quinta-feira, 19 de novembro de 2015

Un problema de escalas no edixgal

Velaquí que o rapaz chegoume o outro día cun problema ao que non lle daba botado man. Está en 5º de primaria, pero cando me dixo que se trataba dun problema de "sociais pero de competencia matemática" pensei en que o pobre xa estaba botado a perder.
No seu grupo están apuntados ao edixgal. Isto indícanos cousas positivas dun profesorado está preocupado pola mellora do ensino e pola situación social do entorno xa que se meteron a participar nun programa que prometía moito e que ademais tiña a ventaxa de que se liberaba aos pais da compra dos libros de texto. Porén comenzou o curso e todos vimos que o edixgal non é outra cousa que un pdf con todas as dificultades que isto acarrexa, e como veremos, sen ningunha ventaxa das posibilidades de contarmos cunha ferramenta realmente dixital. Hoxe ese profesorado está arrepentido de participar no edixgal.
O único que cambia co edixgal con respecto ao libro de texto é que para acceder aos contidos hai que moverse nun entorno de scrolls realmente pesado e dificultoso. Ademais os portátiles destinados a este programa son os do proxecto Abalar, cunha pantalla moi pequena, que dificulta aínda máis a consulta destes libros de texto. E insisto no de libros de texto porque os contidos dixitais son inexistentes. Vexamos un exemplo que nos indica que todo isto do proxecto edixgal foi montado sen planificación ningunha.
O problema ao que me refería ao principio é o nº 12 desta foto. Nada tería que dicir se este mesmo problema viñera nun libro tradicional, incluso gabaría que o mapa fixese referencia a concellos galegos, pois sempre é preferible facer referencia á realidade próxima e coñecida que a outra allea e descoñecida.


Ver a enorme contradición entre a escala do mapa e a posibilidade de cambio do tamaño do pdf

Como o problema pide que tracemos o itinerario cun fío, así o fixemos. Collín un fío e coloqueino sobre a pantalla do ordenador-Abalar. Pero como a pantalla é táctil, ao tocala para facer a medición, reducía automáticamente o tamaño do pdf. Ademais, a que tamaño había que colocalo? 100%, 147%,...? E non é isto o único problema. Abrín o pdf no meu PC, que ten unha pantalla maior e non ten os problemas do portátil-Abalar, pero se abrimos o pdf noutra pantalla de distinto tamaño, tamén cambia o tamaño do mapa. Conclusión: imposible medir o mapa. Así que, xa sen recursos, mirei cara ao rapaz e pregunteille:
- E agora, que facemos?
- Vai ser mellor mirar no google maps - contestoume. Daquela pensei que aínda non estaba todo perdido.

Materiais dixitais vs. materiais apantallados
Este capítulo levoume a pensar en materiais que realmente están preparados para traballar no entorno dixital. Sen sairmos dos problemas de semellanza, non podo deixar de recomendar esta unidade didáctica do Proxecto EDAD. Se imos a >Exercicios>Proporcionalidade directa, teremos a posibilidade de traballar de varias maneiras coas escalas dos mapas.
Estas unidades didácticas, acaídas ao entorno dixital, son prácticamente as únicas dispoñibles en galego para o ensino das matemáticas, A Xunta, se quixera, podería usar estes materiais para proxectos como o edixgal, pero prefire pagar por pdfs apantallados. A ideoloxía que hai por debaixo de todo isto atopámola no funesto decreto do plurilingüismo: o realmente importante para a Consellería de Educación é que a lingua galega siga excluída das materias de ciencias. Resulta moi revelador que para que poidamos ver un contido de matemáticas en galego recollido do fardel da Consellería, teñamos que ir a un exercicio da materia de Ciencias Sociais. O galego, nas matemáticas, está arrasado. Que a ninguén lle estrañen, xa que logo, os resultados que nos que nos revelaba o IGE hai un ano, cun 13% de baixada de uso do galego nunha década.
A alguén lle teremos que dar as grazas.

