A curiosa xeometría euclidiana de Márta Svéd. Introdución (1)

Comeza aquí unha serie de tres entradas sobre unha curiosa xeometría. Ben, en realidade non é este o principio. Este xa foi publicado neste mesmo blogue noutras tres entradas:

• A proxección estereográfica reencontrada. Aquí explícase en que consiste a proxección estereográfica e danse algunhas propiedades da mesma, como a de que leva circunferencias en circunferencias ou que conserva os ángulos.
• A inversión proxectada. Nesta entrada relátase en que consiste a inversión respecto dunha circunferncia e como se pode obter a inversión a partir da proxección estereográfica. Isto último permite revisar cal é a inversión de circunferencias, tanto das que pasan polo centro da circunferencia inversiva como as que non; tamén explica por que a inversión conserva ángulos.
• Un regalo da xeometría inversiva. Esta ligazón lévanos a unha fórmula que relaciona a lonxitude dun segmento $AB$ coa do seu inverso $A'B'$. Como regalo obtemos unha fermosa demostración do teorema de Ptolomeo.

A curiosa xeometría de Márta Svéd

No verán pasado fun ao curso da USC "Matemáticas húngaras", organizado polo profesor Jorge Losada Rodríguez. Unha das conferencias correu a cargo da coñecida divulgadora Marta Macho, da Universidade do País Vasco, trataba sobre as mulleres matemáticas de Budapest. Falou da vida, obra e aventuras de moitas mulleres húngaras. Unha delas foi a Marta Wachsberger (1910-2005) , coñecida como Marta Svéd despois do seu matrimonio, fuxiría a Australia no 1935, escapando do horror nazi. Con 75 anos defendería a súa tese doctoral na Universidade de Adelaida. 

Marta Macho deunos a coñecer un curioso libro escrito por Marta Svéd, Journey into geometries (AMS/MAA, 1991). Trátase dun orixinal diálogo entre un tal Dr. Whatif, Lewis Carroll, autor de Alicia no país das marabillas, a propia Alicia e moitos outros dos personaxes do famoso libro de Carroll (Humpty Dumpty, Tweedledee e Tweedledum, a Raíña Vermella, a Lebre de Marzo,...). Alicia xoga o papel de alumna avantaxada; Lewis Carroll representa as matemáticas decimonónicas. O significativo antropónimo, Dr. Whatiff,  desvela o carácter principal dun individuo sempre disposto a innovar e a xogar con novas hipóteses. Para rebaixar as expectativas de quen estivera pensando en ler este libro, cómpre que saiba que nel hai moitas matemáticas ata o punto de que cada capítulo remata cun boletín de exercicios. O libro conta cun pequeno prefacio do xeómetra H.S.M. Coxeter (1907-2003) e cunha boa colección de ilustracións que axudan moito á lectura. Estas son obra do tamén matemático John Stilwell (1942-)

En Journey into geometries os personaxes viaxan por distintas ideas xeométricas. No primeiro capítulo trabállase a potencia dun punto respecto dunha circunferencia; o segundo trata sobre a inversión; o cuarto ocúpase da xeometría hiperbólica, o quinto da xeometría do disco de Poincairé e o sexto e último capítulo está dedicado á xeometría proxectiva. 

E o terceiro? O terceiro, desde o meu punto de vista, é o máis interesante de todos. Nel Marta Svéd presenta unha xeometría euclidiana dunha fasquía extravagante. No libro esa xeometría recibe o nome de "xeometría do Dr. Whatif". Por simplicidade referireime a ela como xeometría W (en referencia ao Dr., ou quizais, aínda mellor, en referencia a Wɐɹʇɐ). Co fin de  distinguilos dos conceptos da xeometría euclidiana usual aos da W-xeometría denominareinos usando ese símbolo: W-puntos, W-rectas, W-rectas, W-distancias...

