Cordas arquimedianas

Entre as páxinas máis sobranceiras de toda a historia das matemáticas están as do pequeno opúsculo sobre a Medida do círculo de Arquímedes, datado arredor do 225 a. C. O tratado contén só tres proposicións. A Proposición I di que a área dun círculo é igual á dun triángulo rectángulo onde un dos catetos é o raio e o outro a lonxitude da circunferencia. Para entender mellor a importancia deste resultado cómpre poñelo en contexto.

Daquela sabíase que a razón entre a lonxitude dunha circunferencia, $C$, e o seu diámetro, $d$, é sempre a mesma. Esta razón é o que hoxe coñecemos como a definición do número $\pi$.

$$\frac{C}{d}=\pi\quad\quad;\quad\quad C=\pi d$$

Euclides tamén establecera nos seus Elementos, concretamente na proposición XII.2, que a razón entre a área, $A$, dun círculo calquera e o cadrado do seu diámetro, $d$ era constante:

$$\frac{A}{d^{2}}=k\quad \quad;\quad\quad A=kd^{2}$$

Daquela, a Proposición I arquimediana explícanos que a constante para a circunferencia, $\pi$,  e a constante para o círculo, $k$, están relacionadas; resultado ao que hoxe estamos afeitos pero que daquela debeu ser toda unha revelación. Efectivamente, pola Proposición I a área do círculo pode calcularse como a área do triángulo anteriormente indicado:

$$A=\frac{1}{2}rC=\frac{1}{2}r\left( \pi d \right)=\frac{1}{2}r\left( \pi2r \right)=\pi r^{2}$$

Noutros termos: $A=\pi r^{2}=kd^{2}=k\left( 2r \right)^{2}=k\cdot4r^{2}\Longrightarrow k=\frac{\pi}{4}$

Seguramente o resultado máis coñecido do tratado Sobre o círculo sexa a Proposición III que nos dá aproximacións de $\pi$ tanto por exceso como por defecto. En concreto, establece que $3+\frac{10}{71}\lt \pi\lt 3+\frac{1}{7}$. Para establecelas Arquímedes fai uso do coñecido método exhaustivo ou método do agotamento. Faremos un comentario sobre cada unha destas dúas aproximacións.

Comezaremos pola primeira, $\pi\gt 3+\frac{10}{71}$. Para iso comézase por un hexágono inscrito na circunferencia. O cociente entre o perímetro do hexágono, $p_{6}$, e o diámetro pode ser unha primeira aproximación de $\pi$: $\pi\approx \frac{p_{6}}{d}$. Pero se temos un polígono con máis lados, a aproximación mellora. Arquímedes decidiu ir duplicando o número de lados: $6, 12, 24, 48$ ata $96$. El non desenvolve con detalle todos os pasos deste proceso. Iso será o que intentaremos nós nas seguintes liñas.

Un paso previo, as cordas.

Antes de entrar en materia debemos ter presente que nesa altura non existían senos, cosenos ou tanxentes. Os primordios desta etapa non chegarían ata o matemático indio Āryabhaṭa (V d.C.). Daquela, para mergullarnos na trigonometría arquimediana debemos falar de cordas dun ángulo central $\theta$

cordas

A corda do ángulo $\angle{BOC}=\theta$ será o segmento $CB$. Escribirémolo así: $Crd(\theta)=BC$. Sexa $R=OB$ o raio da circunferencia. Mediante a seguinte fórmula podemos relacionar as cordas ptolemaicas cos senos: $Crd\left( 2\theta \right)=2Rsen\theta$

Polo teorema de Pitágoras $Crd^{2}\left( 180-\theta \right)+Crd^{2}\theta=\left( 2R \right)^{2}$

Daquela $Crd\left( 180-\theta \right)=\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\theta}$. Quedémonos con esta última relación que utilizaremos máis adiante.

A corda do ángulo metade

Como xa se comentou, o obxectivo consiste en duplicar en cada paso o número de lados. Coñecida a lonxitude do lado dun polígono regular a cuestión consiste en obter a do lado dun polígono co dobre de lados. Se lle chamamos $\theta=2\alpha$ podemos reescribir o problema dicindo que, sabendo o valor da $Crd\left( 2\alpha \right)$, temos que determinar o valor da corda do ángulo metade, a $Crd\left( \alpha \right)$. Para iso axudarémonos da seguinte figura:

cordas e ángulo metade

Como $AD\bot BD$ e $BC\bot AC$ temos que $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}=\frac{\alpha}{2}$

Os triángulos $ABD$ e $ACF$ son rectángulos e teñen o mesmo ángulo agudo $\frac{\alpha}{2}$, daquela son semellantes, polo tanto verificarase a seguinte igualdade:

$$\frac{AC}{CF}=\frac{AD}{BD}\Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{CF}{BD}$$

Os triángulos $ABD$ e $BDF$ tamén son rectángulos e comparten o mesmo ángulo agudo $\frac{\alpha}{2}$: velaí que tamén son semellantes polo que:

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BF}{BD}$$

Sumando estas expresións obtemos:

$$\frac{AC+AB}{AD}=\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}=\frac{CF}{BD}+\frac{BF}{BD}=\frac{CF+BF}{BD}=\frac{BC}{BD}$$

Centrémonos na primeira e na última expresión. Temos que $AC=Crd(2\alpha)$, $AB=2R$, $AD=Crd(180-\alpha)$, $BC=Crd(2\alpha)$ e $BD=Crd(\alpha)$. Substituíndo estas expresións quédanos:

$$\frac{Crd\left( 180-2\alpha \right)+2R}{Crd\left( 180-\alpha \right)}=\frac{Crd\left( 2\alpha \right)}{Crd\left( \alpha \right)}$$

É o momento de lembrar a relación que obtivemos ao principio desta entrada, $Crd\left( 180-\theta \right)=\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\theta}$. Aplicámola á anterior igualdade.

$$\frac{Crd\left( 2\alpha \right)}{Crd\left( \alpha \right)}=\frac{\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}+2R}{\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( \alpha \right)}}$$

A expresión pide que a elevemos ao cadrado:

$$\frac{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}{Crd^{2}\left( \alpha \right)}=\frac{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)+4R\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}+4R^{2}}{4R^{2}-Crd^{2}\left( \alpha \right)}$$

E a botar contas:

$$\frac{4R^{2}-Crd^{2}\left( \alpha \right)}{Crd^{2}\left( \alpha \right)}=\frac{8R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)+4R\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}$$

$$\frac{4R^{2}}{Crd^{2}\left( \alpha \right)}-1=\frac{8R^{2}}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}-1+\frac{4R\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}$$

Eliminamos os $1$ que están restando nos dous membros e dividimos por $4R^{2}$:

$$\frac{1}{Crd^{2}\left( \alpha \right)}=\frac{2}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}+\frac{\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)}=\frac{2R+\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)}$$

Invertendo as fraccións e multiplicando posteriormente polo conxugado:

$$Crd^{2}\left( \alpha \right)=\frac{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)}{2R+\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}}=\frac{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)\left(2R- \sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)}{\left(  2R+\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}\right)\left( 2R-\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)}=$$ 

$$=\frac{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)\left(2R- \sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)}{4R^{2}-4R^{2}+Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}=\frac{RCrd^{2}\left( 2\alpha \right)\left( 2R-\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)}{Crd^{2}\left( 2\alpha \right)}$$

$$Crd^{2}\left( \alpha \right)=R\left( 2R-\sqrt{4R^{2}-Crd^{2}\left( 2\alpha \right)} \right)$$

Convén decatármonos que se a $Crd\left( 2\alpha \right)$ é o lado dun polígono de $n$ lados, a $Crd\left( \alpha \right)$ será o lado dun polígono de $2n$ lados. Este era o obxectivo perseguido.

Seguro que Arquímedes non traballou con esta última fórmula pero posiblemente tivera que realizar uns cálculos moi semellantes e a nós esta relación funcional tranquilízanos moito.

O deostado algoritmo do cálculo da raíz cadrada

Os primeiros anos que impartín clase entregaba boletíns con listas enormes de exercios. O normal era entregar un folio ateigado de exercicios ata as marxes. Podía ser, por exemplo un boletín de operacións con quebrados, todos moi semellantes, e con cálculos cada vez máis monstruosos, cargados de parénteses, corchetes e signos operacionais nos lugares máis insospeitados. Co tempo, e batendo no lombo de moitos sufridos alumnos, aprendín que esa metodoloxía non era, digámolo finamente, moi acaída. Máis alumnos podían aprender máis se os exercicios eran máis moderados tanto en cantidade como en dimensións. Ademais, é preferible facelos na aula porque a interacción cos compañeiros acaba sendo beneficiosa e ,se o número de alumnos non é excesivo (cousa cada vez máis infrecuente), podes axudalos moito máis efectivamente e en moitos máis aspectos. Durante eses primeiros anos tamén explicaba o algoritmo do cálculo das raíces cadradas. Non é que sexa moi complicado, pero se atendemos á confusa redación que nos ofrece a Galipedia, acabaremos tendo gañas de defenestrarnos antes de continuar sofrindo con ese desenvolvemento.

