quinta-feira, 17 de dezembro de 2015

Interpretación da programación linear en 3D

Non comparto para nada a filosofía que hai detrás do deseño da materia de 2º de bacharelato Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais II. Está elaborada como unha materia puramente instrumental, o seu obxectivo fundamental é dotar de ferramentas matemáticas ao alumnado pero sen informar (e polo tanto, sen formar) sobre as razóns matemáticas que hai detrás de cada fórmula ou cada método que se pretende aprender. Deste xeito o que se nos está a pedir implicitamente ao profesorado é que impartirmos aulas de matemáticas como se fosen de relixión. Efectivamente, a metodoloxía subxacente ao currículo consiste nalgo así: "cando atopedes un problema deste tipo, hai que aplicar esta outra receita; amén". Os contidos son tan vastos que na práctica están coutadas outras metodoloxías que non sexan as de practicar acríticamente algoritmos. Un caso típico podémolo exemplificar co tema da programación linear.
Nos libros de texto preséntase o tema mediante un problema típico con dúas variables. De seguido resólvese. A todos os problemas que teñan unha estrutura similar aplicarémoslle o mesmo método. O Geogebra é, sen dúbida un moi bo aliado para relatar como funcionan estes procedementos. Xa que Aldán Santamarina, o matemático-normalizador de Moaña, fixo o traballo de nolo explicar, isto é o que ten que saber  o alumnado de 2º de bacharelato sobre a programación linear:



Para introducir a cuestión podemos partir dun exemplo simple. Consideremos a seguinte serie de restriccións:
$$x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 4 $$

Coa función obxectivo $$f(x,y)=2x+y$$
Para resolver o problema establecemos primeiro a rexión factible, T, determinada polas restriccións dadas.

Do que se trata é de determinar, de entre todos os puntos da rexión factible T cal é (cales son) aquel para o que a función obxectivo toma o maior valor. (Noutros problemas interesa o valor mínimo).
A solución do problema pódese consultar na seguinte aplicación. Ao resolver o problema aparécenos unha misteriosa familia de rectas paralelas (en vermello na aplicación). Para cada unha desas rectas a función obxectivo toma un valor. Movendo o esvarador veremos que o máximo dáse no punto B1=(4,0).


Pero o realmente interesante, a explicación de por que o método funciona, pode vir de engadir unha nova dimensión. Se consideramos a mesma serie de restriccións no espazo tridimensional, no canto de termos o triángulo T que forma a nosa rexión factible, obteremos unha rexión 3D, $$T\times \Re $$. Se no plano cada unha das ecuacións asociadas ás restricción daban lugar a recta, no espazo teremos planos.
A introdución dunha nova dimensión cobra todo o seu sentido ao estudar a función obxectivo como unha nova variable: z=f(x,y)=2x+y. Neste caso temos un novo plano que corta oblícuamente á rexión $$T\times \Re $$
Do que se trata é de determinar o punto que alcanza a maior altura. O punto é B=(4,0,8). A súa proxección sobre o plano XY é a solución que xa obtivemos e está formada polas dúas primeiras coordenadas, (4,0). A terceira coordenada é a que nos dá a altura.


Para cada valor de z temos un plano paralelo ao plano XY. Consideremos por exemplo o plano z=4 (en azul na seguinte aplicación), que cortará ao plano z=2x+y nunha recta. A proxección desta recta sobre o plano XY é esa misteriosa recta na que todos os puntos da función obxectivo valen 4; trátase da recta 2x+y=4. Non é por casualidade que a estas rectas tamén se lles chame rectas de nivel. Con todo, de entre todos os libros de texto que consultei, só nun facían referencia a esta denominación, aínda que non explicaban a razón da mesma.


O malo desta explicación é que quen mellor a pode entender é o alumnado da materia Matemáticas II, máis habituado ao traballo coa xeometría tridimensional. Pero precisamente no seu currículo non aparece a programación linear, xa que é un tema exclusivo do de Matemáticas Aplicadas ás CC.SS. II. No temario desta última materia non hai referencias á xeometría tridimensional, aínda que é moi recomendable facelo cando se trata a resolución de sistemas de ecuacións lineares. Claro que se un perde o tempo en todas estas referencias á xeometría terá moitas dificultades en tratar todo o temario. Cousas dos currículos.