mércores, 15 de xullo de 2020

Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.2

Despois de repasar a axiomática de Euclides e Hilbert, pasamos á de Tarski.

Os axiomas de Tarski
Finalmente chegamos ao que foi orixe de toda esta entrada, aos axiomas de Tarski, que puiden coñecer a partir do artigo de António Bívar do libro Treze viagens pelo mundo da matemática (U. Porto Edições, 2010). Alén deste artigo o libro é moi recomendable pois trata desde unha perspectiva case divulgativa trece aspectos moi diversos e interesantes das matemáticas a un nivel dos primeiros cursos universitarios.
A axiomática de Alfred Tarski (1901-1983) é destacable pola súa economía de recursos. Trátase dun sistema elaborado nunha linguaxe de primeira orde, polo que polo teorema de Löwenheim-Skolem,baixo a hipótese de consistencia, sabemos que terá un modelo contable. Como nota aparte non me resisto a contar unha anécdota dunha clase da materia de Lóxica en 4º-5º de carreira. Foi o caso de que o profesor nos foi presentando o que pretendía ser un conxunto de axiomas para os números reais nunha linguaxe de primeira orde. Outra vez, usando o teorema de Löwenheim-Skolem, demostrounos que o cardinal do conxunto dos número reais era ℵ0. A ningún dos alumnos nos estrañou, non sei se foi porque a esas alturas da carreira xa tragabamos con todo ou porque a clase era un día de calor ás catro da tarde.
Volvendo ás características das axiomática de Tarski para a xeometría, destacar que só emprega dúas operacións elementais, a igualdade e a pertenza, unicamente un obxecto primitivo (os puntos) e dúas relacións primitivas (congruencia e "estar entre"). Así escribiremos xy≡zw para indicar que os segmentos zy e zw teñen a mesma lonxitude e Bxyz co significado de que "y está entre x e z". Imos alá cos primeiros axiomas:
  • T.1. (Reflexividade simétrica) xy≡yx
  • T.2. (Transitiva)   xy≡zw∧xy≡uv ⟶ zw≡uv
A partir destes axiomas obtense a reflexividade da congruencia: xy≡xy e a transitividade na súa versión usual: xy≡zw∧xy≡uv ⟶ zw≡uv . De aí que a congruencia sexa unha relación de equivalencia. Con todo aínda cómpre o seguinte axioma:
  • T.3. (Identidade da equidistancia) xy≡zz ⟶ x=y
Comencemos a introducir os axiomas de ordenación. O seguinte garante que en calquera semirecta ox podemos construír un segmento xy congruente cun uv prefixado.
  • T.4. ∀o, x, u, v  ∃y (Boyx ∧ uv≡yx)
Con este novo axioma pódese demostrar que xx≡yy ou que Bxyy
O seguinte axioma establece que no segmento xx só existe un punto:
  • T.5. Bxyx ⟶ x=y
Tal e como sucedía na proposta de Hilbert, Tarski tamén precisa do axioma de Pasch. Velaquí a súa versión:
  • T.6.  (Axioma de Pasch) Bxuy ∧ Bvwy ⟶  ∃z (Buzy ∧ Bwzx) 




