xoves, 11 de novembro de 2021

Exemplos de contraexemplos

Nesta entrada de Matemáticas na Rúa sobre un concepto esencial nas matemáticas, o da continuidade, faise un repaso do mesmo e de como se presenta nas aulas do ensino secundario. Isto levoume a poñer o foco na relación que hai entre a continuidade e a continuidade secuencial. Lembremos brevemente o significado de cada unha destas nocións nun contexto bastante xeral, no dos espazos topolóxicos.

Diremos que unha función $f: X\rightarrow Y$ é continua cando para todo U aberto en Y, $f^{-1}\left ( U \right )$ é aberto en X

Diremos que unha función $f: X\rightarrow Y$ é secuencialmente continua cando para toda sucesión converxente $\left \{x _{n} \right \}\rightarrow x_{0}$ en X, a sucesión das imaxes converxe á imaxe do límite: $\left \{f\left ( x _{n}  \right )\right \}\rightarrow f\left (x_{0}  \right )$

A seguinte implicación está clara:

Teorema 1. Se f é continua $\Rightarrow $ f é secuencialmente continua

E aínda que o recíproco tamén é certo en espazos métricos (incluso nos espazos primeiro numerables), non o será para calquera espazo topolóxico. A forma máis directa de establecer que unha implicación non se verifica consiste en dar un contraexemplo. Para este caso consideremos a función identidade $f=id: X\rightarrow Y$ onde X é o conxunto $\mathbb{R}$ coa topoloxía conumerable (os conxuntos abertos son aqueles que teñen o complementario numerable). Neste espazo as sucesións converxentes son constantes (agás un número finito de termos). Pensemos que se na cola dunha sucesión $\left \{x _{n} \right \}\rightarrow x_{0}$ non pode haber infinitos termos distintos de $x_{0}$ xa que o complementario destes infinitos termos sería un entorno aberto de $x_{0}$, feito que resulta incompatible coa converxencia da sucesión. En consecuencia f=id será secuencialmente continua.Por outra banda Y será o conxunto $\mathbb{R}$ coa topoloxía discreta (todos os subconxuntos son abertos). f non é continua xa que, dado calquera punto $\left \{ y \right \}\subset  Y$, que é un conxunto aberto en Y,  a súa imaxe recíproca $f^{-1}\left ( \left \{ y \right \}\right )=\left \{ y \right \}$ non é un aberto en X.

Os parágrafos anteriores sobre a continuidade e a continuidade secuencial tratan sobre conceptos moi elaborados. Cando os lemos estamos xa moi lonxe dun concepto inxenuo ou intuitivo da continuidade. Hai detrás un enorme traballo que foi depurando todas esas ideas. De feito, a continuidade ofrécenos unha ampla historia de clarificacións cos seus respectivos contraexemplos. Houbo un momento no que unha función como a do valor absoluto:

$$f\left ( x \right )=\left | x \right |=\begin{cases}-x & \text{ se}\,  x< 0 \\  x& \text{ se } x\geqslant 0\end{cases}$$

podía ser considerada como descontinua. A razón non residiría na súa gráfica, que evidentemente "pode trazarse sen levantar o lápiz do papel", senón pola forma da súa fórmula. A identificación entre a función e a súa expresión analítica podía dar lugar a este tipo de tentacións.


Claro que, se introducimos esta outra expresión analítica, xa temos o lío armado: $\left | x \right |=\sqrt{x^{2}}$ 

Se profundizamos un pouco máis os problemas xurdirán da locución "non levantar o lapis do papel" que, para determinados casos, é demasiado burda


Tanto neste exemplo, como nas cuestións que veñen de seguido, tomei como guía un delicioso libro de William Dunham, The Calculus Gallery  (ben, todos os libros de William Dunham o son). 

Un vigoroso intento de dominar, non xa a continuidade, senón as funcións no seu conxunto foi a Théorie des fonctions analytiques (1797) de Joseph Louis Lagrange (1726-1813) . Neste texto as funcións veñen dadas polo seu desenvolvemento en serie de potencias a partir das n-ésimas derivadas da función  $$f(x+i)=\sum_{n=0}^{\infty }i^{n}f^{(n)}(x)$$ Con este recurso Lagrange pretendía evitar os problemáticos e evanescentes infinitesimais. Desafortunadamente este intento non pasou a revisión de Agustin Louis Cauchy (1789-1857), pois achegou unha función intratable cos métodos lagrangianos: $$f\left ( x \right )=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^{2}}} & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$

Efectivamente, Cauchy demostrou que esta función e todas as súas derivadas en x=0 toman o valor cero, de aí que o desenvolvemento en serie de potencias escollido por Lagrange para presentala daría lugar a que esta función fose indistinguible da función constante igual a cero:$$f(x)=0+0\cdot x+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{3}+....=0$$

A alternativa de Cauchy fronte aos infinitesimais foi a de usar un concepto de límite no que se fala de aproximación sucesiva evitando abordar o momento en que se alcanza o límite. Estaba dado un paso maís nun proceso que daquela non se podía enxergar, o da aritmetización do cálculo. Para evitar caer nas trampas da intución Cauchy insistía en demostrar incluso o aparentemente obvio mediante unha lóxica estricta. Así Cauchy ofrece unha demostración dese resultado tan inequívoco coñecido como

Da Ptpedia

Teorema de Bolzano. 
Se $f$ , definida nun intervalo $[a.b]$ é continua e toma valores de distinto signo no extremos, entón existe polo menos un punto $c\:\epsilon \left ( a,b \right )$ tal que $f(c)=0$

Este teorema forma parte dos contidos do bacharelato para sorpresa do alumnado. Parece un resultado demasiado evidente como para ser tratado explícitamente. Incluso ninguén recusaría este outro teorema emparentado co anterior:

Teorema dos valores intermedios. Se $f$ , definida nun intervalo $[a.b]$ é continua e $u$ é un valor entre $f(a)$ e $f(b)$ entón existe polo menos un punto $c\:\epsilon \left ( a,b \right )$ tal que $f(c)=u$

A este ultimo resultad acáelle tan ben á continuidade que estamos tentados a escollelo como caracterización da mesma. Será que se unha función toma todos os valores intermedios para calquer intervalo do seu dominio, podemos asegurar que é continua? Estámonos preguntando pola veracidade do 

Recíproco do teorma dos valores intermedios. Se $f$ , definida nun intervalo $[a.b]$ verifica que para todo $u$, valor entre $f(a)$ e $f(b)$  existe polo menos un punto $c\:\epsilon \left ( a,b \right )$ tal que $f(c)=u$  entón $f$ é continua.

Parece que si, pero non. O seguinte contraexemplo vén na nosa axuda:

$$S(x)=\begin{cases}cos(\frac{1}{x}) & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$

A gráfica da función S

S é descontinua en x=0 a pesar de verificar as condicións do recíproco do teorema dos valores intermedios.

