mércores, 10 de xullo de 2024

Asuntos irracionais

As matemáticas da Grecia clásica foron extraordinarias. Tanto é así, que as matemáticas, tal e como as entendemos, son herdeiras directas das matemáticas gregas. Todas as achegas anteriores ou doutras culturas pódense etiquetar nun sentido moi preciso como protomatemáticas. Con todo, os matemáticos gregos non foron quen de tratar os números irracionais en toda a súa complexidade. Ficaron traumatizados polos inconmensurables e este trauma non puido ser tratado ata o século XIX.

Hoxe en día todo alumno que remata a secundaria obrigatoria debe saber o que son os números irracionais. Por concretar, trabállase moito coas fraccións, os números da forma $\frac{m}{n}$ onde $m$ e $n$ son números enteiros. Tamén se aprende cal é a expresión decimal destes números: serán, ben decimais cun número finito de cifras ou ben, se teñen un número infinito de cifras,  terán unha expresión periódica. Velaquí un par de exemplos; comecemos co seguinte:

$$\frac{1}{7}=0'142857142857142857142857142857...$$

Para obter a expresión decimal facemos a división. Como o divisor é 7, o resto ten que ser un número menor: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Neste caso o resto nunca dá 0, polo que só hai 6 restos posibles. Isto significa que o resultado decimal vai repetirse a partir da sétima cifra. En efecto, obteremos  reiteradamente a secuencia 142857. Isto é o que se chama número decimal periódico. No seguinte exemplo

$$\frac{3}{25}=0'12$$

Como o divisor é 25, nun principio, como moito teriamos unha restra de 24 decimais que despois deberían repetirse. Pero neste caso non tardamos en obter un 0 de resto e aí remata a división. Obtivemos un decimal exacto, con un número finito de cifras decimais. Velaí que todos os números racionais terán unha expresión decimal ben infinita periódica, ben finita.

Podemos imaxinar outras cifras decimais, aquelas que son infinitas e non periódicas. Estas serán precisamente as correspondentes aos números irracionais. Se unimos o conxunto  dos números racionais, que identificamos mediante o símbolo $\mathbb{Q}$, con todos os irracionais, $\mathbb{I}$, obteremos o conxunto dos números reais, $\mathbb{R}$ que é o formado por todos os números decimais.

Un dos exemplos máis famosos de número irracional é a $\sqrt{2}$, da que xa demostramos noutra ocasión xa demostramos noutra ocasión que non podía escribirse como cociente de dous número enteiros. Velaquí as súas primeiras cifras decimais:

$$\sqrt{2}=1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797...$$

Hai moitos exemplos máis de números irracionais:

$$0'12345678910111213141516171181920212223242526272829303132333435363738...$$

$$0'2345678910111213141516171181920212223242526272829303132333435363738...$$

Está claro que esta lista é infinita. Isto significa que hai infinitos números irracionais e aquí teremos a primeira sorpresa. Resulta que a cantidade (infinita) de irracionais é maior que a cantidade (infinita) de racionais. Para dar un razoamento deste feito, nos últimos cursos da ESO propóñolles o seguinte experimento mental. Imaxinemos que temos un saco con bólas brancas e bólas negras ben mesturadas, isto é que as bólas brancas non están na parte baixa do saco, están distribuídas ao azar por todo o seu contido. Sacamos unha bóla ao azar e resulta ser negra. Sacamos outra bóla, tamén negra. Continuamos repetindo o experimento unha e outra vez e só sacamos bólas negras, e insisto, non hai trampas. Neste caso concluímos que hai más bólas negras que brancas. Imos facer agora o mesmo experimento con números. Consideraremos unicamente o intervalo $(0,1)$ e colleremos nel números ao azar. Como podemos facelo? Cunha ruleta que teña os 10 díxitos. Un número dese intervalo terá parte enteira 0. Xiramos a ruleta e imos obtendo, en cada lanzamento, unha cifra decimal. Eu puxen a ruleta en funcionamento e obtiven o seguinte resultado:

$0'32931504154485839080382778080351429457854790736198815216962394170179963792...$

Realizar este experimento infinitas veces equivale a escoller un número ao azar do intervalo $(0,1)$. Como vai ser este número, racional ou irracional? Para que fose racional, ou ben a partir dun determinado momento a ruleta tería que caer infinitas veces no 0, ou ben, tería que repetir unha mesma pauta indefinidamente. Ambos casos son claramente imposibles. En consecuencia, o número extraído debe ser necesariamente irracional. Pero esta será a conclusión se repito unha e outra vez o experimento. Como no caso do saco de bólas, só me saen números irracionais. A conclusión é que hai moitos máis irracionais que racionais. Tendo en conta que hai unha infinidade tanto de uns como de outros, a extravagante consecuencia é que hai uns infinitos máis grandes que outros. 

Nas clases de Secundaria non profundizamos máis pero nas seguintes liñas daremos unha idea do encerllada que é distribución dos racionais e irracionais na recta.  Como no caso que acabamos de tratar, estudaremos unicamente o intervalo $(0,1)$. Pensemos nun número irracional calquera dese intervalo, por exemplo 

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=0'70710678118654752440084436210484903928483593768847403658833986...$$