Fragmento do escuro e basto algortimo do cálculo da raíz cadrada, da Galipedia

Con verificable ánimo masoquista vou debullar deseguido este algoritmo. Con todo pode haber unha xustificación saudable para facelo. Resulta que hai uns días volvín a ler La cresta del pavo real de George Gheverghese Joseph (Pirámide 1991) e alí asaltoume unha agradable sorpresa que, evidentemente, en lecturas anteriores non me chamara o sufiente a atención. A cuestión é que o algoritmo do cálculo das raíces cadradas que eu explicaba na aula nos meus anos mozos é o mesmo que o que aparece no cuarto capítulo do texto máis importante da matemática china, Os nove capítulos das artes matemáticas. Trátase dun libro elaborado por escribas dos séculos I e II a.d.C que atraería a varios comentaristas, entre os que destacan Liu Hui (III d.C) e Yan Hui (XIII d.C).

O método chino facía uso de 4 filas. A primeira está reservada ao resultado. A segunda ben ao radicando ou ben ao número que utilizaremos como base dos cálculos en cada paso. Na terceira fila escribiremos un número auxiliar. Finalmente a cuarta fila utilizábase para marcar cunha variña a posición (unidades, decenas, centenas, millares, ...) que debía operarse en cada paso. Aínda que aparece consignada nas seguinte táboas, esta última fila para nós sería completamente precindible polo que non faremos referencia á mesma en todo o procedemento.

Trátase de calcular $\sqrt{N}=r$. Supoñamos que $r$ é un número de 3 cifras, $a, b$ e $c$. Daquela escribiremos $r=\alpha+\beta+\gamma$ con $\alpha=100a$, $\beta=10b$ e $\gamma=c$. $$N=r^{2}=\left( \alpha+\beta+\gamma \right)^{2}=\alpha^{2}+\beta\left( 2\alpha+\beta \right)+\gamma\left[ 2\left( \alpha+\beta \right)+\gamma \right]$$

Para facer a explicación máis clara, daremos axudarémonos un cálculo concreto. Anunciamos que buscamos a raíz cadrada de $N=71824$

$raíz$	$\alpha$
$número$	$N$	$7$	$1$	$8$	$2$	$4$
$cálculos$
$posición$	$1$

Separamos, de dereita a esquerda, as cifras de dúas en dúas. Daquela podemos determinar por tanteo o valor de $\alpha=200$. Calculamos $N-\alpha^{2}$ e $2\alpha$

$raíz$	$\alpha$			$2$
$número$	$N-\alpha^{2}$	$3$	$1$	$8$	$2$	$4$
$cálculos$	$\alpha^{2}$	4
$posición$	$100$	$1$

Agora calculamos $2\alpha=400$

      

$raíz$	$\alpha$			$2$
$número$	$N-\alpha^{2}$	$3$	$1$	$8$	$2$	$4$
$cálculos$	$2\alpha$		$4$
$posición$	$100$			$1$

Dividindo $N-\alpha^{2}$ entre $2\alpha$ poderemos determinar $\beta$ por tanteo: divido $31$ entre $4$ e, como o $7$ non serve, comprobo que $6$ será a cifra das decenas. Calculamos $2\alpha + \beta$ e $(2\alpha+\beta)\beta$. De $N-\alpha^{2}$ restamos $(2\alpha+\beta)\beta$

 

$raíz$	$\alpha + \beta$			$2$	$6$
$número$	$N-\alpha^{2}-\left( 2\alpha+\beta \right)\beta$		$4$	$2$	$2$	$4$
$cálculos$	$2\alpha+\beta$			$4$	$6$
$posición$	$10$				1

Convén decatarse de que $N-\alpha^{2}-\left( 2\alpha+\beta \right)\beta=N-\left( \alpha+\beta \right)^{2}$ Calculamos agora $2\left( \alpha+\beta \right)=520$

 

$raíz$	$\alpha + \beta$			$2$	$6$
$número$	$N-\alpha^{2}-\left( 2\alpha+\beta \right)\beta$		$4$	$2$	$2$	$4$
$cálculos$	$2\left( \alpha+\beta \right)$			$5$	$2$
$posición$	$10$				$1$

E repetimos o proceso: tanteamos o valor de $\gamma$ para que $2\left( \alpha+\beta \right)+\gamma$ multiplicado por $\gamma$ sexa o máis aproximado posible ao número da segunda fila. Neste caso $\gamma=8$

 

$raíz$	$\alpha + \beta+ \gamma$			$2$	$6$	$8$
$número$	$N-\left( \alpha+\beta \right)^{2}-\left[ 2\left( \alpha+\beta \right) +\gamma\right]\gamma$
$cálculos$	$2\left( \alpha+\beta \right)+\gamma$			$5$	$2$	$8$
$posición$	$1$					$1$

Teñamos presente que $N-\left( \alpha+\beta \right)^{2}-\left[ 2\left( \alpha+\beta \right)\gamma \right]\gamma=N-\left( \alpha+\beta+\gamma \right)^{2}$. Neste caso a raíz é exacta, polo que na segunda fila anúlanse todos os valores.

Intentouse dar unha explicación asentándonos na linguaxe alxébrica. Quizais, con todo, o procedemento se nos presente demasiado forzado. Quizais o vexamos demasiado lioso. As fórmulas precisan de transformacións que escurecen un pouco os pasos que fomos dando. Pode que por isto o algoritmo fose expulsado do Olimpo das matemáticas básicas, aquelas que debe coñecer todo cidadán. Velaquí que a interpretación xeométrica pode acabar redimíndoo por claridade e elegancia:
 

O claro e elegante algoritmo do cálculo da raíz cadrada

Os logaritmos de Napier

Esta entrada do blogue é consecuencia de dúas anteriores. Na primeira delas, Os logaritmos, presentei unha introdución ao concepto tal e como o fago na clase. Na segunda o título delataba o obxectivo. Efectivamente, en Buscando unha base para os logaritmos, partíase do feito de que as progresións xeométricas crecen moi rapidamente mentres que os seus logaritmos, que seguen as leis das progresións aritméticas, teñen un crecemento moito máis lento. Isto levounos a procurar bases moi próximas a $1$ pois teñen unha evolución máis moderada. Con todo non nos atrevéramos a usar bases con números inferiores á unidade. Esta foi a proposta orixinal de John Napier (1550-1617) que dá a coñecer en dúas publicacións: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1616) e a xa póstuma Mirifici logarithmorum canonis constructio (1619).

Nesa altura eran os astrónomos os máis necesitados da nova ferramenta dos logaritmos. Había que facer os cálculos a man e a realización de produtos e divisións eran unha pesada carga. Hoxe en día utilizamos as razóns trigonométricas tomando como base unha circunferencia de raio $1$. Daquela cada autor escollía o tamaño do raio. Como para obter os valores do seno empregaban valores enteiros, canto maior fose o raio, mellores podían ser as aproximacións dos valores que tomaba, Napier decídese por un raio moi grande, $r=10^{7}$. En concordancia con isto estableceu como base para os seus logaritmos un valor moi próximo, e menor, á unidade, $k=1-\frac{1}{10^{7}}=1-\frac{1}{r}$. Cal foi o seu procedemento? Napier parte dun esquema formado por dous puntos. Un deles móvese aritmeticamente desde $O$ polo que vai alcanzando os valores $Q_{1}$, $Q_{2}$, $Q_{3}$,... $Q_{n}$ a intervalos regulares de tempo $t$. Isto é, este punto mantén unha velocidade continua $r$. Ademais, como veremos, Napier tivo o acerto de escoller un valor de $t$ moi pequeno aproximándose ao que unhas décadas máis tarde serían os infinitesimais.Con estes vimbios establecemos sen dificultade que

$$OQ_{n}=n\left( rt \right)$$

Tomemos un segmento $AB$ de medida $r$. Un segundo punto móvese xeometricamente desde $A$, aproximándose ao outro punto $B$ a velocidades proporcionais á distancia a este último. Tomamos $AB=r=10^{7}$. Sexa $k$ a constante. A intervalos regulares de tempo $t$ o punto estará en posicións $P_{1}, P_{2}, P_{3},  ...,P_{n}...$ e neses puntos terá velocidades $v_{1},v_{2}, v_{3}, ..., v_{n}...$ 

Daquela:

$$\frac{BP_{n+1}}{BP_{n}}=\frac{v_{n+1}}{v_{n}}=k\quad\quad\quad BP_{n+1}=k BP_{n}$$

$$BP_{n}=BP_{n+1}+P_{n}P_{n+1}=BP_{n+1}+v_{n}t$$

Das igualdades anteriores dedúcese que:

$$BP_{n}=kBP_{n}+v_{n}t$$ $$\left( 1-k \right)BP_{n}=v_{n}t$$ $$v_{n}=\frac{1-k}{t}BP_{n}$$

Tomando $1-k=t$ temos que $v_{n}=BP_{n}$

Agora, por recursión, imos obter este último valor:

$$BP_{n}=kBP_{n-1}=k^{2}BP_{n-2}=...=k^{n}BP_{0}=k^{n}BA=rk^{n}$$

Nótese que, como xa comentaramos, $BA=r=10^{7}$. 

