luns, 23 de marzo de 2020

Unha clase da era do COVID-19

Calquera que estude matemáticas, polo si ou polo non, terá que acabar colléndolle gusto á abstracción. Con todo, isto non significa que a abstracción sexa sempre a mellor opción. Na práctica do ensino é normalmente a peor.
Estando na facultade, creárase os "Martes culturais". Na última hora da mañá dos martes programábase unha actividade tal como a proxección dunha película, unha conferencia,... non necesariamente de temas matemáticos. Lembro que se presentara o libro "Manuscritos matemáticos de Karl Marx", e que o autor do prólogo e a tradución, Xenaro García Suárez, viñera a presentalo. No debates posterior tratouse o tema da crítica do bispo G. Berkeley aos infinitésimos, esas cantidades que por veces son algo e por veces non son nada, segundo conveña. Isto deu pé a unha polémica sobre a didáctica das matemáticas. Había, como non, un profesor da facultade que defendía con convicción a tese de que no ensino había que ir do abstracto ao concreto. Non son quen de reproducir as palabras exactas pero os seus argumentos eran algo deste estilo:
Non, un triángulo non é máis abstracto que un espazo de dimensión infinita. Nun triángulo tes que coller un lado, e pegalo con coidado a outro lado, e despois un terceiro lado que se axuste moi ben aos outros dous. Pero se tes unha liña, xa tes un espazo de dimensión 1,  trazas, outra perpendicular e xa tes un de dimensión dous,... e así ata o infinito.
E  declamaba en alto o que os presentes entendiamos como os seguintes símbolos:$$\mathbb{R}\quad \quad \mathbb{R}^{2}\quad ....\quad \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$
Por se alguén botou as mans á cabeza, aclararlle que o autor deste disparatado argumento foi un dos mellores profesores que tiven en toda a carreira. Pero érao porque practicaba o contrario do que defendía. Nas clases destrozaba o formalismo e centrábase en comunicar as ideas importantes no desenvolvemento das demostracións. Foi ao primeiro profesor da facultade, despois de cinco  meses, ao que lle entendín algo.
Despois desta breve introdución, imos ao cerne.
Sen tempo a prepararnos estamos mergullados na distopía do confinamento. Cada quen dispara cara onde pode. Eu véxome andando ás atoutiñadas por isto do teletraballo. Menos mal que unha semana despois da declaración suspensión das clases, a benemérita Consellería publica unhas directrices para o teletraballo docente. Apenas as vou comentar,  pois xa houbo quen o fixo cargado de acerto.
As directrices teñen 5 capítulos:
  1. Instrucións en relación co COVID-19
  2. Orientacións para o desenvolvemento do ensino non presencial
  3. Espazos virtuais con recursos educativos
  4. Ferramentas específicas
  5. Teleformación e asesoramento para o profesorado 

Como xa sabía o contido do 1, e nesa semana xa tivera que andar a tombos procurando o 2, o 3, e como do 5 non esperaba nada, lanceime, iluso de min, ao 4. Ferramentas específicas
Teño que deixar constancia de que a CIG-Ensino está acertada neste comunicado pois de entre todas as coleccións que recomendan só unha, o espazoAbalar,  ten unha parte de contidos en galego, o resto son materiais foráneos.
Eu esperaba algún listado de recursos por materia, e non ferramentas como Geogebra, Amara ou Arduino, que aquel que as coñecía xa as podía usar, mais un novo usuario das mesmas precisará quizais todo o tempo do confinamento para ter un coñecemento das mesmas que lle permita, eventualmente, crear algún tipo de material didáctico. Incluso esperaba algo máis práctico,  dispoñer de exemplos, por materia de contidos reais que me permitiran non cometer todos os erros que estou cometendo nas clases virtuais destes días. Eu esperaba ver algo concreto, cousas como as que está publicando Aulas Galegas, ou exemplos de clases reais e palpables.