Este número poderá aproximarse tanto como queiramos por números racionais. Os valores $0'7$, $0'707$, $0'7071$,... son núimeros racionais cada vez máis próximos a $\frac{\sqrt{2}}{2}$.  Por moi pequeno que escollamos un intervalo que conteña a $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ese intervalo vai conter infinidade de números racionais. En realidade, independentemente do pequeno que sexa un intervalo, ese conterá tanto unha infinidade de racionais como de irracionais. Esta propiedade enúciase normalmente dicindo que o conxunto dos números racionais $\mathbb{Q} $ é denso no conxunto dos números reais $\mathbb{R}$. Neste punto xa estamos en disposición de introducir un exemplo extraído do libro Mathematics and logic (Dover Publications 1968) de Mark Kac e Stanislaw M. Ulam.
Para cada racional $\frac{m}{n}$ do intervalo $(0,1)$, con $m$ e $n$ coprimos consideramos o intervalo de lonxitude $\frac{1}{2n^{2}}$ dado por $$\left ( \frac{m}{n}-\frac{1}{4n^{2}}, \frac{m}{n}+\frac{1}{4n^{2}}\right )$$
Para $n=2$ teremos o intervalo $\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{16},\frac{1}{2}+\frac{1}{16} \right )=\left ( \frac{9}{16},\frac{11}{16} \right )$
Para $n=3$ teremos dous intervalos: $\left ( \frac{11}{36},\frac{13}{36} \right )$ e $\left ( \frac{23}{36},\frac{25}{36} \right )$
Para $n=4$ hai outros dous intervalos: $\left ( \frac{17}{64},\frac{19}{64} \right )$ e $\left ( \frac{47}{64},\frac{48}{64} \right )$
Para $n=5$ hai 4 intervalos pois, ao ser primo, os 4 números menores que 5 son todos coprimos con el. Neste caso engadimos á nosa colección de intervalos os seguintes: 
$\left ( \frac{19}{100},\frac{21}{100} \right )$, $\left ( \frac{39}{100},\frac{41}{100} \right )$, $\left ( \frac{59}{100},\frac{61}{100} \right )$ e $\left ( \frac{79}{100},\frac{81}{100} \right )$
Cando chegamos a n=7 a porción do intervalo $(0,1)$ recuberta será a que se ofrece na imaxe

Parece que $\frac{\sqrt{2}}{2}$ xa foi recuberto por algún deses intervalos, porén se miramos con máis precisión veremos que isto *aínda non sucedeu:
A condición de seren coprimos equivale a esixir que a fracción $\frac{m}{n}$, con $m<n$, sexa irreducible. Así para cada $n\in\mathbb{N}$ tomamos en consideración tantos intervalos de lonxitude $\frac{1}{2n^{2}}$ como números menores que $n$ e coprimos con $n$ haxa. En consecuencia, para cada natural $n$ colleremos $\varphi (n)$ intervalos desa lonxitude, onde $\varphi$ é a función totiente de Euler
Cabe esperar que esta colección de intervalos recubra sobradamente todo o intervalo $(0,1)$ pois todos e cada un dos números racionais é centro dun deses intervalos. Imos reforzar esta idea comprobando que a suma das lonxitudes dos intervalos é infinita. En efecto, polo comentado no parágrafo anterior esa suma será $$\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varphi \left ( n \right )}{2n^{2}}$$
Agora ben, unha propiedade ben evidente da función $\varphi$ de Euler é que se $p$ é primo $\varphi \left ( p \right )=p-1$. Ademais se $p$ é primo $p\geq2$ e de aí $p-1\geq\frac{p}{2}$ En consecuencia
$$\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varphi \left ( n \right )}{2n^{2}}=\frac{1}{2} \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{\varphi \left ( n \right )}{n^{2}}\geq  \frac{1}{2}\sum_{p\:   primo}\frac{\varphi \left ( p \right )}{p^{2}}\geq \frac{1}{2}\sum_{p\: primo}\frac{p-1}{p^{2}}\geq   \frac{1}{2}\sum_{p\: primo}\frac{p}{2}\frac{1}{p^{2}}= \frac{1}{4}\sum_{p\: primo}\frac{1}{p}$$
Imos xogar un pouco con outras desigualdades. Prometo que paga a pena.
Se houbese un par de naturais que verificasen a igualdade $n^{2}-2m^{2}=0$, entón $n^{2}=2m^{2}$ e consecuentemente $\frac{n^{2}}{m^{2}}=2$, ou equivalentemente $\frac{n}{m}=\sqrt{2}$. Pero isto é imposible, de aí que $\left | n^{2}-2m^{2} \right |\neq 0$. Agora ben, este número debe ser natural, entón $\left | n^{2}-2m^{2} \right |\geqslant 1$. Dividindo por $2n^{2}$ obtense a  desigualdade:
$$\frac{\left | n^{2}-2m^{2} \right |}{2n^{2}}\geqslant \frac{1}{2n^{2}}$$
Que usaremos para obter esta outra desigualdade:
$$\left | \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{m}{n} \right |\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{m}{n}\right )=\left | \frac{2}{4}-\frac{m^{2}}{n^{2}} \right |=\left | \frac{1}{2} -\frac{m^{2}}{n^{2}}\right |=\frac{\left | n^{2}-2m^{2} \right |}{2n^{2}}\geqslant \frac{1}{2n^{2}}$$
Entón, como $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{m}{n}< \frac{3}{4}+1< 2$ verificarase que
$$\left | \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{m}{n} \right |\geq \frac{1}{2n^{2}}:\left ( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{m}{n} \right )> \frac{1}{2n^{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4n^{2}}$$
Dito con outras palabras, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dista de calquera racional $\frac{m}{n}$ máis que $\frac{1}{4n^{2}}$ polo que ningún intervalo da nosa colección recubre o punto $\frac{\sqrt{2}}{2}$, que manda truco!

xoves, 20 de xuño de 2024

Unha querencia particular e unha querencia compartida

Unha querencia particular

O meu profesor de matemáticas
 de 1º de BUP
Supoño que todo aquel que profundice un pouco no mundo das matemáticas terá querencia por algunhas demostracións, razoamentos ou resultados en especial. Moitos deles forman parte dunha cultura común compartida e outros quizais veñan dalgunha manía persoal. De entre estes últimos eu teño unha extravagante predilección polo anódino teorema do resto. Hai  razóns para que fixera esta escolla. Eu xa coñecía o resultado das clases da EXB, pero 45 anos depois aínda lembro perfectamente ese momento de arroubo cando nunha aula de 1º de BUP o profesor debuxou con xiz sobre o encerado negro a súa demostración. Non o podía crer, tan claro, tan simple, o razoamento de apenas tres ou catro liñas, funcionaba; podía aplicarse a calquera polinomio e a calquera valor numérico!. Naquel momento sentín con intensidade a necesidade de saber moito máis de matemáticas. 