sexta-feira, 6 de novembro de 2015

O péndulo de Huygens

Desafortunadamente xa estamos celebrando a VI edición do Día da Ciencia en Galego, data instaurada para denunciar a exclusión do galego que a Consellería de Educación quer impoñer nas aulas de ciencias e tecnoloxía. Un dos personaxes que se toman como desculpa para centrar os actos desta sexta convocatoria é Christiaan Huygens (1629-1695), coñecido normalmente por ser quen determinou a forma dos aneis de Saturno ou pola teoría ondulatoria da luz quixera destacar algunha das súas aportacións en relación cunha curva moi famosa no desenvolvento das matemáticas: a cicloide. Para explicar en que consiste unha cicloide quizais o mellor sexa ver este gif
Efectivamente, a cicloide describe a traxectoria dun punto situado nunha circunferencia de radio a que xira sobre unha recta. Neste caso, se consideramos que o punto que nos debuxa a cicloide comenza a súa andaina na orixe dun sistema cartesiano e a circunferencia roda sobre o eixo de abscisas, as súas ecuacións paramétricas virán dadas por: 
$$\left\{ \begin{matrix} x=a\left( t-sent \right)  \\ y=a\left( 1-cost \right)  \end{matrix} \right \\ \\ \\ $$
Onde t mide o ángulo que forma o radio que une o punto co centro da cricunferencia e o radio perpendicular ao eixo de abscisas.$$x=OA-OQ=a\cdot t-a\cdot sent$$
$$y=AC-AB=t-a\cdot cost$$ Parece ser que a primeira referencia da que se ten coñecemento foi obra de Nicolás de Cusa cando estaba estudando o problema da cuadratura do círculo. A primeira sociedade científica da historia non era exactamente unha sociedade. Tiña nome e apelidos e chamábase Marin Mersenne (1588-1648). Con moitos coñecementos e contactos, e con boa relación cos científicos do momento sabía a quen informar e sobre que. Foi un dinamizador da ciencia da primeria metade do XVII. El tamén se ocuparía da cicloide. Proporíalle a Roverbal o cácula da área determinada por un arco de cicloide, que é o triplo da área do círculo que a xenera: $$3\pi { a }^{ 2 }$$ Galileo tamén se había de ocupar da cicloide e transmitirá o interese por esta curva a discípulos seus como Evangelista Torricelli ou Vincenzo Viviani. Será Blaise Pascal quen descubriría múltiples propiedades da curva. A cicloide é a braquistócrona. Todos sabemos que a traxectoria máis curta entre dous puntos é unha liña recta, pero cal é a curva que  isto é, a curva pola que un peso caería en menos tempo desde calquer altura ata un punto máis baixo a certa distancia da vertical. O problema de achar a curva braquistócrona foi proposto por Johann Bernouilli no 1696. El mesmo dou a solución, como Leibniz, Newton, Jacob Bernouilli e L´Hôpital. Huygens tamén fixo a súa aportación ao estudo desta curva cando resolveu o problema da curva tautócrona. Se deixamos caer unha bóla pola curva, o tempo que tarda en chegar ao punto máis baixo é o mesmo independentemente da altura á que deixamos caer a bóla. Así, un péndulo que describira unha traxectoria cicloidal tería un período de oscilación independente da amplitude. Huygens demostrará tamén que a evoluta dunha cicloide sería outra cicloide igual. Pero que é a evoluta dunha cicloide?, máis en xeral, que é a evoluta dunha curva? Para responder precisamos antes saber o que é o círculo osculador dunha curva, concepto introducido por Descartes no 1637 na súa Xeometría. Dado un punto dunha curva chamaremos círculo osculador (círculo que bica á curva) a aquel círculo que é tanxente á curva pola súa parte cóncava. O radio do círculo osculador é o chamado radio de curvatura. O seu módulo dános información de como é a curvatura da curva. Non me resisto a dar a fórmula do radio de curvatura: $$R=\frac { { \left( 1+{ y }^{ { ´ }^{ 2 } } \right)  }^{ \cfrac { 3 }{ 2 }  } }{ \left| { y }^{ ´´ } \right|  } $$ Pensemos que os radios de curvatura son todos perpendiculares á curva. O centro do círculo osculador chámase centro de curvatura. A evoluta dunha curva é outra curva formada polos centros de curvatura. Como xa comentamos anteriormente, a evoluta dunha cicloide é outra cicloide igual. Curioso, non? Podémolo comprobar na seguinte aplicación movendo con coidado o punto P activarase o rastro dos centros de curvatura e veremos como se vai debuxando a súa evoluta:  (Coa roda do rato podemos cambiar o tamaño do esquema así velo todo)
 

Isto permitiríalle a Huygens a construción dun péndulo cicloidal. Bastaba con colocar unhas guías cicloidais co fin de que a barra do péndulo sempre fose tanxente a esas guías. Consecuentemente a bóla do péndulo describiría a un tempo unha traxectoria ciloidal. Se lle dámos a volta, cabeza abaixo á anterior aplicación obteriamos o esquema que aparece na seguinte, onde se reproduce o péndulo imaxinado por Huygens. (Coa roda do rato podemos cambiar o tamaño do péndulo e así velo todo)
 
Despois do comentado pode dar a impresión de que Huygens fixo uso do cálculo diferencial, pero non foi ese o caso xa que usou únicamente métodos xeométricos. Desafortunadamente non podemos dicir que Christiaan Huygens participara das matemáticas dos bicos. Podemos comprobalo no libro no que publicou os resultados que vimos de comentar.  Paradoxalmente os resultados máis importantes deste libro tómanse como o punto referencial da primeira aplicación da xeometría diferencial. Isto é unha carácterística moi común no desenvolvemento científico xa que en non poucas ocasións acharemos tratados, mesmo resoltos problemas que hoxe caen dentro dunha rama específica, pero que foron estudados con métodos doutra rama xa que ésta aínda non estaba desenvolvida. Lembremos que Isaac Barrow establecera nin máis nin menos que o teorema fundamental do cálculo aplicando tamén únicamente métodos xeométricos. Todo isto dá lugar a pensar que nesa altura, ben andado o século XVII, dalgunha maneira estaba determinada a futura elaboración do cálculo infinitesimal. Huygens publicou estes resultados no seu Horologium Oscillatorium (Péndulo Oscilatorio) no 1673, época na que Newton estaba dando os primeiros pasos no cálculo. Unha marabilla que nos permite a tecnoloxía desde hai ben pouco é a de podermos consultar libros coma este sen máis que prender o ordenador: