quarta-feira, 20 de janeiro de 2016

Éche así... a lotería de nadal


Éche así é un programa de divulgación científica da TVG. Mellor dito, é o programa de divulgación científica da TVG. En menos de media hora tratan varios temas de carácter científico que teñen que ver coa nosa vida cotiá. Ademais o programa ten vocación de entretenemento polo que sempre está presente o (bo) humor. 
O programa ten catro presentadores: un químico, Manuel Vicente (director de Efervescencia), un biólogo, David Rodríguez, un xeólogo, David Ballesteros, e unha actriz, Saamira Ganay. 
Neste vídeo que recollo aquí trátase o tema das filas. As filas dos supermercados, dos servizos públicos, pero tamén das redes de ordenadores, das telecomunicacións, vehículos que pasan por unha rúa ou unha gasolineira,... poden ser tratadas desde o punto de vista matemático. Hai unha parte da estatística, a teoría das filas, adicada a este tipo de problemas. O precursor desta rama do saber foi o matemático dinamarqués Erlang (1878-1929).
Erlang estaba estudando como determinar a probabildade de que unha chamada tivera que esperar por estaren todas as liñas telefónicas ocupadas.
Unha distribución estatística recibe hoxe o nome de Erlang. Ten como función de densidade:
$$f\left( x,k,\lambda \right) =\frac { { \lambda }^{ k }{ e }^{ -k\lambda }{ x }^{ k-1 } }{ \left( k-1 \right) ! }$$
Tomando k=1 e dividindo por k! obtemos a función de densidade da coñecida distribución de Poisson
$$\frac { 1 }{ k } f\left( x,1,\lambda  \right) =\frac { { \lambda  }^{ k }{ e }^{ -k\lambda  } }{ k! } $$
Esta distribución é a empregada para o cáculo da probabilidade de que ocurra un determinado número de chamadas nunha unidade de tempo, ou da chegada dun número de clientes a un supermercado. Tamén se pode obter como límite da distribución binomial, por iso tamén a podemos empregar para aproximar probabilidades de experimentos binomiais, expecialmente cando o número de experimentos é grande e a probabilidade de obter un éxito é pequena. Aínda que este tópico rara veces o vin tratado nos manuais de estatística.
A obtención da distribución de Poisson a partir da binomial pode facerse da seguinte maneira:
Sexa X unha variable aleatoria binomial de parámetros n e p. A probabilidade de obter un éxito é p e repetimos o experimento n veces. A probabilidade de obter k éxitos é
$$P\left( X=k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }$$
$$Sexa\quad p=\frac { \lambda  }{ n } \quad e\quad q=1-p=1-\frac { \lambda  }{ n } $$
$$P(X=k)=\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { \left( \frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ k }{ \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ n-k }=\frac { n\cdot \left( n-1 \right) \cdot ....\cdot \left( n-k+1 \right)  }{ k! } \frac { { \lambda  }^{ k } }{ { n }^{ k } } { \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ n-k }$$

$$P(X=k)=\frac { n }{ n } \frac { n-1 }{ n } ....\frac { n-k+1 }{ n } \frac { { \lambda  }^{ k } }{ k! } { \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ n }{ \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ k }$$

Tomando límite cando n se fai infinitamente grande e sendo λ e x constantes: as constantes poden sair fóra do límite e o límite dos primeiros produtos é 1 en todos os casos
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { n }{ n } \frac { n-1 }{ n } ....\frac { n-k+1 }{ n } \frac { { \lambda  }^{ k } }{ k! } =1\cdot 1\cdot ....\cdot 1\cdot \frac { { \lambda  }^{ k } }{ k! }  } $$
O límite dos outros dous factores:
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ n }={ e }^{ -\lambda  } } $$
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ -k } } =1$$
Asi, recompilando todos os resultados, finalmente teremos a prometida distribución de Poisson: $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ P(X=k)=\frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k } }{ k! }  } $$

Un exercicio
Estes días de atrás andaba todo o mundo a voltas coa tolería da lotería de nadal. Se todos os anos gastamos 100 € (que é máis que a media e moito máis do recomendable), e facémolo continuadamente durante, poñamos, 50 anos. Podemos ter esperanzas de que nos toque o gordo?
Como se sortean 100.000 números e compramos 5 décimos (a 20€), a probabilidade de ter éxito é 5100.000 , ou equivalentemente, 120.000 . 
A variable aleatora X que nos dá o número de veces que nos toca o gordo é unha binomial. Poderíamos calcular a probabilidade de non obter ningúnha vez o premio así:
$$P\left( X=0 \right) =\left( \begin{matrix} 50 \\ 0 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 1 }{ 20000 } \right) }^{ 0 }{ \left( \frac { 19999 }{ 20000 } \right) }^{ 50 }$$
A distribución de Poisson simplifícanos os cálculos:
$$\lambda =p\cdot n=\frac { 5 }{ 100000 } \cdot 50=\frac { 1 }{ 4000 } $$
A probabilidade de non obter ningún premio:
$$P\left( X=0 \right) ={ e }^{ -\frac { 1 }{ 4000 }  }=0.99975$$
Polo que só teremos premio cunha probabilidade de $$0.00025=\frac { 1 }{ 4000 } $$
Agora é o momento de pensar se convén gastar 5.000 € nesta inversión.

Volvendo ao caso do principio, o único malo do programa Éche así é o do día e hora de emisión: os domingos ás 10:30. Merecía emitirse no horario de máxima audiencia. Pero as cousas sonche así.
(Sempre temos a posibilidade de pegarlle un ollo no apartado de á carta, da TVG)