita a un triángulo ABC, acabamos de falar do simétrico respecto dun dos lados AB. Chamémoslle P1 . Consideremos os simétricos de P respecto de BC e AC: P2 e P3 . Resulta que estes tres puntos son colineares co ortocentro.
A ATM (Association of Teachers of Mathematics) non só puxo á nosa disposición pola arañeira o filme Simson line do que tratamos aquí, pois podemos ver outros dous: The Cardioid e Four point conics Non estaría mal que alguén recollera a luva e perdera o tempo en comentalos. Eu disfrutei moito con este par de entradas xa que tiven a ocasión de facer referencia a unha boa restra de matemáticos: Robert Simson, William Wallace, Karl Feuerbach, Frank Morley, Jakob Steiner e Miguel de Guzmán.

terça-feira, 20 de junho de 2017

A recta de Simson: a película.1


Trevor Fletcher foi un profesor de matemáticas londinense que se atreveu a realizar varias películas matemáticas na década dos 50 e 60 do pasado século. Fletcher foi un defensor deste tipo de materiais, chegando a afirmar que se estas películas eran da calidade suficiente, cambiarían os temarios de matemáticas que se ensinarían no futuro. Aquí presento unha desas obras de Fletcher,  "A recta de Simson", un filme subxugante. A miña intención nesta entrada é intentar explicalo. Comencemos cun resultado que xustifica a definición do que será o noso obxecto de estudo:

Teorema de Wallace-Simson. Dado un triángulo ABC, se desde un punto P trazamos perpendiculares aos lados, obteremos o triángulo pedal formado polos tres puntos de corte desas perpendiculares cos lados. Estes tres puntos serán colineares se e só se P está na circunferencia circunscrita ao triángulo ABC.
Na aplicación visulizamos o teorema. Pódense mover os vértices do triángulo. [minuto 0:00]


Na honra do matemático escocés Robert Simson (1687-1768), á recta que contén eses tres pés das perpendiculares chámaselle recta de Simson. A pesar da denominación parece ser que Simson non ten nada que ver coa recta que leva o seu nome e quen realmente publicou (no ano 1799) o primeiro artigo sobre este tópico foi William Wallace (1768-1843), tamén escocés e tamén matemático. Por esta razón, no canto de aludir á devandita recta como atribuída únicamente a Simson, faise referencia a ela normalmente como a recta de Wallace-Simson. Velaquí un primeiro teorema:
As rectas de Wallace-Simson de dous puntos P e P' sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC forman un ángulo igual á metade do arco determnado por P e P'
[min 0:40]
A circunferencia dos 9 puntos
Imaxe do libro de Feuerbach
que ilustra o teorema  máis
fermoso da xeometría elemental
Á vista do anterior resultado temos o seguinte corolario:
Se P e P' son dous puntos diametralmente opostos sobre a circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, as súas rectas de Wallace-Simson serán perpendiculares. 
Pero o máis curiososo de todo é que o punto de corte destas rectas, M, estará nunha circunferencia moi particular: a circunferencia dos 9 puntos. Esta circunferencia tamén recibe o nome de circunferencia de Feuerbach, en referencia a Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), irmán do filósofo Ludwing Feuerbach. Aínda que o historiador Morris Kline se refire a el como un mestre, Karl Feuerbach, despois de obter o doctorado exerce como profesor nos Gymnasium alemáns. Foi detido na campaña represiva dos Demagogenverfolgung. Durante a súa estadía na prisión intentou suicidarse dúas veces con graves consecuencias, pois quedou eivado de por vida. Unha vida corta, pero tamén desgraciada, pois padeceu serios transtornos mentais que o incapacitaron para a impartición de clases. Un día acudiu ao Gymnasium coa espada en alto ameazando con cortarlle a cabeza a todos aqueles que non fosen quen de resolver as ecuacións que escribira no encerado. Este terrorífico episodio determinaría a súa retirada definitiva do ensino e a reclusión nos últimos seis anos da súa vida completamente asolado pola enfermidade mental.
Se a crcunferencia dos 9 puntos se identifica con Feuerbach é debido (en palabras de J. Cooldige (1873-1954)) ao "teorema máis fermoso da xeometría elemental que se descubriu desde a época de Euclides". Feuerbach no ano 1822 publicou un traballo que contiña o ese fermoso resultado:
A circunferencia que pasa polos tres pés das alturas dun triángulo tamén é tanxente ás  tres circunferencias exinscritas e á circunferencia inscrita.
Este mesmo resultado foi publicado no 1820 nun traballo de Brianchon (1783-1864) e Poncelet (1788-1867), aínda que parece demostrada a prioridade de Feuerbach no descubrimento do resultado. En todo caso, teñamos en conta que no relativo á denominación de teoremas e obxetos matemáticas, cada caso ten a súa historia particular. En Francia a circunferencia dos 9 puntos coñécese como circunferencia de Euler. Neste caso seguramente a desculpa é que o centro desa circunferencia é o punto medio do ortocentro e o circuncentro e polo tanto está na recta de Euler. Outra propiedade máis que se pode ver na película de Fletcher é que o raio da circunferencia de Feuerbach é a metade do da circunferencia circunscrita.

