É moi interesante debullar como nós, como animais sociais, imos construíndo coñecementos e prexuízos. As matemáticas teñen unha imaxe social de saber esotérico, duro, difícil e incluso desagradable; mais tamén estas características reforzan a percepción das matemáticas como chave dos máis diversos e profundos coñecementos polo que ninguén se atreve a cuestionar a súa ignota necesidade. A todo isto contribúen moito as historias que recibimos arredor desta ciencia.
Cando era novo recordo moitos avisos de prevención sobre a dificultade insuperable da materia. "Xa verás cando estudes (e aquí podemos poñer: ecuacións, logaritmos, derivadas,...), non hai quen as entenda" Así é imposible comenzar un novo curso sen medo. A isto hai que engadir as historias sobre eses temidos profesores de matemáticas. Eu mesmo podo contar o caso de quen "explicaba" en 2º de BUP (para os novos, pensade no curso para a idade de 4º da ESO) o plano vectorial real como un conxunto de clases de equivalencia (isto é, vectores equipolentes) e demostraba, por exemplo, que a suma de vectores non dependía do representante da clase que se elixira; e así todo. Xuro que é certo.
Recordo que o meu compañeiro de pupitre tiña un irmán que acababa de comezar os estudos universitarios e segundo contaba, propuxéranlle o problema de determinar o tempo que unha vaca tardaría en toda a herba dun prado, tendo en conta que a herba continuaría crecendo. Por máis interese que lle puxen ao conto, e por máis que o pedín, nunca cheguei a saber o enunciado exacto do problema. Estaba claro que a intención da historia, non era transmitir un problema, senón a de estender a idea de que o problema, fose cal for, era tremendamente difícil. Así son as matemáticas.
 |
Arthmetica Universalis, 1707 |
Non podía imaxinar a alegría que aquela historia do problema da vaca, xa prácticamente esquecida, me traería hai uns poucos días cando atopei un enunciado que ben podería ser aquel que nunca chegara a coñecer en detalle. O problema aparece nun libro,
Arithmetica Universalis, que nas súas primeiras edicións non ten referencia ningunha ao seu autor, Isaac Newton. Non sabemos a razón disto, quizais a enfermiza incapacidade de Newton para recibir críticas. O libro está elaborado a partir das notas que Newton escribira a partir da lectura doutros libros de álxebra para as conferencias que tiña que impartir como posuidor da cátedra lucasiana. Precisamente sería o seu sucesor na cátedra quen se encargaría da primeira edición, en latín, do libro
Arthmetica Universalis no 1707, William Whiston (1667-1752), un dos máis activos precursores nas iniciativas para abordar o problema de determinar a lonxitude na navegación. Así como Newton mantivo as súas crenzas arrianas en segredo, Whiston non dubidou en facelas públicas polo que foi acusado de herexe e expulsado de Cambridge. Parece bastante probable que as coincidencias teolóxicas destes dous homes foron determinantes para que Newton o escollera Whiston como o seu sucesor na cátedra lucasiana.
O carácter conservador de Newton levaríao a desprezar a álxebra como "a análise dos trapalleiros en matemáticas",fronte á xeometría, que consideraba unha ciencia superior por estar axiomáticamente establecida. Paradoxalmente, a Arthmetica Universalis contribuiría ao medre da álxebra pois contiña resultados relevantes, como as fórmulas das potencias das raíces dunha ecuación alxébrica así como un método para determinar o máximo número de raíces reais. Tamén neste libro é onde Newton descubre a relación entre as raíces e o discriminante.
O problema
En contradición coas prevencións newtonianas á publicación, no 1720 aparece unha nova versión da obra, agora titulada
Universal Arthmetik, e traducida ao inglés por Joseph Raphson (1668-1712), matemático inglés coñecido polo método de Newton-Raphson, de aproximación de raíces. O primeiro en publicar este método, no 1690, foi Raphson, e aínda que parece ser que Newton xa o coñecía en 1671, non se revelaría o seu achádego ata edición póstuma do
Method of fluxions no 1736. Curiosamente, e como se pode comprobar, a tradución de Raphson da
Artithmetica Universalis tamén se publica anos despois da morte deste. Volve a suceder que tampouco aparece o nome de Newton nesta edición.
Despois desta breve introdución, desvelamos o enunciado do problema dos bois newtoniano:
Se b1 bois comen todo o pasto dunha herbeira de área a1 nun tempo c1, e b2 bois acaban cunha área a2 nun tempo c2; sabendo que a herba crece uniformemente, pídese achar cantos bois comerán unha área a3 nun tempo c3
Newton resolve o problema usando razoamentos de proporcionalidade, porén non se trata dun problema simple pois o engadido do crecemento contínuo da herba dificulta bastante a cuestión. Tendo en conta que, na súa notación denomina ás varibles
a, b, c (bois, área e tempo da primeira herbeira),
d, e
f (aos da segunda herbeira) e finalmente
g e
h (área e tempo da terceira herbeira) ofrece como solución esta monstruosa expresión, sobre todo porque tamén aparece escrita á dereita coa miña notación:$$\frac { gbdfh-ecagh-bdegf+ecfga }{ befh-bceh } =\frac { { a }_{ 3 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 2 }{ c }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ c }_{ 1 }{ b }_{ 1 }{ a }_{ 3 }{ c }_{ 3 }-{ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }{ c }_{ 1 }{ a }_{ 3 }{ c }_{ 2 }+{ a }_{ 2 }{ c }_{ 1 }{ c }_{ 2 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 1 } }{ { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }{ c }_{ 2 }{ c }_{ 3 }-{ a }_{ 1 }{ c }_{ 1 }{ a }_{ 2 }{ c }_{ 3 } } \quad \quad [1]\quad $$
Como alternativa, vou ofrecer unha solución máis alxébrica.