Xa metidos en fariña, unha función relacionada coa anterior é mostra dunha función derivable que non ten derivada continua. $$U\left ( x \right )=\begin{cases}x^{2}sen(\frac{1}{x}) & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$Efectivamente $$U'\left ( x \right )=\begin{cases}2x\cdot sen(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) & \text{ se}\,  x\neq  0 \\  0& \text{ se } x= 0\end{cases}$$contén na súa expresión a anterior función S que lle  transmite a súa descontinuidade a U'. Pensemos que houbera tempos nos que se consideraban só funcións que admitían ser derivadas indefinidamente, ou mellor, o concepto de función non se estendera máis alá destas.

Con todo, as cousas aínda poden ir a peor. Jonh H. Conway (1937-2020) non quedou contento coa función S e levou o caso a extremos inimaxinables mediante o contraexemplo da función de Conway en base 13. Esta función é tan descontinua que en calquera intervalo do dominio, por pequeno que este for, toma todos os valores reais!. De aí que sexa descontinua en todos os puntos. Non nos aporta máis sensación de coñecemento da continuidade este contraexemplo que o propio teorema dos valores intermedios?

Karl Weierstrass (1815-1897) sería quen refinaría o concepto de función continua ata unha redacción en termos lóxicos:

f é continua nun punto a se e só se para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta  > 0$ tal que se $\left | x-a \right |< \delta $, entón $\left | f(x)-f(a)\right |< \varepsilon $

Esta versión requintada da definición de continuidade permitiría aclarar a difereza entre continuidade e continuidade uniforme. En xeral o valor de $\delta $ vai depender tanto de $\varepsilon$ como de a. No caso de podermos ofrecer un $\delta $ independentemente do punto escollido, estaremos ante unha función uniformemente continua:

é uniformemente continua nun dominio D se e só se para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta  > 0$ tal que para todo $x, y \in D$ se $\left | x-y \right |< \delta $, entón $\left | f(x)-f(y)\right |< \varepsilon $

Tense entón o seguinte

Teorema 2. Se f é uniformemente continua en D $\Rightarrow$ f é continua en D

O recíproco non se verifica. Basta con considerar o contraexemplo dado pola función f(x)=1/x no intervalo (0,1), que sendo continua neste intervalo, non é uniformemente continua. En xeral, para asegurar a implicación no outro sentido requerirase dunha hipótese adicional: que D sexa un conxunto compacto. Na recta real a compacidade é sinónimo de cerrado e limitado. A compacidade vai da man da continuidade xa que a imaxe continua dun compacto tamén será compacta.

Traslademos agora estas consideracións ao tratamento das sucecións de funcións. Parece natural definir $f$, a función límite de $f_{1}, f_{2},f_{3}, f_{4},,,,$ a partir do límite en cada punto: $lim f_{n}(x)=f(x)$. Esta é a definición de converxencia puntual da sucesión $f_{n}$. Este concepto ten un problema: aínda que todas as funcións da sucesión sexan continuas, non se pode garantir a continuidade do límite. O contraexemplo clásico é o da sucesión $f_{n}(x)=sen^{n}(x)$ definida no intervalo [0, π]. Como $f_{n}(\pi /2)=sen^{n}(\pi /2)=1$ o límite tamén será $f(\pi/2)=1$. Pero para o resto dos valores $f_{n}(x)=sen^{n}(x)=r^{n}$ con $\left | r \right |< 1$, de aí que $f(x)=0$.

No límite a función esgazará
en $\frac{\pi }{2}$


A función límite é claramente descontinua en п/2: $$f(x)=\begin{cases}  1& \text{ se } x=\pi/2 \\  0& \text{ se } x\neq \pi/2 \end{cases}$$

Para garantir a continuidade da función límite temos que esixirlle á sucesión o que se denomina unha converxencia uniforme. Sexa $f_{n}$ unha sucesión de funcións definidas nun dominio $D$,

$f_{n}$ converxe uniformemente a $f$ se e só se para todo $\varepsilon > 0$ existe $N\epsilon \mathbb{N}$ tales que se $k\geq N$ e $x,y\epsilon D$ entón $\left | f_{k}(x)-f(x) \right |< \varepsilon $

A converxencia uniforme tamén garante o intercambio entre o límite e a integral:$$lim\left [ \int_{a}^{b}f_{n}(x) \right ]=\int_{a}^{b}\left [ lim f_{n} (x)\right ]=\int_{a}^{b}f(x)$$

Como vemos, diferentes contribucións foron ampliando o concepto de función e modelando o de continuidade. Un deles, a función patolóxica de Dirichlet, é un extraordinario exemplo de función que non é continua en ningún punto:$$\phi (x)=\begin{cases}1 & \text{ se}\,  x\epsilon \mathbb{Q} \\  0& \text{ se } x\epsilon \mathbb{I}\end{cases}$$

Unha xeneralización desta función é a de Thomae, que nos dá un resultado que atenta contra as ideas previas que poidamos ter sobre a continuidade. A función de Thomae é continua nos irracionais e descontinua nos racionais:

$r(x)=\begin{cases}\frac{1}{q} & \text{ se}\,  x=\frac{p}{q}  \: con \:mcd\left ( p,q \right )=1\\  0& \text{ se } x\epsilon \mathbb{I}\end{cases}$

A función de Thomae, versión Wikipedia

A pesar da función de Thomae, ningunha función pode ser continua exclusivamente nos racionais. Deste xeito abrimos a cuestión de que conxuntos poden sustentar o dominio de continuidade dunha función real, un campo aberto por Baire (1874-1932).

Outro caso destacable é a función patolóxica de Weierstrass. Trátase dunha función continua que non é diferenciable en ningún punto, polo tanto un contraexemplo que aniquila toda esperanza de que a continuidade ofreza algunha garantía para diferenciabilidade. Lembro perfectamente que me falaran dela en Análise Matemática I, no primeiro curso da carreira. Só nos deran a súa expresión analítica:

$f(x)=\sum_{n=0 }^{\infty}b^{n}cos\left (a^{n} \pi x\right )$ con $a\geqslant 3$ enteiro impar, $0<  b< 1$ de forma que  $ab> 1+\frac{3\pi }{2}$

Unha mágoa que nesa altura non houbese Geogebra, porque a seguinte applet xa o explica todo. Para $a=21$ e $b=\frac{1}{3}$ podemos ver a intimidante apariencia do sumatorio para os primeiros valores de $n$

Quizais isto sexa unha refencia subxectiva, pero a idea que eu teño da continuidade está moito máis explicada mediante os contraexemplos que por ningunha outra cousa. Cada un deles ten algo de sorprendente e cada un informa sobre o significado do que é, ou incluso mellor, do que non é a continuidade. Cando Maimónides quixo explicar o que era Deus, enfrontouse ao que consideraba que era unha propiedade intrínseca de Deus, a súa incognoscibilidade. Entendeu entón que o mellor que podía facer era aproximarse ao concepto de Deus dando conta do que non era. O coñecemento da continuidade tamén aparenta ser teoloxía negativa.