Despois eu mesmo expliquei moitas veces o teorema do resto e moitas veces comprobei que boa parte do alumnado non era quen de entendelo, moito menos de apecialo. Tampouco nunca detectei a ningún alumno emocionado ante a demostración deste (ou doutro) teorema. Tamén é certo que o meu profesor de matemáticas de 1º de BUP non se había de decatar doutra cousa que non fose o meu coñecemento ou descoñecemento do teorema. 

Como nunca apareceu neste blogue, aproveito a ocasión para insertalo por aquí.

Teorema do resto. O resto de dividir un polinomio $P(x)$ entre $x-a$ é igual ao valor numérico de $P(x)$ para $x=a$.

Para demostralo fagamos a división de $P(x)$ entre $x-a$, obteremos un cociente $C(x)$ e un resto $R(x)$. Ademais, polo significado da división, verificaranse as seguintes condicións:

  1. $P\left ( x \right )=C\left ( x \right )\left ( x-a \right )+R\left ( x \right )$
  2. O grao de $R \left( x \right )$ é menor que o grao de $\left( x-a \right )$

Como  o grao de $\left( x-a \right )$ é $1$, o grao de $R\left ( x \right )$ ten que ser $0$. Isto significa que o resto ten que ser un número, de aí que poidamos escribir $R \left( x \right )=R$. Facendo este cambio na igualdade da primeira condición obtemos:

$$P\left ( x \right )=C\left ( x \right )\left ( x-a \right )+R$$

Calculando agora o valor numérico de $P(x)$ para $x=a$ temos:

$$P\left ( a \right )=C\left ( a \right )\left ( a-a \right )+R=C\left ( x \right )\cdot 0+R=R\quad\quad\square$$

Simple, claro, abranguente, isto é, fermoso.

Unha querencia compartida

Aquel mesmo ano que eu cursaba 1º de BUP emitiuse a serie televisiva de divulgación científica Cosmos, presentada por Carl Sagan. Canda esa emisión tamén se publicou o libro do mesmo título. Tanto a serie como o libro tiñan como obxectivo explicar os principais coñecementos astronómicos e abordaban este cometido usando moitas referencias da historia desta ciencia. Alén doutras consideracións, a min chamárame a atención un anexo final de dúas páxinas, cadansúa adicada a desenvolver matemáticamente un aspecto que se comentaba nalgún dos capítulos do libro. Nunha explicábase por que só podían existir 5 poliedros regulares e na outra demostrábase a irracionalidade da √2. 

Na páxina dedicada aos poliedros partíase dunha fórmula que daquela era completamente misteriosa para min, a fórmula de Descartes-Euler, que relaciona o nº de caras (C), o nº de vértices (V) e o de arestas (A), dun poliedro (homeomorfo a unha esfera, tal e como diría hoxe):

$$C+V-A=2$$

No libro indicábase que había unha bonita demostración no libro de Courant e Robins, Que é a matemática?, (páx. 248), mais daquela non tiña posibilidade algunha de consultar ese libro, nin imaxinaba que algún día chegaría a lelo. Aproveito a ocasión para recomendar outras dúas lecturas relacionadas coa fórmula de Descartes-Euler. A primeira é Probas e refutacións (Alianza Editorial) de Imre Lakatos; escrito en forma de diálogo, critica a visión formalista das matemáticas e ofrece como alternativa unha matemática construída heuristicamente. A segunda é A pérola de Euler (Gradiva) de David Richeson, que fai un percorrido histórico da fórmula. 

Por fin voume centrar na querencia compartida pola comunidade matemática que quería comentar. A xa referida demostración da irracionalidade de √2 . Lembro perfectamente que a lera con moito interese, pero non fora quen de entendela. Despois expliqueina na aula en moitas ocasións e decateime de que as primeiras veces, en cursos da ESO, foi un óso demasiado duro de roer. A demostración faise por redución ao absurdo. Consiste en supoñer que o contrario do que queremos demostrar é certo. Finalmente, e mediante razoamentos coidadosamente correctos, chegaremos a unha contradición. Concluiremos que a contradición procede da suposición falsa que fixemos, ergo, o seu contrario é verdadeiro. 

Metámonos en fariña: supoñamos que √2 é racional. Iso significa que pode escribirse como un cociente de números enteiros. Aínda máis, podemos escribilo como unha fracción irreducible, isto é, sen factores comúns a numerador e denominador. Sexa $\frac{m}{n}$ esa fracción irreducible. Elevémola ao cadrado:

$$\left (\frac{m}{n}  \right )^{2}=\left (  \sqrt{2}\right )^{2}=2$$

De aí que $m^{2}=2n^{2}$, polo tanto $m^{2}$ é par e entón $m$ tamén o ten que ser. Por iso poderemos escribir que $m=2m_{1}$. Elevemos ao cadrado esta última expresión (e recordemos que $2n^{2}=m^{2}$).

$$2n^{2}=m^{2}=\left (2m_{1}  \right )^{2}=4m_{1}^{2}$$

Comparando o primeiro e último membro destas igualdades obteremos $n^{2}=2m_{1}^{2}$, é dicir, $n$ tamén é par. Dicimos "tamén" porque xa viramos que $m$ era par. Velaquí a contradición, pois partíramos de que a fracción $\frac{m}{n}$ era irreducible, polo tanto $m$ e $n$ non poden ser ambos pares.