Napier define o seu logaritmo, ao que chamaremos como fai Juan Havil no  libro Gamma (Pricenton 2003), $NapLog$, da seguinte maneira: $NapLog(BP_{n})=OQ_{n}$, isto é  $NapLog\left[ rk^{n} \right]=n$. Aquí é onde Napier escolle o valor infinitesimal de $t$; toma $t=\frac{1}{r}=\frac{1}{10^{7}}$. Se traducimos a definición de $NapLog$ usando que $r=10^{7}$ e que $k=1-t=1-\frac{1}{10^{7}}$ obteremos a seguinte expresión:

$$NapLog\left[ 10^{7} \left( 1-\frac{1}{10^{7}} \right)^{n}\right]=n$$

Veremos de seguido que o logaritmo de Napier verifica ao seu xeito a propiedade esencial dos logaritmos, isto é, que transforma os produtos en sumas:

$$N_{1}=rk^{n_{1}}  \quad\quad ; \quad n_{1}=NapLog\left( rk^{n_{1}} \right)$$  

$$N_{2}=rk^{n_{2}}  \quad\quad ; \quad n_{2}=NapLog\left( rk^{n_{2}} \right)$$ 

$$N_{1}\cdot N_{2}=r\cdot r \cdot k^{n_{1}} \cdot k^{n_{2}}  =r\cdot r \cdot k^{n_{1}+n_{2}}$$

$$\frac{N_{1}\cdot N_{2}}{r}=r \cdot k^{n_{1}+n_{2}}$$

$$NapLog\left( \frac{N_{1}\cdot N_{2}}{r} \right)=NapLog\left( r \cdot k^{n_{1}+n_{2}} \right)=n_{1}+n_{2}=NapLogN_{1}+NapLogN_{2}$$

O logaritmo de Napier desde un punto de vista diferencial

A principios do XVII aínda non nacera o cálculo diferencial. Por iso o achegamento de Napier desenvolveuse polo camiño antes descrito. Que pasaría se a mesma situación descrita ao principio, a dos dous puntos, $Q$ movéndose aritmeticamente e $P$ facéndoo xeometricamente, se lle presentase a un matemático do século seguinte? A súa abordaxe podería vir da man das ecuacións diferenciais. Fagámolo agora así.

Sexa $y=OQ$, verificará $\frac{dy}{dt}=r$

Integrando: $y(t)=rt+c$ con $c$ unha constante que podemos achar mediante a condición inicial: $y(0)=c=r$. Velaí que $y(t)=rt$   [1]. Lembremos esta expresión.

Consideremos agora $AP=r-x$, verificará $\frac{d\left( r-x \right)}{dt}=x$ polo que $-\frac{dx}{dt}=x$. Separando as variables: $\frac{dx}{x}=-t$ e integrando: $lnx=-t+c_{1}$ con $c_{1}$ unha constante. De aí que $x\left( t \right)=e^{c_{1}}e^{-t}$. 

Chamémoslle $\rho=e^{c_{1}}$ a esta constante. Así escribiremos $x\left( t \right)=\rho e^{-t}$. Valorando esta expresión en $t=0$: $x\left( 0 \right)=\rho=r$. En conclusión:

$$x\left( t \right)=re^{-t}\quad\quad\quad [2]$$  

De [1]  obtemos $t=\frac{y}{r}$

De [2] obtemos que $\frac{x}{r}=e^{-t}$ entón $t=-ln\frac{x}{r}=log_{\frac{1}{e}}\frac{x}{r}$

Igualando 

$$\frac{y}{r}=log_{e}\frac{x}{r}$$ $$y=NapLog\left( x \right)=-r\cdot ln\left( \frac{x}{r} \right)\quad\quad\quad    [3]$$

Se agora redimensionamos os valores a unha circunferencia de raio $1$:   $X=\frac{x}{r}$ e $Y=\frac{y}{r}$ concluímos que $$\frac{y}{r}=log_{\frac{1}{e}}\frac{x}{r}$$

Equivalentemente, que o logaritmo de Napier é unha aproximación do logaritmo en base $\frac{1}{e}$:

$$Y=log_{\frac{1}{e}}X$$

Unha comparación

Querría facer un último comentario sobre todo o anterior. A expresión que obtivemos en [3] para o $NapLog$ é moi aproximada á que nos proporcionou Napier orixinalmente. Para comprobalo ímolas comparar. Lembremos a definición de Napier:

$$NapLog\left( x \right)=NapLog\left[ r\left( 1-\frac{1}{r} \right)^{n} \right]=n$$

Está claro que tomamos $ x = r\left( 1-\frac{1}{r} \right)^{n} $. Despexemos $n$ tomando logaritmos neperianos:

$$ \frac{x}{r} = \left( 1-\frac{1}{r} \right)^{n} $$ $$ln\left( \frac{x}{r} \right) = ln\left( 1-\frac{1}{r} \right)^{n} $$ $$ ln\left( \frac{x}{r} \right) = n \cdot ln\left( \frac{r-1}{r} \right)$$ $$n=NapLog\left( x \right)=\frac{1}{ln\left( \frac{r-1}{r} \right)} ln\left( \frac{x}{r} \right) \quad\quad [4]$$

Repetimos deseguido a fórmula obtida usando ecuacións diferenciais $$y=NapLog\left( x \right)=-r\cdot ln\left( \frac{x}{r} \right)\quad\quad\quad    [3]$$

En [3] e en [4] temos dúas fórmulas distintas para o $NapLog$, diferéncianse no coeficiente de $ln\left( \frac{x}{r} \right)$. Para comparalas calcularemos $q$, o cociente deses coeficientes:

$$q=-r:\frac{1}{ln\left( \frac{r-1}{r} \right)} =-r\cdot ln\left( \frac{r-1}{r} \right)=ln\left( \frac{r-1}{r} \right)^{-r}=ln\left( \frac{r}{r-1} \right)^{r}$$

Tendo en conta que $r$ é un número moi grande, para ter unha aproximación de $q$ calcularemos o límite no infinito da expresión á que se lle aplica o logaritmo neperiano. É un deses límites da forma $1^{\infty }$ que se traballan na materia de Matemáticas II, en 2º de bacharelato. $$\lim_{r \to \infty } \left( \frac{r}{r-1} \right)^{r}=e^{\lambda}$$

Con $\lambda=\lim_{r \to \infty }r\left( \frac{r}{r-1}-1 \right)=\lim_{r \to \infty }r\frac{1}{r-1}=1$

De aí que $q\simeq \lim_{r \to \infty } ln\left( \frac{r}{r-1} \right)^{r}=lne^{1}=1$

En efecto, o valor numérico de $q$ será:

$$q=ln\left( \frac{r}{r-1} \right)^{r}=ln\left( \frac{10^{7}}{10^{7}-1} \right)^{10^{7}}=1, 00000005000000333333358333335333333500000014285...$$

En conclusión, o logaritmo orixinal de Napier era case o logaritmo en base $\frac{1}{e}$

Buscando unha base para os logaritmos

Na anterior entrada falaramos de logaritmos en base 2, e fixéramolo introducindo a seguinte táboa:

$n$	$2^{n}$	$n$	$2^{n}$	$n$	$2^{n}$	$n$	$2^{n}$
$0$	$1$	$8$	$256$	$16$	$65\,536$	$24$	$16\,777\,216$
$1$	$2$	$9$	$512$	$17$	$131\,072$	$25$	$33\,554\,432$
$2$	$4$	$10$	$1\, 024$	$18$	$262\,144$	$26$	$67\,108\,864$
$3$	$8$	$11$	$2\, 048$	$19$	$524\,288$	$27$	$134\,217\,728$
$4$	$16$	$12$	$4\,096$	$20$	$1\,048\,576$	$28$	$268\,435\,456$
$5$	$32$	$13$	$8\,192$	$21$	$2\,097\,152$	$29$	$536\,870\,912$
$6$	$64$	$14$	$16\,384$	$22$	$4\,194\,304$	$30$	$1\,073\,741\,824$
$7$	$128$	$15$	$32\,768$	$23$	$8\,388\,608$	$31$	$2\,147\,483\,648$
$n=log_{2}N$	$N=2^{n}$	$n=log_{2}N$	$N=2^{n}$	$n=log_{2}N$	$N=2^{n}$	$n=log_{2}N$	$N=2^{n}$

Para afacernos ao concepto de logaritmo propuxeramos algúns problemas introdutorios. Vou resolver os dous últimos pois son os únicos nos que hai que traballar con números que non aparecen nesta táboa. Lembremos os seus enunciados:

5. Calcula $ 129 \cdot 127$ 

6. Calcula $154 \cdot 8\,744$ 

Para abordar o exercicio 5 basta decatarse de que $129\cdot 127=\left( 128+1 \right)\left( 128-1 \right)=128^{2}-1$

Como o $log_{2}128=7$ temos que $log_{2}128^{2}=log_{2}\left( 128\cdot 128 \right)=log_{2}128+log_{2}128=2\cdot log_{2}128=2\cdot 7=14$. 

Noutras palabras: $128^{2}=\left( 2^{7} \right)^{2}=2^{2\cdot 7}=2^{14}=16\,384$. De aí que  $129\cdot 127=128^{2}-1=16\,384-1=16\,383$

Ademais, nesta resolución enxergamos outra propiedade dos logaritmos, a que nos indica cal é o logaritmo dunha potencia, e que podemos enunciar así:$$log_{2}M^{k}=k\cdot log_{2}M$$

Centrémonos agora no exercicio 6, que consiste en calcular o produto $154\cdot 8\,744$ facendo uso dos logaritmos en base 2. A pouco que reflexionemos no problema decatarémonos de que non se lle ve forma de reducir estes números aos que aparecen na táboa. Teñamos presente que a potencias de 2 máis próximas a 154 é $2^{7}=128$ pero $2^{8}$ xa é 256. Algo semellante sucede co outro factor, $8.744$. Resulta que $2^{13}=8\,192$ pero $2^{14}=16\,384$. Fica claro que se queremos usar os logaritmos para simplificar o cálculo de produtos e divisións, temos que procurar que a táboa de logaritmos non presente eses ocos tan grandes. Pero no canto de ir na dirección que marcaría a resolución deste problema, imos dirixirnos antes en dirección contraria. 