luns, 25 de outubro de 2021

Neuse anónima

Nunca reparara nas construcións neuse ata que comecei a remexer no recomendable blogue Regra e compás de Paulo González Ogando. Polas súas máis de 200 entradas podemos navegar por un sistemático estudo das construcións da xeometría plana que son factibles segundo diversos procedementos. Facendo honra ao nome do blogue, moitas delas poden realizarse con regra e compás. Lembremos que neste caso suponse que o compás colapsa nada máis se fixo uso del, polo que non nos serve como transportador de lonxitudes. Tampouco podemos trasladar lonxitudes coa regra pois enténdese que non ten marcas; a súa utilidade consistirá en trazar rectas entre dous puntos calquera do plano. A xeometría euclidiana clásica só facía uso destas ferramentas. Baixo estes supostos moitas construcións non serían posibles. Porén, se no canto da regra clásica permitimos usar unha regra con dúas marcas Q e R a unha distancia QR=a (diastema), seremos quen de trisecar ángulos (seguindo ben a Arquímedes, ben a Conway), duplicar o cubo, construir un heptágono  un eneágono e moitos outros polígonos regulares. O uso da regra marcada tamén é coñecido como neuse, segundo a súa denominación clásica. Vexamos en que consiste.

Os seguintes parágrafos describen o que se pode ver na applet de Geogebra.

Supoñamos que temos un punto P, dúas rectas r e s e unha distancia Q'R'=a. Imaxinemos que cravamos en P unha punta. Agora colocamos a regra marcada pasando por P e xirámola mantendo o punto Q' na recta s ata que o outro extremo do segmento, R', fique sobre r. Así obtemos a recta buscada que pasa por A, B (distantes a unidades) e P.

Se partimos dun punto P e dúas circunferencias c e d, volvemos a colocar a punta en P e sobre ela xiramos a regra marcada mantendo o punto Q na circunferencia c ata que o outro extremo, R, fique en d. Así achamos os segmentos AB e CD, ambos aliñados con P e de lonxitude igual á do diastema QR.

Finalmente dado P, unha circunferencia c e unha recta r, colocando a punta en P e movendo sobre ela a recta marcada co punto Q na circunferencia, obteremos AB e CD, ambos aliñados con P e de lonxitude igual á do diastema QR.

A neuse para resolver a duplicación do cubo

Os libros de historia das matemáticas afirman que nesta ciencia houbo un cambio substancial na época da Grecia clásica. Anteriormente, en Exipto e Babilonia as matemáticas aparecían sempre como técnica aplicadas para a resolución de determinados problemas prácticos. Non hai constancia dunhas matemáticas entendidas como un saber dedutivo que trata sobre teorías abstractas. Consideremos, por exemplo, un dos problemas clásicos, o 

Problema da duplicación do cubo. Dado un cubo de aresta AB, achar (con regra e compás) a aresta CD doutro cubo que duplique o volume do de aresta AB.

Parece ser que Eratóstenes de Cirene (276 a.C - 194 a.C.) é o autor dunha carta que contén, non unha, senón dúas versións do problema. Aquí xa comezamos a enxergar que pouco importa o contexto do problema. Un dos enunciados ten como protagonista ao mítico rei Minos ao que as dimensións da tumba do seu fillo Glauco lle parecían demasiado pequenas e ordenaba construir unha co dobre de capacidade. A outra versión relata que os atenienses consultaron como facerlle fronte a unha devastadora epidemia ao  oráculo de Apolo en Delos. A resposta foi que debían duplicar o altar de Apolo, de forma cúbica. Velaquí que este problema tamén recibe o nome de problema délico.

A restricción das ferramentas a usar, en exclusiva a regra e o compás, é o que fan imposible a resolución do problema tal e como demostrou en termos alxébricos Pierre Wantzel no 1837. Porén, se permitimos outros métodos de construción si podemos resolver o problema. En particular, podémolo facer empregando a neuse 

Paulo R. Ogando reproduce a construción do clásico de Henrich Dörrie (1873-1955), 100 Great Problems of Elementary Mathematics que é esencialmente unha versión simplificada da de Nicomedes (ca. 280 a.C- ca 210 a.C)  debida a Newton (1642/3-1727). Velaquí a ligazón a esa entrada en Regra e compás.

A neuse anónima

Vou presentar outra construción con regra marcada para a duplicación do cubo, coa particularidade de que non sei de onde a saquei. Tíñaa entre as notas da lectura do libro Tales of impossibility de David S. Richeson, que trata, en boa medida os mesmos temas que o blogue Regra e compás. Pero despois dunha rápida revisión comprobei que non estaba nese libro e non podo dicir a quen se lle debe atribuir esta neuse anónima. 



Partimos dun segmento AB de lonxitude 1. O noso obxectivo será determinar outro segmento AE que mida $\sqrt[3]{2}$. Para iso comezamos prolongando a recta AB e despois trazamos unha circunferencia de centro B e raio AB que corta á recta en C. Tomando este novo punto como centro trazamos outra circunferencia do mesmo raio que cortará a outra en D. A recta BD formará un ángulo de 60º coa outra. Trazamos tamén a perpendicular a AB polo punto B.
Agora aplicamos a construción coa regra marcada en dous puntos que disten 1. Colocando a punta en A movemos a marca da regra pola perpendicular BE ata que o outro extremo da marca se encontre sobre a recta BD no punto F. Temos pois a recta AEF onde EF mide 1 e AE será a solución buscada. Para comprobalo trazamos finalmente desde F a perpendicular á recta AB.
Chamémoslle α ao ángulo comprendido entre AF e AB. O seu coseno nos triángulos rectángulos ABE e AGF dan lugar a que $$cos\alpha =\frac{1}{x}=\frac{1+BG}{1+x} \Rightarrow BG=\frac{1}{x}$$
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo ABE temos que $BE=\sqrt{x^{2}-1}$
Agora, calculando o coseno de 60º: $$cos60=\frac{BG}{BF}=\frac{1/x}{BF} \Rightarrow BF=\frac{2}{x}$$
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triángulo BGF obtemos $FG=\frac{\sqrt{3}}{x}$

Como as rectas EB e FG son paralelas podemos aplicar o teorema de Tales:$$\frac{AE}{AF}=\frac{EB}{FG}\Rightarrow \frac{x}{1+x}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{3}/x}$$
Unhas poucas contas transforman esta última igualdade na ecuación: $$x^{4}+2x^{3}-2x-4=0\\\left ( x^{3}-2 \right )\left ( x+2 \right )=0$$
Descartamos a solución negativa x=-2 e quedámonos con que o valor de $x=\sqrt[3]{2}$

venres, 8 de outubro de 2021

A revolución do "De Revolutionibus"