Un exemplo. As clases desta semana de 4º da ESO
Velaquí a miña clase destes días para 4º da ESO. Nos días anteriores estudáronse as funcións lineares: a pendente, o significado da pendente respecto á gráfica da recta segundo esta aumente, diminúa, sexa maior ou menor. Tamén se tratou o valor da ordenada na orixe na representación gráfica. En definitiva, os primeiros contidos desta U.D.
Con estes precedentes, esta semana seguiremos como guía esta presentación (é a primeira vez que uso unha presentación nunha clase) e trataremos o uso de follas de cálculo para construír gráficos a partir destes datos

venres, 13 de marzo de 2020

Un problema das Olimpíadas de Singapur nas "Matemáticas na Raia"

Había xa varios anos que non tiña que impartir clase en 3º da ESO, así que cando me tocou este ano, o primeiro que pensei foi en participar en "Matemáticas na Raia", unha actividade de resolución de problemas co-organizada entre AGAPEMA (Asociación Galega de Profesorado de Educación Matemática) e a APM (Associação de Professores de Matemática). Meu dito, meu feito. Alá fomos.
A proba consiste na resolución de 5 problemas en 90 minutos. Na actividade participa toda unha clase que pode ter todo tipo de material, agás ordenadores, móbiles ou calquera tipo de conexión co exterior.
Cando lle preguntei aos meus alumnos sobre como lles fóra a proba, destacaron sobre todo a dificultade do 3º problema, o titulado "Aniversario".
Despois da proba buscaron en internet unha posible solución (quen dixo que o alumnado de secundaria non ten ningún tipo de interese?) e explicáronme que se trataba dun problema da Olimpíada Matemática de Singapur. Efectivamente, acabou sendo coñecido como o problema do aniversario de Cheryl e se hoxe incluso ten unha entrada na Wikipedia é porque no seu día se fixo viral (14/04/2015) . Aventuro que foi utilizado para debater sobre o ensino das matemáticas e comentar as diferenzas entre o dos países orientais, o dos occidentais, e máis concretamente o de cada país.
Entendo que algúns presupoñían que se era un problema proposto para rapaces de 14 anos, quizais debería poder ser abordado por calquera que teña os estudos básicos. Aquí estariamos obviando que non se trataba dunha proba ordinaria, senón dunha olimpíada matemática. Agora achámolo recollido nunha actividade galego-portuguesa, non nunha proba de avaliación regrada nin nunha reválida.
Imos ao conto. Velaquí o problema. Veremos que nesta versión Cheryl acabou sendo Helena:

Problema do aniversario de Cheryl. Versión AGPEMA-APM. Alberte e Carlos acábanse de facer amigos de Helena e queren saber cando é o seu aniversario. Helena dálles unha lista de 10 posibles días: 
15 de maio, 16 de maio, 19 de maio, 
17 de xuño, 18 de xuño, 
14 de xullo, 16 de xullo, 
14 de agosto, 15 de agosto e 17 de agosto. 
Helena entón dilles por separado a Alberte o día e a Carlos o mes do seu aniversario. Segue o diálogo: 
Alberte: Non sei cando é o aniversario de Helena, pero sei que Carlos tampouco o sabe. 
Carlos: Ao principio non sabía cando era o aniversario de Helena, pero agora seino 
Alberte: Entón eu tamén sei cando é o aniversario de Helena. 
Cando é o aniversario de Helena? 
Cando se propón un problema, antes de continuar, sempre convén un tempo de reflexión e traballo para resolvelo.

---------------------------------------------------------------------------------

Ao principio supuxen que, agás os nomes dos protagonistas do problema, o resto era unha tradución  do problema proposto en Singapur. Mais a cousa non era así. Finalmente fun dar con outra versión, anterior no tempo á de Singapur, que nun sentido moi preciso é máis semellante á de "Matemáticas na Raia" que a que tivo unha difusión masiva nas redes. Non atraso máis a exposición do problema orixinal que, agás os nomes propios, era o seguinte:
Problema do aniversario de Cheryl. Versión Singapur. Alberte e Carlos acábanse de facer amigos de Helena e queren saber cando é o seu aniversario. Helena dálles unha lista de 10 posibles días: 
15 de maio, 16 de maio, 19 de maio, 
17 de xuño, 18 de xuño, 
14 de xullo, 16 de xullo, 
14 de agosto, 15 de agosto e 17 de agosto. 
Helena entón dilles por separado a Alberte o mes e a Carlos o día do seu aniversario. Segue o diálogo: 
Alberte: Non sei cando é o aniversario de Helena, pero sei que Carlos tampouco o sabe. 
Carlos: Ao principio non sabía cando era o aniversario de Helena, pero agora seino 
Alberte: Entón eu tamén sei cando é o aniversario de Helena. 
Cando é o aniversario de Helena?
 Xa que logo, temos dous problemas. O primeiro é achar a diferenza co anterior, e o segundo resolvelo con esta nova redacción. Cal é máis difícil? Incluso sen ler os enunciados ou sen decatarme da diferenza, eu tería a resposta clara.
Por certo, as solucións das distintas versións tamén son distintas.

Como regalo, un par de problemas da Olimpíada de Singapur para o mesmo nivel (3ºESO):
🔘 Os números de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... onde cada termo despois do segundo obtense sumando os dous termos anteriores. Cantos dos 2014 primeiros números de Fibonacci son impares?
🔘 Sexa x un número tal que $${ x }+\frac { 1 }{ { x } } =5$$. Acha o valor de $${ x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } $$

O feito de participar na actividade de "Matemáticas na Raia" a min deume para escribir esta entrada. Teño a certeza de que aos meus alumnos de 3º lles deu para aprender e interesarse máis polas matemáticas.

xoves, 5 de marzo de 2020

Retallos: un portal para as matemáticas en galego

Un portal para as matemáticas en galego



Velaquí está, Retallos de matemáticas, un portal para as matemáticas en galego. A publicación do funesto decreto 79/2010, de expulsión do galego no ensino non universitario, foi o máis grave ataque á normalización dos últimos 40 anos. Unha das consecuencias do mesmo foi a prohibición de edición e uso de materiais en galego nas matemáticas. Como resultado temos una xeración con máis prexuízos e menor estima e coñecemento da lingua galega.
Con todo, a pesar das prohibicións, a resistencia social mantense e faise patente en toda unha serie de prácticas, documentos e recursos. Este portal quere ser unha porta aberta a todas as achegas ás matemáticas en galego. Por iso, se hai erros ou faltas, agradécese calquera contribución para ir mellorando o portal.

As súas seccións son:
  • Publicacións Todo comenzou porque en novembro publicara unha entrada neste mesmo blogue na que recollía algunhas reflexións sobre a lectura científica en galego xunto cunha recompilación de todo o material de matemáticas que coñecía que se publicara na nosa lingua durante os últimos 20 anos. Na miña fachenda pensei que a información podería ser útil polo que consideraba unha mágoa que ficase nun blogue, nunha entrada que vai desaparecendo nos cavorcos da publicación. Esta foi a motivación que me levou a crear o portal. Nesta sección engadinlle un apartado adicado a publicacións escolares de matemáticas.
  • Material didáctico. Na páxina principal desta sección hai unidades didácticas (U.D.) adicadas á historia das matemáticas así como un par de referencias a exposicións. Hai ademais tres subseccións con U.D. de Primaria, Secundaria e Universidade.
  • Non creo que haxa que explicar o que se recolle en Vídeos. Só un apunte: comparado con linguas próximas, a cantidade de vídeos en galego sobrte matemáticas é ridícula.
  • Na rede pódense atopar portais con recursos de matemáticas, así como unha sección de blogues
  • No apartado Normalización  hai campañas e referencias ao uso social das matemáticas na nosa lingua. Inclúese unha sección de Terminoloxía, pois o uso dunha lingua de calidade é un presuposto previo de calquera actuación normalizadora.
Espero que a alguén, algunha vez, lle sexa útil.

domingo, 16 de febreiro de 2020

Unha xenialidade do IES de Brión: mulleres matemáticas e xogos


Grazas a este chío de Elena Vázquez Cendón tiven noticia da abrumadora cantidade de actividades que organizaron no IES de Brión para celebrar o Día da nena e a muller na ciencia, 11 de febreiro. Entre elas están a confección desta xenialidade na que se fai un marabilloso percorrido achegándolos 14  mulleres matemáticas con vídeos e pósters de cada unha.  Cando vin e escoitei a Hipatia, a Emmy Noether ou a Florence Nigthingale a falar sobre a súa obra, case caio da cadeira abaixo.  Ademais, de regalo, engándense non poucos xogos coas máis variadas aplicacións.
Se quedamos impresionados con todo este relato de actividades, aínda nos quedan por tratar os proxectos cos que participaron no concurso Wisibilizalas, LuminísTICas no 2019 e Wisibilizalas: Mulleres Galegas, no 2020.
Mil aplausos para os rapaces de 3ºC e 4ºA que colaboraron neste traballo, así como ao resto do alumnado e profesorado, capaces de crear unha xanela que permite entrar a luz e o aire limpo destas mulleres científicas.