Os logaritmos decimais

Tal e como dixemos, comezaramos presentando a táboa cos logaritmos en base 2. Porén podiamos ter escollido calquera outro número como base. Quizais unha das primeiras ideas que se nos veña á cabeza sería elaborar unha táboa logarítmica en base 10 pois esta é a base do noso sistema de numeración. Neste caso, o resultado sería o seguinte:

$n$	$10^{n}$
$0$	$1$
$1$	$10$
$2$	$100$
$3$	$1\,000$
$4$	$10\,000$
$5$	$100\,000$
$6$	$1\,000\,000$
$n=log_{10}N$	$N=10^{n}$

Entre as primeiras táboas de logaritmos publicadas xa comezou a destacar a tendencia a usar a base 10. Así o fixo Henry Briggs no 1617, 1624 e 1633. Tamén foi o caso de Edmund Gunter no 1620 e 1624 e de Adriaan Vlacq no 1628. Tanto é así que cando se usa esta base normalmente non se indica na notación do logaritmo. Deste xeito o $log_{10}M$ escribirase simplemente $log M$.

Resulta case inmediato comprobar que as propiedades dos logaritmos se verifican independentemente da base. Recompilando o tratado ata agora teriamos as seguintes:

$$log_{a}\left( M\cdot N \right)=log_{a}M+log_{a}N$$  $$log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M-log_{a}N$$

$$ log_{a}M^{k}=k\cdot log_{a}M$$

A estas propiedades convennos engadir unha máis, a denominada fórmula do cambio de base, que relaciona o logaritmo dun número en calquera base co logaritmo decimal dese mesmo número: $$log_{a}M=\frac{log\, M}{log\, a}$$

Esta fórmula indícanos que ten pouca importancia a base escollida. Se quixeramos elaborar unha táboa dos logaritmos nunha base $a$ calquera, bastaría con multiplicar por $log\, a$ os logartimos da táboa anterior, a dos logartimos decimais. En conclusión, se temos os logaritmos nunha determinada base, obter os logaritmos noutra calquera é inmediato. 

Así e todo, despois de botarlle un ollo á táboa dos logaritmos en base 10,  decontado nos decatamos que tomar 10 como base foi moi mala idea porque os saltos entre os valores de $N$ son enormes. As diferenzas entre as potencias de $2$ eran moito menores. Polo tanto convén escoller unha base máis pequena. Claro que non debemos baixar ata o 1 porque todas as súas potencias son tamén $1$. Probemos cun número moi pouco maior, $1'1$. Velaquí a súa táboa:

$n$	$1'1^{n}$
$0$	$1$
$1$	$1'1$
$2$	$1'21$
$3$	$1'331$
$4$	$1'4641$
$5$	$1'61051$
$6$	$1'771561$
$n=log_{1'1}N$	$N=1'1^{n}$

A cousa ten mellor pinta. E se avanzamos neste sentido? Consideremos bases aínda menores, por exemplo $1'001=1+\frac{1}{1.000}$

$n$	$1'001^{n}$
$0$	$1$
$1$	$ 1'00\textbf{1}$
$2$	$1'00\textbf{2} 00\textbf{1}$
$3$	$1'00\textbf{3}00\textbf{3}00\textbf{1}$
$4$	$1'00\textbf{4}00\textbf{6}00\textbf{4}00\textbf{1}$
$5$	$1'00\textbf{5}0\textbf{10}0\textbf{10}00\textbf{5}00\textbf{1}$
$6$	$1'00\textbf{6}0\textbf{15}0\textbf{20}0\textbf{15}00\textbf{6}00\textbf{1}$
$n=log_{1'001}N$	$N=1'001^{n}$

Aquí teriamos unha sucesion bastante anódina de valores se non fose polos que aparecen destacados en grosa. Efectivamente son os números combinatorios. Sen facer os cálculos aventuraría que a seguinte cifra da columna da dereita estaría formada polos valores da séptima fila do triángulo de Pascal intercalando un $0$ entre eles e grafándoos sempre con dous caracteres, engadindo un $0$ cando sexa necesario como o $07$ neste caso : $1'00\mathbf{7}0\mathbf{21}0\mathbf{35}0\mathbf{35}0\mathbf{21}00\mathbf{7}00\mathbf{1}$

Agora o crecemento dos valores da columna da dereita é tan lento que os ocos intermedios son realmente pequenos. Claro que isto produce un desacompasamento entre os valores de $n$ (os da primeira columna) e os das correspondentes potencias $N$ (os da segunda columna). Por exemplo para alcanzar o valor $2$ na columna da dereita temos que darlle a $n$ o valor $694$. Podemos intentar corrixir este desacompasamento mediante a seguinte observación:

$$\left( 1'001^{1000} \right)^{\frac{a}{1000}}=1'001^{\frac{1000a}{1000}}=1'001^{a}$$

Así teremos a seguinte táboa que nos presentan os logartimos en base $1'001^{1000}$

$n$	$\left( 1'001^{1000} \right)^{n}$
$0$	$\left( 1'001^{1000} \right)^{0}=1$
$0'001$	$\left( 1'001^{1000} \right)^{0'001}=1'001^{1}=1'001$
$0'002$	$\left( 1'001^{1000} \right)^{0'002}=1'001^{2}=1'002001$
$0'003$	$\left( 1'001^{1000} \right)^{0'003}=1'001^{3}=1'003003001$
$0'004$	$\left( 1'001^{1000} \right)^{0'004}=1'001^{4}=1'004006004001$
$0'005$	$\left( 1'001^{1000} \right)^{0'005}=1'001^{5}=1'005010010005001$
$0'006$	$\left( 1'001^{1000} \right)^{0'006}=1'001^{6}=1'006015020015006001$
$n=log_{1'001^{1000}}N$	$N=\left( 1'001^{1000} \right)^{n}$

Agora os valores das dúas columnas van máis acompasados. Partindo nun principio da base $1'001$, conseguímolo tomando como nova base $1'001^{1000}$. Daquela, de collermos bases que nos permitan unha maior densidade de valores:

 $1'000\, 1$, $1'000\, 01$, $1'000\, 001$, .... deberiamos recorrrer á súas correspondentes melloras:

 $1'000\,1^{10\,000}=\left( 1+\frac{1}{10\,0000} \right)^{10\,000}$, $1'000\,01^{100\,000}=\left( 1+\frac{1}{100\,0000} \right)^{100\,000}$, $1'000\,001^{1000\,000}=\left( 1+\frac{1}{1000\,0000} \right)^{1000\,000}$...

En definitiva, a nosa base ideal virá dada polo límite destes valores:

$$\lim_{x \to \infty}\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x}=2, 718281828459...=e$$

Este número, $e$ é a base dos logaritmos neperianos. Denotarémolos $log_{e}M=lnM$. Trátase dun número irracional (non é unha fracción), aínda máis, é  trascendente (non é solución de ningunha ecuación polinomial con coeficientes enteiros). O raro é que partindo da idea de que os logaritmos en base 2 daban lugar a unha táboa con demasiados ocos (pouco densa) acabamos con logaritmos en base $e=2, 718281828459...$ que dá lugar a ocos aínda maiores. Quizais todo isto parte de que nunca nos atrevimos a mergullarnos en logaritmos de bases menores que $1$. A ver se o facemos na próxima ocasión.

A outra fórmula do outro Bhaskara

Cando escoito o nome de Bhaskara inmediatamente penso na súa filla, a súa curiosa lenda e o libro que Bhaskara lle adicou e co que comparte nome, Lilavati. O libro foi editado pola RSME-SM dentro da colección Biblioteca de Estímulos Matemáticos. De aí recollo o seguinte problema e a súa resolución.

LXXVIII. A raíz da metade dun enxamio de abellas liba néctar de xasmíns, outras oito novenas partes o mesmo van facer. Faltan dúas, das que unha é cautiva dos lotos, prendida polo seu recendo. Dime miña querida, cantas zoantes abellas conforman ese panal.

Se identificamos o total de abellas con $2x^{2}$ poderemos establecer a seguinte ecuación 

$x-\frac{8}{9}\left( 2x^{2} \right)+2=2x^{2}$. Resolvéndoa veremos que $x=6$ e polo tanto o enxamio estará conformado por un total de $2x^{2}=72$ abellas.

