quarta-feira, 13 de dezembro de 2017

Un problema para alumnos, un problema para profesores

Un problema para alumnos
Sexa a parábola y=x2
Consideremos nela os puntos P=(-1,1) e Q=(2,4). Trátase de determinar o punto R entre P e Q tal que o triángulo PQR teña área máxima.











Un problema para profesores
Se este problema aparecese proposto nun libro de texto, seguramente sería pensando en procurar a solución a partir da determinación da distancia entre o punto R e a recta que pasa por P e Q.  Na seiguinte imaxe vemos outro problema (este resolto) que nos indica un camiño a seguir para resolver o noso:

Do libro de Matemáticas I de Vicens Vives, edición 2015
E non hai outra alternativa?
A pregunta é retórica: si que a hai, podemos facelo obtendo a área do triángulo mediante determinantes. O problema é que os libros de texto preséntannos os determinantes co ollo posto nun único obxectivo, o de chegar á regra de Cramer. Así tenden indefectiblemente cara a definición alxébrica do determinante.
$$\left| \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & ... & { a }_{ 1n } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & ... & { a }_{ 2n } \\ ... & ... & ... & ... \\ { a }_{ n1 } & { a }_{ n2 } & ... & { a }_{ nn } \end{matrix} \right| =\sum _{ \sigma \in { P }_{ n } }^{  }{ sgn(\sigma )\cdot { a }_{ 1\sigma (1) }{ a }_{ 2\sigma (2) }....{ a }_{ n\sigma (n) } }  $$
Como esta definición é realmente enrevesada, acabamos dando na aula un sucedáneo da mesma consistente nun listado de regras prácticas de cáculo dun determinante (determinantes de orde dúas e regra de Sarrus) como a esencia do concepto. Trátase dunha presentación autoritaria e que se pode evitar.
Mesmo na wikipedia se destaca a definición dun determinante en relación ao seu significado como medida de área de paralelogramos (determinantes de orde dúas) ou de volume de paralelepípedos (para os de orde tres). Non ten sentido discriminar esta produtiva característica dos determinantes. Máis aínda, se a usamos como caráter definitorio, a restra sen sentido das propiedades dos determinantes aparecerá agora como un listado de resultados con evidentes comprobacións xeométricas:


$$det(\vec { i } ,\vec { j } )=1$$

$$det(\vec { u } ,\lambda\vec { u } )=0$$


$$det(\lambda \vec { u },\vec { v } )=\lambda \cdot det(\vec { u } ,\vec { v } )$$


$$det(\vec { { u } } +\vec { { v } } ,\vec { w } )=det(\vec { { u } } ,\vec { w } )+det(\vec { { u } } ,\vec { w } )$$
Despois de ter explicado varias veces determinantes como un ente misterioso cunha chea de propiedades estilo fómula de Sarrus, un compañeiro de departamento prestoume o libro de Vidal Abascal, Geometría diferencial, e foi precisamente aquí onde atopei a definición xeométrica de determinante:  "Sexan a1 e a2 dous vectores [no libro de Abascal os vectores veñen en letra grosa] calquera de E2 tomados nesa orde. Ao conxunto destes vectores correspóndelle un paralelogramo que os ten por lados e que é o lugar dos puntos P do plano tales que $$\overrightarrow { OP } ={ \lambda  }_{ 1 }{ a }_{ 1 }+{ \lambda  }_{ 2 }{ a }_{ 2\quad \quad \quad \quad  }0\le { \lambda  }_{ 1 },{ \lambda  }_{ 2 }\le 1$$
Figura 4
Chámase área alxébrica asociada a (a1, a2), un número alxébrico cuxo módulo é a área do paralelogramo precedente (ver figura 4) e cuxa orixe é positiva ou negativa segundo o conxunto dos dous vectores (a1, a2) é do mesmo sentido que o conxunto (e1,e2) [vectores da base canónica] ou de sentido contrario. Designaremos o número así definido pola notación D(a1,a2). Esta función de dúas vectores chámase determinante de orde 2" [a tradución e a cursiva son miñas]

Resolvendo o problema inicial
Chegados a este punto podemos resolver o problema inicial de (polo menos) dúas maneiras distintas. A primeira consiste en calcular a ecuación da recta PQ e despois usar a fórmula da distancia dun punto a unha recta.
A segunda, que é a que máis me gusta, consiste en calcular o determinante da matriz formada polos vectores PQ e PR, xa que, agás eventualmente o signo, ten o mesmo valor que o dobre da área do trigángulo que queremos maximizar.
Paréceme do máis interesante propoñer este problema na aula de 2º de bacharelato para ver cantos son quen de meterlle o dente ao problema, e en segundo lugar, darlle indicacións distintas a distintos alumnos para ver se poden seguir cada un dos camiños aquí indicados.

