Ben sabemos que para que tres números positivos $a$, $b$ e $c$ non sempre poden ser as lonxitudes dos lados dun triángulo. Para que poidan dedterminalo ten que verificarse que a suma de dous deles debe ser maior có outro. De forma ben natural, xorde o seguinte problema:
Dous triángulos. Un triángulo ten lados $a\gt b\gt c$. Un segundo triángulo ten lados $\frac{1}{c}\gt \frac{1}{b}\gt \frac{1}{a}$. Determina tanto o límite inferior como o superior da razón $\frac{a}{c}$ para que poidan existir eses dous triángulos.
Polo comentado anteriormente: $a\lt b+c \Rightarrow a-c\lt b$
Análogamente: $\frac{1}{c}\lt \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\Rightarrow \frac{1}{c}-\frac{1}{a}\lt \frac{1}{b}$
Multiplicando as expresións anteriores e operando:
$$\left( a-c \right)\left( \frac{1}{c}-\frac{1}{a}\right)\lt b\frac{1}{b}$$
$$\left( a-c \right)\left( \frac{a-c}{ac}\right)\lt 1$$
$$\left( a-c \right)^{2}\lt ac$$
$$a^{2}-3ac+c^{2}\lt 0$$
$$\left( \frac{a}{c} \right)^{2}-3\frac{a}{c}+1\lt 0$$
Sexa $x=\frac{a}{c}$, daquela temos a inecuación cuadrática $x^{2}-3x+1\lt 0$
As solucións da ecuación asociada $x^{2}-3x+1 =0$ son
$$x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\phi^{2}\quad \quad x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{\phi^{2}}$$
Onde $\phi$ é o número áureo. Entón podemos reescribir a inecuación así:
$$\left( x-\phi^{2} \right)\left( x-\frac{1}{\phi^{2}} \right)\lt 0$$
Polo que un dos dous factores debe ser postivo e o outro negativo. Como $\phi^{2}\gt \frac{1}{\phi^{2}}$, o primeiro dos factores debe ser o negativo e o segundo o positivo. En conclusión:
$$\frac{1}{\phi^{2}}\lt x=\frac{a}{c}\lt \phi^{2}$$
Tanto a solución como o problema recollinos do libro The Divine Proportion, (Dover Publications, 1970) de H. E. Huntley, só que cunha pequena salvedade, que alí só piden un límite superior. Tiven a pequena maldade de non comentar ao principio cal era a referencia para que o lector non soubese, de principio, por onde caían os tiros.