Tanto no Lilavati  como noutra obra súa,  Bijaganita, Bhaskara estuda problemas cuadráticos. Quizais por esta razón André Pérez y Marín comentou nunha nota a pé de páxina no libro Lições de algebra publicado no 1909 que o método de resolución dunha ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ dado pola coñecida fórmula que vén a continuación debémosllo a Bhaskara.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

André Pérez y Marín

 André Pérez y Marín (1858-1928), nacido en Logroño (España), estuda en Madrid e comeza a impartir clase aos 18 anos. Aos 35 anos chega a Brasil onde durante un tempo  exerce de profesor particular. Co comezo do século XX accede a unha praza no Ginásio de Campinas, onde desenvolve o seu traballo docente ata o seu pasamento. Escribe dez libros de matemática escolar que tiveron moitas edicións. En varios deles repite a referida anotación de que a resolución das ecuacións cuadráticas se debe a Bhaskara. Este apuntamento sería reproducido por autores brasileiros posteriores e acabaría tendo certo éxito ata o punto de que hoxe en día a "fórmula de Bhaskara" non só se utiliza en Brasil, senón que ten certa sona internacional. Basta con facer unha búsqueda pola rede para comprobalo.

O outro Bhaskara e a outra fórmula

Pero desta volta non me vou referir a este matemático do século XII, tamén identificado como Bhaskara II, senón que trataremos sobre unha contribución de Bhaskara I, que viviu uns 500 anos antes, no século VII. 

Antes de nada, incluso antes de introducila, enmarquemos historicamente a achega de Bhaskara I. Para iso temos que ir ao século anterior, o VI, onde encontramos os primeiros tratados astronómicos hindúes. Os seus autores, Ariabata e Varahamihira curiosamente xa usaban o seno, no canto da corda dun ángulo. Eles e outros moitos continuaron o proxecto heleno de elaborar táboas trigonométricas. Segundo o que acabamos de dicir, na época grega esta táboas eran táboas de cordas, a partir da revisión hindú, comezaron a ser táboas de senos. Para aclarar do que estamos a falar, consideremos unha circunferencia de raio 1. Con vértice o centro $O$ trazamos un ángulo $\widehat{AOB}=2\theta$  que determinará unha corda da circunferencia $\overline{AB}$. A este valor denominámolo corda de $2\theta$ que escribiremos $crd(2\theta)=\overline{AB}$. De todos é sabido que o seno de $\theta$ é $sen\theta=\overline{AM}$. Basta con observar a seguinte imaxe para decatarse de que $crd\left(2 \theta\ \right) =2\cdot sen\theta$

A aportación de Bhaskara I foi realmente insólita. Hoxe diriamos que para ángulos de entre 0 e 180 graos ofreceu unha aproximación da función sinusoidal mediante unha función racional

$$sen\theta = R\cdot\frac{4\theta\left( 180-\theta \right)}{40500-\theta\left( 180-\theta \right)}$$

Velaquí as dúas funcións, a do seno e a súa aproximación, xunto co erro que cometemos. Tomamos, como é habitual hoxe en día $R=1$. O máis divertido é facer zoom ata poder ver ese erro.

De onde sacou Bhaskara I esa fórmula? Gen van Brummelen no seu libro The Mathematics of the Heavens and The Earth. The Early History of Trigonometry (Princenton University Press 2009) propón unha resposta con bastante cautela pois segue considerendo todavía un enigma a verdadeira liña de razoamento de Bhaskara. O argumento iníciase a partir da seguinte figura. Calculamos a área do triángulo $ABC$ de dúas formas distintas:

$área ABC=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2} BD\cdot AC$ De aí que $AB\cdot BC= BD\cdot AC$

$$sen\theta=R\cdot BD=\frac{R\cdot AB\cdot BC}{AC}\lt \frac{R \cdot \overset{\LARGE\frown}{AB}\cdot \overset{\LARGE\frown}{BC}}{2R}=\frac{\theta\left( 180-\theta \right)}{2}$$

Invertendo os termos teremos esta desigualdade:

$$\frac{1}{sen\theta}\gt \frac{2}{\theta\left( 180-\theta \right)}$$

Agora usaremos un método habitual entre os matemáticos hindús insertando un par de parámetros $x$ e $y$ que nos permitirían establecer a igualdade: $$\frac{1}{sen\theta}=x\cdot\frac{2}{\theta\left( 180-\theta \right)}+y\quad\quad [1]$$

Para os ángulos de $30$ e $90$ teremos que $sen30=\frac{R}{2}$ e $sen90=R$. Disto deducimos un sistema que resolvemos:

$$\left.\begin{matrix} \frac{2}{R}=\frac{2x}{30\cdot 150}+y \\\frac{1}{R}=\frac{2x}{90\cdot 90}+y \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} \frac{2}{R}=\frac{2x}{4500}+y \\\frac{1}{R}=\frac{2x}{8100}+y \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} 9000=2Rx+4500Ry \\8100=2Rx+8100Ry \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} 2Rx=9000-4500Ry\\2Rx=8100-8100Ry \end{matrix}\right\}$$

$9000-4500Ry=8100-8100Ry$

$y=\frac{-900}{3600R}=\frac{-1}{4R}$

Substituíndo na primeira das ecuacións do sistema:

$2Rx=9000-4500R\cdot\frac{-1}{4R}=10125$

$2x=\frac{10125}{R}$

Finalmente substituímos os valores destes parámetros en [1]

$$\frac{1}{sen\theta}=\frac{10125}{R}\frac{1}{\theta\left( 180-\theta \right)}-\frac{1}{4R}=\frac{1}{R}\frac{40500-\theta\left( 180-\theta \right)}{4\theta\left( 180-\theta \right)}$$

Volvendo a inverter os dous membros da igualdade chegamos ao resultado desexado:

$$sen\theta = R\cdot\frac{4\theta\left( 180-\theta \right)}{40500-\theta\left( 180-\theta \right)}$$

Por último unha aclaración e un dato curioso. Co fin de adptar as anteriores consideracións ao punto de vista actual, tomáronse sempre circunferencias de raio 1, porén en cada época, incluso en cada autor teremos distintos valores do raio. Por exemplo Ptolomeo fixo as súas táboas para $R=60$ e utilizou un sistema numérico sexaxesimal. Bhaskara I e os seus predecesores Ariabata e Varahamihira utilizaban un valor realmente chamativo: $R=3438$$. Que sentido tiña escoller ese número?

Nunha circunferencia hai 360º, polo tanto $360 \cdot 60=21600'$, Se igualamos esta cantidade á lonxitude dunha circunferencia $2\pi R=21600$ e despexamos: $R=\frac{21600}{2\pi}=3438$

O Círculo Anónimo

Varias das últimas entradas deste blogue tiveron como protagonista a Márta Svéd,(A curiosa xeometría de Márta Svéd. Introdución,  A curiosa xeometría de Márta Svéd. O desprazamento, e A curiosa xeometría de Márta Svéd.O V postulado e máis alá) matemática húngara nacida no 1910 que desenvolvería a maior parte do seu traballo en Australia. Isto fixo que me preguntara cales foron as circunstancias da súa vida, especialmente o caldo de cultivo no que creceu a súa afición polas matemáticas. Márta pertenceu a un grupo de estudantes universitarios de Budapest que se coñece como Círculo Anónimo porque se reunían con frecuencia ao pé dunha estatua no parque central da cidade que está adicada a un historiadior medieval anónimo húngaro. Estas reunións foron un dos principais incentivos que eles mesmos relataron como fundamentais para o seu interese polas matemáticas. Para coñecer mellor as súas orixes debemos remitirnos a unha revista, 

Número do 1900 da
revista KöMaL

a  Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (KöMaL) ou Revista de Matemáticas e Física de Secundaria. Foi fundada por un profesor de secundaria, Dániel Arany (1863-1945), en Győr (Hungría). A revista propón problemas aos estudantes e estes envíanlle as súas solucións ao editor. As solucións son cualificadas por un grupo de colaboradores e despois publícanse co nome do autor. O primeiro número de KöMaL aparece o 1 de xaneiro de 1894. Ese mesmo ano, e con problemas que apareceran na revista, tamén comeza o Concurso de Matemáticas de Eötvös que pasaría a chamarse Krürschák a partir da II Guerra Mundial. Este concurso serviría de modelo e inspiración doutros que comezaron a convocarse nas primeiras décadas do século XX, como foi o caso da de Leningrado (San Petersburgo). No 1959 Rumanía convoca a varios países da órbita da URSS (Hungría, Polonia, Checoslovaquia, RDA e URSS) na primeira edición dunha Olimpíada Matemática Internacional. Finlandia uniríase no 1965, Gran Bretaña, Francia e Italia no 1967. A partir dese momento o número de países participantes aumentou rapidamente.

Parece ser que Lipót (Weiss) Fejér (1880-1959), quen obtivera moi malos resultados na escola primaria, comezou a interesarse polas matemáticas da man de Sigismund Maskay e converteuse nun solucionador habitual dos problemas da KöMaL. Acadou o segundo posto na Eötvos de 1897. Cunha excelente capacidade narrativa, as conferencias e artigos de Fejér forxaron moitas vocacións matemáticas. Dirixiu unha escola de análise de gran éxito. Foi director de tese de John von Neumann, George Pólya, Pál Erdős ou Pál Turán. 

KöMaL deixa de editarse durante a I Guerra Mundial. A partir do 1925 cae baixo a dirección de Andor Faragó (1877-1944) e comeza a publicar as fotos dos mellores resolutores de problemas. Cando eses alumnos chegan á universidade recoñécense por esas fotografías. Isto facilita que se poñan en contacto. Así, un grupo de mozos xudeus, desafiando as leis que impedían as reunións, xúntanse nun parque no centro de Budapest, ao pé da estatua de Anónimo. A veces eran catro ou cinco, pero podían chegar a reunirse ata uns vinte. Conversaban de moitos temas, pero sobre todo da súa paixón, as matemáticas. 