Unha das dificultades da comprensión deste razoamento reside en que hai que ter asumido previamente que estamos traballando nunha estrutura lóxica, que debe estar exenta de contradicións. Por iso, antes de explicar o anterior nunha aula sempre tomaba un tempo en relatar a famosa anéctota atribuída a Bertrand Russell cando nunha conferencia sobre sistemas dedutivos, na que tratara precisamente o asunto de que a introdución dunha falsidade nun deses sistemas daba lugar a poder demostrar calquera cousa. Un asistente retouno a demostrar que el era o Papa partindo de que $2+2=5$. Russell non se achantou e respondeu algo así:

- Se $2+2=5$, como $2+2=4$, deduciremos que $4=5$. Restando $3$ de ambos membros desta igualdade teremos que $1=2$. Como eu e mais o Papa somos dous, eu son o Papa. 

Se o alumnado ao que se lle relata a demostración da irracionalidade de √2, ten un profesor de filosofía que adica o tempo sufiente en traballar a lóxica, teremos os vimbios necesarios para poder presentala. En caso contrario o camiño vólvese costa arriba. 

Outra dificultade reside en non decatarse de que podemos esixir que a fracción $\frac{m}{n}$ sexa irreducible. O diálogo da aula podería ser o seguinte:

-(alumno) E que pasa se a fracción $\frac{m}{n}$ non é irreducible? 

- (profesor) Se temos unha fracción como $\frac{14}{10}$?

- (alumno) Si

- (profesor) Se temos unha fracción como $\frac{14}{10}$ poderemos reducila: $\frac{14}{10}=\frac{7}{5}$, entón eu escollo precisamente esta última. A esta é á que lle chamo $\frac{m}{n}$

- (alumno) Pero como sei eu que $\frac{m}{n}$ é $\frac{7}{5}$? E se segue sendo $\frac{14}{10}$? 

 Aquí o profesor sabe que posiblemente o alumno non o vai entender por máis que o intente. E aínda podemos engadir outra dificultade. O habitual é que a estas alturas o alumnado non estea habituado a razoamentos abstractos como estes que presentamos aquí. Pode sentirse incómodo ou inseguro ao enfrontarse a demostracións desta fasquía. Claro que se nunca ou en moi poucas ocasións se expón a elas, non chegará a encontrarse cómodo neste ámbito. 

Téñense feito estudos sobre o uso das demostracións no ensino non universitario. Velaquí o caso de M.  Arce et al ou da tese de C . dos Santos, que traballaron con profesorado de Ourense, Chaves e Valladolid. Se están no certo, hai unha tendencia a que o profesorado máis novo sexa tamén o que máis prescinde do uso das demostracións na aula. Teñamos presente que neses estudos fálase de "demostración" nun sendido moi laxo; unha "demostración" non é necesariamente unha dedución formal, pode ser, por exemplo, unha comprobación nalgúns casos particulares ou usando programas de xeometría dinámica. A cifra de docentes que declaran facer poucas demostracións na súa práctica docente supera o 50%. Isto é preocupante porque entendo que a alternativa é ofrecer unha matemática algorítmica, unha restra de procedementos mecánicos. Quizais aí haxa aulas, pero non de matemáticas.

Entendo que a comunidade social do profesorado de matemáticas distínguese por ter unha querencia común polas demostracións e os razoamentos matemáticos. Ese profesorado é o único axente que ten capacidade para transmitir eses saberes. Non podemos negarlle ese tesouro aos nosos alumnos. Non podemos traizoar así á sociedade que nos acolle.

martes, 11 de xuño de 2024

Explícoche matemáticas 2024

A Comisión de Normalización Lingüística da Facultade de Matemáticas da USC resolveu o concurso Explícoche Matemáticas 2.0 da edición deste ano. Outra vez este concurso tráeme novas que me alegran inmensamente porque o traballo presentado desde o meu centro recibiu o 2º premio. As alumnas de 4º da ESO Alba Albarellos Pose, Noa Otero Calviño e Carla Prieto Loureiro do IES Antón Losada Diéguez (A Estrada), axudadas polos profesores María Paz e Emilio Villanueva tiveron a feliz idea de crear un vídeo musical co título "A trigonometría non é un tostón". Desde que vin o vídeo hai un par de meses, estaba agardando a que saíra a resolución do premio, tiña a certeza de que estas rapazas recibirían un recoñecemento.

O primeiro premio foi para o traballo de Julia Rama González co traballo "Por que a raíz cadrada de 2 é irracional?" no que, mediante o uso de recursos de animación desenvolve unha fermosa demostración da irracionalidade de $\sqrt{2}$ que publicara o portal Gaussianos o ano pasado, recollida á súa vez da canle de Michael Penn, quen dicía tela recollido dun artigo de Theodor Stermann (1902-1991) publicado no 1961. Parece ser que esta demostración "fascinou a moitos matemáticos". Paga a pena coñecela.


O último traballo premiado é o deste vídeo de Teo Calo Suárez, "As matemáticas de Google Maps e máis alá". Magníficamente editado, Teo explícanos algunhas das características máis interesantes dos grafos.

Os premios "Explícoche Matemáticas 2.0" [ver en Retallos Webl] unha exitosa iniciativa da CNL da Facultade de Matemáticas da USC, tiveron a súa primeira edición no 2012. Desde aquela, e coa salvedade do ano 2020 (o da pandemia COVID) veñen outorgándose todos os anos polo que esta é a súa 12ª edición.

luns, 3 de xuño de 2024

O horror lingüístico dos exames de Matemáticas na Selectividade

Hai uns días aparecía  por aquí unha entrevista a Ramón Lorenzo feita por Yolanda Castaño na que relataba como cando foi coordinador de COU (Curso de Orientación Universitaria) durante os cursos 1983-84 e 1984-85 tivo que enfrontarse ao rector e ao profesorado de secundaria que se opoñían á introdución do galego nos exames da selectividade. Por certo, a Consellaría parecía que nesa altura non tiña nada que ver co asunto pois só accedeu a permitir o uso do galego baixo presión. Sabémolo porque o relatou así Ramón Lorenzo. Este capítulo merecía estar incluído no Libro negro da lingua galega, de Carlos Callón

Xa que logo, o proceso de normalización das Probas de Acceso á Universidade estivo cargado de dificultades. Nos últimos tempos, baixo a héxira do decreto de prohibición e exclusión da lingua galega do ensino (decreto 79/2010), as circunstancias son propicias a cometer todo tipo de abusos coa lingua de noso. Chegou o momento de dar pasos cara atrás, a ver se ao ir a recú caemos no abismo da aniquilación da lingua. Tal parece ser o obxectivo.

Os exames da selectividade son obxecto de comentario público, os xornais están cheos de ttitulares comentando os feitos máis destacables. Que eu saiba, ningún dixo nada sobre a restra de barbaridades lingüísticas que aparecen, un ano tras outro, nos exames de Matemáticas. Céntrome nesta materia porque é a que coñezo ben, non revisei os exames doutras materias. Velaquí unha escolma do desleixo e desprezo ao galego cometido desde as Comisións de Matemáticas. Comezamos mesmo polo exame de Matemáticas aplicadas ás CCSS da convocatoria extraordinaria do ano pasado.exame de Matemáticas aplicadas ás CCSS da convocatoria extraordinaria do ano pasado. Xa aviso, custa traballo ler estes enunciados (os asteriscos son meus)

(Extraordinaria 2023) Nunha furna A hai 8 bolas verdes e 6 vermellas e noutra furna B hai 4 verdes e 5 vermellas. Lánzase un dado e se sae un número menor que 3 sácase unha bola da urna A e se sae un número maior ou igual a 3 sácase a bola da furna B. Extraese unha bola o chou,

a) Calcule a probabilidade de que a bola extraída sexa vermella. b) Sabendo que se extraeu unha bola verde, cal é a probabilidade de que saíra da furna A? c) Son independentes os sucesos “extraer bola vermella” e “a bola procede da furna A “?

Poño foto do horror porque é difícil de crer


 Se aínda non che sangran os ollos, non te preocupes, hai máis casos irritantes:  

(Extraordinaria 2021) O 40% das persoas que visitan o Pórtico da Gloria da Catedral de Santiago son españolas. Sábese ademais que 4 de cada 5 españoles están satisfeitos coa visita, mentres que, entre os non españois, non están satisfeitos coa visita o 10%.

a) Calcule a porcentaxe de persoas satisfeitas coa visita.b) Cal é a probabilidade de que unha persoa este satisfeita coa visita e non sexa española? c) ¿Son independentes os sucesos “non ser español” y “estar satisfeito ca visita”? Razoe a resposta.

(Xuño 2019) . Logo de anos de utilizalo sábese que a puntuación dun test de uso habitual en certa rama industrial segue unha distribución normal de media 74 e desviación típica 16. Nunha empresa decídese realizalo a 100 dos seus empregados. 

a) Cal é a probabilidade de que se obteña unha media muestral superior a 78 puntos, de seguirse a pauta xeral? b) E a probabilidade de que a media muestral sexa inferior a 74 puntos?

Podemos continuar coa materia de Matemáticas:

(Extraordinaria 2021) Despois de t horas de funcionamento o rendemento de unha máquina (en unha escala de 0 a 100) ven dado por a función $r\left ( t \right )=\frac{kt}{t^{2}+4}$
a) Calcule K sabendo que o rendemento as 4 horas e de 76.
b) Calcule os intervalos de crecemento e decrecemento do rendemento durante las 7 primeiras horas de funcionamento.
c) ¿En que momento se consigue o rendemento máximo?, ¿Cal e o seu valor?

(Extraordinaria 2021)Unha empresa pode vender x unidades ao mes de un determinado produto ao prezo de $518-x^{2}$ euros por unidade. Por outra parte, o fabricante ten gastos mensuais: unhos fixos de 225 euros e outros de $275x$ euros que dependen del número x de unidades.
a) Determine as funcións I(x) e B(x) que expresan os ingresos e beneficios obtidos pola produción e venda de x unidades, respectivamente. Que beneficio se obtén se se producen e se venden 10 unidades? 
b) Calcule o número de unidades que hai que producir para obter o máximo beneficio. ¿A canto ascenderían os ditos beneficios? ¿Cal sería o prezo de venda de unha unidade nese caso?

Anotación final

Se alguén tivo o valor de ler estes enunciados comprobaría que marquei como erro a expresión "desviación típica". Nalgunha ocasión xa me dixeron que era eu que era o único que usaba a forma recollida pola RAG, a saber, "desvío padrón".  Pois non estaría mal, que como desagravio, as Comisións de Matemáticas fixeran caso e comezasen a estender a expresión "desvío padrón"

luns, 6 de maio de 2024

A curiosa xeometría de Márta Svéd. O V postulado e máis alá (e 3)

Este é o terceiro e derradeiro capítulo da serie adicada a unha xeometría que a matemática húngara Márta Svéd presenta nun dos capítulos do seu libro Journey into Geometries (AMS/MAA, 1991). Os dous capítulos anteriores:

O V postulado


Sexa $\alpha$ unha circunferencia pasando por $O$ e $P$ un punto que non estea en $\alpha$. Consideremos agora $t$, a recta tanxente a $\alpha$ en $O$ e a súa perpendicular $p$. Trazamos o segmento $OP$ e a súa mediatriz $m$. O punto de intersección de $m$ e $p$, ao que chamaremos $C$, é o centro da circunferencia $\omega$ que pasa por $P$ e é tanxente a $\alpha$ en $O$. Traducido á linguaxe da W-xeometría, $\omega$ é a única W-recta paralela a $\alpha$ que pasa por un punto $P\notin \alpha$.