xoves, 6 de febreiro de 2020

Exemplos de problemas para suspender ao alumnado en matemáticas


Se es profesor de matemáticas e aínda che aproban os alumnos, aquí tes unha entrada na que se dan algúns exemplos prácticos de como elaborar preguntas para un exame que ninguén sexa quen de aprobar.
Hai moito que non miro un libro de texto. Quizais sexa por iso que un problema como o seguinte o teña practicamente esquecido, non o sei, e non vou mirar libros de texto para comprobalo porque senón tería que cambiar a redacción deste mesmo parágrafo, incluso a desta mesma frase. Para ser máis exactos, conservo un difuso recordo de que cuestións coma a seguinte trateinas cando estudaba en 2º de BUP segundo a Lei Villar Palasí. Está claro que se algunha vez se abordou algún semellante a este na aula, non debería haber dificultade en resolvelo nun exame. Partimos de que llo propoñemos a un grupo de 4º da ESO, segundo a Lei Wert.
Problema 1A.Determina o ángulo que forman as agullas dun reloxo ás 12:15. (Nota: non son 90º)
Agora ben, se non se trata de traballar con ángulos e coa proporcionalidade, senón que o que pretendemos é suspender ao alumnado, basta un pequeno cambio:
Problema 1B. Que hora, minuto e segundo serán cando se encontren outra vez as dúas agullas dun reloxo despois das 12:00?
Simple, e demoledor para un rapaz de 4º da ESO. Que máis podemos pedir?

Vai agora un problema dun nivel de 3º da ESO, alguén diría que aínda dun curso inferior. Poderíase poñer nun exame coa condición de que algunha vez traballaran na aula con este tipo de medidas, pois se sempre se realizaron problemas con quilómetros, seguro que vai haber bastantes que se bloqueen coa novidade das unidades. Os bloqueos é mellor tratalos na aula, e non deixalos para os exames.
Problema 2A. Dous barcos, A e B, que fan o mesmo percorrido de 18.000 millas de ida e outras tantas de volta, saen a un tempo do porto de Vigo. O barco A viaxa a unha velocidade de 25 nós e o B a 24,5 nós. Cando B chegue de volta, canto tempo levará A no porto? (1 nó= 1 milla / hora)
Hai unha moi boa alternativa para evitar as interferencias ás que facía mención. Basta substituír "millas" por "quilómetros" e "nós" por "quilómetros / hora". En todo caso, se do que se trata é de suspender, outra vez chega cunha mínima variación no enunciado, pero noutro sentido diametralmente oposto, e teremos o fracaso absolutamente asegurado.
Problema 2B. Dous barcos, A e B, que fan o mesmo percorrido de 18.000 millas de ida e outras tantas de volta, saen a un tempo do porto de Vigo. O barco A fai unha media de 30 nós na viaxe de ida e de 20 na de volta. O barco B vai a 24'5 nós nos dous traxectos. Cal do dous chegará antes? ( 1 nó = 1 milla / hora)
Pegamos agora o salto ao bacharelato, poñamos a 2º, cun problema de máximos e mínimos. Creo que o seguinte enunciado xa ten unha dificultade considerable xa que hai que saber manexar con soltura as ecuacións da recta no plano (pero non estamos con cálculo?, pero iso non era de 1º?) e comprender que a variable non vai ser o habitual x, nin tan sequera y, senón que será a pendente. Ademais determinar a función área que se quere maximizar require dunha considerable sucesión de pasos.
Problema 3A. Considera o triángulo determinado polos eixos de coordenadas do primeiro cuadrante e unha recta que pasa polo punto A(4,2). Calcula as dimensións do triángulo de maior menor área
Con todo, pode ser que haxa algúns que consigan meterlle o dente, asi que se o que pretendemos é que ninguén o faga, propoñámoslle este outro, moi semellante (roubado de aquí):
Problema 3B. Considera os cuadriláteros determinado polos eixos de coordenadas do primeiro cuadrante  que ten ángulos rectos nos vértices O(0,0) e A(4,2).  Calcula as dimensións do triángulo rectángulo de maior área que contén o vértice O.
Se non incluímos o gráfico, mellor