Agora pódese demostrar a simetría na relación "estar entre": Bxyz ⟶ Bzxy . Tamén se verificará o teorema de intercalación:   Bxyw ∧ Byzw  ⟶  Bxyz. Coas mesmas hipóteses que as deste teorema esperamos poder obter tamén Bxzw. Mais cos axiomas dados ata aquí iso aínda non é posible.
Este é o momento no que António Bivar explica as razóns para introducir o sétimo axioma, que ten que ver coa necesidade de establecer cando dous ángulos son iguais.
  • T.7. (Axioma dos cinco segmentos) (ox≡o'x'∧oy≡o'y'∧xy≡x'y'∧o ≠ y ∧ Bxyz ∧Bx'y'z' yz≡y'z') ⟶  xz≡x'z''
Este axioma dá lugar a varios resultados importantes. O primeiro deles é que permite realizar sumas de segmentos. Concretamente:  (Bxyz    Bx'y'z' ∧ xy≡x'y'∧yz≡y'z' ) ⟶  xz≡x'z'
En segundo lugar, temos tamén a unicidade do transporte de segmentos:
(x ≠ y ∧ Bxyu ∧ Bxyv yu≡yv) ⟶  u=v
En terceiro lugar, preséntase o chamado teorema de concatenación: 
(Bxyz ∧ Byzu y ≠ z)  ⟶ (Bxzu ∧ Bxyu )
Finalmente, o seguinte resultado, o teorema de conectividade, foi incluído nun principio como axioma ata que despois de varias décadas  Haragauri Narayan Gupta (1925-2016) demóstrao no 1965 a partir dos sete axiomas anteriores.
(Bxyz ∧ Bxyu x ≠ y)  ⟶ (Bxzu ⋁ Bxuz )
Con todo o establecido ata aquí podería haber modelos lineares para esta xeometría. Para facela máis rica pódese engadir un novo axioma que asegure unha dimensión maior ou igual a 2, isto é, que existen tres punto non colineares.
  • T.8. (Axioma da dimensión inferior)  ∃ x, y, z (ㄱBxyz ∧ ㄱByxz ∧ ㄱByzx)
Unha vez chegados a este punto faise unha avaliación do estado desta xeometría básica. Para iso bota man do teorema I.10 de Euclides, que é o que establece como achar o punto medio de calquera segmento. Euclides usa un resultado non explicitado por el en ningures, o que a segura que dúas circunferencias no plano se intersecan en dous puntos sempre que a distancia entre os centros sexa menor que a suma dos raios e maior que a súa diferenza. Resulta que os oito axiomas de Tarski tampouco garanten este resultado. Para estarmos certos desta intersección cómpre introducirse no pantanoso mundo da continuidade, é aquí onde hai que introducir xa non só un axioma, senón todo un esquema de axiomas para poder realizar os cortes de Dedekind. Esta idea está presentada na entrada da Galipedia sobre os axiomas de Tarski, porén António Bivar, nun principio, non vai por este camiño. Como punto de referencia, na axiomática de Hilbert resólvese a cuestión grazas aos axiomas sobre ángulos.
A cuestión que propón António Bívar pasa precisamente polo concepto de ángulo. Normalmente consideramos un ángulo ∠xoy como a rexión do plano entre as semirectas ox e oy. Aquí xurde o seguinte problema. Cos oito axiomas establecidos ata o momento pódese demostrar que se Bxuy (u é un punto entre x e y) e Bozu (z está entre o e u), entón existirá un punto y' no segmento oy tal que Bxzy'. Porén, se z está máis alá de u, isto é, se Bouz, entón non se pode asegurar a existencia de puntos x' e y' na semirectas ox e oy respectivamente de forma que Bx'zy'. Isto é, que o ángulo ∠xoy non está formado polas semirectas que parten de o. Así que se introduce este resultado como axioma.
Necesidade do axioma de Euclides



  • T.9. (Axioma de Euclides) (Bxuy ∧ u≠o ∧Bouz) ∃ x', y' (Boxx' ∧ Boyy' ∧ Bozz')
Agora estamos en disposición de demostrar o teorema de Playfair, o de Desargues e o de Pascal. Todo isto permite desenvolver unha teoría de proporcións e construír un corpo pitagórico, isto é, un corpo no que a suma de dous cadrados é tamén un cadrado. Un modelo podería ser o conxunto Ω de Hilbert presentado máis arriba. O propio Hilbert comentaba que pola estrutura deste conxunto, o conxugado de calquera elemento de Ω tamén está en Ω . Se agora quixeramos construír un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 e con un cateto $$\sqrt { 2 } - 1 $$, o outro cateto debería medir $$\omega=-2+2\sqrt {  2  } $$ Se ω∈Ω entón tamén debería estar o seu conxugado, pero este é $$\sqrt{-2-2\sqrt {  2  } }$$, un número imaxinario, cando resulta que Ω está contido dentro dos reais. Polo tanto esta construción non pode realizarse en Ω, mais si se podería facer con regra e compás.
Para sermos máis concretos, Hilbert estudara que construcións xeométricas eran as que podían realizarse en Ω e concluíra que eran aquelas nas que se podían usar a regra e o transportador de unidades (un instrumento que fai posible o transporte do segmento unidade).
Con todo isto aínda non teriamos uns sistema axiomático para a recta real pois ficaría orfa a propiedade da completitude. As sucesións de Cauchy ou as de intervalos encaixados non teñen límite. Co fin de aseguralo pódese aínda introducir un axioma de continuidade pero, iso sí, non poderemos redactalo nunha linguaxe de primeira orde porque se fai referencia a conxuntos arbitrarios de puntos X e Y.
  • T.10. (Axioma de continuidade) [∀ X, Y /  ∃ o (x∊X ∧ y ∊Y ⟶ Boxy)] ⟶ [ (x∊X ∧ y ∊Y) ⟶ ∃ p / Bxpy ]
Velaquí que cada vez que temos dous puntos colineares con o dos conxuntos X e Y, vai haber un punto intermedio entre eles.
Con estes vimbios pódese demostrar o que neste contexto xa sería o teorema de Arquímedes, así como a e a isomorfía entre todos os modelos verificando estes dez axiomas.