No caso de que $P \in t$ a propia recta $t$ sería a W-recta paralela a $\alpha$ pasando por $P$

Cando se trata de trazar W-paralelas Márta Svéd advírtenos dunha aparente inconsistencia. Se fixemos ben as cousas a relación "ser W-paralela a" debería ser unha relación de equivalencia entre W-rectas. Porén se nos fixamos na seguinte figura veremos que non se verifica a propiedade transitiva.

U-la a falacia?

Efectivamente, $a$ é paralela a $b$ (ten en conta que non se cortan en $O$ pois este punto non existe na $W$ xeometría) e $a$ e $\alpha$ son tamén paralelas. Pero é obvio que $b$ e $\alpha$ se cortan. Onde está a falacia neste argumento?

Máis alá

Nas anteriores liñas fixemos o exercicio de irmos comprobando os cinco postulados clásicos euclidianos pero podemos, e debemos, ir máis alá. Digo que debemos porque é ben sabido que Euclides non pasaría os estándares actuais para o estalbecemento dunha teoría axiomática. Non temos que remitirnos á revisión feita por Hilbert pois temos noticia que desde a época clásica houbo críticas aos Elementos. O V postulado explica cando se cortan dúas rectas, pero non temos ningún que nos indique como se cortan dúas circunferencias, compriría garantir a continuidade das liñas. Polo visto na anteriormente, na epígrafe adicada ao Postulado III, o corte de W-circunferencias compórtase da mesma maneira que o de circunferencias.

Noutras entradas demostramos que a inversión conserva os ángulos. En consecuencia a W-xeometría non só nos permite trasladar ángulos rectos (postulado IV), senón que o fai con calquera tipo de ángulos. 

Nós aquí traballamos coa formulación de Playfair do V postulado: "por un punto exterior a unha recta pasa unha única paralela". Mais sabemos que este enunciado é equivalente a que a suma dos ángulos dun triángulo sexa de 180º. Márta Svéd ofrece a explicación deste caso. Tamén explica como facer un exercicio que aínda non tratamos: o trazado de perpendiculares.

Dada unha W-recta $\alpha$ e un W-punto $P$, tracemos a tanxente $t$ a $\alpha$ por $O$ e a mediatriz $m$ do segmento $OP$ que se cortarán no punto $C$ que será o centro da circunferencia $\pi$ que pasa por $P$ e por $O$. $\pi$ é perpendicular a  $\alpha$ 

trazado de W-perpendiculares
Teriamos que considera un caso especial, se $P$ estivera na recta perpendicular a $t$ esa perpendicular tamén sería perpendicular a $\alpha$. Aquíi non me molestei moito en distinguir "perpendicular" de "W-perpendicular" porque a medida de ángulos na W-xeometría coincide coa da xeometría euclidiana usual.

xoves, 2 de maio de 2024

A curiosa xeometría euclidiana de Márta Svéd. O desprazamento (2)

Márta Svéd

Esta entrada é a continuación da anterior: A curiosa xeometría de Márta Svéd.Introdución (1) Para poder entender o que vén de seguido cómpre botarlle un ollo.

Do que se trata é de comprobar que a W-xeometría descrita nesa entrada, é unha xeometría euclidiana. Para iso estamos comprobando que verifica os postulados de Euclides. Xa o fixeramos cos tres primeiros. Continuemos.


IV postulado

A miña primeira intención foi a de despachar este postulado nun par de frases. Lembremos que xa demostramos que a inversión conserva os ángulos.  Parece que non hai máis que engadir. Pero parémonos a reflexionar.

O IV postulado di que "todos os ángulos rectos son iguais entre si". Tendo en conta que entre as nocións comúns dos Elementos de Euclides temos unha que di que "cousas iguais a unha mesma cousa son iguais entre si", que necesidade habería de engadir o IV postulado? Ademais os tres primeiros postulados remiten a unha construción con regra e compás, porén o IV non o fai. Tense especulado que pode ser unha interpolación engadida por algún copista baixo o argumento de que a igualdade de dous ángulos rectos apenas se usa nas 465 proposicións dos trece libros dos Elementos, e cando se fai, non é de xeito explícito. 

As lecturas modernas deste postulado, debidas a Klein e a Clifford,  remiten a unha interpretación do IV postulado como aquel que permitiría o desprazamento dun ángulo recto a calquera punto do plano. Na W-xeometría un W-desprazamento estará formado por W-reflexións, isto é, por inversións. Teñamos presente que estamos construíndo unha xeometría euclidiana. De aí que os desprazamentos (translacións, xiros ou reflexións) deben poder obterse a partir das reflexións. Isto é, se explicamos como son as reflexións, teremos determinados todos os desprazamentos. Pois ben, as W-reflexións serán as inversións respecto das W-rectas (isto é: respecto das circunferencias que pasan por O) 

A cuestión do desprazamento

Nunca na Grecia clásica houbo mención á problemática do desprazamento, con todo procuraremos ver que na W-xeometría non se produce unha distorsión das W-distancias cando se aplica a inversión. Para iso axudarémonos dun libro ao que fai referencia Márta Svéd, Non-euclidean Geometry, de Roberto Bonola (1874-1911), (Open Court Publishing Company, 1912).

Hai unha publicación do libro de Bonola en español, Geometrías no euclidianas (Calpe, 1923) que é a tradución da edición en italiano do 1906. Estas edicións só conteñen 3 apéndices. Desafortunadamente o que nos interesa vén no quinto apéndice, só presente na edición inglesa, pois é nese derradeiro apéndice onde Bonola traballa coa xeometría recollida por Márta Svéd.