quinta-feira, 1 de junho de 2017

Premios do concurso "Explícoche matemáticas 2.0", eidición 2017

Onte entregáronse os premios do concurso Explícoche matemáticas 2.0, convocado polo SNL da Facultade de Matemáticas. Velaquí as miñas orgullosas alumnas, do IES Antón Losada (A Estrada), Aroa Ríos Torres, Sandra Vázquez Silva e Nerea Iglesias na recollida da mención especial polo traballo A piña de Regiomontano.
O acto, foi moi bonito. Ademais de dar lectura á acta do tribunal que valorou os traballos presentados e da entrega de premios en sí, proxectáronse os vídeos gañadores e a profesora Elena Vázquez Abal, da Área de Xeometría e Topoloxía da Facultade de matemáticas da USC, impartiu unha amena conferencia, Contos sobre mulleres científicas, que incidía sobre a discriminación da muller no mundo da ciencia. Deixo por aquí os gañadores desta edición.
Na Categoría A (2º Ciclo da ESO e Bacharelato e ciclos de Formación Profesional) ó traballo Fractais: copa de neve de Koch, de Irene Pereira Reboredo de 3º da ESO do IES Castro Alobre (Vilagarcía de Arousa)






Na Categoría B (Universidade)  vídeo gañador foi Poden os ourizos voar?, de Brais Fortes Novoa alumno de Mestrado da Escola Técnica Superior de Enxeñaría de Bilbao.

sexta-feira, 26 de maio de 2017

Programación de Astronomía

En primeiro de bacharelato a LOMCE armou unha trampa coas optativas que consiste en que se un alumno quer cursar determinadas materias optativas, ten que "escoller" á forza Relixión, a única materia optativa que, por defecto, ten unha carga lectiva dunha hora. Só hai un camiño para impedir a imposición da Relixión é ofertar unha materia de libre configuración do centro. Velaquí unha proposta que elaboramos no Departamento de Matemáticas do IES Antón Losada Diéguez (A Estrada) e que solto por aquí por se lle pode ser útil a alguén.