De revolutionibus orbium coelestium, ou máis brevemente De revolutionibus, é o volume, en seis libros, escrito por Copérnico (1473-1643) e publicado, coma quen di, póstumamente, no 1643 pois cóntase que cando saiu do prelo o autor xa estaba no seu leito de morte. Deste xeito tan tráxico o astrónomo presentaba públicamente o seu sistema dun mundo heliocéntrico. O escritor Arthur Koestler (1905-1983) cualificaríao no best-seller Os sonámbulos como "o libro que niñguén puido ler". As razóns desta descrición aséntanse na prosa técnica e pouco amable que destila o texto copernicano xa que a partir do segundo libro o texto é unha obra especializada de astronomía matemática que intentaba competir co Almaxesto de Ptolomeo e os seus epígonos. A confrontación entre os dous sistemas fundamentábase nunha serie de mecanismos matemáticos moi técnicos. Con toto, o apelativo de Koestler é moi inxusto xa que o De revolutionibus, desde o momento da súa publicación, sería un punto de referencia ineludible para os astrónomos posteriores. 

A Universidade de Vigo acaba de sacar do prelo O libro que ninguén puido ler, unha publicación cun título digno de Raymond Smullyan, elaborada polos matemáticos Nicanor Alonso e Miguel Mirás xunto co profesor, tradutor e poeta Raul G. Pato. Esta edición, xira arredor da tradución dun manuscrito do Libro I do De revolutionibus. Nese manuscrito non aparecían os tres últimos capítulos dese Libro I, precisamente os de contido matemático. En consecuencia, non se adentra nos esotéricos artefactos mecánico-astronómicos copernicanos senón que trata da exposición e argumentación dunha revolucionaria visión do mundo. Tan revolucionaria que se enfronta aos fundamentos ideolóxicos dominantes. Non se podía remover a crenza da inmobilidade da Terra sen que se visen afectadas as estruturas de poder que controlaban o coñecemento, a visión e a organización do mundo. Isto xa se sente desde un primeiro momento. Nas primeiras edicións do De revolutionibus aparecía un aviso Ao lector sobre as hipóteses desta obra que non foi redactado por Copérnico nin polo seu axudante Rheticus (1514-1574), senón polo substituto deste, o teólogo protestante Andreas Osiander, Sorprendentemente, neste curioso prólogo retíraselle toda a credibilidade ao corpo do libro:

"E non é necesario que estas hipóteses sexan verdadeiras, nin sequera verosímiles, senón que basta con que amosen tan só un cálculo congruente coas observacións"

Porén, unhas poucas páxinas máis adiante, Copérnico (agora si é el quen escribe) é moi claro:

"Se por casualidade aparecen rexoubeiros que, alegando ser capaces de emitir un xuízo sobre calquera cousa relacionada coas matemáticas, aínda sendo ignorantes delas e terxiversando maliciosamente algunha psasaxe da Escritura para o seu propósito, ousen atacar e rexeitar esta miña empresa, eu non fago caso deles ata o punto de desprezar o seu xuízo cualificándoo de temerario"

Velaquí que Copérnico non só tiña un coñecemento  profundo dos ceos, tamén era quen de desentrañar as reviravoltas da sociedade do seu tempo ata o punto que neste parágrafo parece adiviñar cal vai ser o futuro das teses do De Revolutionibus.  Efectivamente, se por unha banda Lutero e Calvino son os primeiros en opoñerse firmemente ao heliocentrismo, a igrexa católica prohíbe defendelo ou sostelo no ano 1616 ao tempo que inclúe a obra copernicana no índice de libros prohibidos. Esta foi a atroz resposta a unha convincente campaña de Galileo na que todos e cada un dos seus descubrimentos co telescopio son punzantes argumentos pro-heliocéntricos. A pesar das prohibicións da Igrexa Galileo non ficaría inmóbil. Nunca deixaría de argumentar contra a física aristotélica, o principal sustento do modelo ptolemaico. 

A  xenialidade de Galileo destaca especialmente no Diálogo, publicado no 1632 despois de entrevistarse co propio papa Urbano VIII e de que se lle impuxeran varias condicións. Obrigóselle a que cambiara o título: xa non sería Do fluxo e refluxo das mareas, senón Diálogo sobre os dous máximos sistemas do mundo. Outra esixencia consistía na inclusión dun aviso ao lector (outro máis!) no que se forzou a Galileo a declarar que adoptaba o copernicanismo como se fose unha hipótese puramente matemática. Tamén se lle impuxo a conclusión final do libro na que debían aparecer as teses de Urbano VIII establecendo que o infinito poder de Deus podía presentarnos os fenómenos de múltiples maneiras. Noutras palabras: a indagación científica é un inútil sinsentido. Ademais o Diálogo foi revisado polo Maestro do Sacro Palacio de Roma, con atribucións plenas para dar permisos de edición. Galileo aceptou todas as condicións, por inxustas que fosen. Con todo, ao pouco da publicación o Diálogo foi secuestrado e Galileo tivo que enfrontarse a un xuízo inquisitorial que o acabaría condenando.

A publicación da Universidade de Vigo ofrécenos como apéndices tanto a sentenza como a abxuración de Galileo Galilei. Son dous documentos de innegable importancia na historia da ciencia e un bo epílogo para O libro que ninguén puido ler. Como prólogo ofrécesnos un estudo sobre Copérnico e a súa obra. En definitiva, temos diante unha publicación que pon o foco nun capítulo central no desenvolvemento do pensamento científico. Tamén, por ser unha das escasas publicacións de temática científica en galego, unha contribución á dignificación da nosa lingua que todos deberiamos agradecer.

mércores, 1 de setembro de 2021

A demostración topolóxica da existencia de infinitos primos

Hai un momento especialmente dramático na vida dun estudante. Sucede cando está ás portas de acceder á universidade e ten que escoller a carreira que quer facer. Cando tivera que pasar eu por ese trance non había departamentos de orientación nos institutos e tampouco había internet. O único ao meu alcance era un libriño coas titulacións da Universidade de Santiago, a única que había daquela, que como información exclusiva tiña os nomes das materias que se impartían no primeiro curso. Para a licenciatura de matemáticas eran as seguintes:

  • Física
  • Álxebra I 
  • Análise Matemáica I
  • Topoloxía I

Das tres primeiras tiña certa idea de que trataban, pero a cuarta, Topoloxía, era un completo misterio. Pronto se convertería na miña materia favorita. Que é a topoloxía? Non é fácil de explicar.