Comprobemos que na W-xeometría se verifica o seguinte teorema

Teorema. A inversión por unha W-recta conserva a W-distancia

Pasemos a demostralo.
Sexa $AB$ un W-segmento e $\omega$ a circunferencia de centro $C$ que pasa por $O$ e $D$. Fagamos respecto desta circunferencia a inversión do W-segmento $AB$ en $A'B'$ Sexa $D$ o punto de corte de $\omega$ e a circunferencia que pasa por $A$, $B$ e $O$.

$$\frac{d_{W}\left ( AD \right )}{d_{W}\left ( A'D \right )}=\frac{\frac{AD}{OA\cdot OD}}{\frac{A'D}{OA'\cdot OD}}=\frac{AD\cdot OA'}{A'D\cdot OA}$$

O noso propósito será demostrar que este cociente é 1.

Pola definición de inversión: $$CA\cdot CA'=CD\cdot CD$$

$$\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CA'}$$


Entón, polo criterio LAL os triángulos $CAD$  e $CA'D$ son semellantes (comparten o ángulo en $C$ e os lados que o determinan son proporcionais). De aí que teñamos as seguintes proporcións:$$\frac{DA}{DA'}=\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CA'}\quad\quad [1]$$

Outra vez pola definición de inversión: $$CA\cdot CA'=CO\cdot CO$$

Análogamente teremos que os triángulos $CAO$ e $CA'O$ son semellantes e $$\frac{CA}{CO}=\frac{CO}{CA'}=\frac{OA}{OA'}\quad\quad [2]$$

Como $CD=CO$ temos que $[1]=[2]$

"$$\frac{DA}{DA'}=\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CA'}=\frac{CA}{CO}=\frac{CO}{CA'}=\frac{OA}{OA'}$$

Fixándonos na primeira e última proporcións $\frac{DA}{DA'}=\frac{OA}{OA'}$

Tal e como anunciamos ao comezo da demostración, isto implica que $d_{W}\left ( AD \right )=d_{W}\left ( A'D \right )$

Analogamente $d_{W}\left ( BD \right )=d_{W}\left ( B'D \right )$

Daquela $$d_{w}\left ( AB \right )=d_{W}\left ( AD \right )-d_{W}\left ( BD \right )=d_{W}\left ( A'D \right )-d_{W}\left ( B'D \right )=d_{W}\left ( A'B' \right )$$

$$\frac{d_{W}\left ( AD \right )}{d_{W}\left ( A'D \right )}=\frac{\frac{AD}{OA\cdot OD}}{\frac{A'D}{OA'\cdot OD}}=\frac{AD\cdot OA'}{A'D\cdot OA}$$

Con isto quedaría demostrado o teorema. En conclusión, o desprazamento na W-xeometría conserva tanto ángulos como distancias.

No seguinte e derradeiro capítulo desta serie, abordaremos o comportamento da W-xeometría en relación co V postulado de Euclides.

luns, 29 de abril de 2024

A curiosa xeometría euclidiana de Márta Svéd. Introdución (1)

Comeza aquí unha serie de tres entradas sobre unha curiosa xeometría. Ben, en realidade non é este o principio. Este xa foi publicado neste mesmo blogue noutras tres entradas:

  • A proxección estereográfica reencontrada. Aquí explícase en que consiste a proxección estereográfica e danse algunhas propiedades da mesma, como a de que leva circunferencias en circunferencias ou que conserva os ángulos.
  • A inversión proxectada. Nesta entrada relátase en que consiste a inversión respecto dunha circunferncia e como se pode obter a inversión a partir da proxección estereográfica. Isto último permite revisar cal é a inversión de circunferencias, tanto das que pasan polo centro da circunferencia inversiva como as que non; tamén explica por que a inversión conserva ángulos.
  • Un regalo da xeometría inversiva. Esta ligazón lévanos a unha fórmula que relaciona a lonxitude dun segmento $AB$ coa do seu inverso $A'B'$. Como regalo obtemos unha fermosa demostración do teorema de Ptolomeo.

A curiosa xeometría de Márta Svéd

No verán pasado fun ao curso da USC "Matemáticas húngaras", organizado polo profesor Jorge Losada Rodríguez. Unha das conferencias correu a cargo da coñecida divulgadora Marta Macho, da Universidade do País Vasco, trataba sobre as mulleres matemáticas de Budapest. Falou da vida, obra e aventuras de moitas mulleres húngaras. Unha delas foi a Marta Wachsberger (1910-2005) , coñecida como Marta Svéd despois do seu matrimonio, fuxiría a Australia no 1935, escapando do horror nazi. Con 75 anos defendería a súa tese doctoral na Universidade de Adelaida. 

Marta Macho deunos a coñecer un curioso libro escrito por Marta Svéd, Journey into geometries (AMS/MAA, 1991). Trátase dun orixinal diálogo entre un tal Dr. Whatif, Lewis Carroll, autor de Alicia no país das marabillas, a propia Alicia e moitos outros dos personaxes do famoso libro de Carroll (Humpty Dumpty, Tweedledee e Tweedledum, a Raíña Vermella, a Lebre de Marzo,...). Alicia xoga o papel de alumna avantaxada; Lewis Carroll representa as matemáticas decimonónicas. O significativo antropónimo, Dr. Whatiff,  desvela o carácter principal dun individuo sempre disposto a innovar e a xogar con novas hipóteses. Para rebaixar as expectativas de quen estivera pensando en ler este libro, cómpre que saiba que nel hai moitas matemáticas ata o punto de que cada capítulo remata cun boletín de exercicios. O libro conta cun pequeno prefacio do xeómetra H.S.M. Coxeter (1907-2003) e cunha boa colección de ilustracións que axudan moito á lectura. Estas son obra do tamén matemático John Stilwell (1942-)

En Journey into geometries os personaxes viaxan por distintas ideas xeométricas. No primeiro capítulo trabállase a potencia dun punto respecto dunha circunferencia; o segundo trata sobre a inversión; o cuarto ocúpase da xeometría hiperbólica, o quinto da xeometría do disco de Poincairé e o sexto e último capítulo está dedicado á xeometría proxectiva. 