sexta-feira, 19 de maio de 2017

O plano de Minkowski

Supoño que sucede algo semellante noutras materias, pero voume referir únicamente ás matemáticas. Se o currículo xa era dunhas dimensións inabarcables, coa LOMCE foise moito máis alá. Durante uns anos, na materia de Matemáticas I de 1º de bacharelato, desapareceran os números complexos. Sempre me pareceu unha mágoa non estudalos, tan siquera mínimamente, para abordar algunhas das cuestións máis interesantes do desenvolvemento das matemáticas, como a de presentar un corpo completo ou dar resposta á cuestión da resolución das ecuacións polinomiais de calquera grao. A cuestión é que agora os complexos volven a estar dentro do currículo.
O que sempre se mantiveron as autoridades educativas nesa mesma materia foron os contidos da xeometría plana (o espazo vectorial R2, o espazo afín coas ecuacións da recta,e o espazo euclidiano coa introdución do produto escalar e a corresponte métrica asociada...). Este curso, ao tratar este tema na aula quixen que polo menos enxergaran as razóns de por que lles explicaba cal era a idea abstracta de espazo vectorial. Como o asunto vai moi forzado, introducín a cuestión falándolle dun dos máis grandes matemáticos do XX: Nicolás Bourbaki. Unha das súas teimas máis coñecidas era a concebir as matemáticas a partir dunha idea fundamental, a de estrutura. Con algo de sorna pedinlle ao alumnado que me trouxeran ao día seguinte algunha intmidade de Bourbaki (como a da data de nacemento, morte, se casara, tivera fillos... ). Non imaxinaba eu que moitos deles xa tiñan a resposta moito antes de rematar a clase...Malditos móbiles!
MIR, mágoa de editorial
A culpa desta entrada tena a pregunta dunha alumna. Despois de levar uns poucos días remexendo na xeometría analítica á rapaza ocorréuselle que os dous temas tratados podían ter algunha relación. Razoaba que se os complexos formaban un plano e na xeometría analítica estabamos a estudar un plano, algo debían ter en común,  Isto fixo que me viñera á memoria a xeometría de Minkowski, que dalgunha forma daba resposta á cuestión.
O que segue débese esencialmente a este libro, El universo tetradimensional de Minkowski, de A. A. Sazánov, daquela marabillosa (e barata) editorial, a MIR.


Xeometría de Minkowski
Dado o espazo vecvtorial R2, definimos a seguinte especie de produto escalar:
$$\left< \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) ,\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right)  \right> ={ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }$$
Segundo esta definición o produto escalar é bilinear, simétrico, pero non está definido positivo.
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> \ge 0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }\ge { y }^{ 2 }$$
$$Sexa\quad \vec { u } =\left( x,y \right) ,\quad \left< \vec { u } ,\vec { u }  \right> =0\quad \Longleftrightarrow \quad { x }^{ 2 }={ y }^{ 2 }\quad \Longleftrightarrow \quad x=\pm y$$
As rectas x=±y chámanse rectas isótropas. Estas rectas dividen o plano en catro sectores (esquerdo, dereito, superior e inferior).
A cónica unidade non será a circunferencia, senón as hipérbolas que teñen por asíntotas as rectas isótropas.
O produto escalar danos a condición de perpendicularidade:
$$Sexa\quad \vec { { u }_{ i } } =\left( { x }_{ i },{ y }_{ i } \right) \quad para\quad i\in \left\{ 1,2 \right\} $$
$$\vec { { u }_{ 1 } } \bot \vec { { u }_{ 2 } } :\Longleftrightarrow \left< { \vec { { u }_{ 1 } }  },{ \vec { { u }_{ 2 } }  } \right> =0\Longleftrightarrow { x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }{ y }_{ 2 }=0\Longleftrightarrow { m }_{ 1 }:=\frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } =\frac { { x }_{ 2 } }{ { y }_{ 2 } } :=\frac { 1 }{ { m }_{ 2 } } $$