Ah! Se fixen esta entrada foi para ter unha entrada coas etiquetas de "álxebra", "xeometría" e "cálculo", non por outra cousa.

quarta-feira, 22 de novembro de 2017

Lambda 1

No IES do Porto do Son acaban de publicar un novo boletín de matemáticas, Lambda, elaborado por Macías, un dos profesores de matemáticas dese centro. Neste número temos un artigo sobre o famoso problema de Monty Hall, outro sobre o teorema das catro cores, un sobre a banda de Möbius e un último adicado ao Día da Ciencia en galego centrado na figura de Domingo Fontán. Complétase o boletín cuns divertimentos matemáticos. En definitiva, unha preciosa alfaia que me recorda as publicacións matemáticas do IES Otero Pedrayo (Mathesis e Dous Pi Erre)
Coñecín a Macías o outro día. Hai só unhas semanas que leva dando clases, e xa podemos ver estas primeiras follas cargadas do mellor espírito da divulgación científica. Neste sentido,  non é casualidade que faga referencia ao máis grande divulgador das matemáticas, Martin Gardner.
Estou encantado de poder compartir este novo vento fresco que trae boas novas para o sempre necesitado espazo das matemáticas en galego.
Lambda 1 by Revista Lambda on Scribd

sábado, 18 de novembro de 2017

II Xornadas de terminoloxía matemática


Co obxectivo de reflexionar sobre a situación da lingua galega en diversos aspectos das matemáticas, a Comisión de Normalización Lingüística de Matemáticas organiza as II Xornadas de terminoloxía matemática que se celebrarán no Salón de Graos da Facultade de Matemáticas da USC os vindeiros días 28/11/17 e 29/11/17.
No seu día, hai 4 anos,  xa informamos da celebración das I Xornadas de léxico matemático (curiosamente cambiou a terminoloxía na denominación das xornadas), da que saíu unha comisión para elaborou unha proposta de mellora do vocabulario matemático para o dicionario da RAG e da que esperamos, a non tardar moito, teñamos confirmación da propia sección de terminoloxía da Academia das súas conclusións finais.
Estas xornadas demostran que hai lingüistas, matemáticos e profesores que están interesados e implicados na normalización da lingua galega desde a súa actividade profesional a pesar das prohibicións impostas desde un goberno da Xunta que demostra acotío ser un enemigo declarado do galego.

Toda a información, e formalización da inscrición, aquí

quinta-feira, 9 de novembro de 2017

X. Matemáticas en galego

X. Matemáticas en galego from Cibrán Arxibai Queiruga

O primeiro que teño que dicir é que  uedei encantado co trato que recibín no centro. Grazas.
O pasado 03/11/17 fun ao famoso IES Félix Muriel (Rianxo) a falar sobre algo que non existe, as matemáticas en galego. Explícome a seguir.
O de famoso é polo seu ENDL, cargado de premios, sempre na fura de diante, un fervello de actividades, sempre con contido normalizador. Un exemplo para os que traballan na normalización lingüística desde as aulas.
O de que as matemáticas en galego non existen pode ser o preludio de que o galego deixe de existir. Quen está empeñado niso é a Xunta co seu funesto decreto mal chamado do plurilingüismo, que prohibe impartir aulas de matemáticas en galego en todo o ensino obrigatorio e que levou a que se aniquilaran todos os materiais didácticos da materia na nosa lingua, incluso para o bacharelato (aínda que non está prohibido nesta etapa, non hai editorial que publique nada de matemáticas en galego, ata este punto chega este Atila).
Ben, para ser exactos, si que hai recursos en galego. Temos o material EDAD e unha boa colección de aplicacións de geogebra (buscar e escoller idioma>galego). Disto, pero sobre todo da discriminación que sofre a nosa lingua, especialmente no ensino, e aínda máis especialmente no das matemáticas, foi do que tratei o pasado venres co alumnado de 1º da ESO do Félix Muriel. Para suavizar o tema, propúxenlles un xogo, que volvo a propoñer agora aquí: na 3ª diapositiva están marcados varios "x" (léase "xes"), pódese comprobar que tamén aparecen nas dúas primeiras. A cuestión é, en cantas, aparece ese símbolo?

