É enorme a cantidade de vídeos de matemáticas subidos á canle de You Tube Tales no Camballón Films, do IES Marco do Camballón (Vila de Cruces). Había tempo que tiña ganas de falar dela e este vídeo que comparto aquí ofreceume a escusa perfecta. Aproveito para felicitar con verdadeira ansia aos autores da canle polo seu fantástico traballo e voume a atrever a engadir unha recomendación e unha petición. A recomendación é a de que fagan uso dunha lingua de calidade, como por exemplo o uso da denominación xe no canto da incorrección *equis. A petición é a de que continúen o seu labor.
Para quen non saiba do tema que se trata no vídeo quizais lle conveña, antes de darlle ao play, ler antes esta entrada.
Un libriño de Miguel de Guzmán
O problema dos soldados no deserto coñecíao dun libriño de Miguel de Guzmán, Cuentos con cuentas (Labor bolsillo Juvenil, 1984). Custárame 520 pesetas. Con bastante optimismo, penso eu, o texto estaba recomendado "a partir de 12 anos". Tempo despois foi reeditado en Nivola.
Neste texto preséntase a cuestión como a do xogo da "ra saltadora". Unha excelente explicación do xogo tamén a temos nun artigo de Adrián Paenza.
Partimos dun taboleiro cuadriculado todo o grande que queiramos, cunha liña horizontal destacada ou fronteira que divide a rexión superior da rexión inferior. En cada cela da rexión inferior podemos colocar unha ficha. Os movementos permitidos recordan ao xogo das damas cando se come: saltamos por enriba dunha ficha e movémonos ata a seguinte cela baleira. Só podemos movernos en horizontal ou vertical.
movementos
O reto consiste en colocar todas as fichas que queiramos por debaixo da fronteira co obxectivo de alcanzar a fila máis alta posible por enriba da fronteira realizando os movementos permitidos. Vemos de seguido un exemplo cunha disposición inicial de 4 fichas, coa cal o resultado final dos movementos pode ser a cela marcada cunha ficha clara.
Con 4 fichas podemos
alcanzar a segunda fila
Cantas fichas necesitamos (e como debemos colocalas) para alcanzar a fila 1 da rexión superior?
E para a fila 2? e para a 3? e para a 4? e para a n-ésima?
Un bo exercicio consiste en desentrañar estas cuestións. Para obter a resposta a algunha delas podes premer aquí abaixo, aínda que, como é habitual nestes casos, antes recoméndase reflexionar un pouco.
Na anterior entrada comenzáramos a comentar esta subxugante película de Trevor Fletcher do ano 1953. Continuemos.
O triángulo de Morley fóra de escena Jakob Steiner (1796-1873) dálle o seu nome á deltoide pois foi el que demostrou que é a envolvente das rectas de Wallace-Simson dun triángulo dado ABC. A circunferencia de Feuerbach é tanxente en tres puntos á deltoide.
Na seguinte applet de geogebra quería que se puidera ver dinámicamente a deltoide de Steiner ao ir modificando os vértices do triángulo. Para elaborala foime fundamental un resultado que non aparece na película de Fletcher, xa que o achou Miguel de Guzmán no ano 2001. Estoume referindo ao seguinte teorema:
O triángulo de Morley e o que forman os vértices da deltoide de Steiner están xirados 180º. En particular os lados deses dous triángulos son paralelos.
FDE é o triángulo de Morley
de ABC
Claro que quizais haxa que explicar o resultado de Frank Morley (1860-1937), que é o que nos dá a definición do triángulo que leva o seu nome:
Teorema de Morley. Dado un trigángulo calquera ABC, o triángulo formado pola intersección dos trisectores adxacentes dos ángulos de ABC é equilátero.
Tendo en conta este teorema e que o centro da deltoide coincide co do círculo de Feuerbach (de raio r) queda ben determinada a posición da deltoide. Ademais a deltoide pode inscribirse nunha circunferencia de raio 3r. A circunferencia circunscrita ao triángulo terá raio 2r. Ter presente que na seguinte aplicación podemos mover os vértices do triángulo. [minuto 1:22] A deltoide de Steiner
Steiner non só descubriu a deltoide senón que tamén demostrou que esta curva era unha hipocicloide que se xenera ao rodar unha circunferencia de raio r dentro doutra de raio 3r. Tamén se pode xenerar da mesma maneira facendo rodar unha circunferencia de raio 2r. O valor de r é o do raio da circunferencia de Feuerbach. Todo isto podémolo ver na seguinte aplicación. [minuto 2:08]
As ecuacións paramétricas da deltoide serán:
Escena final
Por simetría é fácil de ver que o simétrico dun punto P nunha circunferencia de raio R respecto dunha corda AB, estará noutra circunferencia do mesmo raio e coa mesma corda. Ademais se a circunferencia de partida é a exinscrita ao triángulo ABC e tomamos como corda un dos lados do triángulo, poñamos AB, a circunferencia simétrica á exinscrita respecto de AB pasará polo ortocentro. De aí que as circunferencias que pasan polo ortocentro e por dous puntos do triángulo, sexan congruentes á exinscrita.
Na escena final veremos ao punto P como ortocentro dun triángulo congruente con ABC, xirado 180º: A'B'C'. Cando P coincide cun dos vértices de ABC, poñamos que sexa A, a recta de Wallace-Simson coincidirá coa altura que parte de A no triángulo ABC (e de A' no triángulo A'B'C'). Cando P é diametralmente oposto na circunferencia circunscrita a un dos vértices, poñamos A, a recta de Wallace-Simson coincidirá co lado BC (=B'C' por ser tamén diametralmente oposto na circunferencia cincunscrita de A'B'C'). Tamén podemos ver como o triángulo así construído A'B'C' mantén os seus puntos sobre as tres circunferencias congruentes á exinscrita. Mareante. [minuto 5:58]
E xa que estamos metidos en fariña, dado un punto P na circunferencia exinscrita a un triángulo ABC, acabamos de falar do simétrico respecto dun dos lados AB. Chamémoslle P1 . Consideremos os simétricos de P respecto de BC e AC: P2 e P3 . Resulta que estes tres puntos son colineares co ortocentro.
A ATM (Association of Teachers of Mathematics) non só puxo á nosa disposición pola arañeira o filme Simson line do que tratamos aquí, pois podemos ver outros dous: The Cardioid e Four point conics Non estaría mal que alguén recollera a luva e perdera o tempo en comentalos. Eu disfrutei moito con este par de entradas xa que tiven a ocasión de facer referencia a unha boa restra de matemáticos: Robert Simson, William Wallace, Karl Feuerbach, Frank Morley, Jakob Steiner e Miguel de Guzmán.