Sexa h a cantidade de herba por unidade de área, k a herba que crece por unidade de tempo e área e a que come un boi por unidade de tempo. Velaquí que como cada grupo de bois acaba co pasto da súa correspondente herbeira, temos o seguinte sistema de ecuacións lineares:
$${ a }_{ 1 }h+{ c }_{ 1 }{ a }_{ 1 }k-{ c }_{ 1 }{ b }_{ 1 }q=0\\ { a }_{ 2 }h+{ c }_{ 2 }{ a }_{ 2 }k-{ c }_{ 2 }{ b }_{ 2 }q=0\\ { a }_{ 3 }h+{ c }_{ 2 }{ a }_{ 2 }k-{ c }_{ 2 }{ b }_{ 2 }q=0$$
Vemos aquí un sistema homoxéneo pero que debe ter unha solución distinta da trivial. Polo tanto o determinante da matriz de coeficientes debe ser cero.
$$\begin{vmatrix} { a }_{ 1\quad } & { c }_{ 1 }{ a }_{ 1 } & { -c }_{ 1 }{ b }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 }{ a }_{ 2 } & { -c }_{ 2 }{ b }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 }{ a }_{ 3 } & { -c }_{ 3 }{ b }_{ 3 } \end{vmatrix}=0$$
A matriz ampliada das dúas primeiras ecuacións será:
$$\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } & { \quad c }_{ 1 }{ a }_{ 1 } & { \quad c }_{ 1 }{ b }_{ 1 }q \\ { a }_{ 2 } & { \quad c }_{ 2 }{ a }_{ 2 } & { \quad c }_{ 2 }{ b }_{ 2 } q\end{pmatrix}$$
Resolvemos este sistema. Podemos aplicarlle a regra de Cramer e obtemos as solucións:
$$h=\frac { \left( { c }_{ 1 }{ b }_{ 1 }{ c }_{ 2 }{ a }_{ 2 }-{ c }_{ 2 }{ b }_{ 2 }c_{ 1 }{ a }_{ 1 } \right) q }{ { a }_{ 1 }{ c }_{ 2 }{ a }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ c }_{ 1 }{ a }_{ 1 } } \quad \quad \quad k=\frac { \left( { a }_{ 1 }{ c }_{ 2 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ c }_{ 1 }{ b }_{ 1 } \right) q }{ { a }_{ 1 }{ c }_{ 2 }{ a }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ c }_{ 1 }{ a }_{ 1 } } $$
Newton pregúntanos por b3.Se despexamos este valor na terceira ecuación:
$${ b }_{ 3 }=\frac { { a }_{ 3 } }{ { c }_{ 3 }q } h+\frac { { a }_{ 3 }{ c }_{ 3 } }{ { c }_{ 3 }q } k=\frac { { a }_{ 3 }\left( { c }_{ 1 }{ b }_{ 1 }{ c }_{ 2 }{ a }_{ 2 }-{ c }_{ 2 }{ b }_{ 2 }c_{ 1 }{ a }_{ 1 } \right) +{ a }_{ 3 }{ c }_{ 3 }({ a }_{ 1 }{ c }_{ 2 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ c }_{ 1 }{ b }_{ 1 }) }{ { { c }_{ 3 }a }_{ 1 }{ c }_{ 2 }{ a }_{ 2 }-{ { c }_{ 3 }a }_{ 2 }{ c }_{ 1 }{ a }_{ 1 } } $$
Obtemos, como era de esperar, o resultado da expresión que se presentou en [1]
Retrospectivamente, tal e como se presentou aquí, parece que Newton estaba a un paso dos determinantes. Non é así. Pero traballos moitos coma este contribuirían á creación dun ambiente de confianza nas posibilidades da álxebra e á procura de métodos que superasen as dificultades que establecían este tipo de cuestións. Cando hoxe se queren buscar as orixes dos determinantes é habitual comezar facendo referencia aos traballos de Leibniz, quen, por outra banda, había de ser obxecto dunha famosa controversia con Newton sobre a prioridade da invención do cálculo.
Un caso particular
Newton aínda ofrecería un caso particular do seu problema e que moitas veces foi proclamado como "o problema dos bois (ou das vacas) newtoniano". Di o seguinte:
12 bois comen 3⅓ de acres de pasto en 4 semanas, e 21 bois comen 10 acres de pasto en 9 semanas; achar cantos bois comerían 36 acres en 18 semanas
Para resolver esta versión bastaría substituir os datos nas fórmulas anteriores.