martes, 14 de xullo de 2020

Axiomas de Euclides, Hilbert e Tarski.1

Un libro do espazo
pero non espacial


Sempre me pareceu moi divertido que na librería "Follas Novas" colocasen o libro Ideas de espacio de Jeremy Gray (Mondadori 1992) entre os de viaxes espaciais e non entre os de xeometría. Téñolle moito cariño a este volume pois foi o primeiro de certa entidade que lin ao acabar a carreira. Lembro moi ben que o fixera durante unha semana de acampada nun monte próximo a Mombuey. Tamén me había de servir como guía para preparar un dos temas das oposicións, o da historia da xeometría. En efecto, Jeremy Gray fai un percorrido polos avances da xeometría tomando como eixo vertebrador o V postulado euclidiano. Aquí non pretendo tanto, só ir saltando polos principais sistemas axiomáticos da xeometría euclidiana; isto é, o sistema do propio Euclides, o de Hilbert e o de Tarski.




Os postulados de Euclides
Elementos, en galego
É ben coñecido que o paradigma dos sistemas axiomáticos son os Elementos. Despois dunha lista de 23 definicións, Euclides (III a.C.) establece os seus cinco postulados:
  • E.1. Trazar unha liña recta dende un punto calquera ata un punto calquera
  • E.2. E prolongar en liña recta de forma continua unha recta finita
  • E.3. E debuxar un círculo con calquera centro e distancia.
  • E.4. E que todos os ángulos rectos son iguais entre si.
  • E.5. E que, se unha recta ó incidir en dúas rectas fai os ángulos do interior e do mesmo lado menores que dous ángulos rectos, as dúas rectas, prolongadas ó infinito, atópanse no lado no que están os ángulos menores que dous rectos.
Recollinos tal e como aparecen na tradución ao galego que fixeron Ana Gloria Rodríguez e Celso Rodríguez, publicada pola USC
Despois de establecer estas raíces, e sen máis adobíos que algunha que outra definición máis, a árbore crece durante 13 libros ata formar a primeira enciclopedia sistemática das matemáticas.

Críticas a Euclides
A pesar da grandeza dos Elementos, co tempo acharíanse varias fendas no sistema euclidiano. Xa na primeira proposición do primeiro libro suponse que dúas circunferencias con centros nos extremos do segmento AB e compartindo o raio AB teñen que cortarse nun punto Γ. O  postulado E.5 establece unha condición para que se corten dúas rectas. Retrospectivamente podemos enxergar que se precisaría tamén outro postulado que establecese o corte de circunferencias. O que cómpre é garantir a continuidade das liñas. Quen habían de profundar neste tópico serían Richard Dedekind (1831-1816) e Georg Cantor (1845-1918) entre outros.
Tamén o primeiro postulado foi obxecto de crítica pois Euclides asumiu en varios lugares a unicidade da recta que se asegura pasa por calquera par de puntos dados cando o que se enuncia neste postulado é unicamente a súa existencia.
O segundo postulado só garante o carácter ilimitado dunha recta, non a súa infinitude. Quen estableceu para sempre esta distinción había de ser Bernhard Riemann (1826-1866) na súa disertación perante Gauss. Euclides emprega o carácter infinito da recta en I.16, a proposición que establece que un ángulo exterior dun triángulo é maior que calquera dos interiores opostos.
Na proposición I.21 Euclides toma como certo que se unha recta corta a un dos vértices dun triángulo, ten por forza que cortar o lado oposto. Mais este resultado nin se demostra, nin se podía demostrar baixo a axiomática dos Elementos pois nela non hai ningunha referencia á ordenación (o concepto "estar entre"). Quen incidiu neste aspecto sería Morlitz Pasch (1843-1930). Este matemático alemán propuxo a primeira axiomática moderna da xeometría, precursora da de David Hilbert (1862-1943)

