Matemáticas na Raia 2022 desde o meu outeiro

Este ano por diversas circunstancias non apuntei ao alumnado de 3º ESO do IES Antón Losada ao certame de Matemáticas na Raia organizado por AGAPEMA e a APM. Así que seguín o concurso desde o meu outeiro, sen mollarme, mais sen desfrutar da súa caloriña.

Vou deixar por aquí os tres últimos problemas da edición deste ano.

3. A ferradura. Na construción dunha mesquita, coma noutras construcións árabes, empregouse moito o arco de ferradura. A súa forma está baseada no círculo, aínda que non chega a ser completo, pero si supera o semicírculo. 

O arco de feradura da figura está construído de forma que o segmento AB mide 1 metro, igual que o raio do círculo interior, e a altura das columnas que os sustentan é de 2 metros. Cal é a área da zona sombreada correspondente ao oco do arco máis o ocos entre as columnas?

No orixinal non aparecía a axuda da dereita

Como no seguinte problema aparece un triángulo de números, seguro que nos vén á cabeza un relampo do triángulo de Pascal. Claro que o alumnado de 3º da ESO non ten aínda esa referencia. De todas formas o triángulo de Pascal non ten nada que ver con este problema. Trátase dun bo exercicio de xeneralización. Non descarto usalo o vindeiro curso ao traballar o tema de progresións.

4. Camiños. O triángulo de números

Un camiño 1-2-3-4-5-6 é unha liña quebrada formada por segmentos horizontais e vertricais que pasan polos números 1, 2, 3, 4, 5, 6.

a) Cantos camiños 1-2-3-4-5-6 hai?

b) Se prolongamos ese triángulo de números da forma en que está contruído ata 20 filas, cantos camiños 1-2-3-4-...-20 hai?

c) Se procedemos desta maneira ata "n" filas, cantos camiños 1-2-3-4-...-n hai?

A miña experiencia dime que o último dos problema propostos debeu ser o que máis dificultades e bloqueos lles debeu producir aos participantes no concurso deste ano. Así tamén foi o caso do certame de Matemáticas na Raia do 2020. Daquela puidera comprobar que nin os meus alumnos nin os do IES que fóra vixiar eran quen de atacar outro problema de lóxica que se propuxera aquel ano (se seguides a ligazón iredes a unha entrada deste blogue publicada o "día do papel hixiénico", é dicir, o día en que comezou o confinamento)

5. Tarxetas lóxicas. Cantas frases falsas hai en cada tarxeta?

Tarxeta 1:

A. Nesta tarxeta, hai exactamente unha frase falsa       

B. Nesta tarxeta, hai exactamente dúas frases falsas.

C. Nesta tarxeta, hai exactamente tres frases falsas.

D. Nesta tarxeta, hai exactamente catro frases falsas.

E. Nesta tarxeta, hai exactamente cinco frases falsas.

F. Nesta tarxeta, hai exactamente seis frases falsas.

Tarxeta 2:

A. Nesta tarxeta, ningunha frase é falsa.

B. Nesta tarxeta, polo menos unha frase é falsa.

C. Nesta tarxeta, polo menos dúas frases son falsas.

D. Nesta tarxeta, polo menos tres frases son falsas.

E. Nesta tarxeta, polo menos catro frases son falsas.

F. Nesta tarxeta, todas as frases son falsas.

As perlas de Jorge Nuno Silva na Gazeta de Matemática

 A Gazeta da Matemática é unha  das publicacións a cargo da Sociedade Portuguesa da Matemática. Ten unha periodicidade cuadrimestral e despois de pasado un ano pódese descargar libremente. Un dos apartados máis gorentosos é o artigo de Jorge Nuno Silva, profesor da Universidade de Lisboa, moi interesado na matemática recreativa, polo que os seus artigos na Gazeta son fulgurantes perlas deste aspecto das matemáticas. Van de seguido algunhas alfaias deste colar. O primeiro, un problema que ten unha moi boa inserción no currículo da secundaria e que apareceu no nº 187 desa publicación:

O casino das diferenzas.Un xogador paga 2 € para lanzar dous dados cúbicos normais e gaña, en euros, o valor absoluto da diferenza entre os valores que saian no lanzamento, agás se sae dobre, pois neste caso lanza de novo. Este xogo é bo para a casa ou para o apostador?

