quarta-feira, 21 de dezembro de 2016

Desigualdade explicada ou non

Velaquí unha cadea de desigualdades ben coñecida. Trátase agora de identificar cal é o significado da mesma.
Partimos dun par de números distintos. Chamámoslle a ao maior e b ao menor. Sobre unha recta marcamos estas distancias AO=a e BO=b. Sexa M o punto medio de A e B, que será centro da circunferencia de raio MB. Sexa MO=m
Trazamos MQ, ortogonal a AB. Trazamos QO=q.
Trazamos a recta tanxente á circunferencia pasando por O: XO=x. Desde o punto X trazamos unha perpendicular a AB no punto H. Sexa HO=h.


Tendo en conta que os catetos son menores que as hipotenusas temos, xa que logo, as prometida desigualdades:
   q>m>x>h

Pois ben, quen pode identificar estas famosa desigualdades? Creo que xa din bastantes pistas.

sexta-feira, 9 de dezembro de 2016

Resolvendo ecuacións de segundo grao con René Descartes

Recordo que o temario de oposicións ao que tiven que preparar constaba de 85 temas. Durante varios meses fun preparando moitos deles, ata que me fartei. Debía ter uns 60 preparados, e botando unhas poucas contas, parecía un esforzo inútil seguir preparando temas e temas tendo presente cal era o sistema á hora de escoller un para a chamada encerrona.
Escollíanse ao chou 3 temas dos que o opositor podía preparar un á súa elección. Polo tanto, con 60 temas na faltriqueira, a probabilidade de que ao sacar 3 polo menos un deles fose un dos preparados sería $$1-\frac { \left( \begin{matrix} 25 \\ 3 \end{matrix} \right) }{ \left( \begin{matrix} 85 \\ 3 \end{matrix} \right) } =1-\frac { 25\cdot 24\cdot 23 }{ 85\cdot 84\cdot 83 } =1-0.0233=0.9767$$
Con prácticamente un 98% de probabilidades de que no sorteo da encerrona me tocara un tema preparado adiqueime, por fin, a gozar das matemáticas. Nos meses anteriores á oposición metéralle o dente a algúns libros sobre a historia das matemáticas. Recordo que foi daquela cando lera a Historia de la matemática de Carl B. Boyer,  El fracaso de la matemática moderna, de Morris Kline ou Ideas de espacio, de Jeremy Gray. Isto permitiume preparar a conciencia unha terna de temas máis, un sobre a historia da álxebra, outro sobre a da xeometría e un outro sobre o desenvolvemento da lóxica e a crise de fundamentos.
O día da proba era un 26 de decembro. Moi cedo pola mañán, preséntome ante o tribunal. Teño que meter a man nunha bolsa que contiña 85 boliñas, cada unha correspondente a un tema. Saco a primeira con bastante mala sorte, pois era dun dos temas que non preparara. Ao sacar a segunda non podo crer na miña mala sorte. Tampouco correspondía aos meus temas. Aínda que continuaba habendo moitas máis posibilidades de escoller unha bóla das boas, xa non podía sentir outra cousa que unha enorme anguria. Tiña que sacar unha terceira bóla. A última correspondíase co tema de historia da álxebra. Nun intre a miña desesperación convertérase por completo en ledicia.
Da exposición que fixen recordo sobre todo un aspecto que escollera porque era presumiblemente trasladable á aula. Trataba sobre a ecuación de segundo grao, que aparece obsesivamente, explícita ou implícitamente, por todo o currículo de secundaria. Un momento crucial no desenvolvemento da álxebra foi a publicación da Xeometría de Descartes. Neste libro ofrécese unha desas grandes ideas da historia das matemáticas, coñecida hoxe como xeometría analítica.
Ata ese momento a matemática tiña dúas grandes ramas, independentes e ben diferenciadas. Unha delas era a xeometría clásica, herdada dos gregos. A outra era a álxebra retórica árabe que foi evolucionando durante a Idade Media de man dos cousistas a unha álxebra sincopada. Descartes mostra que álxebra e xeometría están vencelladas por medio da xeometría analítica. Como comprobación da potencia desta nova forma de entender as matemáticas resolve un problema con trece séculos de antigüidade, o problema de Pappus, que pode enunciarse así: dadas catro rectas r1, r2, r3, r4 e catro ángulos trátase de encontrar o lugar xeométrico de cada un dos puntos tales que o produto das distancias desde eses puntos a r1 e r2  é igual ao produto das distancias a  r3 e r4 . Este problema, xeneralizado a n rectas, é o que resolve Descartes para dar mostra da potencia do seu método. Pero antes de estudar este problema Descartes trata a cuestión da resolución das ecuacións de segundo grao como primeira aproximación ao seu método, un método que explica así:
inicialmente debe supoñerse efectuada a resolución, dando nome a todas a liñas que se estime necesarias para a súa construción, tanto as que son descoñecidas como as que son coecidas. De seguido, sen establecer distinción entre as las coñecidas e as descoñecidas, debemos descifrar o problema [...] ata que se identifique un medio de expresar unha mesma cantidade de dúas formas [...]. Deben acharse tantas ecuacións como liñas descoñecidas se supuxeron.
A resolución das ecuacións de 2º grao na Xeometría de Descartes
Nos libros de texto preséntase normalmente un tema sobre polinomios ou expresións alxébricas que consiste no traballo no desenvolvemento de destrezas alxébricas descontextualizadas. Quizais haxa que facer algo dese labor, pero creo que convén que sexa o mínimo posible. Pola contra non han de faltar ocasións nas que haxa que remexer coas expresións alxébrica. Aquí vai un exemplo, que espero que sexa algo máis que iso.
Para achegarnos ao que nos propón Descartes nas primeiras páxinas da Xeometría, partamos da forma xeral dunha ecuación de 2º grao. $$a{ x }^{ 2 }+bx+c=0$$
Sempre podemos reducir a ecuación a outra que teña a unidade como coeficiente do termo cadrático. Basta con dividir por a:
$${ x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x+\frac { c }{ a } =0$$
En 3º da ESO trátase a relación da suma (S) e o produto (P) das dúas solucións (x1 e x2 ) desta ecuación cos seus coeficientes:
$${ x }^{ 2 }+\frac { b }{ a } x+\frac { c }{ a } =(x-{ x }_{ 1 })\cdot (x-{ x }_{ 2 })={ x }^{ 2 }-({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 })x+({ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 })={ x }^{ 2 }-Sx+P=0$$
Tomando s e p como os valores absolutos de S e P respectivamente chegamos á forma en que Descartes nos presenta a ecuación de segundo grao.
Como os coeficientes poden tomar signos positivos ou negativos, entón teremos estas catro posibilidades:
$${ x }^{ 2 }\pm sx\pm p=0$$
Esquema da Xeometría de Descartes
Estudemos o caso no que os dous signos son negativos: $${ x }^{ 2 }-sx-p=0$$
Tracemos unha circunferencia  LOP de diámetro s. Nun punto da mesma trazamos un segmento tanxente LM que teña como lonxitude a raiz cadrada de p. A recta NM cortará á circunferencia en dous puntos O e P.
A solución da ecuación é OM. Trataríase de que co esquema que aquí se reproduce o alumnado verificase alxébricamente que estamos no certo.
[Nota: pódese xogar coa aplicación introducindo outros valores para s e p]



Consideremos agora o caso: $${ x }^{ 2 }+sx-p=0$$
Sobre o mesmo esquema de antes agora a solución que nos ofrece Descartes é o segmento PM. Non é nada dificil, sobre todo despois de feito o apartado anterior, de comprobar alxébricamente que a lonxitude PM é solución da ecuación.




