Só uns riscos nunha pedra

Unha das cousas que se aprenden nos primeiros curso da ESO é a relación entre as expresións fraccionarias e as decimais. Normalmente a expresión decimal será periódica. Os casos nos que o decimal é exacto son aqueles nos que a fracción ten un denominador da forma $2^{ m}\cdot5^{n}$. Consideremos este tipo de fracións, específicamente as máis simples, as de numerador 1. Isto é, calculemos os inversos dos números que teñan como factores só a 2 e a 5.

$$\frac{1}{2}=0'5\quad \frac{1}{4}=0'25 \quad \frac{1}{5}=0'2 \quad \frac{1}{8}=0'125\quad \frac{1}{10}=0'1$$

Decontado nos decatamos que os pares de recíprocos teñen como produto 10 ou unha potencia de 10. 

Se tivésemos unha base con máis divisores tamén teriamos unha colección de pares de inversos exactos moito maior. O certo é que a temos, ou que a tiña a antiga civilización mesopotámica. Lembremos que usaban un sistema de numeración no que usaban dous símbolos: o das unidades 𒑰=1 que podía agrupar ata un total de 9 elmentos para indicar as 9 primeiras cifras; as decenas representábanse con este outro símbolo 𒌋=10, que se podía agrupar ata un total de 5. Así 𒌍𒐜 indicaría o 38. A partir de 60 utilizaban un sistema posicional. O número 𒌋𒐘 𒌋𒌋𒐗 que nós escribiremos 14 23 representa no sistema decimal o número $14\cdot 60+23=823$. Outro exemplo, 𒐖 𒌋𒐖 𒐐𒐊 é en sexaxesimal o número 02 12 55, que traducido ao sistema decimal vén sendo $2\cdot 60^{2}+12\cdot 60+55=7975$.

Utilizando este mesmo tipo de escritura representábanse incluso números decimais en base 60 que nós escribiremos separando a parte enteira da decimal mediante o símbolo ";", aínda que nas tabelas babilónicas non se usaba ningún tipo de signo de separación. Así 𒐖𒑱𒑱 tanto podería representar 02 40, que é $2\cdot 60+40=160$ como 02;40 que sería $2+40\cdot \frac{1}{60}=2'\,66666...$. Os problemas de interpretación aumentan se temos presente que non tiñan símbolos para o cero. Polo tanto 𒐖𒑱𒑱  tamén podería interpretarse como 02 40 00 ou 00;02 40 ou incluso 02 00 40, ou 02; 00 40,... Non non debe estrañar toda esta ambigüidade. Teñamos presente que moitas das tabelas babilónicas non tiñan vontade de transmitir ningún tipo de mensaxe. Foron recuperadas dun contexto escolar onde primaba a oralidade. Nestas escolas normalmente había un recipiente con auga para poder borrar e reutilizar as tabelas de barro. 

Un escriba babilónico era quen de realizar as operacións aritméticas básicas: suma, resta produto e división. Para levar a cabo esta última multiplicaba polo inverso do divisor. Acháronse táboas con listas de inversos, o que dá a entender que se aprendían de memoria para facilitar os cálculos. Velaquí unha restra de inversos. Imitando aos babilonios evitamos os inversos que non dan valores finitos, isto é só amosamos os inversos daqueles números que son divisores de 60 ou dalgunha potencia de 60. 

