Paseo matemático e xeolóxico por Santiago

Julio Rodríguez Taboada explica moi ben en que consite un paseo matemático. Trátase de ir pola rúa observando os elementos matemáticos que hai polo percorrido que se realice. Javier Santiago Caamaño fai o mesmo, pero agora usando as gafas da xeoloxía nese paseo. Os dous acompañan ao alumnado do CPI Os Dices (Rois) e nós podemos facelo tamén mediante esta admirable peza audiovisual.
Simetrías, elipses, círculos, traxectorias dos planetas, catenarias, determinación da altitude sobre o nivel do mar, GPS, cantidade de persoas nunha manifestación na Quintana, o cadrado dunha suma, calendarios, espirais,... Todo iso respecto das matemáticas polo que hai que temos que engadirlle as rochas graníticas, o Pórtico da Gloria e a orixe das pedras que o forman, a construción en pedra, o efecto da auga e o sal no granito, as anfibolitas, o gas radón,...
Estou seguro de que o alumnado que participou da xornada aínda non é quen de apreciar en que medida son afortunados por poderen disfrutar desta xornada. Pero tamén teño a certeza de que, cando dentro duns poucos anos, volvan a remexer neste vídeo, fagan memoria do acontecido ou simplemente vexan outra vez as elipses polas rúas compostelanas, lembrarán con agradecemento todo canto aprenderon.

Tapando un burato: a ecuación cúbica

Boa parte do tempo e dos esforzos no ensino secundario están ocupados pola álxebra, quizais nun grao un tanto excesivo. Con todo, os estudos limítanse ás formas lineares e cuadráticas. Quedámonos ás portas do estudo das expresións cúbicas. Se un segue profundizando nestes estudos na universidade volverá sobre a cuestión da resolución de ecuacións, pero pegando un gran salto, xa no ámbito da teoría de Galois, xernerándose así un baleiro que dificilmente pode ter xustificación.  Despois de rematar a carreira eu aínda tardei moitos anos en tapar este burato. Deixo aquí algunhas notas con ese remendo.

E, de súpeto, apareceu Cardano.
A finais do século XV Luca Pacioli (1445-1517), nesa altura un dos matemáticos que con máis coñecementos sobre o tema, estaba tan convencido da imposibilidade da cuadratura do círculo como da resolución da ecuación cúbica. Por iso o Ars Magna, publicado no 1545, debeu causar unha profunda impresión na pequena comunidade matemática da época, xa que despois dunha apaixoante historia e non pouco traballo, ese estraño personaxe que foi Girolamo Cardano (1501-1576), non só ofrece a solución da ecuación cúbica senón que coa inestimable axuda de Ludovico Ferrari (1522-1565) tamén o fai coa de grao 4 [nota aparte: un dos libros máis divertidos que lin nunca foi a autobiografía de Cardano, recoméndoo vivamente]
Naqueles tempos non se tomaban en consideración os números negativos. Tampouco se expresaban as solucións das ecuacións mediante fórmulas. Os manuais explicaban o método de resolución nun caso particular e entendíase que aplicando o mesmo algoritmo tamén se poderían resolver outras ecuacións da mesma forma. Por estas razóns compría facer un estudo de múltiples casos nos que os coeficientes serían todos positivos, polo que nalgúns deses casos algúns coeficientes debían aparecer no segundo membro da ecuación. Así, Cardano distinguirá 13 casos posibles para a ecuación cúbica. Para nós isto resultaríanos demasiado pesado, así que desenvolveremos a solución da ecuación cúbica segundo Cardano pero actualizando as formas e as notacións.
Unha das grandes aportacións de Cardano foi que, dada unha ecuación cúbica xeral: $$a{ x }^{ 3 }+b{ x }^{ 2 }+c{ x }+d=0$$ mediante o cambio $$x=y-\frac { b }{ 3a } $$ podemos eliminar o termo de segundo grao. Por exemplo, se partimos da ecuación $$2{ x }^{ 3 }-30{ x }^{ 2 }+162x-350=0\quad \quad \quad \quad [7]$$
$$x=y-\left( \frac { -30 }{ 6 }  \right) =y+5$$
$$2{ \left( y+5 \right)  }^{ 3 }-30{ \left( y+5 \right)  }^{ 2 }+162\left( y+5 \right) -350=0$$
Botando contas queda:$${ y }^{ 3 }+6y=20\quad \quad \quad \quad [2]$$
Esta última expresión é das que Cardano denominaba "cubo máis cousa igual a número" e que hoxe escribiriamos $${ y }^{ 3 }+py+q=0\quad \quad \quad \quad [z]$$
No noso exemplo p=6 e q=-20
Sen perda ningunha de xeneralidade, basta resolver este tipo de ecuacións para podermos establecer a resolución dunha cúbica calquera. Con este propósito Cardano servíase do desenvolvemento do cubo dun binomio.
Consideremos o seguinte cubo de aresta u+v . O cubo desta suma desenvólvese a seguir