Estatua de Anónimo no
parque central de Budapest

A figura máis destacada do Círculo Anónimo foi 

Pál Erdős (1913-1996). Xa desde pequeno dou mostras de interese polas matemáticas. Canto tiña un ano as tropas rusas tomaron prisioneiro ao seu pai, Lajos (Engländer) Erdős, quen permaneceria nun cárcere en Siberia durante seis anos. 

A pesar do antisemitismo obtén praza na universidade de Budapést e doctórase aos 21 anos. Marcha ao Reino Unido e posteriormente aos Estados Unidos. Foi tremendamente prolífico pois chegou a publicar uns 1500 artigos, moitos deles en colaboración con outros 500 coautores. 

Na seguinte película documental do ano 1993, N is a Number, a Portrait of Paul Erdős, relátanse algúns dos seus principais aspectos biográficos. Recomendo ver sobre todo a parte que vai entre o minuto 8:50 e 12:20 pois é o que máis relación ten con esta entrada.

No intervalo indicado entrevístase a Márta Svéd, amiga de Pál Erdős

Márta (Wachberger) Svéd. Márta e o seu marido George Svéd marcharon de Hungría no ano 1939. O seu país de acollida foi Australia. Ela converteuse na directora do departamento de matemáticas da Wilderness School, unha escola de ensino secundario privada para nenas en Adelaida. Traballou alí ata1958, ano no que pasou a ser docente na Universidade de Adelaida tras completar a súa formación matemática. Entre as súas contribucións matemáticas, Márta desenvolveu un algoritmo para, a partir de tomografías computarizadas, recrear modelos de nylon en 3D de cranios de pacientes. Estes modelos usáronse durante anos na Unidade Craneofacial Australiana (en Adelaida) para planificar cirurxías complicadas en nenas e nenos desfigurados por anomalías craneofaciais. Con 75 anos defendeu a súa tese de doutoramento na Universidade de Adelaida. A Australian Maths Trust homenaxeouna no ano 1994 e entre outros aspectos destacaban que foi a creadora da primeira revista para estudantes de secundaria en Australia. Márta quixo levar ao estudantado australiano a exitosa experiencia que ela mesma vivira grazas á KöMaL.

Márta é a autora de Journey into Geometries (AMM 1991) unha curiosa obra dialogada con tres personaxes principais, Alicia, unha muller con gran capacidade de razoamento matemático, Lewis Carroll, que representa as matemáticas decimonónicas e o curioso Dr. Whatif, que sempre está buscando novas hipóteses e reivindica o papel das matemáticas do século XX ao estilo hilbertiano. Todos eles interactúan con outros personaxes recollidos de Alicia no país das marabillas.

Para comprender mellor o ambiente universitario no que se desenvolveron Márta e Erdős continuaremos reseñando as biografías dos compoñentes do Círculo Anónimo. As fotos que aparecen nesta entrada foron todas sacadas da revista KöMaL.

Deső Lázár (1913-1943). Debido á lei do númerus clausus non puido ingresar na universidade en Budapest e tivo que marchar a estudar á de Szeged, xunto a Géza Gründwald. Só publicou un artigo na súa vida, precisamente sobre a xeneralización dun problema de Géza. Traballou de carpinteiro e despois conseguiu un posto de profesor. Ferido nunha perna morreu desangrado. No 1974 Rózsa Péter pídelle ás escolas secundarias adicar un premio á memoria dun matemático falecido na II Guerra. A noticia chégalle a Erdős e el é quen propón homenaxear a Deső Lázár.

Géza Gründwald (1910-1943). Alumno de Lajos Erdős. Era un gran xogador de xadrez. Compañeiro de clase de Pál Erdős, xuntos xogaban ao xadrez no parque de Várolisget. Procedía dunha familia con poucos recursos así que cando enfermou de tuberculose, enfermidade grave nesa altura, non tiña posibilidades dun bo tratamento. Sería Lajos quen acudiría na súa axuda para pagarlle o ingreso nun sanatorio durante un ano. Debido á enfermidade, e tamén á lei racista de números clausus, non obtén praza universitaria en Bucarest. Por mediación de Lajos consigue ir á universidade do sur de Hungría en Szeged. Publica varios artigos sobre os polinomios de interpolación de Lagrange.

Durante a II Guerra Mundial ingresou nun servizo de traballos forzados. Un dos vixiantes era matemático e lera algún dos seus artigos.Debido a isto procuroulle un traballo mellor. Finalmente sería fusilado con case todos os membros do seu grupo como represalia por un acto de sabotaxe en Gyor.

Pál Turan (1910-1976). Escibiría uns 150 artigos. Traballou na teoría de números. Foi fundador da teoría de grafos exrtremais. Fixo a tese baixo a dirección de Féjer. Durante a II Guerra Mundial estivo en varios campos de traballo. Posiblemente isto salvoulle a vida xa que os xudeos que non estaban nos campos foron traslados aos campos de exterminio. Continuou facendo matemáticas neste campos, incluso dixo que moitas das mellores ideas que tivo foron nesta penosa situación. Morreu de leucemia, sen sabelo, xa que a súa familia, en concreto a súa muller, a matemática Vera Sós, ocultoullo.

Tibor (Gründwald) Gallai (1912-1942)  Traballou en combinatoria e teoría de grafos. O mellor amigo de  Erdős ao que coñeceu no instituto. Os seus profesores non lle permitiron participar no Eötvos, e como no exame de ingreso do seu ano quedou en 5º lugar (George Svéd quedara de 1º e Marta (Wachberger) Svéd de 3ª), debido ao númerus clausus non puido ingresar na universidade. Preséntase á seguinte edición do Eötvos (1930) e queda primeiro, co que pode ingresar directamente nos estudos superiores. Ao finalizar a II Guerra Mundial comeza a dar clases nun centro de Secundaria. Era un profesor excelente. Tivo entre as súas alumnas a Vera Sós. Tiña un grao de integridade esaxerado. Deixou o instituto no que estaba traballando para coidar á súa muller sen cobrar pois consideraba que non debía facelo se non aportaba nada. Chegou a vivir practicamente na indixencia. Moitos dos seus resultados recibiron o nome doutros matemáticos porque a el non lle importaba, incluso o fomentaba. Cando na revista KöMaL publican un artigo laudatorio sobre el, como acto de protesta, abandona a Sociedade J. Bolyai, a responsable da publicación.

Lázsló Alpár (1914-1991) Membro do Partido Comunista, ilegal, foi detido no ano 1932 e encarcerado. Foi expulsado da Universidade polo seu activismo no movemento estudantil comunista. Marcha a Francia e estuda na Sorbona. Alí é detido por "sospeitoso comunista" e permanece prisioneiro durante a II Guerra Mundial ata que escapa e organiza un grupo partisano da resistencia francesa, participando en varias accións con éxito como a voadura da ponte do río Durance. Regresa a Hungría e participa en actvidades sindicais. No 1949 é depurado no proceso de Rajk e volveu a prisión (1949-1953). Anos despois sería rehabilitado. 

Fixo contribucións na teoría de funcións complexas. Nos últimos anos da súa vida escribiu textos divulgativos e de historia das matemáticas. Suicidouse.

Endre (Weisfeld) Vazsónyi (1916-2003). O pai tiña unha zaparería moi próspera en Bucarest. Tería uns 13 anos cando coñece a Erdős. Segundo un relato do propio Vazsónyi, Pál pídelle un número de catro cifras. Cando llo di, Erdős devólvelle inmediatamente o seu cadrado. De seguido pregúntalle cantas demostracións coñece do teorema de Pitágoras. Vazsónyi só coñecía unha. Erdős sabía de 37. Endre aña o Eötvos de 1931.Fai a tese, dirixido por Féjer, sobre superficies de dimensión superior. Fronte á terrible discriminación dos xudeus, fuxe a Francia e despos aos EEUU. Alí traballaría para a industria militar e na informatización dunha gran compañía. Tamén participou en estudos de investigación operativa. 

George Szekeres (1911-2005). Mostrou interese e capacidades nas matemáticas integrándose no Círculo Anónimo, porén cando iniciou os estudos universitarios, fíxoo no campo da química na Universidade Técnica de Budapest, seguindo os desexos dos seus pais que necesitaban químicos para o negocio familiar. Mentres estudaba, a firma familiar crebou e, cando ao graduarse en 1933, traballou ata 1939 para unha empresa de peles en Simontornya, un centenar de quilómetros ao norte de Budapest. 

Ao agravarse o antisemitismo baixo a influencia nazi , emigrou coa súa muller Ester (Klein) Szekeres (1910-2005) a Shanghái (China), onde xa se marchou o seu irmán, Imre, anteriormente. A empresa na que traballaba en Shanghái tamén crebou e atopáronse cun recentemente nado no medio da Segunda Guerra chinojaponesa e da revolución comunista chinesa . Despois de anos de penurias extremas, en 1945, ao terminar a Segunda Guerra Mundial , traballou de administrativo nunha base aérea estadounidense. En 1948, a familia trasladouse a Adelaida (Australia) , aceptando unha invitación como profesor na universidade desta cidade. Alí vivirían no apartamento de Márta Svéd durante tres anos. En 1964 trasladáronse a Sydney para ser profesor da universidade de Nova Gales do Sur . Retirouse en 1976, pero durante vinte e cinco anos máis estivo a ir á universidade case todos os días.  En 2004, volveu vivir a Adelaida, cos seus fillos, pero a súa muller sufriu un ictus e tivo que ser ingresada nunha residencia. Uns meses despois, el tamén ingresou na mesma residencia, na que faleceron ambos o mesmo día de agosto de 2005.