O máis importante
Sobre o que lle contei a aqueles rapaces, quizais o máis importante é o da identificación de dúas formar de impartir clase, dous modelos didácticos. Un está representado polos os profesores que transmiten o saber do poder e que, por iso mesmo, non poden facer outra cousa que desprezar dalgunha maneira ao alumnado e á sociedade galega que o son de seu. No paradigma deste profesor está a transmisión do castelán e a exclusión do galego. O outro modelo é o que vive apegado á terra, aquel do que sabe que o principal non é a reprodución de toda unha restra de contidos, senón desmontar as capas de auto-odio e prexuízos. O ideal deste grupo represéntao un profesor que transmite a lingua e a cultura galegas.

Un texto de Vidal Abascal
Na preparación da presentación levei unha sorpresa moi agradable. Foi a recuperación dun texto que Enrique Vidal Abascal escribira nos anos 70 en La Voz de Galicia. Vidal Abascal adicou toda a súa vida a promover os estudos de matemáticas na universidade. Primeiro, no 1940,  chamou a atención do rector para que contrataran a Ramón Mª Aller e revitalizara a docencia das matemáticas despois dunha guerra que levara por diante ás persoas máis preparadas que tiñamos en Galicia. No ano 1957 convence ao Ministerio de Educación para crear a licenciatura de matemáticas en Compostela. Despois será un pioneiro na organización de congresos de ámbito internacional. Velaquí un retallo do mencionado artigo:
A situación do idioma galego é a seguinte: Durante preto de catrocentos anos ó galego obrigábaselle a falar castelán, na escola, na igrexa, no xulgado, na notaría... Durante catrocentos anos a alta burguesía avergoñábase de falar galego, e o idioma divide ós galegos en dúas clases sosciais, a dos señoritos que falan castelán e a dos proletarios e campesiños e pequenos burgueses que falan galego. Sábese ben cal foi a orixe disto, o obriga-los  Reises Católicos a ir vivir a Madrid á aristocracia galega. De todos é ben coñecida a anécdota do Conde de Altamira [ver conferencia de Cunqueiro]. O volver a Galicia os aristócratas falando castelán, as clases superiores quixeron imitalos. Despois de catrocentos anos desta situación a maioría do pobo galego segue falando galego. Menos matalos, fíxose todo o que se puido por desterra-lo galego. Obrigouse a fala-lo castelán en tódalas institucións docentes e colgaronslle o sambenito de lerdos e torpes ós que falaban galego, castigábanse na escola e nos seminarios os que se lle escapaba algo de galego, pasaron catro centos anos e o 70 por cento da poboación de Galicia segue falando galego; esta é a realidade que non se pode ocultar. O idioma de Galicia neste ano de 1979, segue sendo o galego. [...]Vexamos outras situacións similares as de Galicia. Dinamarca é un pequeno país de menos extensión que Galicia, e con unha poboación pouco maior, catro millóns de habitantes, o idioma danés só o falan no mundo eses catro millóns de persoas, pero Dinamarca cultiva ó danés por que é o soporte da súa personalidade, se alguén propuxese que se abandonase ó danés polo inglés, que estudian as clases cultas, ou polo alemán dos seus veciños, sería considerado un traidor ó se pobo.

domingo, 5 de novembro de 2017

As matemáticas, tamén en galego



Este é un dos tres vídeos ([1], [2] e [3]) cos que o ENDL do CPR Santa Juana de Lestonnac (Ferrol) celebra a xornada reivindicativa do Día da Ciencia en galego deste ano. Un listado de palabras do vocabulario científico e unha restra de declamantes das mesmas para reivindicar o uso da lingua galega nas materias científicas. Quixera chamar a atención que un dos rapaces do vídeo fainos partícipes da letra "xe", como a letra que fixo súa a matemática e que cómpre, nun sistema normalizado que reivindico acotío, que o profesorado repitamos nas aulas as ducias de veces que a temos que utilizar cada día.
Este vídeo tróxome á memoria aquel "Vocabulario de matemáticas" de Xosé Masa e Belén Fortes, editado no 1995, que sentaba as bases para unha lingua de calidade tanto nos libros de texto hoxe prohibidos, como na lingua oral, hoxe tamén prohibida, en todo o ensino obrigatorio para esta, e outras materias.
Un dos mestres que mellor nos contou como debiamos proceder tanto na escola como na vida foi Agustín Fernández Paz. Ben sabido é que el reclamaba a figura histórica de Rosa Parks como exemplo a seguir. Aquí e hoxe é ben pertinente lembralos pois ambos eran firmes defensores dos oprimidos. A lingua e dos dereitos humanos teñen neles dous referentes. O acoso lingüístico que sofrimos pais, profesores e alumnos por parte da Xunta que ten a encomenda de defender o noso maior sinal de identidade pero que se se vestiu coa casaca supremacista é inenarrable. Compría un exército de redactores para escribilo, aínda que unha soa frase da activista norteamericana sería bo resumo: "canto máis cedíamos e obedecíamos, peor nos trataban". Non digo máis, pero tampouco menos.
Encantáronme os vídeos. Parabéns.