Cubo dun binomio u+v

$${ \left( u+v \right)  }^{ 3 }={ u }^{ 3 }+3{ u }^{ 2 }v+3u{ v }^{ 2 }+{ v }^{ 3 }$$
Pasando todo ao primeiro membro e sacando factor común 3uv no terceiro e cuarto sumandos:
$${ \left( u+v \right)  }^{ 3 }-{ u }^{ 3 }-3{ u }^{ 2 }v-3u{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 3 }=0\\ { \left( u+v \right)  }^{ 3 }-3uv\left( u+v \right) -{ u }^{ 3 }-{ v }^{ 3 }=0$$
Tomando: $$x=u+v\\ -p=3uv\\ -q={ u }^{ 3 }+{ v }^{ 3 }$$
Temos outra vez a expresión [z]: $${ y }^{ 3 }+py+q=0\quad \quad \quad \quad [z]$$
Cun novo cambio de variables: $$\begin{cases} t={ u }^{ 3 } \\ s={ v }^{ 3 } \end{cases}\quad \quad \quad \begin{cases} t+s=-q \\ t\cdot s={ u }^{ 3 }{ v }^{ 3 }={ \left( \frac { -p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } \end{cases}\quad \quad \quad \quad \begin{cases} t=-q-s \\ \left( -q-s \right) s={ \left( \frac { -p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } \end{cases}\quad $$
Resulta que a última ecuación é de segundo grao en s con solución $$s=\frac { -q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } } $$
De aí que $$t=-q-s=\frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } } $$
E así, por fin, obtemos a solución $$y=u+v=\sqrt [ 3 ]{ t } +\sqrt [ 3 ]{ s } =\sqrt [ 3 ]{ \frac {- q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } +\sqrt [ 3 ]{ \frac { -q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } }  } $$
No caso da nosa ecuación [2] temos que tomar p=6 e q=-20 polo que obtemos:
$$y=\sqrt [ 3 ]{ 10+\sqrt { 108 }  } +\sqrt [ 3 ]{ 10-\sqrt { 108 }  } $$
O realmente curioso é que Cardano enxergou detrás desta expresión o valor y=2 (!) que, efectivamente, será solución da ecuación [2].
Finalmente vemos como unha boa elección da denominación para esta ecuación anticipa a súa solución ;)... e o mesmo pasa coa [7].

Un problema de máximos

Determinar o ángulo no punto de corte

Unha das actividades que fago para organizar mellor as clases é a de revisar como e o que aprendera no seu día, incluso os sentimentos e as ideas que me provocaba o estudo deste ou daqueloutro tema.
Entre os obxectivos máis destacables do bacharelato temos o da introdución ao cálculo diferencial. Para iso requírense uns coñecementos bastante amplos de álxebra. Despois comenza unha escalada bastante dura. En primeiro lugar cómpre ter na faltriqueira unha certa gama de funcións, coas súas características máis importantes. O seguinte paso é o estudo dos límites e especialmente ás técnicas de cálculo de indeterminacións. Lembro que cando tivera que estudar o cálculo de límites quedara completamente desconcertado. Non lle vía a lóxica. Aínda máis, aquilo non me parecía matemáticas. O asunto aínda se puxera máis feo cando tivera que abordar o cálculo de derivadas. O concepto de derivada estaba encerrado dun límite que facía o asunto pouco menos que incomprensible. Con todo, os métodos para traballar coas derivadas non eran tan complicados como cabería esperar dese concepto tan encerellado.
Por fin o premio chegaba cando se podían resolver problemas realmente marabillosos, que só unhas semanas antes parecerían inabordables. Gardo un especial recordo dun no se que pedía calcular o ángulo que formaban dúas curvas no seu punto de corte. Pero había moitos máis, entre eles os clásicos de representación da gráfica de funcións.
Entre os problemas dos que máis gocei están os de optimización. Quizais o menos interesante foi polo que comenzamos; con todo é o que comparto aquí

Determina dous números que sumen 26 de forma que o seu produto sexa máximo.

Despois de toda esta volta de despiste, velaquí o problema que quería propoñer:

Consideremos todas as particións de 26, por exemplo 26 = 13+13 = 10+12+4 = 9+7+6+2 .... Achar a que nos dea o produto máximo.

Se un se centra no problema, verá que non é dificil de resolver. Incluso a súa resolución pode levarnos facilmente a facelo co caso xeral, o de determinar a partición de produto máximo para calquera natural. A  solución desta última cuestión é unha desas marabillas das matemáticas que nos reconcilian co espírito humano.