Estritamente, os valores non son inversos xa que o produto de cada par non é a unidade, dá 60 (ou 01 00 en base sexaxesimal). Pero iso non é máis que unha cuestión de escala. Por exemplo, no caso do inverso do 24  bastaría con que considerásemos o 0;02 30 no canto de 02;30. O mesmo podemos facer co resto dos valores da táboa. (Un aviso adicional: todos os números que aparecen a partir de aquí están en base sexaxesimal)

As tarefas matemáticas non remataban neste punto. Un exercicio particularmente popular consistía en achar o inverso dalgún número non incluído nas táboas de inversos. Eleanor Robson, especialista en historia das matemáticas babilónicas, explica como debemos ler un destes exercicios, en concreto o dunha tabela do Museo Nacional de Iraq, IM 58446 procedente de Nippur e datada arredor do 1800 a.C. que podemos transcribir así: 

«2» indica que ese valor debe ser un erro. Os números escritos entre corchetes son engadidos do que se supón que debería haber en partes danadas ou perdidas da tabela. Como debemos interpretala? Pídese que calculemos o inverso de 17;46 40. Trátase de buscar unha cantidade que multiplicada por este valor nos dea como resultado 1 00. Imos abordar o problema mediante un razoamento de cortar e pegar, seguindo o procedemento habitual dos antigos escribas. Consideramos un rectángulo de área 1 00 con base 17; 46 40 polo que a altura é o inverso que nos piden

Os babilonios non usaban incógnitas

Para iso descompoñemos a base en dous segmentos, un de 17;40 e outro de 0;06 40. Como sabemos as táboas de inversos, tamén sabemos que 06 40 é o inverso de 9 . Así construímos un gnomon con dous rectángulos de área 1 00

Se multiplicamos 17; 40 ✕ 9 00 obtemos como resultado 2 39 00

En consecuencia o rectángulo completo ten unha área de 2 39 00 + 1 00 = 2 40 00

Polo tanto o rectángulo grande é 2 40 veces maior que o rectángulo orixinal (lembremos este que tiña área 1 00) e iso significa que 9 é 2 40 veces maior que x, o inverso buscado. Mirando na táboa de inversos vemos que o inverso de 2 40 é 0;22 30 así que x será o produto de 9 ✕ 0;22 30. O resultado é 3; 22 30. O problema está resolto. Pero os escolares babilónicos continuaban calculando o inverso do inverso, isto é agora volvían a aplicar o procedemento anterior para achar o inverso do 3; 22 30.

Primeiro multiplicamos por 2 para desfacernos do 30 final. Así 3; 22 30 ✕ 2 = 6; 45. Este valor non é un dos que teñamos un inverso coñecido, así que non nos queda outra que volver a aplicar o procedemento anterior. 

Partimos 6; 45 na súa parte enteira e na decimal 6; 45 = 6 + 0;45. O inverso de 0;45 si que o coñecemos, é 1 20. Formamos o que os xeómetras gregos chamaban "gnomon", unha área en forma de L.

Se agora multiplicamos 1 20 ✕ 6 = 8 e lle engadimos o rectángulo de 1 20 ✕ 0;45 = 1 00 obteremos un rectángulo de área 9 00.

A área total é 9 veces a do rectángulo superior polo que 1 20 é 9 veces o valor x buscado. Como o inverso de 9 é 6;40 sabemos que x = 1 20 ✕ 0;06 40 = 8;53 20. Lembremos que ao principio para librarnos das últimas cifras decimais de 3; 22 30, multiplicáramolo por 2, así que polo momento obtivemos o inverso do dobre. Para obter o inverso de 3; 22 30 teremos que multiplicar 8;53 20 ✕ 2 = 17; 46 40 que é a un tempo o inverso buscado e o número orixinal.

Tabela IM 58446
Recollida desta publicación

No transcurso desta entrada fun marcando en letra grosa os valores que aparecían na tabela IM 58446. Pódese comprobar que fomos percorrendo todos os que aparecen na reprodución desa tabela feita por Eleanor Robson ou na transcripción recollida máis arriba. En todo caso trátase dun titánico esforzo de tradución duns riscos feitos nun anaco de barro endurecido.