Os axiomas de Hilbert
O reinado dos Elementos esténdese ata o XIX, momento no que xorden tanto as xeometrías non euclidianas como os proxectos de axiomatización nas matemáticas, especialmente a aritmética. Nesta altura estaban de moda os estudos sobre os fundamentos e non foron poucos os traballos adicados aos da xeometría. De entre todos eles destaca o de Hilbert, quen elabora un profundo tratado sobre a axiomatización desta área, Fundamentos da xeometría. Para iso establece cinco grupos de axiomas. Poño algúns exemplos:
  • Algúns axiomas de enlace:
H.I.1. Dados dous puntos A e B, sempre existe unha recta a que os contén.
H.I.2. Dados dous puntos A e B, só existe unha recta que pase por eles
H.I.3. Nunha recta hai polo menos dous puntos. Tamén existen polo menos tres puntos  non aliñados.
  • O seguinte grupo de axiomas son os de ordenación:
H.II.1. Cando B está entre os puntos A e C, e son distintos puntos dunha recta, B tamén está entre C e A.
H.II.2. Dados dous puntos A e C, sempre existirá outro punto B na recta AC tal que B está entre A e C.
H.II.3, Dados tres puntos nunha recta, como moito un deles está entre os outros dous.
H.II.4. (Axioma de Pasch) Dados tres puntos A, B e C non aliñados e unha recta a no plano ABC que non contén a ningún dos puntos, se a corta a AB, entón corta tamén a AC ou a BC
  • Axiomas de congruencia de Hilbert:
H.III.1. Dados os puntos A e B e o punto A' da recta a', existe un único B' nun dos lados da recta a' determinado por A' de forma que AB é congruente con A'B' (AB≡A'B')
H.III.2. Se os segmentos A'B' e A''B'' son congruentes a AB, tamén serán congruentes entre si.
H.III.3. Se AB≡A'B' e BC≡B'C', entón AC≡A'C'
H.III.4. Dado un ángulo definido polas semirectas h e k ∠(hk), e dada outra semirecta h', existe unha única semirecta k' tal que ∠(hk) ≡ ∠(h'k')
H.III.5. Se dous triángulos ABC e A'B'C' verifican que AB≡A'B' e AC≡A'C' e ∠BAC ≡ ∠B'A'C', entón tamén ∠ABC ≡ ∠A'B'C'.
Este último axioma é a proposición I.IV dos Elementos, o coñecido teorema de congruencia de triángulos LAL.
  • O cuarto grupo de axiomas hilbertiano é ben reducido, tanto que se reduce a un único postulado, o das paralelas:
H.IV.1. (Axioma de Playfair) Sexa a unha recta e A un punto exterior á recta, entón existe como moito unha recta paralela a a pasando por A.
  • Os últimos axiomas son os de continuidade. O primeiro deles é o que abre a porta á aritmetización da xeometría.
H.V.1. (Axioma de Arquímedes) Dados AB e CD, existen n puntos  puntos A1, A2 , A,...., An   con A1=A,  AiAj≡ CD de forma que o punto B queda entre A1e An
Axioma de Arquímedes

H.V.2. (Axioma de completitude) Os puntos dunha recta forman un sistema tal que non se pode ampliar baixo os axiomas H.I.1, H.1.2, H.II, H.III.1 e H.V.1
Este último axioma é o único deste sistema que non pode ser formalizado nunha linguaxe de primeira orde e ten claramente un enunciado ben distinto dos anteriores. Prima facie non o parece, pero é o que introduce a continuidade dentro da axiomática de Hilbert. Se excluímos H.V.2 poderían ser modelos desta xeometría estruturas "descontinuas" tales como o conxunto dos números racionais ou o conxunto Ω, que introduce Hilbert no principio do capítulo II dos Fundamentos e que estaría formado por todos os números que poden obterse a partir do 1 mediante sumas, restas, produtos divisións e unha quinta operación dada por $$\sqrt { 1+{ \omega  }^{ 2 } } $$
Tendo en conta a seguinte relación o conxunto de Hilbert estaría formado, ademais das combinacións das catro operacións, polas raíces cadradas das sumas de cadrados $$\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =a\sqrt { 1+{ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ 2 } } $$
Quizais na lectura do axioma de completitude enxérgase máis facilmente outra interpretación que tamén se verifica, a de que este axioma asegura a categoricidade, isto é, que todos os modelos deste sistema axiomático son isomorfos.
Unha cuestión interesante é a de preguntarse polas razóns que levaron a Hilbert a introducir o axioma de completitude para caracterizar a continuidade cando tiña alternativas coñecidas tales como a dos cortes de Dedekind, a dos intervalos encaixados de Cantor, ou o teorema de Bolzano-Weierstrass. Hilbert tiña como obxectivo fundamentar una xeometría asentada sobre o corpo dos números reais, de aí que botase man do axioma de Arquímedes. Este axioma facilita o establecemento dunha medida. Entón Hilbert avísanos de que "o axioma de completitude que só esixira a conservación deses axiomas [os dos grupos I, II e III], pero non o de Arquímedes ou outro que lle corresponda, encerraría unha contradición"

Ben sei que ler esta entrada custa traballo. Se ben o estudo desde o punto de vista da lóxica de partes das matemáticas é moi instrutivo e revelador, cómpre manter un certo nivel de esforzo e concentración para aprehender os contidos. Tendo en conta o anterior e que a entrada xa vai tendo unha lonxitude considerable, deixamos a abordaxe da perspectiva de Tarski para outra entrada.

xoves, 25 de xuño de 2020

Grandes ideas da astronomía

Agora que estamos a prácticamente un ano da celebración das 19 JAEM, véñenme á memoria as IX JAEM, as de Lugo no ano 1999. Foi a raíz destas últimas que acabei creando e impartindo a materia de Astronomía na ESO no CPI Aurelio Marcelino Rei García (Cuntis). Trataba de facer fronte a un problema educativo cando tiña que impartir aulas en 4º da ESO. Unha e outra vez comprobaba o rexeitamento e as dificultades coas que o alumnado presentaba ao enfrontarse ao estudo da trigonometría.
Un mantra que se repite sempre en relación co ensino das matemáticas o que se ensina, ou a forma de ensinar "non ten aplicación práctica". Disto derívase unha consecuencia fatal, a desmotivación e ábrese o camiña cara o fracaso educativo. Curiosamente a trigonometría ten unha aplicación práctica inmediata, a de permitir obter medicións nun principio inaccesibles. O único atranco sería, en todo caso, que para conseguir este premio cómpre traballar durante algún tempo nun campo presuntamente máis árido, o das ideas básicas da trigonometría: medición de ángulos, semellanza, a definición das razóns trigonométricas, as razóns de determinados ángulos, algunhas propiedades das razóns,...
Quizais un bo punto de partida podería ser a astronomía. As raíces da trigonometría están na ciencia dos ceos. As primeiras referencias trigonométricas son as do libro I do "Almaxesto". O "De Revolutionibus" copernicano comenza como un tratado de trigonometría. Ter certa perspectiva histórica sobre a evolución da astronomía e coñecer algunhas das cuestións coas que se enfrontaba podería ser unha boa base sobre a que asentar a necesidade do estudo da trigonometría na secundaria.
De aquí xurdiu a elaboración dunha programación dunha materia optativa para a ESO, Astronomía, que impartín durante dous cursos no CPI de Cuntis. Tempo despois quixen levar esa materia ao IES de Silleda pero a loita pola defensa a toda costa do seu pombal por parte departamento frustrou o intento. No meu actual centro, no IES Antón Losada (A Estrada) volvín a facer o intento hai un par de anos, agora como materia optativa de unha hora en 1º de bacharelato (vs. a de Relixión). Aquí foi a estulticia da inspectora o que o impediu. O argumento para denegar a solicitude era que o Departamento xa tiña 73 horas de docencia e que se debían priorizar os reforzos ou afondamentos.
Toda esta introdución foi quizais para xustificar un tépedo interese pola astronomía de alguén que, podendo cursar esta materia na facultade, non o fixo. O interesante é o que vén de seguido, un documento ao que lle poden dar bo uso aqueles poucos que teñan a posibilidade de impartir astronomía nalgún centro de ensino do país.
A finais de febreiro deste ano a Agrupación Astronómica Io publicaba a primeira tradución mundial da publicación da Unión Astronómica Internacional,  “Big Ideas in Astronomy: A Proposed Definition of Astronomy Literacy” . Trátase dun texto cunha serie ordenada de conceptos chave da astronomía que deberían formar parte da cultura xeral de calquera persoa ben informada nesta materia
A tradución foi obra de Martin Pawley e a deseñadora gráfica Marta Cortacans adaptou o formato orixinal.


sábado, 6 de xuño de 2020

O nº 3 do "Marco Numérico"