O último caso estudado por Descartes é $${ x }^{ 2 }-sx+p=0$$
Agora o esquema é algo distinto. Comenzamos coma antes, debuxando a mesma circunferencia e o mesmo segmento tanxente. Pero desde M trazamos unha perpendicular cortando á circunferencia en dous puntos Q e R e determinándose así dúas solucións QM e RM. Tamén se trataría de propoñer ao alumnado a verificación de que estas liñas resolven a ecuación.

 

extracto da Xeometría de Descartes
Descartes non indica nada sobre a suma e o produto das solucións. Se aquí o escribín desta maneira foi porque ao rematar este traballo pódese comentar como as solucións poden obterse como combinación de sumas, produtos ou radicais cadrados de S e P. Apuntamos así na dirección en que houbo que traballar para dar resposta a un dos máis importantes problemas das matemáticas, o da resolución das ecuacións polinómicas.
Este tratado de Descartes é plenamente moderno desde o punto de vista notacional. Foi Descartes quen puxo de moda escribir as incógnitas coas últimas letras do abecedario e reservar as primeiras para os coeficientes. De lermos hoxe a Xeometría non teriamos dificultade algunha por mor da notación. No extracto comentado aquí a única diferenza é o símbolo da igualdade (unha especie de 8 deitado) e que en ocasións, no canto de escribir b2, escribe b∙b.
Estas tres aplicacións poden usarse para  resolver ecuacións cadráticas sen ter que botar man da fórmula. Por outra banda, non están esgotadas as cuestións que se poden traballar. Por exemplo, no último caso, que pasa se o segmento LM > LN?, e se é igual?
Podemos chamar a atención pola descomposición do problema en tres casos. É o prezo que hai que pagar por facer un tratamento xeométrico do mesmo. Isto era o habitual nos tratados da época, tanto por esta razón como pola aversión ao uso de cantidades negativas. Neste texto xa se empregan con naturalidade os negativos, ademais Descartes ofrécenos as versións alxébricas das solucións de cada un dos casos que, por teren unha forma tan semellante, están a un paso dun tratamento puramente alxébirco e unificador.
Unha última cuestión. Antes apuntaramos que a presentación que facía Descartes permitiría estudar catro casos, e só se fixo o de tres. Que pasa co outro?

quarta-feira, 23 de novembro de 2016

Problemas de Alcuíno

Portada do libro
Se traio ata aquí a referencia a este libro de Alcuíno de York, Problemas para la instrucción de los jóvenes (Nivola 2016), é, entre outras razóns, porque o autor da tradución, Ricardo Moreno, foi profesor meu nos tempos nos que cursei o bacharelato. En boa medida el foi o culopable de que eu acabase sendo profesor de matemáticas. Precisamente polas necesidades deste oficio teño repasado en moitas ocasións como eran as súas clases.
Daquela (anos 80) os grupos eran de 40 alumnos. Ricardo Moreno tiña unha técnica ben curiosa para expurgar o barullo: falaba moi baixo e nunca, baixo ningunha circunstancia, levantaba a voz. Sorprendentemente funcionáballe. Na exposición era claro e preciso, tanto, que se alguén lle preguntaba calquera punto escuro, non achaba mellor resposta que repetir o que xa dixera. Sorprendentemente funcionáballe.
Explicaba o esencial, ofrecía uns apuntes podados de todo o superfluo. Propoñía poucos exercicios, pola contra, moi raramente había dous iguais. Dito doutro xeito, procuraba que cada exercicio tivese un pequeno reto que superar. Isto, que é fácil de propoñer pero difícil de levalo a cabo, penso que é unha práctica a seguir. Os exames eran curtos e daba tempo de sobra para facelos. Recordo que, se non te liabas, sobraba a metade da clase para facelos. Na revista do instituto recompilaban frases célebres atribuídas aos profesores. A del era "iso é como matar un mosquito a *cañonazos"

Alcuíno de York (circa 736-804), esudou na escola benedictina de York. Carlomagno chamouno para formar parte da súa corte en Aquisgrán. A edición de Problemas para la instrucción de los jóvenes é a tradución dun manuscrito en escritura calorinxia do século X procedente dun códice conservado en Karlsruhe. Nas páxinas pares podemos ver unha reprodución do manuscrito e nas impares a súa tradución. Este mesmo tipo de edición, visualmente preciosa, xa o repetiu R8icardo Moreno noutros libros desta mesma colección: Compendio del arte del cálculo, atribuído a Ibn al Sahm, El libro del Álgebra de Mohammed ibn-Musa al-Jwarizmi e  El libro de las aves o Libro de curiosidades aritméticas, de Abu Kamil.
O libro consta dunha colección de 52 problemas coas súas solucións, pero normalmente sen a explicación de como se obtiveron. Preséntase como mostra do estado da matemática en Occidente antes do contacto co saber árabe. Fixen unha escolma de catro deses problemas. Os dous primeiros escollinos para propoñelos na clase. Xa o fixen co número 47 nun grupo de Matemáticas Aplicadas ás CC.SS. I, e foi un fracaso. Habia un nivel de bloqueo tal, que sen o dato que faltaba, corría o perigo de que se confirmaran na idea preconcibida de que as matemáticas teñen cara de monstro.
47. Problema dun bispo que mandou repartir 12 pans. Un certo bispo mandou dividir 12 pans entre o clero. Estipulou que cada sacerdote recibira dous pans, cada diácono medio, e cada lector un cuarto. Sucedía ademais que o número de clérigos era o mesmo có de pans. Diga quen queira: cantos sacerdotes, diáconos e lectores había?

Ao seguinte, igual có anterior, tamén lle faltan datos. Porén, se o anterior se podía resolver tendo en conta que o resultado tiña que escollerse entre un pequena cantidade de números naturais, non é éste o caso deste outro:
23. Problema dun campo cuadrangular. Un campo cuadrangular ten un lado que mide 30 pértigas, outro 32, o posto 34, e o que falta 32. Diga quen poida: cantos arpendes están contidos neste campo?

Resultoume moi divertido bater o seguinte enunciado nun texto do século VIII, sobre todo porque nos leva á apócrifa (aínda que fermosa) historia da suma dos cen primeiros números naturais por parte dun rapaciño chamado Karl Friederich Gauss. Neste caso Alcuíno si que ofrece a explicación do resultado, e faino ao xeito de como se di que fixo Gauss na súa infancia.
42. Problema dunha escaleira con cen chanzos. Unha escaleira ten 100 chanzos. No primeiro estaba unha pomba, no segundo dúas, no terceiro tres, no cuarto 4, no quinto 5, e así en todos os chanzos ata o cen. Diga quen poida: cantas pombas había en total?