terça-feira, 26 de setembro de 2017

Mapa das matemáticas

Non é o primeiro mapa que intenta dar unha visión panorámica dunha ciencia pois anteriormente xa recollimos a noticia da tradución ao galego do mapa da física polos mantedores do blogue Ciención de Breogán. Conscientes de que as posibilidades de acceder a materiais de divulgación científica en galego son escasas, Ciención de Breogán está comprometido na tradución deste tipo de traballos. Un labor que nunca agradeceremos o suficiente. Como xa fixeran no caso do mapa da física, ademais do póster subtitularon en galego o vídeo de Dominic Walliman que o explica. En todo caso terás que activar a Configuración > Subtítulos > Galego, e activar os subtítulos ao comenzar a reprodución.

terça-feira, 19 de setembro de 2017

O anódino problema 17

Desafortunadamente puiden comprobar en non poucas ocasións que a lectura de textos de matemáticas son a mellor ferramenta para acurtar as xornadas de acompañamento hospitalario na que o tempo se estarrica indefinidamente. Esta entrada ten que ver coa lectura dun texto que me acompañou non pouco tempo hai xa máis dun ano e que, por unha cousa ou pola outra, ata agora non soltei na arañeira.

8 de agosto en París, unha xornada de moita calor. Non se trataba dunha conferencia plenaria, ademais non era en francés. O relator tampouco chegaría a desenvolvela en toda a súa extensión, apenas tocaría a metade dos puntos do total. Con todo, nesa mañán do 1900, no anfiteatro da facultade de ciencias da Sorbona, pronunciouse unha das disertacións máis famosas da historia da ciencia dentro do marco do II Congreso Internacional de Matemáticas (CIM). David Hilbert, o seu autor, propoñía 23 problemas que, desde o seu punto de vista, serían cruciais para o desenvolvemento futuro das matemáticas. Tratábase dunha resposta a outra conferencia pronunciada no I CIM por Herin Poincaré. Se éste debuxara un panorama dunhas matemáticas que bebían da fonte da física e que estaban en condición de establecer cuestións irresolubles ou que posiblemente nunca se chegaran a resolver, Hilbert negaba a imposibilade da ignorancia nas matemáticas e presentou un programa no que se ofrecía unha ciencia autosuficiente.
Son moitas as razóns polas que Hilbert resultaba ser a persoa ideal para ofrecer as chaves da matemática que había de vir. Hilbert resolvera inesperadamente o problema de Gordan, aínda que o fixera dunha forma completamente inesperada. Se Gordan fixera o cálculo explícito dunha base finita de invariantes para unha forma binaria de calquera grao, Hilbert demostra a existencia xeral desas bases, pero sen dar unha demostración construtiva. De aí a famosa frase de Gordan ante este traballo: "isto non é matemática, é teoloxía!".
Hilbert elaborara un profundo e exhaustivo informe sobre a teoría de números e tamén publicara os Fundamentos da xeometría, un tratado en clave axiomática que se considera un clásico. Con toda esta bagaxe a intervención de Hilbert no II CIM tiña boas expectativas. Hoxe sabemos que as superou todas.
Os 23 problemas de Hilbert
un século despois
Un século despois, o experto en historia das matemáticas Jeremy Gray fixo un balance do sucedido neses 100 anos arredor deses 23 problemas.
Algúns deles son especialmente famosos e relevantes, incluso fóra do ámbito estrito das matemáticas. Citemos por exemplo a hipótese do continuo (problema 1) ou a cuestión da consistencia da aritmética (problema 2). No entanto aquí falaremos dun dos menos coñecidos, o problema número 17 desa lista. Como referencia comentaremos que Jeremy Gray só lle adica unha páxina escasa dun total das 320 páxinas das que consta o libro.