A W-xeometría é unha xeometría do plano na que eliminamos un punto ao que chamaremos punto O. En compesación engadimos un novo punto, o do infinito, $P_{\infty }$ . As W-rectas serán as circunferencias e as rectas que pasen por O. Estas últimas serán as W-rectas que conteñan o punto do infinito. Tendo en conta que podemos considerar as rectas como circunferencias de raio infinito estariamos en disposición de resumir dicindo que as W-rectas son as circunferencias que conteñen a O (pero sen o punto O, por suposto). Así, os W-segmentos serán ben arcos de circunferencia, ben segmentos usuais nas rectas que pasan polo punto do infinito, ben segmentos que conteñan ou teñan como extremo ao punto do infinito. Os W-ángulos coincidirán cos ángulos da xeometría euclidiana usual. 

Pasemos a comprobar que a W-xeometría é euclidiana, isto é, que verifica os cinco postulados propostos por Euclides nos Elementos.

I postulado

Un dos resultados da xeometría plana máis coñecidos é o que nos di que por tres puntos sempre podemos trazar unha circunferencia.  Aplicando este resultado á W-xeometría teriamos que dados dous W-puntos $A$ e $B$, e dado $O$, poderemos trazar a W-recta que pasa por eles. Se están aliñados volveremos a recordar que podemos considerar a recta como unha circunferencia de raio infinito.l Dado un punto calquera $A$ e o punto do infinito $P_{\infty }$ sempre podemos trazar a recta que pasa por eles pois é a recta euclidiana que pasa por $A$ e por $O$ Así que a W-xeometría verifica o I postulado euclidiano.

Postulado II

 Consideremos unha circunferencia que pase por O (da que eliminamos precisamente o punto O). Dado nela un arco de circunferencia $AB$ sempre o poderemos ampliar a outro arco maior $A'B'$ en calquera dos dous sentidos.

Traduzamos isto en termos da W-xeometría. Teremos que dado un W-segmento $AB$ poderemos prolongalo a outro $A'B'$. Este é o II postulado da xeometría euclidiana. Se partimos dunha recta que pasa por O, pode suceder que o segmento $AB$ sexa finito, nese caso basta con remitirnos á xeometría euclidiana clásica 

Algúns casos do Postulado II

No caso de que o segmento conteña a $P_{\infty }$, tampouco teremos dificultades tanto para ampliar o segmento $AB$ a $A'B'$ como o segmento $AP_{\infty }$ a outro $AP_{\infty }'$

Postulado II con punto do infitnito

Postulado III

O III postulado di que debemos ser quen de "debuxar unha circunferencia con calquera centro e distancia". Velaquí que debemos explicar como medir distancias nesta peculiar xeometría. Marta Svéd ofrécenos unha analoxía para achegarnos a este tópico.

Supoñamos que, sen usar o compás,  queremos trazar unha circunferencia de centro $C$ e pasando por un punto $P$ na "anticuada" xeometría euclidiana. Poderiamos facelo da seguinte maneira. Consideremos unha recta $r$ pasando por $C$ para obter $P'$, a reflexión de $P$ respecto de $r$. $P'$ será outro punto da circunferencia. Xa que logo, a circunferencia estará formada por todas as reflexións de $P$ respecto de todas as rectas pasando polo centro $C$. Pois ben, a W-reflexión non será outra cousa que a inversión. Unha W-circunferencia poderá obterse invertendo un punto $P$ polas circunferencias que pasan por $O$ e por $C$. 

Unha circunferencia que pase por $O$ e $C$ terá o seu centro na mediatriz $m$ do segmento $OP$. Cada unha delas invertirá un punto $P$ noutro $P'$ e irá xenerando a W-circunferencia de centro $C$. Ao conxunto de todas estas circunferencias coñéceselle como feixe elíptico de circunferencias. Para trazar a W-circunferencia de centro $C$ pasando por $P$ podes mover o punto $X$ ou premer no play.

Se xogas un pouco coa aplicación verás que a W-circunferencia é unha circunferencia euclidiana pero o seu centro $C$ non coincide co centro na xeometría euclidiana. A razón é que as distancias na W-xeometría non coinciden coas euclidianas. A chave para a definición das W-distancias está na fórmula que vimos noutra ocasión que nos indica cal é a lonxitude dun segmento $A'B'$ que resulta da inversión doutro $AB$ por unha circunferencia de raio $R$:  $$A'B'=\frac{R^{2}\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Para simplificar tomaremos $R=1$ e definiremos a W-distancia entre dous puntos $A$ e $B$ como $$ d_{W}\left ( AB \right )=\frac{ AB}{OA\cdot OB}$$

Desta definición é inmediato verificar tanto que esta nova definición de distancia é simétrica como que obteremos sempre números positivos (só será 0 se $A=B$). A desigualdade triangular da W-distancia é unha consecuencia da desigualdade de Ptolomeo. 

Quedan por comprobar os dous postulados máis polémicos de Euclides. Farémolo nas dúas seguintes entradas ([2] e [3])

Un regalo da xeometría inversiva

Nunca estudei a xeometría inversiva. O máis cerca que estiven diso foi nas clases de Álxebra II, no segundo cuso da carreira, cando traballamos a razón dobre. Aquel achegamento , facendo honra á denominación da materia, foi puramente alxébrico. Nesas clases nunca debuxamos unha circunferencia. Así, cando vexo algúns apuntes sobre ese tema ando sempre ás atoutiñadas, todo me sorprende. 

Nunha entrada anterior xa se explicaba en que consistía a inversión dun plano mediante unha circunferencia. Recórdoo de seguido. Trátase dunha transformación do plano (agás un punto) en si mesmo. Dada unha circunferencia, (que chamaremos circunferencia inversiva) de centro O (centro de inversión) e raio R construiremos a inversión así:

Se $P$ é un punto do círculo de centro $O$ e raio $R=OT$ trazamos a semirecta $OP$ e a súa perpendicular polo punto $P$. Esta perpendicular cortará en dous puntos á circunferencia. A tanxente nun destes puntos cortará a semirecta $OP$ nun punto $P'$ que será a inversión de $P$

No caso de que $P$ fique fóra do círculo a obtención de $P'$ sería semellante. Desde $P$ trazamos unha das tanxentes á circunferencia $PT$. Despois trázase a perpendicular a $OP$ por $T$ e obtemos $P'$

En calquera caso  o inverso dun punto $P$ respecto dunha circunferencia de centro $O$ e raio $R$ é outro punto $P'$ na semirecta $OP$ tal que $OP\cdot OP'=R^{2}$ Son bastante evidentes as seguintes propiedades:

• O inverso do inverso é o propio punto
• O inverso dun punto interior á circunferencia fica fóra da mesma e viceversa.
• Os únicos puntos auto-inversos son os da circunferencia

Na entrada á que facía referencia anteriormente deducíranse algunhas propiedades da inversión usando un método un tanto estrafalario (mediante o uso da proxección estereográfica). Alí establecimos os seguintes resultados:

• A inversión conserva os ángulos
• A inversa dunha recta que pasa por O é a propia recta (sempre que omitamos o propio punto O, que é o único que non ten imaxe)
• A inversión transforma circunferencias que non pasan por O en circunferencias
• A inversión transforma circunferencias que pasan por O en rectas.

Imos demostrar a última propiedade mediante un procedemento máis estándar. Recóllo do libro "Regreso a la geometría" de H.S.M Coxeter e S.L. Greitzer (La tortuga de Aquiles 1993).

Consideremos unha recta $a$ que non pase por $O$. Tracemos desde $O$ a perpendicular a $a$, $=OA$. Sexa $A'$ a inversa de $A$. Debuxemos a circunferencia $\alpha $ de diámetro $OA$. Desde un punto $P\in a$ trazamos o segmento $OP$ que cortará a $\alpha $ nun punto $P'$. 

Os triángulos $\triangle OP'A'$ e $\triangle OPA$ son semellantes xa que comparte o ángulo en O e ambos teñen ademais un ángulo recto. De aí que tamén $$\frac{OP}{OA}=\frac{OA'}{OP'}\Rightarrow OP\cdot OP'=OA\cdot OA'=R^{2}$$

Entón $P'$ é o inverso de P.  Recíprocamente calquera punto da circunferencia $\alpha$ invértese noutro da recta $a$

A lonxitude dun segmento invertido

Seguindo o libro de Coxeter e Greitzer abordaremos agora un teorema que explica como se modifica a distancia mediante a inversión. 

Fórmula da lonxitude dun segmento invertido. Se unha circunferencia $\omega$ de centro $O$ e raio $R$ inverte os puntos $A$ e $B$ en $A'$ e $B'$, as distancias verifican a seguinte relación $$A'B'=\frac{R^{2}\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Sexa $A'$ inverso de $A$: $OA\cdot OA'=R^{2}$

Sexa $B'$ inverso de $B$: $OB\cdot OB'=R^{2}$

Entón $OA\cdot OA'=OB\cdot OB'$ polo que e  $$\frac{OA}{OB}=\frac{OB'}{OA'}$$

Daquela os triángulos $\triangle OAB$ e $\triangle OA'B'$ son semellantes pois o ángulo en O é común e os lados que o determinan son proporcionais (aplicamos o chamado criterio LAL). Polo tanto temos tamén que $$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OB}=\frac{OA\cdot OA'}{OA\cdot OB}=\frac{R^{2}}{OA\cdot OB}$$

Despexando, obtemos a igualdade prometida: $$A'B'=\frac{R^{2}\cdot AB}{OA\cdot OB}$$

Un regalo: o teorema de Ptolomeo

Hai moitas demostracións do teorema de Ptolomeo. Algunhas teñen base trigonométrica, outras usan a semellanza de triángulos. No libro que vimos mencionando demóstrase este teorema usando a recta de Simson-Wallace (para este tema ver estas outras entradas neste mesmo blogue [1] e [2]). Resulta que tamén hai unha demostración inversiva, ademais é directa e simple.

Antes de nada lembremos que un cuadrilátero cíclico é aquel que ten os catro vértices nunha mesma circunferencia. Sabendo isto podemos enunciar o

Teorema de Ptolomeo. Se ABCD é un cuadrilátero cíclico, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das diagonais, isto é: $AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot BC$

Sexa $\alpha$ a circunferencia pola que pasan os catro vértices do cuadrilátero. Tomando o vértice $A$ como centro, construímos outra circunferencia $\omega$ que conteña ao cuadrilátero. Agora, como os outros vértices, $B$, $C$ e $D$ están en $\alpha$, unha circunferencia que pasa polo centro de inversión, se os invertemos, as súas imaxes $B'$, $C'$ e $D'$ ficarán todas nunha recta. Velaí que $$B'D'=B'C'+C'D'$$

Fagamos agora uso da fórmula, dada anteriormente,  que nos dá a distancia dun segmento invertido:$$\frac{R^{2}\cdot BD}{AB\cdot AD}=\frac{R^{2}\cdot BC}{AB\cdot AC}+\frac{R^{2}\cdot CD}{AC\cdot AD}$$

Eliminando $R^{2}$ e sacando denominadores facendo uso de que o seu mínimo común múltiplo é $AB\cdot AC\cdot AD$:

$$AB\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot CD$$

O recíproco do teorema de Ptolomeo tamén se verifica, isto é:

Recíproco do teorema de Ptolomeo. Se ABCD é un cuadrilátero tal que: $AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot BC$, entón ABCD é un cuadrilátero cíclico.