Da Galipedia
Normalmente recúrrese ao exemplo da cunca e a rosquilla, dúas superficies que o topólogo ve equivalentes porque se poden transformar unha na outra mediante unha deformación contínua. Velaí que a topoloxía estuda a propiedades relacionadas coa continuidade. A equivalencia en topoloxía establécese mediante homemorfismos, funcións continuas, bixectivas e con inversa tamén contínua. Tamén se di que a topoloxía é a ciencia da plastilina ou das bandas de goma.

Para crear un marco de referencia podemos botar man doutro tipo de xeometría que se estuda na secundaria, a das figuras semellantes. Diremos que dúas figuras son semellantes se teñen a mesma forma aínda que os seus tamaños sexan distintos. Aquí normalmente recorremos a exemplos de mapas a distintas escalas, fotos ou fotocopias ampliadas ou reducidas, planos,...Debemos confrontar esta xeometría con outra máis estrita na que se define a congruencia entre figuras xeométricas cando teñen exactamente as mesas medidas. 

Polo pouco comentado ata aquí ben se enxerga que a álxebra, a ciencia que acubilla os polinomios, aparenta estar moi afastada da topoloxía, a ciencia que trata con obxectos de goma deformables. A álxebra aséntase directamente sobre a aritmética. Un dos principais obxectos de estudo desta última son os números primos. Por iso non deixa de ser sorprendente que poidamos realizar unha demostración da existencia dunha candidade infinita dos mesmos mediante o uso da topoloxía. Quizais aínda máis sorprendente sexa que o autor desta fazaña fose un estudante de 20 anos, Hillel Fustenberg (1935-). En entradas anteriores xa abordamos demostracións deste resultado (Grazas Poniachik! coa demostración euclidiana, e A serie harmónica e a das inversas dos primos cunha proba referenciada no 1979), intentaremos ofrecer tamén a de Fustenberg, pero antes unha digresión máis ou menos longa para garantir as bases da anunciada proba.

Topoloxías e espazos topolóxicos

Imos facer unha pequena paréntese para relatar uns poucos aspectos dalgúns principios de topoloxía. Podémonos achegar á idea do concepto "topoloxía" estudando os conxuntos básicos euclidianos, as bólas abertas. Na recta son os intervalos abertos:

$B_{1}\left ( x,r \right )=\left ( x-r,x+r \right )=\left \{ y\epsilon \mathbb{R}/d(x,y)< r \right \}onde\; d \;  representa \; a \;distancia$

A representación gráfica dun intervalo aberto indícase con puntos ocos no interior ou con parénteseses: (a,b).  A característica máis destacable dos intervalos abertos (a,b) é que, dado calquera punto do intervalo, como c, haberá un intervalo aberto en (a,b) que conteña a c.

As bólas abertas no plano son círculos sen a circunferencia que a bordea:
$B_{2}(x,r)=\left \{ y\epsilon \mathbb{R}^{2} / d\left ( x,y \right )< r\right\}$
As bólas abertas do plano verifican a mesma curiosa propiedade: dado un punto C da bóla de centro A e raio r, B(A,r), sempre poderemos atopar outra bóla centrada en C e contida na anterior. Moitas veces esta propiedade noméase como a veciñanza dun punto.
Estas e outras ideas serían xeneralizadas co concepto de "topoloxía". Unha topoloxía non é outra cousa que a colección de todos os conxuntos abertos dun conxunto. As bólas abertas dan lugar á topoloxía usual. A formulación moderna do significado de topoloxía é do ano 1917 e débese a Hausdorff (1868-1942). Segundo esta unha topoloxía τ nun conxunto X é unha colección de subconxuntos de X que chamaremos conxuntos abertos verificando que:
  1. X pertence a  τ 
  2. Φ, o conxunto baleiro, pertence a τ 
  3. A unión arbitraria de elementos de τ tamén están en τ :$U_{\lambda }\,\epsilon \,\tau , con\; \lambda\,\epsilon \,\Lambda \; \Rightarrow  \bigcup_{\lambda\epsilon \Lambda}U_{\lambda }\,\epsilon \,\tau$
  4. Se U e V pertencen a τ , $U\cap V$ tamén pertence a τ 
Diremos entón que o conxunto X coa topoloxía τ  é un espazo topolóxico.
Xa vimos que os conxuntos abertos son os elementos da topoloxía. Diremos que un conxunto é pechado se o seu complementario é aberto. Inmediatamente derívanse algunhas propiedades dos conxuntos pechados como a de que a unión finita de pechados dá un pechado ou a de que a intersección arbitraria de pechados é pechada.
Ademais da topoloxía usual dada polas bólas abertas, podemos dar outros exemplos de topoloxías como a topoloxía discreta, na que todo subconxunto de X é aberto ou a topoloxía trivial $\tau =\left \{ \varnothing ,X \right \}$ , formada únicamente polo baleiro e o propio conxunto X.
A topoloxía de Kolmogoroff para $\mathbb{R}$ vén dada polos intervalos $\left ( a,+\infty  \right )$ xunto con $\varnothing\,e\,\mathbb{R}$
Moitas veces non é doado dar unha descrición directa dos conxuntos abertos dunha topoloxía polo que se recorre ao concepto de base dunha topoloxía. β, un subconxunto de τ é base dunha topoloxía se  $dado\,U\,\epsilon \,\tau, x\,\epsilon \,U, \,existe\,un\, B\,\epsilon\, \beta\, tal\,que \, x\,\epsilon\,B\,\subset \,U$
Con este recurso podemos caracterizar unha topoloxía. Recollo os seguintes resultados do libro de Xosé M. Masa Vázquez, Topoloxía Xeral (USC, 1999) que non son nada difíciles de demostrar.
Proposición. Sexa β base dunha topoloxía en X. As seguintes condicións son equivalentes:
1. $U\subset X $ é aberto
2. Para cada punto x de U existe un aberto básico B tal que $x\,\epsilon\, B\subset U$
3. O conxunto U escríbese como unión de abertos básicos
Teorema. Dado un conxunto X e unha familia de subconxuntos β, β é base dalgunha topoloxía en X se e soamente se cumpren as dúas condicións seguintes:
1. $\bigcup _{B\epsilon \,\beta}B=X$
2. se $x \,\epsilon \,B_{1}\cap B_{2} $, sendo B1 e B2 elementos de β existe un $B_{3}\,\epsilon\, \beta $ con $x\,\epsilon B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}$

Facendo uso deste último teorema podemos comprobar que a seguinte colección de subconxuntos é unha base dunha topoloxía para $\mathbb{R}$, que dá lugar á chamada recta de Sorgenfrey:
$$\beta _{S}=\left \{ [x,y)\,/ x< y,\,\, x, y\,\epsilon\,\mathbb{R}\right \}$$
Para quen teña interese no tema, comentaremos que este último resultado xunto coa idea de veciñanza lévanos ao concepto de filtro, introducido por primeira vez por Frigyes Riesz (1889-1956) no ano 1908. Vén sendo unha colección $\mathfrak{F}$ de conxuntos non baleiros verificando:
  1. $F_{1}\, \, \epsilon \,\mathfrak{F}\, eF_{2}\,  \epsilon\, \mathfrak{F}\Rightarrow F_{1}\cap F_{2}\epsilon \,\mathfrak{F}\\$
  2. $se\, G\subset X e\ existe\ F\epsilon \mathfrak{F}\,tal\, que F\subset G \Rightarrow G\,\epsilon \,\mathfrak{F}$
Pero isto é outra historia.