O problema 17
Antes de enunciar o problema temos que dar unha definición.
Sexa f un polinomio de n variables sobre un corpo R. Diremos que f é semidefinido positivo se $$\forall \left( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n } \right) \in { \Re }^{ n }f\left( { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },...,{ x }_{ n } \right) \ge 0$$ Sexa R un corpo. R(x1, x2, ...,xn) é o conxunto dos polinomios de n variables sobre R. R[x1, x2,....,xn] é o conxunto das fraccións alxébricas sobre R.
Problema 17. Será certo que todo polinomio f de R(x1,x2,....,xn) semidefinido positivo, poderá poñerse como suma de cadrados de R[x1,x2,....xn]?
Realmente Hilbert non enunciara o problema para un corpo calquera, senón específicamente para o dos números reais. Con todo o enunciado é curioso. fixémonos que Hilbert non pregunta se é posible poñer f como suma de cadrados de polinomios, senón como suma de cadrados de fraccións alxébricas. Tiña as súas razóns para formular así a cuestión. Verémolo.

Converter un produto nunha suma
Comencemos pensando en cuestións máis simples. Sabemos que todos os números positivos son cadrados. A cuestión será intentar estudar se sucede o mesmo cos polinomios semidefinidos positivos dunha soa variable. O polinomio x 2+1 non se pode escribir como cadrado doutro polinomio de grao 1. Entón haberá polinomios que teñan que escribirse como suma de varios cadrados. Para poder abordar o problema, comenzaremos escribindo os números positivos como suma de cadrados
A seguinte fórmula, $$\left( { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) \left( { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } \right) ={ \left( ac-bd \right)  }^{ 2 }+{ \left( ad+bc \right)  }^{ 2 }$$
de verificación inmediata,  demostra o
lema 1: un produto da suma de dous cadrados pódese poñer como suma de dous cadrados.

En xeral será certo o
lema 2: un produto  n sumas de dous cadrados pode poñerse como suma de dous cadrados.
Para comprobar este último procedemos por indución.
Está visto o caso dun produto de dous números que son suma de dous cadrados. Supoñámolo certo para un de n-1 factores e comprobemos que tamén o é cando consideramos n factores. Sexan a1, a2, ....an  os factores. Chamémoslle a=a1a2....an-1
$${ a }_{ 1 }^{ 2 }\cdot ....\cdot { a }_{ n-1 }^{ 2 }\cdot { a }_{ n }^{ 2 }={ { a }^{ 2 }\cdot  }{ a }_{ n }^{ 2 }$$
e polo lema 1, queda demostrado o lema 2 (se escribín todo isto dos lemas foi para poder poñer esta frase)
Convén ter presente que estes dous lemas non só se verifican no corpo dos números reais, senón que son certos en calquer anel conmutativo, en particular no anel dos polinomios dunha variable.

O caso dos polinomios dunha variable
Teorema 1: Sexa f(x) un polinomio dunha  variable sobre o corpo dos números reais. Se f é semidefinido positivo pode poñerse como suma dos cadrados de dous polinomios.
Vexamos por que isto é así. f terá varias raíces reais e/ou complexas.
Para cada raiz real c, de f, teremos un factor da forma x-c
Para cada raiz complexa a+bi, de f, como os seus soeficientes son reais, a-bi será tamén raiz polo que teremos factores da forma:
$$\left[ x-\left( a+bi \right)  \right] \cdot \left[ x-\left( a-bi \right)  \right] =\left[ \left( x-a \right) -bi \right] \cdot \left[ \left( x-a \right) +bi \right] ={ \left( x-a \right)  }^{ 2 }-{ \left( bi \right)  }^{ 2 }={ \left( x-a \right)  }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }$$
Todos estes factores estarán elevados a unha determinada potencia. Podemos agrupar todos aqueles que teñan potencia par. O produto de todos eles dará un polinomio que pode escribirse como un cadrado: g2.
Así teremos a seguinte descomposición de f:
$$f={ g }^{ 2 }{ f }_{ 1 }\cdot ...\cdot { f }_{ r }{ h }_{ 1 }\cdot ...\cdot { h }_{ s }$$
Onde cada f i (x)=x - ci e cada h j(x)=(x-aj)2+ bj2
Está claro que h j en calquera punto será positivo. Sen perda de xeneralidade podemos supoñer que os valores c1,c2 ,..., cestán ordenados de menor a maior. Nese caso, podemos escoller un punto intermedio α do intervalo (c1, c2). Entón  fi(α )>0 para i=,2,.....r e f1(α ) < 0 . Nese caso, en contra do suposto,  f(α ) < 0 . A conclusión é que na descomposición de f non pode haber polinomios do tipo fi
$$f={ g }^{ 2 }\cdot { h }_{ 1 }\cdot ...\cdot { h }_{ s }$$
Como os j son sumas de cadrados, a descomposición anterior pode reducirse a un produto de factores que son todos e cada un deles suma de dous cadrados. Polos lemas comentados anteriormente, calquera polinomio f poderá escribirse como suma de dous cadrados.▢

