Matemáticas na Raia 2022 desde o meu outeiro

Este ano por diversas circunstancias non apuntei ao alumnado de 3º ESO do IES Antón Losada ao certame de Matemáticas na Raia organizado por AGAPEMA e a APM. Así que seguín o concurso desde o meu outeiro, sen mollarme, mais sen desfrutar da súa caloriña.

Vou deixar por aquí os tres últimos problemas da edición deste ano.

3. A ferradura. Na construción dunha mesquita, coma noutras construcións árabes, empregouse moito o arco de ferradura. A súa forma está baseada no círculo, aínda que non chega a ser completo, pero si supera o semicírculo. 

O arco de feradura da figura está construído de forma que o segmento AB mide 1 metro, igual que o raio do círculo interior, e a altura das columnas que os sustentan é de 2 metros. Cal é a área da zona sombreada correspondente ao oco do arco máis o ocos entre as columnas?

No orixinal non aparecía a axuda da dereita

Como no seguinte problema aparece un triángulo de números, seguro que nos vén á cabeza un relampo do triángulo de Pascal. Claro que o alumnado de 3º da ESO non ten aínda esa referencia. De todas formas o triángulo de Pascal non ten nada que ver con este problema. Trátase dun bo exercicio de xeneralización. Non descarto usalo o vindeiro curso ao traballar o tema de progresións.

4. Camiños. O triángulo de números

Un camiño 1-2-3-4-5-6 é unha liña quebrada formada por segmentos horizontais e vertricais que pasan polos números 1, 2, 3, 4, 5, 6.

a) Cantos camiños 1-2-3-4-5-6 hai?

b) Se prolongamos ese triángulo de números da forma en que está contruído ata 20 filas, cantos camiños 1-2-3-4-...-20 hai?

c) Se procedemos desta maneira ata "n" filas, cantos camiños 1-2-3-4-...-n hai?

A miña experiencia dime que o último dos problema propostos debeu ser o que máis dificultades e bloqueos lles debeu producir aos participantes no concurso deste ano. Así tamén foi o caso do certame de Matemáticas na Raia do 2020. Daquela puidera comprobar que nin os meus alumnos nin os do IES que fóra vixiar eran quen de atacar outro problema de lóxica que se propuxera aquel ano (se seguides a ligazón iredes a unha entrada deste blogue publicada o "día do papel hixiénico", é dicir, o día en que comezou o confinamento)

5. Tarxetas lóxicas. Cantas frases falsas hai en cada tarxeta?

Tarxeta 1:

A. Nesta tarxeta, hai exactamente unha frase falsa       

B. Nesta tarxeta, hai exactamente dúas frases falsas.

C. Nesta tarxeta, hai exactamente tres frases falsas.

D. Nesta tarxeta, hai exactamente catro frases falsas.

E. Nesta tarxeta, hai exactamente cinco frases falsas.

F. Nesta tarxeta, hai exactamente seis frases falsas.

Tarxeta 2:

A. Nesta tarxeta, ningunha frase é falsa.

B. Nesta tarxeta, polo menos unha frase é falsa.

C. Nesta tarxeta, polo menos dúas frases son falsas.

D. Nesta tarxeta, polo menos tres frases son falsas.

E. Nesta tarxeta, polo menos catro frases son falsas.

F. Nesta tarxeta, todas as frases son falsas.

Un problema de Kíiv

Nestes días Ucraína é o gran foco de atención mundial. Desafortunadamente éo porque nese espello reflíctese a cara máis aborrecible do ser humano: morte, destrución e guerra con consecuencias imprevisibles pero sempre cargadas de dor. A invasión mediática é tal que incluso desde os lugares máis alonxados  as insitucións máis distanciadas do conflito viraron a súa mirada cara Ucraína. Foi o caso da Real Academia Galega, en concreto do seu Seminario de Onomástica, que se preocupou pola forma que deberían ter na nosa lingua os topónimos ucraínos. O caso máis rechamante quizais sexa o da capital, que ata o momento coñeciamos a través da súa adaptación rusa, Kiev, pero que a partir de agora deberemos escribir, Kíiv, a súa transliteración da pronuncia autóctona do nome.

E que ten que ver todo isto coas matemáticas? O parágrafo anterior serve para explicar a discrepancia de grafías entre o título da entrada e a do libro ao que me vou referir, From Erdös do Kiev: Problems of Olympiad Caliber. O seu autor é, nin máis nin menos, que o canadiano Ross Honsberger (1929-2016), responsable dunha boa colección de diamantes, xemas e delicias matemáticas. O libro, está claro, recolle problemas de distintas competicións matemáticas e, efectivamente, unha delas foi unha olimpíada celebrada en Kíiv no 1954. O comentario explícto de Honsberger de que o problema que recolle se lle propuxera a estudantes de 9º grao (equivalente ao noso 3º da ESO) incita a que pensemos que é demasiado difícil para este nivel. Presentamos por fin o enunciado:

Inscríbese unha circunferencia nun triángulo e circunscríbese un cadrado a esa circunferencia. Demostra que máis da metade do perímetro do cadrado está dentro do triángulo.

Dito doutro xeito, e facendo referencia ao seguinte applet, hai que demostrar que as liñas vermellas suman unha lonxitude maior que as verdes:

Reflexionando sobre o problema, se no canto de considerar un cadrado tomamos outro polígono regular de máis lados, parece que o resultado debe seguir verificándose pois ese polígono regular cingue máis estreitamente a circunferencia polo que parece que debería estar máis dentro do triángulo. En conclusión unha maior parte do perímetro do polígono será interior ao triángulo. Isto non sucede se o polígono fose un triángulo. Basta ver a seguinte representación con triángulos equiláteros.

Aquí é obvio que o perímetro exterior ao triángulo (en verde) duplica ao perímetro interior (en vermello).

A solución que nos ofrece Honsberger fai uso dun fermoso e evidente resultado:

Nun triángulo rectángulo a diferenza entre a suma dos catetos e a hipotenusa é igual ao diámetro do incírculo.

Basta con botarlle unha ollada á seguinte figura para confirmalo:

Deixo nas mans dos poucos que poidan pousar os ollos nesta entrada o traballo de completar a demostración do problema de Kíiv.