Por outra banda, dados catro puntos calquera, sempre se verificaría a desigualdade, coñecida tamén como desigualdade de Ptolomeo: $$AB\cdot BD\leq AD\cdot BC+AB\cdot CD$$

Ademais a igualdade que nos ofrece o teorema de Ptolomeo caracteriza os cuadriláteros cíclicos.

Como colofón citaremos a seguinte aplicación do teorema de Ptolomeo. Consideremos o pentágono regular de lado unidade. As súas diagonais son evidentemente iguais (son a base de triángulos isósceles de lado 1); poñamos que miden $\varphi$ Desbotando por exemplo o vértice superior quédanos un cuadrilátero cícliclo.

Se lle aplicamos a este cuadrilátero o teorema de Ptolomeo teremos que $$\varphi \cdot \varphi =1\cdot \varphi +1$$

$$\varphi ^{2}=\varphi +1$$

Esta é unha ecuación doada de resolver, ou de recoñecer.

O problema da persecución de Apolonio

Problema da persecución de Apolonio. Consideremos dous barcos A e B que se desprazan en liña recta e tales que a velocidade de B é k veces a de A. Trátase de que, sabendo a dirección de avance de A, o barco B o intercepte no menor tempo posible.

Para dar resposta a este problema imos trasladarnos atrás no tempo. Como case sempre sucede na xeometría plana, hai que retrotraerse ata os Elementos de Euclides (III a.C.), concretamente ao seguinte resultado:

Proposición VI.3. Se o ángulo dun triángulo se corta á metade e a recta que corta o ángulo corta tamén a base, os segmentos da base gardarán a mesma razón que os restantes lados do triángulo; e se os segmentos da base gardan a mesma razón que os restantes lados do triángulo, a recta unida dende o vértice ata o punto de corte cortará á metade o ángulo do triángulo. [ver Elementos]

A primeira implicación é tamén un dos primeiros resultados (1.33) que achamos no recomendable Geometry revisited de H. S. M. Coxeter e S. L. Greitzer, onde se demostra por medio do teorema dos senos.

Teorema 1.33. A bisectriz dun ángulo dun triángulo divide o lado oposto en dous segmentos de lonxitude proporcional á lonxitude dos lados que o forman.

Aplicando o teorema dos senos e tendo en conta que os ángulos suplementarios en M teñen o mesmo seno:
$$\frac { AM }{ sen\left( \frac { C }{ 2 }  \right)  } =\frac { b }{ senM } \\ \frac { BM }{ sen\left( \frac { C }{ 2 }  \right)  } =\frac { a }{ senM } \\ \frac { AM }{ BM } =\frac { b }{ a } $$

Parece ser que unha xeneralización deste resultado ao ángulo exterior é debida o matemático inglés Robert Simson (1687-1768). Estou a falar da seguinte proposición, que pode obterse a partir do teorema de Tales:

Teorema. A bisectriz tanto dun ángulo interior como exterior dun triángulo divide o lado oposto en segmentos proporcionais á lonxitude dos lados que o forman.

$$  \frac { AM }{ BM } =\frac { b }{ a } \quad \quad \quad  \frac { AN }{ BN } =\frac { b }{ a }$$

Agora estamos en disposición de definir a circunferencia de Apolonio do triángulo ABC para o vértice C: será aquela que pase por C, M e N. Con estes vimbios podemos, por fin, achegarnos á solución do problema. Pouco haberá que comentar se sabemos que a razón das distancias dos puntos da circunferencia de Apolonio dun vértice aos outros dous é constante, concretamente