Se lle chamamos m1 á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x1 ,y1) e m2 á pendente da recta que pasa pola orixe e polo punto (x2 ,y2) non sería mal exercicio para este nivel (1º de bacharelato) preguntar polo significado xeométrico da relación que se estabelece na liña anterior entre m1 e m2. Xa o adianto: as rectas de pendente m1 e m2 serán simétricas respecto de y=x pois son funcións inversas a unha da outra. Velaí que no plano de Minkowski a ortogonalidade tradúcese en simetría respecto da gráfica da función identidade.
Con todo, o máis divertido está por chegar e resulta do cáculo de módulos a partir da definición do produto escalar minkowskiano.
Imase 1. Os catro sectores do plano de Minkowski
$$Sexa\quad \overrightarrow { u } =(x,y)\quad \left| \overrightarrow { u }  \right| =\sqrt { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { u }  \right>  } =\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } $$
Polo tanto o módulo dos vectores situados nos sectores esquerdo e dereito será un número real e o dos outros sectores será un imaxinario puro. Así o primeiro par de sectores recibe o cualificativo de reais e o segundo par o de imaxinario.
E que sucede cos ángulos? Partamos da coñecida fórmula:
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right) =\frac { \left< \overrightarrow { u } ,\overrightarrow { v }  \right>  }{ \left| \overrightarrow { u }  \right| \left| \overrightarrow { v }  \right|  } $$
Imaxe2. Ángulos
Calculemos o ángulo que forma un vector de compoñentes (x,y) do sector real positivo co vector unitario (1,0)
$$cos\left( \overrightarrow { u } ,(1,0) \right) =\frac { \left< (x,y),(1,0) \right>  }{ \left| (x,y) \right| \left| (1,0 \right|  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ - }{ y }^{ 2 } } \sqrt { 1-0 }  } =\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }  } \ge 1$$
Idem co sector superior. Velaquí o coseno do ángulo dun vector (x,y) deste sector co vector (0,1):
$$cos\left( \overrightarrow { v } ,\left( 0,1 \right)  \right) =\frac { \left< \left( x,y \right) ,\left( 0,1 \right)  \right>  }{ \left| \left( x,y \right)  \right| \left| \left( 0,1 \right)  \right|  } =\frac { -y }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \sqrt { -1 }  } =\frac { -y }{ i\sqrt { -1\left( { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right)  }  } =\frac { -y }{ { i }^{ 2 }\sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } =\frac { y }{ \sqrt { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } $$
Este valor é tamén un número real maior ou igual que 1.
Ao tomar límites cando o vector ū se aproxima ás isótropas (x=y ou x=-y), os cosenos anteriores tenden a +∞ ou - ∞. Este panorama ten o seu desenvolvemento natural coa extensión complexa da función coseno:
$$cosz=\frac { { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz } }{ 2 } $$
Como os valores dos cosenos obtidos anteriormente son sempre reais, os ángulos anteriores serán da forma iφ, con φ∈R. Así
$$cos\left( i\varphi  \right) =\frac { { e }^{ i(i\varphi ) }+{ e }^{ -i(i\varphi ) } }{ 2 } =\frac { { e }^{ -\varphi  }+{ e }^{ \varphi  } }{ 2 } =cosh\varphi  $$
En consecuencia teremos as seguintes fórmulas:
$$sen\left( i\varphi  \right) =\sqrt { 1-{ cos }^{ 2 }\left( i\varphi  \right)  } =\sqrt { 1-{ cosh }^{ 2 }{ \varphi  } } =\sqrt { -{ senh }^{ 2 }{ \varphi  } } =isenh\varphi $$
$$tan\left( i\varphi  \right) =\frac { sen\left( i\varphi  \right)  }{ cos\left( i\varphi  \right)  } =\frac { isenh\varphi  }{ icosh\varphi  } =itanh\varphi $$
Só por ver estas fórmulas merecía que se desenvolvese a idea do plano de Minkowski.