Marco Numérico é a revista de matemáticas que publica o IES do Marco do Camballón (Vila de Cruces) desde hai tres anos. O primeiro número publicouse en xuño do 2018 e a súa novidosa proposta fixo que fose noticia en varios medios como GCiencia ou Praza Pública. Neste último destacaban que a publicación nacía nun marco e prohibicións establecido polo funesto decreto 79/2010 segundo o que nin se pode impartir docencia de matemáticas en galego nin usar materiais desta materia nesa lingua. O proxecto partira das aulas dunha materia optativa de 2º de bacharelato, Métodos Estatísticos e Numéricos.
Un ano despois aparecía o segundo número, no que se lle abriu a porta a que colaborasen outros centros de ensino. Finalmente, e con puntualidade britática, temos acceso ao terceiro volume, que saiu do prelo a pesar das dificuldades derivadas da pandemia da COVID-19. Na súa presentación destácase que esta revista
quere recoller traballos de investigación realizados por alumnado de secundaria e bacharelato de centros de ensino galegos que teñan as matemáticas como eixo central
Velaquí o seu carácter distintivo entre a curta, pero gorentosa, tradición de revistas de matemáticas dos centros de ensino, (por certo, todas elas en galego; boa mostra do compromiso social do mundo do ensino fronte ao radicalismo dunha Xunta racista coa lingua de noso e os seus utentes)
Neste terceiro número, entre outros artigos, volveremos a encontrar un traballo que contribúe ao proxecto MARUMASAT, hai unha nova achega sobre a lei de Bendford, e varios estudos estatísticos sobre a distribución dos números primos.
Non quería finalizar sen darlle as grazas ao promotor deste proxecto, Xosé Díaz, non só por poñelo en pé e mantelo, senón por unha razón máis persoal que non é outra que a de que me invitara a prologar o terceiro volume do Marco Numérico.

venres, 8 de maio de 2020

A división de Terence Tao

Terence Tao (1975-...) gañou a medalla de ouro das Olimpíadas Internacionais de Matemáticas cando tiña 13 anos. Nos dous anos anteriores conseguira as de bronce e prata. Na XXV IMC déronlle a medalla Fields. Estes só son algúns dos recoñecementos recibidos por estea figura extraordinaria das matemáticas.
A súa participación nas Olimpíadas fixo que na súa mocidade mantivese un profundo interese por este tipo de competicións. Isto levouno, con 15 anos, a escribir un libro centrado neste tipo de probas, Solving mathematical problems, que foi editado tamén en portugués pola SPM, dentro dunha colección de libros... sobre as olimpíadas. Non é de estrañar porque o libro recolle tanto algúns problemas deste tipo de probas, así como outros que ben poderían formar parte do adestramento para as mesmas. Con todo, Tao non se limita só a dar a solución, senón que explica como abrir liñas de ataque ao problema, como avalialas, como ir acurralandoo con mestría. Fica claro que Terence Tao xoga noutra división.
O primeiro capítulo do libro é un tanto especial, pois facendo honra ao seu título, Estratexias de reslución de problemas, dá unhas orientacións xerais, ao mellor estilo Polya. Para iso toma como referencia o seguinte problema:
As lonxitudes dos lados dun triángulo forman unha progresión aritmética de diferenza d. A área do triángulo é t. Calcule os lados e os ángulos do triángulo.
Tao desenvolve unha abordaxe fundamentada nos seguintes pasos:
  • Entender o problema
  • Distinguir os datos
  • Percibir o obxectivo
  • Escoller unha boa notación
  • Escribir o que sabemos na notación que escollemos; facer un diagrama
  • Modificar lixeiramente o problema
  • Modificar grandemente o problema
Como mostra, recollo aquí algún dos problemas escollidos por Tao, comencemos por un de números:
Sexan k e n números naturais con k impar. Mostre que a suma 1k+2k+... +nk é divisible por 1+2+---+n
Tamén propón algúns exercicios, como o seguinte:
Determine o maior enteiro positivo n, tal que n3+100 sexa divisible por n+10
Varios son das Olimpíadas Australianas de Matemáticas, velaquí un exemplo:
Un polígono regular con n vértices está inscrito nunha circunferencia de raio 1. Sexa L o conxunto de todos as posibles lonxitudes de todos os segmentos ligando dous vértices do polígono. Cal é a suma dos cadrados dos elementos de L?
No capítulo final, mesmo hai problemas inclasificables dentro do esquema usual de estruturación das matemáticas (aritmética, álxebra, xeometría, cálculo,...); son máis ben propostas relacionadas coa matemática recreativa. Por exemplo estuda o problema do xogo do yucky choccy , ou do chocolate asqueroso, que había de facer famoso Ian Stewart na súa columna do Scientific American,  e que posteriormente aparecería en Locos por las matemáticas (Crítica, 2004): dada unha tableta de chocolate de 6྾10 pezas cada xogador elimina no seu turno, ben filas, ben columnas da mesma. Perde o que se ve na obriga de coller a peza asquerosa situada nunha esquina da tableta. Terence Tao propón estudar o mesmo problema nunha versión tridimensional. Cal será a estratexia gañadora para un chocolate de 3×6×10? Cal dos xogadores gañará?
Unha fonte da que recolle algúns dos problemas é a competición internacional Tournament of the Towns , unha proba paralela ás olimpíadas nacida no 1979 en Rusia e que tivo moi boa acollida en Australia (ver aquí unha recompilación). O seguinte enunciado foi tirado desta competición.
Nunha certa illa hai 13 camaleóns cincentos, 15 camaleóns castaños e 17 vermellos. Se dous camaleóns de cores diferentes se encontran, mudan ambos para a terceira cor (por exemplo un castaño e un cincento mudaríam ambos para vermello), mais non mudan de cor en ningunha outra situación. Será posible que a certa altura os camaleóns fiquen todos da mesma cor?
Para rematar, un deses gorentosos problemas que che pegan unha volta coa pregunta final
Dous irmáns venderan un rabaño de ovellas. Cada ovella foi vendida por un número de rublos igual ao número de ovellas do rabaño, e o total obtido foi dividido do seguinte modo: o irmán máis vello colleu 10 rublos, despois o máis novo colleu 10 rublos, despois o máis vello colleu outros 10 rublos, e así sucesivamente. Ao final da división, o irmán máis novo, a quen tocaba a vez, verificou que había menos de 10 rublos, e polo tanto embolsou o que sobraba. Para tornar a división xusta, o irmán máis vello dou ao máis novo o seu canivete, que valía un número enteiro de rublos. Canto valía o canivete?