Demostración topolóxica da existencia de infinitos primos
Recollín a demostración topolóxica da existencia de infinitos primos do blogue de Dan Ma. Comecemos recordando en que consiste unha sucesión aritmética de primeiro termo a e de diferenza d. Será a sucesión de números:
a,   a+d,   a+2d,   a+3d,   a+4d,   a+5d, ...
Aínda que en xeral os valores de a e d poden ser calquera, nós restinxirémonos aos números enteiros para a e aos naturais para d.

Adopetemos agora a seguinte extensión. No canto de considerar só os múltiplos positivos de d, collamos tamén os negativos:

...,   a-3d,   a-2d,   a-d,   a,   a+d,   a+2d,   a+3d,   ...

Denotemos este conxunto de números enteiros como $S\left ( a,d \right )=\left \{ a+nd /n \,\epsilon\,\mathbb{Z} \right \}$

S(a,d) ten a peculiaridade de que se pode deifinir tomando no canto de a calquera representante da sucesión aritmética extendida xa que do que se trata é de que, unha vez que escollemos un enteiro, coller tamén a saltos de distancia d todos os demais elementos, tanto cara a esquerda como cara a dereita. Isto é, se $S\left ( a,d \right )=\left \{ a+nd /n \,\epsilon\,\mathbb{Z} \right \}$

Veremos agora que a colección de todas as posibles sucesións aritméticas extendidas forman unha base topolóxica.

$$S(0,1)=\mathbb{Z} \Longrightarrow \bigcup _{a,d\epsilon\mathbb{Z}}S(a,d)=\mathbb{Z}$$

$$x\,\epsilon\, S(a,d)\cap S(a',b') \Longrightarrow x\,\epsilon\,S(x,d)\cap S(x,d') \Longrightarrow x\,\epsilon\,S(x,dd')\subset S(x,d)\cap S(x,d')$$

Ademais todo aberto non baleiro ten cardinal infinito xa que conterá un aberto básico S(a,d).

Outra característica desta topoloxía consiste en que os abertos básicos S(a,d) son tamén pechados:

$$x\,\epsilon\, S(a,d) \Longrightarrow x\not\equiv a (mod\,d)\Longrightarrow x\,\epsilon S(x,d)\subset X-S(a,d)$$

Como todos os enteiros teñen un divisor primo, agás o 1 e o -1 

$$\bigcup _{p\,primo}S(0,p)=\mathbb{Z}-\left \{ -1,1 \right \}\quad [1]$$

Pasemos a rematar a demostración da existencia dunha infinidade de primos. Farémolo por redución ao absurdo. Efectivamente, se houbese unha cantidade finita de primos, [1] sería unha unión finita de pechados polo que sería tamén un conxunto pechado, entón {-1,1} sería aberto. Pero sabemos que calquera aberto non baleiro debe ter infinitos elementos. Chegamos á contradición desexada $\square$. 

xoves, 22 de xullo de 2021

A serie harmónica e a dos inversos dos primos

 $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$$

Velaquí a serie harmónica. Unha das primeiras demostracións sedutoras que aprendías ao chegar á facultade era a de que esta serie é diverxente, isto é, que a súa suma é infinita. Máis precisamente, que unha serie diverxa significa que a sucesión de sumas parciais Sn ten límite infinito. Sn consiste na suma dos n primeiros termos da serie.

A demostración da diverxencia da serie harmónica atribúselle a Nicolás de Oresme (1323-1382). Consiste en mostrar que é maior que outra serie da que é evidente que tamén é diverxente:

Lema 1. A serie harmónica é diverxente

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{3} +\frac{1}{4}\right )+\left (  \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right )+...>\\>1+\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{4} +\frac{1}{4}\right )+\left (  \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right )+...=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...\quad\quad\square$$

Este é o único lema do ensino universitario que precisamos utilizar para a demostración que imos dar da existencia de infinitos números primos. Hai varias demostracións deste resultado; referencial é a de Euclides, que xa apareceu noutra entrada deste blogue. Outra moi celebrada é a dada por  Leonhard Euler (1707-1783) en 1737, que se fundamenta nunha idea que tamén usaremos aquí consistente en demostrar que a suma dos inversos dos primos é infinita. Fica claro que se isto é certo ten que haber infinitos números primos. Pode consultarse en "EL LIBRO de las demostraciones" de M. Aigner e G. Ziegler (Nivloa 2005) 

Quixen traer  por aquí unha nova demostración que recollín do recomendable libro "Demostraciones con encanto" (SM-RSME 2020) de Claudi Alsina e Roger B. Nelsen (ou o seu orxinal en inglés, "The charming proofs")

As progresións xeométricas trátanse en 3º da ESO. Imos considerar só o caso de números positivos. Cada termo obtense do anterior multiplicando por un valor constante r chamado razón. Neste curso debe traballarse algunha fórmula semellante á referida no lema 2

$$\mathbf{Lema2 \: (suma\:  dunha\: progresión\: xeométrica)}\:\sum_{k=0}^{n}r^{k}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\quad\quad\quad $$

Cando a razón é menor que 1 os termos desta progresión decrecen moi rapidamente. Tomando límite cando n⟶∞ obtemos a suma da serie xeométrica

$$\mathbf{Lema3 \: (suma\:  da\: serie\: xeométrica)}\:Se\: r<1:\sum_{k=0}^{\infty }r^{k}=\frac{1}{1-r}\quad\quad\quad \quad\quad\quad $$

Os logaritmos comezan a estudarse en 4º da ESO. A propiedade máis importante que verifican dinos que converten os produtos en sumas. Un caso de especial relevancia so os logaritmos neperianos. A notación desta función é ln.

$$\mathbf{Lema\:4.}\:ln\left ( A  \cdot B \right )=lnA  +lnB\quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad $$

Por fin enunciamos o teorema que nos interesa:

$$\mathbf{Teorema}\: \sum_{p\thinspace primo}^{}\frac{1}{p} \:diverxe \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad $$

Sexa n≥2 un número calquera. Consideremos o conxunto de primos p≤ n. Curiosamente a demostración non comeza cunha suma, senón cun produto.

$$\prod_{p\leqslant n}\frac{p}{p-1}=\prod_{p\leqslant n}\frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\prod_{p\leqslant n}\left ( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}} +...\right )=\prod_{p\leqslant n}\left ( \sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{p^{k}} \right )>\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$

Quizais a última desigualdade precise algo de aclaración. Todo natural k ≤ n ten unha descomposición única mediante factores primos p que evidentemente serán menores que n. Todos os inversos 1/k pódense obter como algún produto dos elementos da esquerda da desigualdade. Ademais destes inversos 1/k deben obterse moitos máis valores.