Agora en serio
Sei que son un pouco (desafortunadamente, só un pouco) esaxerado, pero teño a convicción de que segue habendo profesorado que procura poñer paus nas rodas dos exames introducindo todas as dificultades que teña na súa man. Chega con introducir calquera pequena dificultade adicional para ir expulsando ao alumnado da aula. Velaí unha extravagante forma de adquirir prestixio profesional: aí vai o profesor que carga a todo o mundo (vs. velaí o que ensina a todo o mundo). Ademais é moi doado proceder deste xeito e sempre hai xustificación pois o profesor ofreceu todas as ferramentas para poder abordar o problema.
Actuar de modo contrario si que ten sentido. En determinados casos pode ser moi produtivo abordar os problemas B anteriores, pero sempre que se faga na aula normal, e non nas probas de avaliación. Pola contra, convén avaliar positivamente resolver ou dar pasos cara a resolución deste tipo de problemas.  De apostar por esta vía temos do noso lado a metodoloxía da "resolución de problemas". Cómpre formar grupos (reducidos) para discutir o problema. O profesor nunca debe dar a solución; a súa misión é outra, a de axudar con preguntas do estilo "cales son os datos?", "cal é o obxectivo?",  "coñeces algún problema semellante?", "e se cambiamos os datos ou simplificamos o problema?", ou a frase máis típica do que fora meu profesor de matemáticas: "iso é como matar un mosquito a canonazos, pensa por que". Nunca digas: "fai isto ou isto outro". Pode ser que non cheguen a resolvelo. Non importa demasiado, se ademais fixeron os problemas tipo A, están nas mellores condicións para enfrontarse a un exame... tipo A.
O alumnado que presenta maiores dificultades de aprendizaxe debería ser quen de acometer a proba porque non só fixo os problemas tipo A, senón que traballou nos do tipo B. Aqueles outros que teñan maiores capacidades, levarán consigo ademais a vantaxe de que as puideron exercitar e desenvolver. Saberán, xa que logo, ben máis que o que poidan mostrar no exame. Só aqueles que non traballaron nin os mínimos, ou que na etapa post-obrigatoria non teñan a capacidade suficiente,  serán os que recollerán suspensos.
E o profesor sae da aula cuns resultados excelentes e un sorriso de orella a orella.

Si, sei que nesta estrada son moi (desafortunadamente, moito) optimista. Pero, cal é a alternativa?

venres, 17 de xaneiro de 2020

1, 2, 3, 4, 5, parábola!.(e 2)

Na entrada anterior estivemos vendo, baixo as circunstancias acaídas a cada caso, como determinar as parábolas que pasan por un, dous ou tres puntos. Continuaremos nesa liña.

Tres, por fin
O obxectivo será o de resolver o problema seguinte:
Determinar a parábola que pasa por tres puntos  P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3) calquera do plano

Xa o temos feito para un caso particular. Precisamente cando os tres puntos dados son os do triángulo equilátero da imaxe.

Estaba xogando co Geogebra que creara para a anterior entrada cando, de súpeto, diante miña se debuxou unha figura coñecida. Foi unha sorpresa agradable e inesperada. Resulta que os eixos de simetría das parábolas tiñan como envolvente a deltoide de Steiner. Como hai algún tempo estivera xogando con esta idea ([1] e [2]) sabía que iso significaba que os eixos da familia de parábolas determinadas por tes puntos eran as rectas de Wallace-Simson dun triángulo. Do triángulo determinado polos puntos P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3)? Non, pero ándalle cerca. Explico, e xeneralizo.
Dados tres puntos teremos un triángulo T. Consideremos o triángulo T' determinado polos tres puntos medios. Sobre este último construímos a circunferencia dos nove puntos e, desde cada punto da mesma tiramos as perpendiculares aos tres lados de T'. Os pés destas perpendiculares son colineares; determinan a chamada recta de Wallace-Simson. Esta recta será o eixo da parábola que pasa polos tres puntos de T. Estamos xa nas mesmas condicións que na entrada anterior e que xa temos resolta: trátase de determinar unha parábola sabendo tres puntos e máis o eixo. Todo isto pódese ver de seguida: (podes mover tanto os puntos etiquetados como o punto azul da circunferencia dos 9 puntos)


 
Cando deixamos ver o rastro dos eixos das parábolas irá aparecendo a deltoide de Steiner.

Catro
Trátase, xa se pode adiviñar, de obter a(s) parábola(s) que pasan por catro puntos dados.
A partir da ecuación xeral dunha cónica establecéramos mediante un cambio a dunha parábola calquera:
$$A{ x }^{ 2 }+Bxy+C{ y }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [2]\\\begin{matrix} { a }^{ 2 }=A \\ { c }^{ 2 }=C \end{matrix}\quad entón\quad { B }^{ 2 }=4AC={ \left( 2ac \right)  }^{ 2 }\\ { \left( ax+cy \right)  }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [3]\\ $$
Incluso nun determinado momento, dividindo todo por a2 e substituíndo t=c/a, d=D/a2, e=E/a2, f=F/a2:
$${ \left( x+ty \right)  }^{ 2 }+dx+ey+f=0\\ { x }^{ 2 }+2xyt+y{ t }^{ 2 }+dx+ey+f=0$$
Se nos dan catro puntos P1, P2 P3 e P4 teriamos un sistema linear de 4 ecuacións con 5 incógnitas (t, t2, d, e, f)$${ y }_{ i }^{ 2 }{ t }^{ 2 }+2{ x }_{ i }{ y }_{ i }t+{ x }_{ i }d+{ y }_{ i }e+f=-{ x }_{ i }^{ 2 }\quad \quad i\in \left\{ 1,2,3,4 \right\} $$
Xeométricamente a solución deste sistema será unha recta. Pero resulta que dúas das incóginas están relacionadas (t, t2) por medio da parábola estándar. Como recta e parábola se cortan en, como moito, dous puntos, o sistema linear terá, en todo caso, dúas solucións. Neste caso teremos dúas parábolas pasando por eses catro puntos dados.
Se ben a resolución alxébrica deste problema é conceptualmente simple, a súa traslación a unha fórmula xeral sería tremendamente encerellada. Non será máis doada a súa resolución xeométrica, por iso, coas miñas poucas luces coa aparataxe informática, pensei que non ía ser quen de poder ofrecela. Finalmente, despois de elaborar unha applet que parecía unha arañeira de liñas, acabei por construír a seguinte aplicación



Cinco
Cinco? Imposible. Cinco puntos determinan unha cónica, pero ésta pode ser unha hipérbole ou unha elipse, non ten por que ser unha parábola.
Certo. Pero este apartado só está para explicar o ben que o pasei resolvendo todas as cuestións que estiven presentando aquí. Se hai algo realmente bonito é divertido, son as matemáticas. Velaí que, un, dous, tres, catro, cinco... (pégalle ao play)


martes, 14 de xaneiro de 2020

1, 2, 3, 4, 5, parábola! (primeira parte)

Un
Imaxe roubada de aquí
As orixes desta entrada están nunha imaxe da anotación "Outro problema de grellas" de J.J. na que se pedía o reconto do número de cadrados polos que pasa ben a función cadrática, ben a función radical, unindo os vértices dun rectángulo de dimensións enteiras.
A min chamoume a atención outra cuestión bastante máis fundamental. Do enunciado despréndese que só hai unha cuadrática pasando por cada punto do plano. Concretamente, dado (x1, y1) calquera só hai unha función da forma y=ax2 pasando por el. Será aquela para a que
$$a=\frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 }^{ 2 } } $$
Isto é, cada punto do plano determinará unha parábola, ou non?

Dous
A resposta sería afirmativa, dentro do contexto proposto, no que o extremo inferior do rectángulo coincida co vértice da parábola. Mutatis mutandis, dados dous puntos (x0, y0) e (x1, y1), sendo o primeiro o vértice, tamén queda determinada unívocamente unha parábola. Na seguinte expresión trasladamos a parábola y=ax2 ao vértice (x0, y0)
$$y=a{ \left( x-{ x }_{ 0 } \right)  }^{ 2 }+{ y }_{ 0 }$$
Polo que para determinar a parábola bastaría tomar $$a=\frac { y-{ y }_{ 0 } }{ { \left( x-{ x }_{ 0 } \right)  }^{ 2 } } $$

Tres
Isto tróuxome á memoria algo que lera hai tempo nos boletíns de ENCIGA. Así que fun ao faiado na procura daquel recordo. O que achei alí é, ao meu ver,  un dos capítulos máis interesantes na longa historia desta publicación. Trátase dun diálogo público ente dous autores arredor da seguinte cuestión de xeometría plana: 
Por tres puntos (non aliñados) pasa sempre unha parábola? En caso afirmativo, é única?

O tratamento desta cuestión desenvolveuse nos seguintes artigos:
  • Unha aplicación das matrices ó estudio da parábola, por Antón Labraña, Boletín das Ciencias Nº 21 Xaneiro 1995.
  • Unha aplicación da simetría ó estudio da parábola, por Antonio Gregorio  Montes, Boletín das Ciencias Nº 42, Febreiro 2000.
  • Unha aplicación da escala ó estudio da parábola, por Antón Labraña, Boletín das Ciencias Nº 43, Outubro 2000

O primeiro atranco co que fun bater é que non tiña o artigo do nº 21. Con todo vou aventurar, a partir da información contida nos outros dous, algunhas ideas que se podían tratar nel.
Partamos da función parabólica $$y=a{ x }^{ 2 }+bx+c\quad \quad \quad \quad [1]$$
Parece ser que daquela estaban de moda problemas do tipo:
Determina a parábola que pasa polos puntos P1(-1,6), P2(2,3) e P3(3,10)
No canto de resolver este problema, vou tratar o problema xeral para tres puntos  P1(x1, y1),
P2(x2, y2), P3(x3, y3). Substituíndo estes tres puntos en [1] obteriamos un sistema de tres ecuacións lineares con tres incógnitas, un dos tópicos a tratar en 2º de bacharelato.
$$\begin{matrix} a{ x }_{ 1 }^{ 2 }+b{ x }_{ 1 }+c={ y }_{ 1 } \\ a{ x }_{ 2 }^{ 2 }+b{ x }_{ 2 }+c={ y }_{ 2 } \\ a{ x }_{ 3 }^{ 2 }+b{ x }_{ 3 }+c={ y }_{ 3 } \end{matrix}  $$
Sexa A a matriz de coeficientes do sistema e A* a matriz ampliada cos termos independentes. A discusión do sistema parte de establecer se o determinante de A é nulo o non.
$$detA=\left| \begin{matrix} { x }_{ 1 }^{ 2 } & { x }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 }^{ 2 } & { x }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 }^{ 2 } & { x }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| $$Estamos fronte ao famoso determinante de Vandermonde, que era moi habitual atopar descontextualizado nas páxinas dos libros de texto do último curso da secundaria. Porén esta forma de presentalo é completamente natural.

$$detA=\left| \begin{matrix} { x }_{ 1 }^{ 2 } & { x }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 2 }^{ 2 } & { x }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 }^{ 2 } & { x }_{ 3 } & 1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} = \\ \begin{matrix} { C }_{ 1 }-{ x }_{ 1 }{ C }_{ 2 } \\ { C }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }{ C }_{ 3 } \end{matrix} \end{matrix}\left| \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ { x }_{ 2 }^{ 2 }-{ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 } & { \quad x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & 1 \\ { x }_{ 3 }^{ 2 }-{ x }_{ 3 }{ x }_{ 2 } & { \quad x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } & 1 \end{matrix} \right| =-\left| \begin{matrix} { x }_{ 2 }\left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right)  & { \quad x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \\ { x }_{ 3 }\left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \right)  & { \quad x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \end{matrix} \right| =\\ =-\left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \right) \begin{vmatrix} { x }_{ 2 } & 1 \\ { x }_{ 3 } & 1 \end{vmatrix}=\left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } \right) \left( { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } \right) $$Cando este determinante non se anule, polo teorema de Rouché-Fröbenius, existirá unha única solución, isto é, teremos unha única parábola pasando por P1(x1, y1), P2(x2, y2) e P3(x3, y3)
Se o detA=0, polo menos un par deses puntos estarán na mesma vertical. Neste caso o sistema será incompatible, pois presupoñemos que os tres puntos dados son distintos,  o cal significa que non existe ningunha parábola pasando por eses tres puntos.
E ata aquí a miña  aventurada reconstrución do artigo de Labraña do Boletín das Ciencias nº 21

Tres?
Claro que isto non significa que tres puntos determinen unha única parábola. Isto era certo únicamente no contexto anterior, no que restrinximos o concepto de "parábola" ao de funcións da forma [1], isto é, parábolas de eixo vertical. Pero que pasaría se traballásemos cunha idea máis xeral de "parábola", admitindo calquera parábola no plano, con calqueira eixo posible? Este é o problema que aborda Antonio Gregorio no seu artigo do nº 42 do Boletín das Ciencias. Faino ofrecendo un contraexemplo. Consideremos os vértices do triángulo equilátero sobre a circunferencia unidade$$P_1(0,-1)\quad \quad \quad P_2\left( \frac { -\sqrt { 3 }  }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 }  \right) \quad \quad \quad P_3\left( \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 }  \right) $$As seguintes tres parábolas pasan por eses tres puntos:$$y-2{ x }^{ 2 }+1=0\\ \frac { -y }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } x-2{ \left( \frac { 1 }{ 2 } x+\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } y \right)  }^{ 2 }+1=0\\ \frac { -y }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } x-2{ \left( \frac { -1 }{ 2 } x+\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } y \right)  }^{ 2 }+1=0$$
E velaquí a fermosa representación gráfica das mesmas:

Entendendo que para cada dirección que escollamos para o eixo teriamos unha parábola pasando por eses tres mesmos puntos, acabariamos cunha familia infinita de parábolas para eses mesmos tres puntos. Nese caso, supuxen eu,  deberiamos ser capaces de obter a colección completa de parábolas a partir dun parámetro.
A ecuación xeral dunha cónica ven dada pola forma cuadrática xeral:$$A{ x }^{ 2 }+Bxy+C{ y }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [2]$$
Consideremos o discriminante B2-4AB. Se é negativo a cónica será unha elipse, se é positivo será unha hipérbole e cando o seu valor é cero teremos a ecuación dunha parábola. Mediante o cambio $$\begin{matrix} { a }^{ 2 }=A \\ { c }^{ 2 }=C \end{matrix}\quad entón\quad { B }^{ 2 }=4AC={ \left( 2ac \right)  }^{ 2 }\\ $$Teremos a seguinte forma para as parábolas coa que poderiamos obter ecuacións practicamente calcadas ás que presentou Antonio Gregorio no Boletín nº 21.
$${ \left( ax+cy \right)  }^{ 2 }+Dx+Ey+F=0\quad \quad \quad \quad [3]\\ $$
Pasemos a substituir nesta expresión as coordenadas dos puntos  P1, P2 e P3 .
$${ { c }^{ 2 }-E+F=0 }\\ \frac { 3 }{ 4 } { a }^{ 2 }-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ac+\frac { 1 }{ 4 } { c }^{ 2 }-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } D+\frac { 1 }{ 2 } E+F=0\quad \quad \quad \quad \quad [4]\\ \frac { 3 }{ 4 } { a }^{ 2 }+\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ac+\frac { 1 }{ 4 } { c }^{ 2 }+\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } D+\frac { 1 }{ 2 } E+F=0\quad \quad \quad \quad \quad $$Sumando as dúas últimas:$$\frac { 3 }{ 2 } { a }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { c }^{ 2 }+E+2F=0$$
Restando a metade desta última expresión da primeira liña de [4] : $$\frac { -3 }{ 4 } { a }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } { c }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 2 } E=0\\ E=\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } \right) $$
Substituíndo outra vez na primeria liña de [4]: $$F=E-{ c }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } \right) -{ c }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } \right)=0 $$
Finalmente, restando as dúas últimas expresións de [4]: $$D=-ac$$Así [3] pasaría a escribirse: $${ \left( ax+cy \right)  }^{ 2 }-acx+\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right) $$Se agora dividimos esta expresión por a2 e substituímos t=c/a, quédanos$${ \left( x+ty \right)  }^{ 2 }-tx+\frac { 1 }{ 2 } \left( 1+{ t }^{ 2 } \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( { 1 }-{ t }^{ 2 } \right)=0 $$Que é, tal e como queriamos, a familia de parábolas pasasndo por P1, P2 e P3 en función dun único parámetro t. Toda esta farramalla alxébrica terá un aspecto visual máis agradable.





Ben, ata o momento só obtivemos as infinitas parábolas que pasan por eses tres puntos concretos. Poderemos estudar o problema de obter todas as parábolas que pasan por tres puntos dados calquera (non aliñados)? Aí é onde nos esperan as sorpresas máis agradables. Xa adianto que na cerna da solución desta cuestión está a deltoide de Steiner! (da que temos falado aquí). Pero isto xa o trataremos noutra entrada.