En 1984, cofundou coa súa muller unha reunión semanal de enriquecemento das matemáticas que desde entón ampliouse ata converterse nun programa duns 30 grupos que seguen reuníndose semanalmente e inspirando a estudantes de secundaria en toda Australia e Nova Zelandia.

No ano 1995 a Australian Maths Trust homenaxeou ao matrimonio. Entre outras cousas destacaban que George foi precursor doutra revista para o alumnado de secundaria, Parabola, que aínda se publica actualmente.

Szekeres é autor ou coautor de máis dun centenar de artigos publicados en revistas científicas. Os seus campos de traballo máis notables son a teoría de grafos, a álxebra e teoría de grupos , a teoría de números , a análise matemática  e a física matemática 

Xosé Rodríguez González

Houbo un tempo, na historia deste blogue, no que adicaba entradas a recompilar información sobre personaxes destados das matemáticas. Foi a época en que se homenaxeaba a algún matemático galego naquelas Xornadas da Ciencia en Galego que xurdiran para poñer en evidencia a prohibición do uso desta lingua nas materias científicas derivada do funesto decreto 79/2010, o de restricción do uso do galego no ensino non universitario. Podemos lembrar os casos de María Wonenburger, Domingo Fontán e Ramón Verea ([1], [2], [3] e [4])

Nesta ocasión, aproveitando o nomeamento por parte da RACG do científico do ano,  achegamos unha entrada de recursos a Xosé Rodríguez González (1770-1820), quen desde o traballo de ingreso no Seminario de Estudos Galegos de D. Ramón María Aller, é coñecido como o matemático de Bermés.

Webs

• Xosé Rodríguez González, na Galipedia
• José Rodríguez González. O matemático do Bermés,  2012, por Margarita Barral Martínez no Álbum da Ciencia
• Xosé Rodríguez González, na páxina de Fillos Ilustres do Concello de Lalín
• Dous séculos sen o matemático Rodríguez, (22/03/2024) A.C. Alexandre Bóveda
• José Rodriguez González (Día da Ciencia en Galicia 2024) RAGC

Prensa

• José Rodríguez González. O matemático de Bermés, 27/05/12, por Benito García Carril no Faro de Vigo
• José Rodríguez, ´O matemático de Bermés´, 30/06/2013, por Antonio Vidal Neira no Faro de Vigo
• O Matemático de Bermés visto por Ramón Aller,05/10/14, por Celia Rodríguez no Faro de Vigo
• José Rodríguez, o matemático galego que definiu o metro, 10/10/17, por Eduardo Rolland en GCiencia
• Iván Fernández: “A figura do matemático Rodríguez debería estudarse nos colexios”,12/02/18, GCiencia
• El matemático de Bermés, por Manuel Molina Mera, 09/10/22, por Antonio Vidal Neira, no Faro de Vigo
• O matemático José Rodríguez, nomeado Científico galego do ano, GCiencia (12/02/24)
• Xosé Rodríguez, o matemático que situou o km 0 da Galiza en Lalín, nomeado Científico do Ano pola Academia 12/02/2024, Nós Diario
• José Rodríguez González, nomeado 'Científico galego do ano" pola Academia Galega de Ciencias, 13/02/24, Diario Luso-Galaico
• O matemático Rodríguez, Científico Galego do Ano, 13/02/2024, por Alfonso Loño no Faro de Vigo
• José Rodríguez, 'o matemático de Bermés', científico galego do ano, 20/02/2024, por Marcos Pérez Pena en Praza Pública
• O matemático José Rodríguez González, nomeado “Científico Galego do Ano” pola RAGC, RACG (12/02/24) 
• Catro razóns polas que o matemático Rodríguez (1770-1824), o "paseante da luz", merece recoñecemento,por Xosé A Fraga Vázquez en Praza Pública (05/06/2024)
• O metro chegounos de París da man do matemático Xosé Rodríguez, non por casualidade, e recibiuno Domingo Fontán, por Xosé A. Fraga Vázquen en Praza Pública (09/07/2024)
• Coñece a Matemático Rodríguez, o matemático que axudou a calcular con brillante precisión o metro  en Galicia Confidencial (29/09/24)

Blogues:

• José Rodríguez González. O matemático de Bermés., 12/07/12, no blogue Fillos ilustres de Lalín
• D. José Rodríguez González (o matemático de Bermés), 09/08/2014, no blogue Os libros de Ánxel Casal
• Cartel de Xosé Rodríguez González. Día da Ciencia 2014,30/10/2014, no blogue As Ferreiras
• Xosé Rodríguez González (o matemático de Bermés), por Ramón M. Aller, 07/11/2014, no blogue As Ferreiras
• O escultor do matemático Rodríguez, 05/11/14, por Isidro Gil Pallares, no blogue As Ferreiras
• O matemático Rodríguez, manuscrito de Ramón Mª Aller, 06/11/14, no blogue As Ferreiras
• Presentación do matemático Rodríguez, 06/11/14, no blogue As Ferreiras
• O matemático de Bermés, 07/12/14, Biblioteca do Laxeiro

Documentos:

• Comuinicación á Royal Society, 04/06/1812, Royal Society

Audio

• As aventuras do gran triángulo, 28/06/23, programa Efervescencia 640
• Matemático Rodríguez, o primeiro gran científico de Galicia, 7/10/24,  Podcast GaliCiencia

Vídeos

• Proxector. Trigonometría: medindo o mundo con triángulos. (1/10/24) Escolma de vídeos de trigonometría como parte da celebración do nomeamento a Xosé Rodríguez como Científico galego do ano 2024
• A revolución do gran triángulo, (7/10/2024) RACG
• José Rodríguez González, "O matemático de Bermés", (8/10/2024) RACG

Publicacións

• Contribución dun sabio galego á determinación da forma e dimensións da terra. Xosé Rodríguez González, matemático, astrónomo e xeodesta.Carlos Brandido Gutiérrez, Revista Lvcensia N. 9 (1994) ; p. 10-30 
• "O matemático de Bermés". Memoria apasionada de un hombre sabio, Armando Vázquez, Descubrindo Deza nº 1 (1999)
• El matemático José Rodríguez y la Universidad, (1999) por María Ángela Varela Varela, consultar PDF
• José Rodríguez González: un Erasmus galego nos albores do século do progreso, 2007, por Mercedes Sampayo Yáñez, do IES Eusebio da Guarda, Revista Gamma nº 7
• Legado científico do matemático galego José Rodríguez González, Mercedes Sampayo Yáñez, Revista Lvcensia N. 35 (2007) ; p. 347-360. 
• A estadía de José Rodríguez González en Alemaña (1815-1817). Tradución dunha publicación súa,2011, por Iván Fernández Pérez en Minerva (USC)
• Novos apuntamentos para a biografía de José Rodríguez González, o matemático do Bermés, Iván Pérez Fernández, Minerva (USC) 2016
• Actividade científica do matemático José Rodríguez González durante a súa estadía en Madrid (1819-1823),Iván Fernández Pérez, Revista Lvcensia N. 57 (2018) ; p. 141-153.
• Dúas obras inéditas de José González, por Iván Fernández Pérez, Descubrindo Deza XI (2021)
• Unha carta do astrónomo húngaro Pál Titel a José Rodríguez González, o matemático do Bermés, por Carmen Villanueva e J. A. Docobo Durántez, Descubrindo Deza nº 14 (2022)
• José Rodríguez González (1770- 1824), matemático, geodesta, astrónomo, naturalista y viajero científico por Europa, tese de doutoramento por María Carmen Villanueva Pérez, Universidade de Vigo (2023)
• José Rodríguez Gonzáles (1770-1824) Un matemático sublime, editado por Juan Nieto Roig, Consello da Cultura galega (2024)
• O matemático Xosé Rodríguez González (1770-1824), o «paseante da luz», Xosé A. Fraga (editor), Instituto de Estudos Coruñeses José Cornide - CEIDA - Universidade da Coruña, 2025

Xornadas

• José Rodríguez González, o inicio da liña do tempo da ciencia en Galicia, (16/10/2024) CCG

Nota

É moi probable que despois da publicación desta entrada xurdan máis recursos sobre Xosé Rodríguez. Aínda que non é unha práctica habitual neste blogue, intentarei engadilos na medida do posible.

Algoritmo do produto do século XVI

Esta pretende ser a última entrada adicada ao Sumario Compendioso de Juan Díez, que foi identificado polo matemático e historiador David E. Smith como de orixe galega. Pódense seguir aquí todas as publicacións sobre este tema neste blogue:

• Juan Díez, quizais o primeiro matemático galego
• Os problemas alxébricos do "Sumario Compendioso" de Juan Díez
• Cuestións diofantinas do "Sumario Compendioso" de Juan Díez

Unha das "Regras comúns" que se explican nese libro é a adicada ao algortimo da multiplicación. Estamos moi afeitos a realizar os produtos tal e como aprendimos na escola e o habitual é que non nos cuestionemos esa serie de regras. Juan Díez explica como facer o produto de dous números. Faino recorrendo a un exemplo, o de $875\cdot 978$. O método consiste en ir multiplicando, de esquerda a dereita, cada unha das cifras do primeiro número, $875$, por todas e cada unha das cifras do segundo número, $978$. Iremos colocando os resultados de cada un destes produtos en columnas, correndo un lugar á dereita de cada vez. Isto é lóxico debido á notación posicional que usamos. Finalmente realizaremos a suma de todos os resultados. O mellor é ver en acción como se realiza este produto.