Por último, un problema que ten toda a pinta de ser un deses moitos que aparecen nos temas de álxebra dos libros de texto. O certo é que para dar unha solución non se precisa botar man de ningunha incógnita; basta con pensar un pouco. Pero se o que se pretende é facer un estudo de todas as posibles solucións (enteiras)..., ben isto xa dá para algo de álxebra e un bo rato de entretemento.
12. Problema dun pai e o os seus tres fillos. Un certo pai de familia, ao morrer, deixou aos seus tres fillos unha herdanza de 30 botellas de vidro, dez delas estaban completamente cheas de aceite. Outras dez mediadas. As últimas dez baleiras. Divida quen poida, aceite e botellas, de tal modo que cada un dos tres fillos obteña o mesmo, tanto de vidro como de aceite.
Entendo que este libro se podería tomar como un libro de texto da época. Pregúntome o que se avanzou nestes doce séculos.

quinta-feira, 10 de novembro de 2016

Congreso, xeometria e finalmente cine

Elena V. A. antes de cortar o cogombro
Comentaba estes días cunha compañeira que había moito que non asistía aos congresos de AGAPEMA e notaba como se estaba oxidando. Pola contra, cada vez que acudía, chegaba con algo novo para levar á aula.
Xa vai alá máis dun mes desde que se celebrou o VII congreso polo que conviña non tardar máis en facer referencia del, aínda que só sexa, como é o caso, de comentar únicamente ás conferencias plenarias.
O congreso botou a andar coa conferencia de Elena Vázquez Abal, "A xeometría de verdade ten curvatura". Polo menos unha charla semellante xa a escoitara noutra ocasión, pero desta vez estaba mellorada. O seu obxectivo, plenamente conseguido, era o de explicar ao non versado nas matemáticas, os fundamentos da xeometría diferencial. O momento culminante foi o do corte do cogombro. Concluín que era fundamental o uso desta planta para introducir o teorema egrexio de Gauss. Supoño que a partir de agora os departamentos de xeometría farán coincidir a explicación deste teorema co da recollida do cogombro.
Se estes foron os comenzos, debo confesar que non estaba moi convencido de ter un final á mesma altura. Eu son moi desconfiado cando vexo as matemáticas emparelladas con outras artes (matemáticas e literatura, matemáticas e música, ou como era o caso, matemátcas e cine) porque é moi fácil deixarse levar polo obvio e acabar vendendo unha trapallada con envoltura de ouro. Non foi o caso. A conferencia de clausura "Cine e teleseries en clase de Matemáticas" foi realmente entretida e divertida. Os aspectos que destacaría é a orde e claridade con que a levou o autor, José María Sorando, así como a súa grandiosa declaración de humildade. As súas palabras foron algo así como que os cortes cinematográficos que tanto traballo lle levou recompilar  pode que lle sirvan a alguén para darlle unha picelada a algunha aula.
No portal de José María Sorando podemos acceder a unha enorme colección de películas reseñadas. Fálasenos do argumento da película pero tamén dos aspectos matemáticos da mesma, e en moitos casos achamos entradas que van máis alá.
Hai outras formas de ligar as matemáticas co cine. Jack Nugent ten unha canle, Now you see it, na que sube vídeos nos que analiza algún tópico cinematográfico. Ten un adicado á análise de como as figuras xeométricas teñen un significado dentro da narrativa audiovisual. Os personaxes malvados reforzan esta característica cando se  nos presentan con narices e orellas puntiagudos e dedos longos; os triángulos acutángulos son as formas predominantes. Os círculos e as formas redondeadas consolidan as características de bondade. Un caso paradigmático é o de Mickey Mouse. Os cadrados e rectángulos indican rixidez, lentitude ou fortaleza e cando un personaxe aparece enmarcado nun rectángulo o director está transmitindo que está preso. O encuadramento circular indica vixiancia ou espionaxe. E se a imaxe está determinada por paralelas ou por liñas converxentes,... o mellor é ver o vídeo no que se explica todo isto.



Aproveito para darlle os parabéns aos organizadores do congreso de AGAPEMA. 

terça-feira, 11 de outubro de 2016

Entrevista a Helfgott en Efervescencia

Non é nada fácil facer divulgación científica e facelo ben. Se ademais o medio é o radiofónico a tarefa parece imposible pois a súa inmediatez pode levar a deixarse levar pola trapallada ou ben polo seu contrario, a pedantería. Manter o equilibrio é o que fan todas as semanas no programa Efervescencia da Radio Galega, os domingos de 15:00 a 16:00, desde o meu punto de vista, un horario horrible. En todo caso a Radio Galega faría ben en repetir o programa noutra franxa (idea de balde).
Como non podo escoitar o programa, algunhas veces poño o podcast como "música de fondo" no computador, aínda que para buscar algún contido que me interese prefiro facelo na canle de ivoox. Como exemplo do bo labor do equipo deste programa achego esta entrevista a Harald Andrés Helfgott, o matemático peruano que demostrou a conxectura débil de Goldbach.
Para introducir o tema: todo comenzou cunha carta que Christian Goldbach lle enviou a Leonard Euler [e 1] alá polo 1742 na que se propuxo o que sería coñecida como conxectura de Goldbach:
Todo número par maior que dous pode escribirse como suma de dous primos
Supoñamos que fose certa. Sexa n≥5, entón n-3≥2, polo que n-3 sería suma de dous primos: n-3=p+q,
Entón n= 3+p+q , isto é: o propio número n sería suma de tres primos. Así deducimos a conxectura débil de Goldbach:
Todo número impar maior que 5 é suma de tres primos
Polo tanto, se esta última conxectura fose falsa, tamén o sería a primeira. Pero resulta a conxectura débil foi demostrada polo peruano Helfgott  no ano 2013, así que a conxectura de Goldbach continúa no limbo da indeterminación no relativo ao seu valor de verdade.
Velaquí a conversa que  Efervescencia mantivo con Helfgott na que falaron de cousas como a análise de Fourier, a hipótese de Riemann ou do galego como lingua acaída para as matemáticas, por moito que algúns se empeñen no contrario.



Para profundizar, no blogue Gaussianos hai varias entradas sobre o tema.  

segunda-feira, 26 de setembro de 2016

A perda da escuridade

 

No Sermos 214 inclúese un A Fondo adicado á contaminación luminosa coordinado pola Agrupación Astronómica Ío e na que atopamos aportacións de Juan Antonio Alducin, Salva Bará, Marcos Pérez, Martin Pawley e un impagable artigo de Xabier P. Docampo. A desaparición dos vagalumes. Este especial coincidu coa publicación na canle de Youtube da International Dark-Sky Association da versión galega do documental de 6 minutos A perda da escuridade. A trdución foi realizada por Salva Bará (USC) e Martin Pawley e contaron coa voz da locutora Belén Regueira. Deste xeito o galego súmase ás outras 17 linguas nas que se divulga este vídeo. Hai un ano que o parlamento aprobara unánimemente unha declaración institucional en defensa do ceo nocturno, declaración que nunca foi máis alá. Debería ser a base para o establecemento dun protocolo de actuación de redución da emisión de fontes de luz artificial innecesarias que establecese as pautas polas que se deberían guiar as administracións neste ámbito. Algunhas recomendacións témolas na seguinte presentación.

