por Andrés Ventas
Levo tempo a ler que non existe unha fórmula simple para a suma dos residuos cadráticos dos primos de tipo $p=4k+3$ (a falta dun nome estándar, vouna chamar $S_Q(p)$), de xeito parecido da fórmula para os primos de tipo $p=4k+1$ que é $S_Q(p)=k(4k+1).$Botando unha ollada na Oeis (secuencia A282035 Sum of quadratic residues of (n-th prime == 3 mod 4).) vin que había unha relación co número de clase $h(-p)$ (secuencia A002143) (ver Class Number).
Botando contas cheguei á fórmula $$\begin{equation} S_Q(p) = \bigg(k - \frac{h(-p) - 1}{2}\bigg)(4k + 3)\end{equation} \tag{1}$$ onde chamo $S_Q(p)$ á suma dos residuos cadráticos do primo $p$, e $h(-p)$ é o número de clase do primo $p$ negado. Esta fórmula en principio é simple e ten unha represenación similar á dos primos $4k+1$. Digo que en principio é simple pero non é tanto porque parece ser que calcular o número de clase é un tema complicado (embaixo comentarei algo aínda que por aí entro en materia que se me fai difícil)
Por exemplo:
$p=11, k=2, h(-p)=1, S_q(11) = 2*11 = 22.$ (os residuos cadráticos de $11$ son $1,3,4,5,9.$)
$p=71, k=17, h(-p)=7, S_q(71) = 14*71 = 994.$ (os residuos cadráticos de $71$ son $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 19, 20, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 36, 37, 38, 40, 43, 45, 48, 49, 50, 54, 57, 58, 60, 64$.
O que si que conseguimos é relacionar $h(-p)$ e $S_Q(p)$ e por tanto calquera avance no cálculo de unha delas facilitará o cálculo da outra. Despexando o número de clase temos $$ h(-p) = (2k+1) - \dfrac{2S_Q(p)}{p} \tag{2}.$$
Cando editei a fórmula na Oeis non conseguira a proba e apareceu como conxectura, só tiña un cálculo que se confirmaba en todos os primos $4k+3$ que probaba. Agora descubrín unha proba que describo seguidamente:
Proba
Podemos ver en Wolfram Mathworld que a fórmula para o número de clase do discriminante $d$ cando $d \lt 0$ sería: $$h(d) = -\dfrac{w(d)}{|d|} \sum_{r=1}^{|d|-1} \bigg(\frac{d}{r}\bigg)r, \tag{3}$$ onde $w(d)=2$ para todo $d$ distinto de $-2,-3$ e onde $\big(\frac{d}{r}\big)$ é o símbolo de Kronecker.
Agora podemos comprobar que $\big(\frac{-p}{r}\big)=\big(\frac{r}{p}\big)$ para todo primo $p=4k+3$ e así convertimos a fórmula do número de clase nunha fórmula simple que contén o sumatorio dos residuos cadráticos $\big(\frac{r}{p}\big)$.
Pola lei de reciprocidade cadrática temos $\big(\frac{p}{r}\big)\big(\frac{r}{p}\big)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{r-1}{2}}$ e por ser función multiplicativa temos que $\big(\frac{-p}{r}\big)=\big(\frac{-1}{r}\big)\big(\frac{p}{r}\big)$.
Tamén temos que $\big(\frac{-1}{r}\big)=1$ se $r=4k+1$ e $\big(\frac{-1}{r}\big)=-1$ se $r=4k+3$.
Para os números pares $\big(\frac{-1}{r}\big)=\big(\frac{-1}{m}\big)$ onde $r=2^{e}m$ sendo $m$ a parte impar e por tanto cumpre as mesmas condicións para $4k+3$ e $4k+1$.
Agora temos $\bigg(\dfrac{-p}{r}\bigg)=\bigg(\dfrac{r}{p}\bigg)$ se e só se $\bigg(\dfrac{-p}{r}\bigg)\bigg(\dfrac{r}{p}\bigg)=1$; por tanto se xuntamos todo deberíamos obter o valor $1$:
$$\begin{equation} \begin{aligned} \bigg(\dfrac{-p}{r}\bigg)\bigg(\dfrac{r}{p}\bigg)&=\bigg(\dfrac{-1}{r}\bigg)\bigg(\dfrac{p}{r}\bigg)\bigg(\dfrac{r}{p}\bigg) \\ &=\bigg(\dfrac{-1}{r}\bigg)(-1)^{\frac{4k+3-1}{2}\frac{r-1}{2}} \\ &=\bigg(\dfrac{-1}{r}\bigg)(-1)^{\frac{r-1}{2}} \\ &= \begin{cases} 1\cdot 1 = 1 & \text{se $r=4k+1$},\\ (-1)\cdot (-1) = 1 & \text{se $r=4k+3$}. \end{cases} \end{aligned} \end{equation} $$ Que era o que queríamos demostrar, para ter a fórmula cos símbolos de Kronecker como residuos e non residuos.