Jorge Nuno participa nas actividades anuais de homenaxe a Martin Gardner. No número 186 recolle este sorprendente problema do mestre da divulgación:

División entre irmáns.  Dous irmáns acordan vender un rabaño de ovellas, propiedade común de ambos. Curiosamente, cada ovella rende un número de euros igual ao número de ovellas do rabaño. O comprador paga en billetes de 10 € máis voltas (as voltas corresponden a un valor inferior a 10 €).

Para efectuar unha división equitativa do diñeiro, os irmáns comezan por, alternativamente, retirar un billete de 10 €, comezando polo máis vello. Resulta que o último billete tamén lle toca ao irmán máis vello, polo que o máis novo se queixa. O máis vello doulle todas as voltas, mais con todo o outro continúa a súa protesta. Entón, o maior dille: "Voute dar un cheque co que che debo para ficarmos iguais"

De canto era o cheque?

No nº 184 recolle un problema do Liber Abaci, de Leonardo de Pisa, un clásico:

Herdanza do Liber Abaci. Un pai divide  a súa herdanza entre os fillos da seguinte maneira. O primeiro recibe un euro e un sétimo do restante; o segundo ten dereito a dous euros e un sétimo do restante, e así sucesivamente. Acontece que todos reciben cantidades iguais. Cantos son os fillos? A canto lle toca a cada un e canto era a herdanza?

Jorge Nuno aínda se pregunta que pasaría se no canto de termos 1/7 no enunciado tivésemos 1/9, e se fose 1/n?

No número 180, nun artigo titulado Comunicação invisibel informa sobre un problema da Olimpíada Matemática de Moscú. Ao tratarse dun problema con cartas dunha baralla non é de estrañar que tamén fose tratado por ese matemago chamado Pedro Alegría nun artigo titulado Magia olímpica.  :

Comunicación invisible. Repártense as  cartas do 1 ao 7 dun mesmo pau. Hai tres xogadores, Andrey, Boris e Sergey. Tres cartas para cada dun dos dous primeiros e a que queda para Sergey. Ningún deles sabe das cartas que recibiron os outros. Será posible que Andrey e Boris teñan unha conversa, en voz alta e diante de Sergey, de forma que coñezan a distribución das cartas e que Sergey continúa a saber só cal é a súa?

Jorge Nuno explícanos que o problema estaba pensado para que se resolvera usado a artimética modular. Supoñamos que o reparto foi 2, 4 e 6 para Andrey, 3, 5 e 7 para Boris e 1 para Sergey. Se Andrey suma a súas cartas módulo 7 : 2+4+6=12 ≡ 5 (mód.7) e di este último resultado en alto, Boris pode engadir este número á suma das súas: 5+(3+5+7)=20=1 (mód.7). Tendo en conta que  a suma dos valores de todas as cartas 1+2+...+7=0 (mód.7) Boris sabe que Sergey ten que ter un 6,  a diferenza entre 7 e a suma módulo 7 obtida por el. Entón Boris podería anunciar en alto a carta que ten Sergey co que inmediatamente Andrey sabería tamén as que teñen todos.

O mellor de todo é que se nos informa doutra solución realmente orixinal na que se usa... o plano de Fano! 

O plano de Fano é o plano con menos puntos (e rectas) que podemos atopar na xeometría proxectiva: un total de 7 puntos (e polo tanto de 7 rectas).  Cada recta ten 3 puntos, de aí que en cada punto converxan 3 rectas. Da mesma maneira que en dúas rectas hai un total de 5 puntos (un deles pertence ás dúas), dous puntos pertencen a un total de 5 rectas. Tamén diremos que 3 rectas non converxentes nun punto conteñen un total de 6 puntos, ou reciprocamente que 3 puntos non colineares están nun total de 6 rectas. Todo isto vese inmediatamente na imaxe do plano de Fano.

O plano de Fano... útil?

Pero deixemos de dar voltas e centrémonos no problema. Basta con que Audrey mostre o plano de Fano etiquetando os puntos cos números do 1 ao 7, anunciando que as súas cartas se corresponden cunha das rectas. Quedan 4 puntos correspondentes aos outros dous xogadores. Os tres puntos de Boris non poden estar aliñados xa que, nese caso a súa recta cortaría á recta de Audrey e, polo tanto terían unha carta en común, o que é imposible. Xa que logo, eses tres puntos de Boris determinan 6 rectas que conteñen a algún deles. A recta que falta é a de Audrey, polo que Boris xa pode anunciar o valor da carta do incauto Sergey.