O logaritmo neperiano é unha función crecente polo que conserva as desigualdades. Tomando logaritmos na desigualdade anterior:

$$ln\prod_{p\leqslant n}\frac{p}{p-1}=\sum_{p\leqslant n}\left ( ln\,p-ln\left ( p-1 \right ) \right ) >ln\left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right )\quad [1]$$

Como sabemos que o logaritmo neperiano é a primitiva da función racional 1/x

$$\sum_{p\leqslant n}\left ( ln\,p-ln\left ( p-1 \right ) \right ) =\sum_{p\leqslant n}\int_{p-1}^{p}\frac{1}{x}dx<\sum_{p\leqslant n}\frac{1}{p-1}\leqslant \sum_{p\leqslant n}\frac{2}{p}\quad [2]$$

Combinando [1] e [2] temos

$$\sum_{p\leqslant n}\frac{1}{p}>\frac{1}{2}ln\left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right )\quad $$

Como a serie harmónica diverxe, a suma do membro da dereita desta desigualdade non está limitada cando n⟶∞, polo tanto o seu logaritmo neperiano tampouco o estará. En consecuencia a serie dos inversos dos números primos tamén será diverxente. ☐

Podería pensarse que para esta viaxe non se precisaban alforxas. Tendo a elemental demostración euclidiana, hai algunha razón para remexer en todas estas cuestións máis complexas? Pois si, haina. Agora sabemos que a serie dos inversos dos primos ten suma infinita. Isto, ademais da cardinalidade danos unha idea da densidade dos primos no conxunto dos números naturais, o Santo Grial da aritmética.  Estamos en disposición de afirmar que aínda que se rarifican segundo imos considerando naturais máis grandes, hai suficientes primos como para que a suma dos seus inversos non estea limitada. 

Teñamos presente que a serie dos inversos dos cadrados converxe. Determinar ese valor foi denominado problema de Basilea pois foi resolto (como non!) por Euler, que era natural desa cidade. A súa solución é unha das máis fermosas perlas das matemáticas, non só polo sorprendente resultado coa intervención do número π, senón tamén pola forma en que foi deducido. Euler parte do desenvolvemento en serie de Taylor do seno:

$$sen(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...$$

Despois divide por x, obtendo 

$$\frac{senx}{x}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+...\quad\quad [3]$$

As raíces desta función son da forma ±kπ. Velaí que podemos descompoñer a expresión en produto de factores atendendo a todas estas raíces:

$$\frac{senx}{x}=\left ( 1-\frac{x }{\pi} \right )\left ( 1+\frac{x }{\pi} \right )\left (1-\frac{x }{2\pi}  \right )\left (1+\frac{x }{2\pi}  \right )\left (1-\frac{x }{3\pi}  \right )\left (1+\frac{x }{3\pi}  \right )...=\\=\left ( 1-\frac{x^{2}}{\pi ^{2}} \right )\left ( 1-\frac{x^{2}}{ 4\pi ^{2}} \right )\left ( 1-\frac{x^{2}}{9\pi ^{2}} \right )...$$

Ao realizar este produto escollendo únicamente os coeficientes cadráticos obtemos a expresión:

$$-\left ( \frac{1}{ \pi ^{2}} +\frac{1}{4\pi^{2}}+\frac{1}{9\pi^{2}}+...\right )=-\frac{1}{\pi^{2}} \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$

Igualando isto co coeficiente cadrático de [3]:

$$-\frac{1}{6}=-\frac{1}{\pi^{2}} \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$

Obtemos a desexada suma:

$$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}$$

Agora ben, que esta serie teña suma poderíanos facer sospeitar que entre dous cadrados teña que haber polo menos un primo. Sorprendentemente este resultado aínda non está demostrado, nin refutado. Coñécese como a conxectura de Legendre

xoves, 15 de xullo de 2021

Marzo, mes das matemáticas; en galego

Marzo, mes das matemáticas. Sempre me pareceu un mal nome para esta enorme iniciativa pois sobarda con moito o citado mes. A rede de divulgación das matemáticas DIMa, a partir da proclamación por parte da UNESCO do 14 de marzo como Día das Matemáticas, decidiu participar cunha serie de eventos durante todo o mes. Pero parece que o asunto botou por fóra e o listado de actividades xa ocupa máis de medio ano e non se lle ve trazas de que teña finalización. 

Entre outros proxectos divulgativos hai unha gorentosa colección de exposicións. Agora podemos acceder á versión en galego dalgunha delas. En concreto:

O primeiro destes recursos lévanos á descarga do material desta exposición. O segundo é un portal no que podemos acceder á exposición Matemáticas para un mundo mellor, con 10 pósteres distintos xunto con outra exposición de 12 fotografías matemáticas comentadas.

De toda esta colección de recursos sabemos grazas a Elena Vázquez Abal, profesoa do Departamento de Matemáticas na Área de Xeometría e Topoloxía da USC quen comparte todo isto coa seguinte petición:

A descarga de todo este material é libre, o único que pedimos é que no caso de realizar unha exposición pública se nos informe (por motivo de recollida de impacto) ao enderezo marzomates@ull.edu.es do lugar e período da exposición e, se é posible, que nos envíen fotos. Se comparten información en redes da exposición, por favor, inclúan #MarzoMates DiMa - Divulgación Matemáticas F E C Y T ·

Sen dúbida ningunha son unha boa colección de recursos que permiten abordar novas miradas ás matemáticas. Tamén aparecen recollidos no web Retallos de matemáticas, no seu apartado de Material didáctico.

 

mércores, 7 de xullo de 2021

Grazas Poniachick!


Hai uns días, limpando o faiado atopei un pequeno fateixo de revistas que comprara cando era novo. Eran exemplares de Cacumen, unha revista mensual publicada por Zugarto,  editorial madrileña especializada en crucigramas e pasatempos. Sacáronse un total de 47 números entre os anos 1983 e 1986. 
Para os meus petos era moi cara. Con todo chegara a comprar algúns números.  A revista estaba adicada aos xogos. Nela podías encontrar relatos breves con algunha conexión lúdica, retos, curiosidades, cuestións, bandas deseñadas e tamén artigos sobre matemáticas recreativas e xogos. Moitas tardes teño pasado cun xogo de cartas recollido do nº 31 ! O xogo, chamado noventa e nove é facilmente adaptable á baralla española. Como curiosidade, nese mesmo número había un artigo sobre o "extravagante" libro das sucesións de números enteiros de Sloane. Daquela non existía internet.

Practicamente en todos os números había algún artigo e varias referencias ás matemáticas. Por exemplo no nº 34 explícase en poucas palabras a demostración mediante conos do teorema de Monge que foi obxecto doutra entrada neste blogue.

No nº 16 lera por primeira vez a demostración de Euclides da existencia de infinitos números primos. Só por estas poucas liñas xa pagaba a pena a revista. A extraordinaria demostración é unha referencia central das matematicas. Supoñamos, segundo nos indica Euclides, que só hai unha cantidade finita de números primos: 2, 3, 5, 7,...., p, onde lle chamamos p ao maior deles. Consideremos agora o número N=2・3・5・7・....・p + 1. N pode ser primo ou non selo. Se o é xa achamos un primo maior que p. Se non o é terá que ter algún divisor primo pero nin 2, nin 3, nin 5, nin 7,...., nin p son divisores de N xa que o resto da división de N por calquera deses números será 1. De aí que ese eventual divisor primo de N ten que outro maior que p que non estea na relación dada. En calquera caso ten que haber algún primo máis que os supostos, isto é, ten que haber infinitos.

Entre as páxinas de Cacumen tamén se poden achar xogos de Sam Loyd ou artigos de Henry Dudeney, mais cando se fala de xogos e de matemáticas ten que aparecer indefectiblemente Martin Gardner. Apareceron artigos seus nos exemplares nº 24,  nº 26, nº 27 e do nº 32. Neste último trata sobre a cicloide e no primeiro sobre o número π. En moitos outros hai referencias a contribucións súas. En concreto no nº 33 un tal Tadeo Monevin expón e resolve o seguinte problema do divulgador norteamericano:

Un número fantasmal. Unha dama, interrogada polo seu número de teléfono contestou de forma ben curiosa: "o número termina en 4, e se vostede corre o 4 cara adiante de forma que se converta no primeiro díxito, o novo número resulta ser 4 veces o orixinal". Cal é o número telefónico da dama?

Tadeo Monevín é o pseudónimo de Jaime Poniachick (1943-2011), un matemático nacido en Uruguai moi destacado no mundo das matemáticas recreativas. En Arxentina editou da Revista del Snark, que tivo unha curta vida entre os anos 1976 e 1978. Uns anos despois sería o responsable da publicación doutra revista, El Acertijo. Poniachick era un colaborador habitual de Cacumen. El é o autor dun artigo publicado no nº 39 que me quedou gravado a lume. Presentaba o seguinte problema:

O cinto da Terra. Imaxinemos un cordel cinguido á Terra sobre o ecuador. Se lle engadimos un metro, vai quedar algo folgado, canto? Axustemos agora outra o cordel arredor dunha laranxa e despois agregámoslle tamén un metro. O sorprendente é que agora a folgura do cinto da laranxa coincide coa da Terra.

A explicación é ben simple. A lonxitude da corda inicial é 2πr. Se lle engadimos un metro será $$2\pi r+1=2\pi \left ( r+\frac{1}{2\pi } \right )$$

polo que o raio da circunferencia corda extendida supera en 1/2π unidades ao raio da circunferencia inicial independentemente do valor do raio. No caso que nos ocupa, como incrementamos a lonxitude nun metro, o raio aumentaría uns 16 cm tanto no caso da Terra como no da laranxa.

A alma de Poniachick era profundamente matemática. Este artigo continúa preguntándose que pasaría se o cordel ata cadrados de distinto tamaño, ou trigángulos, ou hexágonos,.... Remata con outra perla:


O raíl dilatado. Consideremos un raíl recto de 500 m. de lonxitude fixado nos seus extremos. Coa calor do verán expándese 2 m formando unha xiba no seu centro. Se o arqueamento que se produce é simétrico, que altura estimarías que acadará? 

A resposta, como no caso anterior da Terra e a laranxa, é sumamente antiintuitivo. Poniachick indícanos que unha boa estimación desa altura poderiamos obtela supoñendo que no canto dunha curva temos dúas rectas. 

Quizais o lector coñeza xa a métrica do taxi, atribuída a Minkowski. Para obter a distancia entre dous puntos debemos desprazarnos polas horizontais ou verticais determinadas por eses puntos. A distancia entre os puntos A e B da seguinte figura será 5+3=8. Sobre isto escribe Poniachick no nº 35

A combinatoria dinos que podemos emparellar 4 puntos de 6 formas distintas. Na imaxe que se mostra a continuación están colocados 4 puntos de forma que as distancias entre eles sexan 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 

Sabemos que podemos emparellar 5 puntos de 10 formas distintas. Poderemos colocar 5 puntos sobre o plano de forma que coa métrica do taxi as súas distancias cubran todos os valores enteiros entre 1 e 10? A resposta é que non e a razón ten que ver coa paridade. Fagamos un esquema conectando 5 puntos entre si. O resultado é un pentágono coas súas 5 diagonais. Cada conexión entre dous puntos terá unha medida ben par, ben impar. Fixemos uns valores de paridade para as conexións co punto A: p indica par e i indica impar. No seguinte esquema aparecen en laranxa e a escolla aos puntos B, C, D e E foi p, i, i, i. Isto determina todas as demais pois cada vez que tracemos un triángulo ten que verificarse a "regra dos signos" pois, por exemplo, se entre B e A hai unha distancia par e entre A e C hai unha impar, A distancia entre B e C será impar.
Se facemos o reconto veremos que hai un total de 4 conexións pares e 6 impares cando o número de pares e impares entre os números 1 e o 10 distribúense equitativamente 5 a 5. Con outras escollas iniciais de paridade para o punto A volve a suceder o mesmo, de aí que sexa imposible resolver o problema con 5 puntos. Tamén é imposible facelo con 7 pero sí é posible con 6. Neste caso verás que se obterán todas as distancias entre 1 e 15 colocando eses 6 puntos sobre un rectángulo de dimensións 7🇽8.

No seu artigo do nº 40 Poniachick propón a seguinte cuestión:



Triangulación. Dentro dun triángulo grande distribuímos 5 puntos que, xunto cos 3 vértices do triángulo utilizamos para dividilo en 11 trianguliños. Cantos triganguliños conseguiremos distribuíndo 1000 puntos dentro do triángulo grande?


As ideas aquí recollidas non o foron cun criterio sistemático. Centreime nas revistas que aínda conservo e noutras que coñecía polas portadas. Poden consultarse todos os números de Cacumen nesta entrada do blogue Espejo lúdico. 

Ah! Unha última anotación. Os artigos aos que se fixo referencia ao principio que trataban sobre o libro das sucesións de Sloane, o teorema de Monge e a demostración euclidiana da existencia de infitnitos primos tamén eran da autoría de Poniachick. Ata que nestes días revisei estas revistas e me decatei disto non sabía que el foi unha das persoas que máis me influiu en que quixera estudar matemáticas. Grazas Poniachick!