O enunciado do problema 17
Visto isto podemos estar áinda máis confundidos polo enunciado do problema 17. Para os polinomios semidefinidos positivos dunha variable non cómpren fraccións alxébricas pois non só se poden poñer como suma de cadrados de polinomios senón que incluso esa suma se pode reducir a dous sumandos. Pero... Hilbert chegara a un resultado de existencia de polinomios de dúas variables, semidefinidos positivos, que non se podían poñer como suma de cadrados de polinomios pero si como cadrados de fraccións alxébricas.
No eido das matemáticas estamos afeitos a ver teoremas de existencia aínda sen ter exemplos concretos nos que substentar esa certeza ontolóxica. Esta foi a situación durante sete décadas ata que  no ano 1967 o polinomio de Motzkin tomou corpo. Velaquí o temos:$$H(x,y)={ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }+1-3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }$$
Comprobar que é semidefinido positivo é moi sinxelo. Basta ter en conta que a media aritmética é sempre maior (ou igual) que a xeométrica e aplicarlla aos termos x4y2, x2y4 e 1:
$${ m }_{ a }=\cfrac { { x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }+1 }{ 3 } \ge { m }_{ x }=\sqrt { { x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }\cdot { x }^{ 2 }{ y }^{ 4 }\cdot 1 } ={ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }$$
Tampouco é moi complicado comprobar que H(x,y) non pode escribirse como suma de cadrados de polinomios de dúas variables (remítome á páxina 3 do libro de Fernando e Gamboa)
Agora estamos en disposición de entender que Hilbert non podía pedir máis cando expuxo o seu problema 17.

A solución
A solución viría da man de Emil Artin no ano 1926 dentro do ámbito dos chamados corpos reais e as clausuras reais. Dise que un corpo é real cando o -1 non pode poñerse como suma de cadrados ou, equivalentemente, cando unha suma de cadrados do corpo dará cero únicamente no caso de que todos os elementos sexan cero.
Establecer unha ordenación nun corpo E consiste en determinar un subconxunto, o"dos números positivos". Este subconxunto, chamémoslle P,  debe conter todos os cadrados e debe ser cerrado para a suma e o produto: $${ E }^{ 2 }=\left\{ { x }^{ 2 };x\in E \right\} \subset P,\quad P+P\subset P,\quad P\cdot P\subset P$$
Un subconxunto P destas características denomínase cono, e se non contén ao -1, dise que é un cono propio. Un par (E,P) será un corpo ordenado, basta definir x≤y mediante a relación y-x∈P. Establecer o conxunto P equivale a establecer unha relación de orde no corpo E.
Un caso especialmente interesante dos corpos reais é o dos cerrados reais, que son aqueles que non admiten ningunha extensión real. Empregando o lema de Zorn establécese que os cerrados reais son aqueles corpos que só admiten unha ordenación. Máis concretamente, un corpo cerrado real só admitirá a ordenación na que os positivos son os cadrados. Todo corpo ordenado admitirá unha única extensión cerrada real, será a denominada clausura real.
Para un corpo cerrado real pódense demostrar o teorema de Bolzano e o  do valor medio. Estes resultados serán necesarios para establecer a solución ofrecida por Artin ao problema 17 de Hilbert. Esta solución ofrécese mediante o seguinte resultado:
Teorema de Artin. Sexa R un corpo cerrado real. Todo polinomio f de R(x1,x2,....,xn) semidefinido positivo, poderá poñerse como suma de cadrados de R[x1,x2,....xn]