O círculo que mola

Hai uns meses un compañeiro, taménm profesor de matemáticas, recomendárame ver A serie clopen, o proxecto do Centro Dramático Gaglego (CDG) que se estaba representando nesa altura. A recomendación viña, en concreto, da conexión da obra coas matemáticas. Como a min me gusta tanto esa ciencia como o teatro, tiven o firme propósito de ir ver o espectáculo. Porén, unhas veces por unha cousa e outras veces por outra, non fun quen de dar co momento de acudir a unha representación. Resulta que o director escénico desta obra do CDG, Pablo Reboleiro, é o mesmo que está detrás deste vídeo que promete ser o primeiro dunha serie na que, facendo uso das artes escénicas, presentan ideas matemáticas. Para min unha doce e gorentosa sorpresa da que vou destacar sobre todo unha cousa: que está en galego. Isto non é raro no mundo do teatro pero si dentro do ámbito da transmisión das matemáticas. Esta estrañeza ten unha razón fundamental, a prohibición do uso do galego no ensino non universitario establecida no funesto decreto 79/2010. Esta prohibición afecta a este vídeo, na medida en que se pode entender como unha ferramenta para o ensino das matemáticas, en consecuencia (repárese no disparate!) é un material prohibido polo apartado 13.1 do citado decreto de exclusión da lingua galega que di que

 Os materiais e libros de texto das materias impartidas [...]  en castelán [como as matemáticas] estarán redactados na lingua en que se imparta a materia.

Diante desta evidencia vese, espido, o monstruo de radicalidade que senta nas cadeiras do goberno galego que é o menos galego dos gobernos, do que aquí damos evidencia constatable. Para colmo do disparate, a iniciativa, que ten o título de "As mates tamén molan", conta coa colaboración da propia Xunta (!) por medio do financiamento NextGenerationEU. Daqula, xa sabemos cal é a forma do monstruo, un ouróboros devorándose a si mesmo. Este é un círculo que non mola. 

Noutra orde de cousas, Pablo Reboleiro, preséntasenos aquí baixo un perfil youtubeiro, asinando como @pr2, o que nos leva directamente á área do círculo, $\pi r^{2}$ . El preséntase como actor, artista de circo, pallaso e director escénico. "As mates tamén molan" forman parte dos proxectos da compañía de teatro da que Pablo Reboleiro é fundador, Pista Catro. Se ademais sabemos que el é profesor de secundaria e licenciado en Matemáticas, a carreira por excelencia dos pallasos, vemos agora como se pecha o círculo. Este círculo si que mola.

Non deixes de visitar a canle de @pr2

Denuncia da prohibición do uso do galego no ensino das matemáticas

Coñecín a Macías López, profesor de matemáticas, a raíz dun boletín que publicara cando estaba impartindo clase no Porto do Son. Tratábase da Revista Lambda, unh publicación onde podemos achar diversos artigos divulgativos sobre esta ciencia adicados a temas tan diversos como o cubo de Rubik, a banda de Möebius ou ao autor da Carta Xeométrica, Domingo Fontán. 

Neste vídeo, a coñecida activista da lingua, Mercedes Queixas, faille unha pequena entrevista a Macías na que se denuncia a prohibición de impartir aulas de matemáticas en galego. Só un escuro radicalismo antigalego pode seguir sustentando a exclusión da nosa lingua nas aulas, pois é practicamente o único reducto normalizador con visos de efectividade que nos queda a man nun momento de grave retroceso no uso do galego.

Outra vez a ecuación cúbica

Cada vez que me vén á cabeza a figura de Gerolamo Cardano (1501-1576) sáeme un sorriso ao lembrarme da súa autobiografía, Mi vida (Alianza Editorial, 1991). Recoméndollo a todo o mundo pois léndoo un decátase do extravagante que foi o personaxe. 

O ano 1565 é unha desas datas clave na historia das matemáticas por ser cando Cardano publica o Ars Magna, o libro onde dá conta da resolución da ecuación cúbica e da cuártica así como do periplo para chegar a este achádego. Que Cardano nos ofrecera esas solucións non significa que as portas quedasen pechadas neste ámbito. Noutra entrada (Bombelli, máis que complexos) xa comentaramos unha idea alternativa de Bombelli para tratar o problema da cúbica. Sobre esta mesma cuestión imos comentar outra achega, neste cado de Frans van Schooten (1615-1660).

Recorte do libro de van Schooten

van Schooten foi un matemático holandés que traduciu ao latín a Xeometría de Descartes. Con este texto como piar, montou todo un equipo de investigación co que desenvolveu e difundiu a nova xeometría analítica. O seu alumno máis aventaxado sería Christiaan Huygens (1629-1695). 