Agora se chamamos $S_N(p)$ á suma dos non residuos e, igual que antes, $S_Q(p)$ á suma dos residuos, a fórmula de $h(-p)$ fica como
$h(-p) = -\dfrac{1}{p} (S_Q(p) - S_N(p))$
pois na fórmula (3) para $p=4k+3$ temos $\sum_{r=1}^{|d|-1} \big(\frac{d}{r}\big)r = \sum_{r=1}^{p-1} \big(\frac{r}{p}\big)r= S_Q(p) - S_N(p).$
Así podemos escribir como $- p \cdot h(-p) = S_Q(p) - S_N(p)$ e tamén temos que $\dfrac{p(p-1)}{2}= S_Q(p) + S_N(p) $.
Sumando ambas as dúas:
$$\begin{equation} \begin{aligned} - p \cdot h(-p)+ \dfrac{p(p-1)}{2}&= 2S_Q(p)\\ - h(-p)+ \dfrac{(p-1)}{2}&= \dfrac{2S_Q(p)}{p}\\ - h(-p)+ \dfrac{(4k+3-1)}{2}&= \dfrac{2S_Q(p)}{p}\\ (2k+1) - h(-p) &= \dfrac{2S_Q(p)}{p}\\ h(-p) &= (2k+1) - \dfrac{2S_Q(p)}{p}\\ \end{aligned} \end{equation} $$
Fin da proba
Con esta proba temos a ecuación $(2)$ e simplemente despexando $S_Q(p)$ temos a ecuación $(1)$.
Atención. Se se queren investigar estas fórmulas para outros números e non saen as contas hai que ter en conta que o discriminante $d$ debe ser fundamental que ás veces pode ser $4p$, por exemplo para $p=-5$ temos $d=-20$ e $h(-p)=2$ que sae da diferenza dos símbolos de Kronecker para $d=20$ que dá $40/20=2$. (En wolframalpha podemos ver Table[KroneckerSymbol[-20,n],(n, 19])).
Algunhas notas
Símbolos de Kronecker, Jacobi e Legendre
O símbolo de Legendre é unha función multiplicativa con valores $\{1, -1, 0\}$ que é un carácter cadrático módulo un número primo impar $p$. O seu valor para un residuo cadrático (non cero) módulo $p$ vale $1$ e para un residuo non cadrático (un ''non residuo'') vale $-1$. O seu valor para cero é $0$.
O símbolo de Jacobi é unha xeneralización para calquera número impar e o símbolo de Kronecker é unha xeneralización para calquera número enteiro.
Por exemplo para $n=7$ os símbolo de Legendre serían $\bigg(\dfrac{1}{7}\bigg)=1, \bigg(\dfrac{2}{7}\bigg)=1, \bigg(\dfrac{3}{7}\bigg)=-1, \bigg(\dfrac{4}{7}\bigg)=1, \bigg(\dfrac{5}{7}\bigg)=-1, \bigg(\dfrac{6}{7}\bigg)=1, \bigg(\dfrac{7}{7}\bigg)=0$, e resultaría cíclico. Así $2$ é residuo cadrático módulo $7$ porque existe un número que elevado ao cadrado ten como residuo o $2$ con módulo $7$, isto é $3^2=9\equiv 2 \pmod{7}$. A representación en forma de fracción do símbolo pode ser confusa pero é a máis usada, tamén se podía representar $(2|7)=1$ e outras formas.
Como se viu na proba para o caso de primo $p=4k+3$ temos que o símbolo de Kronecker de $(-p|n)$ coincide co de Legendre de $(p|n)$, unha sorte de coincidencia que se consegue dando a volta e negando o caso habitual que sería o residuo dun número $n$ módulo un primo $p$, $(n|p)$.