luns, 13 de abril de 2020

O problema da persecución de Apolonio


Problema da persecución de Apolonio. Consideremos dous barcos A e B que se desprazan en liña recta e tales que a velocidade de B é k veces a de A. Trátase de que, sabendo a dirección de avance de A, o barco B o intercepte no menor tempo posible.

Para dar resposta a este problema imos trasladarnos atrás no tempo. Como case sempre sucede na xeometría plana, hai que retrotraerse ata os Elementos de Euclides (III a.C.), concretamente ao seguinte resultado:
Proposición VI.3. Se o ángulo dun triángulo se corta á metade e a recta que corta o ángulo corta tamén a base, os segmentos da base gardarán a mesma razón que os restantes lados do triángulo; e se os segmentos da base gardan a mesma razón que os restantes lados do triángulo, a recta unida dende o vértice ata o punto de corte cortará á metade o ángulo do triángulo. [ver Elementos]
A primeira implicación é tamén un dos primeiros resultados (1.33) que achamos no recomendable Geometry revisited de H. S. M. Coxeter e S. L. Greitzer, onde se demostra por medio do teorema dos senos.
Teorema 1.33. A bisectriz dun ángulo dun triángulo divide o lado oposto en dous segmentos de lonxitude proporcional á lonxitude dos lados que o forman.
Aplicando o teorema dos senos e tendo en conta que os ángulos suplementarios en M teñen o mesmo seno:
$$\frac { AM }{ sen\left( \frac { C }{ 2 }  \right)  } =\frac { b }{ senM } \\ \frac { BM }{ sen\left( \frac { C }{ 2 }  \right)  } =\frac { a }{ senM } \\ \frac { AM }{ BM } =\frac { b }{ a } $$

Parece ser que unha xeneralización deste resultado ao ángulo exterior é debida o matemático inglés Robert Simson (1687-1768). Estou a falar da seguinte proposición, que pode obterse a partir do teorema de Tales:

Teorema. A bisectriz tanto dun ángulo interior como exterior dun triángulo divide o lado oposto en segmentos proporcionais á lonxitude dos lados que o forman.
$$  \frac { AM }{ BM } =\frac { b }{ a } \quad \quad \quad  \frac { AN }{ BN } =\frac { b }{ a }$$

Agora estamos en disposición de definir a circunferencia de Apolonio do triángulo ABC para o vértice C: será aquela que pase por C, M e N. Con estes vimbios podemos, por fin, achegarnos á solución do problema. Pouco haberá que comentar se sabemos que a razón das distancias dos puntos da circunferencia de Apolonio dun vértice aos outros dous é constante, concretamente

Teorema. Sexa P un punto da circunferencia de Apolonio do vértice C dun triángulo ABC, entón
$$\frac { PA }{ PB } =\frac { b }{ a }$$

