Comezando polo coseno dunha resta

Un dos problemas ao que se ten que enfrontar calquera profesor que imparta Matemáticas I, de 1º de bacharelato, é a demostración das fórmulas trigonométricas da suma e diferenza de ángulos. O cerne da cuestión consiste en determinar que fórmula demostramos en primeiro lugar e como o facemos pois o resto das fórmulas dedúcense facilmente a partir dunha delas. O usual é que o intentemos co seno dunha suma. Neste caso podemos escoller entre distintas demostracións. Poden estar sustentadas unicamente na definición das razóns trigonométricas, podemos facer uso das áreas dos triángulos, do teorema do seno,... Nesta ocasión vou presentar a dedución da fórmula do coseno dunha resta. A idea está extraída do libro de Alexander e Leonid Rozemblyum, Learning Trigonometry by Problem Solving (Word Scientific 2021).

Comezamos considerando unha circunferencia de raio $1$ sobre a que trazamos dous ángulos, $\alpha$ e $\beta$.. Isto determinará dous puntos $A$ e $B$ de coordenadas $A(sen\alpha, cos\alpha)$ e $B(sen\beta, cos\beta)$. Calcularemos (o cadrado da) distancia $AB$ usando a fórmula usual que nos dá a distancia entre dous puntos $d(A,B)=\sqrt{\left( x_{A}-x_{B} \right)^{2}+\left( y_{A} -y_{B}\right)^{2}}$

$$AB^{2}=\left( cos\alpha-cos\beta \right)^{2}+\left( sen\alpha-sen\beta \right)^{2}=$$ $$=cos^{2}\alpha-2cos\alpha\cdot  cos\beta+cos^{\beta}+sen^{2}\alpha-2sen\alpha\cdot  sen\beta+sen^{2}\beta$$

Aplicando a fórmula fundamental da trigonometría podemos simplificar a expresión:

$$AB^{2}=2-2\left( cos\alpha\cdot cos\beta +sen\alpha \cdot sen\beta \right)$$

Para obter outra expresión de $AB^{2}$, aplicamos o teorema do coseno ao triángulo $AOB$. Tamén temos en conta que $AO=BO=1$

$$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}-2AO \cdot BO\cdot cos\left( \alpha-\beta \right)=2-2cos\left( \alpha-\beta \right)$$

Igualando as dúas expresións e operando:

$$2-2\left( cos\alpha\cdot cos\beta+sen\alpha\cdot sen\beta \right)=2-2cos\left( \alpha-\beta \right)$$ $$cos\left( \alpha-\beta \right)=cos\alpha\cdot cos\beta+sen\alpha\cdot sen\beta$$