Número de clase
Vou traducir directamente do documento de Mohammad Behzad Kang, MAT 7410 (Advanced Algebra II). The Class Number.
Definición 1 . Un corpo numérico (ou corpo numérico alxébrico) $F$ é unha extensión finita do corpo $Q$. Como tal, $F$ pódese ver como un espazo vectorial de dimensión finita sobre $Q$, con grao finito $[F : Q]$ sobre $Q$.
Se $F$ ten grao $2$ sobre $Q$, $F$ chámase corpo cadrático. Exemplos de corpos cadráticos son $Q(\sqrt{7}),Q(\sqrt{8})=Q(\sqrt{2}), Q(ω) = Q(\sqrt{−3})$, onde $ω$ é unha raíz primitiva cúbica da unidade, e $Q(\sqrt{−5})$. Todo corpo cadrático pode se escribir da forma $Q(d)$, onde $d \ne 0, 1$ é un enteiro libre de cadrados. Se $d \lt 0, Q(\sqrt{d})$ chámase corpo cadrático imaxinario, e se $d \gt 0, Q(\sqrt{d})$ chámase corpo cadrático real.
Se $F$ ten grao $3$ sobre $Q, F$ sería un corpo cúbico. Polo teorema do elemento primitivo, calquera corpo cúbico pode ser escrito da forma $Q(\mathfrak{a})$ para algún $\mathfrak{a} \in F$ tal que o polinomio mínimo de $\mathfrak{a}$ sobre $Q$ ten grao $3$. Por examplo $Q(\sqrt[3]{2})$ e $Q(\sqrt[3]{5})$.
Máis xeralmente, se $f(x)$ é un polinomio irredutíbel de grao $n$ sobre $Q$, daquela $F = Q[x]/(f(x))$ é un corpo numérico $n$ sobre $Q$. Polo teorema do elemento primitivo, $F$ pódese escribir da forma $Q(\mathfrak{a})$ para algún $\mathfrak{a} \in F$ tal que o polinomio mínimo de $\mathfrak{a}$ ten grao $n$ sobre $Q$.
Definición 2. O anel de enteiros $\mathcal{O}_K$ dun corpo numérico $K$ é o subanel de $K$ que consiste en enteiros alxébricos en $K$. É dicir, $\mathcal{O}_K$ é o conxunto de elementos $\alpha \in K$ tal que son unha raíz dun polinomio mónico en $\mathbb{Z}[x]$. Como tal, $\alpha \in K$ pertencerá a $\mathcal{O}_K$ se o seu polinomio mónico mínimo sobre $\mathbb{Q}$ está en $\mathbb{Z}[x]$. Estes elementos tamén se chaman elementos enteiros de $K$ sobre $\mathbb{Z}$, formando o peche de enteiros de $\mathbb{Z}$ en $K$, que contén a $\mathbb{Z}$ como un subanel. $\mathcal{O}_K$ pode verse como un módulo $\mathbb{Z}$ xerado infinitamente cunha base de enteiros $b_1; b_2; \ldots; b_n \in \mathcal{O}_K$ tal que calquera elemento en $\mathcal{O}_K$ pode escribirse como unha combinación linear de elementos de base con coeficientes en $\mathbb{Z}$.
Definición 3: Número de clase . O grupo de clases (a miúdo chamado grupo de clases de ideais para distinguilo de grupo de clases de formas) dun corpo numérico $K$ (ou de $\mathcal{O}_K$) é o grupo cociente $Cl_K$ (ou $Cl_{\mathcal{O}_K}$ ou $Cl(K)$) dado por $Cl_K$ = (ideais fraccionarios de $\mathcal{O}_K$)/(ideais fraccionarios principais de $\mathcal{O}_K$). A orde do grupo de clases chámase número de clase de K. ([12], Definición 12.9)
É importante ter en conta que o número de clase dun corpo numérico K é sempre finito. Os números de clase estúdanse normalmente no contexto dun corpo numérico, que é o noso foco principal. No entanto, pódese considerar o número de clase dun dominio xeral de Dedekind. .
Bibliografía
Steven Finch, Class Number Theory
Mohammad Behzad Kang, MAT 7410 (Advanced Algebra II). The Class Number
[12] Kimball Martin. Prime Ideals.
Timur Akman-Duffy THE CLASS NUMBER THEOREM
Ningún comentario:
Publicar un comentario