Hai que ter coidado cun aspecto que non está tratado neste exemplo. Pode darse o caso que un dos produtos parciais sexa de só unha cifra. Neste suposto debemos colocar o resultado como se tivese dúas. Por exemplo se un produto fose $2\cdot3=6$, para colocar ese $6$ obraríamos como se fose $06$.

Despois de visto este algoritmo, parecería máis lóxico que fose este o que se ensinara nas aulas de primaria pois permite unha xustificación máis clara do algoritmo.

Cuestións diofantinas do "Sumario Compendioso" de Juan Díez

Tal e como prometera na primeira entrada adicada ao Sumario Compendioso de Juan Díez, vou continuar debullando algúns aspectos dese libro. Neste caso abórdanse as páxinas tituladas Cadrados, que tratan sobre problemas diofantinos.

Primeira cuestión. Dáme un número que xuntándolle 15 faga un cadrado e restándolle 4 tamén sexa cadrado.

Regra. Suma 15 e 4, son 19. Engádelle 1, son 20. Toma a metade, que é 10. O seu cadrado, 10 veces 10 son 100. Disto resta 15 que son 85, e este é o número demandado do cal resta 4, que dá 81, cuxa raíz é 9.

No Liber quadratorum de Leonardo de Pisa, a segunda proposición di que calquera cadrado excede ao inmediatamente anterior na suma das súas raíces. En efecto, $n^{}-\left ( n-1 \right )^{2}=2n-1=\left ( n-1 \right )+n$.

Se aplicamos este resultado á primeira cuestión, temos que buscar un número intermedio entre dous cadrados consecutivos que diste 15 e 4 dos mesmos. A suma das distancias será a diferenza dos cadrados: $15+4=9=2n-1$. Se, como di Juan Díez, lle engadimos 1, obtemos $2n$.

Segunda cuestión. Dáme un número que xuntándolle 8 sexa cadrado e restándolle 8 fique cadrado. En maior cantidade dáme un número que xuntándolle 20 sexa un cadrado e restándolle 20 fique cadrado.

Regra. Toma a metade de 8, que é 4. Eleva ao cadrado, é 16, xúntalle 1, é 17 e este é o número demandado.[...] Toma a metade de 20, que é 10. Eleva ao cadrado, é 100, xúntalle 1 e fai 101 e este é o número demandado.

Os cadrados son $17-8=9=3^{2}$ e $17+8=25=5^{2}$ no primeiro caso e $101-20=81=9^{2}$ e $101+20=11^{2}$ no segundo. Nos dous os cadrados son da forma $\left ( n-1 \right )^{2}$ e $\left ( n+1 \right )^{2}$, de aí que a solución veña dada pola media $$x=\frac{\left ( n-1 \right )^{2}+\left ( n+1 \right )^{2}}{2}=n^{2}+1$$ Se lle chamamos $d$ á distancia entre o número buscado e calquera dos cadrados $\left ( n-1 \right )^{2}+2d=\left ( n+1 \right )^{2}$, de aí que $n=n=\frac{d}{2}$ e, polo tanto $x=\left ( \frac{d}{2} \right )^{2}+1$, que é a regra que dá Juan Díez.

Terceira cuestión. Unha persoa ten dúas cordas moi boas, danlle por elas 8 pesos, non as quere dar. Vén outro a compralas por varas de forma que por cada vara lle dá tantos tomíns como varas teña a corda. Despois de botar contas observa que este non lle dá máis que o primeiro. Demando cantas varas tiña cada corda.

David Eugene Smith explica a solución que se dá no Sumario compendioso da seguinte maneira. Sexan $x$, $y$, as lonxitudes (que neste problema son iguais aos prezos) de cada unha das cordas. Tendo en conta que 8 tomíns equivalen a un peso, o que se paga por elas son 64 tomíns. Se damos todos os valores en tomíns, o prezo das dúas cordas será $x^{2}+y^{2}=64=8^{2}$. Entón Díez emprega un método que non aceptariamos hoxe. Partindo de que $3^{2}+4^{2}=5^{2}$. aplica unha regra de 3 (!) entre estas expresións obtendo $\frac{x}{3}=\frac{8}{5}$, de aí que $x=4\frac{4}{5}$ e despois $y=64\frac{2}{5}$

Cuarta cuestión. Se che fose pedida esta cuestión: dáme un cadrado tal que restándolle unha certa candidade fique un cadrado e engadíndolla sexa tamén cadrado.

Lembremos que este é esencialmente o problema que Xoán de Palermo lle propuxo a Leonardo de Pisa e que sería o que daría lugar a que este escribira o Liber quadratorum. Do que se trata é de achar tres cadrados en progresión xeométrica. Na ligazón vese como o resolveu Fibonacci, a partir da definición dos congruum e os números congruentes con eles. Juan Díez dá un listrado destes valores e resolve o problema a partir deles. Aquí volvemos a ver a un Juan Díez coñecedor da terminoloxía e dos estudos dos cadrados feitos por Leonardo de Pisa.

Se aos congruos lle sumamos e restamos os congruentes, obtemos a terna de cadrados en progresión aritmética. No primeiro caso $25-24=1$, $25-24=49$. Resulta que $(1=1^{2},25=5^{2},49=7^{2})$ é unha das ternas buscadas. No segundo caso $100-96=4$ e $100+96=196$. Outra terna de cadrados en progresión xeométrica será $(4=2^{2},100=10^{2},196=14^{2})$

Curiosamente, así como podemos dar moitos exemplos de tres cadrados en progresión aritmética non é posible achar catro cadrados en progresión aritmética. Parece ser que Fermat estableceu este resultado nunha carta a Frenicle en 1640 pero que, como era o seu costume, non ofreceu ningunha demostración. Euler había de daría un resultado que levaría directamente á demostración, pero ata ben entrado o século XX non se ten coñecemento de que ninguén se volvera a preocupar deste teorema co fin de ofrecer unha demostración explícita. 

Quinta cuestión. Achar tres cadrados ou máis tales que sumados fagan un cadrado.

Nesta outra entrada explicamos como Fibonacci podía dar unha suma de $n$ cadrados que fose tamén un cadrado. Para is0 non tiña máis que aplicar recursivamente esta identidade para calqura número impar $x$: $$x^{2}=\left (\frac{x^{2}+1}{2}  \right )^{2}-\left (\frac{x^{2}-1}{2}  \right )^{2}$$

A resposta de Juan Díez é a mesma que a que acabamos de indicar, polo que volvemos a ver que coñecía os tópicos matemáticos desa altura.

Tomo o primeiro número cadrado impar, que é 9, ao cal resta un, quedan 8, toma a metade e cádrao, son 16 e isto é o segundo, axunta 9 e 16, son 25, [e agora repite o proceso], quita un, quedan 24, toma a metade, é 12, cádrao, son 144 e este é o terceiro. Se o queres ver suma 9 e 16 e 144, son 169, raíz dos cales é 13: e nota que por esta vía poderalo facer in infinitum.

O seguinte problema está relacionado con este.

Sexta cuestión. Digo que me deas un cadrado que quitándolle ou xuntándolle tres veces a súa raíz fagan un número cadrado.

Para resolvelo Díez aproveita a súa lista de números congruos. De feito el usa o primeiro da lista, aquel que nos dá $25-24=1$ e $25+24=49$. Teñamos presente que $24=3\cdot 8$, de aí que $5^{2}-3\cdot 8=1^{2}$. O problema estaría resolto se nesta igualdade, no canto dun $5^{2}$ tivese un $8^{2}$. Para aproveitar este feito multiplico a igualdade por $\frac{5^{2}}{8^{2}}$:

$$\frac{5^{2}}{8^{2}}\cdot 5^{2}-3\cdot 8\cdot \frac{5^{2}}{8^{2}}=\frac{5^{2}}{8^{2}}$$

$$\left (\frac{25}{8}  \right )^{2}-3\cdot \frac{25}{8}=\left ( \frac{5}{8} \right )^{2}$$

De aí que $\frac{25}{8}$ sexa a solución do problema proposto que se dá no Sumario Compendioso.

Os dous últimos problemas teñen unha redacción moi parecida. Por iso xa os damos xuntos.

Sétima cuestión. Anota isto, o cadrado de 2 é 4, o cadrado de 3 é 9, e a súa suma fai 13. Dáme outros dous números que non sexan nin 2 nin 3, tal que a suma dos seus cadrados sexa 13.

Oitava cuestión. O cadrado de 3 é 9, o cadrado de 4 é 16, e sumados, 25. Dáme outros números que non sexan nin 3 nin 4, tal que a suma dos seus cadrados sexa 25.

Está claro que as solucións terán que ser racionais.... e como a lonxitude a entrada xa vai sendo suficente, deixamos o comentario neste punto.