Pódese consultar tamén o blogue da asociación Calidade do ceo

quinta-feira, 16 de junho de 2016

Matemáticas escritas en arxila

Nunha entrada anterior comentaba que os meus profesores de matemáticas foran mellores que os que tiven de física e seguramente isto deixou unha pequena pegada en que lle collera máis gusto á prmerira materia en detrimento da segunda. Con todo había algo que aqueles meus profesores de física facían mellor cós de matemáticas (e penso que isto pode xeneralizarse ao conxunto deste dous colectivos). Trátase da contextualzación histórica do que se trata na aula. O profesorado de física nunca deixa de nomear a Newton, Faraday, Maxwell e moitos outros, porén no gremio dos de matemáticas parece como se todo saíse do Libro Sagrado, cando nalgunhas ocasións o máis importante quizais sexa o trasfondo histórico.
Ao traballar a resolución de sistema de ecuacións non lineares (4º ESO) sempre propoño o seguinte problema que, segundo Rey Pastor e Babini, no libro Historia de la matemática, procede dunha taboiña de arxila babilónica:
Longo e largo. Multipliquei longo por largo e obtiven a área. Engadin á área o exceso de longo sobre largo: 183. Ademais sumei longo e largo: 27. Pídese longo e largo.
O problema non é especialmente orixinal. Nun principio poderiamos dicir que os libros de texto están cheos de problemas semellantes (ben, aínda que case todos os sistemas que presentan son simétricos: poderían intercambiarse as incógnitas e o sistema ficaría idéntico). Porén, non se pode negar que non ten o seu punto resolver unproblema que ten máis de 3600 anos, tan antigo que viña escrito en pedra. Ademais temos o valor engadido de podermos falar das razóns polas que aínda hoxe partimos a circunferencia en 360º, ou do sistema de numeración sexaxesimal, das vantaxes da notación posicional, pódemos facer prácticas operando coa notación babilónica, resaltar a importancia do cero ou tratar do chauvinismo eurocentrista cando se trata de relatar a historia das matemáticas, ou de calquera outra historia. Mesmo dá para comentar a situación social e política actual de Siria, Iraq ou Irán.
Imaxe da MLC 1950
 sacada de aquí
Nestes días batín con outro problema procedente da matemática babilónca. O certo é que xa o vira referenciado neste artigo do nº 58 de SUMA, pero como alí non se daba o enunciado completo pasáraseme desapercibido.
O problema aparece na taboiña MLC 1950 recollida nas excavacións de Uruk (MLC fai referencia á Morgan Library Collection da Universidade de Yale, que é onde se encontra). A súa recuperación para o mundo das matemáticas débese, como non, a Otto Neugebauer.
Recollo o enunciado do curioso libro de Roger Caratini, Los matemáticos de Babilonia. O de curioso vén porque é un ataque furibundo aos exiptólogos. Caratini defende que "en materia de xeometría os antigos exípcios non foron outra cousa que agrimensores e, en materia da ciencia dos números, o seu saber [...] era o de simples contables". Nestes tempos no que se impón unha aburrida redacción do políticamente correcto é moi de agradecer que se expresen opinións con esta claridade... aínda que este autor, fundamente esta tese na insistencia de que chegaron a nós decenas de miles de taboiñas sumerias con contido matemático fronte ás "escasas e decepcionantes" fontes exipcias: catro, e só "catro desgraciados papiros". O que non conta Caratini é que a conservación do papiro exípcio non é comparable á das taboíñas de arxila babilónicas. Estas opinións contrastan frontalmente coas de Gheverghese Joseph, quen na obra La cresta del pavo real afirma que as características xeográficas do Nilo
converteron a civilización exipcia nunha das máis agradables e pacíficas do mundo antigo. Isto contrastou agudamente cos seus veciños mesopotámicos, quen non só tiveron que loitar cun ambiente natural máis duro, senón que con frecuencia víronse ameazados dos invasores procedentes das terras da contorna
MLC 1950
Despois desta breve introdución, paso a expoñer o enunciado do problema da taboíña MLC 1950:
Trátase de calcular as lonxitudes de b e b' sabendo que h=AD=20, h'=DB=30 e a área do trapecio ADEC é 320:
Escondín aquí abaixo a solución que dá o escriba de Uruk pois sempre convén pensar antes en acharmos nós a solución.

sexta-feira, 10 de junho de 2016

Matemáticas en galego (na USC)

Ao botar un ollo ao pasado, podo certificar que fun realmente afortunado por recibir un número de horas de clase en galego bastante alto, un 35%, de comparármolo co que cabría esperar segundo as cifras que nos achega anualmente O Cartafol, a revista dixital do SNL da USC. De repasarmos os datos do uso do galego na docencia na USC, veremos que nunca chegaron aos niveis dos que gozei eu. Os valores máis altos dos que se ten referencia é desde o curso 2002-2003, un 20%, que foi incrementándose ata o curso 2009-2010, un 32%. Nese momento, é cando se aproba o funesto decreto de plurilinguismo  (casualidade?) e tamén comenza un descenso do galego na universidade compostelá ata un 21% do último ano. Un paso adiante e outro atrás, Galiza. Claro que, se falo do meu caso particular,  a docencia dos departamentos de matemáticas está moito máis galeguizada que a dos da rama biolóxico-sanitaria, onde o galego é unha rara avis. Por concretar, darei os datos da porcentaxe da docencia en galego do último ano nos departamentos de matemáticas:
  • Álxebra: 19,36%
  • Xeometría e Topoloxía: 22,35%
  • Análise Matemática: 66,25%
  • Matemática Aplicada: 33,19%
  • Estatística e Investigación Operativa: 12,15%
Con este panorama é moi de agradecer, e de louvar, o esforzo que están a facer moitos docentes desta universidade, que desde o ano 2008 contribuíron á publicación de unidades didácticas, sumando ata o momento un total de 231 títulos.
Unha vez máis vemos o esforzo de parte do SNL da USC e dos que colaboran co mesmo, un esforzo escasamente recompensado e que se enfronta a unha estrutura social montada para a exclusión da lingua galega. Vivimos nunha política lingüística supremacista que mantén e protexe todas as vantaxes para a lingua A ao tempo que se divulga un discurso no que se aparenta protexer e potenciar a lingua B. Así ésta ten que cargar co discurso, mentras que a outra queda cos privilexios, o cal multiplica as desvantaxes da primeira e as prerrogativas da segunda, ao preparar así o campo ideal para o discurso de que se impón a lingua B. Deste xeito, iniciativas coma esta do SNL, de publicar unidades didácticas en galego, adquiren o nivel de accións heróicas.
Como mínima contribución á honra que merece todo este esforzo, recollo aquí as unidades de matemáticas que hai publicadas ata hoxe. O caso non deixa de ter o seu punto subversivo xa que, recordémolo unha vez máis, cargouse sobre as matemáticas a prohibición de impartila en galego baxo un decreto autotitulado equilibrista. Curiosamente non se elaborou un decreto das mesmas características para o ensino unversitario, onde polas cifras que vimos aquí, si que levaría a un incremento da docencia en galego.
Álxebra

  • Rodríguez Fernández, C. e Fernández Vilaboa, J.M. (Dpto. Álxebra): Espazos vectoriais, para a materia "Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial", 2013 