Case a modo de post scriptum este achegamento ás matemáticas babilónicas impresiona pola capacidade de manipulación do sistema sexaxesimal. Parece claro que xa no 1800 a.C. eran quen de pasar dun chanzo a outro de unidades numéricas sen ningunha dificultade e en calquera dirección. Isto implica que non tiñan problemas en tratar con cantidades decimais (aquí decimal significa non enteiro), o cal non pode deixar de sorprendernos porque unha vez esquecido o sistema de numeración  babilónico, ou polo menos abeirado ao uso das medidas angulares houbo que agardar ata que Simon Stevin (1548-1620) no seu De Thiende (1585) explicara os algoritmos para o cálculo coas fraccións decimais. Todo isto induce a considerar que a marabilla das matemáticas gregas, o piar sobre o que se asenta o coñecemento matemático occidental, foi tamén unha lousa que impuxo un moi restritivo concepto de número. É ben coñecido que os sistemas de numeración da Antiga Grecia eran aditivos, non posicionais, polo que a súa manipulación era máis pesada. Pero o máis destacable é a dicotomía entre a conceptualización dos números como entidades discretas fronte ás magnitudes xeométricas continuas.As primeiras cóntanse, as segundas mídense. Tan pronto como no V a.C. os pitagóricos observaron como se derribaba o seu universo construído baixo a máxima de "todo é número" coa constatación das magnitudes inconmensurables. A teoría das proporcións de Eudoxo salvou o problema e a un tempo afianzou a aposta pola xeometría dunhas matemáticas cultivadas pola clase ociosa e que desprezaban calquera aplicación práctica. Estes factores alonxaron máis aínda esta ciencia das medicións e do cálculo. Só o peso da historia permite explicar a tardanza europea en desenvolver os números decimais.

Escolma de problemas de Matemáticas na Raia

A raíz da última entrada estiven remexendo nos problemas propostos no concurso Matemáticas na Raia que organizan anualmente AGAPEMA e a APM desde o ano 2015. En cada edición propóñense 5 problemas que un grupo de alumnos de 3º da ESO (9º curso en Portugal) deben resolver durante 90 minutos. Dos 40 problemas propostos nas 8 edicións fixen unha escolla persoal que paso a compartir.

Para resolver este primeiro problema comecei a trazar segmentos sobre a imaxe para trazar unha liña de abordaxe ata que, de súpeto un aire de inspiración me trouxo de golpe a solución que presento aquí. Se queres intentar resolvelo por ti mesmo, non uses o esvarador!

2015. Problema 1. Circunferencia oprimida. Observade agora na figura seguinte a unha circunferencia "oprimida" e lede atentamente as súas lamentacións: "Son unha pobre circunferencia oprimida por 2 triángulos equiláteros. Son tanxentes a cada un dos lados do triángulo grande. E cada un dos tres vértices do triángulo máis pequeno atópase na miña circunferencia. Ás veces pregúntome cantos triángulos pequenos serían necesarios para igualar a superficie do triángulo grande. Que pensades vos Pensade e explicade o voso razoamento.

Quizais os rapaces que participaron na edición do 2016 quedaron algo despistados ao non ofrecérselle a altura dos botes de tomate. Pero a min foi outra cousa a que me chamou a atención. A ver se lle pasa o mesmo ao eventual lector desta entrada. Velaquí o enunciado:

2016. Problema 5. Fabricante de salsa de tomate listo.Un fabricante de salsa de tomate embala latas de 10 cm de diámetro en caixóns cadrados de 80 cm de lado. 

Como un estudo de mercado lle indicou que esas latas eran demasiado grandes, o fabricante decide cambialas por outras cilíndricas, como as anteriores e da mesma altura pero de 5 cm de diámetro. Para embalar as latas, o fabricante segue utilizando as mesmas caixas cadradas de 80 cm de lado, para aforrar cartos. 

A) As caixas que conteñen as novas latas pequenas, conterán máis ou menos salsa de tomate que cando estaban cheas de latas grandes? (Non se terá en conta o espesor das paredes das latas) 

B) E se as latas foran de 6 cm de diámetro. As caixas que conteñen as novas latas non tan pequenas, conterán máis ou menos salsa de tomate que cando estaban cheas de latas grandes?