Un problema das Olimpíadas de Singapur nas "Matemáticas na Raia"

Había xa varios anos que non tiña que impartir clase en 3º da ESO, así que cando me tocou este ano, o primeiro que pensei foi en participar en "Matemáticas na Raia", unha actividade de resolución de problemas co-organizada entre AGAPEMA (Asociación Galega de Profesorado de Educación Matemática) e a APM (Associação de Professores de Matemática). Meu dito, meu feito. Alá fomos.
A proba consiste na resolución de 5 problemas en 90 minutos. Na actividade participa toda unha clase que pode ter todo tipo de material, agás ordenadores, móbiles ou calquera tipo de conexión co exterior.

Cando lle preguntei aos meus alumnos sobre como lles fóra a proba, destacaron sobre todo a dificultade do 3º problema, o titulado "Aniversario".
Despois da proba buscaron en internet unha posible solución (quen dixo que o alumnado de secundaria non ten ningún tipo de interese?) e explicáronme que se trataba dun problema da Olimpíada Matemática de Singapur. Efectivamente, acabou sendo coñecido como o problema do aniversario de Cheryl e se hoxe incluso ten unha entrada na Wikipedia é porque no seu día se fixo viral (14/04/2015) . Aventuro que foi utilizado para debater sobre o ensino das matemáticas e comentar as diferenzas entre o dos países orientais, o dos occidentais, e máis concretamente o de cada país.
Entendo que algúns presupoñían que se era un problema proposto para rapaces de 14 anos, quizais debería poder ser abordado por calquera que teña os estudos básicos. Aquí estariamos obviando que non se trataba dunha proba ordinaria, senón dunha olimpíada matemática. Agora achámolo recollido nunha actividade galego-portuguesa, non nunha proba de avaliación regrada nin nunha reválida.
Imos ao conto. Velaquí o problema. Veremos que nesta versión Cheryl acabou sendo Helena:

Problema do aniversario de Cheryl. Versión AGPEMA-APM. Alberte e Carlos acábanse de facer amigos de Helena e queren saber cando é o seu aniversario. Helena dálles unha lista de 10 posibles días: 
15 de maio, 16 de maio, 19 de maio, 
17 de xuño, 18 de xuño, 
14 de xullo, 16 de xullo, 
14 de agosto, 15 de agosto e 17 de agosto. 
Helena entón dilles por separado a Alberte o día e a Carlos o mes do seu aniversario. Segue o diálogo: 
Alberte: Non sei cando é o aniversario de Helena, pero sei que Carlos tampouco o sabe. 
Carlos: Ao principio non sabía cando era o aniversario de Helena, pero agora seino 
Alberte: Entón eu tamén sei cando é o aniversario de Helena. 
Cando é o aniversario de Helena? 

Cando se propón un problema, antes de continuar, sempre convén un tempo de reflexión e traballo para resolvelo.

---------------------------------------------------------------------------------

Ao principio supuxen que, agás os nomes dos protagonistas do problema, o resto era unha tradución  do problema proposto en Singapur. Mais a cousa non era así. Finalmente fun dar con outra versión, anterior no tempo á de Singapur, que nun sentido moi preciso é máis semellante á de "Matemáticas na Raia" que a que tivo unha difusión masiva nas redes. Non atraso máis a exposición do problema orixinal que, agás os nomes propios, era o seguinte:

Problema do aniversario de Cheryl. Versión Singapur. Alberte e Carlos acábanse de facer amigos de Helena e queren saber cando é o seu aniversario. Helena dálles unha lista de 10 posibles días: 
15 de maio, 16 de maio, 19 de maio, 
17 de xuño, 18 de xuño, 
14 de xullo, 16 de xullo, 
14 de agosto, 15 de agosto e 17 de agosto. 
Helena entón dilles por separado a Alberte o mes e a Carlos o día do seu aniversario. Segue o diálogo: 
Alberte: Non sei cando é o aniversario de Helena, pero sei que Carlos tampouco o sabe. 
Carlos: Ao principio non sabía cando era o aniversario de Helena, pero agora seino 
Alberte: Entón eu tamén sei cando é o aniversario de Helena. 
Cando é o aniversario de Helena?