Xeometría e Topoloxía



Análise Matemática



Matemática Aplicada



Uso do galego na USC: artigos do Cartafol
Para completar a entrada, pódense consultar os artigos que desde a publicación dixital do SNL nos achegan sobre o uso do galego na univerisade compostelá:

quinta-feira, 2 de junho de 2016

CEIP Frian-Teis: Vivimos nun mundo matemático

Xa levo tempo seguindo as noticias que o CEIP Frián-Teis (Vigo) vén deixando no blogue da biblioteca, O lar de Frianciño. Pode que a alguén se lle faga recoñecible o centro pois foi onde se argallou aquela excelente proposta titulada A lingua sabe a pan. Podería suceder que este proxecto fose unha marabillosa casualidade e que, unha vez rematado mesmo se lle virasen as costas á lingua pois oportunidades para isto é o que nos ofrece a Xunta mediante o funesto decreto do plurilingüismo. Mais éste non é o caso, a lingua segue sabendo a un pan gorentoso. Nesta ocasión a protagonista é a matemática e celebramos que, contra vento e marea, se fixera en galego.
Desde que Galileo comentara en Il Sagiatore, que a explicación do mundo estaba escrito na naturaleza en linguaxe matemática, a daquela chamada filosofía natural,  avanzou sobre esta premisa e fíxoo mellor ca nunca en toda a súa historia. En relación coas matemáticas, isto é o que se debe aprender na escola. A importancia das matemáticas como ferramenta para interpretar o mundo. Así, o alumnado de primaria ten que practicar as múltiples destrezas aritméticas que utilizamos e debe comprender cales son as principais figuras xeométricas. É un clásico que esta segunda cuestión sexa unha tortura en moitos libros de texto. Alí aparece un listado dunha chea de figuras xeométricas con toda a súa terminoloxía, unha enmarañada clasificación, fórmulas a esgalla..., en definitiva, algo que podería representar o inferno.
O profesorado do CEIP Frián-Teis, acompañado de toda a comunidade educativa, converteu isto no paraíso. Durante todo o curso, moitas das familias do centro estiveron pescudando en busca de imaxes matemáticas presentes no entorno. Así obtiveron fotografías na propia casa, de sinais de tráfico, referentes ao ámbito deportivo, do tranporte,....En todas elas aparecía a súa mascota, o moucho Frianciño, e en todas elas podemos abstraer unha figura xeométrica. Tal e como dixo Galileo, vivimos nun mundo matemático. Para comprobármolo basta con percorrer aquí abaixo o traballo que fixeron durante o curso. De certo que moitos outros pais sentirán, como min, unha sana envexa dos que teñen matriculados aos seus fillos nese centro.

sexta-feira, 27 de maio de 2016

Explícoche matemáticas 2.0, un oasis no deserto

Antonte, na Facultade de Matemáticas entregáronse os  premios do concurso Explícoche Matemáticas 2.0, na súa edición de 2016. O concurso está organizado polo SNL da Facultade, xunto coa Fundación Barrié e o Servizo de Normalización Lingüística da USC.
A entrega destes premios trae de novo ao primeiro plano a prohibición do galego nas aulas de matemáticas e doutras moitas materias desde a imposición do decreto supremacista contra o galego, o autotitulado perversamente, como decreto do plurilingüismo, cuxa fundamento principal é precisamente o de impedir a docencia en galego das materias científicas no ensino obrigatorio. Por esta razón o concurso é un oasis no deserto no que a política lingüística do PP converteu o ensino das matemáticas, a tecnoloxía, a física e a química.
 A gañadora na sección de universidade recaeu no vídeo 'Unha viaxe de París a San Francisco', de Andrea Vilar Álvarez, estudante de 3º curso do grao en Matemáticas, da Facultade de Matemáticas da USC.


O gañador do concurso deste ano é o vídeo 'As matemáticas que gañaron a Segunda Guerra Mudial', de Álvaro Cañete Rosell, Carolina Grille Sieira e Clara Vales Fernández, de 3º da ESO do Colexio Obradoiro da Coruña. Baixo a titorización de Jonás González Guinea. Parabéns tanto aos gañadores como a todos os participantes.

segunda-feira, 23 de maio de 2016

Fórmulas ou non

Hai varias razóns polas que intento que ofrecer nas clases o menor número de fórmulas posibles. Posiblemente unha delas sexa que eu, nas clases de matemáticas, recibín a mesma educación. Retrospectivamente, ao reflexionar sobre isto, acabei agradecendo que os meus profesores o fixeran así. En coherencia procuro facer agora o mesmo. Concretamente, na materia de Matemáticas II, de 2º de bacharelato, hai que estudar xeometria tridimensional linear desde un punto de vista esencialmente alxébrico. Ademais da caracterización das rectas e os planos, estúdanse os produtos escalar, vectorial e mixto. Isto, xunto coa fórmula que nos dá a distancia entre un punto en un plano, é o único que se necesita para superar os contidos esixidos neste bloque da materia.
Claro que un pode multiplicar o número de fórmulas ou dar múltiples pautas de resolución dependendo do tipo de problema que teñamos que resolver. Coas ferramentas comentadas no primeiro parágrafo espero que ante un problema como o seguinte:

Calcula a distancia entre as rectas r  e s: $$r:\frac { x }{ 3 } =\frac { y }{ 6 } =\frac { z }{ 2 } \quad \quad \quad \quad s:x-1=\frac { y-1 }{ -1 } =\frac { z }{ 2 } $$

a forma de proceder sexa máis ou menos esta:
Os datos que temos son: un punto e un vector de cada unha das rectas. Se obtivéramos o plano π paralelo a r que contén á recta s, a solución virá de calcular a distancia dun punto calquera de r (como Pr) a ese plano π.


Este era un dos exercicios dun exame. A miña sorpresa foi ver que non poucos o resolvían (correctamente) usando este outro método:
Calculaban primeiro a área do paralelepípedo determinado polos vectores $$ { \vec { { u }_{ r } }  },\vec { { u }_{ s } } ,\overrightarrow { { P }_{ r }{ P }_{ s } } $$
Despois obtíñan a área da base mediante o produto vectorial dos dous primeiros vectores. Dividindo as dúas cantidades anteriores achaban a altura do paralelepípedo, isto é, a distancia entre as rectas.
Ben, en realidade o que facían era aplicar esta fórmula:
$$d(r,s)=\frac { \left| \left[ { \overrightarrow { u }  }_{ r },{ \overrightarrow { u }  }_{ s },\vec { { P }_{ r }{ P }_{ s } }  \right]  \right|  }{ \left| { \vec { u }  }_{ r }\times { \vec { u }  }_{ s } \right|  } $$
O problema é que, ao preguntarlles por este método de resolución ninguén me falou nin de volumes, nin de alturas, era simplemente a fórmula que aprenderan nas clases particulares para aplicar a este tipo de exercicios. E por que digo que é un problema, se finalmente daban a solución correcta? Polo seguinte: no mesmo exame tiñan outra pregunta, quizais menos estándar:
Dado o plano α: x+2y+3z-5=0 , calcula a ecuación dun plano paralelo a α que diste 3 unidades da orixe de coordenadas.
Os mesmos alumnos que me deron a resposta que me disgustou no primeiro problema, fixeron mal este segundo. Ningún contestou o que se lle pedía. Usando outra fórmula inédita nas (miñas) clases, calculaban os planos paralelos e distantes 3 unidades de α. Parece que o asunto non era resolver problemas, senón usar fórmulas.