 C) Cales deben ser as dimensións en valores enteiros do diámetro das latas, para que sempre usemos a mesma cantidade de salsa de tomate para encher as caixas?

Que? Nada estraño?

O problema está pensado para que se responda que podemos colocar 8×8=64 latas de 10 cm de diámetro ou 16×16=256 latas de 5 cm de diámetro para despois pasar a facer un traballo cos divisores de 80. Pero...non collerán máis latas dentro da caixa? Pénsao antes de facer scroll.

O certo é que si. Neste portal que recompilaba os mellores empaquetamentos de círculos no cadrado unidade, indica como se poden colocar 68 círculos de 10 cm e 280 círculos de 5 cm dentro do cadrado de 80×80.

Efectivamente, sen pretendelo fomos bater cun problema realmente difícil, tanto que aínda non ten solución. No libro Unsolved problems in geometry preséntase a cuestión de dúas formas distintas pois o problema do empaquetamento de círculos nun cadrado é equivalente ao do espallamento de puntos nun cadrado. Neste segundo caso trataríase de colocar n puntos nun cadrado unitario de forma que a menor distancia entre eles sexa máxima. Se unha colección de n puntos están a polo menos unha distancia d, eses puntos poden servir como centros de círculos de raio d para empaquetar n círculos nun cadrado de lado 1+d. Velaquí unha ilustración deste feito para o caso n=5.

A distancia d=$\frac{\sqrt2}{2}$

Como efecto colateral vou deixar proposto o seguinte problema:

Problema colateral. Determinar a máxima distancia á que se poden colocar tres puntos sobre o cadrado unidade

Na seguinte proposta explícase como calcular os arranxos de 5 elementos tomados de 4 en 4. Faise para calcular todas as posibles matrículas de catro cifras impares diferentes. O sorprendente é a pregunta. A pesar de ser un resultado de matemáticas elementais, nunca reparara nel.

2018. Problema 4. Matrículas dos automóbiles. Adriano interesábase polos números das matrículas dos automóbiles do seu país, máis concretamente por todos aqueles compostos por catro cifras impares todas diferentes, por exemplo, 3175. Adriano calculou a cantidade de tales números. En efecto, como existen cinco cifras impares 9, 7, 5, 3, e 1, existen cinco formas diferentes de escoller a cifra da dereita, catro formas de escoller a seguinte para que sexa diferente da anterior, tres para escoller a terceira e dúas para escoller a cuarta. Total: 5 x 4 x 3 x 2 = 120. Con todo, Adriano non chegou a calcular a suma destes 120 números. Non obstante, é posible facer este cálculo directamente. Como? Xustificade a vosa resposta

Na última proposta volvín a decidirme por non engadir a imaxe que ofrecían na edición de Matemáticas na Raia. Aquí ofrezo unha que dá máis pistas: que nos indican os puntos vermellos? 

Nesta ocasión esperaba que preguntaran por un punto dos eixos ou da diagonal do primeiro cuadrante como os que aparecen na ilustración. Non é o caso, así que supoño que isto despistaría a moitos dos que o abordaron. Cousas de que o ano 2018 non fose nin un cadrado, nin unha unidade menor que un cadrado, nin tan siquera a suma dun cadrado e a súa raíz. Un ano ben anódino para poñer problemas.

2018. Problema 5. Un robot circula por un plano coordenado da forma que marca o debuxo. 

Así, despois de chegar ao punto (7,0), avanzará unha unidade en horizontal ata o punto (8,0), logo subirá en vertical 8 unidades ata o punto (8,8) e retrocederá en horizontal oito unidades ata o punto (0,8), e así sucesivamente. 

Se cada unidade do plano mide 1 centímetro, en que coordenadas se atopará cando leve percorridos exactamente 2018 centímetros?

Outra vez, imaxe con axuda