No ano 1646 van Schooten publica De organica conicarum sectionum in plano descriptione, tractatus. Xa enxergamos polo seu título que se trata dun tratado sobre cónicas pero o que nos interesa a nós é que contén un apéndice sobre a resolución das ecuacións de terceiro grao. Souben disto a partir dunha revista de nome evocador, Chalkdust Magazine, nun artigo asinado por Elinor Flavel, que vou debullar de seguido. Daquela, podes ir ao artigo e pasar de ler as seguintes liñas. Con todo non vou fusilar directamente o artigo senón que o procurarei contar á miña maneira.

É ben sabido que cando se afronta a resolución dunha cúbica: $$Az^{3}+Bz^{2}+Cz+D=0$$ convén realizar o seguinte cambio $$z=x-\frac{B}{3A}$$

pois así chegamos a unha cúbica reducida, isto é, unha ecuación cúbica sen termos cuadráticos: $x^3+px+q=0$

Nos tempos de van Schooten aínda non se asumiran os números negativos como algo natural polo que a anterior expresión remitía a varios casos segundo o signo dos valores dos coeficientes da ecuación. Consideraremos o caso no que ambos son negativos, o que daquela se escribiría, con $p$ e $q$ sempre positivos, cos correspondentes monomios pasados ao segundo membro: $$x^3=px+q$$

Co fin de facer un tratamento xeométrico da ecuación imos pegar un chimpo. Soltado o aviso, solto tamén o exabrupto: sexan $a$ e $b$ tales que $p=3a^{2}$ e $q=a^{2}b$. Con $a<2b$ (xa veremos o que significa esta desigualdade). A ecuación queda da forma $$x^{3}=3a^{2}x+a^{2}b$$Tracemos unha circunferencia de raio $a$. Sexa $FK$ un diámetro. Como $b<2a$, tomando $F$ como centro, se trazamos outra circunferencia de raio $b$, esta vai cortar á anterior nun punto $G$. Daquela $FG=b$

Trisecamos o ángulo $KFG$ cos segmentos  $FL=x$ ($x$?, por que lle chamamos $x$?) e $FI=c$ . Prolongamos estes segmentos ata $S$ e $T$ de forma que$LS=x$ e $IT=c$. Con esta construción obtemos tres triángulos isósceles semellantes: $FHL$, $FLS$ e $FIT$. A semellanza dá lugar ás seguintes igualdades: $$\frac{a}{x}=\frac{x}{c+2a}=\frac{c}{x+b}$$ Por unha banda temos:

$$ac+2a^{2}=x^{2}\Longrightarrow ac=x^{2}-2a^{2}\Longrightarrow c=\frac{x^{2}}{a}-2a$$

Por outra: $$\left( x+b \right)a=xc$$

Intentemos eliminar $c$ da expresión: $$\left( x+b \right)a=x\left( \frac{x^{2}}{a} -2a\right)=\frac{x^{3}}{a}-2ax=\frac{x^{3}-2a^{2}x}{a} $$

$$(x+b)a^{2} =x^{3}-2a^{2}x$$

$$ a^{2}x+a^{2}b=x^{3}-2a^{2}x$$

$$x^{3}=3a^{2}x+a^{2}b$$

Pero se esta é a ecuación coa que comezamos! Velaí que, efectivamente, $x=FL$ é a solución.

Quédanos por comentar o significado alxébrico da expresión $b<2a$ pois o xeométrico xa o sabemos: é o que nos permite trazar todo o debuxo anterior. Multipliquemos por $a^{2}$:

$$a^{2}b\lt 2a^{3}\Longrightarrow \frac{a^{2}b}{2}\lt a^{3}$$

Elevando ao cadrado: 

$$\left( \frac{a^{2}b}{2} \right)^{2}\lt a^{6}=\left( a^{2} \right)^{3}=\left( \frac{3a^{2}}{3} \right)^{3}$$

Escribimos agora o primeiro e o último termo en función de $p=3a^{2}$ e $q=a^{2}b$:

$$\left( \frac{p}{2} \right)^{2}\lt \left( \frac{q}{3} \right)^{3}\Longrightarrow \left( \frac{q}{3} \right)^{3}-\left( \frac{p}{2} \right)^{2}\gt 0$$

Isto é o discriminante da fórmula de Cardano!; ten que ser positivo para que poidamos obter unha solución (non complexa). Para comprobarmos esta afirmación en todo o seu esplendor lembraremos a fórmula de Cardano para as ecuacións da forma $x^{3}=px+q$

$$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^{2}-\left( \frac{p}{2} \right)^{3}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^{2}-\left( \frac{p}{2} \right)^{3}}}$$

Todo funcionaría marabillosamente se non fose por un pequeno detalle. Lembremos que un dos primeiros pasos consistía en trisecar o ángulo $KFG$. Iso mesmo, a trisección dun ángulo, un deses problemas clásicos que son clásicos porque non hai que lle meta o dente.