Desde B trazamos perpendiculares a PM e PN que cortan a PA en E e en F. Así podemos trazar tamén BE e BF.
Como MP ⏊ PN ⏊ BF temos tamén que MP ∥ BF. Polo teorema de Tales:
$$\frac { PA }{ PF } =\frac { AM }{ BM }=\frac { b }{ a }\quad\quad\quad[1]$$
Como EB ⏊ MP ⏊ PN temos tamén que EB ∥ PN. Polo teorema de Tales:
$$\frac { PA }{ PE } =\frac { AN }{ BN }=\frac { b }{ a }\quad\quad\quad[2]$$
Entón 
$$\frac { PA }{ PF } =\frac { PA }{ PE }\Rightarrow PF=PE$$
Como EB ∥ PN ⏊ BF entón tamén EB ⏊ BF polo que o triángulo EBF é recto en B e, xa que logo, P é o punto medio da hipotenusa polo que tamén será o circuncentro. Velaí que PF=PB
$$\frac{PA}{PB}=\frac { PA }{ PF }=\frac{PA}{PE}=\frac{b}{a}\quad\Box $$

Ademais ABMN forman unha cuaterna harmónica xa que a súa razón dobre é -1. Basta ter en conta [1] e [2] e considerar que os segmentos están orientados, isto é, que están dotados de signo
$$\left( A,B,M,N \right) =\frac { AM }{ BM } \frac { BN }{ AN } =-\frac { b }{ a } \frac { a }{ b } =-1$$
Xa que estamos metidos en fariña, lembremos as leccións de xeometría proxectiva. As proxeccións conservan a razón dobre e, en consecuencia, as razóns harmónicas tamén serán invariantes. As inversións tamén se conservan por proxeccións.
Dados A e B, supoñamos que o punto M verificando que a razón AB/AM=k está no segmento AB. A resolución do problema da persecución consistirá en obter un punto N tal que ABMN forme unha cuaterna harmónica.
Sexa O o punto medio de A e B. Trazamos a circunferencia de diámetro AB e a perpendicular a esta recta por M cortará a esa circunferencia nun punto T. A recta TN, tanxente á circunferencia, cortará á recta AB nun punto N. Como os triángulos OTM e OTN son semellantes:
$${ OT }^{ 2 }=OA\cdot OB=ON\cdot OM$$
Esta última igualdade significa que tanto A e B como M e N son inversos con respecto á circunferencia ATB. A recta MT será a polar de N na inversión respecto a esa circunferencia.
Finalmente a circunferencia de raio MN dá a solución do problema da persecución de Apolonio pois é a circunferencia de Apolonio do triángulo ABC no vértice C, onde C será o punto de interceptación buscado, obtido como intersección da circunferencia de Apolonio e a recta que marca a dirección de avance do barco A.






Problema para a ESO
Podemos adaptar o anterior enunciado a un problema escolar que sería abordable polo alumnado da ESO:
Problema da persecución de Apolonio; versión escolar. Dous barcos A e B están a unha distancia de 3 km. Desprázanse en liña recta e a velocidade de B é k veces a de A. O barco A leva unha dirección que forma un ángulo de 45º coa liña que une os dous barcos.  B vai interceptar a A no menor tempo posible, acha o punto de encontro sabendo que $$k=\sqrt { \frac { 7 }{ 8 }  } $$
Para resolvelo basta con decatarse de que as lonxitudes dos lados a e b deben estar na mesma proporción que as velocidades dos barcos. Ademais, como o ángulo é de 45º, a altura do triángulo vai ser x.
$$\sqrt { \frac { 7 }{ 8 }  } \cdot a=b\quad \quad \quad ;\quad \quad \frac { 7 }{ 8 } { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }$$
Entón o problema redúcese a resolver unha ecuación de segundo grao:
$$\frac { 7 }{ 8 } \left( { x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } \right) ={ \left( 3-x \right)  }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }$$
O que nunca deixa de sorprenderme das matemáticas é que tanto esta resolución analítica como a xeométrica coinciden a pesar de seren desenvolvidas por métodos completamente distintos. Ante a vista de casos coma este fáiseme moi costa arriba asumir que haxa xente que non goce deste tipo de casualidades. Ninguén pode negar que as matemáticas teñen o seu aquel de fermosura.

venres, 3 de abril de 2020

Problema sen palabras

Non é a primeira vez que deixo por aquí un problema sen palabras.
Este, do libro Resuélvelo! de James S. Tanton, da estupenda colección da Biblioteca Estímulos Matemáticos da RSME-SM, é unha perla que dá mostra do tesouro que esconde a obra.