 Xa que logo, temos dous problemas. O primeiro é achar a diferenza co anterior, e o segundo resolvelo con esta nova redacción. Cal é máis difícil? Incluso sen ler os enunciados ou sen decatarme da diferenza, eu tería a resposta clara.
Por certo, as solucións das distintas versións tamén son distintas.

Como regalo, un par de problemas da Olimpíada de Singapur para o mesmo nivel (3ºESO):

🔘 Os números de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... onde cada termo despois do segundo obtense sumando os dous termos anteriores. Cantos dos 2014 primeiros números de Fibonacci son impares?

🔘 Sexa x un número tal que $${ x }+\frac { 1 }{ { x } } =5$$. Acha o valor de $${ x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } $$

O feito de participar na actividade de "Matemáticas na Raia" a min deume para escribir esta entrada. Teño a certeza de que aos meus alumnos de 3º lles deu para aprender e interesarse máis polas matemáticas.

Hypatiamat

Desafortunadamente os que impartimos clases de matemáticas puidemos comprobar como nos últimos anos vimos sufrindo unha falta de recursos ofertados desde as institucións educativas. En Galicia houbo sempre pouca oferta. O camiño comenzara a abrirse a principios deste século foi aniquilado a partir do ano 2010. Quedaba aínda o MEC, pero a política educativa dos últimos anos consistiu no abandono de todos os proxectos educativos gratuitos e promovidos desde as institucións públicas para apostar polos recursos educativos de pago. Baixo a epígrafe de "Mochila Dixital" ou "Edixgal" está a facerse unha aposta que exclúe a elaboración desde un laboratorio didáctico público xa que isto non favorece o substancioso negocio dos materiais escolares.
Ata o momento había espazo para as editoriais pero existían tamén moitos proxectos sustentados desde a iniciativa pública que eran realmente gorentosos para a posta en fucionamento nas aulas. Poño como exemplo o Proxecto Descartes que foi completamente abandonado polo Ministerio de Educación e do que agora só queda un desamparado portal con problemas de accesibilidade aos seus recursos. Aínda bo é que os que sustentaban o proxecto seguen a mantelo actualizado, renovado e de libre acceso tan e como podemos comprobar na súa nova dirección.
As razóns aquí expostas fan que teñamos que buscar outras xanelas que nos fornezan de recursos educativos para a aula de matemáticas. Tendo en conta a proximidade da nosa lingua co portugués non é mala idea ir pescar nos países desta fala. Neste caso basta con cruzar o Miño para atoparmos unha boa fardela. O seu nome, Hypatiamat.

Hypatiamat
Para enfrontarse ao problema do fracaso escolar das matemáticas en Portugal, o Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra en colaboración co Grupo Universitário de Investigação em Autorregulação da Escola de Psicologia da Universidade do Minho. O proxecto consiste na utilización de aplicacións interactivas para contribuir á aprendizaxe das matemáticas para alumnos de 5º ano (5º primaria) a 9º ano (3º ESO). Podemos distinguir cinco ofertas principais:

• Aplicacións interactivas. Consiste nunha colección de unidades didácticas interactivas sobre distintos temas. Fixéronme recordar o excelente material ED@D do Proxecto Descartes.
• Apps para aprender. Podemos atopar aplicacións que nos ensinan a construir triángulos, a aprender o algoritmo de Euclides, a comparar perímetros, a resolver ecuacións,...
• Xogos didácticos. Un apartado fantástico no que temos xogos como o da Torre de Hanoi, o do NIM, o Tangram, o Tetris, ... Un deles é o Ouri, que non é outra cousa que un xogo mancala. No último número da revista Gamma podemos ler un artigo sobre o xogo.
• Resolver cuestións. Portal de exercicios clasificados por temas.
• Xogo para mellorares o cálculo. Trátase dun xogo realmente entretido para practicar o cálculo numérico. Na arañeira da rede podemos atopar moitos que buscan este mesmo obxectivo, mais este ten unha apariencia simple e resulta moi efectivo. Aparécenos unha matriz chea de números, un reloxo, un resultado e unha operación aritmética. Temos que usar os números da matriz para obter o resultado dado.

No seguinte vídeo podemos facernos unha idea dos contidos de Hypatiamat, pero case o mellor é mergullarse no web e remexer. Alí, tras esta ligazón hai todo un mundo por descubrir cheo de posibilidades para as nosas aulas de matemáticas.