Cambio de base ortonormal
Consideraremos un cambio entre unha base {e1, e2} e outra {e'1, e'2}. Onde os vectores que comparten o mesmo índice estean no mesmo sector e de forma que cada base estea formada por un par de vectores ortonormais.Visto o anterior, a ninguén lle extrañará que a matriz de cambio de entre bases teña a seguinte expresión:
$$\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}$$
Polo tanto o cambio de coordenadas entre dous sistemas de referencia ortornormais verificarán a igualdade:
$$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} cosh\varphi  & senh\varphi  \\ senh\varphi  & cosh\varphi  \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $$
Unhas poucas contas máis:
$$x'=x\cdot cosh\varphi +y\cdot senh\varphi =x\cdot cosh\varphi +y\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi =cosh\varphi \left( x+y\cdot tanh\varphi  \right) =\frac { x+y\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
$$y'=x\cdot senh\varphi +y\cdot cosh\varphi =x\cdot cosh\varphi \cdot tanh\varphi +y\cdot cosh\varphi =cosh\varphi \left( x\cdot tanh\varphi +y \right) =\frac { x\cdot tanh\varphi +y }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  } $$
Ben, xa temos unha chea de fórmulas, e agora que?

A transformación de Lorentz
Na mecánica clásica, se consideramos dous sistemas de referencia que se moven, un respecto ao outro, cunha velocidade v, a tranformación de coordenadas (chamada de Galileo) é a seguinte:
$$\begin{cases} x'=x \\ y'=y-vt \end{cases}$$
Esta transformación permítenos estudar o movento nun sistema de referencia que se mova con velocidade constante a respecto doutro. Este cambio de coordenadas caracterízase porque a medida do tempo é independente do sistema de referencia e  na invariancia da lonxitude dunha barra OP respecto do sistema de referencia. Se falamos de relatividade galileana estamos indicando que podemos intercambiar o que se move con velocidade constante e o que está en repouso.
A teoría da relatividade einsteniana introdúcese coa transformación de Lorentz. O movemento relativa de dous sistemas de refencia virá dado polas fórmulas:
$$\begin{cases} x'=\frac { x-vt }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \\ t'=\frac { t-x\cdot \left( \frac { v }{ { c }^{ 2 } }  \right)  }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  }  \end{cases}$$
Que son esencialmente as mesmas fórmulas do cambio de coordenadas ás que chegaramos anteriormente. Basta con considerar:
$$y=ct\\ tanh\varphi =-\frac { v }{ c } $$


Contraccións e simultaneidade
Imaxe 3
Consideremos un suceso P(xP, yP) sobre a recta y'
$$\begin{cases} tan\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| NP \right|  }{ \left| ON \right|  } =\frac { { x }_{ P } }{ i{ y }_{ P } } =-i\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } }  \\ tan\left( i\varphi  \right) =itanh\varphi  \end{cases}polo\quad que\quad tanh\varphi =-\frac { { x }_{ P } }{ { y }_{ P } } $$
$${ x }_{ P }=-{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi $$
$${ x' }_{ P }=\frac { { x }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { -y }_{ P }\cdot tanh\varphi +{ y }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } =0$$
$${ y' }_{ P }=\frac { { y }_{ P }+{ x }_{ P }\cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 }\varphi  } }  } =\frac { { { y }_{ P }-y }_{ P }\cdot tanh\varphi \cdot tanh\varphi  }{ \sqrt { 1-{ { tanh }^{ 2 } }\varphi  }  } ={ y }_{ P }\sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } $$
E así deducimos a coñecida contración do tempo na dirección do movemento:
$$ { t' }_{ P }=\frac { { y' }_{ P } }{ c } =\frac { { y }_{ P }\sqrt { 1-{ tan }^{ 2 }\varphi  }  }{ c } =\frac { { y }_{ P } }{ c } \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } ={ t }_{ P }\sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } }  $$
Imaxe 4




Isto ten que ver coas sorpresas que descubriu a teoria da relatividade respecto da simultaneidade. Dise que dous sucesos son simultáneos respecto dun sistema de referencia se a súa segunda coordenada é a mesma nese sistema. Na imaxe 4 temos que  P e N son simultáneos no sistema XY; P e Q son simultáneos nun sistema X'Y' dun móbil con velocidade v respecto do considerado no sistema XY.











Imaxe 5
Unha consecuencia adicional desta nova perspectiva da simultaneidade de sucesos afecta ás medidas das lonxitudes xa que éstas variarán segundo a velocidade á que se movan os sistemas de  referencia.
Efectivamente, cando medimos a lonxitude dunha barra estamos considerando que calculamos a diferenza entre os seus extremos simultáneamente.
Dada unha barra de lonxitude l=|OL| respècto do sistema XY, se a medimos respecto de X'Y', debemos facelo simultáneamente respecto este sistema, entón a súa lonxitude será l'=|OL'|.
$$\begin{cases} cos\left( i\varphi  \right) =\frac { \left| OL \right|  }{ \left| OL' \right|  } =\frac { l }{ l' }  \\ cos\left( i\varphi  \right) =cosh\varphi =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  }  }  \end{cases}$$
Entón podemos explicar así a contracción dunha barra de lonxitude l en movemento
$$l'=l\cdot \sqrt { 1-{ tanh }^{ 2 }\varphi  } =l\cdot \sqrt { 1-{ \left( \frac { v }{ c }  \right)  }^{ 2 } } $$

Relatividade visual
Quen queira seguir remexendo nos aspectos xeométricos da teoría da relatividade, ademais de recomendarlle o libro de Sazánov, pode botarlle un ollo ao portal de Xabier Prado Orbán, Relatividade visual