Hai máis razóns para non cargar a clase de matemáticas con fórmulas pero quizais a máis importante sexa a de procurar o traballo na resolución de problemas. A alternativa consiste no relato de algoritmos sen xustificación.
Lembro que as clases de física do bacharelato me resultaban especialmente pesadas e triviais. Os problemas consistían nunha serie de datos. Bastaba con saber unha lista de fórmulas e, á vista dos datos, tiñamos unha na que aparecían todas as variables, agás unha (ou dúas fórmulas das que non coñeciamos dúas incógnitas). Resolver este tipo de problemas facíase moi pesado.

sexta-feira, 29 de abril de 2016

Lembrar a lista das 100 primeiras cifras decimais de π



Ben, é unha frikada, pero tamén é unha forma ben fácil de sacar adiante unha entrada no blogue. Velaquí a Joshua Foer, gañador dun concurso norteamericano de memoria explicando como fai para lembrarse das primeiras 100 cifras decimais do número π
Aínda me estou preguntando que ten que ver isto coas matemáticas, ou co coñecemento. Polo menos neste caso as cifras son as correctas, non como sucedeu no caso do colombiano Jaime García, aínda que para ser precisos, Joshua Foer só recita 99 cifras decimais, (o situado no lugar número cen é un 9)

terça-feira, 5 de abril de 2016

O grande poder da matemática


Documental do programa Observatório do mundo, emitido pola canle TVI24 no que se desenvolven algúns tópicos básicos da matemáticas, das súas aplicacións e a súa versatilidade para permintirnos a comprensión do mundo.
Vía SPM

domingo, 13 de março de 2016

Coruña imposble



Cando fun mirar no blogue Son de noso, do ENDL do IES de Curtis (blogue que recomendo vivamente que sigades) non esperaba atopar esta sorpresa da que gosto especialmente pois permíteme facer unha entrada tanto neste blogue como no que teño adicado á lingua, especialmente á normalización.. Precisamente entre a curiosa comunidade do profesorado de matemáticas é moi coñecida a figura do artista neerlandés Maurits Cornelis Escher, autor de gravados que se usaron mil e unha veces para ilustrar conceptos como o da recursividade. Exemplo destacado disto é o libro de Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, libro galardoado co Púlitzer no 1980. A obra de Escher é o eixo arredor do que xira esta curta multipremiada, que, entre outros, recibiu o premio da IGAPI á mellor curtametraxe no 1995-96 e no ano 2000 foi considerada polo CGAI como a mellor curta de ficción dos anos 90. Decontado pensei que esta peza audiovisual podería formar parte dun proxecto que veño seguindo durante todo este curso. Trátase de Curtas.gal, Os xoves, na biblioteca do IES Félix Muriel (Rianxo) proxentan unha curga galega. Unha iniciativa que debería ter imitadores en moitos outros centros e que conta xa cunha boa escolma que podemos consultar aquí. "Coruña imposible", dirixida por Paco Rañal, era unha das pezas que formaba parte de Flocos e que desapareceu no exiguo catálogo da esquecida e inútil substituta, Canle.tv. Ante este panorama o propio director decidu subila ao You Tube 

terça-feira, 1 de março de 2016

Cóncavo ou convexo?


Ao ver en El espejo lúdico este vídeo, non resistín a tentación de compartilo. Aínda máis cando, clase tras clase, comprobaba que o alumnado de 2º de bacharelato non acababa de aprender a relación entre a segunda derivada dunha función e que ésta sexa cóncava ou convexa nun determinado intervalo. Ao ver o vídeo de Kokichi Sugihara creo que puiden comprendelos algo mellor.
E se a curvatura dunha función pode chegar a ser un concepto difuso, non digamos a apreciación do tempo. Así que vai de corolario outro artefacto do mesmo autor, que só dura un minuto, se é que vai ben o reloxo:

terça-feira, 23 de fevereiro de 2016

Grafos e divisores.2

Nunha entrada anterior chegamos á idea de grafo de divisores de forma natural, como ferramenta para abordaxe do estudo da lonxitude dos camiños nun xogo de múltiplos e divisores que recolliamos da páxina Nrich. Así, dado o conxunto S dos n primeiros números naturais construiamos un grafo de tal xeito que se $$i,j\in S\quad \quad \quad ij\quad é\quad unha\quad aresta\quad \Longleftrightarrow \quad i|j\quad ou\quad j|i$$
O concepto de grafo de divisores pódese ampliar tomando S como calquer subconxunto finito de números enteiros. Con esta nova definición resulta que temos moitos grafos que son grafos de divisores. Por exemplo todos os posibles grafos con 5 vértices ou menos, agás un, son grafos de divisores. Non é nada complicado debuxalos todos asignándolle os números correspondentes aos vértices para comprobar que realmente son grafos de divisores. Velaquí uns poucos de exemplos (a comprobación da totalidade deles pode ser un exercicio divertido)

Unha actividade entretida para os que teñan algo de gosto pola astronomía podía ser o de indagar se as constelacións son grafos de divisores. Velaquí, por exemplo que o Setestrelo sí que o é:Se temos vértices, o maior número de arestas que podemos establecer entre eles é un deses problemas que se resolven nas primeiras clases de combinatoria:
 son $$\left( \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix} \right) $$.
Tendo isto presente, verifícase o seguinte teorema:
$$Dados\quad dous\quad números\quad naturais,\quad n\quad e\quad m,\quad con\quad 0\le m\le \left( \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix} \right) ,\quad \\ hai\quad polo\quad menos\quad un\quad grafo\quad divisor\quad con\quad n\quad vértices\quad e\quad m\quad arestas$$

Este resultado asegura certa abundancia de grafos divisores. Tamén se sabe que todos os grafos completos Kn , Km,n ,  as árbores e todos os grafos bipartitos son grafos de divisores. Pero tamén hai moitos outros grafos que non son divisores. O grafo cíclico C5 non é un grafo divisor, incluso máis, ningún grafo divisor pode conter a C5. A razón de que isto sexa así vén da transitividade da relación "ser divisor de". Así, todo grafo divisor ten asociado un grafo dirixido no que se u|v podemos establecer un arco (u,v). Se C5 fose un grafo divisor, tería que haber tres vértices x, y, z, tales que x|y e y|z. Polo tanto x|z e debería haber unha aresta máis que as que ten C5. De feito, ningún grafo cíclico impar de 5 ou máis vértices, pode ser un grafo divisor.
Pola contra é moi doado establecer un algoritmo que asigne valores numéricos aos vértices co fin de converter en grafos divisores todos os cíclicos pares.  Para comprobarmos que por exemplo C6 é un grafo de divisores basta ir etiquetando, poñamos por caso, no sentido das agullas dun reloxo, un vértice si e outro non, cos primeiros primos: 2, 3, 5,.... Os vértices intermedios serán o produto dos dous adxacentes. Está claro que a paridade é o que determina que poidamos realizar esta etiquetaxe nun grafo cíclico.
Xa sabemos que Cnon é grafo de divisores. Podemos dar referencia de moitos máis. Velaquí un par de exemplos:

Entón xurde a cuestión de caracterizar os grafos divisores. Xa sabemos que a todo grafo de divisores vaille asociado un grafo dirixido. Basta escoller os arcos a partir da relación "u divide a v". Daquela temos o seguinte resultado:
Que un grafo sexa un grafo de divisores é equivalente a que exista unha orientación que verifique a propiedade transitva [isto é, se (u,v) e (v,w) son arcos, entón (u,w) tamén o será]

Xeneralizando
Pódese ampliar novamente o concepto de grafo divisor. No canto de considerar o conxunto dos números enteiros podemos tomar un anel conmutativo calquera.
Neste contexto vai unha cuestión. Sexa K5 o grafo completo de 5 vértices. Será un grafo de divisores? Para abordar a pregunta pensei que se podería resolver se tiñamos un anel con 5 unidades.
Sexa
$$\xi ={ e }^{ \frac { 2\pi i }{ 5 }  }=cos\frac { 2\pi  }{ 5 } +i\cdot sen\frac { 2\pi  }{ 5 }  $$ a raíz quinta da unidade. Resulta que o anel ciclotómico $$Z\left[ \xi  \right] $$ ten como unidades $$1,\xi ,{ \xi  }^{ 2 },{ \xi  }^{ 3 },{ \xi  }^{ 4 }$$ polo que o grafo divisor asociado ao conxunto destes cinco elementos é o grafo completo K5.
Despois de pegar este chimpo vin que se podía chegar ao mesmo resultado cun grafo en Z, tomando o conxunto de vértices $$S=\left\{ 2,{ 2 }^{ 2 },{ 2 }^{ 3 },{ 2 }^{ 4 },{ 2 }^{ 5 } \right\} $$
Está claro que todos os grafos completos son divisores. A cuestión que me asaltou é se hai algún anel que dea acubillo a algún grafo divisor que non poidamos atopar en Z.