Teorema. Sexa P un punto da circunferencia de Apolonio do vértice C dun triángulo ABC, entón

$$\frac { PA }{ PB } =\frac { b }{ a }$$

Desde B trazamos perpendiculares a PM e PN que cortan a PA en E e en F. Así podemos trazar tamén BE e BF.
Como MP ⏊ PN ⏊ BF temos tamén que MP ∥ BF. Polo teorema de Tales:
$$\frac { PA }{ PF } =\frac { AM }{ BM }=\frac { b }{ a }\quad\quad\quad[1]$$
Como EB ⏊ MP ⏊ PN temos tamén que EB ∥ PN. Polo teorema de Tales:
$$\frac { PA }{ PE } =\frac { AN }{ BN }=\frac { b }{ a }\quad\quad\quad[2]$$
Entón 
$$\frac { PA }{ PF } =\frac { PA }{ PE }\Rightarrow PF=PE$$
Como EB ∥ PN ⏊ BF entón tamén EB ⏊ BF polo que o triángulo EBF é recto en B e, xa que logo, P é o punto medio da hipotenusa polo que tamén será o circuncentro. Velaí que PF=PB
$$\frac{PA}{PB}=\frac { PA }{ PF }=\frac{PA}{PE}=\frac{b}{a}\quad\Box $$

Ademais ABMN forman unha cuaterna harmónica xa que a súa razón dobre é -1. Basta ter en conta [1] e [2] e considerar que os segmentos están orientados, isto é, que están dotados de signo
$$\left( A,B,M,N \right) =\frac { AM }{ BM } \frac { BN }{ AN } =-\frac { b }{ a } \frac { a }{ b } =-1$$
Xa que estamos metidos en fariña, lembremos as leccións de xeometría proxectiva. As proxeccións conservan a razón dobre e, en consecuencia, as razóns harmónicas tamén serán invariantes. As inversións tamén se conservan por proxeccións.
Dados A e B, supoñamos que o punto M verificando que a razón AB/AM=k está no segmento AB. A resolución do problema da persecución consistirá en obter un punto N tal que ABMN forme unha cuaterna harmónica.
Sexa O o punto medio de A e B. Trazamos a circunferencia de diámetro AB e a perpendicular a esta recta por M cortará a esa circunferencia nun punto T. A recta TN, tanxente á circunferencia, cortará á recta AB nun punto N. Como os triángulos OTM e OTN son semellantes:
$${ OT }^{ 2 }=OA\cdot OB=ON\cdot OM$$
Esta última igualdade significa que tanto A e B como M e N son inversos con respecto á circunferencia ATB. A recta MT será a polar de N na inversión respecto a esa circunferencia.
Finalmente a circunferencia de raio MN dá a solución do problema da persecución de Apolonio pois é a circunferencia de Apolonio do triángulo ABC no vértice C, onde C será o punto de interceptación buscado, obtido como intersección da circunferencia de Apolonio e a recta que marca a dirección de avance do barco A.






Problema para a ESO
Podemos adaptar o anterior enunciado a un problema escolar que sería abordable polo alumnado da ESO:

Problema da persecución de Apolonio; versión escolar. Dous barcos A e B están a unha distancia de 3 km. Desprázanse en liña recta e a velocidade de B é k veces a de A. O barco A leva unha dirección que forma un ángulo de 45º coa liña que une os dous barcos.  B vai interceptar a A no menor tempo posible, acha o punto de encontro sabendo que $$k=\sqrt { \frac { 7 }{ 8 }  } $$

Para resolvelo basta con decatarse de que as lonxitudes dos lados a e b deben estar na mesma proporción que as velocidades dos barcos. Ademais, como o ángulo é de 45º, a altura do triángulo vai ser x.

$$\sqrt { \frac { 7 }{ 8 }  } \cdot a=b\quad \quad \quad ;\quad \quad \frac { 7 }{ 8 } { a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }$$

Entón o problema redúcese a resolver unha ecuación de segundo grao:

$$\frac { 7 }{ 8 } \left( { x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } \right) ={ \left( 3-x \right)  }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }$$

O que nunca deixa de sorprenderme das matemáticas é que tanto esta resolución analítica como a xeométrica coinciden a pesar de seren desenvolvidas por métodos completamente distintos. Ante a vista de casos coma este fáiseme moi costa arriba asumir que haxa xente que non goce deste tipo de casualidades. Ninguén pode negar que as matemáticas teñen o seu aquel de fermosura.