E o terceiro? O terceiro, desde o meu punto de vista, é o máis interesante de todos. Nel Marta Svéd presenta unha xeometría euclidiana dunha fasquía extravagante. No libro esa xeometría recibe o nome de "xeometría do Dr. Whatif". Por simplicidade referireime a ela como xeometría W (en referencia ao Dr., ou quizais, aínda mellor, en referencia a Wɐɹʇɐ). Co fin de  distinguilos dos conceptos da xeometría euclidiana usual aos da W-xeometría denominareinos usando ese símbolo: W-puntos, W-rectas, W-rectas, W-distancias...

A W-xeometría é unha xeometría do plano na que eliminamos un punto ao que chamaremos punto O. En compesación engadimos un novo punto, o do infinito, $P_{\infty }$ . As W-rectas serán as circunferencias e as rectas que pasen por O. Estas últimas serán as W-rectas que conteñan o punto do infinito. Tendo en conta que podemos considerar as rectas como circunferencias de raio infinito estariamos en disposición de resumir dicindo que as W-rectas son as circunferencias que conteñen a O (pero sen o punto O, por suposto). Así, os W-segmentos serán ben arcos de circunferencia, ben segmentos usuais nas rectas que pasan polo punto do infinito, ben segmentos que conteñan ou teñan como extremo ao punto do infinito. Os W-ángulos coincidirán cos ángulos da xeometría euclidiana usual. 

Pasemos a comprobar que a W-xeometría é euclidiana, isto é, que verifica os cinco postulados propostos por Euclides nos Elementos.

I postulado


Un dos resultados da xeometría plana máis coñecidos é o que nos di que por tres puntos sempre podemos trazar unha circunferencia.  Aplicando este resultado á W-xeometría teriamos que dados dous W-puntos $A$ e $B$, e dado $O$, poderemos trazar a W-recta que pasa por eles. Se están aliñados volveremos a recordar que podemos considerar a recta como unha circunferencia de raio infinito.l Dado un punto calquera $A$ e o punto do infinito $P_{\infty }$ sempre podemos trazar a recta que pasa por eles pois é a recta euclidiana que pasa por $A$ e por $O$ Así que a W-xeometría verifica o I postulado euclidiano.

Postulado II

 Consideremos unha circunferencia que pase por O (da que eliminamos precisamente o punto O). Dado nela un arco de circunferencia $AB$ sempre o poderemos ampliar a outro arco maior $A'B'$ en calquera dos dous sentidos.
Traduzamos isto en termos da W-xeometría. Teremos que dado un W-segmento $AB$ poderemos prolongalo a outro $A'B'$. Este é o II postulado da xeometría euclidiana. Se partimos dunha recta que pasa por O, pode suceder que o segmento $AB$ sexa finito, nese caso basta con remitirnos á xeometría euclidiana clásica 
Algúns casos do Postulado II

No caso de que o segmento conteña a $P_{\infty }$, tampouco teremos dificultades tanto para ampliar o segmento $AB$ a $A'B'$ como o segmento $AP_{\infty }$ a outro $AP_{\infty }'$
Postulado II con punto do infitnito

Postulado III

O III postulado di que debemos ser quen de "debuxar unha circunferencia con calquera centro e distancia". Velaquí que debemos explicar como medir distancias nesta peculiar xeometría. Marta Svéd ofrécenos unha analoxía para achegarnos a este tópico.

Supoñamos que, sen usar o compás,  queremos trazar unha circunferencia de centro $C$ e pasando por un punto $P$ na "anticuada" xeometría euclidiana. Poderiamos facelo da seguinte maneira. Consideremos unha recta $r$ pasando por $C$ para obter $P'$, a reflexión de $P$ respecto de $r$. $P'$ será outro punto da circunferencia. Xa que logo, a circunferencia estará formada por todas as reflexións de $P$ respecto de todas as rectas pasando polo centro $C$. Pois ben, a W-reflexión non será outra cousa que a inversión. Unha W-circunferencia poderá obterse invertendo un punto $P$ polas circunferencias que pasan por $O$ e por $C$. 

Unha circunferencia que pase por $O$ e $C$ terá o seu centro na mediatriz $m$ do segmento $OP$. Cada unha delas invertirá un punto $P$ noutro $P'$ e irá xenerando a W-circunferencia de centro $C$. Ao conxunto de todas estas circunferencias coñéceselle como feixe elíptico de circunferencias. Para trazar a W-circunferencia de centro $C$ pasando por $P$ podes mover o punto $X$ ou premer no play.

Se xogas un pouco coa aplicación verás que a W-circunferencia é unha circunferencia euclidiana pero o seu centro $C$ non coincide co centro na xeometría euclidiana. A razón é que as distancias na W-xeometría non coinciden coas euclidianas. A chave para a definición das W-distancias está na fórmula que vimos noutra ocasión que nos indica cal é a lonxitude dun segmento $A'B'$ que resulta da inversión doutro $AB$ por unha circunferencia de raio $R$:  $$A'B'=\frac{R^{2}\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Para simplificar tomaremos $R=1$ e definiremos a W-distancia entre dous puntos $A$ e $B$ como $$ d_{W}\left ( AB \right )=\frac{ AB}{OA\cdot OB}$$

Desta definición é inmediato verificar tanto que esta nova definición de distancia é simétrica como que obteremos sempre números positivos (só será 0 se $A=B$). A desigualdade triangular da W-distancia é unha consecuencia da desigualdade de Ptolomeo

Quedan por comprobar os dous postulados máis polémicos de Euclides. Farémolo nas dúas seguintes entradas ([2] e [3])