Máis?
Un concepto asociado ao dos grafos divisores é o dos grafos coprimos. Considerando o conxunto de vértices entre os enteiros, as arestas (u,v) estableceranse entre aqueles números que sexan coprimos.
Dada un grafo G calquera, seguindo o seguinte procedemento, obteremos un grafo coprimo isomorfo a G:
  • Consideremos o grafo complementario G cos mesmos vértices e cuxas arestas son xusto as que non aparecen en G
  • En G etiquetamos todos os vértices aillados con números primos (distintos)
  • Se temos unha aresta aillada en G escolleremos outro primo p e etiquetaremos os dous vértices como p e p2
  • Se temos unha compoñente de orde 3 ou más en G, asociaremos primos distintos a cada unha das súas arestas. Entón cada vértice etiquétase co produto das arestas que inciden nel.
Deste xeito podemos construir un grafo coprimo isomorfo a calquera outro dado: todos os grafos son grafos coprimos. Velaquí, como exemplo, temos o proceso de etiquetaxe de C5.

Algunhas lecturas
Whic graphs are divisor graphs?
Bipartite divisor graphs
Divisor graph have arbitrary order and size
On the logest simple paht in a divisor graph
Further new properties of divisor graphs


quinta-feira, 18 de fevereiro de 2016

Grafos e divisores.1

Do portal NRICH
Remexendo pola arañeira batín con este entretido xogo do web NRICH (enriching mathematics).   Participan dous xogadores alternativamente escollendo da grella de números da esquerda que, como se ve, contén os 100 primeiros naturais. As regras son moi sinxelas:
Regra 1.O primeiro xogador pode escoller calquera número menor que 50 (no exemplo puxen o 45).
Regra 2. O seguinte número debe ser sempre un múltiplo ou un divisor do anterior.
Finalización. Perde aquel que non poida coller ningún número máis.
O xogo pode propoñérse en calquera aula dos primeiros cursos da ESO xa que permite desenvolver o cálculo e a familiarización cos conceptos de múltiplo, divisor, número primo, número composto, coprimos,...
NRICH suxire dar novos enfoques ao xogo, como o de presentalo sen a restricción dada pola primeira regra para logo poñer en evidencia a súa necesidade se non queremos ter un xogo trivial. Tamén podemos investigar se hai algunha estratexia gañadora, ou se hai números que nos convén evitar. Claro que as posibilidades non rematan aquí. De ser moi complicada a abordaxe deste xogo, podería restrinxirse a outras versións que tiveran unha menor cantidade de números: 15, 20, 30, 50,... ou, se cadra, somos quen de aventurar que é o que sucede cando partimos de 101 números, ou 200, ..., 1000,...n,...
Tamén está a cuestión de cal é a maior cadea de números que podemos formar na grella da dereita. Por exemplo, na imaxe anterior tiñamos unha cadea de 11 números susceptible de ser ampliada. Para estudar o problema podemos ver que é o que pasa cos primeiros casos.
O problema parece que pode abordarse botando man dos grafos. Partimos dun conxunto de vértices numerados polos n primeiros números
$$S=\left\{ { v }_{ 1 },{ v }_{ 2 },{ v }_{ 3 },...{ v }_{ n } \right\}$$
Para establecermos as arestas usaremos a seguinte definición
$${ \forall i\neq j\quad v }_{ i }\quad e\quad { v }_{ j\quad  }\quad forman\quad unha\quad aresta\quad \Longleftrightarrow \quad i|j\quad ou\quad _{ \quad  }j|i$$
A un grafo así determinado podémoslle chamar grafo de divisores. No grafo de divisores dado polos cinco primeiros números está claro que a cadea máis longa que podemos formar ten unha lonxitude de 4 vértices: 3, 1, 2, 4.
Pero a pouco que pasemos dos primeiros casos, como era de esperar, o grafo vaise complicando. Para o grafo de divisores dos 13 primeiros números naturais teremos polo menos unha cadea de lonxitude 10 a seguinte: 9, 3, 6, 12, 4, 8, 1, 5, 10, 2 (ou 11, 1, 5, 10, 2, 8, 4, 12, 3, 9) que parece difícil de superar




Se lle chamamos f(n) ao valor da lonxitude da máxima cadea que podemos formar nun destes grafos de n números, acabamos de ver que f(4)=f(5)=4 e que f(13)=10. Podemos intentar obter unha táboa que nos ofreza pistas para intentar aventurar o resto dos valores de f(n). Pero a cuestión non é nada simple.
Parece ser que P. Erdös, R. Freud e N. Hegyvári estableceron que para valores de n o suficientemente grandes (nas fórmulas log indica o logaritmo neperiano):
$$f(n)\le (1-log2)n$$
Se quixeramos unha limitación inferior teriamos esta de A. D. Pollington:
$$\forall c>0\quad \exists N/n\ge N\Longrightarrow f(n)\ge n\cdot { e }^{ -(2+c)\sqrt { logn\cdot log(logn) }  }$$
O artigo de Erdös e cia. non falaba de grafos senón de permutacións a1, a2 ,a3, ..., an , dos primeiros enteiros 1,2,3,....,n. Ou máis suxerententemente, trataba das permutacións a1, a2,a3, ..., a,....de todos os números naturais. Concretamente dábanse resultados sobre o mínimo común múltiplo  e o máximo común divisor de dous elementos consecutivos nesas permutacións. Un dos teoremas cualificábano os propios autores de pobre resultado. Di o seguinte:
Dada unha permutación de todos os naturais a1, a2,a3, ..., a,....:
$$\bar { \underset { i }{ lim }  } \frac { \left[ { a }_{ i },{ a }_{ i+1 } \right]  }{ i } \ge \frac { 1 }{ 1-log2 } \simeq 3,26$$
Certamente é difícil imaxinar unha permutación  na que este límite fique dentro do ámbito da finitude.

quarta-feira, 3 de fevereiro de 2016

As matemáticas son aburridas e non serven para nada

TEDxGalicia@USC - Elena Vázquez from denha on Vimeo.

A que profesor de matemáticas non lle preguntaron algunha vez sobre a utilidade do que se trataba nas clases?
Nos primeiros anos de docencia respondía falando dun clásico: o estudo das cónicas por Apolonio de Perga (III a.C.). un traballo que parecía completamente inútil ata que despois de case dous milenios Johannes Kepler (1571-1630) aplicara o coñecemento das cónicas ao estudo das traxectorias dos planetas. Efectivamente, os astros errantes movíanse en traxectorias elípticas arredor do Sol, situándose éste nun dos seus focos. A cara do alumnado nese momento era un poema. Non lle vían a utilidade ao coñecemento da primeira lei de Kepler, e confimánranse aínda máis na súa primeira opinión.
Máis recentemente faláballes da seguridade na internet. A garantía de poder facer compras seguras está fundamentada nas propiedades aritméticas. Por exemplo, a encriptación RSA parte da enorme dificultade de descompoñer números grandes (centos de cifras) en factores primos. Pode que sexa cousa miña, pero finalmente quedábame coa impresión de que cando o alumnado asentía sobre a complexidade da factorización estaban entendendo que iso de andar remexendo nos números primos era a un tempo unha lata e improdutivo. E logo non era certo que os ordenadores traballaban con programas e aplicacións? Que pinta aí o mínimo común denominador? De certo que vían o meu relato demasiado forzado.
Agora tendo a facer o mesmo que Elena Vázquez nesta conferencia. Adopto a postura de G. H. Hardy (1877-1947) no seu celebérrimo (?) libro Apoloxía dun matemático e con toda a amargura respondo que, efectivamente, as matemáticas, agás quizais para min e outros coma min que vivimos de contar catro cousas sobre elas, non serven para nada. Así que a alternativa estalles moi clara. Se o alumnado é coherente, debe abandonar calquera esforzo e asumir sen paliativos o suspenso final. No caso de seren inconsecuentes, mellor selo ata o final estudando a materia esfordamente. Con algo de fortuna estes últimos matricularanse finalmente nun sitio coma éste co fin de formar un elo máis nesta cadea dos que, non sen certo sadismo, torturamos as mentes da rapazada con problemas, fórmulas e números absolutamente inútiles e que ademais son realmente insufribles.

quarta-feira, 20 de janeiro de 2016

Éche así... a lotería de nadal


Éche así é un programa de divulgación científica da TVG. Mellor dito, é o programa de divulgación científica da TVG. En menos de media hora tratan varios temas de carácter científico que teñen que ver coa nosa vida cotiá. Ademais o programa ten vocación de entretenemento polo que sempre está presente o (bo) humor. 
O programa ten catro presentadores: un químico, Manuel Vicente (director de Efervescencia), un biólogo, David Rodríguez, un xeólogo, David Ballesteros, e unha actriz, Saamira Ganay. 
Neste vídeo que recollo aquí trátase o tema das filas. As filas dos supermercados, dos servizos públicos, pero tamén das redes de ordenadores, das telecomunicacións, vehículos que pasan por unha rúa ou unha gasolineira,... poden ser tratadas desde o punto de vista matemático. Hai unha parte da estatística, a teoría das filas, adicada a este tipo de problemas. O precursor desta rama do saber foi o matemático dinamarqués Erlang (1878-1929).
Erlang estaba estudando como determinar a probabildade de que unha chamada tivera que esperar por estaren todas as liñas telefónicas ocupadas.
Unha distribución estatística recibe hoxe o nome de Erlang. Ten como función de densidade:
$$f\left( x,k,\lambda \right) =\frac { { \lambda }^{ k }{ e }^{ -k\lambda }{ x }^{ k-1 } }{ \left( k-1 \right) ! }$$
Tomando k=1 e dividindo por k! obtemos a función de densidade da coñecida distribución de Poisson
$$\frac { 1 }{ k } f\left( x,1,\lambda  \right) =\frac { { \lambda  }^{ k }{ e }^{ -k\lambda  } }{ k! } $$
Esta distribución é a empregada para o cáculo da probabilidade de que ocurra un determinado número de chamadas nunha unidade de tempo, ou da chegada dun número de clientes a un supermercado. Tamén se pode obter como límite da distribución binomial, por iso tamén a podemos empregar para aproximar probabilidades de experimentos binomiais, expecialmente cando o número de experimentos é grande e a probabilidade de obter un éxito é pequena. Aínda que este tópico rara veces o vin tratado nos manuais de estatística.
A obtención da distribución de Poisson a partir da binomial pode facerse da seguinte maneira:
Sexa X unha variable aleatoria binomial de parámetros n e p. A probabilidade de obter un éxito é p e repetimos o experimento n veces. A probabilidade de obter k éxitos é
$$P\left( X=k \right) =\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { p }^{ k }{ q }^{ n-k }$$
$$Sexa\quad p=\frac { \lambda  }{ n } \quad e\quad q=1-p=1-\frac { \lambda  }{ n } $$
$$P(X=k)=\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { \left( \frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ k }{ \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ n-k }=\frac { n\cdot \left( n-1 \right) \cdot ....\cdot \left( n-k+1 \right)  }{ k! } \frac { { \lambda  }^{ k } }{ { n }^{ k } } { \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ n-k }$$

$$P(X=k)=\frac { n }{ n } \frac { n-1 }{ n } ....\frac { n-k+1 }{ n } \frac { { \lambda  }^{ k } }{ k! } { \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ n }{ \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ k }$$

Tomando límite cando n se fai infinitamente grande e sendo λ e x constantes: as constantes poden sair fóra do límite e o límite dos primeiros produtos é 1 en todos os casos
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { n }{ n } \frac { n-1 }{ n } ....\frac { n-k+1 }{ n } \frac { { \lambda  }^{ k } }{ k! } =1\cdot 1\cdot ....\cdot 1\cdot \frac { { \lambda  }^{ k } }{ k! }  } $$
O límite dos outros dous factores:
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ n }={ e }^{ -\lambda  } } $$
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { \left( 1-\frac { \lambda  }{ n }  \right)  }^{ -k } } =1$$
Asi, recompilando todos os resultados, finalmente teremos a prometida distribución de Poisson: $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ P(X=k)=\frac { { e }^{ -\lambda  }{ \lambda  }^{ k } }{ k! }  } $$

Un exercicio
Estes días de atrás andaba todo o mundo a voltas coa tolería da lotería de nadal. Se todos os anos gastamos 100 € (que é máis que a media e moito máis do recomendable), e facémolo continuadamente durante, poñamos, 50 anos. Podemos ter esperanzas de que nos toque o gordo?
Como se sortean 100.000 números e compramos 5 décimos (a 20€), a probabilidade de ter éxito é 5100.000 , ou equivalentemente, 120.000 . 
A variable aleatora X que nos dá o número de veces que nos toca o gordo é unha binomial. Poderíamos calcular a probabilidade de non obter ningúnha vez o premio así:
$$P\left( X=0 \right) =\left( \begin{matrix} 50 \\ 0 \end{matrix} \right) { \left( \frac { 1 }{ 20000 } \right) }^{ 0 }{ \left( \frac { 19999 }{ 20000 } \right) }^{ 50 }$$
A distribución de Poisson simplifícanos os cálculos:
$$\lambda =p\cdot n=\frac { 5 }{ 100000 } \cdot 50=\frac { 1 }{ 4000 } $$
A probabilidade de non obter ningún premio:
$$P\left( X=0 \right) ={ e }^{ -\frac { 1 }{ 4000 }  }=0.99975$$
Polo que só teremos premio cunha probabilidade de $$0.00025=\frac { 1 }{ 4000 } $$
Agora é o momento de pensar se convén gastar 5.000 € nesta inversión.

Volvendo ao caso do principio, o único malo do programa Éche así é o do día e hora de emisión: os domingos ás 10:30. Merecía emitirse no horario de máxima audiencia. Pero as cousas sonche así.
(Sempre temos a posibilidade de pegarlle un ollo no apartado de á carta, da TVG)